Решение задач плоской теории упругости о концентрации напряжений вокруг отверстий в слоистых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Мазин, Василий Александрович

• Мазин, Василий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мазин, Василий Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИКИ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ФОРМУЛИРОВКА ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ УПРУГОЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ С ОТВЕРСТИЯМИ

1.1. Постановка задач статики плоской теории упругости

для однородных и кусочно-однородных (составных) тел

1.2. Методы решения задач статики плоской теории упругости

для тел с отверстиями

1.3. Формулировка подхода к численному решению задачи статики плоской теории упругости для слоистой среды с отверстиями

2. ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНАЯ ПРОЦЕДУРА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТАТИКИ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ КУСОЧНО- ОДНОРОДНОЙ ОБЛАСТИ

2.1. Некоторые положения теории вариационно-разностных схем применительно к заявленной задаче

2.2. Алгоритм численного решения задачи статики плоской теории упругости для прямоугольной кусочно-однородной области

2.3. Программная реализация разработанного алгоритма применительно к задачам о концентрации напряжений вокруг отверстий в упругих слоистых средах

3. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННОЙ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОЙ ПРОЦЕДУРЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

3.1. Случай однородной прямоугольной полосы на двух опорах при действии равномерно распределенной поперечной нагрузки

3.2. Случай однородной упругой плоскости с круговым включением в условиях равностороннего растяжения

3.3. Случай однородной упругой полуплоскости (широкой полосы)

с круговым отверстием у края при продольном растяжении и поперечном сжатии

3.4. Случай однородной упругой плоскости с двумя одинаковыми круговыми отверстиями при сжатии и растяжении в

направлениях вдоль и поперек линии их центров

4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ В УПРУГИХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ С ПРИМЕНЕНИЕМ РАЗРАБОТАННОЙ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОЙ ПРОЦЕДУРЫ

4.1. Случай двухслойной упругой полуплоскости, ослабленной круговым отверстием, при продольном растяжении

4.2. Случай двухслойной упругой полуплоскости, ослабленной круговым отверстием, при поперечном сжатии

4.3. Трехслойная упругая плоскость с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при продольном растяжении и поперечном сжатии

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач плоской теории упругости о концентрации напряжений вокруг отверстий в слоистых средах»

ВВЕДЕНИЕ

В промышленном производстве, на транспорте, в строительстве, в горном деле - всюду приходится иметь дело с телами, ослабленными отверстиями. К таким телам относятся элементы всевозможных конструкций и сооружений, горные и грунтовые массивы (с выработками). Причиной разрушения таких тел под действием приложенных нагрузок зачастую является высокий уровень напряжений, возникающих на кромках имеющихся в них отверстий. При разработке методов расчетного прогнозирования распределения напряжений вокруг отверстий во многих важных для практики случаях допустимо исходить из предположений об упругом статическом характере деформирования исследуемых тел и, более того, основываться на плоском варианте линейной теории упругости. Этим в значительной мере объясняется неослабевающий интерес, проявляемый исследователями к плоским задачам статики теории упругости для областей с отверстиями.

Список публикаций в мировой литературе по рассматриваемой проблеме чрезвычайно обширен. Тем не менее, сформировать представление о полученных результатах вполне возможно, опираясь на обзорные материалы, содержащиеся в работах [12,22,34,35,43,57,61,62,68,77,86,96,107]. Вытекающие из анализа упомянутых публикаций выводы сводятся к следующему.

В большинстве работ обсуждаемого направления (в том числе и последних лет) объектами исследования являются однородные тела (как изотропные, так и анизотропные). В предположении однородности тела удалось получить и довести до числовых результатов решения множества задач о концентрации напряжений вокруг отверстий. При этом исследовались всевозможные случаи тел с одним отверстием (самой разнообразной конфигурации), с двумя и более отверстиями, с периодической системой отверстий. Рассмотрению подвергались и случаи,

когда выполненное в теле отверстие полностью заполнялось изотропным материалом, отличным от материала тела (случай упругого включения). При этом решения были построены как для случая одного, так и нескольких включений в исследуемом изотропном теле. Рассматривались также [3, 17,24,57,81,91,92,108] и некоторые другие частные случаи подобных кусочно-однородных или составных тел (составленных из различных однородных частей с различными упругими постоянными), имеющих различного рода вырезы.

Между тем, распространенным случаем составного тела является также тело слоистой структуры, ослабленное одним или несколькими отверстиями. Примерами подобных слоистых сред природного происхождения являются всевозможные грунты и горные породы (с наличием в них естественных пустот и выработок). Примеры ослабленных отверстиями слоистых сред в множестве представлены в строительном деле (где сама технология предполагает послойное нанесение материалов друг на друга), а также в таких областях, как судостроение, авиастроение, ракетостроение в связи с широким применением композиционных материалов.

Анализ публикаций последних лет, посвященных решению плоских задач статики теории упругости для тел слоистой структуры как аналитическими, так и численными методами, позволяет заключить, что обозначенная проблема расчетного прогнозирования распределения напряжений вокруг отверстий в упомянутых телах не получила к настоящему времени решения той же полноты, как в случае однородных тел. Достаточно сказать, что до сих пор в литературе даже для случая двухслойной среды с отверстием такой широко распространенной формы, как круговая не было представлено решений с анализом влияния соответствующих физико-механических и геометрических параметров на уровень напряжений вокруг отверстия. И это несмотря на имеющиеся мощные инструменты численного моделирования в виде программных комплексов метода конечных элементов. Дело в том, что применение подобных комплексов в целях указанного

параметрического исследования сталкивается с существенными трудностями, связанными с тем, что при каждом изменении положения отверстия или толщин слоев требуется с учетом изменившейся геометрии задачи снова генерировать отражающую криволинейность контура отверстия сетку конечных элементов и снова убеждаться путем тестовых расчетов в надежности получаемых численных результатов. Все это говорит о том, что применительно к задачам о концентрации напряжений вокруг отверстий в слоистых средах вопросы построения соответствующих решений в формах, обеспечивающих удобство параметрического анализа получаемых результатов, а также вопросы проведения на их основе исследований по влиянию типов нагружения рассматриваемой среды, ее геометрических и физико-механических характеристик на уровень напряжений вокруг имеющихся в ней отверстий до сих пор сохраняют свою актуальность. Решению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.

Итак, целью настоящей работы является решение задач статики плоской теории упругости о распределении напряжений вокруг круговых отверстий в двухслойных и трехслойных средах с применением вычислительной модели, обладающей возможностями многовариантного анализа, и установление эффектов, обусловленных слоистой структурой исследуемых объектов и близким расположением отверстий по отношению к межслойным границам.

Работа состоит из введения, четырех разделов и заключения.

Первый раздел посвящен описанию постановок задач статики плоской теории упругости для однородных и кусочно-однородных (составных) тел, анализу существующих методов их решения применительно к случаям тел, ослабленных отверстиями и формулировке на этой основе подхода, ориентированного на решение задач о напряженном состоянии таких кусочно-однородных тел, как ослабленные отверстиями тела слоистой структуры.

