Решение пространственной задачи вязкоупругости методом конечных элементов в приложении к бетонным и железобетонным конструкциям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Савельева Нина Александровна

• Савельева Нина Александровна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Савельева Нина Александровна

Введение

1. Анализ современных методов расчета предварительно напряженных железобетонных конструкций с учетом ползучести бетона

1.1. Ретроспективный анализ применения предварительно напряженного бетона в строительстве

1.2. Современное состояние проблемы исследования ползучести бетона

1.3. Механико-математические модели ползучести бетона

1.4. Расчет бетонных и железобетонных конструкций методом конечных элементов с учетом ползучести бетона

Выводы к первой главе

2. Соотношения метода конечных элементов для решения пространственных задач строительной механики и теории упругости

2.1. Основные моменты истории метода конечных элементов

2.2. Построение матрицы жесткости пространственного балочного конечного элемента

2.3. Объемные конечные элементы изопараметрического семейства

2.4. Построение матриц жесткости объемных конечных элементов с использованием метода двойной аппроксимации

2.5. Численное исследование точности и сходимости объемных конечных элементов

Выводы ко второй главе

3. Решение задачи линейной вязкоупругости методом конечных элементов в трехмерной постановке

3.1. Физические соотношения теории ползучести

3.2. Наследственные функции теории ползучести

3.3. Конечно-элементный алгоритм решения пространственной задачи линейной вязкоупругости

Выводы к третьей главе

4. Конечно-элементное моделирование железобетонных конструкций с учетом ползучести бетона

4.1 Инженерный анализ разгружающего эффекта в железобетонных предварительно напряженных конструкциях

4.2 Изгиб предварительно напряженной железобетонной балки прямоугольного поперечного сечения

4.3 Расчет напряженно-деформированного состояния железобетон-

ной плиты квадратной в плане на продавливание

4.4 Расчет предварительно напряженной секции коробчатого сечения железобетонного моста

4.5 Анализ несущей способности узла железобетонной портальной рамы

4.6 Влияние ползучести бетона на выгиб предварительно напря-

женной мостовой балки

Выводы к четвертой главе

Заключение

Литература

Приложение I

Приложение II

Приложение III

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение пространственной задачи вязкоупругости методом конечных элементов в приложении к бетонным и железобетонным конструкциям»

Введение

Актуальность темы исследования. На протяжении последних двух столетий наиболее распространенным конструкционным материалом, используемым при строительстве и реконструкции зданий и сооружений, является бетон. Этот факт объясняется такими качествами бетона, как стабильность механических характеристик во времени и в проектном диапазоне нагружения, технологичность при формировании строительных конструкций практически любой геометрии, стойкость к различным атмосферным воздействиям, совместимость с металлическими конструкциями в форме армирующих каркасов и рамно-балочных систем, экологичность в сочетании с возможностью вторичного использования исходных компонентов после сноса строительного объекта. Вместе с тем по сравнению со сталью использование бетона ограничено его низкой прочностью при растяжении, а также деформациями усадки и ползучести. Причем, как показали многочисленные исследования, явление ползучести наиболее выражено в большепролетных сооружениях, работающих в условиях квазистатического переменного нагружения.

В настоящее время инженерный расчет на прочность строительных конструкций из монолитного железобетона базируется на применении метода конечных элементов (МКЭ). Общеизвестно, что данный метод может быть использован для математического моделирования широкого круга задач статики и динамики, включая решения с учетом геометрической и физической нели-нейностей. Однако, не смотря на мультифизичность таких лидирующих автоматизированных программных комплексов, как АКБУБ и АБАрИБ, они не позволяют исследовать поведение изгибаемых железобетонных конструкций при длительном деформировании с использованием наследственных функций ползучести бетона [64]. Хотя именно такие функции применяются в многочисленных экспериментах по исследованию ползучести бетона. Эта актуальная проблема обусловила выбор темы диссертационного исследования, связанной

с разработкой конечно-элементного алгоритма, реализующего механико-математическую модель упруго-ползучего тела, позволяющую учитывать эффект быстро нарастающей ползучести в момент приложения эксплуатационной нагрузки, частичную обратимость деформации ползучести при снятии нагрузки, а также выполнять расчеты железобетонных конструкций на стадиях создания преднапряжения и последующей эксплуатации.

Работа выполнялась в Донском государственном техническом университете на кафедре «Строительная механика и теория сооружений» под научным руководством профессора, д. т. н. П.П. Гайджурова.

Цель работы сформулирована следующим образом: построение механико-математической модели упруго-ползучего стареющего материала и разработка соответствующего учебно-исследовательского расчетно-вычисли-тельного комплекса, реализующего МКЭ в форме метода перемещений и предназначенного для расчета большепролетных железобетонных конструкций с учетом ползучести бетона, переменного характера квазистатического нагружения и предварительного напряжения.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи.

- На базе метода двойной аппроксимации построить матрицы жесткости объемных 8-ми и 6-ти узловых полилинейных конечных элементов, обеспечивающих учет смещений «как жесткое целое».

- Используя вычислительную платформу Microsoft Visual Studio и компилятор Intel Parallel Studio XE с встроенным текстовым редактором Intel Visual Fortran Composer XE, написать и отладить коды прикладной программы на алгоритмическом языке высокого уровня Intel Fortran для численного решения задач строительной механики в приложении к железобетонным конструкциям.

- С использованием дескрипторной графики компьютерной системы MATLAB написать и отладить программы для визуализации результатов конечно-элементного моделирования.

- В терминах разреженных матриц разработать алгоритм и программу ан-самблирования объемных и пространственных балочных конечных элементов.

- На тестовых примерах выполнить верификацию разработанного математического и программного обеспечения.

- На основе наследственных функций Н.Х. Арутюняна - С.В. Александровского с помощью символьного процессора системы Maple получить выражения для ядер релаксации удобные для программирования на языке Intel Fortran.

- Разработать вычислительную процедуру для определения значений ядер релаксации, предназначенную для конечно-элементного моделирования напряженно-деформированного состояния бетонных и железобетонных конструкций с учетом быстро нарастающей ползучести и частичной обратимости деформаций ползучести при разгрузке.

- В рамках линейной теории вязкоупругости разработать устойчивый шаговый алгоритм МКЭ, реализующий принцип наложения воздействий.

- На основе имеющихся экспериментальных данных по ползучести бетона выполнить тарировку параметров используемой механико-математической модели наследственного типа и исследовать зависимость величины шага по временной координате на сходимость разработанной процедуры прямого численного интегрирования по времени результирующего операторного уранения МКЭ.

Научная новизна работы:

1. С использованием метода двойной аппроксимации получены новые геометрические соотношения для построения матриц жесткости объемных полилинейных конечных элементов, отличающихся от аналогичных изопараметрических элементов возможностью учета смещения как «жесткое целое» и способностью нивелировать эффект «замка» при из-гибных деформациях.

