Решение прямой и обратной двумерной задачи ВЭЗ в спектральной области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 04.00.12, кандидат физико-математических наук Бейтоллахи Али

• Бейтоллахи Али
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бейтоллахи Али

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ВЭЗ ДЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНО-СЛОИСТЫХ, ВЕРТИКАЛЬНО-СЛОИСТЫХ И ДВУМЕРНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

1.1. Основы теории метода ВЭЗ для горизонтально-слоистой среды

1.2. Спектральный потенциал в слоистой среде и его зависимость от параметров модели

1.3. Результаты численных исследований задачи ВЭЗ для вертикально-слоистой среды.

11

1.4. Метод интегральных уравнений для моделирования прямой двумерной задачи ВЭЗ.

13

1.5. Искажения поля вблизи двумерных неоднородностей

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

2.1. Спектральные представления в электроразведке

2..2. Спектральный подход в одномерной обратной задаче ВЭЗ

2.3. Решение обратной задачи в спектральной области Т-методом

2.4. Задача ВЭЗ для вертикально-слоистой среды

2.5. Пересчет экспериментальных кривых ВЭЗ в спектры. 46 ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ВЭЗ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

3.1. Постановка обратной двумерной задачи в спектральной области

3.2. Квази-одномерный метод решения обратных задач

3.3. Поверхностные интегральные уравнения 5

3.4. Опробование обратной двумерной задачи на моделях 66 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 72 ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение прямой и обратной двумерной задачи ВЭЗ в спектральной области»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в электроразведке широко используются методы постоянного тока, для интерпретации результатов наблюдений которых используются расчеты полей постоянного тока в неоднородных средах. Простейшие из таких задач могут быть решены методом интегральных уравнений. Следует отметить, что в теории методов электроразведки на постоянном токе слабо разработаны эффективные решения задач для сложных по своей структуре неоднородных сред. Тем не менее, практика геофизических исследований настоятельно требует решения именно такого класса задач, что позволит проводить более надежную интерпретацию результатов наблюдений в электроразведке на постоянном токе.

Для Ирана и многих других стран мира, находящихся в регионах с засушливым климатом, очень важной является проблема водоснабжения. На большей части Ирана рельеф пересеченный и запасы воды сосредоточены в узких межгорных долинах. Для сохранения воды в таких долинах строят плотины. Для поисков подземных вод изучают рыхлые отложения долин и зоны трещиноватости, перекрытые рыхлыми осадками. Для изысканий под строительство плотин и для поисков скоплений подземных вод можно использовать электроразведку методом вертикальных электрических зондирований (ВЭЗ). По условиям рельефа горных долин разносы ВЭЗ могут быть ориентированы только вдоль оси долины. Геоэлектрическая модель, изучаемая методом ВЭЗ, оказывается двумерной (2Б) и установка ВЭЗ ориентируется по простиранию неоднородностей. Такие кривые называют продольными кривыми ВЭЗ. Во многих случаях эти продольные кривые отличаются от кривых ВЭЗ для горизонтально-слоистой среды и традиционная их интерпретация в рамках горизонтально-слоистой модели приводит к большим количественным ошибкам интерпретации, пропуску реальных и обнаружению ложных структур. Для повышения точности интерпретации ВЭЗ необходимо разработать приемы интерпретации с учетом двумерности модели и ориентации установки. Аналогичные продольные кривые ВЭЗ могут быть получены при работах на реках, где установка под влиянием течения или движущегося судна ориентируется вдоль реки, а основные изменения строения наблюдаются поперек русла. При изысканиях под строительство мостов или для

прокладки трубопроводов нужно проводить акваторные электрические зондирования по пересекающему реку профилю с продольной установкой.

Подобные задачи 20 моделирования рассматривали В.И.Дмитриев, Е.В.Захаров, В.В. Кусков, Н.А.Мерщикова, И.Н.Модин, С.А.Березина, А.Г.Яковлев и др. При расчете прямой задачи для продольных кривых над 2Б структурами возникает немало аналитических и вычислительных проблем, которые до конца не решены. В частности расчет прямой задачи занимает много времени ЭВМ и мало подходит для решения обратной задачи. Кроме того, в литературе чаще рассматриваются случаи поперечной ориентации установки, а закономерности продольной ориентации изучены недостаточно.

