Резонансное поглощение и линейная трансформация электромагнитных волн электронного циклотронного диапазона частот при квазипродольном распространении в магнитоактивной плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Господчиков, Егор Дмитриевич

• Господчиков, Егор Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Господчиков, Егор Дмитриевич

Введение.

Глава I. Циклотронное поглощение электромагнитных волн в плотной магнитоактивной плазме при квазипродольном распространении.

1.1 Дисперсионные свойства холодной магнитоактивной плазмы при квазипродольном распространении волн.

1.2 Дисперсионное уравнение для квазипродольного распространения замедленных электромагнитных волн в магнитоактивной плазме с максвелловским распределением электронов по скоростям.

1.3 Решение приближённого дисперсионного уравнения в предельных случаях

Большие» углы распространения.

Малые углы распространения.

Крылья линии поглощения.

1.4 Численное решение приближённого дисперсионного уравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансное поглощение и линейная трансформация электромагнитных волн электронного циклотронного диапазона частот при квазипродольном распространении в магнитоактивной плазме»

Предметом исследований данной диссертации являются электромагнитные волны электронного циклотронного (ЭЦ) диапазона частот, распространяющиеся в нерелятивистской магнитоактивной плазме под малыми углами к магнитному полю.

Распространение и линейное резонансное поглощение электромагнитных волн электронного циклотронного (ЭЦ) диапазона частот исследуется в течение длительного времени, и основные результаты этих исследований вошли в монографии и учебники (например [1-3]). Интерес к этой проблеме обусловлен как важными прикладными задачами, связанными с высокочастотным нагревом и диагностикой плазмы в магнитных ловушках различной конфигурации, так и возможностью интерпретации широкого круга явлений в лабораторной и космической плазме. Вместе с тем, ряд вопросов до сих пор остался невыясненным. В частности, достаточно большой круг таких вопросов связан с циклотронным нагревом и диагностикой плазмы с плотностью, выше критической Ne>Nc= со2те/(4ле2).

В аксиально-симметричных магнитных ловушках с продольным вводом СВЧ мощности для плазмы с плотностью выше критической, с одной стороны, не существует теоретических запретов на распространения в резонансной области волн, в которых направление вращения вектора электрического поля Е совпадает с направлением вращения электрона в постоянном магнитном поле и которые эффективно поглощается в области циклотронного резонанса (т.н. "правая" или "электронная" поляризация). С другой стороны, известные экспериментальные результаты по ЭЦ нагреву в аксиально-симметричных ловушках позволяют сделать вывод о невысокой эффективности нагрева плазмы с плотностью выше критической [4-6]. Таким образом, существует необходимость в подробном теоретическом исследовании процессов распространения и поглощения волн в характерном для продольного ввода СВЧ излучения в прямую магнитную ловушку случае, когда угол между волновым вектором волны и внешним магнитным полем мал. Подобное исследование осложняется тем, что полученный методом возмущений в пределе плотной плазмы хорошо известный коэффициент циклотронного поглощения медленной моды на первой гармонике [1,7-10] при переходе к строго продольному распространению стремится к бесконечности. В представленной диссертации исследуется ЭЦ поглощение медленных волн в ранее неисследованном диапазоне малых углов распространения, и на базе найденных выражений для коэффициента поглощения с помощью аппарата лучевых траекторий в трёхмерно неоднородной анизотропной среде моделируется распространение и ЭЦ поглощение излучения в аксиально-симметричных магнитных ловушках.

В тороидальных магнитных ловушках центральная область плазменного шнура в тех случаях, когда плотность плазмы превышает критическую, оказывается недоступной для электромагнитных волн, используемых в традиционных схемах ЭЦ-нагрева и диагностики плазмы (таких, как обыкновенная волна на первой ЭЦ-гармонике или необыкновенная волна на второй гармонике) [11]. Одна из возможностей по преодолению указанной трудности связана с использованием электростатических бернштейновских волн, которые свободно распространяются в закритической плазме и эффективно взаимодействуют с плазмой в широком диапазоне циклотронных гармоник. Однако, для электронных бернштейновских волн, существует нижняя граница плотности плазмы, при которой они существуют, и поэтому они не могут быть введены непосредственно из вакуума. В тороидальной плазме электронные бернштейновские волны могут эффективно возбуждаться в процессе О-Х-В трансформации, теоретически предсказанном [12,13] и экспериментально реализованном к настоящему времени на целом ряде установок [14-22]. При О-Х-В схеме нагрева введенная со стороны слабого магнитного поля обыкновенная (О) волна вблизи поверхности критической плотности трансформируется в необыкновенную (X) волну, которая, в свою очередь, в окрестности верхнего гибридного резонанса трансформируется в электронную бернштейновскую (В) волну. Поскольку эффективность Х-В трансформации в современных тороидальных магнитных ловушках всегда близка к единице [12,17], то эффективность всего процесса в основном определяется эффективностью трансформации О-волны в Х-волну (О-Х трансформации).

