Резольвентные пределы квантовой эволюции открытых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Рыжаков, Глеб Владимирович

• Рыжаков, Глеб Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рыжаков, Глеб Владимирович

Введение

1 Сильный резольвентный предел

1.1 Пример сильного резольвентного предела.

1.2 Простой пример резольвентного предела в пространстве Фока

1.3 Сильный резольвентный предел: гамильтониан с коммутирующими коэффициентами.

1.4 Физический пример.

1.5 Предел точечного взаимодействия для гамильтониана с неком-мутирующими коэффициентами.

1.6 Предварительные оценки.

1.7 Резольвентный предел семейства асимптотических решений уравнения Шрёдингера.

1.7.1 Вид предельного разрешающего оператора.

1.7.2 Предельный генератор и квантовое стохастическое дифференциальное уравнение для предельного разрешающего оператора.

1.8 Предел решений уравнения Шрёдингера с гамильтонианом с некоммутирующими коэффициентами в произвольный момент времени.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резольвентные пределы квантовой эволюции открытых систем»

Литературный обзор.

Открытая квантовая система представляет собой квантовую систему, взаимодействующую с классическим или квантовым окружением (резервуаром), имеющим большое или бесконечное число степеней свободы. Примерами открытых систем могут служить кристаллическая структура, отдельный атом или интерферометр, взаимодействующие с электромагнитным излучением или другими внешними полями, переносящими энергию. Важным с точки зрения приложений является случай, когда окружение имеет фиксированную температуру, а квантовая эволюция необратима. Необратимость эволюции открытых квантовых систем может быть связана как с влиянием процессов измерения, так и с диссипацией энергии в резервуаре. Точное решение уравнения описывающего эволюцию открытой системы обычно не известно и поэтому рассматривается более простая эволюция квантовой системы усреднённая по состоянию окружения (редуцированная эволюция). Процедуре усреднения в классическом случае соответствует условное математическому ожиданию, а в квантовом — операция частичного следа. Как в классическом, так и в квантовом случаях, процедура усреднения является ещё одним источником необратимости, причем в квантовом случае результатом частичного усреднения является вполне положительная необратимая динамика.

Одна из первых работ по исследованию редуцированных открытых систем — статья Н.Н.Боголюбова и Н.М.Крылова [1]. В квантовом случае, редуцированная динамика описывается мастер-уравнением (называемым также квантовым кинетическим уравнением) для матрицы плотности или двойственным уравнением для операторов из алгебре наблюдаемых. Общий вид эволюционного уравнения, разрешающий оператор которого — квантовая динамическая полугруппа — равномерно непрерывна и имеет вид вполне положительного отображения, сохраняющего единичный оператор, был описан Г. Линдбладом (G. Lindblad) [2] и, независимо, В.Горини (V. Gorini), А. Кос-саковским (A. Kossakowski) и Е. Ч. Дж. Сударшаном (Е. С. G. Sudarshan) [3]. Решение двойственного уравнения сохраняет след начального состояния. Некоммутативный аналог марковского случайного процесса, естественным образом согласованный с конструкцией квантовой динамической полугруппы, был построен в работе JI. Аккарди (L. Accardi), А. Фриджерио (A. Frigerio) и Ж. Т. Льюиса (J. Т. Lewis) [4]. Немарковская конструкция квантового случайного процесса была предложена в работе [5], позднее появились и другие модели, однако, ни одна из них до настоящего времени не стала канонической.

Производящий оператор непрерывной по норме квантовой динамической полугруппы имеет вид [3], [2]

С(Х) = г[н, X] + £ (v;xv3 - l-v;v3x - ^xv/v^j, (o.i)i' где Я, VjVj £ B(H). Существуют примеры нестандартных генераторов сильно непрерывных полугрупп, структура которых отличается от описанной выше [6]. Однако, для сильно непрерывных полугрупп такая задача в общем случае не решена до сих пор.