При анализе соответствующих аналитических методов отмечается, что наибольшую эффективность они демонстрируют в классе задач для однородных тел с отверстиями (как свободными, так и заполненными материалами включений). В случаях же слоистых сред, ослабленных отверстиями, получение решений (доводимых до числовых результатов) аналитическими средствами крайне затруднено. Решения здесь удалось получить лишь применительно к задачам о концентрации напряжений в окрестностях различного рода расслоений и жестких включений на межслойных границах (вопросы, связанные с наличием в слоистых средах отверстий с гладким криволинейным контуром остались неисследованными).

При анализе имеющихся численных подходов к решению рассматриваемого класса задач внимание уделяется методам конечных разностей, конечных и граничных элементов. Относительно метода конечных разностей указывается, что применительно к областям с криволинейными границами (как это имеет место в случае тел с отверстиями) его реализацию целесообразно осуществлять на основе вариационной формулировки соответствующей задачи. При этом отмечается, что в целях обоснования сходимости получаемого вариационно-разностного решения к точному решению рассматриваемой задачи, следует строить соответствующую вариационно-разностную схему, основываясь на системе базисных функций, связанных с выбором сетки, покрывающей исследуемую область (что обычно не делается при традиционном способе построения вариационно-разностных схем). Относительно имеющихся программных комплексов методов конечных и граничных элементов отмечается, что с их помощью можно решать задачи о напряженном состоянии тел самой сложной конфигурации. При этом, однако, указывается на проблемы, существенным образом затрудняющие применение таких комплексов для исследования напряженного состояния ослабленных отверстиями слоистых сред (в связи с чем и возникает необходимость в построении соответствующей вычислительной модели, свободной от подобных проблем).

С учетом вытекающих из проведенного анализа выводов формулируется подход к численному решению заявленной задачи, который основывается на предположении о прямоугольной конфигурации области, занимаемой рассматриваемой слоистой средой, о заполненности всех имеющихся в ней отверстий материалами включений и предусматривает построение основанной на сетке прямоугольной структуры вариационно-разностной модели деформирования такой слоистой среды (с включениями) под действием приложенных нагрузок (случай свободного отверстия при этом моделируется заданием пренебрежимо малого значения модуля Юнга материала включения).

Во втором разделе дается описание построенной в рамках сформулированного подхода вариационно-разностной процедуры, ориентированной на решение задач статики плоской теории упругости для прямоугольной кусочно-однородной (слоистой) области. Все выполняемые в разделе построения исходят из факта существования и единственности (классического) решения рассматриваемой задачи (с учетом того обстоятельства, что в литературе однозначная разрешимость основных граничных задач плоской теории упругости для кусочно-однородных тел установлена при достаточно общих предположениях относительно их конфигурации и схем нагружения). Принимается также во внимание, что указанное (точное) решение удовлетворяет отвечающему заявленной задаче (вариационному) уравнению принципа возможных перемещений (или принципа минимума полной энергии упругого тела).

Используемая в процедуре численного решения сетка прямоугольной структуры выбирается таким образом, чтобы ее ячейки целиком укладывались в рамках прямоугольных контуров отдельных слоев исследуемой области и чтобы совокупная площадь ячеек, целиком лежащих внутри контура включения, была достаточно близка к площади подобласти, занимаемой включением. Осуществленное указанным образом задание сетки порождает разбиение рассматриваемой области на прямоугольные элементы.

Дополнительно в рассмотрение вводятся материальные волокна, проходящие через середины сторон указанных элементов (параллельно координатным осям).

Дается описание двух различных способов построения вариационно-разностной процедуры (приближенного) решения заявленной задачи. В качестве основных неизвестных принимаются перемещения узловых точек образованного ансамбля прямоугольных элементов. Соответствующее приближенное решение (в перемещениях) строится с использованием уже упомянутого вариационного уравнения. В случае традиционного (для принятого численного метода) способа построения искомой вариационно-разностной процедуры входящие в это уравнение интегралы по рассматриваемой области и ее границе приближенно вычисляются на основе значений подынтегральных выражений в средних точках соответствующих элементарных участков интегрирования. Значения деформаций в серединах прямоугольных элементов при этом приближенно выражаются на основе центрально-разностных схем через перемещения узловых точек соответствующих срединных материальных волокон элементов, которые, в свою очередь, также приближенно определяются посредством интерполяции через перемещения смежных узлов сетки прямоугольных элементов (как среднее арифметическое указанных узловых перемещений). В результате используемое вариационное уравнение оказывается выраженным исключительно в терминах узловых перемещений ансамбля прямоугольных элементов, составляющих исследуемую область. Из полученного таким образом вариационного уравнения непосредственно следует соответствующая система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений. Доказывается ее однозначная разрешимость в рассматриваемом классе задач. Решение указанной системы осуществляется по методу Гаусса с учетом ленточной структуры ее матрицы. По найденным узловым перемещениям затем рассчитываются (с использованием уже упоминавшихся разностных и

интерполяционных схем) деформации (затем напряжения), а также перемещения в серединах элементов. По этим параметрам и создается (приближенная) картина напряженно-деформированного состояния исследуемой области. Интуитивно понятно, что с измельчением сетки, покрывающей данную область, результаты такого численного моделирования должны приближаться к соответствующему точному решению. Однако осуществить доказательство данного утверждения при таком (традиционном) способе построения описанной вычислительной модели не представляется возможным. Тем не менее, указанное утверждение удается обосновать путем реализации описанной вычислительной модели альтернативным способом (в ассоциации с системой базисных функций, определяемых на выбранной сетке).

При указанном альтернативном способе за основу принимается предположение о полилинейном законе распределения перемещений по каждому из введенных в рассмотрение прямоугольных элементов, который полностью определяется заданием узловых перемещений. После подстановки перемещений в виде функций, подчиняющихся указанному закону, в вариационное уравнение, соответствующее заявленной задаче, и (точного) вычисления упоминавшихся уже интегралов по элементам приходят к (приближенной) формулировке этого уравнения в терминах неизвестных узловых перемещений. В результате выполнения процедуры варьирования получают систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений (которая, однозначно разрешима). В литературе по теории вариационно-разностных схем дается оценка отклонения получаемого указанным способом приближенного решения (как по самим перемещениям, так и их производным) от соответствующего точного решения, которая в случае наличия в исследуемой области включений (с криволинейным контуром) характеризуется величиной порядка

0(к]12), где к - параметр шага сетки. Такая оценка означает, что с уменьшением шага выбираемой сетки получаемое таким образом

приближенное решение сходится к точному решению заявленной задачи. Чтобы воспользоваться этой оценкой применительно к вычислительной модели, полученной традиционным способом, остается указать путь, по которому эта модель может быть выведена из модели, основанной на указанном полилинейном законе распределения перемещений. Здесь достаточно заметить, что в рамках принятого полилинейного закона распределения перемещений определяемые на основе указанных выше центрально-разностных и интерполяционных схем через узловые перемещения значения соответствующих параметров деформированного состояния прямоугольных элементов оказываются уже не приближенными, а точными. Погрешность (порядка 0{к2)) возникает лишь при приближенном вычислении интегралов по элементам в вариационном уравнении (с использованием значений подынтегральных функций в их серединах). Так что различие между решениями задачи на основе обсуждаемых двух альтернативных схем оценивается величиной порядка 0(И2), пренебрежимо малой по сравнению с упомянутой уже величиной, дающей оценку сходимости получаемого альтернативным способом приближенного решения. Значит, эта оценка справедлива и применительно к предлагаемой вычислительной модели.