Большинство ранее полученных теоретических результатов, относящихся к процессам линейной трансформации волн в ЭЦ-диапазоне, были получены в рамках одномерного приближения, в котором предполагалось, что плотность плазмы и магнитное поле изменяются вдоль одного выделенного направления [12,13,23-28]. В указанных работах были найдены коэффициенты О-Х трансформации и законы преобразования проходящих через область трансформации волновых полей. Обзор современных результатов одномерной теории был дан в работе [28]. Важность неодномерных эффектов для трансформации электромагнитных волн в электронные бернштейновские волны вблизи верхнего гибридного резонанса была отмечена довольно давно [29], однако их роль в процессах О-Х трансформации долгое время оставалась неисследованной. В последнее время возникло понимание, что в реальных установках одномерное приближение может оказаться недостаточным и для описания О-Х трансформации [30-32,44]. Например, в [31] было показано, что для сферического токамака MAST ширина области непрозрачности (основной параметр, характеризующий одномерную трансформацию) может варьироваться в пределах размера вводимого в плазму волнового пучка на величину порядка нескольких длин волн вследствие изменения магнитного поля на поверхности трансформации, что приводит к необходимости более точного анализа с учетом эффектов, связанных с неодномерной геометрией области трансформации.

В данной диссертации проводится исследование процесса О-Х трансформации при учете того, что градиенты модуля магнитного поля и плотности плазмы могут быть не сонаправлены. В результате поставлена и решена новая эталонная задача в теории распространения электромагнитных волн в плавнонеоднородных средах, которая может иметь широкую область применения в астрофизических и лабораторных приложениях. Решения этой эталонной задачи демонстрируют ряд принципиально новых свойств по сравнению с приближением плоскослоистой плазмы.

Общей целью изложенных в данной диссертационной работе исследований является развитие теории распространения, резонансного ЭЦ поглощения и линейной трансформации электромагнитных волн в двумерно и трехмерно неоднородной магнитоактивной плазме в условиях, когда угол между волновым вектором волны и внешним магнитным полем мал. Кроме общего теоретического исследования особенностей распространения линейной трансформации и поглощения электромагнитных волн с малыми по сравнению с единицей углами распространения (мы будем называть такое распространение квазипродольным) в данной диссертационной работе приводятся оценки и расчеты для конкретных экспериментальных установок: аксиально-симметричной магнитной ловушки SMIS 37 [6] и сферического токамака MAST [18].

Хотя в данной диссертации в основном рассматриваются вопросы так или иначе связанные с нагревом и диагностикой плазмы в лабораторных установках, однако эти вопросы могут быть важны и вне чисто лабораторных приложений. Так в астрофизической плазме рассматриваемый в диссертации диапазон малых углов распространения также может иметь большое значения для широкого круга задач, от циклотронного излучения различных астрофизических объектов [33,34] и до эффектов «утраивания» радиосигналов в ионосфере [2,35,36].

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы, включающего и работы автора. Общий объем диссертации составляет 131 страницу, включая 29 рисунков и список литературы из 82-х наименований.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Господчиков, Егор Дмитриевич

Заключение

В заключение приведем основные результаты, которые совпадают с положениями, выдвигаемыми на защиту:

1. Исследовано электронное циклотронное (ЭЦ) поглощение медленных волн в плотной магнитоактивной плазме вблизи первой гармоники циклотронной частоты в ранее неисследованном диапазоне углов распространения вблизи продольного распространения. Получено приближённое дисперсионное уравнение для медленных волн с частотой близкой к электронной циклотронной частоте, распространяющихся в плотной магнитоактивной плазме под малыми углами к магнитному полю, отвечающее в предельных случаях, как продольным потенциальным, так и поперечным, существенно непотенциальным волнам. На основе приближенного дисперсионного уравнения найдены показатель преломления и коэффициент циклотронного поглощения медленной моды.