Р. Л. Хадсон (R. L. Hudson) и К. Р. Партасарати (К. R. Parthasarathy) [7] развили бозонное и фермионное стохастические исчисления. Ими получены некоммутативные аналоги формулы Ито на основе пары некоомутирующих процессов «квантового броуновского движения» At, А|, подчиняющимся формальному соотношению dAt dA\ = dt. В работе [8] Р. Л. Хадсон и К. Р. Партасарати построили стохастические интегралы неупреждающих функционалов относительно процессов по трём мартингалам: A(t), A^(t), A(t), которые называются, соответственно, процессами уничтожения, рождения и числа частиц. Они построили также квантовую таблицу умножения для стохастических дифференциалов от данных мартингалов. А. С. Холево [9] показал, что алгебра стохастических дифференциалов с такой таблицей умножения изоморфна некоторой алгебре 3x3 матриц. В. П. Белавкин предложил удобное симметричное представления для такой алгебры в [10]. В работе [8] были найдены так же условия существования и единственности квантового стохастического дифференциального уравнения. Важной задачей является нахождение таких условий для случая неограниченных операторов. Некоторые результаты в этом направлении получены, помимо [8], в работах Ж.-JI. Журне [11], А. М. Чеботарёва, А. Фриджерио, Ф. Фаньолы (F. Fagnola) [12] и др. А. С. Холево [13,14] нашёл условия, при которых решение квантового стохастического дифференциального уравнение с помощью вспомогательной предельной процедуры можно предствить в виде хронологической экспоненты. Хронологически упорядоченные экспоненты специального вида рассматривались P. JI. Хадсоном, К. Р. Партасарати, В. фон Вандельфельсом (W. von Waldenfelds) в сборнике [15].

Квантовые стохастические дифференциальные уравнения естественным образом возникают в результате определённых предельных переходов для ряда важных физических задач в фоковском пространстве. Примерами таких пределов являются: предел слабого взаимодействия, предел слабых неразру-шающих измерений, см. работу А. В. Белавкина [16], стохастический предел, сильная резольвентная сходимость к точечным взаимодействиям и др. Изложение метода стохастического предела можно найти в [17].

Предел слабого взаимодействия или слабой связи, когда эволюция системы рассматривается при больших временах, известен как предел ван Хова (L. van Hove) [18], рассматривался в работах Е. Дэвиса (Е. Davies) [19-21], Р. Думке (R. Dtimcke) [22], JI. Аккарди, С. В. Козырева, И. В. Воловича, А. Н. Печень [23-26] и др. В [23] авторы рассматривают двухуровневую систему, взаимодействующую с окружением, при больших временах. Показано, что система может эволюционировать в двух режимах: осцилляции и затухания. В работе [24] метод стохастического предела используется для описания взаимодействия частицы и электромагнитного поля. Показано, что при определённых состояних частицы возможно неэкспоненциальный распад. Ж. Го (J. Gough), В. П. Белавкин и О. Г. Смолянов показали связь между задачами оптимального управления и стохастическими дифференциальными уравнениями. В [27] они нашли, что уравнение Гамильтона—Якоби—Веллмана эквивалентно стохастической схеме Гамильтона—Понтрягина.

В работах А. М. Чеботарёва [28-30] показано, что решение квантового стохастического дифференциального уравнения унитарно эквивалентно задаче Коши для уравнения Шрёдингера с генератором, который реализуется как симметричная краевая задача. Также показано, что стохастическое дифференциальное уравнение возникает как резольвентный предел унитарной эволюции квантовой системы, взаимодействующей точечным образом с пучком безмассовых бозе-частиц. Рассматривается семейство гамильтонианов, зависящих от действительного параметра а, действующие в пространстве Фока, такое, что при а —» 0 потенциал взаимодействия окружения и системы стремится к дельта-функции. В случае, когда операторы, относящиеся к системе, имеют общее спектральное семейство, а также в ряде частных случаях, описывающих конкретные физические модели, решение уравнения Шрёдингера получено явно. Оказывается, что сильным резольвентным пределом генераторов является оператор, имеющий в качестве области определения векторы, подчиняющиеся определённому граничному условию. Физически, данное краевое условие описывает скачок фазы при взаимодействии окружения, которое в данном случае является пучком фотонов, с системой. Слабый предел семейства гамильтонианов в этих случаях не совпадает с сильным, что само по себе является нетривиальным фактом. А. М. Чеботарёвым было установлено, что при таком граничном условии гамильтониан найденного вида является симметричным и при некоммутирующих коэффициентах. Найдены условия единственности решения и условия существенной самосопряжённости симметричной краевой задачи.

