Решение прямых и обратных задач анализа магнитного поля электротехнических устройств с постоянными магнитами при их локальном размагничивании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат наук Денисов Петр Александрович

• Денисов Петр Александрович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Денисов Петр Александрович

ВВЕДЕНИЕ

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Применение постоянных магнитов. Учет возможности их размагничивания

1.2. Характеристики постоянных магнитов и модели учета их размагничивания при анализе электротехнических устройств

1.2.1. Характеристики постоянных магнитов и описание процесса размагничивания

1.2.2. Подходы к моделированию эффекта размагничивания

1.2.3. Модели размагничивания для кривых с выраженной точкой изгиба

1.3. Обратные задачи диагностики электромагнитных устройств

1.4. Распространенные методы расчета магнитного поля

1.5. Постановка задач диссертации

2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ

2.1. Моделирование трехмерного магнитного поля постоянных магнитов

2.2. Моделирование трехмерного магнитного поля реакции однородных ферромагнетиков с линейными характеристиками

2.2.1. Использование скалярного потенциала простого слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика

2.2.2. Уточнение значений магнитной индукции в ферромагнетике с использованием решения вспомогательной задачи Неймана

2.2.3. Использование скалярного потенциала двойного слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика

2.3. Комбинированное использование скалярных потенциалов простого и двойного слоя для решения задачи расчета магнитного поля при наличии ферромагнетиков с нелинейными характеристиками

2.4. Расчет тестовой задачи

2.5. Основные результаты и выводы

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАМАГНИЧЕННОСТИ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВАХ

3.1. Модификация метода определения намагниченности уединенного постоянного магнита

3.2. Определение намагниченности постоянных магнитов в случае присутствия линейных ферромагнетиков

3.2.1. Использование скалярного потенциала простого слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика

3.2.2. Использование скалярного потенциала двойного слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика

3.3. Использование метода регуляризации для решения системы линейных алгебраических уравнений задачи

3.4. Решение тестовых задач

3.4.1. Методика исследований

3.4.2. Решение задачи идентификации состояния постоянных магнитов в присутствии линейного ферромагнетика с использованием скалярного потенциала простого слоя

3.4.3. Решение задачи идентификации состояния постоянных магнитов в присутствии линейного ферромагнетика с использованием скалярного потенциала двойного слоя

3.4.4. Решение тестовой задачи идентификации состояния постоянных

магнитов с исходными данными, полученными в программном пакете Femm

3.5. Идентификация состояния постоянных магнитов в присутствии нелинейного ферромагнетика

3.6. Основные результаты и выводы

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ С УЧЕТОМ РАЗМАГНИЧИВАНИЯ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ

4.1. Размагничивание постоянного магнита под действием собственного поля

4.2. Дискретная модель размагничивания постоянного магнита

4.3. Алгоритм расчета магнитного поля с использованием дискретной модели размагничивания постоянного магнита

4.4. Определение размагничивания уединенного постоянного магнита при различных температурах

4.5. Применение дискретной модели для оценки локального размагничивания

постоянных магнитов в линейном электродвигателе

4.6. Основные результаты и выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ВЫВОД АНАЛИТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение прямых и обратных задач анализа магнитного поля электротехнических устройств с постоянными магнитами при их локальном размагничивании»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследований. Достижения в создании постоянных магнитов с высокой плотностью энергии на базе сомарий-кобальта (SmCo) и неодим-железо-бора (NdFeB) позволили создать электрические устройства с постоянными магнитами, получившие широкое применение в различных областях. Электрические двигатели с постоянными магнитами, имея более высокий коэффициент полезного действия, обладая меньшим объемом и массой на единицу мощности, применяются в электровозостроении, промышленных системах автоматики, роботах и манипуляторах, приводах подач и главного движения металлорежущих станков, координатных устройствах, принтерах и плоттерах, упаковочных печатных машинах, прецизионных системах слежения, намоточных и лентопротяжных механизмах, в авиационной и медицинской технике и других электротехнических устройствах. Благодаря возможности создавать магнитное поле без привлечения внешних источников энергии постоянные магниты часто используются при проектировании энергосберегающих устройств.

В то же время устройства с постоянными магнитами имеют одну важную технологическую особенность, связанную с возникновением риска выхода их из строя из-за локального размагничивания магнитов. Причины размагничивания могут быть следующими: бросок тока в обмотке, перегрев, механические воздействия. Наличие хотя бы одного из перечисленных факторов может привести к частичной или полной утрате свойств постоянными магнитами, к потере мощности и даже отказу электротехнического устройства.

Особенно важно учитывать размагничивание при проектировании таких устройств, как электромеханический привод газораспределительного механизма двигателя внутреннего сгорания, где постоянные магниты должны сохранять работоспособность в условиях высокой температуры, до 2000С.

Ухудшение характеристик постоянных магнитов может происходить не только в процессе эксплуатации, но и на стадии сборки устройств. Так при

проектировании линейного синхронного двигателя с постоянными магнитами фирма «Academy of Modern Technologies, Inc.» столкнулась с проблемой размагничивания постоянных магнитов в процессе производства двигателя. Крепление постоянных магнитов к ротору производилось с помощью клея, для засыхания которого необходимо было помещать ротор в печь. При достижении 800С возникало частичное размагничивание постоянных магнитов, в результате которого двигатель не обеспечивал работу с заданными техническими характеристиками.

При возникновении таких ситуаций, для анализа воздействия негативных факторов на работу устройства необходимо оценивать состояние постоянного магнита путем исследования распределения намагниченности по его объему. Как правило, намагниченность нельзя измерить напрямую, однако ее можно определить косвенным путем, если сначала измерить значения магнитной индукции в воздушном зазоре устройства или в окружающем магнит пространстве, а затем, используя эти значения, решить задачу определения намагниченности. Задачи такого типа относятся к классу обратных.

Еще один тип задач решается при проектировании энергосберегающих устройств, когда требуется выбрать постоянные магниты с нужными свойствами, обеспечивающими требуемые характеристики устройства во всех эксплуатационных режимах его работы.

Перечисленные проблемы могут быть решены с использованием численных экспериментов, в результате анализа магнитного поля с учетом локального размагничивания постоянных магнитов, или в результате оценки их магнитного состояния в процессе эксплуатации по результатам непрямых измерений поля.

Разрабатываемый в диссертации инструментарий может быть также использован для усовершенствования конструкции и создания новых образцов энергосберегающего оборудования.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления ЮРГПУ (НПИ) им. М.И. Платова «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы», а также в рамках темы «Развитие методов

математического и компьютерного моделирования электротехнических, механических и экологических систем» с номером государственной регистрации 2819.