2. В приближении геометрической оптики исследовано распространение и ЭЦ поглощение электромагнитных волн в аксиально-симметричной магнитной ловушке установки SMIS 37 при квазипродольном вводе излучения. Показано, что при плотности плазмы меньшей критической, возможно эффективное циклотронное поглощение в центральной области ловушки; а при плотности плазмы выше критической область ЭЦ резонанса труднодоступна для правополяризованных электромагнитных волн. Это, возможно, объясняет наблюдающееся в экспериментах по ЭЦ разряду в прямых магнитных ловушках существенное снижение эффективности нагрева плазмы при превышении плотностью плазмы критического значения.

3. Предложены способы увеличения эффективности ЭЦ нагрева плазмы с плотностью выше критической в аксиально-симметричной магнитной ловушке: использование расходящегося в области ввода в плазму волнового пучка, использование радиального профиля плотности плазмы с минимумом на оси ловушки и уменьшение неоднородности направления магнитного поля за счёт уменьшения пробочного отношения или переноса области резонанса ближе к центральному сечению ловушки.

4. Развита теория линейной трансформации нормальных волн ЭЦ диапазона частот в двумерно-неоднородной магнитоактивной плазме в окрестности поверхности критической концентрации, основанная на решении новой модельной задачи, в которой, в отличие от традиционной плоскослоистой модели, градиенты плотности плазмы и модуля магнитного поля не предполагаются сонаправленными. Получена эталонная система укороченных волновых уравнений, описывающая распределение волнового поля в окрестности области трансформации при учёте двумерного характера неоднородности среды. Найдено точное аналитическое решение этой системы.

5. Среди решений эталонной системы выделен особый класс, описывающий ограниченные по апертуре волновые пучки, испытывающие полную трансформацию (аналогично оптимальной плоской волне в одномерном приближении). Получено выражение для распределения поля в фазово-модулированном гауссовом пучке с астигматизмом, принадлежащем к этому классу.

6. Обнаружена асимметрия решений эталонной системы относительно изменения направления распространения волновых пучков (в направлении увеличения или уменьшения плотности плазмы), проявляющаяся в том, что, при одном из направлений распространения эффективность трансформации выше, чем при распространении в противоположном направлении. То, какое направление распространения соответствует более эффективной трансформации, зависит от взаимной ориентации магнитного поля и градиентов плотности плазмы и модуля магнитного поля. В условиях тороидальной магнитной ловушки эта асимметрия приводит к тому, что пространственно разделены области, соответсвующие эффективной трансформации при распространении пучка из менее плотной плазмы в более плотную и при распространении из более плотной плазмы в менее плотную.

7. На основе асимптотического представления решений эталонного волнового уравнения в ВКБ области построена процедура пересчёта волновых полей между областями применимости геометрической оптики, разделенными двумерной областью трансформации, где приближение геометрической нарушается. Данная процедура позволяет восстановить распределение полей в прошедшем и отраженном волновых пучках по распределению поля в падающем на область трансформации пучке.

8. Для практически важного случая гауссового распределения волнового поля по апертуре падающего квазиоптического пучка, аналитически исследованы распределения полей в трансформированном и отраженном пучках, а также коэффициенты трансформации и отражения.

Пользуясь приятной возможностью, автор выражает глубокую благодарность своему учителю Евгению Васильевичу Суворову, под чутким руководством которого была выполнена эта диссертационная работа. Автор также признателен своим соавторам и коллегам по работе: О.Б. Смоляковой, совместно с которой были произведены численные эксперименты ставшие поводом для написания первой и основой второй глав диссертации и А.Г. Шалашову, без деятельного участия которого не обходилась ни одна работа автора. Кроме того, автор выражает благодарность всем своим коллегам по отделам №140 и 120, без дружелюбного отношения которых научная деятельность автора была бы менее плодотворной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Господчиков, Егор Дмитриевич, 2007 год