Приведенное в завершение раздела описание особенностей программной реализации разработанного алгоритма дает представление о ее возможностях применительно к задачам о концентрации напряжений вокруг отверстий в упругих слоистых средах.

В третьем разделе излагаются результаты применения разработанной вариационно-разностной процедуры к решению задач плоской теории упругости для ряда случаев ослабленных круговыми отверстиями однородных областей. Соответствующие оценки по точности получаемых для каждого из таких случаев численных решений осуществляются путем сравнения с результатами имеющихся аналитических решений или тщательно выполненных экспериментов. При численном моделировании

таких бесконечно протяженных объектов, как упругая полуплоскость и упругая плоскость с круговым отверстием рассматривается конечная прямоугольная область с размерами, десятикратно превышающими радиус отверстия.

Соответствующая сетка прямоугольных элементов строится так, чтобы обеспечивалась возможность получения значений напряжений на кромке отверстия. Поскольку напряжения в представленной дискретной модели определяются исключительно в серединах элементов, разбиение исследуемой области 5 на элементы осуществляется так, чтобы середины элементов, граничащих с отверстием, оказывались на кромке отверстия. В этих целях контур отверстия равномерно разбивается на некоторое количество п элементарных дуг. Через концы указанных дуг проводятся прямые, параллельные осям Ох и Оу. Результатом является сетка элементов с требуемым свойством. Разбиение области вне зоны отверстия осуществляется при этом, исходя из принципа постепенного увеличения размеров элементов при удалении от отверстия.

Отмечается, что в случае имеющей точное аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии однородной упругой полосы на двух опорах под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки разбиение полосы (размером 2x1) на 243 х 243 прямоугольных элементов обеспечивает совпадение до пяти значащих цифр в числовых результатах приближенного и точного решений. При этом получение приближенного решения этой же задачи с приемлемым для практики отклонением порядка 4% от соответствующего точного решения обеспечивается разбиением этой полосы на 9 х 9 прямоугольных элементов.

При рассмотрении задачи о равностороннем растяжении однородной упругой плоскости с круговым отверстием, заполненным материалом включения, установлено, что выбор сетки с п =200 обеспечивает получение численного решения с отклонением не более 6% (по напряжениям на кромке отверстия) от соответствующего точного решения для широкого диапазона

значений отношения Ев/Е модулей Юнга материалов включения и рассматриваемой области. При этом в рамках указанной точности заданием больших значений этого отношения (Ев/Е>103) обеспечивается моделирование ситуации жесткого включения, а заданием малых значений (Ев/Е< КГ3) - ситуации свободного отверстия.

Полученные выводы о точности численного моделирования применительно к ситуации свободного отверстия (в рамках выбранной структуры сетки) подтверждены проведенными исследованиями случаев сжимаемых и растягиваемых в направлениях координатных осей однородной упругой плоскости с круговым отверстием, однородной упругой полуплоскости с круговым отверстием у края, а также однородной упругой плоскости с двумя одинаковыми близко расположенными круговыми отверстиями. Расчеты проводились с выбором Ев/Е = 10'\ Оценка достоверности получаемых численным моделированием результатов (по распределению напряжений вокруг отверстий) осуществлялась при этом путем сравнения с имеющимися аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Четвертый раздел посвящен применению разработанной вариационно-разностной процедуры к исследованию напряжений вокруг круговых отверстий (расположенных вблизи межслойных границ) в двухслойных и трехслойных средах (случаи до сих пор не исследованные в литературе).

Указывается, что переход от рассмотренных в предыдущем разделе случаев однородных сред с отверстиями к соответствующим случаям слоистых сред осуществляется без изменений в конфигурации уже сформированной сетки прямоугольных элементов. Для перенастройки программы расчета на учет слоистой структуры среды необходимо лишь в подпрограмме, определяющей упругие постоянные в зависимости от координат точек среды, присвоить параметрам, обозначающим модуль Юнга и коэффициент Пуассона, необходимые значения в соответствии с принадлежностью заданной точки тому или иному слою. Сохранение того же

уровня точности численного моделирования, что и в указанных случаях однородных сред, обеспечивается при этом тем, что межслойные границы, в окрестностях которых имеет место повышенная изменяемость напряженного состояния, проходят в зонах, где уровень сгущения выбранной сетки прямоугольных элементов заведомо высок (это зоны вблизи отверстий). Исследования проводятся в предположении, что рассматриваемые слоистые среды находятся в состоянии плоской деформации. Предполагается также, что на бесконечности в слоях среды реализуется состояние однородной деформации. Рассматриваются два случая нагружения, а именно продольное растяжение и поперечное сжатие, осуществляемое в условиях стесненных (нулевых) продольных деформаций на бесконечности.

В качестве объектов исследования принимаются: двухслойная упругая полуплоскость с круговым отверстием в первом (считая от ее границы) слое, двухслойная упругая полуплоскость с круговым отверстием во втором слое и трехслойная упругая плоскость (с одинаковыми первым и третьим слоями), второй слой которой ослаблен двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями. Численное моделирование применительно к каждому из указанных объектов осуществлялось с варьированием в широких диапазонах значений параметров Е(2)/е{1), у{1\ у(2) , представляющих собой отношение модулей Юнга и коэффициенты Пуассона соответствующих слоев. В процессе подобных параметрических исследований осуществлялся поиск вариантов значений указанных параметров, обеспечивающих снижение уровня напряжений вокруг отверстия по сравнению с соответствующим однородным случаем (случай

одинаковых материалов слоев, при котором Е(2)/Е{1) = 1, 0,3).

Среди обнаруженных при этом эффектов отметим следующие.