Степень разработанности темы исследования. К настоящему времени разработано большое количество методов моделирования магнитного поля и их модификаций: метод сведения задачи полевого расчета к эквивалентной схеме замещения, метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, метод граничных интегральных уравнений, известный также как метод вторичных источников, метод пространственных интегральных уравнений, метод точечных источников поля, а также подходы, комбинирующие указанные методы. Следует, однако, отметить, что в большинстве случаев характеристики постоянных магнитов считаются либо фиксированными, либо нелинейными, но задаются однозначно зафиксированной кривой размагничивания без учета линий возврата и частных петель. При этом необратимое размагничивание магнитов не учитывается. Исключением является программный пакет моделирования трехмерного магнитного поля методом пространственных интегральных уравнений, разработанный в ООО НПП «ЭнергоМАГ», учитывающий перемагничивание по частным циклам.

Более активно решением проблемы расчета поля с учетом размагничивания постоянных магнитов занимаются за рубежом. Разработаны сравнительно простые подходы, учитывающие возможное размагничивание магнитов. Однако они позволяют в основном решать только плоские задачи с применением метода конечных элементов, либо путем сведения полевой задачи к расчету эквивалентной цепи замещения.

Методы решения обратных задач электротехники не так развиты, как методы решения прямых задач анализа. В то же время они быстро совершенствуются. Стоит отметить, что в большинстве случаев используется метод конечных элементов.

Значительный вклад в развитие методов решения задач, рассматриваемых в диссертации, внесли В.А. Астахов, Ю.А. Бахвалов, В.В. Гречихин, А. Джедир, К.-

Ч.Ким, О.Ф. Ковалев, Э.В. Колесников, П.А. Курбатов, Ю. Ли, И.И. Пеккер, Ю.В. Писаревский, С. Руохо, И.П. Стадник, А.Н. Тихонов, А.Н. Ткачев, О.В. Тозони, А.Ф. Шевченко и другие.

Объектом исследования являются магнитные поля электротехнических устройств, содержащих постоянные магниты.

Предметом исследования являются математические модели расчета магнитного поля, учитывающие размагничивание постоянных магнитов.

Целью работы является разработка математических моделей, алгоритмов и программ, позволяющих выполнить расчет магнитного поля при проектировании электротехнических устройств с учетом эффекта размагничивания постоянных магнитов, а также выполнить идентификацию состояния постоянных магнитов в различных режимах эксплуатации этих устройствах.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

- разработка модернизированного алгоритма расчета магнитного поля на основе метода интегральных граничных уравнений, применительно к расчету двумерного и трехмерного магнитного поля;

- построение математической модели электротехнических устройств с постоянными магнитами, учитывающей размагничивание высококоэрцитивных постоянных магнитов;

- построение непрямого численно-экспериментального метода оценки намагниченности постоянных магнитов позволяющего выполнить идентификацию их характеристик, без извлечения из электротехнического устройства;

- разработка комплекса прикладных программ для ЭВМ, реализующих указанные методы и алгоритмы.

Научная новизна представленных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:

- предложено развитие метода оценки намагниченности постоянных

магнитов по известному распределению магнитного поля в окружающем пространстве, отличающееся от известного метода тем, что позволяет учитывать присутствие магнитомягких ферромагнитных материалов с известными характеристиками;

- разработан комбинированный подход, предполагающий использование скалярных потенциалов простого и двойного слоев в методе граничных интегральных уравнений, обеспечивающий устойчивость решения на основе двойного слоя и возможность простого моделирования постоянных магнитов с помощью зарядов простого слоя;

- предложен усовершенствованный метод расчета магнитного поля с насыщением, который отличается от известных подходов, предлагающих замену нелинейной ферромагнитной среды на кусочно-однородную с источниками поля в виде поверхностных токов на границах областей однородности, тем, что он предполагает применение скалярных источников поля вместо векторных, и позволяет сократить вдвое количество неизвестных при решении трехмерной задачи расчета магнитного поля;

- впервые разработана модель, позволяющая учесть размагничивание высококоэрцитивных постоянных магнитов при моделировании магнитного поля, отличающаяся тем, что размагничивание учитывается ступенчатым изменением значения остаточной индукции.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость состоит в разработке модифицированных методов расчета магнитного поля в кусочно-однородной нелинейной среде, методов идентификации состояния постоянных магнитов, построении модели, учитывающей дрейф характеристик постоянных магнитов, в том числе с резко выраженной точкой изгиба кривой размагничивания.

На основе полученных математических моделей разработан комплекс прикладных программ для ЭВМ, позволяющий рассчитывать плоскопараллельное и трехмерное магнитное поле электротехнических устройств с учетом

размагничивания постоянных магнитов, а также проводить идентификацию степени размагничивания постоянных магнитов.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач использованы: численные методы математического моделирования магнитного поля; метод граничных интегральных уравнений; метод регуляризации решения СЛАУ; методы теории электромагнетизма.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Выполнено развитие метода нахождения намагниченности постоянных магнитов в электротехнических устройствах по известной картине магнитного поля в окружающем пространстве, что позволяет выполнять диагностику состояния постоянных магнитов без их извлечения из электротехнического устройства.

2. Разработан модифицированный комбинированный подход, предполагающий одновременное использование скалярных потенциалов простого и двойного слоев в методе граничных интегральных уравнений, позволяющий обеспечить устойчивость решения за счет размещения на границах ферромагнетиков двойного слоя при одновременном моделировании постоянных магнитов простым слоем. Выполненная модификация метода обеспечила возможность решения обратной задачи оценки намагниченности постоянных магнитов в электротехнических устройствах.

3. Разработан усовершенствованный подход применительно к решению задачи расчета магнитного поля в нелинейных средах с учетом насыщения. В отличие от известного подхода, предполагающего замену нелинейной ферромагнитной среды кусочно-однородной с источниками поля в виде поверхностных токов на границах областей однородности, предложено использовать скалярные источники вместо векторных, что позволило существенно сократить количество неизвестных, особенно при решении трехмерных задач расчета поля.

4. Разработана модель, описывающая процесс размагничивания высококоэрцитивных постоянных магнитов при моделировании магнитного поля,

предлагающая ступенчатое падение значений остаточной индукции при размагничивании.

5. Получены универсальные аналитические выражения для элементов матрицы коэффициентов, используемой при реализации дискретной модели метода граничных интегральных уравнений для расчетных областей с геометрией по типу линейного двигателя. Данные выражения позволяют решать задачу идентификации постоянных магнитов в линейных двигателях и упрощают реализацию метода регуляризации решения СЛАУ.

6. На основе предлагаемых моделей построены алгоритмы, реализованные в виде комплекса прикладных программ для ЭВМ, работоспособность которых проверена на тестовых задачах и экспериментально.

Достоверность полученных результатов. Разработанные прикладные программы для ЭВМ были проверены на тестовых задачах и в сравнении с результатами известных программных пакетов.

Личный вклад автора. Совместно с научным руководителем поставлены задачи диссертационного исследования. Лично автором разработаны модифицированный комбинированный подход к одновременному использованию скалярных потенциалов простого и двойного слоя, усовершенствованный метод расчета магнитного поля в нелинейных средах, модифицированный метод оценки намагниченности постоянных магнитов, ступенчатая модель размагничивания, получены аналитические выражения для элементов матрицы коэффициентов дискретных моделей, разработаны реализующие указанные алгоритмы программы, выполнены численные эксперименты.