М. Грегоратти (М. Gregoratti) [31,32] изучал предельный генератор и краевое условие в многомерном случае без использования предположения о наличии общего спектрального семейства. Вопросы связи стохастического дифференциального уравнения и уравнения Шрёдингера рассматривались Е. Р. Лу-бенец [33-36]. В работе [33] Е. Р. Лубенец вводит понятие стохастической реализации квантового инструмента и использует подоход, основанный на использовании семейства квантовых стохастических эволюционных операторов для описание квантового измерения. В статье [36] автор представил новую схему для вероятностного описания широкого класса наблюдений над квантовым объектом.

Среди физических приложений, для описания которых возможно применение результатов диссертационной работы, можно назвать модельную задачу взаимодействия квантового осциллятора с окружением, представляющим собой пучок фотонов. Такие задачи возникают, к примеру, при описании детектора гравитационных волн. Данная модель изучалась, в частности, В.Б.Брагинским, Ф. Я.Халили [37-39], К. Брифом (C.Brif), А. Маном (A.Mann) [40], (см. также, [41-43]) и другими авторами.

Основные понятия.

Перечислим основные понятия, встречающиеся в данной работе.

С каждой квантовой системой связывается комплексное гильбертово пространство, которое мы обозначим через Норму и скалярное произведение будем обозначать, соответственно, как и (•, сопряжённый к А оператор как А*.

Множество B(Sj) — множество ограниченных операторов. Норма операторов вводится как обычно:

1И11 = sup \\Ah\\. h\\=i

Область определения неограниченного оператора А будем обозначать как Т>(А).

Для обозначения операторов с конечным следом будем использовать символ T(Sj). Норму в Т(5з) обозначим через Ц-Ц^:

Матрица плотности системы — оператор с конечным следом р Е T(io), такой, что р* = р, 0, Тг{р} = 1.

Пусть Т G T(fj), А е Тогда произведения AT и ТА так же принадлежат T(Sj), и справедливо:

Tr{TA} = Tr {AT}, \\ТА\\Ъ ^ ||Г||Ъ ||А||, \\АТ\\Ъ < ЦТЦ^ ||А[|.

Следовательно, отображение А Тг{-А} является линейным изометрическим изоморфизмом В($)) в T(Sj). Таким образом, пространство В{$)) является дуальным пространством к T{$S).

На пространстве B(Sj) существуют несколько топологий, которые могут быть определены через сходимость операторов. Именно, пусть существует последовательность операторов {Аа}. Тогда

1. {Аа} сходится к А равномерно, если lim \\Аа — А\\ =0. а

2. {Аа} сходится к А сильно, если

Ит ||Aah - Ah\L = 0, \/h € V(A). a J

3. {Aa} сходится к А слабо, если lim (g, Aah - Ah\ = 0, V he V{A), Уд e ft.

4. {Аа} сходится к А улътпраслабо, если limTr {Т(Аа - A)} = 0, VT e Т($).

Из равномерной сходимости следуют сильная, из сильной следует слабая.

Состояния окружения описывается векторами из симметрического пространства Фока, что соответствует бозонной модели [44,45]. Скалярное произведение в Г5'(1/2(М)) задаётся выражением со ф)тз = ф*0фо + dnx ф*ь{х 1,., хп)фп{хъ .,хп), п=1 J где звёздочка означает комплексное сопряжение, а ф, ф <Е Vs(Ь2(Ж)) — векторы фоковского пространства, компоненты которых инвариантны относительно перестановок координат:

Ф = Mb ФъЫ), ., фп{хъ • • .,£„), • ■ •}, Фо G С, фп £ Ь2(Шп).

