Резонансное взаимодействие квазилинейных волн с солитонами в нелинейных световодах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, доктор наук Юлин Алексей Викторович

• Юлин Алексей Викторович
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Юлин Алексей Викторович

1.1 Введение

1.2 Черенковское излучение солитонов в двумерных плоских волноводах

1.3 Излучение солитонов в двухуровневых оптических системах , , , ,

1.4 Черенковское излучение солитонов в периодических системах , , , ,

1.5 Резонансное излучение солитонов в системах связанных оптических резонаторов

1.6 Резонансное излучение солитонов высшего порядка

1.7 Динамика связанных состояний солитонов при наличии черепковского резонанса

1.8 Резонансное излучение солитонов в режиме осцилляций Блоха

1.9 Заключение к первой главе

2 Резонансное рассеяние дисперсионных волн на оптических соли-тонах

2.1 Введение

2.2 Резонансное рассеяние дисперсионных волн на ярких солитонах в оптоволокне с керровской нелинейностью и дисперсией высших порядков

2.3 Экспериментальное исследование фазовонезависимого рассеяния дисперсионных волн на солитонах

2.4 Экспериментальное исследование фазовозависимого рассеяния дисперсионных волн на солитонах

2.5 Режим сильной зависимости параметров резонансного рассеяния от интенсивности солитопа

2.6 Рассеяние дисперсионных волн на осциллирующих солитонах , , , ,

2.7 Рассеяние дисперсионных волн на темных солитонах

2.8 Рассеяние дисперсионных волн на солитонах в системах с сильной связью между фотонами и электронными возбуждениями

2.9 Заключение ко второй главе

3 Влияние излучения и рассеяния волн на динамику солитонов

3.1 Введение

3.2 Теория возмущений для резонансного излучения солитонов

3.3 Квазичастичное описание динамики солитонов с учетом поля излучения

3.4 Взаимодействие солитонов с излучением на частоте близкой к че-ренковекому резонансу

3.5 Оптический обратный эффект Черепкова

3.6 Заключение к третьей главе

4 Рассеяние и захват дисперсионных волн на двух и более солитонах

312

4.1 Введение

4.2 Рассеяние и захват дисперсионных волн на последовательностях солитонов

4.3 Влияние рассеяния излучения на динамику солитонов

4.4 Влияние резонансного захвата излучения на генерацию суперконтинуума

4.5 Взаимодействие между гэп-солитонами, возникающее из-за каскадного рассеяния резонансных волн

4.6 Заключение к четвертой главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Тексты публикаций

Реферат

Общая характеристика

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансное взаимодействие квазилинейных волн с солитонами в нелинейных световодах»

Актуальность темы.

Уединенные волны были впервые описаны в 1834 году, когда Джон Скотт Рассел пронаблюдал и описал распространение уединенной волны [1], то есть соли-тона, по поверхности воды в канале. Им было отмечено удивительное свойство наблюдаемой волны: она распространялась без изменения ее формы, В конце девятнадцатого века в работах Буссинеска, Рэлея, Кортевега и де Фриза было дано теоретическое объяснение наблюдениям Рассела, Второй всплеск интереса к со.ш-тонным волнам начался во второй половине шестидесятых годов двадцатого века, когда начала бурно развиваться теория интегрируемых нелинейных уравнений, В 1965 году Забужекий и Краскал [2] показали, что решение уравнения Кортевега - де Фриза в виде уединенной волны обладает удивительным свойством: такие волны упруго взаимодействуют друг с другом и после взаимодействия полностью восстанавливают свою форму. Именно тогда в научную лексику был введен термин "солитон". Два года спустя, в 1967 году, Гарднером, Грином, Краскалом и Мну рой [3,4] была показана связь уравнения Кортевега - де Фриза с линейным уравнением Шредингера что легло в основу метода обратной задачи рассеяния. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Лакса [5], а в 1971 году Захаров и Шабат показали, что аналогичный метод применим и к нелинейному уравнению Шредингера [6].

Солитонные решения были найдены для большого числа нелинейных уравне-

ний в частных производных (уравнение Кортевега - де Фриза, уравнение Бюргер-са, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение синус-Гордон), описывающих процессы различной физической природы. Интегрируемые уравнения применяются, например, для описания волн на поверхности воды, волн в плазме, распространения света в средах с керровской нелинейностью и в двухуровневых средах, динамики джозефсоновских контактов и многого другого.

Следует отметить, что любое нарушение интегрируемости приводит к тому, что солитопы начинают взаимодействовать между собой, обмениваясь энергиями, Однако, если поправки, нарушающие интегрируемость, малы, то уединенные волны в таких неинтегрируемых задачах сохраняют большую устойчивость к различным возмущениям. Благодаря этому концепция солитопов оказалась чрезвычайно полезной для исследования широкого класса физических систем. Заметим, что впоследствии термин "солитон" начал употребляться в более широком значении, обозначая не только локализованные решения интегрируемых уравнений, В частности, локализованные решения уравнений с диссипацией и накачкой получили название диссипативных солитонов. Классическим примером таких дие-сипативных солитонов являются открытые Розановым и соавторами солитоны в биетабильных оптических системах [7,8], например, в лазерах с насыщающимся поглотителем [9,10],

Концепция солитонов нашла применение в описании очень широкого ряда физических явлений, В качестве примеров можно привести вихри Абрикосова, которые сыграли ключевую роль в понимании того как меняются свойства сверхпроводника втоого рода при помещении его в магнитное поле [11, 12], Заслуги Абрикосова в этой области были отмечены Нобелевской премией по физике 1999 года (совместно с В, Гинзбургом), Другим примером солитопа являются джозеф-соповские вихри в длинных Джозефсоновских контактах (двух сверхпроводников, разделенных областью слабой связи, допускающей туннелирование куперовских пар из одного сверхпроводника в другой [13], Нелинейные вихри были также ак-

тивно исследуются в таких физических системах как атомные и поляритонные конденсаты Бозе-Эйнштейна [14].

Другим большим разделом физики, где нашли применение солитоны, является гидродинамика. Как отмечалось выше, изучение солитонов началось с открытия уединенной волны, распространяющейся на поверхности воды. Впоследствии было показано, что такая волна описывается уравнением Кортевега - Де Фриза и, в двумерном случае, уравнением Кадомцева-Петвиашвили, Другой тип уединенных волн на поверхности воды описывается нелинейным уравнением Шрёдингера и в настоящее ведутся активное исследования аномально высоких волн на поверхности океана (rogue waves). Одной из гипотез, объясняющих их возникновение, является предположение, что такие волны являются уединенными волнами [15-19], В качестве таких локализованных волн могут выступать бризер Ахмедиева, гол in он Кузнецова-Ма и солитон Перегрина,

Еще одним классическим примером является физика плазмы, где распространение электромагнитных волн (в частности ленгмюровских) тоже описывается в рамках нелинейного уравнения Шрёдингера, Применение теории солитонов позволило объяснить наблюдаемых экспериментально коллапс ленгмюровских волн [20-22].

Интересно заметить, что математическое описание явлений природы в терминах динамики солитонов в последние несколько десятилетий активно используется не только в физике, но и в других науках, в частности в химии в биологии.

В рамках данной диссертационной работы не ставится цель сделать полный обзор работ по динамике солитонов, но, поскольку диссертация посвящена оптическим солитопам, мы отметим важную роль, которую солитоны играют, например, в лазерах и широкоапертурных оптических резонаторах [23,24] и перейдем к обзору работ, посвященных динамике солитонов в нелинейных световодах.

Солитонный режим распространения импульсов играет чрезвычайно большую роль при распространении мощных и коротких импульсов в оптоволокнах и оп-

и

тических волноводах других типов. Едва ли не основной моделью для описания распространения света в оптоволокнах является нелинейное уравнение Шредин-гера и, следовательно, можно ожидать, что достаточно мощный импульс, распространяющийся в оптоволокне с аномальной дисперсией и фокусирующей нелинейностью (или при нормальной дисперсией и дефокусирующей нелинейностью), должен после распространения на некоторую характерную длину трансформироваться в солитон. Активное исследование солитонов в нелинейных оптоволокнах началось с пионерских работ [25,26]

Квазичастичный подход, когда оптический солитон, распространяющийся в волокне, рассматривался как объект, который может быть охарактеризован набором параметров, в частности, интенсивностью и скоростью, которые каким-либо образом меняются под воздействием возмущений, был сформулирован в работах [27-31] , Подробный обзор работ по солитоппой динамике, включая солптоны в оптоволокнах, описываемых нелинейным уравнением Шредингера, опубликован в [32].

В восьмидесятые-девяностые годы двадцатого века появились первые работы по исследованию резонансного излучения солитонов [33-36], В научной литературе тех лет имеется большое число работ по генерации оптического суперконтинуума, в том числе и сверхкороткими пульсами, смотри обзорные статьи [37-39], Но особенно большой интерес к исследованию таких эффектов появился после работ, показавших эффективность генерации оптического суперекоптипуума мощными импульсами, распространяющимися в сильнонелинейных фотонно-криеталличееких оптоволокнах [40]. Большое внимание научного сообщества к генерации оптического суперконтинуума обусловлено, в том числе, и практической значимостью этого эффекта. Например, когерентное излучение с широким спектром может использоваться в индустрии коммуникаций или в спектроскопии. Также когерентное оптическое излучение шириной больше октавы нашло применение в метрологии, где с помощью частотных гребенок удалось получить чрезвычайно стабильные

стандарты частоты, что было отмечено Нобелевской премией 2005 года (Рой Гло-бер, Джон Холл и Теодор Хенш),

В процессе исследования генерации суперконтинуума еверкороткими импульсами стало понятно, что динамика солитонов, в том числе распад исходного импульса на последовательность солитонов и остаточное излучение малой интенсивности [41] играет очень большую роль в генерации новых частот. Не менее, а быть может и более важным оказалось понять процессы, происходящие после формирования солитонов, В первую очередь следует упомянуть, конечно же, черенковское излучение, которое обычно вносит большой вклад в формирование длинноволновой области спектра оптического суперконтинуума. Но не менее важным оказались и процессы каскадного перерассеяния излучения на солитонах, В частности, в работе [42] было дано объяснение, почему часть спектральных линий спектра смещаются в короотковолновую область спектра при увеличении длины оптоволокна, В результате за последние годы появилось большое количество работ, посвященных различным аспектам взаимодействия дисперсионного излучения и ярких, и темных солитонов. Материалы, вошедшие в настоящую диссертацию, посвящены резонансному излучению и процессам четырехволнового смешения дисперсионных волн и солитонов различных типов.