2. В терминах алгебры разреженных матриц разработан оригинальный алгоритм ансамблирования объемных и пространственных балочных КЭ, имеющих различное число степеней свободы в узлах, а также реализована вычислительная процедура решения результирующей системы уравнений методом, сопряженных градиентом с предобуславливанием.

3. Формализованы механико-математические модели упруго-ползучего стареющего материала, построенные на базе теории ползучести бетона Н.Х. Арутюняна - С.В. Александровского.

4. Построен шаговый алгоритм, реализующий МКЭ в форме метода перемещений, и написана на языке Intel Fortran прикладная программа для решения пространственных задач наследственной теории старения.

5. Реализована оригинальная концепция конечно-элементного моделирования эффекта восстанавливающего усилия, обусловленного преднапря-жением на бетон при криволинейной траектории активного армирования.

Практическая значимость работы:

1. Апробирована вычислительная технология, позволяющая качественно и колическтвенно моделировать поле восстанавливающего усилия для различных криволинейных траекторий предварительно напряженной арматуры.

2. Разработанное математическое и программное обеспечение предназначено для эффективного проектирования большепролетных железобетонных балок путем назначения силовых и геометричеких параметров активного армирования, обеспечивающих поле начальных напряжений полностью или частично компенсирующее эксплуатационные нагрузки.

3. Открытость программного кода, авторизированного расчетно вычислительного комплекса, позволяет магистрантам и студентам, обучающимся по направлению строительство, использовать данный пакет прикладных программ для научно-исследовательской работы.

Положения, выносимые на защиту:

1. Соотношения, связывающие узловые перемещения в глобальных осях с ковариантными компонентами тензора деформаций в местных сопутствующих осях объемных 8-ми и 6-ти узловых КЭ.

2. Результаты тестирования плоских КЭ на примерах, в которых наряду с изгибными деформациями присутствуют смещения «как жесткое целое».

3. Механико-математические модели ползучести бетона, построенная на базе теории старения Н.Х. Арутюняна и теории упруго-ползучего стареющего материала С.В. Александровского.

4. Алгоритм решения плоской задачи линейной теории вязкоупругости МКЭ, с использованием принципа наложения воздействий.

5. Авторизированный расчетно-вычислительный комплекс, реализующий МКЭ в форме метода перемещений.

6. Конечно-элементная модель расчета восстанавливающего усилия, обусловленного предварительным натяжением тросовой аратуры на бетон применительно к большепролетным балкам.

7. Результаты верификации конечно-элементного моделирования процесса длительного деформирования бетонных конструкций при переменном нагружении.

8. Данные вычислительных экспериментов по исследованию влияния предварительного напряжения на напряженно-деформированное состояние железобетонных балочных конструкций с учетом ползучести бетона.

Методы исследования:

1. Для построения матриц жесткости объемных 8-ми и 6-ти узловых КЭ применен метод двойной аппроксимации, позволяющий получить выражения для ковариантных компонент тензора деформаций в местных сопутствующих осях по узловым перемещениям, заданным в глобальных

декартовых координатах.

2. Код прикладных программ написан на современном алгоритмическом языке высокого уровня Intel Fortran, использующем платформу Microsoft Visual Studio в сочетании с компилятором Intel Parallel Studio XE и встроенным текстовым редактором Intel Visual Fortran Composer XE.

3. Процессы хранения и обработки рабочих массивов реализованы с использованием технологии разреженных матриц.

4. Визуализация результатов расчетов выполнена на базе компьютерной математики системы Matlab.

5. Выражения для наследственных функций в виде удобном для конечно-элементного моделирования получены на базе символьного процессора системы компьютерной математики Maple.

Достоверность и обоснованность научных положений, выносимых на защиту, основана на использовании фундаментальных принципов механики деформируемого твердого тела, общепризнанных вычислительных технологиях строительной механики, современных системах компьютерной математики и платформах для создания высокопроизводительных матричных вычислений, решении тестовых примеров и сравнении полученных результатов с данными других авторов.

Личный вклад автора: Все результаты работы, выносимые на защиту диссертации, получены автором лично, либо при его непосредственном участии, а именно:

- Постановка задач исследований, анализ литературы и обобщение результатов исследований других авторов.

- Критический анализ современных инженерных методик численного расчета предварительно напряженных железобетонных конструкций с учетом ползучести бетона.

- Построение конечноэлементных моделей и проведение вычислительных экспериментов с целью верификации разработанного математического и программного обеспечения.

- Тарировка параметров расчетного модуля, предназначенного для моделирования длительного деформирования железобетонных балочных конструкций при переменном характере нагружения.

- Непосредственное участие в построении и тестировании расчетных моделей предварительно напряженных балочных конструкций. Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ из

них 10 статей опубликованы в изданиях, входящих в перечень российских рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК РФ. Апробация работы. Основные положения диссертации доложены на Международных научно-практических конференциях «Строительство и архитектура» (г.Ростов н/Дону, 2015, 2017, 2020, 2021, 2023), Международной научно-практической конференции «Концепция динамического равновесия в новых технологиях» (г. Казань, 2017) Всероссийской (национальной) научно-практической конференции « Актуальные проблемы науки и техники 2023», XV Международной научно-практической конференции «Экспертиза и управление недвижимостью: комплексное развитие территорий, энергосбережение, информационное моделирование» (г. Ростов н/Д: ДГТУ, 2023).

Внедрение результатов. Полученные в диссертации научные и прикладные результаты нашли применение в научно-исследовательских разработках кафедры «Строительная механика и теория сооружений» Донского государственного университета, в практике проектирования рамно-связевых каркасов из монолитного железобетона ООО «ТаганБетонСтрой», о чем свидетельствует Акт о практическом применении результатов диссертационного исследования.

Структура и объем работы. Диссертаация состоит из введения, четырех глав, заклкраючения, списка литературы. Общий объём работы: страниц машинописного текста 179, работа содержит 148 рисунков, 15 таблиц, приложения.

Основное содержание работы:

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой темы, приводятся цели и задачи работы, её научная новизна и практическая ценность, данные об апробации работы и основные положения, которые автор выносит на защиту.

Первая глава диссертации посвящена развитию и совершенствованию методик инженерного анализа напряженно-деформированного состояния железобетонных конструкций с учетом ползучести бетона. В главе представлены основные положения и гипотезы феноменологического подхода к описанию процесса ползучести, базирующегося на систематизации многочисленных опытных данных и фундаментальных соотношениях наследственной механики твердых тел; рассматриваются определяющие соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформаций механико-математических моделей, описывающих ползучесть бетона. Приведен критический обзор существующих подходов к конечно-элементному моделированию предварительно напряженных железобетонных конструкций.