Величина \фп{х\,., хп)\2 нормированного на единицу вектора фп имеет смысл плотности вероятности нахождения ровно п частиц в точке (хъ.,хп).

В Г5(^2(К)) вводятся операторные плотности о){х) и а(х), операторов рождения и уничтожения а{х)ф)п{хъ. , Xfii XJ

1 п а\х)ф)п(хъ ., жп) = -р - Xjtyn-i(xh .,Xj,., хп)). уТЬ ,

Для произвольной функции д <Е L2(M), на финитных векторах из TS(L2(R)) корректно определены следующие операторы:

Мэ) = J dxg(x)a(x), А\д) — J dxд(х)а)(х),

А(д) = j dxg{x)a\x)a{x). (0.2)

Если в качестве функции д выбирается индикаторная функция некоторого борелевскго множества В: д(х) = /в(х), то этом случае действие операторов (0.2) на произвольный вектор ф € Г5(1/г(М)) записывается следующим образом:

А{Ш)ф)п(х i, .,хп) = VnTI J dxij)n+x(xi,. ) ^ J ) В

1 "

Af(l)^)n(a;i,., xn) = ж„), n J=1

Последние выражения могут служить определением соответствующих операторов, стоящих в левых частях.

Для описания динамики открытой системы используется понятие (консервативной) квантовой динамической полугруппы, которая является некоммутативным аналогом марковских полугрупп в классической теории вероятности. В гейзенберговской картине, квантовая динамическая полугруппа это семейство отображений {St, t ^ 0} над операторами из В (ТС), такое, что при любых t, s ^ 0 справедливо:

1. S(I) = I.

2. Отображение S(-) вполне положительно и нормально.

3. St+s — ад, So = 1.

4. Для каждого А £ В (ТС) отображение S(-) ультраслабо непрерывно.

Выше I обозначает единичный оператор. Об определении вполне положительного и нормального отображений см. [46]. Если А — эрмитов оператор некоторой наблюдаемой в момент времени t = 0, то в произвольный момент времени t этой же наблюдаемой будет соответствовать оператор At — St(A). Отображение S(-) нормально, таким образом мы можем ввести дуальное отображение £**(•), действующее в T(Sj), с помощью которого можно описать эволюцию в Шрёдингеровской картине. Именно, обозначим через р матрицу плотности системы в момент времени t = 0. Тогда в произвольный момент времени t матрица плотности будет иметь вид: pt — St* (р).

Генератором квантовой динамической полугруппы называется отображение £(•):

A) = ]im17(St(A)-A), t—>и с последний предел сильный. Для равномерно непрерывных квантовых динамических полугрупп генератор представим в виде (0.1). При этом уравнение для наблюдаемой имеет вид: jAt = C(At) = i[H, At] + £ - \vfVjAt - \AtV?v\ , 0. ^ '

0.3)

Уравнение для матрицы плотности имеет вид: jtPt = с*М = -г[н, pt] + ]Г (vjPtv; - l-v;vjPt - \ptv;v^, о, г ^ ' .

0.4) где £*(■) — дуальное отображение. Уравнения (0.3)—(0.4) носят названия мастер-уравнения (master equation) или управляющего уравнения.

Пусть квантовая система не является изолированной, а взаимодействует со своим окружением. Оператор эволюции составной системы обозначим через Ut, а матрицу плотности этой системы через р = рет ® psys, где ръш и Psys ~~ матрицы плотности окружения и системы соответственно. Тогда в момент времени t > 0 имеем для матрицы плотности составной системы: Pt = UtpUt, а для матрицы плотности открытой системы: plys = TrTs{UtpU;}, где Trrs{-} — след по состоянию окружения. С каждой наблюдаемой А открытой системы сопоставляется оператор I <8> А на общем гильбертовом пространстве. Таким образом,

At = Tr Ts{U;AUt}.