1. Ахиезер А. И., Ахиезер И.А., Половнин Р.В. и др. Электродинамика плазмы. М.: Наука, 1974

2. Гинзбург В. J1. Распространение электромагнитных волн в плазме. М. Наука, 1967

3. Stix Т. Н., The Theory of Plasma Waves. New York. McGraw-Hill, 1962

4. Geller R. Electron Cyclotron resonance Ion Sources and ECR Plasmas. UK. London.: Institute of physics publishing, 1996

5. Geller R. Electron Cyclotron Resonance Sources: Historical Review and Future Prospects. Rev. of Scientific Instruments, 1998. Vol. 69(3). P. 1302-1310

6. Golubev S.V., Zorin V.G., Razin S.V. et al. ECR Ion Sources: Recent Developments!I Proc. of the International workshop "Strong Microwaves in Plasmas", Nizhny Novgorod, 1999. V.l. P.347.

7. Ахиезер А.И. Ахиезер И.А. Половин Р.В. Ситенко А.Г. Степанов К.Н. «Коллективные колебания в плазме», Атомиздат 1975

8. Высокочастотный нагрев плазмы, материалы всесоюзного совещания (Горький, 21-25 июня 1982 года), -Горький, 1983

9. Суворов Е.В. Фрайман А.А.-Изв. ВУЗов. Радиофизика 1977 т.20, №1 с. 67

10. Литвак А.Г., Пермитин Г.В., Суворов Е.В., Фрайман А.А., письма в ЖТФ, 1975 т. 1, №18 с 858.

11. Hoekzema J.A. Electron Cyclotron Waves, Trans. Of Fusion science and technology, vol. 45, NO. 2T, pp. 211-216 2004.

12. J. Preinhalter and V. Kopecky, Penetration of Nigh-frequency waves into a weakly inhomogeneous magnetized plasma at oblique incidence and their transformation to Bernstein modes J. Plasma Phys 10,1 (1973).

13. T. Maekawa, S. Tanaka, Y. Terumichi et al., Electron cyclotron heating in high density toroidal plasmas Phys. Rev. Lett. 40, 1379 (1978).

14. Баранов Ю.Ф., Булыгинский Д.Г., Голант B.E. и др. Исследование электронного циклотронного нагрева плазмы на токомаке ФТ-1// Физика плазмы. 1982. Т.8.вып.4.С.682

15. Laqua H. P., Erckmann V., Hartfufi H. J. et al., Resonant and Nonresonant Electron Cyclotron Heating at Desities above the Plasma Cutoff by O-X-B ModeConversion at the W&-AS Stellarator//1997 Phys. Rev. Lett. Vol.78, P. 3467

16. Laqua H. P., the W7-AS Team, and ECRH Group Electron Bernstein wave heating and emission via the OXB process at W7-AS// Plasma Phys. Contr. Fusion 1999 Vol. 41, P. A273

17. Laqua H.P. Electron Bernstein wave heating and diagnostic. Topical review Plasma Phys. Control. Fusion. 2007 Vol. 49 P. R1-R42

18. R. I. Pinsker et al., in Proc. 14th Topical Conf. on Radio Frequency Power in Plasmas, Oxnard U.S.A., AIP Conf. Proc. 595,350 (2001).

19. G. Taylor et al, in Proc. Nth Topical Conf. on Radio Frequency Power in Plasmas, Oxnard U.S.A., AIP Conf. Proc. 595,282 (2001).

20. V. Shevchenko, Y. Baranov, M. O'Brien, and A. Saveliev, Phys. Rev. Lett. 89, 265005 (2002).

21. A. Pochelon, S. Alberti, G. Arnoux, et al., in Strong Microwaves in Plasmas VI, ed. by A.G. Litvak, Vol.2, Inst. Appl. Phys., RAS, Nizhny Novgorod (2006). P. 421.

22. E. Mjolhus, J. Plasma Phys. 31,7 (1984).

23. M. Д. Токман, Физика плазмы 10,1205 (1985).

24. А. В. Тимофеев, О прохождении электромагнитных колебаний через критическую поверхность, Физика плазмы 26(10), 874-884 (2000).

25. А. В. Тимофеев, Волны в плазме в магнитном поле вблизи критической поверхности УФН 174 (6), 609-637 (2004).