Так, при исследовании ситуации продольного растяжения двухслойной полуплоскости с круговым отверстием в первом слое обнаружено, что подбором значений параметров Е{2)/Е{1), у(2) можно обеспечить снижение уровня напряжений на кромке отверстия в 1,16 и 1,24 раза по сравнению с

соответствующим однородным случаем. Однако при этом уровень сдвиговых напряжений сгху на межслойной границе возрастет соответственно в 1,3 и 1,7

раза (по сравнению с однородным случаем). В ситуации же поперечного сжатия того же объекта при варьировании значений упомянутых параметров зафиксирован эффект снижения уровня сдвиговых напряжений сгху на

межслойной границе в 2 раза при том, что уровень напряжений на кромке отверстия увеличился в 1,06 раза (по сравнению с соответствующим однородным случаем). Также установлено, что применительно к данному объекту (как в ситуации продольного растяжения, так и поперечного сжатия) независимо от выбора значений параметров у(1), у{2) (в диапазоне от ОД до 0,45) при выполнении условия Е(2)/Ет >2 уровень напряжений на кромке отверстия практически не выходит за пределы того, что имеет место в соответствующем однородном случае.

Аналогично в ситуации продольного растяжения двухслойной полуплоскости с отверстием во втором слое установлены значения параметров Е(2)/Е(1), И2), обеспечивающие возможность снижения уровня напряжений на кромке отверстия в 1,2 и 2 раза по сравнению с однородным случаем. Это, однако, сопровождается увеличением уровня сдвиговых напряжений сгху на межслойной границе соответственно в 1,4 и 1,6 раза по

сравнению с однородным случаем. Применительно к обсуждаемой ситуации также установлено, что независимо от выбора значений коэффициентов Пуассона слоев (в диапазоне от 0,1 до 0,45) при выполнении условия Е(2)/Е{Х) <0,4 уровень напряжений на кромке отверстия не выходит за пределы того, что имеет место в случае однородной полуплоскости. При исследовании ситуации поперечного сжатия рассматриваемого объекта установлена возможность снижения уровня напряжений на кромке отверстия в 1,14 и 1,5 раза по сравнению с однородным случаем при одновременном уменьшении уровня сдвиговых напряжений <тху на межслойной границе

соответственно в 1,2 и 2,7 раза по сравнению с однородным случаем. Расчетами также установлено, что независимо от выбора значений параметров у(1),И2) (в диапазоне от ОД до 0,45) при выполнении условия Е{2)1Е(]) <0,2 уровень напряжений на кромке отверстия в рассматриваемой ситуации не выходит за пределы того, что имеет место в соответствующем однородном случае.

Наконец, при исследовании ситуации продольного растяжения трехслойной плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными во втором слое круговыми отверстиями установлена возможность снижения уровня напряжений на кромке отверстия в 1,6 раза при одновременном увеличении уровня сдвиговых напряжений аху на межслойной границе в 2

раза по сравнению с однородным случаем. Применительно же к ситуации поперечного сжатия данного объекта установлена возможность уменьшения уровня сдвиговых напряжений <уху на межслойной границе в 2,2 раза по

сравнению с однородным случаем при том, что уровень напряжений на кромке отверстия лишь незначительно (в 1,1 раза) снижается по сравнению с тем, что имеет место в однородном случае. Расчетами также установлено, что в рассматриваемом случае трехслойной плоскости (как в ситуации продольного растяжения, так и поперечного сжатия) независимо от выбора значений параметров И!),у(2) (в диапазоне от ОД до 0,45) при выполнении условия Е(2)/Ет <0,1 уровень напряжений на кромке отверстия практически не выходит за пределы того, что имеет место в соответствующем однородном случае.

В завершающей части раздела представлена сводка всех эффектов, обнаруженных в процессе исследований указанных трех объектов.

В заключении приведены основные выводы по представленной диссертационной работе.

1. Методы решения задач статики плоской теории упругости и формулировка подхода к решению задачи о напряженном состоянии упругой слоистой среды с отверстиями

Представленное во введении обсуждение позволило определить в качестве цели настоящей работы построение вычислительной модели для решения задач о концентрации напряжений вокруг отверстий в упругих слоистых средах. В данном разделе (в дополнение к уже сказанному) проводится обсуждение существующих (аналитических и численных) методов решения задач статики плоской теории упругости с тем, чтобы на основе анализа возможностей таких методов сформулировать подход, ориентированный на решение задач для слоистых сред с отверстиями. Предварительно сделаем замечание уточняющего характера.

Как уже отмечалось, литература по рассматриваемой плоской статической проблеме упругих тел с отверстиями чрезвычайно обширна. Здесь представлены работы таких отечественных и зарубежных ученых, как Г.В. Колосов, Н.И. Мусхелишвили, С.Г. Михлин, Д.И. Шерман, С.Г. Лехницкий, Г.Н. Савин, Д.В. Вайнберг, A.C. Космодамианский, А.Г. Угодчиков, М.П. Шереметьев, Л.А. Фильштинский, G. Kirsch, С.Е. Inglis, L.N.G. Filon, G.B. Jeffery, A.A. Griffith, H. Neuber, R.C.J. Howland, W.T. Koiter, R.D.Mindlin, M.Isida, M. Kikukawa и др. Чрезвычайно обширна и литература по численным методам решения краевых задач (в том числе задач плоской теории упругости). Понимая в этой связи невозможность в кратком обзоре проанализировать все многообразие представленных в литературе методов и результатов по затрагиваемому кругу вопросов, предпринимаемое обсуждение сосредоточим лишь на аспектах, способствующих выработке искомого подхода к решению заявленной задачи.

Начнем с краткого описания различных постановок плоских задач статики теории упругости. Затем перейдем к рассмотрению методов их

решения и обсуждению полученных для случаев тел с отверстиями результатов.

1.1. Постановка задач статики плоской теории упругости для однородных и кусочно-однородных (составных) тел

Как известно [28,42,45,61,66,86], плоская задача теории упругости формулируется для области (будем обозначать ее как S), лежащей в плоскости Оху прямоугольной декартовой системы координат Oxyz. Упомянутая область S представляет собой либо срединную поверхность тонкой пластинки (случай плоского напряженного состояния), либо поперечное сечение протяженного вдоль оси Oz цилиндра (случай плоского деформированного состояния). Указанные пластинка и цилиндр находятся под действием поверхностных и объемных сил, интенсивности которых будем обозначать как q и /, а их проекции на оси Оху - соответственно как qx, qУ и fx, fy. Для компонент вектора перемещений вводим обозначения

их и и у, а для компонент тензоров напряжений и деформаций, входящих в

формулировку плоской задачи, - обозначения стхх, <jyy, <7ху и sxx, syy, sxy.

Пусть также n (с проекциями пх, пу ) - единичный вектор нормали к

выбранной в теле элементарной площадке, а än (с проекциями <тхп, &уп) -

вектор напряжений, характеризующий силы, приложенные к указанной площадке со стороны той части тела, на которую указывает вектор п.

В случае тела, выполненного из изотропного материала, вытекающая из закона Гука связь между обозначенными напряжениями и деформациями может быть представлена в виде

ахх=М£хх+^2 £уу> °уу = ¿хх + £уу > аху = 2 &£ху ■ (1.1)

Здесь О - модуль сдвига материала. В литературе этот модуль обозначают также как ¡л. Так что /л = (7.