Структура диссертационной работы.

Следует отметить, что задача, рассматриваемая в диссертации, в случае уравнения с коммутирующими операторными коэффициентами, рассматривалась в работах А. М. Чеботарёва, Д. В. Викторова, М. Грегоратти и др. Обобщение этих результатов на уравнение с некоммутирующими коэффициентами, важное для приложений в физических задачах, является сложной с точки зрения математического анализа. Подход к решению этой задачи, развиваемый в данной работе, состоит в следующем. Сначала изучается необходимое условие, которому должен удовлетворять формальный генератор уравнения, соответствующему пределу точечного взаимодействия. Затем, строится полугруппа унитарных операторов, имеющая найденный генератор, и устанавливается однозначная связь между предельными генераторами и КСДУ, для которого известны теоремы существования и единственности решения. Таким образом, обосновывается существенная самосопряжённость ранее найденных генераторов.

Диссертация состоит из введения и трёх глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рыжаков, Глеб Владимирович, 2006 год

1. Н. Н. Боголюбов and Н. М. Крылов, Об уравнениях Фоккера-Планка, которые выводится в теории возмущений методом, основанном на спектральных свойствах гамильтониана возмущения, Зап. каф. мат. физ. АН УССР 4 (1939), 5-80.

2. G. Lindblad, On the generators of quantum dynamical semigroups, Commun. Math. Phys. 48 (1976), no. 2, 119-130.

3. V. Gorini, A. Kossakowski, and E. C. G. Sudarshan, Completely positive dynamical semigroups of N-level systems, J. Mathematical Phys. 17 (1976), no. 5, 821-825.

4. L. Accardi, A. Frigerio, and J. T. Lewis, Quantum stochastic processes, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 18 (1982), no. 1, 97-133.

5. G. Lindblad, Non-Markovian quantum stochastic processes and their entropy, Commun. Math. Phys. 65 (1979), 281-294.

6. A. S. Holevo, On C(H) there exists a nonstandard dynamical semigroup, Russian Math. Surv. 51, no. 6, 225-226.

7. R. L. Hudson and K. R. Parthasarathy, Construction of quantum diffusions, Lect. Notes in Math 1055 (1984), 173-198.

8. R. L. Hudson and K. R. Parthasarathy, Quantum Ito's formula and stochastic evolution, Commun. Math. Phys. 93 (1984), no. 3.

9. А. С. Холево, Стохастические представления квантовых динамических полугрупп, Труды МИАН 191 (1989), 130-139.

10. Современные проблемы математики. Новейшие достижения, Vol. 36, ВИНИТИ, 1990.

11. J.-L. Journe, Structure des cocycles markovians sur I'espace de Fock, Probab. Theor. Rel. Fields 75 (1987), no. 2, 291-316.

12. A. M. Chebotarev, F. Fagnola, and A. Frigerio, Towards a stochastic Stone's theorem, Stochastic partial differential equations and applications (Trento, 1990), Pitman Res. Notes Math. Ser., vol. 268, Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, pp. 86-97.

13. A. S. Holevo, Time-ordered exponentials in quantum stochastic calculus, Quant. Probab. Rel. Topics 7 (1992), 175-202.

14. A. S. Holevo, Exponential formulae in quantum stochastic calculus, Proc. Royal Academy of Edinbourgh. 126A (1996), 375-389.

15. L. Accardi, A Frigerio, and V. Gorini (eds.), Quantum Probability and Applications to the Quantum Theory of Irreversible Processes, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1055, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

16. V. P. Belavkin, A quantum nonadapted Ito formula and stochastic analysis in Fock scale, J. Funct. Anal. 102 (1991), 414-447.

17. L. Accardi, Y. G. Lu, and I. Volovich, Quantum theory and its stochastic limit, Springer-Verlag, Berlin, 2002.

18. L. Van Hove, Quantum-mechanical perturbations giving rise to a statistical transport equation, Physica 21 (1955), 517-540.