26. Igami, Н. Tanaka, Т. Maekawa, A survey of mode-conversion transparency windows berween external electromagnetic waves and electron Bernstein waves for various plasma slab boundaries Plasma Phys. Control. Fusion 48, 573 (2006)

27. Жаров A.A. // Физика плазмы. 1984.T.10.C.1109

28. А. Д. Пилия, В. И. Федоров, ЖЭТФ, 60 (1), 389 (1971).

29. H. Weitzner, О-Х made conversion in an axisymmetric plasma Phys. Plasmas 11 (3), 866 (2004).

30. А. Ю. Попов, А. Д. Пилия, О-Х трансформация в двумернонеоднородной пдазме в сб. Тез. докл. XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород (2006), ЗАО НТЦ «ПЛАЗМАИОФАН», Москва (2006), с. 71;

31. А.Ю. Попов, А.Д. Пилия, О трансформации нормальных волн вблизи критической поверхности в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью в диапазоне электронных циклотронных частот Физика плазмы, 33(2) С. 119 (2007)

32. Sazonov V.N., Chernomordik V. V. // Astrophys. And space Sci. 1975, V.32. P.355

33. В. В. Железняков, Излучение в астрофизической плазме, Янус-К, Москва 1997.

34. Гинзбург B.JI. О влиянии земного магнитного поля на отражение радиоволн от ионосферы//ЖЭТФ 1943.Т. 7. С. 289

35. Гинзбург В.Л. К теории распространения электромагнитных волн в магнитоактивной среде//ЖЭТФ. 1948. Т.18. С.487

36. Звонков А.В., Тимофеев А.В. Лучевые траектории ЭЦ колебаний в открытых ловушках ФП. 1988. Т.14. С.1270.

37. Е. Д.Господчиков Е.В. Суворов. О циклотронном поглощении электромагнитных волн в плотной плазме при квазипродольном распространении II Известия вузов. Радиофизика. 2005. Т.48(8). С. 641-647

38. E.D. Gospodchikov, A.G. Shalashov, E.V. Suvorov On Influence of 2D Inhomogeneity on Electromagnetic Mode Conversion near the CutOff Surfaces in Magnetized Plasmas!I Plasma Physics and Controlled Fusion. 2006. V. 48. P.869-883

39. А.Г. Шалашов, Е.Д. Господчиков, Е.В. Суворов О структуре волновых полей в области линейного взаимодействия О- и Х- волн в двумерно-неоднородной магнитоактивной плазме II ЖЭТФ. 2006. Т. 130(3), С. 544-572.

40. Е.Д. Господчиков О.Б. Смолякова Е.В. Суворов Лучевые траектории и электронное циклотронное поглощение в аксиально симметричной магнитной ловушке/I Физика Плазмы. 2007. Т. 33(5). С.472-480

41. E.D. Gospodchikov, A.G. Shalashov, and E.V. Suvorov Effects of Two-Dimensional Inhomogeneity in O-X Mode Conversion in Tokamak Plasmas!У Accepted in Fusion Science and Technology, special ECRH&ECE issue, 2007

42. Е.Д. Господчиков, Е.В. Суворов О-Х трансформация в двумерно-неоднородных средах!I Тезисы Докладов XXXII Звенигородской конференции по физике плазмы и У ТС г, Звенигород, 14-18 февраля 2005г

43. E.D. Gospodchikov, E.V.Suvorov. О-Х transformation in two- dimensionally inhomogeneous magnetized plasma/! Abstracts of VI International workshop Strong Microwaves in Plasmas, N.Novgorod, July 25 -August 1,2005, HI4

44. А.Г. Шалашов, Е.Д. Господчиков, Е.В. Суворов О структуре волновых полей в области линейного взаимодействия О- и Х- волн в двумерно-неоднородной магнитоактивной плазме!! Препринт ИПФ РАН №701 Нижний Новгород 2006

45. E. Д. Господчиков, E.B. Суворов. О-Х трансформация в двумерно-неоднородной магнитоактивной плазме!7 Сборник Аннотаций работ 3-я Курчатовская молодёжная научная школа, Москва, 14-16 ноября 2005 года, РНЦ КИ,2005 с 38

