Решение задач оптимального управления при максимизации интегральной добычи и прибыли при планировании освоения группы нефтяных месторождений района тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат физико-математических наук Алиев, Алекпер Али-оглы

• Алиев, Алекпер Али-оглы
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алиев, Алекпер Али-оглы

2. Глава

I. Задачи оптимизации добычи нефти на месторождении

§1.1. Модель нефтяного месторождения

§1.2. Задача о максимизации интегральной добычи для нефтяного месторождения

§1.3. Задача о максимизации прибыли

3. Глава

II. Задачи оптимального управ-яения добычей нефти для модели группы месторождений

§2.1. Математическая модель группы нефтяных месторождение!

§2.2. Задача о максимизации интегральной добычи. Исследование свойств оптимального решения

§2.3. Задача о максимизации прибыли за фиксированный плановый период

§2.4. Применение метода динамического программирования для решения задачи о максимизации прибыли

4. Глава

III. Использование результатов численного решения задач оптимального управления при планировании добычи нефти по группе месторождений

§3.1. Возможности применения методов решения задач оптимального управления при перспективном планировании в нефтяной промышленности - -

§3.2. Численное решение задачи о максимизации интегральной добычи для группы месторождений с помощью метода локальных вариаций

§3.3. Применение результатов численного решения задачи о максимизации интегральной добычи для определения параметров управления в имитационной Системе формирования вариантов ' перспективных планов добычи нефти

5. Выводы

6. Литература « -

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач оптимального управления при максимизации интегральной добычи и прибыли при планировании освоения группы нефтяных месторождений района»