Коэффициенты С(или /и), Л ¡, Л 2 линейных зависимостей (1.1) выражаются через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V материала исследуемого тела согласно следующей схеме:

1) м = о Е

2(1 + уУ

2) в случае плоского напряженного состояния

Лх=-Л2=\>Л\\

1 -И

3) в случае плоского деформированного состояния

Л1 = 2 Сг + Л, Л 2 = Л, УЕ

где Л ■■

(\ + у)(\-2у)

Используемые здесь и далее константы Я и ¡л носят название постоянных Ламе.

Деформации £хх, £уу, £ху, входящие в выражения (1.1), связаны с перемещениями их и иу в каждой точке исследуемого тела соотношениями Коши вида

£хх "' ^ " Э^ ' £ху ~ 2

дих +диу

ду дх

(1.2)

Справедливые для каждой внутренней точки области <5* уравнения равновесия (в терминах компонент тензора напряжений) имеют вид

+ =0

дх ду

я я С1-3)

даху дсгуу

-- + + = 0.

Эх Эу

Для компонент вектора и тензора напряжений имеют место связи

°~хх пх ®ху пу ~ ®ХП'

аху пх + ауу пу = ауп. (1

Граничные условия в рассматриваемой плоской постановке задачи формулируются для границы Г области 5. В рамках такой формулировки полагаем, что на части Ги границы Г заданы перемещения, а именно

*

Ги=иУ (1.5)

* =1=

(Здесь их, и у заданные функции, определяющие распределение

перемещений вдоль участка Ги границы Г). К остальной части Гц границы

Г приложены заданные нагрузки и Если п-п\г - вектор внешней

нормали к границе Г области Я, то условия баланса внутренних и внешних сил, приложенных к точкам участка Гд границы Г, в терминах напряжений

могут быть записаны следующим образом:

ахАГч =Ух> аУП г "Чу- ^

Физические соотношения (1.1), геометрические соотношения (1.2) и уравнения равновесия (1.3) в совокупности образуют систему из восьми дифференциальных и алгебраических уравнений, содержащую восемь неизвестных в области 5 функций их, иу, £хх, £уу, £ху, <тхх, <туу, оху. В

случае однородного тела (как это предполагалось выше) ставится задача об отыскании обладающего определенной гладкостью решения указанной

системы, удовлетворяющего граничным условиям типа (1.5) и (1.6) с учетом (1.4).

В ситуации, когда область 5 составлена из частей, заполненных разными изотропными средами (случай кусочно-однородного тела), имеет место скачкообразное изменение значений коэффициентов в физических соотношениях (1.1) при переходе через границу раздела сред. В таком случае уравнения (1.1)-(1.3) остаются справедливыми лишь для внутренних точек каждой из составных частей области Условия на границе раздела сред требуют специального рассмотрения.

Пусть Г(12) общая граница частей и З^) области Будем

предполагать, что среды, заполняющие подобласти и £(2), были

сцеплены между собой по контуру /"(12) в исходном недеформированном

состоянии, и что такое сцепление сохраняется в процессе деформирования. В таком случае для перемещений общих точек двух сред и контура /"(12)

должно быть

«го

Г(12)

к<2>

Г(12) Г02)" (1-7)

Равенство (1.7) выражает условие непрерывности вектора перемещений

й при переходе через границу раздела сред.

Пусть теперь п = п\г - вектор нормали к контуру /"(12) ■ Тогда с

(12)

учетом связей (1.6) условия равновесия элемента контура /"(12) П°Д действием сил со стороны сцепленных с ним сред можно представить в виде

и хп

(2)

/"(12)

&ХП

' иуп

7 (12)

Г Уп

1 (12)

/"(12)' (1-8)

Равенства (1.8) выражают условие непрерывности вектора напряжений дп при переходе через границу раздела сред.

Итак, в случае плоской задачи теории упругости для кусочно-однородного тела искомое решение должно удовлетворять граничным

условиям типа (1.5) и (1.6), условиям непрерывности типа (1.7) и (1.8) на границах раздела сред и уравнениям (1.1)-(1.3) во внутренних точках каждой из однородных частей области Я.

Описанную задачу можно сформулировать также исключительно в терминах перемещений их и иу. Для этого достаточно в равенствах (1.3) и

(1.4) выразить с использованием соотношений (1.1) напряжения ахх, сгуу,

<7ху через деформации £хх, £уу, £ху, а затем, используя геометрические

соотношения (1.2), окончательно получить уравнения (1.3) и (1.4) в терминах перемещений. В частности, уравнениям равновесия (1.3) в терминах перемещений можно придать вид

где X - X в случае плоского деформированного состояния и

*

X - 2Х/л/{Х + 2/л) в случае плоского напряженного состояния. Уравнения (1.9) носят название уравнений Ламе.

Еще одна широко применяемая формулировка обсуждаемой плоской задачи теории упругости может быть получена в предположении отсутствия объемных сил (/х = /у = 0). В этом случае, вводя в рассмотрение функцию

напряжений Эри (будем обозначать ее как Ф(х, ) такую, что

(1.9)

д2Ф д2Ф д2ф

= а/ ' = дх2' ^ Эхду'

(1.10)

приходим к тождественному удовлетворению уравнений равновесия (1.3). Принимаем во внимание вытекающие из геометрических соотношений (1.2) условия совместности деформаций вида

d2*rc , _ о

ду2 дх2 дхду- (1-И)

Выражая далее с использованием соотношений (1.1), (1.10) деформации sxx, £уу, £ху через производные функции Эри и подставляя полученные результаты в равенство (1.11), приходим к бигармоническому уравнению

л л^ д4ф о 54ф д4ф А

которому должна удовлетворять функция Эри во внутренних точках соответствующих однородных частей области S. Граничные условия типа (1.6) и условия типа (1.8) на границе раздела сред формулируются с учетом выражений типа (1.4) в терминах производных функции Ф. Искомыми в подобной постановке задачи являются функции Ф, их и иу.

Дифференциальные связи между ними устанавливают физические соотношения (1.1) с учетом выражений (1.2) и (1.10).

Перейдем теперь к чрезвычайно плодотворной для плоской проблемы теории упругости формулировке, осуществляемой в терминах функций комплексных переменных. Основополагающими здесь являются фундаментальные исследования Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили. Как и ранее, дадим лишь краткое схематичное (достаточное для дальнейшего обсуждения) описание подобной формулировки, ограничиваясь при этом случаем однородной односвязной области S.