Степень разработанности темы. В настоящее время большое количество ученых в разных странах работают в области взаимодействия различных солитонов с дисперсионными волнами, и конкуренция между различными группами высока, В частности, одной из актуальных тем, имеющих прямое отношение к обсуждаемым в диссертации вопросам, является излучение осциллирующих солитонов и солитонов, распространяющихся в оптоволокнах с периодически меняющимися параметрами. Такие эффекты изучались как в активных средах [43], так и в различных консервативных системах, например, с модулированными параметрами [44] или в многомодовых оптоволокнах [45-47], Совсем недавно была предложена схема генерации полихроматического спнхротронного излучения солитонами в

оптоволокне [48], В диссертации изучается вопрос об излучении осциллирующих солитопов высшего порядка, солитопов во взаимодействующих волокнах и со. ш-тонов в режиме блоховских осцилляций.

Кроме черенковского излучения ярких солитонов большое внимание исследователей привлекают темные солнтоны и ударные волны, распространяющиеся в оптоволокнах. Первые работы, посвященные этой проблеме, появились во второй половине 90-х годов прошлого века [54], и теоретические и экспериментальные исследования в этой области продолжаются в настоящее время [55-57],

Одним из актуальных направлений развития исследований в области взаимодействия солитонов и дисперсионных волн является динамика таких волновых процессов в кольцевых микрорезонаторах высокой добротности, К настоящему времени в таких системах продемонстрирована генерация частотных гребенок и оптического су пер континуума, в том числе и посредством солитонов с частотой, близкой к частоте нулевой дисперсии [49-53], В диссертации не содержится исследований таких систем, но физика процессов в таких микрорезонаторах имеет непосредственное отношение к вопросам, рассматриваемым в диссертации.

Нелинейные оптоволокна являются исключительно удобными средами для изучения нелинейных оптических эффектов, в частности динамики солитонов. Однако из-за малой нелинейности стекла интенсивность света в таких волноводах должна быть высокой, В то же время для многих применений хотелось бы иметь среды, где нелинейные эффекты наблюдаются при относительно малых мощностях сигналов, К таким средам относятся среды с сильным взаимодействием света и вещества, в том числе поляритонные среды, где осуществлен режим сильной связи фотонов и экеитонных возбуждений в квантовых ямах, В таких системах эффективная нелинейность была на несколько порядков больше нелинейности в кремниевых волноводах. Сильная нелинейность в сочетании с большой дисперсией поляритонных систем позволила пронаблюдать в них формирование солитонов на субмиллиметровых длинах распространения. Впоследствии в таких системах было

теоретически и экспериментально обнаружено черенковское излучение солитонов, распространяющееся в сторону, противоположную направлению распространения солитонов [58], В других работах было показано, что сверхкороткие импульсы в поляритонных системах могут генерировать оптический суперконтинуум [59,60], В представленной диссертации исследован вопрос формирования поляритонных солитонов и показано, что с их помощью возможно осуществить рассеяние нерае-проетраняющихея мод в волноводные моды путем резонансного рассеяния на движущемся солитоне.

Также в диссертации подробно рассмотрено рассеяние дисперсионных волн на ярких и темных солптонах. Другими научными группами также изучался этот вопрос, например, задача о рассеянии на ярком сол итоне была рассмотрена в [61], В дальнейшем эта тематика получила развитие в большом числе работ, подробную библиографию можно найти в цитированных выше обзорах по генерации суперконтинуума, Описанное в диссертации четырехволновое смешение дисперсионных волн и темных солитонов было экспериментально обнаружено в работе [62],

Значительное внимание в диссертации уделено взаимодействию двух и более солитонов в присутствии дисперсионных волн, В диссертации было теоретически показано, что между солптонамп возможен захват излучения и что такой захват приводит к опосредованному дисперсионными волнами взаимодействию солитонов, находящихся на расстоянии много большем их характерного размера, когда прямое взаимодействие между ними невозможно. Экспериментально такой эффект был позднее обнаружен в работе [63], Эффект излучения дисперсионных волн цепочками темных солитонов изучался в работе [64],

По мере исследования динамики солитонов в присутствии дисперсионных волн было понято, что воздействие дисперсионных волн на солптон может изменять его характеристики, в частности, его частоту и, следовательно, скорость распространения, Изменение частоты также меняет интенсивность дисперсионного раеплы-вания и это изменяет пиковую мощность и длительность солитопа [65], В диссерта-

ции такой эффект был впервые предсказан и впоследствии детально исследован с помощью теории возмущений. Кроме этого в диссертации развито квазичастичное описание солитопов, движущихся под воздействием дисперсионных волн и эффекта Рамана, Это позволило, в частности, количественно верно описать как черепковское излучение частично компенсирует рамановский сдвиг частоты солитона. Следует отметить, что в работе [66] было показано, что воздействие дисперсионного излучения накачки может полностью скомпенсировать рамановский сдвиг. Дальнейшее развитие теории квазичастичного описания динамики солитона дало возможность обнаружить эффект синхронизации солитона и дисперсионных волн и воспроизвести в численном моделировании обратный эффект Черенкова, когда энергия из резонансных дисперсионных волн перекачивается в солитоп. Таким образом можно заключить, что представленные в диссертации исследования являются актуальными, соответствуют мировому уровню и хорошо вписываются в современные тенденции развития нелинейной оптики.

Научная проблема, на решение которой направлены изложенные в диссертации исследования, заключается в особенностях резонансных взаимодействий, которые могут иметь место в системах, близких к интегрируемым. Близость системы к интегрируемой обеспечивает высокую устойчивость солитонных импульсов к различным возмущениям, и поэтому концепция солитонов оказывается очень продуктивной для исследования коротких и мощных импульсов, распространяющихся в таких средах, В то же время такие импульсы могут взаимодействовать как между собой, так и с дисперсионными волнами. При этом солитонный характер импульсов существенно меняет характер резонансных взаимодействий, например, четырехволнового смешения, протекающих в таких системах. Наличие резонансных взаимодействий приводит к необходимости учитывать их при анализе поведения солитонов, несмотря на то, что мощность дисперсионных волн много меньше характерных мощностей солитонных импульсов. Как показано в диссертации, резонансные взаимодействия приводят не только к генерации новых ча-

стот, в частности частотных гребенок, но и к сложной динамике самих солитонов. Например, солитонные импульсы могут притягиваться друг к другу на дистанциях много больших их характерного размера. Такое взаимодействие возможно благодаря каскадному перерассеянию волн, запертых между двумя солптонамп. Процессы такого рода оказывают сильное влияние на распространение оптических волн в нелинейных волноводах, в частности на генерацию оптического суперконтинуума, Комплексному исследованию подобных явлений и посвящена настоящая диссертация.

Целью работы является развитие теории резонансного взаимодействия уединенных волн (солитонов) с дисперсионными волнами в оптических полноводных системах с дисперсией высших порядков.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1, Постановка задачи и формулирование математической модели, описывающей распространение нелинейных оптических волн в средах с дисперсией,

2, Получение условий резонансного взаимодействия солитонов и дисперсионных волн. Проверка резонансных условий путем сравнения их с результатами численного моделирования исходных нелинейных уравнений в частных производных,

3, Развитие теории возмущений, позволяющей количественно верно определить амплитуду резонансно излучаемых волн, и сравнение результатов, полученных с помощью этой теории и прямого численного моделирования,

4, Развитие теории возмущений, позволяющей описать динамику солптонных импульсов путем вывода уравнений для параметров солптона, медленно меняющихся по траектории распространения (квазичастичное приближение),

5, Численное и аналитическое исследование динамики солитонов под воздействием резонансных дисперсионных волн

6, Исследование влияния резонансных взаимодействий солитонов и дисперсионных волн на генерацию оптического суперконтинуума в нелинейных опто-волокнах при распространении в них фемтосекундных импульсов,

7, Применение полученных результатов для объяснения экспериментально наблюдаемой совместной динамики солитонов и дисперсионных волн.

Методы исследования использованные в процессе работы над диссертацией, включают в себя такие методы исследования нелинейных волн как теорию возмущений, в частности, ассимптотические методы в сочетании с методами численного моделирования систем типа обобщенного нелинейного уравнения Шрёдингера, уравнений Максвелл а-Блоха и других уравнений, описывающих динамику нелинейных волн.

Научная новизна диссертационной работы состоит в детальном исследовании взаимодействия локализованных волн с дисперсионными волнами в нелинейных оптоволокнах с дисперсией высших порядков, В работе получены условия резонансного (черенковского) излучения солитонов в планарных волноводах, солитонов в периодических системах и осциллирующих оптических солитонов в различных волноведущих системах. Также в диссертационной работе численно и аналитически исследован режим резонансного четырехволнового смешения дисперсионных волн с солптонамп. Развитая теория позволила количественно верно описать процессы компенсации рамановского сдвига частоты солитонного импульса резонансным излучением и синхронизацию солитонного импульса с дисперсионной волной накачки малой интенсивности, В рамках исследований, вошедших в диссертационную работу, был исследован процесс захвата дисперсионных волн между солитопами и показано, что этот эффект может приводить к взаимодействия солитонов на дистанциях, много больших их характерного размера. Показано, что эффекты резонансного взаимодействия солитонов с дисперсионными

волнами позволяют объяснить возникновения ряда спектральных линий в процессе генерации оптического суперконтинуума. Часть теоретических результатов, вошедших в данную диссертацию, была подтверждена экспериментальными работами, в которых автор диссертации непосредственного участия не принимал. Все изложенные в диссертации результаты являются новыми и востребованными в области резонансных нелинейных взаимодей- ствий между оптическими солитопами и дисперсионными волнами.