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях:

- региональная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Ростовской области «Студенческая научная весна - 2011» / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ);

- XIII Международная научно-практическая конференция «Методы и

алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 12 марта 2013 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ));

- XXVI Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (Нижний Новгород, 27-30 мая 2013 г. / Нижегород. гос. техн. ун-т.);

- XXVII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (Тамбов, 3-15 июня 2014 г. / Тамбовск. гос. техн. ун-т.);

- XV Международная научно-практическая конференция «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 20 марта 2015 г. / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т (НПИ) им. М.И. Платова);

- региональная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Ростовской области «Студенческая научная весна - 2015» / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т (НПИ) им. М.И. Платова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, общим объемом 2,38 печатных листа, в том числе 3 статьи в рецензируемом научном журнале, рекомендованном ВАК. Поданы на регистрацию две разработанные программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы включающего 79 наименований, и приложения. Общий объем работы составляет 119 страниц, в диссертации содержится 39 рисунков, 7 таблиц.

В первой главе «Состояние вопроса и постановка задач исследования» анализируются подходы к решению рассматриваемых в диссертации проблем. Выполнен обзор научных публикаций по теме работы. Сформулированы основные задачи диссертационного исследования и пути их решения.

Во второй главе «Применение метода граничных интегральных уравнений для моделирования магнитного поля в нелинейных средах с постоянными магнитами» приводится краткое описание метода ГИУ, обосновывается выбор

вторичных источников поля, выполняется модификация известного метода интегральных уравнений расчета магнитных полей в нелинейных средах, согласно которому расчет плоскопараллельного поля выполняется в результате разбиения нелинейного ферромагнетика на элементарные области и определения вторичных источников - токов на границах областей.

Третья глава «Определение намагниченности постоянных магнитов в электротехнических устройствах» посвящена решению задачи идентификации постоянных магнитов в электротехнических устройствах. Разработан модифицированный метод определения намагниченности постоянного магнита по известной картине поля в окружающем пространстве. Модификация заключается в рассмотрении нескольких постоянных магнитов вместо уединенного, а также в добавлении в решаемую систему интегрального уравнения относительно вторичных источников, моделирующих магнитомягкий ферромагнетик с известными характеристиками. Рассмотрены случаи, соответствующие линейной и нелинейной средам.

В четвертой главе «Моделирование магнитного поля электротехнических устройств с учетом размагничивания постоянных магнитов» описана оригинальная модель учета размагничивания постоянных магнитов с выраженной точкой изгиба на кривой размагничивания. Согласно предлагаемой модели учитывается возможность ступенчатого падения значения остаточной индукции при размагничивании.

В заключении сформулированы основные научные результаты диссертационной работы.

В приложении А приводится вывод аналитических формул для метода ГИУ.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Применение постоянных магнитов. Учет возможности их размагничивания

Постоянные магниты благодаря своим габарито- и энергосберегающим свойствам находят все более широкое применение в различных электротехнических устройствах: электродвигателях [1, 2], магнитных муфтах [3], электромагнитных приводах реле, контакторов, вентилей [4-7]

Постоянные магниты применяются в магнитных мультипликаторах, анализу которых посвящены работы [8, 9]. Расчет поля таких устройств в этих работах производится с применением программы численного моделирования EasyMAG3D, использующей метод ПрИУ [10] и допускающей возможность учета перемагничивания по частным циклам.

Традиционный подход к моделированию поля предполагает, что свойства постоянных магнитов описываются неизменной однозначной характеристикой, не учитывающей необратимое размагничивание. В работе [11] расчет поля синхронного двигателя с постоянными магнитами выполняется методом эквивалентной цепи. Кривая размагничивания описывается линейным уравнением, размагничиванием авторы пренебрегают. В работе [12] исследовано магнитное поле в рабочей зоне электродвигателя с постоянными магнитами. Размагничивание магнитов здесь не учитывается. Для расчета поля использовался метод ГИУ на основе скалярного ППС. В работах [13-16] используется подход, согласно которому постоянные магниты моделируются эквивалентными поверхностными токами, что также не позволяет учесть размагничивание.

Отметим, что размагничивание постоянных магнитов в рабочих режимах электротехнических устройств труднодостижимо и пренебрежение им является оправданным. Однако в определенных условиях их эксплуатации его необходимо принимать во внимание.

Так, в некоторых устройствах температура в области размещения

постоянного магнита может достигать больших значений. Например, в электромагнитном приводе клапана газораспределительного механизма двигателя внутреннего сгорания, температура может приближаться к 200оС, как это было показано в [6]. Данное обстоятельство приводит к необходимости учитывать размагничивание (дрейф характеристик) постоянных магнитов, т.к. с ростом температуры увеличивается их подверженность размагничиванию.

Другим устройством, в котором достижимы высокие температуры, является высокоэффективный гибридный электродвигатель, рассмотренный в статье [17]. В работе производился выбор формы постоянных магнитов для применения в синхронном приводе такого электродвигателя с учетом возможного размагничивания. Рассматривалось влияние повышения температуры в двигателе на состояние магнита. С целью обеспечения стойкости к размагничиванию магнит моделировался при температуре, равной 200оС. Для моделирования поля применялся двумерный МКЭ.

Для уменьшения риска размагничивания постоянного магнита в конструкцию устройства вносят специальные изменения. В работах [5, 7] при проектировании электромагнитного привода реле поток поляризации (удержания), создаваемый постоянным магнитом, и управления (от обмотки) были пространственно разделены. Моделирование поля выполнялось с использованием электрической схемы замещения магнитной системы реле.

Статья [18] посвящена исследованию способов изменения магнитного потока (усиления и ослабления магнитной индукции) в зазоре электротехнического устройства с постоянным магнитом, позволяющим избежать размагничивания постоянного магнита. Оценивалось влияние толщины магнита, а также наличия дополнительного магнитопровода. Исследования проводились с помощью аналитического расчета простейшей эквивалентной магнитной цепи.

Заметим, что без учета размагничивания невозможно проектирование двигателей переменного магнитного потока, принцип работы которых предполагает изменение намагниченности постоянных магнитов в процессе функционирования с помощью управляющих воздействий импульсами тока. В

работе [19] выполнен расчет магнитного поля такого двигателя. В качестве инструмента использовались МКЭ и модель гистерезиса Прайзаха.

Статья [20] также посвящена двигателю переменного магнитного потока. При анализе расчет поля выполнялся два раза: сначала с использованием нелинейного МКЭ при наличии размагничивающего тока рассчитывалась магнитная индукция, а на ее основе определялось новое состояние намагничивания согласно положению рабочей точки, затем рассчитывалось поле двигателя при выключенном токе, но с частично размагниченными магнитами.

В синхронных двигателях также необходимо учитывать размагничивание постоянных магнитов, так как оно может привести к изменению характеристик устройства. Неравномерное намагничивание полюсов ротора в электрических машинах с параллельными ветвями обмотки приводит к нежелательному эффекту возникновения уравнительных токов в обмотке [21].