За основу принимаем предыдущую формулировку. Идея заключается в том, что, согласно уравнению (1.12), функция Р = ДФ (где А - оператор Лапласа) является гармонической функцией, поскольку удовлетворяет в области S уравнению Лапласа АР = 0. Через эту функцию с использованием упомянутых выше связей между производными функций Ф, их и иу можно выразить определенным образом перемещения их и иу. По введенной в

рассмотрение гармонической функции Р(х,у) строится (аналитическая) функция комплексного переменного F(z), где z-x + iy, вещественной частью которой является функция Р(х, у). Проводя далее преобразования, в процессе которых вводится в рассмотрение еще одна (аналитическая) функция комплексного переменного, можно получить следующие соотношения:

2 fi{ux+iuy)=x<p{z)-zq>\z)-\j/{z) (1ЛЗ)

и

Схх+Суу = 4 Яе [$/(*)] >

(1.14)

^уу-^хх + 2^ху =2[г(р\г) + у/'(г)]. Здесь (р{г) и у/(г) - аналитические функции, называемые комплексными потенциалами Колосова-Мусхелишвили. Постоянная % вычисляется по схеме / = 3 - 4у в случае плоской деформации и по схеме % - (3 - у) 1(1 + у) в случае плоского напряженного состояния.

Как видно из равенств (1.13)-(1.14), задание потенциалов (р{г) и у/{г)

полностью определяет напряженно-деформированное состояние упругого изотропного тела в плоском случае. Таким образом, задача плоской теории упругости в рассматриваемой формулировке сводится к отысканию двух аналитических в области £ функций (р(г) и у/{г), удовлетворяющих определенным условиям на границе Г области £. Если на контуре Г заданы условия в перемещениях типа (1.5), то, в соответствии с выражением (1.13) искомые функции <р(г) и у/(г) должны удовлетворять на контуре Г

соотношению

где комплексный аргумент ? (в отличие от г) служит для обозначения точек контура Г. Если на контуре Г заданы граничные условия в напряжениях

типа (1.6), то, выполнив ряд преобразований, можно получить выражение для

этих условий в терминах комплексных потенциалов (p{z) и y/{z), а именно

_ _ t

(p{t) + tq>\t) + y/{t) = i j(qx +iqy)dr,

{0

Здесь dr - элемент длины контура Г. Интегрирование осуществляется вдоль контура Г, начиная с некоторой фиксированной точки этого контура. Таким образом, в случае решения плоской задачи теории упругости с граничными условиями в напряжениях типа (1.6) искомые функции <p{z) и

y/(z) должны удовлетворять на контуре Г соотношению типа (1.16).

Отметим, что в случае кусочно-однородной области S для каждой из ее однородных частей вводятся в рассмотрение свои функции (р к у/. При этом на границах указанных однородных частей области S формулируются условия типа (1.15), (1.16) в сочетании с условиями непрерывности векторов перемещений и напряжений при переходе через эти границы.

Остановимся еще на одной формулировке, которая широко используется в проблемах статики. Это формулировка на основе (вариационного) принципа возможных перемещений. Применительно к деформируемому телу [45,86] этот принцип утверждает, что в состоянии равновесия работа приложенных к точкам тела сил на вариациях перемещений этих точек равна работе напряжений на соответствующих вариациях деформаций. Такое уравнение в случае рассматриваемой плоской задачи можно записать в виде

Ц(°хх $sxx + ауу 58уу + 2аху Sexy)dS = S

= \\{fxdux+ fySuy)dS+ \{qxSux + qy8uy)dr. (1.17)

s rq

Здесь dS - элемент площади области S. Интеграл по Г берется только по части rq границы Г, учитывая, что на участке Ги в соответствии с

граничными условиями (1.5) должно быть

8 и

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Мазин, Василий Александрович

Заключение

В завершение приведем основные выводы по выполненной работе.

1. Разработана модель численного решения задач плоской теории упругости о концентрации напряжений вокруг отверстий в слоистых средах, основанная на:

- предположении о прямоугольной конфигурации исследуемой слоистой области и изотропии материалов слоев;

- предположении о том, что все имеющиеся в слоях отверстия заполнены материалами включений (случай свободного отверстия при этом моделируется заданием пренебрежимо малого значения модуля Юнга материала включения);

- использовании сетки прямоугольной структуры и вариационно-разностной схемы.

2. Впервые решены задачи о концентрации напряжений вокруг отверстий применительно к ситуациям продольного растяжения и поперечного сжатия таких слоистых объектов, как двухслойная упругая полуплоскость с круговым отверстием в первом (считая от ее границы) слое, двухслойная упругая полуплоскость с круговым отверстием во втором слое и трехслойная упругая плоскость (с одинаковыми первым и третьим слоями), второй слой которой ослаблен двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями. При этом рассматривались случаи близкого расположения контуров соответствующих отверстий (радиуса 7?) как по отношению к межслойной границе (на расстояниях порядка 0,27? и 0,057?), так и по отношению друг к другу (на расстоянии порядка 0,57?).

3. Обнаружено, что в случае, когда материалы слоев одинаковы (однородный случай), четырехкратное уменьшение расстояния между контуром отверстия и межслойной границей (с 0,27? до 0,057?) в ситуациях продольного растяжения и поперечного сжатия указанных объектов ведет к увеличению уровня сдвиговых напряжений на межслойной границе соответственно в 1,3 и 2,5 раза.

4. Установлено, что надлежащим выбором значений параметров упругости слоев можно в ситуации продольного растяжения указанных трех объектов добиться снижения уровня напряжений на кромке отверстия (по сравнению с однородным случаем) соответственно в 1,2; 2; 1,6 раза. Однако при этом уровень сдвиговых напряжений на межслойной границе возрастет (по сравнению с однородным случаем) соответственно в 1,7; 1,6; 2 раза. Описанное представляет собой новый для проблем концентрации напряжений механический эффект. Получен впервые.

5. Установлено также, что в ситуации поперечного сжатия тех же объектов путем надлежащего выбора значений параметров упругости слоев можно добиться снижения (по сравнению с однородным случаем) уровня упомянутых сдвиговых напряжений соответственно в 2; 2,7; 2,2 раза при том, что уровень напряжений на кромке отверстия будет практически совпадать с тем, что имеет место в однородном случае.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мазин, Василий Александрович, 2012 год

Список использованных источников

1.Абовский Н.П., Андреев Н.П. Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 288 с.

2. Анциферов С. В. Об одной контактной задаче теории упругости для полуплоскости // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат.. 2003. N2. С. 7-15.

3. Афанасова О. В. Напряженное состояние круглого кольца, подкрепляющего отверстие в упругой плоскости, составленной из двух разных материалов // Тр. XVI науч. конф. мол. ученых Ин-та мех. АН УССР, Киев, 21-24 мая, 1991. АН УССР. Ин-т мех. Киев. 1991. С. 24-31.

4. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.

5. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Вариационно-разностные схемы в нестационарных волновых задачах динамики пластин и оболочек.

H.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1992. 159 с.

6. Базаренко Н. А. Решение операторным методом плоской задачи теории упругости для полосы с периодически повторяющимися вырезами // Изв. РАН. МТТ. 2007. N 4. С. 156-167.

7. Бардзокас Д.И., Филыптинский Л.А., Филынтинский М.Л. Актуальные проблемы связанных физических полей в деформируемых телах. Том

I. Математический аппарат физических и инженерных наук // М.Ижевск: РХД, 2010. 864 с.

8. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

9. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

10. Бребия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 525 с.

