Решение задачи рассеяния для малочастичных молекулярных систем с помощью метода комплексных вращений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Волков, Михаил Валериевич

• Волков, Михаил Валериевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Волков, Михаил Валериевич

Введение

Глава 1. Применение метода комплексных вращений для решения задачи потенциального рассеяния.

1.1. Постановка задачи рассеяния в системе двух частиц.

1.2. Парциальное разложение. Одномерная задача рассеяния

1.3. Применение метода комплексных вращений к задаче рассеяния

1.4. Рассеяние в системе двух заряженных частиц.

1.5. Применение метода расщепления потенциала к решению задачи рассеяния в системе двух заряженных частиц.

1.6. Численная проверка результатов.

Глава 2. Решение трехмерной задачи рассеяния для обрезанных кулоновских потенциалов С# и Ск.

2.1. Задача рассеяния для потенциала Сд.

2.2. Задача рассеяния для потенциала Ск.

2.3. Неоднородное уравнение.

Глава 3. Многоканальная задача рассеяния.

3.1. Постановка задачи для многоканального рассеяния в системе двух частиц.

3.2. Применение метода расщепления потенциала к решению многоканальной задачи рассеяния.

3.3. Результаты расчетов

Глава 4. Решение задачи рассеяния в системе трех заряженных частиц.

4.1. Задача рассеяния в системе трех частиц. Координаты Якоби.

4.2. Применение метода расщепления потенциала к решению задачи рассеяния в системе трех заряженных частиц.

4.3. Отделение вращательных координат. Решение задачи в представлении полного углового момента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задачи рассеяния для малочастичных молекулярных систем с помощью метода комплексных вращений»

Актуальность работы Исследование квантовых систем, состоящих из нескольких частиц, имеет большое значение в физике. Понимание процессов в таких системах может дать качественную, а во многих случаях и количественную, информацию для решения задач; связанных с гораздо большим числом взаимодействующих частиц. Исследование процессов рассеяния в малочастичных квантовых системах позволяет описать различные реакции, происходящие при столкновениях атомов и молекул. В диссертации основное внимание уделено квантовой задаче рассеяния в системах, состоящих из двух или трех частиц. Теория потенциального рассеяния, к которому сводится рассеяние в системе двух частиц, была развита в 50-х годах прошлого века в работах Липпманна и Швингера [1], Гелл-Манна и Голдбергера [2], и других [3-5]. При описании рассеяния в системе трех частиц возникли существенные трудности. Эти трудности были преодолены в работах Л. Д. Фаддеева [6, 7]. Рассеяние в системе трех заряженных частиц представляет собой намного более трудную задачу, чем рассеяние нейтральных частиц, из-за медленного убывания кулоновского потенциала. Обобщение уравнений Фаддеева, предложенное С. П. Меркурьевым [8, 9], позволило теоретически описать квантовую задачу рассеяния в системе трех заряженных частиц. При решение этой задачи возникают трудности не только теоретического, но и вычислительного характера, обусловленные теми же причинами. Для того чтобы обойти трудности, возникающие при вычислениях, в ряде работ американских физиков Наттала, Коэна [10], Ресиньо, МакКерди и других [11] был предложен подход, основанный на применении метода комплексных вращений к уравнению Шрсдингера. Метод комплексных вращений был успешно применен к задаче рассеяния трех нейтральных частиц. Однако оставался открытым вопрос о применении этого метода к рассеянию заряженных частиц. В данной диссертации приведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния двух и трех заряженных частиц. Для трехчастичной задачи используются парциальные уравнения в представлении полного углового момента. В эти уравнения входят только три переменные, их можно решить численно. Для вычислений может быть использована программа ЕАМСЕБ [12, 13]. В эту программу были внесены изменения для того, чтобы с помощью ее можно было находить решение задачи рассеяния.

Цель диссертационной работы

1. Произвести полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния в системе двух заряженных частиц.

2. Произвести полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния в системе трех заряженных частиц.

3. Показать, каким образом полученный метод может быть применен для практических вычислений.

Научная новизна В диссертации впервые решены следующие задачи:

1. Развит метод расщепления потенциалов для решения кулоновской задачи рассеяния в системе двух и трех частиц. Получено неоднородное уравнение, идеально подходящее для применения метода внешнего комплексного вращения.

2. Получены интегральное и локальное представления для амплитуды рассеяния.

Научная и практическая значимость В диссертации приведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния трех заряженных частиц. Представлен алгоритм практического применения метода для расчетов. Компьютерная программа, основанная на этом алгоритме, позволит вычислять сечения рассеяния для различных систем из трех заряженных частиц и получать точные результаты, которые до этого было возможно получить лишь в том или ином приближении.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Произведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к парциальной задаче рассеяния в системе двух заряженных частиц.

2. Показано, что решение трехмерной задачи рассеяния для внешней части потенциала пропорционально плоской волне с точностью до действия оператором, зависящим только от угловых переменных. Доказано, что в пределе, когда радиус расщепления стремится к бесконечности, действие такого оператора сводится к умножению на константу, для которой получено аналитическое выражение.

3. Произведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к многоканальной задаче рассеяния в системе двух заряженных частиц.

4. Приведено полное теоретическое обоснование применения метода комплексных вращений к задаче рассеяния в системе трех заряженных частиц. Для этого был снова использован метод расщепления потенциалов на внешнюю и внутреннюю части. Показано, что для построения метода необходимы результаты, полученные для трехмерной задачи рассеяния в системе двух частиц.

Апробация работы Результаты работы докладывались на семинарах кафедры Квантовой механики и кафедры Вычислительной физики Физического факультета СПбГУ, на семинарах отделения молекулярной физики Стокгольмского университета и на шести международных конференциях: в Дании ("Annual Nordforsk Network Meeting - 2005"и "Third International Workshop on Electrostatic Storage Devices - 2009"), в Санкт-Петербурге ("Annual Nordforsk Network Meeting - 2006"), в Швеции ("Correspondence between Concepts in Chemistry and Quantum Chemistry - 2008"), Италии ("The fifth workshop dedicated to the Critical Stability of Few Body Quantum Systems - 2008") и в Германии ("19th International IUPAP Conference on Few-Body Problems in Physics - 2009").

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах [14-18] в журналах из перечня ВАК.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем личный вклад диссертанта был определяющим и составлял в среднем не менее 60%.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 4 глав, 1 приложения и библиографии. Общий объем диссертации 103 страницы, из них 94 страницы текста, включая 13 рисунков. Библиография включает 52 наименования на 6 страницах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Волков, Михаил Валериевич, 2011 год

1. Lippmann В. A., Schwinger J. // Phys. Rev. 1950. Vol. 79. P. 469.

2. Gell-Mann M., Goldberger M. L. // Phys. Rev. 1953. Vol. 91. P. 398.

3. Hack M. N. // Phys. Rev. 1954. Vol. 96. P. 196.

4. Moses H. E. // Nuovo Cimento. 1955. Vol. 1. P. 103.

5. Ekstein H. // Phys. Rev. 1956. Vol. 101. P. 880.

6. Фаддеев JI. Д. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1960. Т. 39. С. 1459-1467.

7. Фаддеев J1. Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех частиц // Труды математического института им. В.А. Стек-лова. 1963. Т. 69. С. 1-122.

8. Merkuriev S. Р. // Ann. Phys. 1980. Vol. 130. P. 395.

9. Меркурьев С. П., Фаддеев JI. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М. Наука, 1985.

10. Nuttall J., Cohen H. L. // Phys. Rev. 1969. Vol. 188. P. 1542.

11. Rescigno T. N., Baertschy M., Byrum D., McCurdy C. W. // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 55. P. 4253.

12. Elander N., Levin S. В., Yarevsky E. // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 64. P. 012505.

13. Elander N., Levin S. В., Yarevsky E. // Int. J. Quant. Chem. 2009. Vol. 109. P. 459.

14. Volkov M. V., Elander N., Yakovlev S. L., Yarevsky E. Solving the Coulomb scattering problem using the complex scaling method // Euro Phys. Lett. 2009. Vol. 85. P. 30001.

15. Волков M. В., Эландер H., Яревский Е., Яковлев С. J1. Задача рассеяния заряженных частиц и метод комплексного вращения координат // Вестник Санкт-Петербургского Университета. 2009. Т. 4, № 4. С. 275-284.

16. Elander N., Volkov М. V., Larson A. et al. Quantum scattering with the driven Schrodinger approach and complex scaling // Few Body Systems. 2009. Vol. 45. P. 197.

17. Yakovlev S. L., Volkov M. V., Yarevsky E., Elander N. The impact of sharp screening on the Coulomb scattering problem in three dimensions //J. Phys.A: Math. Theor. 2010. Vol. 43. P. 245302.t

18. Volkov M. V., Yakovlev S. L., Yarevsky E., Elander N. Potential splitting approach to multichannel Coulomb scattering: the driven Schrodinger equation formulation // Phys. Rev. A. 2011. Vol. 83. P. 032722.

19. Мотт H., Месси Г. Теория атомных столкновений. М. ИЛ, 1951.

20. Де Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М. Мир, 1966.

21. Ныотон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М. Мир, 1969.

22. Goldberger М. L., Watson К. М. Collision theory. Wiley, New York, 1964.

23. Taylor J. R. Collision theory. Dover, New York, 2006.

24. Gordon W. // Z. Phys. 1928. Vol. 48. P. 180.

25. Balslev E., Combes J. M. // Comm. Math. Phys. 1971. Vol. 22. P. 280.

26. Меркурьев С. П., Яковлев С. Л. // Доклады АН СССР. 1982. Т. 262, № 3. С. 591-594.

27. Меркурьев С. П., Яковлев С. Л. // Теор. Мат. Физ. 1983. Т. 56, № 1. С. 60-73.

28. Меркурьев С. П., Яковлев С. Л. // Ядерн. Физ. 1984. Т. 39, № 6. С. 1580-1587.