Некоторые из этих моделей ( например, исследованные в [ 3, 5, 19-21, 41 ] ) весьма детализированы, реализованы на ЭВМ и могут быть непосредственно использованы для разработки вариантов планов- кии отдельных их показателей по конкретным нефтедобывающим объектам. Другие предназначены также для решения теоретических вопросов, возникающих при исследовании и качественном анализе задач планирования [ 4,6,7,40,42,44,47-50 J .Существуют различные подходы к анализу математических моделей сложных систем.Первый подход основан на применении методов оптимизации.Как отмечается в работе [ 56], этот подход,наряду с известны 5 ми достоинствами, имеет ряд недостатков, ограничивающих его использование. "Во-первых, это трудность (и даже невозможность) формализации критериев качества, которыми пользуются эксперты для оценки вариантов развития системы. Во-вторых, в тех случаях, когда критерий качества удается формализовать, часто воз пикают такие оптимизационные задачи, методы решения которых не разработаны" [56].Подобные трудности использования методов оптимизации характерны не только в нефте-или газодобывающих отраслях, но и во многих других отраслях народного хозяйства. Стремление обойти или преодолеть эти трудности послужило, видимо, одной из главных причин, приведших к возникновению и развитию в последние десятилетия второго подхода к исследованию математических моделей сложных экономических и технических объектов, который основан на применении метода имитации развития системы. Существуют различные способы реализации этого метода. В последнее время большую известность получили методы имитации, разработанные Дж.Форрестером1_45,4б),его учениками и последователями [31, 57, 58].Значительный интерес к имитационному моделированию отмечается также и в нашей стране. В этой связи можно упомянуть, например, сборники статей [11, 33 J .В работах школы Дж.Форрестера используется аналогия с теорией автоматического регулирования. В них приводятся модели сложных экономических систем, которые интерпретируются как информационные системы с обратной связью. Они описьшаются большим количеством линейных разностных уравнений, в правых частях которых: могут содержаться различного вида нелинейности, задержки и т.п.,позволяющих осуществлять их запись и анализ на ЭВМ на специально разработанном для этих целей языке. Не решая никаких оптимизационных задач, эксперт имеет возможность, задавая раз- 6 личные закономерности изменения значений тех или иных параметров, следить за соответствующими изменениями других. Ценность такого подхода заключается в том, что он позволяет практикам (разумеется при хорошем математическом и техническом обеспечении) проводить оперативно многовариантные расчеты для оценки последствий принимаемых ими решений.Учитьшая отмеченные недостатки этих двух подходов, В.Р.Хачатуровым на Международном симпозиуме по имитационному моделированию в 1973 г. (г. Сухуми) был предложен третий подход, согласно которому при анализе математических моделей сложных систем необходимо сочетать методы имитации и оптимизации [47-49,56].Этот подход заключается в следующем. " Из модели исходной системы при различных упрощающих предположениях получают различные модели более простых аппроксимирующих систем, для анализа которых могут быть применены известные методы оптимизации. Решение различных задач оптимизации для аппроксимирующих систем может позволить качественно оценить поведение исходной системы, указать область наиболее предпочтительного варьирования управлений при имитации в модели исходной системы. Необходимо заметить, что различные аппроксимирующие системы могут составляться в зависимости от того, по какому критерию мы хотим оценивать варианты развития исходной системы.Очевидно, что реализация такого подхода для анализа сложных систем может быть осуществлена в человеко-машинном режиме. - 7 ...Этот подход может позволить в режиме человеко-машинного общения определить реальный (наилучший с точки зрения экспертов) проект развития системы" [бб].Третий подход может быть реализован путем построения имитационной системы. Чя.-корр. АН СССР Н.Н.Моисеев дает следующее определение понятия имитационной системы: " Имитационная система - это совокупность модели, имитирующей изучаемое явление и закодированной в ЭВМ, системы внешнего математического обеспечения и системы внутреннего обеспечения. Имитационная модель - формализованное описание в ЭВМ изучаемого явления во всей его полноте, на грани нашего понимания. Внешнее математическое обеспечение - совокупность упрощенных моделей явления ( или отдельных его сторон ) и методов анализа этих моделей. Внешнее математическое обеспечение призвано облегчить исследователю работу с имитационной моделью, оно ориентирует его при выборе тех или иных решений.