Теоретическая и практическая значимость работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, носят фундаментальный характер, показывают универсальность резонансных взаимодействий оптических солптонов с дисперсионными волнами и позволяют объяснить наблюдаемое в экспериментах резонансное рассеяние дисперсионных волн на солитонах в оптических волноводах с дисперсией высших порядков, В диссертации впервые объяснен целый ряд эффектов, возникающих в таких системах. Развитая в диссертации теория возмущений позволяет с хорошей точностью описать динамику солитонов под воздействием дисперсионных волн, С помощью развитой теории возмущений показано, что солитоп может быть синхронизован с резонансными дисперсионными волнами. Важным эффектом, рассмотренным в диссертации, является захват дисперсионных волн между солптоанмп и вызванное этим взаимодействие между солитопами на расстоянии, много большем их характерного размера. Развитые подходы могут быть применены для анализа не только оптических волн, но и волн в других средах, например, волн на поверхности воды или микроволн в плазме. Основным практическим применением полученных результатов является их использование для понимания и оптимизации процессов, протекающих при генерации оптического суперконтинуума, В частности, полученные результаты позволяют оценить влияние дисперсионных волн на динамику солитонов и на смещение спектральных линий оптического суперконтинуума. Предложенный механизм синхронизации со-литонных импульсов с дисперсионными волнами малой интенсивности может быть

использован для стабилизации волокно-оптических импульсных лазеров. Положения, выносимые на защиту:

1, Распространение солитонов высокого порядка и солитонных комплексов в оптических волноводах с дисперсией высших порядков сопровождается резонансным излучением, спектр которого имеет вид частотной гребенки. Полученные резонансные условия сводятся к фазовому синхронизму между пространственно-временными гармониками солитона и линейными модами волновода. Резонансное излучение может приводить к дестабилизации связанного состояния солитонов,

2, Движение солитонов в периодических структурах (Брэгговских солитонов) неизбежно приводит к резонансному излучению, которое может быть интерпретировано как черепковское излучение блоховских волн. Интенсивность резонансного излучения экспоненциально убывает с уменьшением скорости брэгговских солитонов. Может быть проведена аналогия между излучением движущихся брэгговских солитонов и переходным излучением и излучением Смита-Парсела,

3, В оптических полноводных системах с дисперсией квазилинейные волны могут испытывать резонансное рассеяние на мощных оптических импульсах из-за четырехволнового смешения солитонов и дисперсионных волн. Рассеяние может быть разделено на два класса, в зависимости от того, зависит ли фаза рассеянной волны от фазы солитона. Вследствие резонансного рассеяния в спектре распространяющегося в волноводе излучения появляются новые резонансные линий и происходит изменение параметров (энергии и несущей частоты) солнтонного импульса,

4, Эффект резонансного четырехволнового смешения с дисперсионными волнами наблюдается для широкого класса солитонов, в частности для осциллирующих солитонов и темных солитонов в обобщенном уравнении Шрёдингера,

для солитонов самоиндуцированной прозрачности в двухуровневых средах и для гэп-солитонов в поляритонных системах. Особенностью резонансного четырехволнового смешения осциллирующих солитонов и дисперсионных волн является генерация оптической гребенки и снижение эффективного коэффициента отражения дисперсионных волн от солптона,

5, Со.не!он. распространяющийся в волноводе с дисперсией высших порядков, может быть синхронизован с квазилинейной волной, частота которой связана с частотой солитона условием черенковского синхронизма. Явление синхронизации позволяет контролировать и стабилизировать параметры уединенной оптической волны. Благодаря эффекту синхронизации возможна резонансная перекачка энергии из квазилинейного излучения в уединенную волну (обратный оптический эффект Черепкова),

6, В случае слабого взаимодействия солитона с резонансным излучением динамика солитона количественно верно описывается с помощью развитой в диссертации асимптотической теории, основанной на квазичастичном подходе, В рамках такого приближения солитон характеризуется медленно меняющимися параметрами (частотой, фазой и энергией), для которых в рамках адиабатического подхода выводятся обыкновенные дифференциальные уравнения,

7, При наличии дисперсии высших порядков четырехволновое смешение может приводить к эффективному отражению дисперсионных волн от солитонов, что, в свою очередь, делает возможным захват дисперсионных волн между солитонами. Оптические солитопы взаимодействуют друг с другом посредством перерассеяния резонансных волн малой интенсивности, захваченных между солитонами. При этом эффективная дистанция такого взаимодействия может быть много больше характерного размера солитонов и определяется длиной затухания линейных волн. Такой механизм взаимодей-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Юлин Алексей Викторович, 2020 год

Список литературы

[1] J.S. Russell, Report of the committee on waves, Reports of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, 417496 (1838).

[2] N.J. Zabusky and M.D. Kruskal, Phvs. Rev. Lett, 15, 240 (1965).

[3] C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Phvs. Rev. lett, 19, 1095 (1967).

[4] C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Comm. Pure Appl. Math, 27, 97 (1974).

[5] P.D. Lax, Comm. Pure Appl. Math. 21, 467 (1968).

[6] B.E. Захаров, A.B. Шабат, ЖЭТФ, 61, 118 (1971).

[7] H.H. Розанов, Г.В. Ходова, Опт. и спектр. 65, 1375 (1988).

[8] N.N. Rosanov, A.V.Fedorov, G.V. Khodova, Phvs. Status Solidi B, 150, 545 (1988).

[9] H.H. Розанов, C.B. Федоров, Опт. и спектр. 72, 1394 (1992).

[10] S.V. Fedorov, G.V. Khodova, N.N. Rosanov, Proc. SPIE 1840, 208 (1991).

[11] A.A. Абрикосов, ЖЭТФ, Т. 32, 1442 (1957).

[12] M. Тиикхам, Введение в сверхпроводимость, Под ред. К. К. Лихарева, Москва: Атомиздат, (1980).

[13] К.К. Лихарев, Введение в динамику джозефеоновеких переходов, Москва: Наука, (1985).

[14] Exeiton Polaritons in Microcavities: New Frontiers, Editors: Sanvitto, Daniele, Timofeev, Vladislav (Eds,), Springer, (2012),

[15] K.B. Dvsthe and K. Trulsen, Phvs. Ser. T82, 48 (1999).

[16] K.L. Henderson, D.H. Peregrine, and J.W. Dold, Wave Motion 29, 341 (1999).

[17] N. Akhmediev, J.M. Soto-Crespo, and A. Ankiewiez, Phvs. Lett. A 373, 2137 (2009).

[18] V.I. Shrira and Y.V. Geogjaev, J. Eng. Math. 67, 11 (2010).

[19] A.E. Osborne, Nonlinear Ocean Waves and the Inverse Scattering Transform (Academic Press, San Diego (2010).

[20] В.И. Таланов, Письма ЖЭТФ, Т. 2, № 5, 218 (1965).

[21] В.Е. Захаров, ЖЭТФ, Т. 62, № 5, 1745 (1972).

[22] В.Е. Захаров, "Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн в кн.: Основы физики плазмы, т. 2, М,: Энергоатомиздат (1984).

[23] С.К. Турицын, Н.Н. Розанов, II.А. Яруткина, А.Е. Веднякова, С.В. Фёдоров, О.В. Штырина, М.П. Федорук, Диееипативные еолитоны в волоконных лазерах, УФН, 186, 713 (2016).

[24] К. Staliunas, V. Sánchez-Morcillo, "Transverse Patterns in nonlinear optical resonators Springer-Verlag, (2003).

[25] A. Hasegawa, and F. Tappert, Appl. Phvs. Lett. 23, 142 (1973).

[26] L.F. Mollenauer, E.H. Stolen, and J.P. Gordon, Phvs. Rev. Lett. 45, 1095 (1980).

[27] D.J. Каир, and A.C. Newell, Proe. Royal Soe. Of London A 361, 413 (1978).

[28] K.A. Gorshkov, and L.A. Ostrovskv, Phvsiea D 3, 428 (1981).

[29] L. Mollenauer, and J. Gordon, Solitons in Optical Fibers: Fundamentals and Applications, Academic Press (2006).

[30] G.P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 4th ed. (Academic Press) (2007).

[31] Yu.S. Kivshar, G.P. Agrawal, Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals, Academic Press, (2003).

[32] Yu.S. Kivshar, and B.A. Malomed, Rev. Mod. Phvs. 61, 763 (1989).

[33] P.K.A. Wai, C.R. Menvuk, Y.C. Lee, H.H. Chen, Opt. Lett., 11, 464 (1986).

[34] P.K.A. Wai, H.H. Chen, and Y.C. Lee, Phvs. Rev. A 41, 426 (1990).

[35] V.I. Karpman, Phvs. Rev. E 47, 2073 (1993).

[36] N. Akhmediev, and M. Karlsson, Phvs. Rev. A 51, 2602 (1995).

[37] A.M. Желтиков, УФН, 174, 73 (2004).

[38] J.M. Dudley, G. Gentv, and S. Coen, Rev. Mod. Phvs. 78, 1135 (2006).

[39] D.V. Skrvabin and A.V. Gorbach, Rev. Mod. Phvs.6 82, 1287 (2010).

[40] J.K. Ranka, R.S. Windeler, and A.J. Stentz, Opt. Lett. 25, 25 (2000).

[41] R. Driben, B.A. Malomed, A.V. Yulin, and D.V. Skrvabin, Phvs. Rev. A 87(6), 063808 (2013).

[42] A.V. Gorbach, D.V. Skrvabin, Nature Photonics 1 (11), 653 (2007).

[43] S.W.Y. Kodama, M. Romagnoli and M. Midrio, Opt. Lett. 19, 165 (1994).

[44] M. Conforti, S. Trillo, A. Mussot, and A. Kudlinski, Sci. Rep. 5, 9433 (2015).

[45] L.G. Wright, S.Wabnitz, D.N, Christodoulides, and F.W.Wise, Phvs. Rev. Lett. 115, 223902 (2015).

[46] K. Krupa, A. Tonello, A. Barthélémy, V. Coudere, B. M, Shalabv, A. Bendahmane, G.Millot, and S.Wabnitz, Phvs. Rev.Lett. 116, 183901 (2016).

[47] C. Brie, I. Babushkin, U. Morgner, and A. Demirean, Phvs. Rev. Lett. 118, 163901 (2017).

[48] L. Zhang, X. Zhang, D. Pierangeli, Y. Li, D. Fan, C. Conti, Optics express 26 (11), 14710 (2018).

[49] M.R.E. Lamont, Y. Okawaehi, and A.L. Gaeta, Opt. Lett. 38, 3478 (2013).

[50] S. Coen, H.G. Randle, T. Sylvestre, and M. Erkintalo, Opt. Lett. 38, 37 (2013).

[51] Y. Okawaehi, M.R.E. Lamont, K. Luke, D.O. Carvalho, M.Yu.M. Lipson, and A.L. Gaeta, Opt. Lett. 39, 3535 (2014).

[52] C. Milian and D.V. Skrvabin, Opt. Express 22, 3732 (2014).

[53] A. Villois, D.V. Skrvabin, Optics Express 27 (5), 7098 (2019).

[54] V.V. Afanasjev, Y.S. Kivshar, and C.R. Menvuk, Opt. Lett. 21, 1975 (1996).

[55] C. Milian, D.V. Skrvabin, and A. Ferrando, Opt. Lett. 34, 2096 (2009).

[56] M. Conforti, F. Baronio, and S. Trillo, Phvs. Rev. A 89, 013807 (2014).

[57] S. Trillo, M. Conforti, Shaping Light in Nonlinear Optical Fibers, Editors Christophe Finot and Sonia Boscolo, 325 (2017).

[58] D.V. Skrvabin, Y.V. Kartashov, O.A. Egorov, M. Sich, J.K. Chana, L.E. Tapia Rodriguez, P.M. Walker, E. Clarke, B. Rovall, M.S. Skolnick, D.N. Krizhanovskii, Nature communications 8 (1), 1554 (2017).

[59] P.M. Walker, C.E. Whittaker, D.V. Skrvabin, E. Caneellieri, B. Rovall, M. Sieh, L Farrer, D.A. Ritchie, M.S. Skolnick and D.N. Krizhanovskii, Light: Science & Applications 8 (1), 6 (2019).

[60] O.A. Egorov, D.V. Skrvabin, Optics express, 26 (18), 24003 (2018).