Влияние размагничивания магнитов (как частичного размагничивания всего полюса, так и локального симметричного) на характеристики синхронного двигателя с постоянными магнитами мотор-колеса рассматривалось в [22]. Рассматривалась двухмерная задача, моделирование выполнялось с помощью эквивалентной цепи с использованием магнитных проницаемостей элементов устройства.

Частичное размагничивание постоянных магнитов при анализе поля электрической машины было учтено при расчете поля в работе [23]. Размагничивание моделировалось с использованием экспоненциальной аппроксимации кривой размагничивания, а расчет поля производился с помощью МКЭ.

В работе [24] выполнялся анализ размагничивания постоянных магнитов в электротехнических устройствах, исходя из предположения о неоднородном намагничивании магнита в начальном состоянии. Начальное состояние определялось с помощью вспомогательной модели намагничивания. Анализ поля выполнялся с использованием МКЭ, а размагничивание моделировалось с помощью движения рабочей точки и линий возврата.

В 2015 году была опубликована обзорная статья [25], посвященная диагностике размагничивания постоянных магнитов в синхронных электродвигателях. В ней отмечена важность проблемы учета размагничивания постоянных магнитов, описаны основные методы диагностики, а также способы повышения устойчивости к размагничиванию постоянных магнитов путем внесения специальных конструктивных изменений в проектируемые устройства.

1.2. Характеристики постоянных магнитов и модели учета их

размагничивания при анализе электротехнических устройств

1.2.1. Характеристики постоянных магнитов и описание процесса размагничивания

Материалы постоянных магнитов относятся к классу магнитотвердых материалов и характеризуются широкой петлей гистерезиса (рисунок 1.1). В намагниченном состоянии они сохраняют высокую остаточную индукцию, что определяет их назначение при использовании в электрических машинах: создание магнитного поля без привлечения активных источников энергии.

в

Вг ____*— у^Л г / * / / 1 / / 1 / 1 1 / Г 1 / 1 * / г ' / 1 1

нс 1 н, н

Рисунок 1.1 - Широкая петля гистерезиса Левую ветвь петли гистерезиса постоянного магнита называют кривой

размагничивания. На кривой размагничивания есть участок, на котором у магнитной индукции сохраняются положительные значения, а напряженность магнитного поля является отрицательной. Это соответствует случаю, когда к области постоянного магнита приложена напряженность размагничивающего поля.

На рисунке 1.2 показаны кривые размагничивания и основные характеристики постоянного магнита. На практике используются две кривых размагничивания: зависимости В(Н) и М(Н). Обе кривые пересекают ось В в точке Вг . Это остаточная индукция постоянного магнита. Она связана с остаточной намагниченностью равенством Вг = Мг.

Рисунок 1.2 - Кривые размагничивания и основные характеристики

постоянного магнита

В

Точку пересечения Нс кривой В(Н) с осью Н называют коэрцитивной

силой по индукции. Точка пересечения НМ кривой М(Н) с осью Н называется коэрцитивной силой по намагниченности. В этой точке магнит полностью размагничивается.

Кривая размагничивания характеризует процесс размагничивания под действием размагничивающего поля. Влияние температуры на размагничивание описывается совокупностью кривых, соответствующих различным значениям температуры. Оно обусловлено изменением внутренней энергии вещества постоянного магнита: с ростом температуры уменьшаются силы взаимодействия частиц, поддерживающие направление ориентации доменов. Это приводит:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Денисов Петр Александрович, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Питолин, В.М. Перспективные конструкции электрических двигателей для стоматологической практики / В.М. Питолин, Ю.В. Писаревский, Ж. А. Ген // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2011. - Т. 7. № 6. - С. 131-134.

2. Писаревский, Ю.В. Оптимизация магнитных систем бесконтактных электродвигателей постоянного тока с гладким якорем / Ю.В. Писаревский, А.Ю. Писаревский, В.Б. Фурсов, Ю.А. Илларионов // Электротехнические комплексы и системы управления. - 2014. - № 2. - С. 18-23.

3. Писаревский, А. Ю. Особенности математического моделирования магнитных муфт с кольцевыми постоянными магнитами / А.Ю. Писаревский, Ю.В. Писаревский, В.Б. Фурсов // Электротехнические комплексы и системы управления. - 2008. - № 1. - С. 47-51.

4. Knaian, A.N. Electropermanent Magnetic Connectors and Actuators: Sevices and Their Application in Programmable Matter: Doctoral Dissertation / Ara Nerses Knaian. - Massachusetts Institute of Technology. - 2010. - 206 p.

5. Гринченков, В.П Проектирование быстродействующих поляризованных электромагнитных приводов / В.П. Гринченков, Е.В. Шевченко, И.А. Большенко, И.Б. Подберезная // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. - 2013. - № 1. - С. 79-83.

6. Бахвалов Ю.А. Идентификация теплофизических параметров и процессов теплообмена электромагнитных приводов натурно-модельным методом / Ю.А. Бахвалов, И.А. Большенко, В.В. Гречихин, В.П. Гринченков // Изв. вузов. Электромеханика. - 2015. - № 2. - С. 25-29.

7. Гринченков, В.П. Электромагнитный привод с низким энергопотреблением / В.П. Гринченков, И.А. Большенко, А.В. Большенко // Изв. вузов. Электромеханика. - 2015. - № 5. - С. 50-53.

8. Дергачев, П.А. Анализ двухступенчатого магнитного мультипликатора / П.А. Дергачев, В.П. Кирюхин, Ю.В. Кулаев, П.А. Курбатов, О.Н. Молоканов //

Электротехника. - 2012. - № 5. - С. 39-46.

9. Дергачев, П.А. Магнитный мультипликатор с регулируемым передаточным отношением для ветровых и малых гидравлических электростанций / П.А. Дергачев, П.А. Курбатов, О.Н. Молоканов // Электротехника. - 2013. - № 4. - С. 33-38.

10. EasyMAG3D: руководство пользователя, версия 2.9 [Электронный ресурс] / Официальный сайт компании ООО НПП «ЭнергоМАГ». - Режим доступа: http://www.energomag.com/e3d.aspx.

11. Нго, Ф.Л. Эквивалентная схема магнитной цепи синхронного двигателя с инкорпорированными магнитами / Ф.Л. Нго, Г.И. Гульков // Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ. Энергетика. - 2015. - № 4. - С. 13-24.

12. Крячок, А.С. Исследование магнитного поля в рабочей зоне электродвигателя с постоянными магнитами / А.С. Крячок, А.Н. Красноголовец // Технологический аудит и резервы производства. - 2015. - Т.2, № 5 (22). - С. 6062.

13. Кочубей Т.В. Моделирование системы электродинамического подвеса и анализ ее силовых характеристик / Т.В. Кочубей, В.И. Астахов // Изв. вузов. Электромеханика. - 2010. - № 2. - С. 3-9.