Для продольных кривых ВЭЗ существует возможность их интерпретации в спектральной области (В.И.Дмитриев). Полевые кривые при этом пересчитываются в спектры, а решение прямой задачи продолжается до расчета спектров и сравнение кривых выполняется в спектральной области. Это позволяет резко сократить время счета и повысить его точность, так как главные ошибки расчета связаны с переходом от спектров к кривым ВЭЗ (В.В.Кусков). Этот подход напоминает хорошо известный в электроразведке ВЭЗ метод «снятия слоев» (О.Куфуд, В.П.Колесников), где экспериментальная кривая ВЭЗ для горизонтально-слоистой среды преобразуется в кернел-функцию, которая считается проще и быстрее, чем теоретическая кривая ВЭЗ. Такой подход имеет определенные достоинства в случае горизонтально-слоистой модели. Опыт электроразведчиков, использовавших метод снятия слоев, показал, что преобразование полевой кривой ВЭЗ в кернел-функцию непростая задача, но все же решаемая. Естественно, что и в случае двумерных сред преобразование полевых кривых для продольной установки в спектр вызывает определенные трудности, но по мнению автора они преодолимы.

Актуальность темы связана с поисками воды в узких горных долинах и с решением обратной двумерной задачи, позволяющей повысить эффективность ВЭЗ при таких поисках.

Цели и задачи работы. Для повышения эффективности интерпретации продольных кривых ВЭЗ необходимо разработать алгоритмы и создать программы расчета прямой и обратной двумерной задачи ВЭЗ для продольной установки и программы расчета спектров экспериментальных кривых ВЭЗ.

Нужно изучить основные закономерности ВЭЗ вблизи типовых форм двумерных структур и их спектральные характеристики в зависимости от параметров моделей.

Для успешного расчета прямой и обратной задачи для продольной установки ВЭЗ нужно исследовать аналитические и численные проблемы и найти пути их преодоления.

Практическая ценность работы состоит в повышении эффективности метода ВЭЗ для поисков воды, изучения разломных зон и инженерных исследований в горных долинах.

Педагогическая ценность работы. Результаты работы могут иметь значение и для учебного процесса, так как позволяют проводить физическое моделирование в узких электролитических ваннах, влияние которых можно изучить совместно с помощью математического и физического моделирования.

Исходный материал. В основу работы положены, главным образом расчеты прямых и обратных задач электроразведки на постоянном токе. Часть программ, использованных в работе, написана автором. При написании программ и по многим научным вопросам автор пользовался консультациями

H.А.Мерщиковой с факультета ВМиК, а также помощью сотрудников лаборатории электроразведки кафедры геофизики геологического ф-та МГУ. Использовались и некоторые программы этой лаборатории 1Р1-Ш, 1Р1-2В, 1Е20Р2. В качестве "полевого" материала использовались результаты расчетов по "чужим" программам.

Основные научные результаты:

I. Разработана теория, алгоритм и программа для решения прямой и обратной задачи для горизонтально-слоистой среды.

2. Разработан спектральный подход к расчету прямых задач для вертикально-слоистой среды, резко упрощающей решение и позволяющий решать обратную задачу.

3. Разработан спектральный подход к решению обратной двумерной задачи для продольной ориентации установки.

4. На практике чаще используются установки, ориентированные вкрест двумерных структур. Исследования автора показали большие достоинства продольной установки, особенно при решении обратных задач.

Апробация. Основные результаты диссертационной работы рассматривались на электроразведочном семинаре кафедры геофизики.

По теме диссертации опубликована одна работа.

Дмитриев В.И., Бейтоллахи А. О спектральном подходе к квазитрехмерной обратной задаче вертикального электрического зондирования. В сб. Прикладная математика и информатика. М. Изд. Диалог-МГУ, N1, 1999 г.