[61] T.G. Philbin, C. Kuklewicz, S. Robertson, S. Hill, F. Kiyiig, U. Leonhardt, Science Vol. 319, Issue 5868, 1367 (2008).

[62] T.T. Marest, C. Mas Arabi, M. Conforti, A. Mussot, C. Milian, D.V. Skrvabin, and A. Kudlinski, Optics Express 26 (18), 23480 (2018).

[63] S.F. Wang, A. Mussot, M. Conforti, X.L. Zeng, A. Kudlinski, Optics Letters 40 (14), 3320 (2016).

[64] T. Marest, C. Mas Arabi, M. Conforti, A. Mussot, C. Milian, D.V. Skrvabin, and A. Kudlinski, Optics Letters 41 (11), 2454 (2016).

[65] A. Demircan, Sh. Amiranashvili, and G. Steinmever, Phvs, Rev. Lett., 106(16), 163901 (2011).

[66] S. Pickartz, U. Bandelow, and Sh. Amiranashvili, Optics Letters, 42, 7, 1416 (2017).

[67] D.V. Skrvabin, F. Luan, J.C. Knight, and P.St.J. Russell, Science 301, 1705 (2003).

[68] S.L. MaCall and E.L. Hahn, Phvs. Rev. Lett. 18 908, (1967).

[69] S.L. MaCall and E.L.Hahn Phvs. Rev. 183, 457 (1969).

[70] G.L. Lamb Jr, Rev. Mod. Phvs. 43, 99 (1971).

[71] D.E. Chang, V. Vuletic and M.D. Lukin, Nat. Photon. 8, 685 (2014).

[72] N.V. Corzo, B. Gouraud, A. Chandra, A. Goban, A.S. Sheremet, D.V. Kuprivanov, J. Laurat and B. Large, Phvs. Rev. Lett., 117, 133603 (2016).

[73] H.L. Sinrensen, J,-B,Beguin, K.W. Kluge, I. Iakoupov, A.S, Siurensen, J.H. Muller, E.S. Polzik and J. Appel, Phys. Rev. Lett. 117, 133604 (2016)

[74] V.E. Zakharov, and A.B. Shabat, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 61, 118 (1971).

[75] A.I. Maimistov and E A. Manvkin, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 85, 1177 (1983).

[76] N. Masataka, Y. Eiiehi and K. Hirokazu, Phys. Rev. A, 44, 5973 (1991).

[77] C.M. de Sterke, B.J. Eggleton, J.E. Sipe, Bragg Solitons: Theory and Experiments, In: Trillo S,, Torruellas W. (eds) Spatial Solitons. Springer Series in Optical Sciences, vol 82. Springer, Berlin, Heidelberg (2001)

[78] V.V. Konotop and M. Salerno, Phys. Rev. A 65, 021602 (2002).

[79] Jianke Yang, Phys. Rev. Lett. 91, 143903 (2003).

[80] G.L. Alfimov, E.V. Medvedeva, and D.E. Pelinovskv, Phys. Rev. Lett. 112, 054103 (2014).

[81] G.L. Alfimov and E.V. Medvedeva, Phys. Rev. E 84, 056606 (2011).

[82] Q. Lin, J. Zhang, G. Piredda, R.W. Boyd, P.M. Fauchet, G.P. Agrawal, Appl. Phys. Lett. 91, 021111 (2007).

[83] H.K. Tsang, Y. Liu, Sei. Technol., 23, 064007 (2008).

[84] T. Vallaitis, S. Bogatscher, L. Alloatti, P. Dumon, R. Baets, M.L. Scimeca, I. Biaggio, F. Diederich, C. Koos, W. Freude, J. Leuthold, Opt. Express, 17, 17357 (2009).

[85] M.R. Sheherbakov, D.N. Neshev, B. Hopkins, A.S. Shorokhov, I. Staude, E.V. Melik-Gaykazvan, M. Decker, A.A. Ezhov, A.E. Miroshnichenko, I. Brener, A.A. Fedvanin, Yu.S. Kivshar, Nano Lett., 14, 6488 (2014).

[86] S, Makarov, S, Kudryashov, I. Mukhin, A. Mozharov, V, Milichko, A, Krasnok, P. Belov, Nano Lett., 15, 6187 (2015).

[87] J. Satsuma and N. Yajima, Suppl. Frog. Theor, Phys. 55, 284 (1974)

[88] N. Akhmediev and A. Ankiewiez, Phys. Rev. Lett. 70, 2395 (1993).

[89] J.M. Soto-Crespo and N. Akhmediev, Phys. Rev. E 48, 4710 (1993).

[90] N. Akhmediev and J.M. Soto-Crespo, Phys. Rev. E 49, 4519 (1994).

[91] Y.S. Kivshar and B.A. Malomed, Opt. Lett. 14, 1365 (1989).

[92] F.K. Abdullaev, R. Abrarov, and S. Darmanvan, Opt. Lett. 14, 131 (1989).

[93] N.F. Smyth and A.L. Worthy, J. Opt. Soe. Am. B 14, 2610 (1997).

[94] B.A. Umarov, F.K. Abdullaev, and M.R.B. Wahiddin, Opt. Commun. 162, 340 (1999).

[95] F. Bloeh, Z. Phys. 52, 555 (1928).

[96] C. Zener, Proe. R. Soe. A 145, 523 (1934).

[97] J. Feldmann, K. Leo, J. Shah, D.B.A. Miller, J.E. Cunningham, S. Sehmitt-Rink, T. Meier, G. von Plessen, A. Sehulze, and P. Thomas, Phys. Rev. B 46, 7252 (1992).

[98] C. Wasehke, H.G. Roskos, R. Sehwedler, K. Leo, H. Kurz, and K. Kn,hler, Phys. Rev. Lett. 70, 3319 (1993).

[99] M.B. Dahan, E. Peik, J. Reiehel, Y. Castin, and C. Salomon, Phys. Rev. Lett. 76, 4508 (1996).

[100] U. Pesehel, T. Pertseh, and F. Lederer, Opt. Lett. 23, 1701 (1998).

[101] Y.V. Bludov, V.V. Konotop, and M. Salerno, EPL (Europhys. Lett.) 87, 20004 (2009).

[102] M. Salerno, V.V. Konotop, and Y.V. Bludov, Phys. Rev. Lett. 101, 30405 (2008).

[103] Y.V. Bludov, V.V. Konotop, and M. Salerno, EPL (Europhys. Lett.) 93, 30003 (2011).

[104] C. Gaul, R.P.A. Lima, E. Duaz, C.A. Muller, and F. Domeguez-Adame, Phys Rev. Lett. 102, 255303 (2009).

[105] Y.V. Bludov, V.V. Konotop, and M. Salerno, J. Phys. B 42, 105302 (2009).

[106] M.J. Ablowitz, and J.F. Ladik, J. Math. Phys. 17, 1011 (1976).

[107] M. Brusehi, D. Levi, and O. Ragniseo, Nuovo Cimento. Soe. Ital, Fis,, A 53, 21 (1979).

[108] V.V. Konotop, V. V., O.A. Chubvkalo, and 1. V6zquez, Phys. Rev. E 48, 563 (1993).

[109] Y. S. Kivshar and B. Luther-Davies, Phys. Rep. 298, 81 (1998).

[110] V. V. Afanasjev, Y. S. Kivshar, and C. R. Menvuk, Opt. Lett. 21, 1975 (1996).

[111] A. Mahalingam and K. Porsezian, Phys. Rev. E 64, 046608 (2001).

[112] C. Milian, D. V. Skrvabin, and A. Ferrando, Opt. Lett. 34, 2096 (2009).

[113] M. Conforti, F. Baronio, and S. Trillo, Phys. Rev. A 89, 013807, (2014).

[114] V.I. Karpman, Phys. Rev. E 62, 5678 (2000).

[115] V.I. Karpman, Phys. Ser., T 82, 44 (1999).

[116] R. Driben, F. Mitsehke, and N. Zhavoronkov, Opt. Express 18, 25993 (2010).

[117] R. Driben and I.V. Babushkin, Opt. Lett. 37, 5157 (2012).

[118] E. Driben and N. Zhavoronkov, Opt. Express 18, 16733 (2010).

[119] E. Driben, B.A. Malomed, A.V. Yulin, and D.V. Skrvabin, Phvs. Eev. A, 87, 063808 (2013).

[120] K. Smith and L.F. Mollenauer, Opt. Lett. 14, 1284 (1989).

[121] D. Turaev, A.G. Vladimirov, and S. Zelik, Phvs. Eev. Lett. 108, 263906 (2012).

[122] J.K. Jang, M. Erkintalo, S.G. Murdoch, and S. Coen, Nat. Photon. 7, 657 (2013).

Приложение А (обязательное)

Тексты публикаций

Transition Radiation by Matter-Wave Solitons in Optical Lattices

A. V. Yulin, D. V Skryabin, and P. St. J. Russell

Department of Physics, University of Bath, Bath BA2 7AY, United Kingdom (Received 17 July 2003; published 23 December 2003)

We demonstrate that matter-wave solitary pulses formed from Bose condensed atoms moving inside optical lattices continuously radiate dispersive matter waves with prescribed momentum. Our analytical results for the radiation parameters and the soliton decay rate are found to be in excellent agreement with numerical modeling performed for experimentally relevant parameters.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.91.260402

Recent observations of matter-wave solitons [1,2] have clearly been among the most breaking achievements in the burgeoning field of Bose-Einstein condensation of dilute atomic gases. Balance between the spatial dispersion of matter waves and repulsive or attractive interatomic interactions ensures the existence of dark [1] or bright [2] solitons, respectively. Dispersion of the atomic condensates can, however, be reversed by embedding the condensate into a periodic potential created by standing light waves, i.e., optical lattice [3-5]. The idea of changing the dispersion sign and of the possible observation of the bright matter-wave solitons in the condensates with repulsive interatomic interaction has been around for a while, see [6] and references therein, and more theoretical results have been produced recently, see, e.g., [7-9], in the view of the rapid maturing of the experimental techniques [3-5]. The concept of the dispersion control by periodic potentials is also well-known in solid-state physics [10] and a very active topic of research in nonlinear optics; see, e.g., [11].

To understand the initial motivation which leads to the results described below, it is instructive to recall the effect of the transition radiation known from classical electrodynamics [12]. Transition radiation is a continuous emission of electromagnetic waves by a charged particle moving with a constant velocity in a spatially inhomoge-neous medium. This radiation is emitted because the field created by the particle has different characteristics in different parts of the medium. When the particle moves, the field reorganizes itself continuously and shakes off some of its parts in the form of radiation. We expect that similar phenomenon should take place with matter-wave solitons in optical lattices.