14. Афанасьев, А.А. Математическая модель постоянного магнита в воздушном зазоре электрической машины / А.А. Афанасьев // Электричество. -2013. - № 10. - С. 42-47.

15. Приступ, А.Г. Исследование пульсаций момента синхронных магнитоэлектрических машин с дробными зубцовыми обмотками / А.Г. Приступ, Д.М. Топорков, А.Ф. Шевченко // Электротехника. - 2014. - № 12. - С. 36-40.

16. Топорков, Д.М. Добавочные моменты в машинах с возбуждением от постоянных магнитов от эксцентриситета ротора / Д.М. Топорков, А.Ф. Шевченко // Электротехника. Электротехнология. Энергетика. Сборник науч. трудов VII Междунар. Науч. Конф. Молодых ученых. Новосибирский государственный технический университет. Межвузовский центр содействия научной и

инновационной деятельности студентов и молодых ученых Новосибирской области. - Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2015. - С. 71-75.

17. Kim, K.-C. The Shape Design of Permanent Magnet for Permanent Magnet Synchronous Motor Considering Partial Demagnetization / K.-C. Kim, S.-B. Lim, D.-H. Koo, J. Lee // IEEE Transactions on magnetics. - vol. 42, Oct. 2006. - no. 10. - pp. 3485-3487.

18. Hsu, J.S. Study on Enhancement and Weakening of Permanent Magnet Air Gap Flux Density / J. S. Hsu // Proceedings of IEEE International Electric Machines and Drives Conference. - 2007. - pp. 1552-1556.

19. Lee, J.H. Permanent Magnet Demagnetization Characteristic Analysis of a Variable Flux Memory Motor Using Coupled Preisach Modeling and FEM / J. H. Lee, J. P. Hong // IEEE Transactions on magnetics. - vol. 44, Jun. 2008. - no. 6. - pp. 15501553.

20. Liu, H. Permanent Magnet Demagnetization Physics of a Variable Flux Memory Motor / H. Liu, H. Lin, S. Fang, Z.Q Zhu // IEEE Transactions on magnetics. -vol. 45, Oct. 2009. - no. 10. - pp. 4736-4739.

21. Вяльцев, Г.Б Численное моделирование уравнительных токов в электрических машинах с дробно-зубцовыми обмотками и возбуждением от постоянных магнитов / Г.Б. Вяльцев, А.Ф. Шевченко // Изв. вузов. Электромеханика. - 2013. - № 6. - С. 18-22.

22. Farooq, J. Use of Permeance Network Method in the Demagnetization Phenomenon Modeling in a Permanent Magnet Motor / J. Farooq, S. Srairi, A. Djerdir, A. Miraoui // IEEE Transactions on magnetics. - vol. 42, Apr. 2006. - no. 4. - pp. 1295-1298.

23. Ruoho, S. Partial Demagnetization of Permanent Magnets in Electrical Machines Caused by an Inclined Field / S. Ruoho, A. Arkkio // IEEE Transactions on magnetics. - vol. 44, Jul. 2008. - no. 7. - pp. 1773-1777.

24. Zhilichev, Y. Analysis of Permanent Magnet Demagnetization Accounting for Minor B-H Curves / Y. Zhilichev // IEEE Transactions on magnetics. - vol. 44, Nov. 2008. - no. 11. - pp. 4285-4288.

25. Moosavi, S.S. Demagnetization Fault Diagnosis in Permanent Magnet Synchronous motors: A Review of the State-of-the-Art / S.S. Moosavi, A. Djerdir, Y.Ait. Amirat, D.A. Khaburi // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - vol. 391, Oct. 2015. - pp. 203-212.

26. Meeker, D. Finite element method magnetic. Version 4.2 User's manual [электронный ресурс] / D. Meeker. - Режим доступа: http://www.femm.info/Archives/doc/manual42.pdf.

27. ELCUT Моделирование электромагнитных, тепловых и упругих полей методом конечных элементов: руководство пользователя, версия 6.1 [электронный ресурс] / Официальный сайт компании ООО «Тор». - Режим доступа: http://elcut.ru/demo/manual.pdf.

28. Красносельский, М.А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, А.В. Покровский. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. - 1983. - 272 с.

29. Золотарев, Н.А. Обобщенная модель магнитного гистерезиса, построенная на линейном дифференциальном уравнении первого порядка. Часть

I. Основное уравнение модели / Н.А. Золотарев // Изв. вузов. Электромеханика. -1994. - № 4-5. - С. 3-15.

30. Золотарев, Н.А. Обобщенная модель магнитного гистерезиса, построенная на линейном дифференциальном уравнении первого порядка. Часть

II. Основные характеристики процессов перемагничивания / Н.А. Золотарев // Изв. вузов. Электромеханика. - 1994. - № 4-5. - С. 3-15.

31. Золотарев, Н.А. Дифференциальное уравнение магнитного гистерезиса, эквивалентное классической модели Прайзаха / Н.А. Золотарев // Изв. вузов. Электромеханика. - 1999. - № 3. - С. 3-10.

32. Золотарев, Н.А. Обобщение моделей гистерезиса типа Релея-Мазинга / Н.А. Золотарев // Изв. вузов. Электромеханика. - 2004. - № 1. - С. 3-7.

33. Bi, S. An Efficient Inverted Hysteresis Model with Modified Switch Operator and Differentiable Weight Function / S. Bi, A. Sutor, R Lerch, Y. Xiao // IEEE Transactions on magnetics. - vol. 49, Jul. 2013. - no. 7. - pp. 3175-3178.

34. Колесников, Э.В. К основаниям электромеханики (Часть 20) / Э.В. Колесников // Изв. вузов. Электромеханика. - 2009. - № 5. - С. 81-98.

35. Колесников, Э.В. К основаниям электромеханики (Часть 21) / Э.В. Колесников // Изв. вузов. Электромеханика. - 2010. - № 5. - С. 82-100.

36. Ruoho, S. Comparison of Demagnetization Models for Finite-Element Analysis of Permanent-Magnet Synchronous Machines / S. Ruoho, E. Dlala, A. Arkkio // IEEE Transactions on magnetics. - vol. 43, Nov 2007. - no. 11. - pp. 3964-3968.

37. Ruoho, S. Modeling Demagnetization of Sintered NdFeB Magnet Material in Time-Discretized Finite Element Analysis / Sami Ruoho. - Aalto University publication series. DOCTORAL DISSERTATIONS 1/2011. Aalto Print. Helsinki, 2011. - 114 p.

38. Бахвалов, Ю.А., Обратные задачи электротехники : монография / Ю.А. Бахвалов, Н.И. Горбатенко, В.В. Гречихин; Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т (НПИ). -Новочеркасск: Изд-во журнала «Известия высших учебных заведений. Электромеханика». - 2014. - 211 с.

39. Адалев, А.С. Обратные задачи в электротехнике / А.С. Адалев, В.Н. Боронин, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин // Известия Академии электротехнических наук РФ. - 2008. - № 1. - С. 12-28.