Работа выполнена при обучении в очной аспирантуре на кафедре геофизических методов исследования земной коры Геологического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Она содержит 77 страниц печатного текста, 50 рисунков, список литературы из 74 наименований.

Автор благодарит за помощь в работе с.н.с. Н.А.Мерщикову, доцента И.Н.Модина и своих научных руководителей проф. В.И.Дмитриева и проф. В.А.Шевнина.

ЗАЩИЩАЕМЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. При поиске скоплений пресных подземных вод в узких горных долинах необходимо использовать метод ВЭЗ с продольной ориентацией установки и выполнять интерпретацию в рамках двумерных моделей.

2. Решение обратной двумерной задачи для продольной ориентации установки ВЭЗ рекомендуется выполнять в спектральной области, что дает резкое повышение скорости решения задачи.

Заключение диссертации по теме «Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых», Бейтоллахи Али

Выводы к главе 3.

Спектральный подход применим для решения обратной двумерной задачи. При этом сокращается время расчета и в то же время этот подход дает возможность уйти от некоторых числительных трудностей.

Метод расчета спектров не зависит от ориентации установки (продольной или поперечной) и это значит, что в моделировании 2В задачи можно получить спектры, а из практических данных взять Фурье преобразование вдоль оси долины и решить обратную задачу.

Этот метод особенно выгоден когда измерения выполняются в горных долинах, на реках, и в некоторых задачах каротажа.

На основе спектрального метода предлагается, что для изучения 2-0 задачи в спектральной области(прямая и обратная задача) можно создать узкую лабораторную ванну и выполнять измерения вдоль этой ванны.

Метод пересчета практических данных в спектр не зависит от размерности изучаемой среды (Ш или 2В задача).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Основные научные результаты диссертационной работы:

1. Разработана теория, алгоритмы и программы для решения прямых и обратных задач электроразведки ВЭЗ в спектральной области в условиях горизонтально-слоистой, вертикально-слоистой и двумерно-неоднородных сред для продольной ориентации установки. Проведены оценки интервала частот X и шага по частотам для вычисления спектрального потенциала. Спектральный подход упрощает решение прямых задач и позволяет решать обратную задачу. При этом сокращается время расчета и этот подход дает возможность уйти от некоторых числительных трудностей.

Метод расчета спектров не зависит от ориентации установки (продольной или поперечной) и это значит, что в моделировании 2П задачи можно получить спектры, а от практических данных взять Фурье преобразование вдоль оси долины и решить обратную задачу. Этот метод особенно выгоден когда измерения выполняются в горных долинах, на реках, в некоторых задачах каротажа.

2. Обратная задача может быть решена в спектральной области Т-методом и этот метод устойчив. Автором разработана программа такой интерпретации.

3. Преобразование полевых кривых ВЭЗ в спектр для последующей 2Б интерпретации вызывает определенные трудности, но по мнению автора они преодолимы. Метод пересчета практических данных в спектр не зависит от размерности изучаемой среды (Ш или 2Э задача). Автором разработана программа для пересчета экспериментальных кривых в спектр.

ЗАЩИЩАЕМЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. При поиске скоплений пресных подземных вод в узких горных долинах необходимо использовать метод ВЭЗ с продольной ориентацией установки и выполнять интерпретацию в рамках двумерных моделей.

2. Решение обратной двумерной задачи для продольной ориентации установки ВЭЗ рекомендуется выполнять в спектральной области, что дает резкое повышение скорости решения задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бейтоллахи Али, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА.

1. Абрамова Е.Ш. Способ оперативного и точного вычисления интегралов, применимый к расчету ряда геофизических кривых. ВСЕГИНГЕО, препринт, 1985. 12 с.

2. Альпин J1.M. Метод вторичных зарядов: Прикладная геофизика, 1981, N 99. С.124-138.

3. Барашков A.C. Восстановление области задания уравнения Гельмгольца с малым параметром. Изв. ВУЗов, Математика, 1983, N8, с.3-7.