Во второй главе представлены основные соотношения метода конечных элементов для решения пространственных задач строительной механики и теории упругости. Разработана оригинальная методика построения матриц жесткости полилинейных восьмиузловых и шестиузловых конечных элементов. На тестовых примерах выполнено численное исследование сходимости разработанного конечно-элементного комплекса Polygon.

В третьей главе приведен конечно-элементный алгоритм для решения пространственной задачи линейной теории наследственности, вычислительная процедура численного интегрирования которого организована по шаговой схеме в сочетании с использованием формулы трапеций.

В четвертой главе предложена концепция инженерного анализа разгружающего эффекта в преднапряженых железобетонных балках при различных

траекториях раскладки «активной» арматуры. Выполнены численные эксперименты по моделированию поведения железобетонных конструкций с учетом ползучести бетона.

В заключении изложены основные выводы и результаты диссертационного исследования.

В приложениях I и II приведены листинги программ на алгоритмическом языке Fortran.

Глава 1. Анализ современных методов расчета предварительно напряженных железобетонных конструкций с учетом ползучести бетона

1.1. Ретроспективный анализ применения предварительно напряженного бетона в строительстве

Исторически технология предварительного напряжения бетона получила практическое развитие в начале XX века с попытки обеспечить обжатие объема, занимаемого конструкцией, с целью максимальной компенсации эксплуатационных растягивающих напряжений и предотвращения образования трещин. Как правило, для силового бандажирования использовалась стальная проволока. Следует отметить, что до наших дней не сохранились технологические подробности создания предварительного напряжения в бетоне, используемые в начале прошлого века.

В Европе первые сведения об использовании предварительно напряженного бетона связаны с именем французского инженера-строителя Эжен Фрей-сине, который в 1936 году представил новую технологию обжатия бетонных конструкций с помощью стальной проволоки, силовых домкратов и анкеров. Идея Э. Фрейсине заключалась в создании за счет внешнего армирующего пояса натяжения на бетон. Особая заслуга Э. Фрейсине состоит в том, что он в процессе длительного наблюдения за состоянием предварительно напряженных железобетонных конструкций обнаружил эффект последействия, обусловленный ползучестью бетона.

В 1936 году в Германии в городе Ауэ (Aue) был открыт для движения первый в мире предварительно напряженный железобетонный мост, спроектированный инженером-троителем Францем Дишингером. Однако из-за использования армирующей проволоки с малым пределом текучести в процессе

эксплуатации проявилась ползучесть бетона, которая привела к большим деформациям, вследствие чего данное сооружение просуществовало всего 25 лет. Следует отметить, что мост в Ауе был спроектирован с учетом передовых на тот момент знаний в области железобетона. Вместе с тем недостаточный опыт практической реализации надежного предварительного напряженного состояния в большепролетной железобетонной конструкции сыграл негативную роль.

В Соединенных Штатах в 1925 году значительно раньше Э. Фрейсине Р. Э. Дилл из Небраски в качестве напрягаемой арматуры применил высокопрочные стальные стержни, покрытые промасленной оболочкой, для предотвращения сцепления с бетоном. После застывания бетона стальные стержни подвергались натяжению с помощью гаек, расположенных на торцах конструкции.

Первое упоминание об использования способа натяжения арматуры на упоры связано с именем немецкого инженера-строителя Дёринга, который для натяжения арматуры использовал специальные ролики и натяжные рычажные приспособления.

В 40-х годах XX века немецкий инженер-строитель Ульрих Финстер-вальдер разработал новый консольный метод строительства мостов из предварительно напряженного железобетона. При этом в отличие от Дисчингера, Финстервальдер для преднапряженной арматуры применил высокопрочную армирующую проволоку. Дальнейшее развитие эта методика получила в проектах Фрица Леонхардта, который впервые вместо проволоки стал использовать высокопрочную стальную прядь (канат).

В Советском Союзе начало систематических исследований в области предварительно напряженных железобетонных конструкций было начато в 30-х годах прошлого века и связано с трудами А.А. Гвоздева, В.В. Михайлова, П.Л. Пастернака, С.А. Дмитриева, А.П. Васильева, Б.А. Калатурова, Г.И. Бер-дичевского, О.Я. Берга, А.П. Коровкина, И.Г. Иванова-Дятлова и др. ученых.

В наше время архитекторы при проектировании автомобильных и пешеходных мостов часто используют креативный подход к реализации преднапря-жения в большепролетных конструкциях. Так в Мексике инженером-конструктором Модесто Армихо спроектирован и построен подвесной железобетонный мост с оригинальным пролетным строением в виде плавников рыбы (рис. 1.1). Пролетное строение моста длиной 171 м поддерживается предварительно напряженной продольной балкой с переменным по высоте сечением. Отметим, что в отличие от классических подвесных мостов в данной конструкции отсутствуют в явном виде пилоны, несущие тросы и подвесы.

Рисунок 1.1. Автомобильный мост с преднапряжением пролетного строения (Мексика)

Еще одним современным способом создания предварительного напряжения является использование силовых затяжек, располагаемых под пролетным строением.

На рис. 1.2 и 1.3 показаны фотографии мостов в Японии и США, усиленных продольными предварительно напряженными затяжками.

Следует сказать, что подобное конструктивное решение широко применяется также для усиления уже существующих железобетонных мостов.

Рисунок 1.2. Преднапряжённый железобетонный мост в Японии

Рисунок 1.3. Преднапряжённый железобетонный мост США

Фотографии самых известных уникальных сооружений из монолитного железобетона, спроектированных академиком Н. В. Никитиным и построенных в Советском Союзе с использованием предварительно напряженной канатной арматуры, приведены на рис. 1.4 и 1.5.

Рисунок 1.4. Останкинская телебашня высотой 540 м

Рисунок 1.5. Композиция Родина-мать высотой 85 м

В постсоветский период в Российской Федерации лидером по применению технологии предварительного напряжения в большепролетных строительных конструкциях является компания Промстройконтракт (ПСК), которая

в альянсе с немецким концерном Dywidag-Systems International использует систему преднапряжения без сцепления с бетоном. Данный подход позволяет осуществлять раскладку постнапрягаемой арматуры, представляющей собой трос (канат), помещенный в герметичную полиэтиленовую оболочку, в большепролетных перекрытиях в продольном и поперечном направлениях в строгом соотвествии с эпюрами изгибающих моментов (рис. 1.6). Как правило используется канатная арматура диаметром 15.2 или 15.7мм, с пределом прочности 1860МПа и условным пределом текучести 1640МПа. При этом применяется двусторонняя анкеровка арматуры: активная со стороны создаваемого гидродомкратном натяжения и пассивная «глухая» с противоположного конца каната.