In order to change the dispersion sign of matter waves forming the initially resting one-dimensional packet embedded into the optical lattice, one needs to position it in momentum space somewhere between the inflexion point of the energy momentum, i.e., dispersion, characteristic and the edge of the Brillouin zone; see Fig. 1(a) [13]. Only exactly at the edge of the zone does the group velocity go to zero. Solitons with a spread of quasimomenta centered at the edge will therefore be the only resting bright solitons in the condensates with repulsive interatomic

PACS numbers: 03.75.Kk, 05.45.Yv, 42.50.Vk

interaction. Our primary interest below is, however, moving solitons. Once a solitonic wave packet moves through the periodic potential one can expect that its structure will not be able to instantly readjust itself to perfectly fit the conditions that the local density maxima are positioned at the center of the local potential minima. Thus, by analogy with electromagnetic transition radiation, we expect that the moving soliton will continuously shake off some of its pieces emitting dispersive matter waves.

We start our analysis from the Gross-Pitaevskii (GP) equation describing evolution of the macroscopic wave function of the zero-temperature Bose-Einstein condensate (BEC) interacting with off-resonant standing light wave. We assume that the condensate is tightly confined by the external harmonic potential along the Y and Z directions having the trap frequencies = X 400 s"1 and that any deviations of the potential along the X axis from the sin2klX produced by the intensity of the standing laser field with wave number kl can be disregarded. We take for our estimates that kl = 2^/ 800 nm"1 and consider BEC made of 87Rb atoms with a two-body scattering length a ' 5.4 X 10"9 m. The characteristic transverse width of this BEC is then given by w = y/h/mwY) ' 0.5 ¡m. Assuming that the condensate profile along the Y, Z directions is given by the lowest mode of the harmonic potential, we can derive the one-dimensional GP equation, which describes dynamics of

FIG. 1. (a) Energy-momentum diagram for the linear matter waves in optical lattice: n = 0 Brillouin zone is shown. (b) Dependence of the radiation quasimomentum, kr, from the soliton quasimomentum, ks. The full diagonal line in (b) corresponds to kr = ks. Dots in (b) mark (ks, kr) pairs measured from the modeling of Eq. (1). Dashed vertical lines in (a) and (b) mark the ±k0 points with e" = 0. 3 = 0.33.

260402-1 0031-9007/03 /91(26)/260402(4)$20.00

© 2003 The American Physical Society

260402-1

the X dependent part of the full wave function. The dimensionless normalized form of this equation is [8]

= —dlfi — ß^ cos2x +

(1)

Here the dimensionless time t and spatial coordinate x are measured, respectively, in units of T0 = 2m/{kk2) '5 X 10—5 s and 1/ki ' 0.13 fim. The meaning of the dimensionless parameter ¡3 is easily inferred from the expression for the lattice potential in the physical units, which is taken as 4@Ersiri2klX, where Er = h2k2 /{2m) ' h X 20 kHz is the recoil energy. To estimate the number of atoms N in the condensate we introduce the effective area in the {Y, Z) plane, Aeff = 2nw2 ' 1.5 ^m2, and the atom density n ' 1014 cm"3. Then N = J\$\2dx X A2effktn2/3/ {8v\a\) ' 4 X 103 X /\$\2dx.

We proceed by expanding $ over the Bloch functions, b{x, k) [10]: ${x, t) = j dk${k, t)b{x, k). Here b{x, k) are eigenfunctions of the operator L = + ¡3 cos2x, such that Lb = — e{k)b, where k is the quasimomentum introduced as b{x, k) = g{x, k)e'xk [10], e{k) is the energy of the noninteracting, i.e., linear, matter waves, and g{x, k) is the function with the spatial period it. The first allowed, first forbidden (gap) and a small part of the second allowed energy bands are shown in the energy-momentum plot in Fig. 1(a).

Choosing k = ks 2 [—1, 1], we expand g{x, k) in a Taylor series around k = ks and demonstrate that

i/j(x, t) = e sXGsA{x, t).

(2)

Here, A{x, t) = jdk~{k, t)e'{k k^x and Gs is the linear differential operator: Gs ^Y.1=0{1/n\)dlg{x,ks){—idx)n. Similarly L$ can be represented as

Lijj = —eik<xGs£s[ — idx]A(x, t),

(3)

where £s[—idx] = H^U/ml)e(ks){—idx)m is the energy operator. Subscript''s" refers to quantities and functions calculated for k = ks.

After substitution of Eqs. (2) and (3) into Eq. (1), we then replace Gs with its first order approximation

g{x, ks) = gs and Es with ¿2s = €s — it's@x — 1/2e"@2x.

Here e's and e's are, respectively, group velocity and group velocity dispersion of matter waves. Assuming smallness of the nonlinearity and averaging the resulting equation over gs we derive the renowned nonlinear Schrodinger JNLS) equation idtA = E2sA + as\A\2A, where as = Jdx\gs\A. Below we are interested in the bright solitons with es belonging to the first allowed energy band. These are given by As = Rs(g) exp{—iKt — iest}, where

RsH) =J—sech

I sech{ 'if—

i = x — e'st, (4)

sgnK = sgnas = — sgnes', and k ^ 0 is the nonlinearity induced energy shift. Details of the derivation of the NLS equation from Eq. (1) have been previously published using the method of multiple scales [14]. Approxima-

tions made above and in [14] imply that $ has a sufficiently narrow spread of quasimomenta around k = ks. However, the approach introduced here is readily adaptable to give an access to the small amplitude corrections having quasimomenta detuned far from ks; see Eqs. (8) and (9) below. Note here that mobile envelope solitons (4) are very different in their properties from practically immobile solitons occupying primarily one or few lattice sites and considered, e.g., in [8].

To introduce the effect studied and explained in this work, we first present the results of numerical modeling of Eq. (1) with initial conditions in the form gs{x)Rs{x)e'ksX for values of ks 2 {k0, 1], e"{k0) = 0, ensuring that the effective mass, 1/es', is negative; see Fig. 1(a). Taking ks = 1, i.e., fixing soliton parameters at the point corresponding to the zero of the group velocity, we observe formation of the ideal solitary pulse [7]. The Fourier spectrum of this solution contains series of the equidistant peaks, the location of which is determined by the spectrum of the corresponding Bloch function b{x, ks = 1). Note that the wave numbers q, parametrizing the Fourier transform of $, $ = J dq"~{q)e'qx, are linked with quasimomenta k as q = k ± 2n. Here and below n = 0, 1, 2,... numbers the Brillouin zones. For values of ks ± 1 we have observed the quasisolitonic pulses, which, while traveling, leave behind the trail of small amplitude radiation, Fig. 2(a). The radiation effect becomes noticeably stronger for ks ! k0. Spectra of the radiating solitons have a distinct peak, see Fig. 2(b), which is absent in the spectra of the ideal resting solitons. T he overall results of the extensive series of numerical experiments unambiguously indicate that solitary pulses

0.1 >

0.05

0.(03 10.0015

-795 x -785

Radiation

«J

(a)

Soliton

-2000-1000 0 1000 2000 x[l/k units]

2.5 1 2 I1'5

1 &0.5

CA

0

Soliton^ (b)

\ Radiation \\

1 1

-2 0 2 wave number, q [k units]

wave number, q [k. units!

FIG. 2. Results of the direct numerical modeling of Eq. (1). (a),(c) Square roots of the atomic density as functions of x. The inset in (a) shows fine details of the spatial profile of the radiation. (b),(d) Corresponding Fourier spectra. (a) and (b) are obtained for the initial solitonic wave packet with ks = 0.87 and k = 0.01. (c) and (d) are obtained for the initial Gaussian wave packets with the zero central momentum and lattice moving with velocity 2ks = 1.74. Integration time t = 700 corresponds to 0.035 s. The physical number of particles in the soliton shown in (a) is '103, its velocity is 3 X 10~3 m/s, and width at the half height is ' 4 /xm.

0.85 0.88 0.91 quasi-momentum, k [k units]

(b)

/ i / wy 0 ON. o\ ff-*

300 400 500 t

0.9

0.89

0.88.*"

0.87

250 500 750 1000 t

FIG. 3. (a) Logarithm of the particle transfer rate from the solitonic to the radiation part of the wave function as a function of the soliton quasimomentum for k = 0.01 and 0.006. The dashed vertical line marks the e" = 0 point. (b) Temporal evolution of the normalized number of particles Nrad in the radiation component of the field (left axis) and corresponding dynamics of the soliton quasimomentum (right axis). Nrad is calculated as the integral of \\ over the tail behind the soliton. The estimate for the physical number of particles in the radiation tail is given by 3 X 103Nrad. The inset shows the soliton decay rate y as a function of t: solid line, numerical modeling; dots, theoretical results.

moving through the optical lattice continuously emit radiation with certain spectrally localized quasimomenta. By analogy with the electromagnetic case we term this radiation as transition radiation of matter waves.

The initial conditions used above in the form of the sech envelope superimposed on the Bloch function gs(x)eiksX are difficult, though probably not impossible to prepare in the real experiments. However, current experimental techniques allow straightforward preparation of the Gaussian matter wave packets with spectrum centered around the zero quasimomentum and setting lattices in motion. The lattice moving with velocity 2ks will then effectively shift the central momentum of the wave packet to ks. 2ks equals to the group velocity of the free, i.e., without the lattice, matter waves with quasimomentum ks. In turn, the backward scattering of matter waves from the moving lattice is expected to create the second strong and other peaks in the spectrum of the wave packet. The results of modeling of Eq. (1) with moving potential cos2(x — 2kst) and initial conditions in the form of the Gaussian packet are shown in Figs. 2(c) and 2(d). Taking into account a shift of the axes, one can see that these results are in remarkable agreement with those obtained using the solitonic initial conditions; see Figs. 2(a) and 2(b).

To understand and give an analytical interpretation of the observed radiation we develop a perturbative approach, allowing us to predict quasimomenta and the amplitude of the emitted wave and, thereby, allowing an estimate of the decay rate of a solitary pulse. To proceed we form the ansatz

$ = i, t) + '(t, x),

(5)

where the first term approximates the solitonic part of the wave function, >ps = gs(x)As(g, t)eiksX, and the second one is an arbitrary perturbation. Substituting (5) into (1) and assuming that \p\ is small we find that evolution of p is

governed by

id' + Lp — 2\^s\2p — ifip* = S(x, t),

(6)

where S(x, t) = — idt^s — L>ps + \>ps\2^s is the source term, which is different from zero because tps is not an exact solution of Eq. (1).

The structure of the radiation tail observed in the numerical modeling corresponds to the spatially extended lattice eigenmode. The natural mechanism for excitation of a selected eigenmode from the continuum is the energy and wave-number resonance with one Fourier component of the source term S. The resonance condition ensures that there exists a lattice mode which is always in phase and therefore interferes constructively with one Fourier component of the source term. The latter can be represented in the form S = eiksX—ie't—iKtYjjhj(x)fj(g), where the sum is taken over all the terms appearing on the right-hand side after substitution of the explicit expression for the soliton and hj(x) are some functions with a period of it. Replacing fj(g) through their Fourier integrals fj(g) = J dQf j(Q)eiQ and recalling that g = x — e'st, one can easily find that the lattice modes satisfying the resonance condition are those which have quasimomenta k = kr obeying the condition e(kr) = k + es + e'sQr. Qr is the detuning of the wave number of the resonant wave qr = kr ± 2n from the soliton quasimomentum ks; i.e., Qr = kr ± 2n — ks. Using that e(kr) = e(qr) the resonance condition can be rewritten in the form

e(qr) = k + €s + (qr - ks)e's.