46. Е.Д. Господчиков, Е.В. Суворов О-Х трансформация в двумерно-неоднородной магнитоактивной плазмеП Тезисы Докладов XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС г. Звенигород, 13-17 февраля 2006г. ЗАО НТЦ «ПЛАЗМАИОФАН» с.323

47. E.D. Gospodchikov, E.V.Suvorov. О-Х transformation in two-dimensionally inhomogeneous magnetized plasmall Abstracts of 14th joint workshop on electron cyclotron emission and electron cyclotron resonance heating, 2006

48. Е.Д. Господчиков, E.B. Суворов. О-Х трансформация в двумерно-неоднородной магнитоактивной плазме // , XI Нижегородская сессия молодых учёных. Естественнонаучные дисциплины: Тезисы докладов, Н.Новгород:Изд. Гладкова О.В., 2006

49. Е.Д. Господчиков, Е.В. Суворов, А.Г. Шалашов О влиянии двумерной неоднородности на трансформацию электромагнитных волн вблизи критической поверхности в магнитоактивной плазме!'I Тезисы докладов «Волны-2006» С.21, 2006

50. E.V. Suvorov, E.D. Gospodchikov, A.G. Shalashov, O-X transformation in two-dimensionally inhomogeneous magnetized plasma!I Proceedings of 14th joint workshop on electron cyclotron emission and electron cyclotron resonance heating, P.84,2006

51. Железняков B.B., Изв. Вузов. Радиофизика, т. 7 с. 67,1964

52. Sazhin S. Whistler-mode waves in a hot plasma, Cambridge University press, Cambridge

53. Brambilla M. Kinetic Theory of Plasma Waves, Clarendon Press Oxford 1998

54. Тимофеев A.B. Физика плазмы 1992 т. 18 с 407

55. Михайловский А.Б., В сб. Вопросы теории плазмы, вып 3. М. Атомиздат

56. Тимофеев А.В., Звонков А.В. Физика Плазмы, Т.6, С.1219, (1980)

57. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред М.: Наука 1992

58. Шкловский И.С. Астрономический журнал Т.23 С.233 (1946)68. :Железняков В.В. Изв. ВУЗов Радиофизика T.I С.32 1958

59. Железняков В.В. Изв. ВУЗов Радиофизика Т.2 С.858

60. Bernstein I.B. Phys. Rev. V. 109 P. 10 1958

61. В. E. Голант, А. Д. Пилия, УФН 104,413 (1971)

62. A. Yu. Popov, On О-Х mode conversion in a cold magnetized 2-D inhomogeneous plasma in the electron cyclotron frequency range in Proc. of 33 EPS Conference on Plasma Physics and Contr. Nuclear Fusion (Rome, 2006). P5.017.

63. A. Yu. Popov, On O-X mode conversion in a cold magnetized 2D inhomogeneous plasma in the electron cyclotron frequency range, arxiv.org/physics/0606133 (2006)

64. Preinhaelter, V Shevchenko, M. A. Irzak, L. Vahala and G. Vahala ECRH in Spherical Plasmas: O-X-EBW Mode Conversion in MAST J. UKAEA FUS 444 Nov 2000

65. M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of mathematical functions, National Bureau of Standards, New York (1964).

66. H. Bateman and A. Erdelyi, Higher transcendental functions, vol. 2, McGraw-Hill Book Company, New York (1953).

67. E. Т. Уиттакер, Г. H. Ватсон, Курс современного анализа, ч. 2, Гостехиздат, Москва (1934).

68. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М., Теоретическая физика, Т.З Квантовая механика, М:-Наука, 1989

69. М.А. Балакина, А.Г. Шалашов, Е.Д. Господчиков, О.Б.Смолякова, Моделирование О-Х-В трансформации электромагнитного излучения в плазме токомака //Изв. Вузов Радиофизика Т.49 №8 С.886

70. R. A. Cairns, and С. N. Lashmore-Davies, Phys. Plasmas 7 4126 (2000)

71. F. Shevchenko, Y. Baranov, M.O. O'Brien et al., Proceedings of the 13th Join Workshop on Electron Cyclotron Emission and Electron Cyclotron Resonance Heating, 17 20 May, 2004, Nizhny Novgorod, Russia. P. 162 (2005).

72. Арцимович JI.А. Замкнутые плазменные конфигурации, -М. Наука, 1969