Рисунок 1.6. Система преднапряжения без сцепления с бетоном, канатная арматура

Проектировщикам хорошо известно, что предварительное напряжение увеличивает жесткостные характеристики строительных конструкций и повышает их надежность при работе в условиях многократно повторяющихся нагрузок особенно в сейсмоопасных районах РФ. Кроме этого, в результате применения преднапряженного железобетона в ряде случаев удаётся снизить общий вес зданий до 40% и как следствие уменьшить себестоимость строительства на 30%. К преимуществам предварительного напряжения также относится возможность использования сборных и сборно-монолитных конструкций, в которых бетон повышенной прочности применяется только в заранее изготовленных предварительно напряженных элементах, а основная или значительная часть конструкций выполняется из тяжелого или легкого бетона, не подвергаемого предварительному напряжению.

Следует отметить, что железобетонным конструкциям с предварительно напряженной арматурой присущи следующие основные недостатки:

1. Предварительно напряженные конструкции характеризуются повышенной трудоемкостью проектирования и изготовления. Они требуют большей тщательности в расчете и конструировании, при изготовлении, хранении, транспортировании и монтаже, так как еще до приложения внешних нагрузок в сечениях их элементов могут возникнуть недопустимые сжимающие или растягивающие напряжения, способные привести в аварийное состояние. Например, в торцах предварительно напряженных конструкций при сосредоточенном и неравномерном приложении усилий обжатия могут возникнуть продольные трещины, существенно снижающие их несущую способность.

2. Большие усилия, передаваемые напрягаемой арматурой на бетон конструкции в момент отпуска натяжных устройств, могут привести к полному разрушению ее в процессе обжатия или местному повреждению, к проскальзыванию напрягаемой арматуры вследствие нарушения ее сцепления с бетоном. Поэтому строительные нормы требуют в обязательном порядке тщательно проверять прочность предварительно напряженных конструкций в стадии обжатия, при хранении, транспортировке и монтаже и выполнять предусмотренные конструктивные требования.

3. Технически проблематично осуществить мониторинг текущего состояния скрытой предварительно напряженной арматуры.

1.2. Современное состояние проблемы исследования ползучести бетона

При длительном стационарном силовом воздействии в бетоне наблюдается эффект последействия, т.е. при фиксированной нагрузке данный материал продолжает деформироваться на протяжении длительного времени (нескольких месяцев). Это явление, открытое в 1907 году Хаттом [131, 132], получило

называние ползучесть (Creep, англ.). Обычно ползучесть бетона объясняют двумя физическими механизмами с различной кинетикой: кратковременной микродиффузией воды между капиллярными порами цементного камня и длительными сдвиговыми деформациями связующего каркаса под воздействием внутренних усилий. Причем при растяжении в процессе ползучести бетона, как правило, возникают микротрещины.

Ползучесть бетона исследуется учеными уже почти столетие. Для количественной оценки ползучести бетона в лабораторных условиях обычно измеряют разницу в деформациях между нагруженным образцом и аналогичным незагруженным образцом-свидетелем. Упруго мгновенную деформацию образца, возникающую сразу, после приложении нагрузки, как правило, исключают. Отметим, что деформация образца-свидетеля обусловлена главным образом температурным воздействием и усадкой бетона.

Процесс изменения механических свойств бетона (увеличение модуля деформации и прочности) во времени при неизменных внешних условиях и естественном ненапряженном состоянии принято называть «старением». С точки зрения химии силикатов «старение» бетона вызвано гидратацией цемента.

Рядом исследователей установлено, что процесс ползучести бетона при растяжении проявляется в большей мере, чем при сжатии. На рис. 1.7 приведены экспериментальные графики удельной ползучести при сжатии и растяжении призматических образцов. На этом рисунке вдоль оси ординат изменяется отношение действующего напряжения к соответствующей прочности бетона (заданного состава) при сжатии и растяжении [111].

Из представленных данных видно, что отношение удельной ползучести при растяжении к ползучести при сжатии составляет 1,78.

Вместе с тем имеются экспериментальные данные [113], в соответствии с которыми отношение деформации ползучести к действующему напряжению бетона иного чем в [111] состава при сжатии выражена в большей степени, чем при растяжении (рис. 1.8).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Савельева Нина Александровна, 2024 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агаханов Э.К. Цифровое моделирование прогрессирующего обрушения высотного здания / Кравченко Г.М., Кадомцев М.И., Труфанова Е.В., Савельева Н.А. // Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. [Электронный ресурс]: электрон. науч. журн.

— 2022. — Т. 49 №1. — 87-94 с.

2. Александровский С.В. Ползучесть бетона при периодических воздействиях / С.В. Александровский, В.Я. Багрий. — М.: Стройиздат, 1970. — 334 с.

3. Александровский С.В. Ползучесть и усадка бетона и железобетонных конструкций / С.В. Александровский. — М.: Стройиздат, 1976. — 351 с

4. Александровский С.В. Расчет бетонных и железобетонных конструкций на изменения температуры и влажности с учетом ползучести / С.В. Александровский. — М.: Стройиздат, 1973. — 432 с.

5. Александров А.В. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы: Учебник для вузов / А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников // Под ред. А.Ф. Смирнова. — М.: Стройиздат, 1983. — 488 с.

6. Алмазов В.О. Руководство для проектировщиков к Еврокоду 2: Проектирование железобетонных конструкций / В.О. Алмазов // Науч. ред. МГСУ.

— 2013. — 292 с.

7. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц / Дж. Аргирис. — М.: Стройиз-дат, 1968. — 241с.

8. Арутюнян Н.Х. Механика растущих вязкоупругопластический сред / Н.Х. Арутюнян, А.Д. Дроздов, В.Э.Наумов. — М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1987. — 472 с.

9. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести / Н.Х. Арутюнян. — М.: Гостехиздат, 1952. — 324 с

10. Арутюнян Н.Х. Расчет строительных конструкций с учетом ползучести

/ Н.Х. Арутюнян, А.А. Зевин. — М.: Стройиздат, 1988. — 256 с.

11. Баничук Н.В. Механика больших космических конструкций / Н.В. Ба-ничук, И.И. Карпов, Д.М. Климов и др. — М.: Изд-во „Факториал", 1997. — 302 с.

12. Басов К.А. ANSYS для конструкторов / К.А. Басов — М.: ДМК Пресс, 2009. — 248 с.

13. Басов К.А. ANSYS справочник пользователя / К.А. Басов — М.: ДМК Пресс, 2005. — 640 с.

14. Басов К.А. ANSYS справочник пользователя / К.А. Басов — М.: ДМК Пресс, 2012. — 40 с.

15. Белкин А.Е. Расчет пластин методом конечных элементов: Учеб. Пособие / А.Е. Белкин, С.С. Гаврюшин. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. — 232 с.

16. Бойл Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести / Дж. Бойл, Дж. Спенс. — М.: Мир, 1986. — 360 с.

17. Васильков Г.В. Шаговый метод решения пространственных задач линейной теории наследственности / Г.В. Васильков, П.П. Гайджуров, А. Орта-Ранхель. — Ростов нД: Рост. гос. строит. ун-т, 2000. — 20 с.