(7)

The geometrical meaning of Eq. (7) is clear. The right-hand side of (7) equals the energy of the Fourier component of the soliton (4), while its left-hand side is simply the energy of the linear dispersive wave. Equation (7) can be solved for qr by plotting the tangent line to the periodically extended dispersion characteristic at the point e = es. Then one should make the parallel up-shift of this tangent by k and find points of the intersection with the dispersion characteristic itself. Topologically it is self-evident that only resting solitons do not produce any real roots of Eq. (7) and do not radiate into the lattice modes. For e's ± 0 Eq. (7) has infinitely many real roots corresponding to different values of n. Root qr for n = 0, i.e., when qr = kr, as a function of ks is shown in Fig. 1(b). Dots on this graph show (kr, ks) pairs measured from the direct numerical modeling of Eq. (1). Modeling of Eq. (1) has not revealed any resonances in the Brillouin zones with n ± 0. It indicates that coupling into the higherorder resonances is negligible, primarily because spectral strength of the source term is very weak for the values of Qr with n ± 0. Note that the secondary less intense spectral peaks, seen in Figs. 2(b) and 2(d), are described by the peaks in the Fourier spectra of b(x, kr,s) and are given by qr,s = kr,s ± 2n. At the same time, multiple roots of Eq. (7) are not linked by any simple algebraic expression.

In order to calculate the amplitude of the radiated wave we form the ansatz

/ ' ipsix, i, t) + gr(x)e

W(t, i),

(8)

where subscript ''r" refers to the quantities calculated at k = kr. Substituting (8) into Eq. (1) we take into account that Lgr(x)eikrXW(t, Ç) ' —gr(x)eikrX£rW(£, t). The latter expression can be easily inferred by comparison with Eq. (3). Assuming that 8ks ^ \ks — kr\ ^ 2, where Sks is the width of the soliton in the quasi-momentum space and 2 is the width of the Brillouin zone, and disregarding terms nonlinear in W, one gets the averaged equation for the amplitude of the radiation field: ? = idtW + LrW, where ? = (P, —P*)T, W = W, W*)T, P = eW'^MS, — £2?}Rs + «3\R?\2R?], Dr\—id^\ = —er + ie'sdç + £r\—id

L T =

-D r + a2\Rs\2 a1R2se2ii(ks—kr) -a\R2se2ii(kr—ks) D * — a*2\Rs\2

(9)

a1 = f dxg?g*2, a2 = 2 ¡dxg2^gr\2, a3 = as Idxgsg*r —

Idx\gs\2gsg*r, and a4 = /dxgsg*.

The approximate solution we obtain for W is

W{t, i) ' —iC{&U£) — ®[££ + £t{e's — er)]}. (10)

Here £ = sgn{e'r — e's), © is the Heaviside function and C is the amplitude, which cannot be generally expressed in a closed analytical form and, therefore, was calculated numerically. C characterizes the spectral intensity of the source term for k = kr. Heaviside functions in Eq. (10) describe the tail of the radiation field having the length t\e'r — es\. The tail starts at the soliton (i = 0) and extends beyond (e'r < e's) or in front (e'r > e's) of it.

S ubstituting the ansatz (8) into the conservation law dt f dx\$\2 = 0, we can estimate the rate, y, of the transfer of particles from the soliton to the radiation: y = C2\e's — er\. The plot of log10y vs ks for two values of k is shown in Fig. 3(a). Naturally, the rate of transfer increases, when detuning \kr — ks\ decreases for ks ! k0; see Fig. 1(b). This is because for ks ! k0 the lattice mode is resonant with the most intense central part of the soliton spectrum. To the contrary, \kr — ks\ increases for ks ! 1, and the radiation amplitude decays almost exponentially. For example, semianalytical Eq. (10) gives that the initial condition with ks = 0.87 used to generate Fig. 2 has the initial decay rate 3 X 104 particles per second. Providing that this rate is constant in time, the soliton lifetime would be ' 0.033 s. However, radiation carries away both density and momentum from the solitonic part of the field. Therefore solitonic parameters k and ks are, in fact, functions of time. In particular, we have found that the radiation results in convergence of the soliton quasimomentum to some limit value, which is always closer to 1 than the initial ks. Thus, radiation emission slows the soliton. For example, taking initial conditions with k = 0.01 and k. = 0.87 we have observed that over

0.05 s (1000 dimensionless time units) ks shifts to '0.887, see Fig. 3(b), and k to ' 0.006. The relatively small increase of ks is accompanied by the decrease of the soliton decay rate, which drops, accordingly with plots shown in Fig. 3(a), from 3 X 104 to ' 102 particles per second. Correspondingly, the estimated soliton lifetime increases dramatically to ' 10 s. Figure 3(b) also shows the numerically computed slowdown in the growth of the number of particles in the radiation component of the condensate. The soliton decay rate inferred from these data and corresponding theoretical points calculated for instant values of the soliton parameters k and ks are in good agreement, see inset in Fig. 3(b), which confirms the validity of our theoretical method.

In summary, we have reported transition radiation by matter-wave solitons moving through the optical lattice. This effect extends the family of the already known and related quantum radiative effects, such as sound emission by precessing quantized vortices [15] and by dark matter-wave solitons oscillating in a harmonic trap [16]. Note also that our main conclusions and techniques can be used to predict and analyze radiation by optical solitons in nonlinear photonic crystals [11].

[1]

S. Burger et al., Phys. Rev. Lett. 83, 5198 (1999); J. Denschlag et al., Science 287, 97 (2000). K.E. Strecker et al., Nature (London) 417, 150 (2002); L. Khaykovich et al., Science 296, 1290 (2002). B. P. Anderson and M. A. Kasevich, Science 282, 1686 (1998); F.S. Cataliotti et al., Science 293, 843 (2001); M. Greiner et al., Nature (London) 419, 51 (2002); C. Fort et al., Phys. Rev. Lett. 90, 140405 (2003). S. Burger et al., Phys. Rev. Lett. 86, 4447 (2001); O. Morsch et al., Phys. Rev. Lett. 87, 140402 (2001); J. H. Denschlag et al., J. Phys. B 35, 3095 (2002). [5] B. Eiermann et al., Phys. Rev. Lett. 91, 060402 (2003). O. Zobay et al., Phys. Rev. A 59, 643 (1998); P. Meystre, Atom Optics (Springer, New York, 2001), Chap. 11. K. M. Hilligs0e, M. K. Oberthaler, and K. P. Marzlin, Phys. Rev. A 66, 063605 (2002). P. J. Y. Louis et al., Phys. Rev. A 67, 013602 (2003). R. G. Scott et al., Phys. Rev. Lett. 90, 110404 (2003). [10] N.W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Saunders College, New York, 1976). Nonlinear Photonic Crystals, edited by R. E. Slusher and B. J. Eggleton (Springer, Berlin, 2003). L. D. Landau and E. M. Lifshits, Electrodynamics of Continuous Media (Nauka, Moscow, 1992), Chap. 116. Experimental control of the matter-wave dispersion using this technique has been recently demonstrated in Ref. [5].

VV Konotop and M. Salerno, Phys. Rev. A 65, 021602 (2002).

L. M. Pismen, Vortices in Nonlinear Fields (Clarendon Press, Oxford, 1999), Chap. 4. N. G. Parker et al., Phys. Rev. Lett. 90, 220401 (2003).

[2] [3]

[4]

[6]

[7]

[8] [9]

[11] [12]

[13]

[14]

[15]

[16]

October 15, 2004 / Vol. 29, No. 20 / OPTICS LETTERS 2411

Four-wave mixing of linear waves and solitons in fibers with

higher-order dispersion

A. V. Yulin, D. V. Skryabin, and P. St. J. Russell

Department of Physics, University of Bath, Bath BA2 7AY, UK Received April 16, 2004

We derive phase-matching conditions for four-wave mixing between solitons and linear waves in optical fibers with arbitrary dispersion and demonstrate resonant excitation of new spectral components via this process. © 2004 Optical Society of America OCIS codes: 190.4370, 190.5530.

The use of any optical system, including fibers, for frequency conversion relies on the ability to satisfy so-called phase-matching conditions, which depend critically on the dispersive properties of the system, and on strong enough nonlinearity to allow a reduction in the threshold pump power. The recent surge of interest in theoretical and experimental studies of optical parametric processes in photonic crystal fibers1-8 (PCFs) is related to their high nonlinearities, achieved by reduction in core size,9 and to the possibility of dispersion control by suitable design of the fiber core and photonic crystal cladding.2

Here we study parametric generation of new frequencies resulting from four-wave mixing (FWM) of solitons and continuous waves (cw's) in optical fibers under conditions in which the effects of higher-order dispersion are important, i.e., when pulses are short and (or) the frequency dependence of the group-velocity dispersion (GVD) is steep. Interest in this problem arises from the fact that the Fourier components of a soliton are dispersionless, while freely propagating cw's are strongly dispersive. Therefore the phase-matching conditions are expected to be satisfied at frequencies different from those generated by the mixing of cw's. Addressing this issue is timely because of the availability of strongly nonlinear small-core PCFs,7,9 which decrease the threshold for observing parametric processes by 1 to 2 orders of magnitude compared with that for conventional fibers: gconven ~ 10"3 W"1 m"1, gPCF ~ 10"2-10"1 W"1 m"1, where g is the nonlinear fiber parameter.10 Strongly nonlinear PCFs have already been used to demonstrate the coupling of solitons and cw radiation in supercontinuum genera-tion1,6; strong red and blue resonant, or Cherenkov, radiation from solitons6-8; and cancellation of the soliton self-frequency shift by the spectral recoil.7,8 Note that it is natural to expect that FWM of solitons and cw radiation is one of the many nonlinear processes contributing to the shape of the supercontinuum spectra.

The problem of mixing solitons and cw's using an ideal nonlinear Schrodinger equation, i.e., with higher-order dispersion disregarded, was analyzed in a number of papers in the past.11-16 In these cases several exact analytical solutions for a soliton sitting on the cw background were found15,16 and different perturbation techniques were suggested.11-14 However,

none of these studies addressed the issue of generation of new frequencies by mixing solitons and cw light, which is the central focus of this Letter.