Проверка этих решений на имитационной модели дает возможность совершенствовать внешнее математическое обеспечение. Наконец, внутреннее обеспечение системы - набор программ и устройств, реализующих эффективный диалог человека и машины.Таким образом, имитационная система представляет собой машинный аналог сложного реального явления. Она позволяет заменить эксперимент с реальным цроцессом экспериментом с математической моделью этого процесса в ЭВМ " 1.28, с. 6] .Итак, для реализации третьего подхода необходимо создавать специальное математическое обеспечение. Оно должно содержать комплекс программ, с помощью которых решаются различные задачи оптимизации для аппроксимирующих систем и осуществляются режимы имитации в модели исходной системы с учетом анализа решений, полученных для аппроксимирующих систем. - 8 Если имитационная модель описьгоается разностными уравнениями, то континуальными аналогами этой модели, очевидно, являются модели, описываемые с помощью дифференциальных уравнений. Задавая для каждой такой модели различные критерии качества, можно получить различные оптимизационные задачи. Эти задачи не всегда имеют достаточно простой вид, позволяющий ре шать их с помощью известных методов. Поэтому, для качественного анализа имитационной модели считается целесообразным строить достаточно упрощенные, агрегированные модели, получаемые из непрерьгоных аналогов и аппроксимирующие исходную имитационную модель. Это позволяет при тех же критериях качества сформулировать достаточно простые оптимизационные задачи, для решения которых могут использоваться известные методы, например, методы теории оптимального управления L 50 J .Разностные уравнения, описьгоающие даже такую упрощенную имитационную модель, содержат в правых частях нелинейности, разрывы, задержки. Реальная имитационная модель конкретного нефте-или газодобывающего региона обладает теми же принципиальными особенностями, но имеет значительно больший объем, учиты вает большее количество разнообразных факторов. Естественно поэтому, что решение различных оптимизационных задач для подобных моделей, таких как максимизация интегральной добычи за фиксированный плановый период, максимизация прибыли или минимизация какого-либо вида затрат, вызывает значительные трудности и за частую практически невозможно.Опишем один из упомянутых вьше подходов и построенную на его основе агрегированную аппроксимирующую модель одного месторождения .Будем считать, что дебиты всех одновременно введенных скважин одинаковы,и обозначим через Oft^Tj дебит в период времени скважины, пробуренной в период времени Т (T^i). Ъ период f текущая добыча ископаемого продукта на месторождении определяется суммированием дебитов скважин, пробуренных в этот и более ранние периоды, т.е.Сутушарная добыча за это время равна: Суммарное число скважин: л/f+j = X^frj .Управление величиной текущей добычи осуществляется путем изменения темпа разбуривания месторождения - /^ ( v .При этих предположениях модель месторождения принимает вид: о о 1Л{Г) :^0 ^ О ^Z ^ G ^ ± .Задавая различные процедуры определения Q /Г/, можно получить различные конкретные виды моделей.Модели и методы решения оптимизационных задач, исследованные в [ 41-43 J , включены в состав внешнего математического обеспечения имитационной Системы формирования вариантов перспективных планов добычи нефти (СФГЦЩ), разработанной в ВЦ АН СССР. Одна из моделей, рассмотренных А.В.Федосеевым, была построена в предположении, что начальный дебит всех вновь вводимых скважин на месторождении одинаков и не зависит от момента их ввода: ^ q, (г) S cj' = Cond .Для этой модели нефтяного месторождения были сформулированы и решены задачи о максимизации накопленной добычи и о максимизации прибыли за фиксированный плановый период при фиксированном ограничении на суммарное число скважин на месторождении.Кроме того, задача о максимизации накопленной добычи для модели одного месторождения была решена и при не фиксированном ограничении на суммарное число скважин на месторождении.Для этих моделей сформулированы и решены оптимизационные задачи - 13 о максимизации интегральной добычи и о максимизации прибыли за фиксированный плановый период, но в отличие от работ А.В.Федосеева, в этих задачах ограничения на суммарное число скважин на каждом месторождении не были заранее фиксированы. Поэтому, задачи, рассмотренные в диссертации, представляют собой задачи оптимального управления с параметрами. Исследована принципиальная возможность включения этих задач и алгоритмов их численного решения в состав внешнего математического обеспечения имитационной системы и приведены конкретные примеры использования полученных оптимальных решений для анализа имитационных моделей.