18. Воеводин А.А. Предварительно напряженные системы элементов конструкций / А.А. Воеводин. — М.: Стройиздат, 1989. — 304с.

19. Галустов К.З. К вопросу об упруго-мгновенных деформаци-ях в теории ползучести бетона / К.З. Галустов // Бетон и железобетон. — 2008. — № 5. — С. 11-15.

20. Галустов К.3. К вопросу о нелинейной теории ползучести бетона при одноосном сжатии / К.З. Галустов, А.А. Гвоздев // Изв. АН СССР, МТТ. — 1972. — №1. — С.85-92.

21. Галустов К.3. Нелинейная теория ползучести бетона и расчет железобетонных конструкций / К.З. Галустов. — М.: Изд. физ. мат. лит., 2006. — 248 с.

22. Галустов К.З. Развитие теории ползучести бетона и совершенствование методов расчета железобетонных конструкций / К.З. Галустов // Авто-реф. дис. докт. техн. наук: 05.23.01 / К. З. Галустов. — М., 2008. — 47 с.

23. Гансен Торбен К. Ползучесть и релаксация напряжений в бетоне / Ган-сен, К. Торбен — М.: Гос. изд-во литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1963. — 127 с.

24. Гайджуров П.П. Влияние ползучести бетона на выгиб предварительно напряженной мостовой балки / П.П. Гайджуров, Э.Р. Исхакова, Н.А. Савельева // Железобетонные конструкции. — 2023. — Т.3. — №3. — С. 3 - 10.

25. Гайджуров П.П. Конечно-элементное моделирование передачи усилия натяжения стального каната на бетон / П.П. Гайджуров, Аль-Джабоби Сами Фахль, Аль-Хадж Махмуд Абдо Хаса // Изв. вузов. Сев. - Кавк. регион. Техн. науки. — 2017. — № 2. — С. 73-78.

26. Гайджуров П.П. Конечно-элементное моделирование процесса формоизменения шарнирно-стержневой системы при управляемом кинематическом воздействии / П.П. Гайджуров, Э.Р. Исхакова, Н.А. Савельева, Н.Г. Ца-ритова // Изв. вузов. Сев. - Кавк. регион. Техн. науки. — 2020. — № 3. — С. 5-12.

27. Гайджуров П.П. Конечно-элементное моделирование совместной работы оползня скольжения и защитного сооружения / П.П. Гайджуров, Н.А.Савельева, В.А. Дьяченков // Advanced Engineering Research. — 2021. — Т.21. — № 2. — С. 133-142.

28. Гайджуров П.П. Конечно-элементное моделирование упругопластиче-ского изгиба стальных балок с использованием стержневых конечных элементов / П.П.Гайджуров, Г.М. Кравченко, Н.А.Савельева // Строительная механика и расчет сооружений. — 2014. — №2 — С. 17-22.

29. Гайджуров П.П. Конечно-элементное решение плоской задачи теории наследственного старения бетона с учетом принципа наложения воздействий и быстронабегающей ползучести материала (Polygon) / Э.Р.Исхакова // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №

201462079, 21 ноября 2014г.

30. Гайджуров П.П. Конечно-элементный анализ и моделирование упруго вязкопластических объемно-стержневых систем: дис. д-ра техн. наук: 05.13.18 / Гайджуров Петр Павлович. — М., 2004. — 434с.

31. Гайджуров П.П. Конечные элементы повышенной точности для решения трехмерных задач теории упругости / П.П. Гайджуров // Изв. вузов. Сев. - Кавк. регион. Техн. науки. —2003. — № 1. — С. 54-57.

32. Гайджуров П.П. Моделирование динамического отклика системы «основание-фундамент-верхнее строение» при различных способах кинематического возбуждения колебаний / П.П. Гайджуров, Н.А. Савельева, А.В. Сазонова // Изв. вузов. Сев. - Кавк. регион. Техн. науки. —2019. — №1. — С. 2330.

33. Гайджуров П.П. Определение выгиба большепролетных железобетонных балок от преднапряжения арматуры методом конечных элементов / П.П. Гайджуров, Э.Р. Исхакова, Аль-Джабоби Сами Фахль, Аль-Хадж Махмуд Абдо Хаса // Изв. вузов. Сев. - Кавк. регион. Техн. науки. — 2017. — № 4. — С. 81-86.

34. Гайджуров П.П. Применение метода двойной аппроксимации для построения матриц жесткости объемных конечных элементов / П.П. Гайджуров, Н.А. Савельева // Advanced Engineering Research. —2023. — Т.23. — №4. —С. 365-375.

35. Гайджуров П.П. Способы учета неопорных шарнирных соединений при расчете изгибаемых стержневых конструкций методом конечных элементов / П.П. Гайджуров, Н.А. Савельева, К.Ю. Подолько // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. — 2015.— №4. — С. 93-99.

36. Гайджуров П.П. Численное моделирование объемного напряженно-деформированного состояния предварительно напряженных железобетонных конструкций с учетом ползучести бетона / П.П.Гайджуров, Э.Р. Исхакова, Н.А. Савельева // Изв. вузов. Сев. - Кавк. регион. Техн. науки. — 2023. — № 2. — С. 17-24.

37. Гайджуров П.П. Численное моделирование поведения кинематически нестабильных склонов при динамических воздействиях / П.П. Гайджуров, Н.А. Савельева, Е.В. Труфанова // Advanced Engineering Research. — 2021. — Т.21. — № 4. — С. 300-307.

38. Гвоздев А.А. Прочность, структурные изменения и деформации бетона / А.А. Гвоздев. — М.: Стройиздат, 1978. — 299 с.

39. Гибшман Е.Е. Теория и расчет предварительно напряженных железобетонных мостов / Е.Е. Гибшман, М.Е. Гибшман. — М.: Изд. Автотрансиздат, 1963. — 396с.

40. Городецкий А.С. Автоматизация расчетов транспортных сооружений / А.С. Городецкий, В.И. Заворитский, А.И. Лантух-Лященко, А.О. Рассказов. — М.: Транспорт, 1989. — 232с.

41. Городецкий А.С. Расчет и проектирование конструкций высотных зданий из монолитного железобетона (проблемы, опыт, решения и рекомендации, компьютерные модели, информационные технологии) / А.С. Городецкий, Л.Г. Батрак, Д.А. Городецкий, М.В. Лазнюк, С.В. Юсипенко. — Киев: Факт, 2004. — 106 с.

42. Голованов А.И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций / А.И.Голованов, О.Н. Тюленева, А.Ф. Шигабутди-нов. — М.: Физматлит, 2006. — 392 с.

43. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С.Ю. Еременко. — Х.: Изд-во „Основа" при Харьк. ун-те, 1991. — 272с.