4. Бастис А.И., Кусков В.В. О численном решении двумерно-неоднородных задач электроразведки методом сопротивлений. // Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1985,N3, с.70-76.

5. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И., Новиков Д.Б., Пастуцан В.В.. Анализ и интерпретация магнитотеллурических данных. М., Диалог-МГУ, 1997,161 с.

6. Бердичевский М.Н., Яковлев А.Г., Модин И.Н. Искажения кривых ВЭЗ в горизонтально-неоднородных средах // Использование новых геофизических методов для решения инж.-геол. и гидрогеол. задач / Тез. докл. 10 Всесоюзн. науч.-техн. семинара. М., 4-6 июня 1989. С. 14-16.

7. Березина С.А., Бобачев A.A., Модин И.Н., Хмелевской В.К., Шевнин В.А., Яковлев А.Г. Интерпретация электрических зондирований в неоднородных средах / Вестн. Моск. ун-та. Сер. Геология. 1994. N 2. 12 с.

8. Березина С.А. Разработка алгоритмов прямых и обратных задач метода сопротивлений для неоднородных сред. Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. к. ф.-м.н. Москва, 1994 г.

9. Блох И.М. Электропрофилирование методом сопротивлений. М., Гостоптехиздат, 1971.216 с.

10. Бобачев A.A., Модин И.Н., Перваго Е.В., Шевнин В.А. Многоэлектродные электрические зондирования в условиях горизонтально-неоднородных сред. М., 1996, 50 с. // Разведочная геофизика. Обзорная информация. АОЗТ "Геоинформмарк". Выпуск 2.

11. Бурсиан В.Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке. JI., Недра. 368 с.

12. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизика. Под ред. В.И.Дмитриева, 1990. 498 с.

13. Дмитриев В.И. Методы решения обратных задач разведочной геофизики // Вестн. Моск. ун-та, сер. Вычисл. мат. и кибернет. 1986. N3. С.42-51.

14. Дмитриев В.И. Электромагнитные поля в неоднородных средах. М., МГУ, 1969. 131 с.

15. Дмитриев В.И. Интегральные характеристики в обратной задаче вертикального электрического зондирования. В сб. Проблемы математической физики. М. Диалог-МГУ, 1998, с. 90-95.

16. Дмитриев В.И., Бейтоллахи А. О спектральном подходе к квазитрехмерной обратной задаче вертикального электрического зондирования. В сб. Прикладная математика и информатика. М. Изд. Диалог-МГУ, N1,1999 г.

17. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод расчета поля постоянного тока в неоднородных проводящих средах. Вычислительные методы и программирование. М., МГУ, 1973. Вып. XX. С. 175-186.

18. Дмитриев В.И., Иванова Е.В. Интегральные уравнения в обратных задачах электроразведки. Сборник трудов факультета ВМиК, МГУ, Математическое моделирование и решение обратных задач математической физики. Под ред. акад. А.А.Самарского, 1994

19. Дмитриев В.И., Мерщикова H.A. Математическое моделирование вертикального электрического зондирования квазислоистых сред (Обратные задачи естествознания). Учебное пособие факультета ВМиК МГУ. Под. ред. чл.- корр. РАН Д.П.Костомарова, акад. РАЕН В.И.Дмитриева, 1997.

20. Дмитриев В.И., Серебренникова H.H. Численный расчет электрического поля точечного источника в слоистой среде с осесимметричным включением. // Известия ВУЗ, Геология и разведка, 1987, №2.

21. Ермохин K.M. Решение трехмерных задач детальной электро- и магниторазведки на основе метода объемных дипольных источников. Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. дтн. СПб, 1998.

22. Жданов М.С., Электроразведка, М. Недра, 1986.

23. Заборовский А.И. Электроразведка, М., Гостоптехиздат, 1963.

24. Земцов В.Н., Шак В.Г. Электрические зондирования на постоянном токе в рудных районах. М., Недра. 1990. 108 с.

25. Изотова Е.Б., Зверева Н.В. Расчет поля постоянного тока в неоднородных средах // Мат-лы обеспеч. интерпретации данных рудной электроразведки, М., 1978. Деп. ВИНИТИ.Рег.№222-78. С. 2-26.