Другим эффективным инструментом решения оптимизационных задач является динамическое программирование. Показана принципиальная возможность использования этого аппарата для численного решения задач оптимального управления, рассматриваемых в диссертации.В § 1.2 для построенной модели решается задача о максимизации интегральной добычи о при ограничениях на управление О ^ C-n[i) ^ K(-t) ^ где /ч (V - текущие капитальные вложения, предназначенные для разбуривания и обустройства скважин, С - стоимость бурения и обустройства одной скважины на месторовдении. Требуется определить оптимальный график разбуривания месторовдения, т.е. функцию 1^i't) и параметр Л/ , доставляющие экстремум функционалу J . Эта задача представляет собой задачу оптимального управления с параметром, от которого зависит как цравая часть дифференциального уравнения связи, так и фазовое ограничение.Отдельно рассмотрены разновидности этой задачи с дисконтированием и без дисконтирования. Полученные результаты сформулированы в виде теорем 1.2 и 1.3.В главе II, состоящей из четырех параграфов, проводится теоретическое исследование модели группы нефтяных месторождений средствами теории оптимального управления и динамического программирования.Кроме того, эта же задача рассмотрена при дополнительных ограничениях на управляющие функции: !l.(t) й )a,(t) ё n^-t) , ДЛЯ которой доказана теорема 2.2.В конце этого параграфа задача о максимизации интегральной добычи рассмотрена при наличии дополнительных ограничений. Не вдаваясь в подробное доказательство, лишь отмечено одно очевидное свойство этой задачи, на основе которого предложен алгоритм приближения к оптимальному решению.В § 2.3 для той же модели группы нефтяных месторождений рассматривается задача о максимизации прибыли с функционадом: ^ ] [p-Qt(-t) - e-Kl-,W] expHt)^-t -> /yiax .Для этой задачи доказана теорема 2.3.На основе этой теоремы указаны способы, по которым можно получить црактические рекомендации. Составлена специальная таблица значений величины 5- (^:,Т) , представляющей собой решение уравнения о ^ (J о .^ при различных значениях р , Q, , С- и i , взятых из практического диапозона изменения этих параметров. С помощью этой таб- 18 лицц можно заранее определить пордцок ввода месторождений в разработку и "отбраковать" те месторождения, разбуривание которых невыгодно с точки зрения максимума црибыли. Кроме того, по значениям величины д- (^j ,Т) , взятым из таблицы, можно выбрать более удачное начальное приближение оптимального управления для численного решения задачи о максимизации прибыли методом локальных вариаций И.А.Крылова и Ф.Л.Черноусько.В § 2.4 на примере задачи о максимизации прибыли за фиксированный плановый период исследована принципиальная возможность использования метода динамического программирования для численного решения рассматриваемых в диссертации задач оптимального управления. Выписаны рекуррентные соотношения Беллмана, которые в общем слзгчае дают возможность находить приближенное численное решение исходной задачи, а цри выполнении условия "очередности" ввода месторождений в разработку позволяют получить точное решение исходной оптимизационной задачи. Указаны два способа получения цриближенного решения исходной задачи.Глава Ш посвящена использованию численных методов решения задач оптимального управления, рассмотренных во второй главе, для улучшения исходных вариантов перспективного плана добычи нефти по нефтедобывающему объединению.В § 3.1 обсуждаются возможности применения методов решения задач оптимального управления для целей перспективного планирования в нефтяной промышленности. Описываются основные моменты методики имитационного моделирования, отмечаются характерные особенности нефтедобывающей отрасли, облегчающие построение для неё имитационных систем. Приводится краткое принципиальное описание разработанной в ВЦ АН СССР совместно с институтом СибНИИШ! Системы формирования вариантов перспективных планов добычи нефти и показывается возможность и целесообразность включения резуль19 татов, полученных в диссертации, во внешнее математическое обеспечение данной имитационной системы.В § 3.2 описан численный метод решения задач оптимального управления для группы месторождений, основанный на алгоритме последовательных приближений для метода локальных вариаций И.А.Крылова и Ф.Л.Черноусько [ 17 J. Приведены численные примеры для условной группы месторождений.В § 3.3 приводятся результаты решения задачи о максимизации интегральной добычи для двух условных нефтедобывающих объединений. Показано, как они могут быть использованы при составлении варианта перспективного плана по объединению.Объем диссертации 137 машинописных страниД, список литературы насчитывает 62 названий. - 20