44. Зенкевич О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред / О. Зенкевич, И. Ченг. —М.: Недра, 1974. —238с.

45. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. —М.: Мир, 1975. — 541с.

46. Инструкция по проектированию предварительно напряженных стальных конструкций. — М.: Госстройиздат, 1963. — 72с.

47. Кабанцев О.В. Расчет и конструирование многоэтажных и высотных

монолитных железобетонных зданий / О.В. Кабанцев. — М.: МГСУ, 2009. — 156 с.

48. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона / Н.И. Карпенко. — М.: Стройиздат, 1996.— 416 с.

49. Карпенко Н.И. Практическая методика расчета железобетонных плит на продавливание по различным схемам / Н.И. Карпенко, С.Н. Карпенко // Бетон и железобетон. — 2012. — №5. — С. 10-16.

50. Качанов Л.М. Теория ползучести / Л.М. Качанов. — М.: Физматлит, 1960. — 455с.

51. Колчунов В.И. Живучесть зданий и сооружений при запроектных воздействиях / В.И. Колчунов, Н.В. Клюева, Н.Б. Андросова, А.С. Бухтияров. Москва, АСВ. — 2014. — 208 с.

52. Лисицин Б.М. Расчет защемленных плит в постановке пространственной теории упругости / Б.М. Лисицин // Прикладная механика. — 1970. — Т.6 (5). — С.18 - 23.

53. Маилян Р.Л. Строительные конструкции: Учебное пособие / Р.Л. Маи-лян, Д.Р. Маилян, Ю.А. Веселев // Изд. 2-е - Ростов н/Д: Феникс, 2005. — 880 с.

54. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. — М.: Машиностроение, 1975. — 400 с.

55. Маслов Г.Н. Термическое напряженное состояние бетонных массивов при учете ползучести бетона / Г.Н. Маслов // Известия НИ-ИГ, Т.28., Гос-энергоидат, 1941. — С.175-183.

56. Методические рекомендации по расчету напряженного состояния железобетонных конструкций транспортных сооружений с учетом ползучести и усадки бетона. - М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт транспортного строительства, 1987. — 60 с.

57. Морозов Е.М. ANSYS в руках инженера: Механика разрушения / Е.М. Морозов, А.Ю.Муйземнек, А.С.Шадский. — М.: ЛЕНАНД, 2008. — 456 с.

58. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе) / В.В. Москвитин. — М.: Наука, 1972. — 328с.

59. Образцов И.Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И.Ф. Образцов, Л.М. Савельев, Х.С. Хаза-нов. — М.: Высш. шк., 1985. —392 с.

60. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. — М.: Мир, 1976. — 464 с.

61. Панасюк Л. Н. Преимущества шагового метода определения предельных нагрузок в стержневых системах / Савельева Н.А., Тюрина В.С., Сазонова А.В. // Инженерный вестник Дона [Электронный ресурс]: электрон. науч. - инновац. журн. 2019. — №3. — 26 с.

62. Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Под. ред. Г.С. Писаренко. — Киев: Наук. думка, 1988. — 736 с.

63. Писаренко Г. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие / Г.С. Писаренко, Н.С. Можаровский. — Киев: Наук. думка, 1981. — 496 с.

64. Перельмутер А.В. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа / А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. — М.: ДМК Пресс, 2007. — 600 с.

65. Петров А.Н. Деформационная модель нелинейной ползучести железобетона и ее приложение к расчету плосконапряженных элементов и систем из них: дис. д-ра техн. наук: 05.23.01 / Петров Александр Николаевич. — М., 2001. — 324 с.

66. Подгорный А.Н. Ползучесть элементов машиностроительных конструкций / А.Н. Подгорный, В.В. Бортовой, П.П. Гонтаровский и др. — Киев: Наукова думка, 1984. — 264 с.

67. Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурин. — Л.: Судотроение, 1974. —344 с.

68. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструк-ций / В.А. Постнов. — Л.: Судостроение, 1978. — 279 с.

69. Портаев Д.В. Расчет и конструирование монолитных преднапряженных конструкций гражданских зданий: Научное издание / Д.В. Портаев. — М.: Изд. АСВ. — 2011. — 248 с

70. Прокопович И.Е. Влияние длительных процессов на напря-женное и деформированное состояние сооружений / И.Е. Прокопович. — М.: Гос-стройиздат. 1963. — 260 с.

71. Прокопович И.Е. Прикладная теория ползучести / И.Е. Прокопович, В.А. Зедгенидзе. — М.: Стройиздат, 1980. — 240 с.

72. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю.Н.Работнов. — М., Наука, 1966. — 752 с.

73. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю.Н.Работнов. — М.: Наука, 1977. — 384 с.

74. Ржаницин А.Р. Теория ползучести / А.Р. Ржаницин. — М.: Изд-во лит. по стр-ву, 1968. — 416 с.

75. Рекомендации по расчёту каркасов многоэтажных зданий с учётом податливости узловых сопряжений сборных железобетонных конструкций. Рекомендации от 01.01.2002 ОАО ЦНИИПромзданий.

76. Самохвалова Е.О. Стык колонны с безбалочным бескапи-тельным перекрытием в монолитном здании / Е.О. Самохвалова, А.Д. Иванов // Инженерно-строительный журнал. — 2009. — №3. — С. 33-37.

77. Санжаровский Р.С. Принцип наложения как основополага-ющая ошибка теории ползучести и стандартов по железобетону / Р.С. Санжаров-ский, Т.Н. Тер-Эммануильян, М.М. Манченко // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. — 2018. — № 2. — С 92-104.

78. Сахаров А.С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. А.С. Сахарова, И. Альтенбаха. — К.: Вища шк., Лейпциг: ФЕБ Фахбухферфлаг, 1982. — 480 с.

79. Седов Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. — М.: Наука, 1994. — Т.2. — 560 с.

80. Секулович М. Метод конечных элементов / М. Секулович. — М.:

Стройиздат, 1993. — 664 с.

81. Смирнов А.Ф. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы: Учебник для вузов / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Ла-щеников, Н.Н. Шапошников. — М.: Стройиз-дат, 1983. — 488 с.

82. СНиП 2.03.01-84*. Бетонные и железобетонные конструкции. - М., 1985. — 79 с

83. СП 52-101-2003. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры. М., — 2004.

84. СП 52-102-2004 Предварительно напряженные железобетонные конструкции. - М.: ФГУП ЦПП, 2005.

85. СП 52-103-2007 «Железобетонные монолитные конструкции зданий».

86. СП 63.13330.2018 — Свод правил бетонные и железобетонные конструкции основные положения

87. СП 385.1325800.2018 Защита зданий и сооружений от прогрессирующего обрушения // Доступ из системы «Техэксперт» http://docs.cntd.ru/docu-ment/551394640 (дата обращения 24.06.2021).