40. Бахвалов, Ю.А. Применение обратных задач теории магнитных полей в проектировании энергосберегающих электромеханических устройств / Ю.А. Бахвалов, Н.И. Горбатенко, В.В. Гречихин, А.Н. Грекова // Изв. вузов. Электромеханика. - 2013. - № 5. - С. 28-32.

41. Бахвалов, Ю.А. Определение намагниченности постоянного магнита в составе электрической машины на основе решения обратной задачи теории поля / Ю.А. Бахвалов, А.Н. Грекова // Изв. вузов. Электромеханика. - 2012. - № 1. - С. 34-36.

42. Бахвалов, Ю.А. Определение намагниченностей постоянных магнитов в составе электрической машины на основе решения обратной задачи магнитостатики / Ю.А. Бахвалов, В.В. Гречихин, А.Н. Грекова // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2014. - № 1. - С.

46-48.

43. Гречихин, В.В. Математическое моделирование плоскомеридианных магнитных полей в системах с постоянными магнитами / В.В. Гречихин // Изв. вузов. Электромеханика. - 2009. - № 3. - С. 8-12.

44. Жильцов, А.В. Измерение намагниченности однородно намагниченных постоянных магнитов / А.В. Жильцов, И.П. Стадник // Изв. вузов. Электромеханика. - 2000. - № 2. - С. 83-86.

45. Васильева, И.Б. Расчет распределения намагниченности внутри постоянного магнита по экспериментально определенной картине его внешнего поля / И.Б. Васильева И.Б, И.И. Пеккер // Изв. вузов Электромеханика. - 1986. -№9. - С. 26-32.

46. Шайхутдинов, Д.В. Определение распределения намагниченности внутри образцов из магнитомягкого материала сложной формы по экспериментально определенной картине внешнего поля. / Д.В. Шайхутдинов // Международный журнал экспериментального образования. - 2015. - № 11-1. - С. 37-38.

47. Ковалев, О.Ф. Комбинированные методы моделирования магнитных полей в электромагнитных устройствах / О.Ф. Ковалев. - Ростов н/Д.: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001.- 220 с.

48. Щербаков, А.А Моделирование потенциальных полей в кусочно-однородных средах методом точечных источников: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18 / Щербаков Антон Андреевич. - Новочеркасск, 2013. - 20 с.

49. Байрамкулов, К.Н Метод электрических цепей Кирхгофа в задачах расчета стационарных магнитных полей: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.09.05 / Байрамкулов Казим Нюрахматович. - Новочеркасск, 2010. - 20 с.

50. Ревин, М.С Математическое моделирование и алгоритмы параметрического синтеза электромагнитных устройств: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18 / Ревин Михаил Сергеевич. - Новочеркасск, 2012. - 22 с.

51. Пашковский, А.В. Численно-аналитические методы стандартных элементов для моделирования стационарных физических полей в линейных

кусочно-однородных и нелинейных средах: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.18 / Пашковский Александр Владимирович. - Новочеркасск, 2014. - 364 с.

52. Астахов, В.И. Комбинированная численная модель стационарного магнитного поля токопроводящего рельса / В.И. Астахов, А.О. Сетракова // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: материалы XV Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 20 марта 2015 г. / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т (НПИ) им. М.И. Платова. - Новочеркасск : ЮРГПУ (НПИ) . - 2015. - С. 6-8.

53. Курбатов, П.А. Численный расчет электромагнитных полей / П.А. Курбатов, С.А. Аринчин. - М.: Энергоатомиздат. - 1984. - 168 с.

54. Подберезная, И.Б. Расчет магнитного поля в призме прямоугольного сечения методом пространственных интегральных уравнений / И.Б. Подберезная, Ю.К. Ершов, А.В. Павленко // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2014. - № 4. - С. 53-58.

55. Подберезная, И.Б. Оценка погрешности метода пространственных интегральных уравнений при его численной реализации / И.Б. Подберезная, Ю.К. Ершов, А.В. Павленко // Изв. вузов. Электромеханика. - 2015. - № 5. - С. 17-24.

56. Жильцов, А.В. Расчет магнитного поля в вентильном электродвигателе с закрытыми пазами с учетом нелинейной магнитной характеристики / А.В. Жильцов, В.В. Ликтей // Електромехашчш I енергозберiгаючi системи. - 2014. -№ 4 (28). - С. 59-70.

57. Zhiltsov, A. Numerical Calculation of Magnetic Field Induction in the Work Area Linear Permanent Magnet Motor with a Massive Conductor in by the Integral Equations Method / A. Zhiltsov, D. Sorokin // Енергетика i автоматика. - 2015. - № 2. - С. 88-98.

58. Стадник, И.П. Повышение точности расчета плоскопараллельного магнитного поля в кусочно-однородных средах методом двойного слоя / И.П. Стадник, Д.М. Филиппов // Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. - 2012. -№ 2. - С. 96-101.

59. Филиппов, Д.М. Методика расчета переменного во времени

магнитного поля в нелинейной среде с использованием граничных интегральных уравнений / Д.М. Филиппов, И.П. Стадник // Изв. вузов. Электромеханика. - 2014. - № 6. - С. 5-10.

60. Попов, Б.К. Решение полевых задач электротехники с помощью вторичных источников поля и рядов Фурье / Б.К. Попов, О.Б. Попова // Политематический сетевой электронный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ). - 2014. - № 95(01). - С. 1-22.

61. Клименко, В.В. Применение комплексного метода граничных элементов для расчета плоскопараллельного магнитного поля в многосвязных областях / В.В. Клименко, А.Н. Ткачев // Изв. вузов. Электромеханика. - 1995. -№ 5. - С. 9-18.

62. Ткачев, А.Н. Комбинированные методы моделирования квазистационарного электромагнитного поля в нелинейных анизотропных ферромагнитных средах: дис. ... д-ра техн. Наук: 05.09.05 / Ткачев Александр Николаевич. - Новочеркасск, - 2003. - 491 с.

63. Шкуропадский, И.В. Комбинированный метод конечных и комплексных граничных элементов для расчета электрических и магнитных полей в нелинейных анизотропных средах: дис. ... канд. Техн. Наук: 05.09.05, 05.13.18 / Шкуропадский Иван Владимирович. - Новочеркасск, - 2005. - 170 с.

64. Ткачев, А.Н. Комбинированный метод конечных и комплексных граничных элементов для расчета плоскопараллельного магнитного поля / А.Н. Ткачев, И.В. Шкуропадский, В.В. Клименко, В.П. Янов // Вестник Всероссийского научно-исследовательского и проектно-конструкторского института электровозостроения. - 2006. - № 1. - С. 112-129.

65. Косиченко, М.Ю. Численное моделирование электромагнитных полей и силовых характеристик в электромагнитных и магнитоэлектрических системах комбинированным методом конечных и граничных элементов: дис. ... канд. Техн. Наук: 05.09.05 / Косиченко Михаил Юрьевич. - Новочеркасск, - 2003. - 187 с.