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Алиев, Алекпер Али-оглы

ВЫВОДЫ

1. Рассмотрена агрегированная аппроксимирующая модель одного и группы нефтяных месторождений с взаимонезависимыми скважинами, представляющая собой полученный при некоторых упрощающих предположениях дифференциальный аналог сложных имитационных моделей группы месторождений, используемых для црове-дения расчетов при составлении конкретных вариантов перспективных планов добычи нефти.

2. Для моделей одного и группы месторождений, формализованной в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с управлениями, решены две оптимизационные задачи, каждая из которых представляет собой задачу оптимального управления с параметрами. В качестве параметров выступают заранее не фиксированные конечные суммарные числа скважин на каждом месторождении. Критериями качества выбраны максимум интегральной добычи и максимум прибыли за фиксированный плановый период, которые используются в практике планирования. В качестве математического аппарата для решения этих задач в основном использовался принцип максимума Л.С.Понтрягина. Кроме того, была показана принципиальная возможность применения метода динамического программирования для численного решения рассмотренных в диссертации оптимизационных задач.

3. Определены принципиальные виды оптимальных управлений, выявлены основные свойства оптимальных решений. На основе этих свойств получены некоторые практические рекомендации.

4. На основе свойств оптимальных управлений для численного решения вышеназванных оптимизационных задач предложены некоторые модификации алгоритма последовательных приближений И.А.Крылова и Ф.Л.Черноусько с локальными вариациями.

5. Разработанный алгоритм решения задачи о максимизации интегральной добычи реализован в виде программы на языке АЛГСШ-60 для ЭВМ БЭСМ-6, которая включена в состав разработанного в Вычислительном Центре АН СССР внешнего математического обеспечения имитационной Системы формирования вариантов перспективных планов добычи нефти.

6. С помощью названной программы для двух нефтедобывающих объединений Западной Сибири решена задача о максимизации интегральной добычи нефти. Результаты решения были использованы для поиска наиболее предпочтительных областей варьирования и определения "улучшенных" параметров управления в имитационной Системе формирования вариантов перспективных планов добычи нефти.

7. Результаты проведенных исследований позволяют сделать вывод о необходимости и эффективности такого способа использования агрегированных аппроксимирующих моделей и методов теории оптимального управления для анализа сложных имитационных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алиев, Алекпер Али-оглы, 1984 год

1. Азизов Б.Б., Федосеев А.В. Об одной модели освоения нефтяного или газового месторождения. Известия АН Азерб.ССР. Серия наук о Земле, 1979, № 4, с. 82 - 92.

2. Алексеев A.M., Гужновский А.П., Крылов А.П., Чудновский Г.М. Многоступенчатая экономико-математическая модель планирования развития и размещения нефтедобывающей промышленности. В кн.: Методы оптимального планирования добычи нефти. М.,1978,с.43-78.

3. Алиев А.А. Задача о максимизации прибыли для модели нефтяного месторождения. Известия АН Азерб.ССР. Серия наук о Земле, 1981, № 4, с. 86 - 95.

4. Алиев А.А., Федосеев А.В. Об одной задаче оптимального разбуривания группы нефтяных или газовых месторождений. Известия АН Азерб.ССР. Серия наук о Земле, 1980, № I, с. 79 - 86.

5. Арбузов Н.И., Данилов В.Л., Каменецкий С.Г., Крылов А.П., Крючков Б.Н. Экономико-математическая модель для установления оптимальной очередности ввода в разработку нефтяных месторождений района.-Нефтяное хозяйство,1968,№ 10,с. 1- G .

6. Беллман Р. Динамическое программирование.- Перевод с англ.-М.: Изд. иностранной литературы, I960. 400 с.

7. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. -2-ое изд.,перераб. и дополн.- М.: Наука, 1969. 408 с.

8. Всесоюзный симпозиум по имитационному моделированию экономических систем (Москва, 1973 г.): Сборник докладов. М.: Ротапринт ЦЭМИ АН СССР, 1975. - 2>4G с.

9. Волконский В.А., Мкртчян Г.М., Мовсесян Ю.Т., Острый Г.Б. Задача выбора оптимального направления в освоении нефте-га-зовых месторождений Западной Сибири. В кн.: Нефть и газ Тюмени. Тюмень, 1969, № 2, с. 54 - 57.

10. Голубничий A.M., Каган Я.М., Ройзрах В.Б., Сесин Н.А. Экономико-математическая модель предпланового обоснования проектирования обустройства нефтедобывающего района. Нефтепромысловое строительство, 1975, № I, с. 27- 2>1 .

11. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и её приложения. М.: Наука, 1971, - 352 с.