88. Тамразян А.Г. Жесткость изгибаемых железобетонных элементов с учетом нелинейной ползучести высокопрочного бетона на основе вязкоупру-гой модели наследственного старения / А.Г. Тамразян. // Вест МГСУ, 2011. — №2-1. — С. 121-125.

89. Тамразян А.Г. К анализу узла сопряжения монолитных плит и колонн при продавливании / А.Г. Тамразян // В сборнике: Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения. Материалы Международных академических чтений. Под редакцией С.И. Меркулова. — 2020. — С. 101-109.

90. Тамразян А. Г. Механика ползучести бетона / А.Г. Тамразян, С.Г. Есаян. — М.: МГСУ, 2012. — 490 с.

91. Тамразян А.Г. Снижение рисков в строительстве при чрезвычайных ситуациях природного и техногенного характера / А.Г. Тамразян, С.Н. Булгаков и др., под общей ред. А.Г. Тамразяна. М.: Изд-во АСВ, 2012. — 304 с.

92. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С.Войнов-ский-Кригер. — М.: Наука, 1966. — 636 с.

93. Улицкий И.И. Теория и расчет железобетонных стержневых конструкций с учетом длительных процессов / И.И. Улицкий. — К.: Будивельник, 1967. — 347 с.

94. Харлаб В.Д. Принципиальные вопросы линейной теории ползучести (с привязкой к бетону) / В.Д. Харлаб. — СПбГАСУ: СПб, 2014. — 207 с.

95. Чигарев А.В. ANSYS для инженеров: Справочное пособие / А.В. Чига-рев, А.С. Кравчук, А.Ф. Смалюк. — М.: Машиностроение, 2004. — 512 с.

96. Шапиро Г.И., Рекомендации по защите монолитных жилых зданий от прогрессирующего обрушения / Г.И. Шапиро, Ю.А. Эйсман, А.С. Залесов // Доступ из системы «Техэксперт». — URL: https://docs.cntd.ru/docu-ment/1200058272 (дата обращения 24.06.2021).

97. ADINA. Theory and Modeling Guide Volume I: ADINA Solids & Structures. / ADINA R & D, Inc. 71 Elton Avenue Watertown, MA 02472 USA. — 2005. — URL: http://www.adina.com.

98. Alen A.H. An introduction to prestressed concrete / A.H Alen // Slough, England: Cement and Concrete Association. — 1981. — 66 p

99. Bazant Z. "Creep and Shrinkage PredictionModel for Analysis and Design of Concrete Structures: Model B3," in The Adam Neville Symposium: Creep and Shrinkage-Structural Design Effects / Z. Bazant and Baweja // Farmington Hills, MI. — 2000.

100. Blaauwendraad J. Plates and Fem: Surprises and Pitfalls / J. Blaauwendraad // Springer Netherlands, 1 edition. — 2010.

101. CEB-FIP. fib Model Code for Concrete Structures. Wilhelm Ernst and Sohn. — 2010.

102. Clough R. W. "The Finite Element Method in Plane Stress Analysis", Proc. 2nd ASCE Conf. On Electronic Computation / R. W. Clough // Pittsburg, Pa. Sept. — 1960.

103. Crisfield. Variable step-length for nonlinear structural analysis, 1982 4Polak.

and Vecchio, Nonlinear analysis of reinforced-concrete shells. — 1993.

104. David V. Hutton. Fundamentals of Finite Element Analysis. / David V. Hutton // The McGraw Hill Companies. — 2004. — 494 p.

105. DIANA B.V. DIANA 10.7 MANUAL. Delft, Netherlands, Tutorial DIANA FEA. — 2023.

106. Espion B. Benchmark examples for creep and shrinkage analysis computer programs. Creep and shrinkage of concrete / B. Espion // RILEM, Barcelona, E&FN Spon. — 1993.

107. Espion B. Long term behavior of prestressed and partially prestressed concrete beams: experimental and numerical results / B. Espion, P. Halleux // ACI Special Publication. — 129:19-38. — 1991.

108. Giovanni Di Luzio. Tridimensional Long-Term Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Structures with Rate-Type Creep Approach / Giovanni Di Luzio, Luigi Cedolin, Carlo Beltrami // Applied Sciences. — 2020. 10. 4772. — URL: http://www.mpicom/journal/applsci.

109. G.P.A.G van Zijl, R, de Borst, J.G. Rots. Finite element analysis of cracking due to shrinkage // Fracture Mechanics of Concrete Struc-tures Proceedings -FRAMCOS-3 AEDIFICATIO Publishers, D-79104 Freiburg, Germany.

110. Guide for Modeling and Calculating Shrinkage and Creep in Hardened Concrete. Reported by ACI Committee 209. American Concrete Institute. — 2008.

111. Haidong Huang. A practical creep model for concrete elements under eccentric compression / Huang Haidong, Reyes Garsia, Huang Shan-Shan, Maurizio Guadagnini, Kypros Pilakoutas //Materials and Structures. — 2019. P. 2-18.

112. Hartl H. Computational Modeling of Reinforced Concrete Structures, Freytag B., Stebemjak B. (Hsg.), Festschrift zum 60 / H. Hartl, G. Beer // Geburtstag von Lutz Sparowitz, TU-Graz. — 2000. — P.105-114.

113. Hilaire A. Analysis of concrete creep in compression, tension and bending: Numerical modeling. Ninth International Conference on Creep, Shrinkage and Durability / A. Hilaire, F. Benboudjema, A. Darquennes, Y. Berthaud, G. Nahas // Cambridge, Massachusetts, United States. — 2013. — 6 p.

114. Irons Bruce. Techniques of Finite Elements / Bruce Irons, Ahmad Sohrab // Chichester, West Sussex, England: Ellis Horwood Limited, — 1980. — p. 529.

115. Kwak H.G. Finite element analysis of reinforced concrete structures under monotonic loads / H.G. Kwak, F.C. Filippou // University of California, — 1990.

— 124 p.

116. Lin and Scordelis, Nonlinear analysis of reinforced concrete shells of general form, —1975.

117. Logan Daryl L. A First Course in the Finite Element Method / L. Daryl Logan // University of Wisconsin-Platteville, — 2011. — 836 p.

118. Manual for the design of reinforced concrete building structures to EC2. Published for the Institution of Structural Engineers. London. — 2000. — 157 p.

119. McNeice. Elastic-plastic bending of plates and slabs by the Finite Element Method. — 1967.

120. Mensink J.J. Deformation Limits to be Used to Evaluate Deformation Measurements of Concrete Bridges (thesis) / J.J. Mensink // Eindhoven University of Technology. — 2017. — 138 p.

121. Moaveni Saeed. Finite element analysis. Theory and application with AN-SYS / Saeed Moaveni // New Jersey, PRENTICE HALL. — 1999. — 527 p.