П.Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963. 487 с.

12. Вайнберг Д.А. Концентрация напряжений в пластинах около отверстий и выкружек. Справочное пособие. Киев: Техшка, 1969. 220 с.

13. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Дискретный анализ в теории пластин и оболочек // Труды VI Всес. конф. по теории оболочек и пластинок, 1966 г. М.: 1966. С. 209-214.

14. Вакуленко С. В. Первая основная задача для многосвязной изотропной полуплоскости с отверстиями и трещинами // Теор. и прикл. мех. (Киев). 2001. N33. С. 91-99.

15. Вариационно-разностные методы в математической физике. Сб. научных трудов. Под ред. акад. Г.И. Марчука. Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1974. 158 с.

16. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 544 с.

17. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

18. Воронина И. Ю. Определение напряженного состояния колец, подкрепляющих конечное число круговых отверстий в весомой полуплоскости // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат.. 2003. N2. С. 23-37.

19. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1977. 349 с.

20. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука, 1977. 439 с.

21. Гольдштейн Р. В., Перельмутер M. Н. Метод граничных элементов в задачах концентрации напряжений и механики разрушения // Препр. Ин-т пробл. мех. АН СССР. 1990. N 460. С. 1-60.

22. Григолюк Э.И., Филыптинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. 556 с.

23. Гриффин Д.С., Келлог Р.Б. Численное решение осесимметричных и плоских задач упругости // Механика: Сб. переводов. М.: Мир. 1968. N2(108). С. 111-125.

24. Ефимов В. В., Кривой А. Ф., Попов Г. Я. Задачи о концентрации напряжений возле кругового дефекта в составной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 1998. N 2. С. 42-58.

25. Землянова А. Ю., Сильвестров В. В. Задача о подкреплении пластины с вырезом при помощи двумерной накладки // Прикл. мат. и мех.. 2007. 71. N 1.С. 43-55.

26. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

27. Иванова Н. В., Мансырев Э. И. Исследование концентрации напряжений методом граничных элементов // Хим. и нефт. машиностр.. 1992. N8. С. 5-7.

28. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. 303 с.

29. Калбиев Р. К. Исследование напряженного состояния в шестиугольной пластинке, ослабленной центральным круглым отверстием с шероховатостью // Изв. Томск, политехи, ун-та. 2006. 309. N 1. С. 142146.

30. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

31.Калоеров С. А., Авдюшина Е. В. Концентрация напряжений в анизотропной полуплоскости с отверстиями и трещинами // Теор. и прикл. мех. (Киев). 1997. N 27. С. 63-72.

32. Калоеров С. А. Решение основных задач теории упругости для полуплоскости с отверстиями и трещинами // Теор. и прикл. мех. (Киев). 1998. N28. С. 157-171.

33. Калоеров С. А., Горянская Е. С., Шаповалова Ю. Б. Исследование напряженного состояния анизотропного тела с эллиптическими

отверстиями, упругими включениями и трещинами // Теор. и прикл. мех. (Киев). 1999. N 29. С. 175-187.

34. Космодамианский A.C. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. Киев-Донецк: Вища школа, 1976. 199 с.

35. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами.- Киев: Вища школа, 1975. 227 с.

36. Кошелев В. Ф. Расчет НДС и эффективных упругих свойств плоских тел с отверстиями, включениями и трещинами //19 Международная конференция, "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов", Санкт-Петербург, 30 мая- 2 июня, 2001: ВЕМ & FEM: Труды. Т. 2. СПб: Изд-во НИИХ СПбГУ. 2001. С. 214-219.

37. Кравчук A.C., Васильев В.А. Метод конечных элементов как вариант метода Ритца и некоторые примеры для плоских многосвязных областей // Вопросы теории упругости и вязкоупругости / УНЦ АНСССР. Свердловск. 1978. С. 45-53.

38. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.472 с.

39. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. В двух томах. M.-JL: Гостеориздат, 1951. 467с. +544с.

40. Лавренюк В. И., Лавренюк Н. В. Напряженно-деформированное состояние пластины, содержащей многослойное включение // Прикл. мех.. 2007. 43. N3. С. 104-110.

41. Лежнев A.B., Лежнев В.Г. Метод базисных потенциалов в задачах математической физики и гидродинамики // Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2009. 111с.

42. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости (2-е изд.). М.-Л.:ГИТТЛ, 1947. 464 с.

43. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела (2-е изд.). М.: Наука, 1977.416 с.

44. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. 382 с.

45. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

46. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Вариационно-разностная процедура численного решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области с включениями и отверстиями // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2010. №2. С. 53-62.

47. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Применение вариационно-разностной вычислительной модели к анализу напряжений в прямоугольных областях с отверстиями // Вестник Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. 2010. Том 16. Выпуск 1. С. 88-98.

48. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Напряжения вокруг кругового отверстия в двухслойной упругой полуплоскости при продольном растяжении // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. №1. С. 62-68.

49. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Напряжения вокруг кругового отверстия в двухслойной упругой полуплоскости при поперечном сжатии // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Выпуск 1. С. 119-128.

50. Мазин В.А. Численный анализ напряжений вокруг отверстий в упругих слоистых средах // Прикладная математика XXI века. Материалы XI объединенной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. Краснодар. 2011. С. 74-79.

51. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно сеточные методы. М.: Наука, 1981.416 с.

52. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 608 с.

53. Миленин Н. К., Воронов А. Н. К решению задачи о напряженном состоянии бесконечной упругой полосы, симметрично ослабленной круговым отверстием, и загруженной по внешнему контуру // Материалы 2-3 Международных научно-практических конференций "Современные проекты, технологии и материалы для строительного, дорожного комплексов и жилищно-коммунального хозяйства", Брянск, 17-18 апр, 2003 и 15-16 апр., 2004. Брянск: БГИТА. 2005. С. 285-290.

54. Миренков В. Е., Шутов В. А. Напряженное состояние полуплоскости, ослабленной круговым отверстием // Изв. вузов. Стр-во. 2000. N 12. С. 12-17.

55. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970, 512 с.

56. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости для неоднородной среды // Труды Сейсмолог, ин-та АН СССР. N0 66. 1935.

57. Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. М.-Л.: ГИТТЛ. 1947,304с.

58. Мокряков В. В. Задача о напряженном состоянии, возникающем в упругой плоскости, ослабленной бесконечной периодической системой близко расположенных отверстий // Препр.. Ин-т пробл. мех. РАН. 2006. N 806. С. 1-3.

59. Мокряков В. В. Применение метода мультиполей для решения задачи о двух близко расположенных отверстиях // Изв. РАН. МТТ. 2007. N 5. С. 129-145.

60. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.

61. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

62. Нейбер Г., Хан Г. Проблемы концентрации напряжений в научных исследованиях и технике // В кн.: Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей. М.: Мир. 1967. N 3. С.96-112.

63. Норри Д., Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. 304 с.

64. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: АН Армянской ССР, 1979. 235 с.

65. Оганесян Л.А. Численный расчет плит // Решение инженерных задач на электронно-вычислительных машинах: Матер, к конф. По механизации и автоматизации инж. и управл. работ. - Ленинград, июнь 1963г. Л.: 1963. С. 84-97.

66. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

67. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

68. Пеньков В.Б. Работы по плоским задачам теории упругости в Туле. // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Том 4. Вып. 2. С.20-26.

69. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981. 344 с.

70. Постнов В.А., Хархурим И .Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. 344 с.

71. Пронина Ю. Г. Сосредоточенные силы и моменты в упругой полуплоскости с отверстием // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 10. 2009. N2. С. 104-114.

72. Пронина Ю. Г. Концентрация напряжений в упругой полуплоскости с краевыми выемками // Изв. РАН. МТТ. 1998. N1.0. 103-109.

73. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.418 с.

74. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленинград. Ун-та, 1978. 224 с.

75. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. Спб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 532 с.

76. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 129 с.

77. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888 с.

78. Саврук М. П., Казберук А. Единый подход к решению задач о концентрации напряжений около острых и закругленных угловых вырезов // Прикл. мех.. 2007. 43. N 2. С. 70-87.

79. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

80. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элеменов. М.: Мир, 1979. 392 с.

81. Сильвестров В. В., Ильина И. И. Смешанная контактная задача теории упругости для кусочно-однородной плоскости с жестким линейным включением вдоль линии раздела сред // Смешанные задачи механики деформируемого тела: Материалы 5 Российской конференции с международным участием, Саратов, 23-25 авг., 2005. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2005. С. 289-292.

82. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.349 с.

83. Тарабрин Г. Т., Левщанова Л. Л. Концентрация напряжений около кругового отверстия в пластине, подкрепленного радиальными стержнями // Изв. Волгоград, гос. техн. ун-та. 2007. N 2. С. 18-20.

84. Тархнишвили В. А., Кварацхелия А. В. Конечные элементы с отверстиями и внутренними трещинами // Вестн. Самар. гос. ун-та. 2008. N2. С. 264-272.

85. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / Под ред. К.И. Бабенко. М.: Наука, 1979.

295 с.

86. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости 2-е изд. М.: Наука, 1979. 560 с.

87. Угодчиков А.Г. (ред.), Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во КГУ, 1986.

296 с.

88. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. JL: Наука, 1968. 402 с.

89. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, 1987.221 с.

90. Хренов С. И. Напряженное состояние весомой упругой полуплоскости, ослабленной отверстием произвольной формы // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат. 2003. N 2. С. 210-217.

91. Члингарян Г.С. Напряженное состояние составной упругой плоскости с включениями на границе раздела материалов // Изв. НАН Армении. Механика. 2009. Т.62. N 3. С.52-58.

92. Чобанян К.С. Напряжения в составных упругих телах. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1987. 338 с.

93. Шарафутдинов Г. 3. О некоторых применениях интеграла типа Коши в задачах деформирования тонких пластинок // Прикл. мат. и мех.. 2008. 72. N 5. С. 798-809.

94. Шерман Д.И. Статическая плоская задача теории упругости для изотропных неоднородных сред // Труды Сейсмолог, ин-та АН СССР. No 86. 1938. С. 1-50.

95. Шерман Д.И. Плоская деформация в изотропной неоднородной среде //ПММ. Том 7. Вып. 4. 1943. С. 301-309.

96. Шерман Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах статической теории упругости // Труды Все-

союзного съезда по теоретической и прикладной механике. M.-JL: Изд. АН СССР. 1962. С. 405-467.

97. Bathe K.J. Finite element procedures in engineering analysis.New Jersey: Prentice-Hall, 1982. 735 p.

98. Chau К. Т., Wang Y. B. A new boundary integral formulation for plane elastic bodies containing cracks and holes // Int. J. Solids and Struct.. 1999. 36, N 14. P. 2041-2074.

99. Chen Jeng-Tzong, Hsiao Chia-Chun, Leu Shyue-Yuh Null-field integral equation approach for plate problems with circular boundaries // Trans. ASME. J. Appl. Mech.. 2006. 73. N 4. P. 679-693.

100. Chen Jeng-Tzong, Wu An-Chien Null-field approach for the multi-inclusion problem under antiplane shears // Trans. ASME. J. Appl. Mech.. 2007. 74. N 3. P. 469-487.

101. Dhawan S. C., Chaudhry H. R., Gupta Hitesh Stress concentration around discontinuties of various configurations // Indian J. Pure and Appl. Math.. 1990. 21. N 11. P. 1037-1048.

102. Hoang Son K., Abousleiman Younane N. Extended Green's solution for the stresses in an infinite plate with two equal or unequal circular holes // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2008. 75. N 3. P. 031016/1-031016/13.

103. Leite Luciano G. S., Venturini Wilson S. Boundary element formulation for 2D solids with stiff and soft thin inclusions // Eng. Anal. Boundary Elem.. 2005. 29. N 3. P. 257-267.

104. Liu Y. A new fast multipole boundary element method for solving large-scale two-dimensional elastostatic problems // Intern. J. Number. Meth. Engng. 2006. V. 65. P. 863-881.

105. Luo Shao-ming, Zhang Xiang-wei, Cai Yong-chang. The variational principle and application of numerical manifold method // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed.. 2001. 22. N 6. P. 658-663.

106. Mogilevskaya S. G. The complex one-sided integrals of Cauchy and Hadamard and application to boundary element method // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech.. 1998. 22. N 12. P. 947-968.

107. Peterson's stress concentration factors / Walter D. Pilkey -2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1997. 524 p.

108. Selvadurai A. P. S. An inclusion at a bi-material elastic interface // J. Eng. Math.. 2000. 37. N 1-3. P. 155-170.

109. Sherman D.I. On the problem of plane strain in nonhomogeneous media // Non-homogeneous in elasticity and plasticity. London - New York - Paris -Los Angeles: Pergamon Press. 1959.

110. Soh A. K., Long Z. F. A high precision element with a central circular hole // Int. J. Solids and Struct.. 1999. 36. N 35. P. 5485-5497.

111. Ting K., Chen K. T., Yang W.S. Applied alternating method to analyze the stress concentrations around interacting multiple circular holes in an infinite domain // Intern. J. Solids Struct. 1999. V. 36. №4. P. 533-556

112. Yokoyama Masaaki, Zaita Tomohiro An efficient method for the two-dimensional elastostatic boundary element method // Int. J. Numer. Meth. Eng.. 1992. 35. N 6. P. 1277-1288.

113. Zhang L. Q., Lu A. Z., Yue Z. Q., Yang Z. F. An efficient and accurate iterative stress solution for an inifmite elastic plate around two elliptic holes, subjected to uniform loads on the hole boundaries and at infinity // Eur. J. Mech. A. 2009. 28. N 1. P. 189-193.