We assume that the dynamics of the dimensionless amplitude A(t, z) of the fundamental fiber mode is governed by the generalized nonlinear Schrodinger equation2

R(t')\A(t - t',

- t, z)\2dt'. (1)

The dispersion operator in Eq. (1) is given by

M

D(idt)- X

m=2

r2-m

m!\b2(vo)\

^(v0)(iôt)m,

(2)

where t is the pulse duration and v0 is the reference frequency. To avoid any ambiguity in the analytical expressions we adopt the convention of using parentheses (...) to indicate the arguments of functions or operators and [...], {...} for all other purposes. R(t) is the response function of the material, which includes instantaneous Kerr and delayed Raman nonlinearities:

R (t) = [1 - U]D(t) + Ua©(t)exp(-t/t2)sin(t/ti). (3)

Here D(t) and Q(t) are, respectively, delta and Heavi-side functions, a = [t1/t2 1 t2/t1]/t2, U = 0.18, t1 = 12.2 fs/t, and t2 = 32 fs/t.10 t is the time in the reference frame moving with group velocity v0 = v(v0) and measured in units of t: t = [T - z/v0]/t, where T is the physical time. z = Z/Lgvd, where Z is the distance along the fiber and Lgvd = t2/lb2(v0)l is the GVD length. Field amplitude A is measured in units of [yLGVD]-1/2N, where N2 is the ratio of the peak power of the pump pulse to the peak power of a fundamental soliton with duration t.

The dispersive properties of the soliton and the linear cw are crucial for the following, so we now discuss them in detail. Looking for a linear wave solution of Eq. (1) in the form of A ~ exp(iDxz - i8xt), we find Dx = D(dx). In what follows subscript x can take any convenient notation. For instance, Ss and <5cw correspond to the frequency shifts of the soliton and the cw pump, respectively. The physical wave number of a linear wave with frequency [v0 1 Sx]/t is given by kx = [k(v0) 1 Dx]/Lgvd. Plotting kx - k(v) versus Sx one simply recovers the dispersion profile of the fiber. The single-soliton solutions

0146-9592/04/202411-03$15.00/0 © 2004 Optical Society of America

m

2412 OPTICS LETTERS / Vol. 29, No. 20 / October 15, 2004

A = F( j)exp(-idst + i[Ds 1 <?]z), F (j) = [2g]1/2sech(j/r)

(4)

satisfy Eq. (1) if all derivatives of function F(j) higher than the second are disregarded, U = 0, and Ds" < 0, i.e., the GVD at the soliton frequency is anomalous. Here j = t - Ds0z, r = [-Ds"/(2g)]1/2, 0 denotes the derivative with respect to d, and q > 0 is the additional shift of the soliton wave number. Representing F( j) through the inverse transform of its Fourier image F(d), i.e., F = JddF exp(i j[ds - d]), one finds that the wave number of a Fourier component of the soliton with frequency [v0 + dx]/t is given by ks/x = k(vo) + {Ds + q - [ds - dx]Ds'}/Lgvd. The linear dependence of ks/x on dx reflects the fact that GVD is suppressed for solitonic pulses. A line representing the dispersion characteristic of the solitons, i.e., a graph of ks/x - k(v0) versus dx, is obtained by taking the tangent to curve kx - k(v0) at point dx = ds and by implementing a parallel shift of this tangent up by q.

We seek solutions of Eq. (1) in the form

A = {F(j) + g(z, j)}exp(iz[Ds + q] - idst),

j = t - zDs(5) Assuming that g is a quasi-linear wave, we derive

ip = dzg - iD(idj)g - i2F2g - iF2g*,

(6)

where D(idj) = —q — Ds — iDs'dj - D(idj 1 ds) and p = [D (idj 1 ds) — Ds — iDs 'dj 1 1/2DS "dj 2]F. Now we split g into two parts:

g = w exp(if) + C,

f = zD(dcw - ds) + j[ds - dcw]. (7)

The w term in Eqs. (7) is the weak cw pump, which obeys Eq. (6) with p = F = 0. The C term is the field generated through the mixing of the soliton and cw pump and by the soliton itself. Seeking C in the form C = CP + C+ exp[izD(dcw - ds)] + C-* exp[-jzD(dcw - ds)], we find that Cp obeys

p

*

P J

= {ôz + iL}

CP

L cp

(8)

and are governed by the system of coupled equations

iF2w exp(i j[ds - dcw])

2 -1

where

L =

-D(idj) - 2F2

F2

= {dz + iL + iWK}

-F2

D (-idj ) 1 2F2

Ci C-

(9)

Wv = D(dcw - ds)

1 0 L0 1

Equation (8) does not depend on the cw pump, and it is known to describe the emission of nonlocalized

dispersive waves from solitons—so-called resonant or Cherenkov radiation—in fibers with zero GVD points.6 -8,17 -19 This radiation exists because the continuous part of the spectrum of operator L has a zero eigenvalue, which ensures resonance with forcing term p. The operator L 1 produces several resonances, distinct from the Cherenkov one, a situation that to our knowledge was not considered previously. These new resonances are driven by FWM between the soliton and the cw [see the left-hand side in Eq. (9)]. To find continuous spectra of L and L 1 W/V we neglect the F2 terms and look for eigenfunctions in the form Cp ~ exp(ikz 1 i[ds — d] j) and ~ exp(±ikz ± i[ds — d]j), where d/t is the frequency detuning from v0. Assuming that the wave numbers of CP, C± are matched with the wave numbers of the driving terms in Eqs. (8) and (9), i.e., k = 0, we find

q 1 Ds — [ds — d]Ds0 = D(d), (10)

±DCW 7 {q 1 Ds — [ds — dcw]Ds'} 1

{q 1 Ds — [ds — d]Ds'} = D(d). (11)

Equations (10) and (11) are the equations for d. The roots of these equations, which can be easily found graphically, yield the frequencies of the emitted radiation. The right-hand side D(d) is simply the dispersion of linear waves, which is a nonlinear function of d. The left-hand sides are straight lines. Fitting the experimentally measured dispersion characteristics of the fibers usually results in a very high-order polynomial for D(d).27 Here, however, we use the simplest illustrative example, when only the third-order dispersion is included, i.e., D(d) = —d2/2 1 ed3, e = d„b2(vo)/[6r|b2(vo)|]. This model accurately describes regions where the frequency dependence of b2(v) is quasi-linear— typical for telecommunications and PCF fibers.7,8 Figures 1(a) and 1(b) show plots of the right- and left-hand sides of Eqs. (10) and (11). Equation (10) gives the Cherenkov resonance, dCher, which does not depend on the cw pump.6 -8,17 -19 The roots resulting from Eqs. (11), however, are determined by the cw pump. Depending on the value of dcw, Eqs. (11) produce either two or four new roots [see Figs. 1(a) and 1(b)]. Assuming that d = dcw, we find that Eqs. (11) with 1 are satisfied, which means that one of the new roots always coincides with dcw. The locations of the new resonances strongly depend on, and can be controlled by, the frequency of the cw pump. One can understand this better by assuming that dcw = dCher. Then the left-hand sides of Eqs. (10) and (11) become equal, which means that all the resonances in the system are degenerate and coincide with dCher. By deviating dcw from dCher we remove this degeneracy and observe new resonances shown in Figs. 1(a) and 1(b).

The FWM nature of the new resonances becomes clear if we make use of the expressions for the wave numbers of the dispersive waves and the Fourier components of the soliton [see the discussion above and

October 15, 2004 / Vol. 29, No. 20 / OPTICS LETTERS 2413

Fig. 1. (a), (b) Resonance frequencies calculated from Eqs. (10) and (11) and (c), (d) supporting numerical modeling. The straight (curved) lines in (a) and (b) are the left- and right-hand sides of Eqs. (10) and (11). Choosing v0 = 2p X 240 THz and the fiber parameters from Ref. 7, we find b2 = "47 ps2/km and dwb2 = —0.7 ps3/km. (a), (c) Ss = 0, w = 0.1, dcw = "15; (b), (d) Ss = "4, w = 0.3, dcw = "40. Other parameters are t = 170 fs, q = 4, and N = 1.5. For g = 0.05 W"1 m"1 this corresponds to a pulse peak power of 225 W and a cw power of 0.12 W for (c) and 1.2 W for (d). The solid curves in (c) and (d) correspond to U = 0, i.e., the Raman is off, and the dashed curves to U = 0.18, i.e., the Raman is on. The propagation distances are (c) 2.8 m and (d) 16 m. The top axes are marked in wavelength units.

following Eq. (4). in the form

Indeed, Eqs. (11) can be rewritten

6[kcw ks/cw ] 1 ks/rad krad .

(12)

Here krad and kcw are wave numbers of the resonant radiation and the cw pump, and ks/rad, ks/cw are the wave numbers of the Fourier components of the soliton at the frequencies of the resonant radiation and the cw pump. However, mixing of the soliton and the cw pump is qualitatively distinct in nature from the standard FWM, when all the participating fields are cw's.10 Energy and momentum in the case considered above are shared among the cw pump, the emitted radiation, and the soliton as a whole, i.e., among all the Fourier components of the soliton. Therefore conservation of the total field momentum in our case cannot be associated with wave-number matching condition (12) involving only four wave numbers, as can be done in the standard case.10

To confirm our analytical findings we carried out a series of numerical experiments with parameters close to the ones in Ref. 7. Comparing Figs. 1(a) and 1(b) with Figs. 1(c) and 1(d), we can see excellent agreement between our analytical predictions for the resonance frequencies and the frequencies emerging from the modeling of Eq. (1). The efficiency of excitation of the new frequencies strongly depends on the choice of Ss and <5cw relative to each other and to the zero GVD point. This explains why not all the resonances

are observed simultaneously. By changing <5cw, s, we were able to observe all the newly predicted resonances. Theoretical analysis of this problem is possible within the framework of Eqs. (7), and we leave it for future study. The cw powers required for observation of the new FWM resonances are of the order of or less than 1 W (see the Fig. 1 caption).

We have analyzed FWM between solitons and cw pump in fibers with higher-order dispersion and predicted the generation of new frequencies, which can be controlled by tuning the cw pump. Frequency range and power levels required for observing the effects described above are within the easy experimental reach. Therefore, in addition to their fundamental significance, our findings can have important practical implications in the generation of new frequencies and for understanding fine features of broadband supercontinua.

This work is partially supported by the UK Engineering and Physical Sciences Research Council grant GR/S20178/01. A. V. Yulin's e-mail address is [e-mail].

References

1. J. K. Ranka, R. S. Windeler, and A. J. Stentz, Opt. Lett. 25, 25 (2000).

2. W. H. Reeves, D. V. Skryabin, F. Biancalana, J. C. Knight, P. St. J. Russell, F. G. Omenetto, A. Efimov, and A. J. Taylor, Nature 424, 511 (2003).

3. F. Biancalana, D. V. Skryabin, and P. St. J. Russell, Phys. Rev. E 68, 046603 (2003).

4. J. D. Harvey, R. Leonhardt, S. Coen, G. K. L. Wong, J. C. Knight, W. J. Wadsworth, and P. St. J. Russell, Opt. Lett. 28, 2225 (2003).