19. E. B. Davies, Markovian master equations, Commun. Math. Phys. 39 (1974), 91-110.

20. E. B. Davies, Markovian master equations II, Math. Ann. 219 (1976), 147158.

21. E. B. Davies, Markovian master equations III, Ann. Institute H. Poincare 11 (1975), no. 3, 265-273.

22. R. Diimcke, The low density limit for an N-level system interacting with a free Bose or Fermi gas, Commun. Math. Phys. 97 (1985), 331-359.

23. L. Accardi, S. V. Kozyrev, and I. V. Volovich, Dynamics of Dissipative Two-Level Systems in the Stochastic Approximation, Phys. Rev. A 56 (1997), 2557-2562.

24. L. Accardi, S. V. Kozyrev, and I. V. Volovich, Non-exponential decay for polaron model, Phys. Lett. A 260 (1999), no. 1-2, 31-38.

25. L. Accardi, A. N. Pechen, and I. V. Volovich, A stochastic golden rule and quantum Langevin equation for the low density limit, Infinite Dimens. Analysis Quantum Probab. Relat. Topics 6 (2003), no. 3, 431-453.

26. L. Accardi, A. N. Pechen, and I. V. Volovich, Quantum stochastic equation for the low density limit, J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002), 4889-4902.

27. J. Gough, V. P. Belavkin, and O. G. Smolyanov, Hamilton-Jacobi-Bellman equations for Quantum Filtering and Control, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 7 (Feb. 24, 2005), S237-S244.

28. A. M. Чеботарёв, Симметризованная форма стохастического уравнения Хадсона—Партасарати, Mathematical Notes 60 (1996), no. 5, 726-750.

29. А. М. Чеботарёв, Квантовое стохастическое уравнение унитарно эквивалентно симметричной краевой задаче для уравнения Шредингера, Mathematical Notes 61 (1997), no. 4, 612-622.

30. А. М. Чеботарёв, Что такое квантовое стохастическое уравнение с точки зрения функционального анализа?, Mathematical Notes 71 (2002), no. 3, 448-469.

31. М. Gregoratti, The Hamiltonian Operator Associated with Some Quantum Stochastic Evolutions, Commun. Math. Phys. 222 (2001), no. 1, 181-200.

32. M. Gregoratti, On the hamiltonian operator associated to some quantum stochastic differential equations, Infinite Dimens. Analysis Quantum Probab. Relat. Topics 3 (2000), no. 4, 483-503.

33. E. R. Loubenets, Quantum stochastic approach to the description of quantum measurements, J. Phys. A: Math. Gen. 34 (Sep. 21, 2001), no. 37, 7639-7675.

34. C. Aberg and E. R. Loubenets, Quantum Stochastic Calculus and Nondemolition Measurements, Notes on a Recent Approach to Quantum Measurement (Institute of Theoretical Physics, Goteborg, 1994). Report No. 94-28

35. О. E. Barndorff-Nielsen and E. R. Loubenets, General framework for the behaviour of continuously observed open quantum systems, J. Phys. A: Math. Gen. 35 (Jan. 25, 2002), no. 3, 565-588.

36. E. R. Loubenets, General framework for the probabilistic description of experiments, Quantum theory: reconsideration of foundations—2, Math. Model. Phys. Eng. Cogn. Sci., vol. 10, Vaxjo Univ. Press, Vaxjo, 2004, pp. 365-386.

37. В. Б. Брагинский and Ю. И. Воронцов, Квантовомеханические ограничения в макроскопических экспериментах и современная экспериментальная техника, УФН 114 (1974), по. 9, 41-52.

38. V. В. Braginsky, М. L. Gorodetsky, and F. Ya Khalili, Quantum limits and symphotonic states in free-mass gravitational-wave antennae, Phys. Lett. A 246 (1998), 485-497.

39. V. B. Braginsky, F. Ya Khalili, and P. S. Volikov, The analysis of table-top quantum measurment with macroscopic masses, Phys. Rev. A 287 (2001), no. 1-2, 31-38.