26. Колесников В.П. Обработка и интерпретация результатов вертикального электрического зондирования с помощью ЭВМ. М., Недра. 1982. 142 с.

27. Кусков B.B. К вопросу об искажениях кривых ВЭЗ в условиях негоризонтальных границ раздела / Вестн. МГУ. Сер. Геол. 1979. N5. С. 68-72.

28. Кусков В.В. Математическое моделирование при изучении двумерно-неоднородных сред методом ВЭЗ. Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. к. ф.-м.н. Москва, 1986.

29. Кусков В.В. Численное моделирование вертикальных электрических зондирований в двумерно-неоднородных средах / Вестн. МГУ. Сер. Геол. 1985. N1. С. 82-88.

30. Кусков В.В., Яковлев А.Г. Электрическое поле в неоднородной среде // Электроразведка, справочник геофизика. М., Недра. 1989. С. 59-75.

31. Куфуд О. Зондирование методом сопротивлений. М., Недра. 1984. 270 с.

32. Матвеев Б.К., Электроразведка при поисках месторождений полезных ископаемых, М., Недра, 1982.

33. Мелькановицкий И.М., Ряполова В.А., Хордикайнен М.А. Методика геофизических исследований при поисках и разведке месторождений пресных вод. М.,Недра, 1982, 239 с.

34. Методы геофизики в гидрогеологии и инженерной геологии. М.,Недра. 1985. 184 с.

35. Модин И.Н. Электрометрические исследования на пресноводных акваториях. Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. к. г.-м.н. М., 1987.

36. Модин И.Н., Перваго Е.В., Смирнова Т.Ю., Яковлев А.Г. Расчет кажущегося сопротивления над сложными геоэлектрическими разрезами методом интегральных уравнений / Вестник Моск. ун-та. Серия Геология, 1992. N 3. С.91-95.

37. Морозова Г.М. Применение метода интегральных уравнений при решении задач теории электроразведки постоянным током. // Геология и Геофизика. - 1968. N11, с.76-84.

38. Огильви A.A. Основы инженерной геофизики. М., Недра, 1990. 501 с.

39. Петров A.A., Федоров А.Н. Решение обратной задачи электроразведки методами постоянного тока и вызванной поляризации / Изв. АН СССР. Физика Земли. 1988. N 11. С. 60-65.

40. Петров A.A., Федоров А.Н. Интерпретация данных электроразведки постоянным током в условиях неровного рельефа / Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. N 12. С. 8488.

41. Пылаев A.M. Руководство по интерпретации ВЭЗ. М., Недра. 1968. 148 с.

42. Рогова С.А., Яковлев А.Г., Модин И.Н., Шевнин В.А. Алгоритм моделирования поля точечного источника постоянного тока вблизи двумерной неоднородности. Матер.

14 науч. конф. мол. уч. и аспир. Геол. ф-та МГУ. Секц. Геофизика. М., МГУ, 1987. Деп. в ВИНИТИ, per. N 853-В88. 6 с.

43. Рыжов A.A., Судоплатов А.Д. Расчет удельной электропроводности песчано-глинистых пород и использование функциональных зависимостей при решении гидрогеологических задач // Научно-техн. достижения и передовой опыт в области геологии и разведки недр. М., 1990. С. 27-41.

44. Рыжов A.A., Каринская И.Д. Программы решения прямой и обратной задач ВЭЗ и ВЭЗ-ВП для ЭВМ серии ЕС. М„ 1981. 134 с.

45. Серкеров С.А. Спектральный анализ в гравиразведке и магниторазведке. М., Недра, 1991,280 с.

46. Смирнова Т.Ю. Математическое моделирование сложно-построенных сред в электроразведке методом сопротивлений. Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. к. г.-м.н. М., 1994.

47. Современный FORTRAN. О.В.Бартеньев.

48. Страхов В.Н. О решении обратной задачи в методе ВЭЗ // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1968. N4. С. 77-84.