5. J. M. Dudley, L. Provino, N. Grossard, H. Maillotte, R. S. Windeler, B. J. Eggleton, and S. Coen, J. Opt. Soc. Am. B 19, 765 (2002).

6. J. Herrmann, U. Griebner, N. Zhavoronkov, A. Husakou, D. Nickel, J. C. Knight, W. J. Wadsworth, P. St. J. Russell, and G. Korn, Phys. Rev. Lett. 88, 173901 (2002).

7. D. V. Skryabin, F. Luan, J. C. Knight, and P. St. J. Russell, Science 301, 1705 (2003).

8. F. Biancalana, D. V. Skryabin, and A. V. Yulin, Phys. Rev. E 70, 016615 (2004).

9. V. Finazzi, T. M. Monro, and D. J. Richardson, J. Opt. Soc. Am. B 20, 1427 (2003).

10. G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics (Academic, San Diego, Calif., 2001).

11. A. Hasegawa and Y. Kodama, Opt. Lett. 7, 285 (1982).

12. H. A. Hauss, F. I. Khatri, W. S. Wong, E. P. Ippen, and K. R. Tamura, IEEE J. Quantum Electron. 32, 917 (1996).

13. J. P. Gordon, J. Opt. Soc. Am. B 1, 91 (1992).

14. Y. Kominis and K. Hizanidis, J. Opt. Soc. Am. B 21, 562 (2004).

15. N. Akhmediev and S. Wabnitz, J. Opt. Soc. Am. B 9, 236 (1992).

16. Q. H. Park and H. J. Shin, Phys. Rev. Lett. 82, 4432 (1999).

17. P. K. A. Wai, H. H. Chen, and Y. C. Lee, Phys. Rev. A 41, 426 (1990).

18. V. I. Karpman, Phys. Rev. E 47, 2073 (1993).

19. N. Akhmediev and M. Karlsson, Phys. Rev. A 51, 2602 (1995).

Theory of generation of new frequencies by mixing of solitons and dispersive waves in optical

fibers

D. V. Skryabin* and A. V. Yulin

Department of Physics, University of Bath, Bath BA2 7AY, United Kingdom (Received 7 February 2005; published 20 July 2005)

We develop a theory of the generation of new spectral components in optical fibers pumped with a solitonic pulse and a weak continuous wave (cw). We derive the wave number matching conditions for the above process and present an analytical method of finding the amplitudes of the generated waves. We discuss related effects of the depletion of the cw pump and spectral recoil on the soliton. We also point out examples of the generation of supercontinuum spectra in fibers, where mixing between solitons and dispersive waves plays an important role.

DOI: 10.1103/PhysRevE.72.016619 PACS number(s): 42.81.Dp, 42.65.Ky, 42.65.Tg

I. INTRODUCTION

A powerful laser pulse propagating inside an optical fiber and having significant part of its spectrum experiencing anomalous group velocity dispersion (GVD) usually disintegrates into a mixture of solitons and dispersive waves [1-15]. This process is fertile ground for understanding many fundamental problems in soliton physics including the interaction between solitons and the interaction of solitons with dispersive waves.

The recent rise of interest in the above problems has been fueled by availability of highly nonlinear photonic crystal and tapered fibers with core diameters of the order of and less than 1 ¡m [4-16]. Spectral broadening accompanying complex transformation of the femtosecond optical pulses in such fibers, usually referred to as supercontinuum generation, has attracted significant attention; see, e.g., [5-14]. Photonic crystal fibers (PCF's) have also proved to be useful for efficient conversion of light from the femtosecond solitonic pump pulse into a spectrally narrow band of the so-called Cherenkov or resonant radiation [15-17]. A peculiar mechanism leading to the exponential amplification of the resonant radiation in PCF's has also been discovered [16,17].

Until recently, the theory of Cherenkov radiation [16-22] has remained the only theory which has successfully explained some of the spectral peaks observed in highly nonlinear PCF's pumped with femtosecond pulses [11-16]. However, it has been recently shown theoretically [23] that mixing of a soliton with a weak continuous wave (cw) also leads to the generation of new spectral lines, providing that the higher-order dispersions are included into consideration. Theoretical predictions of Ref. [23] have been used to back some of the experimental measurements reported in Ref. [24]. Spectral measurements and numerical modeling reported in [25,26] have also shown that the interaction of solitons with dispersive waves leads to the generation of new spectral peaks. However, no wave number matching condi-

*Author to whom correspondence should be addressed. Electronic address: [e-mail]; URL: http://staff.bath.ac.uk/ pysdvs

tion, apart from the well-known Cherenkov condition, supporting these observations has been presented in Refs. [25,26].

The aim of this work is to further develop a physical understanding and analytical methods of description of mixing between solitons and dispersive waves in optical fibers. In particular, we present further results centered around the wave number matching condition derived in Ref. [23] and develop an original technique for the calculation of the amplitudes of the waves generated via mixing of solitons and dispersive waves. We describe reactive effects of the radiation on solitons and explain how shapes of the supercon-tinuum spectra calculated for the experimentally viable conditions are affected by the mixing of the solitons and radiation.

II. MODEL

We assume that dynamics of the dimensionless amplitude A(t, z) of the fundamental fiber mode is governed by the generalized nonlinear Schrodinger (NLS) equation (see, e.g., [17,24]

¿A = iD(i¿)A + i|A|2A .

(1)

Here t is dimensionless time and z is the coordinate along the fiber. In what follows, the frequency dependence of A is assumed in the form e~'St, where S is the normalized frequency detuning. D(S) is the properly shifted and normalized frequency dependence of the propagation constant of the fiber mode. All the normalizations made are detailed in Appendix A. For the purposes of the significant part of the paper it suffices to disregard the Raman effect. The role of the latter will be considered in Sec. VIII.

We assume that the fiber is pumped with a solitonic pulse and a weak—i.e., linear—continuous wave (cw), and aim to find the field generated as a result of this process. If

D(S):

2 ,

(2)

then Eq. (1) is completely integrable. In this case mixing of the soliton and cw can result in shifts of the position and the

1539-3755/2005/72(1 )/016619(10)/$23.00

016619-1

©2005 The American Physical Society

phase of the soliton, in small oscillations of the soliton amplitude and in formation of a new eigensolution of the NLS equation in the form of the soliton nesting on the cw pedestal [27-30]. If the soliton under consideration is short and/or the slope of d1sD(S) is sufficiently steep, then the higher-order dispersions become important and the system is far from the integrable limit. In this case the most striking effect resulting from mixing of the solitons and cw's is the generation of new spectrally narrow radiation bands [23].

III. PERTURBATION THEORY: INTRODUCTION

We look for solutions of Eq. (1) in the form A = F(t)eiqz + g(z, t), F = V2q sech(tV2q).

(3)

Fe'qz is an exact soliton solution of Eqs. (1) and (2), and q > 0 is the shift of the soliton wave number. The g term is a superposition of all the dispersive waves in the system; i.e., g includes the cw pump and all the waves generated, when D(S) deviates from Eq. (2). For our purposes below it is sufficient to include the third-order dispersion only—i.e., take D(8) as the third-order polynomial:

D(S) = -- + S3.

(4)

Link of the parameter e with physical quantities is given in Appendix A.

Assuming that g is a linear wave we derive

1 -i

D(iât) - 2 J

Feiqz = dzg - iD(idt)g - i2F2g - iF2g*e

i2qz

(5)

Deviations of D(idt) from ^ tf are retained not only on the left-hand side of Eq. (5), but also on its right-hand sides. This is because, even for | e| < 1, we anticipate the existence of the dispersive waves with such frequency detunings from the soliton that the third-order contribution to the overall dispersion starts to be compatible with or dominant over the second-order one; see [17] for a more detailed discussion.

We assume that g consists of the two parts

g = weiDcwl

w + Dcw = D(SCW).

(6)

The w term in Eq. (6) is the weak cw pump, which obeys Eq. (5) when the soliton field is disregarded—i.e., F=0. Here w is a real amplitude of the cw pump and 8cw is its frequency. The p term is the generated wave. To find the wave number matching conditions it suffices to assume that the cw pump and the soliton are the fixed sources of energy. As we will see below this assumption allows us to make excellent quantitative predictions of the frequencies of the generated waves. Substituting Eq. (6) into Eq. (5) we find

1

D№ - 2J

Feq + i2F2weizDcw-itScw

+ iF2we2iqz-izDcw+itScw

= dzp-iD(iât)p-i2FV- iF2p*e2iqz.

The left-hand side of Eq. (7) consists of the three parts serving as driving for the wave p. The first part of the driving depends on the soliton field only and is proportional to the deviation of the dispersion D(8) from the ideal parabolic form. The second and third parts originate from the mixing of the soliton and cw fields. These terms are linear in the cw amplitude and quadratic in the soliton.

IV. WAVE NUMBER MATCHING CONDITIONS AND RESONANCE FREQUENCIES

A. Analytics

For Eq. (7) to have the dispersive wave solutions, the operator on the right-hand side should have continuum modes, which can be excited by the left-hand side. To find these continuum modes we neglect the F2 terms in the right-hand side and seek ip in the form exp(iD(8)z-iSt). Wave number matchning with the three driving terms in the left-hand side of Eq. (7) is achieved providing

q = D(S, Dcw = D(S, 2q - Dcw = D(S.

(8) (9) (10)

Equation (8) is a well-known condition giving the frequencies of the resonance waves emitted by the soliton in the presence of the higher-order dispersions, so-called Cheren-kov resonances [17-22]. Equations (9) and (10) give new resonances which depend on the cw pump [23]. These resonances are driven by the four-wave mixing (FWM) between the solitons and cw pump (see wF2 terms on the left-hand side of Eq. (7)); therefore, we call them FWM resonances. All three conditions can be written as one equation

q + J{Dcw - q] = D(S), J =-1,0,+ 1.

(11)

The resonance frequencies are found by solving Eqs. (11) for S. It is clear that condition (11) involves four wave numbers: namely, Dcw is the wave number of the cw pump, D(S) on the right-hand side is the wave number of the generated dispersive wave, and q, which occurs twice, is the wave number of the Fourier harmonics of the soliton. The fact that all Fourier harmonics of the soliton have the same wave number originates from our assumption that the reference frequency w0 (see Appendix A) coincides with the soliton central frequency. Relaxing this assumption—i.e., allowing nonzero-frequency detuning in the solitonic part of Eq. (3), as it has been done in Refs. [17,23]—makes calculations more cumbersome, but reveals that the first q in Eq. (11) traces back to the wave number of the soliton at the resonance frequency, ks/rad, and the second q to the wave number of the soliton at the frequency of the cw pump, ks/cw. Thus, in general, Eq. (11) transforms to

kslrad + JiPcw ks/cw] =

'radi