40. C. Brif and A. Mann, Quantum statistical properties of the radiation field in a cavity with a movable mirror, J.Opt.B Quant.Semiclass.Opt. 2 (2000), 53-61.

41. A. F. Pace, M. J. Collett, and D. F. Walls, Quantum limits in interferometric detection of gravitational radiation, Phys. Rev. A 47 (1993), no. 4, 3173-3189.

42. S. Bose, К. Jacobs, and P. L. Knight, Preparation of Nonclassical States in Cavities with a Moving Mirror, Phys. Rev. A 56 (1997), 4175-4186.

43. B.-G. Englert and G. Morigi, Five lectures on dissipative master equations, Coherent evolution in noisy environments (Dresden, 2001), Lecture Notes in Phys., vol. 611, Springer, Berlin, 2002, pp. 55-106.

44. Ф. А. Березин, Метод вторичного квантования, М.: Наука, 1986.

45. Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов, А. И. Оксак, and И. Т. Тодоров, Общие принципы квантовой теории поля, М.: Наука, 1987.

46. А. М. Chebotarev, Lectures on quantum probability, Aportaciones Matematicas: Textos Mathematical Contributions: Texts], vol. 14, Sociedad Matematica Mexicana, Mexico, 2000.

47. И. M. Гельфанд and Г. E. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними, М.: Физматлит, 1959.

48. В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, М.: Наука, 1981.

49. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, М.: Наука, 1976.

50. А. М. Chebotarev and G. V. Ryzhakov, On the Strong Resolvent Convergence of the Schrodinger Evolution to Quantum Stochastics, Mathematical Notes 74 (2003), no. 5, 717-733.

51. S. Albeverio, W. Karwowski, and V. Koshmanenko, Square powers of singularly perturbed operators, Math. Nachr. 173 (1995), 5-24.

52. А. Робертсон and В. Робертсон, Топологические векторные пространства, М.: Мир, 1967.

53. Д. А. Киржинц, Полевые методы теории многих частиц, М.: Атомиз-дат, 1993.

54. К. R. Parthasarathy, An introduction to quantum stochastic calculus, Monographs in Mathematics, vol. 85, Birkhauser Verlag, Basel, 1992.

55. P.-A. Meyer, Quantum probability for probabilists, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1538, Springer-Verlag, Berlin, 1993.

56. А. С. Холево, Статистическая стурктура квантовой теории, пер. с англ., Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

57. С. W. Gardiner and М. J. Collet, Input and output quantum systems: Quantum stochastic deferential equations and the master equation, Phys. Rev. A 21 (1985), no. 6, 3761.

58. P. Глаубер, Оптическая когерентность и статистика фотонов, «Квантовая оптика и квантовая радиофизика», М.: Мир, 1966.

59. К. Jacobs and P. L. Knight, Linear quantum trajectories: Applications to continuous projection measurements, Phys. Rev. A 57 (1998), 2301.

60. H. F. Trotter, On the Product of Semi-Groups of Operators, Proc. Amer. Math. Soc. 10, no. 4, 545-551.

61. T. Ichinose and H. Tamura, Note on the norm convergence of the unitary Trotter product formula, Lett. Math. Phys. 70 (2004), no. 1, 65-81.

62. Г. В. Рыжаков, Асимптотические решения квантового стохастического уравнения Лиувилля для осциллятора с учётом диссипации, Russ. J. Math. Phys. 12 (2005), no. 3, 386.

63. A. Barchielli and V. P. Belavkin, Measurments continous in time and posteriori states in quantum mechanics, J. Phys. A: Math. Gen. 24 (1991), 1495-1514.

64. V. P. Belavkin, A posterior Schrodinger equation for continuous observation, Phys. Lett. A 140 (1990), no. 78, 2930-2934.

65. А. В. Чуркин, Точно решаемая задача для стохастического уравнения Шредингера в двумерном случае, Мат. Зам. 69 (2001), по. 4.

66. Э. Леман, Проверка статистических гипотез, М.: Наука, 1979.