49. Страхов В.Н., Карелина Г.Н. Об интерпретации данных ВЭЗ на ЭВМ // Прикладная геофизика. Вып.56. М., Недра. 1969. С.118-129.

50. Телфорд В.М., Гелдарт Л.П., Шерифф P.E., Кейс Д.А.. Прикладная геофизика. Перевод с английского. М., Недра, 1980.

51. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1986, 286 с.

52. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Дмитриев В.И. Математические методы в разведке полезных ископаемых. М., Знание. 1983. 63 с.

53. Тихонов А.Н., Самарский A.A., Уравнения математической физики, М., 1966.

54. Урусова А. В. Сплошные электрические зондирования горизонтально-неоднородных сред. Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. к. г.-м.н. М., 1994.

55. Хмелевской В.К. Электроразведка. М., 1984. 420 с.

56. Цифровой спектральный анализ и его приложения. С.Л.Марпл - мл., перевод с английского О.И.Хабарова и Г.А.Сидоровой, 1990.

57. Численные методы и программирование на Фортране. А.Б.Самохин и A.C.Самохина.

58. Шалат П. Применение теории линейных систем к интерпретации результатов геоэлектрических зондирований, проводимых над горизонтально-слоистыми структурами.

Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. к. ф.-м.н. М., 1974.

59. Электрическое зондирование геологической среды. Под. ред. В.К.Хмелевского и В.А.Шевнина, 4.1. М., 1988. 176 с. Ч. 2. М. 1992. 200 е..

60. Электроразведка методом сопротивлений. Под ред. В.К.Хмелевского и В.А.Шевнина. М., МГУ, 1994. 160 с.

61. Электроразведка (справочник геофизика, книга первая). Под ред. В.К.Хмелевского и В.М.Бондаренко, М., Недра, 1989. 438 с.

62. Яковлев А.Г. Влияние геоэлектрических неоднородностей на результаты электромагнитных зондирований // Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 1989. 17 с.

63. Якубовский Ю.В. и Ренард И.В.. Электроразведка. М., Недра, 1991.

63. Alfano L. The influence of surface formations on the apparent resisitivity values in electrical prospecting. Geophys. Prospecting, 1960-61, VIII, p.576-606, IX, p.213-241.

64. Anderson W.L. Numerical integration of related Hankel transforms of orders 0 and 1 by adaptive digital filtering. Geophysics,.- 1979.- 44 (7): P. 1245-1265.

65. Anderson W.L. Computer program numerical integration of related Hankel transforms of orders 0 and 1 by adaptive digital filtering// Geophysics.- 1979.- Vol.44, N7.- P. 1287-1300.

66. Ghosh D.P. The application of linear filter theory to the direct interpretation of geoelectri-cal resistivity sounding measurements. Geophysical. Prospecting, 1971, 19, p. 192-217.

67. Interpex software catalog. 11th edition. 2-D resistivity and induced polarization poligon modeling and inversion - RESIXIP2DI v3.

68. Kunetz G. Principles of direct current resistivity prospecting. Geoexploration monographs. Ser.l,Nl, Berlin, 1966,104 pp.

69. Loke M.H. and Barker R.D. 1995. Least-squares deconvolution of apparent resistivity pseudosections. Geophysics, vol.60, N 6 / November - December, p. 1682-1690.

70. Loke M.H. and Barker R.D. 1996. Rapid least-squares inversion of apparent resistivity pseudosections by a quasi-Newton method, Geophysical Prospecting, 44 (1), 131-152.

71. Mathematical methods for physicists, G.Arfkan, 1985.

72. Park S.K. and Van G.P., 1991. Inversion of pole-pole data for 3-D resistivity structure beneath arrays of electrodes: Geophysics, 56, 951-960.

73. Pelton W.H., Rijo L. and Swift S.M. Jr. Inversion of two-dimensional resistivity and induced-polarization data. Geophysics. 1978.,vol.43, No.4, pp.788-803.

74. Zohdy A.A.R. A new method for the automatic interpretation of Schlumberger and Wenner sounding curves // Geophysics. 1989. Vol.54. N2. P. 245-253.