12. Донгарян Ш.С., Горбатиков В.А., Каган Я.М., Филановский В.Ю. Оптимизация обустройства нового нефтедобывающего района.- Нефтяное хозяйство, 1971, J6 5, с.А^-^Э.

13. Корявов П.П., Сушков Б.Г. Имитация динамических процессов.- М.: Знание, 1973. 64 с.

14. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. ЖВМ и МФ, 1962, 2, №. 6, с. 1132 - 1439 .

15. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления.- М.: Наука, 1972. 574 с.

16. Лузин В.И., Филановский В.Ю., Хачатуров В.Р. Имитационный подход к планированию долгосрочных строительных программ.- Нефтепромысловое строительство, 1975, №10, с. .24-29.

17. Лузин В.И., Филановский В.Ю., Хачатуров В.Р., Федосеев А.В., Корнилаева Д.С. Имитационная система предплановых расчетовв нефтяной промышленности (ИСПР-нефть). В кн.: Методы оптимального планирования добычи нефти. М., 1978,с. 121 - 140.

18. Лузин В.И., Хачатуров В.Р. Имитационные методы планирования и анализа развития нефтедобывающей промышленности. В кн.: Всесоюзный симпозиум по имитационному моделированию экономических систем (Москва, 1973 г.). М., 1975, с.

19. Лысенко В.Д., Мухарский Э.Д. Проектирование интенсивных систем разработки нефтяных месторождений.-М.: Недра,1975.-176 с.

20. Методические указания к разработке Государственных планов развития народного хозяйства СССР Госплана СССР. М.: Экономика, 1974. - 792 с.

21. Методы оптимального планирования добычи нефти (Сборник статей). М.: Наука, 1978. - 318 с.

22. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. - 488 с.

23. Моисеев Н.Н. Математика управление - экономика. - М.: Знание, 1970. - 62 с.

24. Моисеев Н.Н. Предисловие к русскому изданию книги 31 ,с.5-10.

25. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. - 424 с.

26. Моисеев Н.Н., Хачатуров В.Р. Автоматизация проектирования освоения новых нефтедобывающих районов. В кн.: Автоматизированные системы проектирования / Тез. докл. Советско

27. Финского симпозиума (г.Кишинев, 29 августа-2 сентября 1977 г.). М., 1977, с. 33 38.

28. Нейлор Т., Ботон Дгк., Бердик Д. и др. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. М.: Мир, 1975. - 500 с.

29. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 3-е издание. - М.: Наука, 1976. - 392 с.

30. Применение имитационных методов к анализу процедур планирования и управления в экономике (Сборник статей). М.: Ротапринт ЦЭМИ АН СССР, 1977. - ЦЦ с.

31. Проблемы развития и размещения производительных сил Сибири (Сборник статей). Новосибирск: Наука, 1976. - 133 с.

32. Сапожников П.С., Крашенинников С.Н., Филановский В.Ю. Экономико-математическое моделирование капитальных вложений в нефтяной промышленности. М.: Недра, 1978. - 263 с.

33. Сесин Н.А., Чуриков Л.И. Методика определения очередности освоения нефтяных месторождений. Геология нефти и газа, 1973, J& 3, с. 22-П .

34. Смирнов В.А., Максимов Ю.И., Соколов В.Г. Некоторые адаптивные характеристики перспективных планов и подходы к иханализу. В кн.: Оптимизация развития и размещения нефтегазовой промышленности. Новосибирск, 1977, с. 5 - 51.

35. Старовойтов С.Н. Вопросы надежности в перспективном планировании развития нефтяной промышленности. В кн.: Оптимизация развития и размещения нефтегазовой промышленности. Новосибирск, 1977, с. 81 - 93.

36. Стронина М.И. Математический анализ одного класса моделей динамики биологических популяций (Сообщения по прикладной математике). М.: Ротапринт ВЦ АН СССР, 1979. - 72 с.

37. Суспицын С.А. Нелинейная модель оптимизации режима разработки месторождений. В кн.: Проблемы развития и размещения производительных сил Сибири. Новосибирск,1976,с.54-60.