66. Бахвалов, Ю.А. Математическое моделирование : учеб. пособие для вузов. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. / Ю.А. Бахвалов - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ).

2010. 142 с.

67. Тозони, О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей / О.В. Тозони, И.Д. Майергойз. - Киев.: Техшка. - 1974. - 352 с.

68. Демирчян, К.С. Теоретические основы электротехники: Учебник для вузов. 5-е изд. Т. 2. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин. - СПБ.: Питер. - 2009. - 432 с.

69. Денисов, П.А. Уточнение результатов метода вторичных источников в ненасыщенных ферромагнетиках / П.А. Денисов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-27 : сб. трудов XXVII Междунар. науч. конф., [Тамбов, 3-5 июня 2014 г.] : в 12 т. / Саратов. гос. техн. ун-т. - Тамбов: Тамбовск. гос. техн. ун-т. - 2014. - Т. 5. Секции 1, 2, 5. - С. 171-172.

70. Денисов, П.А. Применение потенциала двойного слоя при расчете магнитного поля в нелинейной среде / П.А. Денисов // Изв. вузов. Электромеханика. - 2015. - № 4. - С. 12-16.

71. Денисов, П.А. Моделирование магнитного поля насыщенной системы с помощью скалярного потенциала двойного слоя / П.А. Денисов // Студенческая научная весна - 2015 материалы регион. науч.-техн. конф. (конкурса науч.-техн. работ) студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Ростовской области / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т (НПИ) им М.И. Платова. - Новочеркасск : ЮРГТУ. -2015. - С. 105-106.

72. Денисов, П.А. Определение намагниченности постоянных магнитов линейного электродвигателя / П.А. Денисов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26 : сб.тр. XXVI Междунар. науч. конф., [Н. Новгород, 27-30 мая 2013 г.] : в 10 т. / Саратов. гос. техн. ун-т. - Н. Новгород : Нижегород. гос. техн. ун-т. - 2013. - Т. 8. Секц. 6, 7, 8, 9. - С. 21-25.

73. Денисов, П.А. Метод идентификации намагниченности постоянных магнитов электромагнитной системы / П.А. Денисов // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: материалы XIII Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 12 марта 2013 г. / Юж.-Рос. Гос. Техн. Ун-т (НПИ). - Новочеркасск : ЮРГТУ (НПИ). - 2013. - С. 84-86.

74. Денисов, П.А. О применении аналитических формул при расчете полей линейного и планарного двигателей методом граничных элементов / П.А. Денисов // Изв. вузов. Электромеханика. - 2014. - № 1. - С. 35-37.

75. Денисов, П.А. Применение скалярных потенциалов простого и двойного слоя в задачах идентификации постоянных магнитов в линейных синхронных электродвигателях / П.А. Денисов // Изв. вузов. Электромеханика. -2015. - № 3. - С. 5-10.

76. Денисов, П.А. Идентификация постоянных магнитов электромагнитной системы с применением скалярных потенциалов / П.А. Денисов // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: материалы XV Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 20 марта 2015 г. / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т (НПИ) им. М.И. Платова. - Новочеркасск : ЮРГПУ (НПИ) . -2015. - С. 24-26.

77. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука. - 1979. - 285 с.

78. Денисов, П.А. Учет размагничивания при моделировании магнитных полей электродвигателей с постоянными редкоземельными магнитами / П.А. Денисов // Студенческая научная весна - 2011 материалы регион. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Ростовской области / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск : ЮРГТУ. - 2011. - С. 236-237

79. Прудников, А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брынчков, О.И. Маричев. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. - 1981. - 800 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ВЫВОД АНАЛИТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим прямоугольный граничный элемент метода ГИУ, расположенный в плоскости Оху так, что его границы параллельны осям координат (рисунок А.1).

Рисунок А.1 - Рассматриваемый граничный элемент Пусть на рассматриваемом элементе плотность ППС является постоянной величиной < . Тогда потенциал р и напряженность магнитного поля Н , создаваемые элементом в окружающем пространстве, можно представить в виде:

р(б) = < I '(б),

Н (б) = < (/'х (б)ёх +1'у (б)ёу +1'* (б)ё*),

где I '(б) = К— ¿Бр , I' х (б) = До^О^ ¿Бр , I' у (б) = <®р ,

Грб Грд Грд

I'* (б) = ¡¡8^°^¿Бр .

гр<2

Получим аналитические выражения для величин I'(б), I'х (б), I'у (б) и I'* (б) . Рассмотрим для этого интеграл I'(б) = |Г ¿Бр . Запишем его в

8 гр6

координатной форме: I ) = I'(хе, уе , ) = | |

хр1 ур1 УхРУуР_

2 , .. ч2 , /_ _ \2

хр2 Ур2Д/(Хб - ХР) + (Уу - УР) + (- 2Р Проведем замену переменных х = XQ - хр , у = yQ - ур , 2 = ZQ - 2р и представим I \0) в следующем виде:

у2

Г=1 (x, y, 2 )| х2

(А1.1)

у1

где 1(х,у,2) = |, х + у + 2 ф 0.

1х + у + 2

Получим аналитическое выражение для I (х, у, 2). В процессе вывода будем опускать постоянные, возникающие при взятии неопределенных интегралов, так как они сократятся при подстановке пределов.

Воспользуемся известной формулой [79, с. 24]:

2 , 2

Г , У = = 1п[х + л1 х2 + а21 при а ф 0 .

* /х^ГО2 ^ )

2 2

Тогда при х + 2 ф 0 можно записать:

I(х,у,2) = Г 1п[у + х2 + у2 + 22 Ух =

= х1п[ у + \1 х2 + у2 + 22 I - Г-, х х = Ух =

1 1 J 1 Л , 2 , _2 2 , , 2 , _2

у + + у + 2 ^х + у + 2

2

= х1п[ у + л1 х2 + у2 + 22 |- Г-х-, == Ух

^ » ^ 1 т. 1 1 1

(х2 + у2 + 22) + уд/ х2 + у2 + 22

так как согласно [79, с. 240] Г 1п g(х)Ух = х1п g(х) - Гх (х) Ух.

g(x)

Введя обозначение

2

G(x, у, 2) = I-, == Ух,

(х2 + у2 + 22 ) + у^ х2 + у2 + 22

запишем:

I (х, у, *) = 1п ^ у + 4 х2 + у2 + *2 у G( х, у, *). (А1.2)

Найдем G(х,у,*). При у ф 0 G(х,у,*) можно преобразовать:

2

x, y, г) = |

х

у2

22 /х 1 *2Л у

х2 *2

-2 +1 + 2

у2 у2

^ .

у2 у2' у1

Рассмотрим случай, когда у > 0.