29. Merkuriev S. P., Yakovlev S. L., Gignoux С. // Nucí. Phys. А. 1984. Vol. 431. Pp. 125-138.

30. Яковлев С. Л. В кн.: Микроскопические расчеты легких ядер. Калинин, 1984.

31. Квицинский А. А., Куперин Ю. А., Меркурьев С. П. и др. // ЭЧАЯ. 1986. Т. 17, № 2. С. 267-317.

32. Merkuriev S. P., Motovilov А. К. // Lett. Math. Phys. 1983. Vol. 7. P. 497.

33. Kostrykin V. V., Kvitsinsky A. A., Merkuriev S. P. // Few Body Systems. 1989. Vol. 6. P. 97.

34. Motovilov A. K., Sofianos S. A., Kolganova E. A. // Chem. Phys. Lett. 1997. Vol. 275. P. 168.

35. Kolganova E. A., Motovilov A. K., Sofianos S. A. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1998. Vol. 31. P. 1279.

36. Sandhas W., Kolganova E. A., Ho Y. K., Motovilov A. K. // Few Body Systems. 2003. Vol. 34. P. 137.

37. Kolganova E. A., Motovilov A. K., Sandhas W. // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 70. P. 052711.

38. Zaytsev S. A, Knyr V. A., Popov Y. V. // Phys. At. Nucl. 2006. Vol. 69. P. 255.

39. Zaytsev S. A., Knyr V. A., Popov Y. V. // Phys. At. Nucl. 2007. Vol. 70. P. 676.

40. Zaytsev S. A., Knyr V. A., Popov Y. V., Lahmam-Bennani A. // Phys. Rev. A. 2007. Vol. 75. P. 022718.

41. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики: Т. 1 Механика. 5-е изд. М. ФМЛ, 2002.

42. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики: Т. 3 Квантовая механика. 5-е изд. М. ФМЛ, 2002.

43. Hislop P. D., Sigal I. М. Introduction to Spectral Theory: With Applications to Schrddinger Operators. Springer-Verlag New York Inc., 1996.

44. Simon B. // Phys. Lett. A. 1979. Vol. 71. P. 211.

45. McCurdy C. W., Martin F. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2004. Vol. 37. P. 917.

46. Kruppa А. Т., Suzuki R., Kato K. // Phys. Rev. C. 2007. Vol. 75. P. 044602.

47. Rescigno T. N., McCurdy C. W. // Phys. Rev. A. 2000. Vol. 62. P. 032706.

48. Noro Т., Taylor H. S. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1980. Vol. 13. P. L377.

49. Абрамовиц M., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М. Наука, 1979.

50. Temple G. // Proc. R. Soc. A. 1928. Vol. 121. P. 673.

51. Ford W. F. // Phys. Rev. 1964. Vol. 133. P. B1616.

52. Ford W. F. // J. Math. Phys. 1966. Vol. 7. P. 626.

53. Taylor J. R. // Nuovo Cimento В. 1974. Vol. 23. P. 313.

54. Semon M. D., Taylor J. R. // Nuovo Cimento A. 1975. Vol. 26. P. 48.

55. Горшков В. Г. // Журнал экспериментальной и теоретической физики.1961. Т. 40. С. 977-984.

56. Горшков В. Г. // Журнал экспериментальной и теоретической физики.1962. Т. 43. С. 1714-1726.

57. Alt Е. О., Sandhas W., Ziegelmann Н. // Phys. Rev. С. 1978. Vol. 17. P. 1981.

58. Deltuva A., Fonseca A. C., Sauer P. U. // Phys. Rev. C. 2005. Vol. 71. P. 054005.

59. Glöckle A., Golak J., Skibiñski R., Witala H. // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 044003.

60. Kouzakov K. A., Popov Y. V., Shablov V. L. // Phys. Rev. C. 2010. Vol. 81. P. 019801.

61. Deltuva A., Fonseca A. C., Sauer P. U. // Phys. Rev. C. 2010. Vol. 81. P. 019802.

62. Rittby M., Elander N., Brandas E., Bárány A. // J.Phys.B: At. Mol. Phys. 1984. Vol. 17. P. L677.

63. Bárány A., Brandas E., Elander N., Rittby M. // Phys. Scr. 1983. Vol. T3. P. 233.

64. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М. Физматгиз, 1963.

65. Shilyaeva К., Yarevsky Е., Elander N. // J. Phys. В: At. Mol. Opt. Phys. 2009. Vol. 42. P. 044011.

66. Iwai Т. // J. Math. Phys. 1987. Vol. 28. P. 1315.

67. Curtiss C. F., Hirschfelder J. О., Adler F. Т. // J. Chem. Phys. 1950. Vol. 18. P. 1638.

68. Curtiss C. F., Adler F. Т. // J. Chem. Phys. 1952. Vol. 20. P. 249.

69. Curtiss C. F. // J. Chem. Phys. 1953. Vol. 21. P. 1199.

70. Pack R. Т., Hirschfelder J. О. // J. Chem. Phys. 1968. Vol. 49. P. 4009.

71. Варшалович Д. А., Москалев A. H., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. М. Наука, 1975.

72. Мессиа А. Квантовая механика. М. Наука, 1978.