38. Федосеев А.В. Об одной задаче оптимального управления освоением группы месторождений полезного ископаемого. SBM и МФ, 1978, 18, В 4, с. 1014 - 1019.

39. Федосеев А.В. Оптимальное управление в трехсекторной модели экономики слаборазвитой страны. ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 4, с. 925-942.

40. Форрестер Дж. Мировая динамика. Перевод с англ. - М.: Наука, 1978. - 168 с.

41. Форрестер Дж. Основы кибернетики предприятия. М.: Прогресс, 1971. - 340 с.

42. Хачатуров В.Р. Двухуровневая имитационная система для проектирования развития нового нефтедобывающего района. В кн.: Всесоюзный симпозиум по имитационному моделированию экономических систем (Москва, 1973 г.). М., 1975, с.

43. Хачатуров В.Р. О динамическом проектировании и его реализации при освоении нефтяных месторождений. В кн.: Фактор неопределенности при принятии оптимальных решений в больших системах энергетики. - Иркутск, 1974, т.2, с. 128 - 137.

44. Хачатуров В.Р. Построение имитационной системы для планирования развития нового нефтедобывающего района. В кн.: Моделирование экономических процессов. М., 1974, с. 182 - 194. (Труды / Международная конференция, Ереван, 1974 г.).

45. Хачатуров В.Р., Федосеев А.В. О применении методов оптимального управления для анализа имитационных математических моделей. В кн.: Всесоюзный симпозиум по имитационному моделированию экономических систем (Москва, 1973 г.). М., 1975, с. 326 - 338.

46. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. - 1Ъ2> .

47. Шахджахан Али, Шмидт А.Г. Оптимальный рост в развивающейся экономике с выпукло-вогнутой производственной функцией и учетом амортизации капитала (Сообщения по прикладной математике). М.: Ротапринт ВЦ АН СССР, 1981. - 31 с.

48. Щелкачев В.Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. М.: Гостоптехиздат, I960. - 467 с. с ил.

49. Эрроу К. Применение теории управления к экономическому росту: Сборник переводов " Математическая экономика- М.: Мир, 1974.

50. Qlooit (Я. A'. гОег/е&^о/ъел^ 1и ^а^оиг-so(z^o€us . Ре г/. S-бис/. 4968 , 35, №2.

51. К/1ас/)а~6оиъои> I/./?. <Оуиа/гис t/es^i ал*/ titsisn^o -few ел Ut cHefcttihtf. Pzoc. of 'Me

52. Z^ot^c/ (^OHf, „ ybz&rat-c/s a fo&s? of ac^osz^ /палкс+ге/ . PQ-zc* f 4977, iso-f. 4} Регионом Ръеы OxfoZo/ & , N- 7 9 4979. f tOoK-foj /С/? Ttcfuf^caf) Oftao^s

53. R.F. ~£/ie г/isoove-Uf &fe (^с^г 0fа ^бш^е Pesvctce ; a of fr'.S./ftnfKzatf1. Ргуоъсм* су /tf.Cf. Т. .5$. /fleac/ous *0. > /Tleae/oi-bS, /0. ifo Uia S&uJe Pzess, 4374,5Q. Skc£q at Covzsex eeicazse

54. Pzoc/c*zJio>i j^wc-fiOM r^cort-osne^-cica, 4978, L/oif. , A/?3 .

55. S^o^eza L.G. Qti yoz <Е*со*ъо/*?сс

56. Gгегь-^/i . Sconowe vzica t 49G5 9 vof. 33 } A/° J? .64. t6elitz/паля M.l. S/icf£a£€e us. Р?оиa $i/r£/ieris . — Sco^o^e^-ccc^ 14974, vo€.2>9,tfz3.62. UeUz-watirt M.L.oy Режигсе Poo&. — С/. су ,4976 , № 3 .