Проведем замену переменных: % = х, г2 = 1 + :

у у2

х^

О(х,у,*) = ¡—-2 у' , 2 2 ¿х = у|

х2 +! + (%2 + г2) + +г2

2 2 у2 у2

х 2 * 2

(+ 1 + "Г) + А

у у V

2 2 2 % + г . Так как при такой замене % = +л/ X ~Г

то необходимо рассмотреть два случая:

2 2

%> 0 (х > 0 и у > 0): О(х, у, *) = у^ Х ~Г ¿Х = yF+у (х,г):

1 + X

%< 0 (х < 0 и у > 0): х,у,*) = -у¡^^^ = _yF+у(х,г),

1 + X

22

^ х — г ¿х 2 —- при выполнении условий у > 0 и х Ф1 , что

1 + X

2 2

следует из х + * ф 0 . Оба случая могут быть объединены: О(х, у, *) = sign(х)уЕ+у .

Преобразуем Е+у, введя переменную у = 1 + х:

О О

Е+у = ^у — 2у +1 — г ¿у .

у

2 22

Введем обозначения: а = 1, Ь = -2, с = 1 - ц = —^ - 0 . Заметим, что при

2

этом Ь - 4ас = 4

' 22 I

1 + "2

V у У

у

> 0 . Воспользуемся формулами, приведенными в [79,

с. 101; с. 102; с. 103]:

-1/2

Г—Ух=*1/2+ЬГ Х?п+с I

Г

х_

х Ух

Ь г Ух

Ух

хХ

1/2

1

Х1/2 4а

1п

2ах + Ь

24а

■ +

4Х

, при а > 0,

? Ух 1 .2с + Ьх , 2

Г-^ту = !— arcsm —! ^ , при с < 0 и Ь > 4ас.

хХ1/2 V-

с

хЛ/Ь2^-

(А1.3) (А1.4) (А1.5)

4ас

'1

где Х = ах + Ьх + с. (В [79, с 102] в формуле (А1.4) допущена опечатка, что легко проверяется дифференцированием) Тогда

F+у =-\] у2 - 2у +1 - ц2 - 1п у -1 + ■^у2-2у+\-ц2 ц2 -1 arcsin

Ж -ц - 1п

22 Ж + л/Ж -ц

2 - Ж - Ц

ц - 1arcsin

2

1 -ц -У

Уц|

(ж +1)щ

= 1^1 - 1п

+ц2 +

- л/ц -1 arcsin

: -V+ц2-ц2

+ ц2 +11ц

х - 1п

у \1

х2 22

"2 + 1 + "2 +

у у

х 2

у у

arcsin

2 2 2

х 2 .,2

-2 + 1 + 2 - 1 - "2

у у у

1

22 х 1 2

-2 +1 + 2 +1

уу

2

1+

2

у

Заметим, что при с = 0 (то есть при 2 = 0) третье слагаемое в правой части (А1.3) обращается в ноль. Данный случай рассматривать отдельно необходимости

нет, так как он автоматически учитывается в полученном выражении для F+у.

22

Запишем выражение для С(х, у, 2) при выполнении условий х + 2 ф 0 и

у>0:

О( х, у, *) = sign( х) уЕ+у =

= sign(х)у

х х2 *2 "2 + 1 + "2 + уу х г

— 1п —

у 1 у у

2 2 2 х 1 * 1 *

-2 +1 + ^ — 1 — Т

ууу

22 х 1 * 1

~2 + 1 + ^ + 1

уу

2

1+

*

у

sign( х)

|х| — у 1п

.11

\ (х~ + у" + ^ ) +

у24 у

.2 . ..2 . _2 у х

+

+ * arcsm-

ь

1 (х2 + у2 2 )+ 1 +

2

у

Ь

1 (х2 + у2 2 )+1) 1 (у2 + *2 )

ь2

= sign( х )

|х| — у 1п(у х2 + у 2 + *2 + ху у 1п у +

+ * arcsm-

2 2 2 2 2 у^х 2 + у2 + *2 + у 2 + *2

1х2 + у2 + *2 + у У у2 + *2

22

Найдем х, у, *) для случая, когда выполняются условия х + * ф 0 и

у<0.

Проведем замену переменных: % = х, г2 = 1 + -у:

у

у

х

О (x, y, г) = |

у

2

2 2 (^ + 1 + *2 ) —

х2 *2

"Г + 1 + 2

у2 у2

¿х = у |

(%2 +г2) — V %2 +г2

у" у27 ^

Введем переменную х = V%2 + Г2 . Так как при такой замене % = ±л/X2 — Г то необходимо рассмотреть два случая:

2 2

| > 0 (х - 0 и у < 0): в{ х, у, 2) = у ^ Ж -ц Уж = у¥- у (ж,ц)

Ж -1

2 2

|< 0 (х > 0 и у < 0): в{х, у, 2) = -у^ Ж -ц Уж =-yF- у (ж,ц),

Ж-1

^л/ ж 2 — ц2 Уж 2

—- при выполнении условий у < 0 и ж Ф1

Ж-1

что

22

следует из х + 2 ф 0 . Оба случая могут быть объединены: G( х, у, 2) = - sign( х) yF - у.

Преобразуем F -у, введя переменную у = ж -1:

F"у = ГУу2 + 2у +1 -ц2 Уу . У

2 22

Введем обозначения: а = 1, Ь = 2, с = 1 - ц = —^ - 0 . Заметим, что при

у

2

этом Ь - 4ас = 4

' 22 I

1 + "2

у У

V

> 0 . Используя выражения (А1.3)-(А1.5), получим

F ~у = л/ у2 + 2у +1 -ц2 + 1п

у +1 + л/ у2 + 2у +1 -ц2

— ц -1 arcsin

1 -ц + у

= л1 Ж2-ц2 + 1п

22 Ж^Ж -ц

2 Ж -ц

ц - 1arcsin

2

(ж- 1)ц

= || + 1пд/|2 + ц2 + || -лЩ-Л arcsin

+ц2 -ц2

д/|2+ц2 + 11ц

х 2 2 х „ 2 —г +1 + —Г + 22 уу х 2

+ 1п -

у у у

arcsin

2 2 2

х ! 2 2

+1 + - 1--^

2 2 2

у у у

1

22 х 1 2 + 1 + - 1

22 уу

1+

2

у

Заметим, что при с = 0 (то есть при 2 = 0) третье слагаемое в правой части

(А1.4) обращается в ноль. Данный случай рассматривать отдельно необходимости нет, так как он автоматически учитывается в полученном выражении для Е—у.

Запишем выражение для х, у, *), справедливое при выполнении условий

22 х + * ф 0 и у < 0:

О( х, у, *) = — sign( х) уЕ—у =

—sign( х) у

х + 1п

у 11

= sign( х)

|х| — у 1п

х

у

(

v — у

2

* х *

7+ — + —

у у

arcsm

2 2 2 х 1 * 1 *

"Г +1 + ^ +1 + ^

у у у

22 х *

"Г +1 + ^ — 1

уу

у

2

1+

*

у

2 2 2 х х + у + * +

у

+

+ * arcsm

1 -у

2 2 2 л *

х + у + * +1 + —

у

2

2

г 1 Г^ 2 2 у — д/х2 + у2 + *2 + — V-у —Уу

у

22 у2 + *2

= sign( х)