122. Polak M.A. Nonlinear analysis of reinforced-concrete shells / M.A. Polak and F.J. Vecchio // Journal Structural Engineering, ASCE. — 119(12):3439-3462.

— 1993. The design module is not available for academic license.

123. Ray S.S. Reinforced Concrete. Analysis and Design / S.S. Ray // Blackwell Science Ltd. — 1995. — 545 p.

124. Reybrouck N. Influence of longterm creep on prestressed concrete beams in relation to deformations and structural resistance: Experiments and modeling / N. Reybrouck, T. Van Mullem, L. Taerwe, R. Caspeele // Structural Concrete. — 2020. Ray Ray — P. 1-17.

125. Ross A.D. Creep of Concrete under variable Stress / A.D. Ross // Journ. of the Amer. Concr. Inst. — vol. 29. — №9. —1958.

126. Prestress manual. State of California department of transporta-tion engineering services. A guide for field inspection of cast-in-place post-tensioned structures. January. — 2005.

127. Vladimir Cervenka. ATENA Program Documentation Part 3-2. Example Manual ATENA Science / Vladimir Cervenka, Jan Cervenka, Zdenek Janda // Cer-venka Consulting Ltd. — 2010. — 52 p.

128. Xu Long. Modelling of Two Dimensional Reinforced Concrete Beam-Column Joints Subjected to Monotonic Loading / Xu Long and Chi King Lee // Advances in Structural Engineering. — 18(9): 1466-1467. — 2015.

129. Willam K. J. Constitutive Model for the Triaxial Behavior of Concrete, Proceedings, International Association for Bridge and Structural Engineering / K. J Willam and E. D. Warnke // — Vol. 19, ISMES, Bergamo, Italy. — 1975.

130. Wolanski A.J. Flexural behavior of reinforced and prestressed concrete beams using finite element analysis / A.J. Wolanski // Marquette University, Milwaukee. — 2004. — 87 p.

131. Zdenek P. Bazant Creep and Shrinkage in Concrete Structures / P. Bazant Zdenek, F. H. Wittmann // John Wiley & Sons. — 1982. — 256 p.

132. Zdenek P. Bazant. Mathematical Modeling of Creep and Shrink-age of Concrete / P. Bazant Zdenek // John Wiley & Sons Ltd. — 1988. — 215 p.

133. Zdenek P. Bazant. Theory of Creep and Shrinkage in Concrete Structures: A Precis of Recent Developments. / P. Bazant Zdenek // Reprinted from Mechanics Today. — Vol. 2. ed. by S. Nemat-Nasser, Pergamon Press. — 1975. — 93 p.

134. Zienkiewicz O. C. The Finite Element Method. Fifth edition. Volume 1: The Basis / O. C. Zienkiewicz, R. L Taylor // Butterworth-Heinemann. —2000. — 689 p.

Приложение 1

! Построение матрицы жесткости h(12,12) стержневого элемента

!Исходные данные:

!□2 - момент инерции сечения относительно местной оси Х2, мЛ4 !□3 - момент инерции сечения относительно местной оси Х3, мЛ4 ^ - площадь поперечного сечения, мЛ2 !е - модуль упругости 1-го рода, Н/мЛ2 !ти - коэффициент Пуассона

subroutine phmst(j2Jj3JfJeJmu) j

!ms$real:8 ! Расчеты выполняются с удвоенной точностью j

real j2j3jkJfJeJmuJgJlJl3Jyd(3J8)Jyd3(3),h(24J24)Jt(3J3)J j

common /ah/h /xgu/ yd j

g=e/(1+2.0d00*mu) ! модуль сдвига, Н/мЛ2 ! Обнуление массивов h=0.0; s=0.0; w=0.0

!Вычисление длины 1 элемента 1=0.

с1о 1=1,3

1=1+(уС(1,2)-уС(1,1))*(уС(1,2)-уС(1,1)) епС Со ! 1

1=сбягь(1) !

!]к -приближённое значение момента инерции при кручении :'к=4.0С00*:2*:'з/(:2+:з)

!Построение матрицы жёсткости элемента h в местных осях j___________________________________________________________

h(1,1)=(e*f)/l; h(1,7)=-(e*f)/l j___________________________________________________________

h(2,2)=(12.0d00*e*j3)/(l*l*l); h(2,6)=(6.0d00*e*j3)/(l*l)

h(2,8)=-(12.0d00*e*j3)/(l*l*l); h(2,12)=(6.0d00*e*j3)/(l*l) j___________________________________________________________

h(3,3)=(12.0d00*e*j2)/(l*l*l); h(3,5)=-(6.0d00*e*j2)/(l*l);

h(3,9)=-(12.0d00*e*j2)/(l*l*l); h(3,11)=-(6.0d00*e*j2)/(l*l) j___________________________________________________________

h(4,4)=(g*jk)/l; h(4,10)=-(g*jk)/l j___________________________________________________________

h(5,5)=(4.0d00*e*j2)/l; h(5,9)=(6.0d00*e*j2)/(l*l)

h(5,11)=(2.0d00*e*j2)/l j___________________________________________________________

h(6,6)=(4.0d00*e*j3)/l; h(6,8)=-(6.0d00*e*j3)/(l*l)

h(6,12)=(2.0d00*e*j3)/l j___________________________________________________________

h(7,7)=(e*f)/l

j___________________________________________________________

h(8,8)=(12.0d00*e*j3)/(l*l*l); h(8,12)=-(6.0d00*e*j3)/(l*l) j___________________________________________________________

h(9,9)=(12.0d00*e*j2)/(l*l*l); h(9,11)=(6.0d00*e*j2)/(l*l) j___________________________________________________________

h(10,10)=(g*jk)/l j___________________________________________________________

h(11,11)=(4.0d00*e*j2)/l

h(12,12)=(4.0d00*e*j3)/1

do i=2,12 !заполнение нижнего треугольника h do j=1,i-1 if(h(j,i)/=0.0) h(i,j)=h(j,i) end do ! j end do ! i

!Задание координат 3-ей точки yd3(1)=yd(1,1)+0.5*1; yd3(2)=yd(2,1)+0.5*1 yd3(3)=yd(3,1)+0.5*l

!Вычисление направляющих косинусов 13=0. do i=1,3

13=13+(yd3(i)-yd(i,1))*(yd3(i)-yd(i,1)) end do ! i 13=dsqrt(13) do i=1,3

c1(i)=(yd(i,2)-yd(i,1))/1 c(i)=(yd3(i)-yd(i,1))/13 end do ! i

a(1)=c(2)*c1(3)-c(3)*c1(2) a(2)=c(3)*c1(1)-c(1)*c1(3) a(3)=c(1)*c1(2)-c(2)*c1(1) 13=dsqrt(a(1)*a(1)+a(2)*a(2)+a(3)*a(3)) do i=1,3

if(13/=0.0) then c2(i)=a(i)/13 e1se

c2(i)=a(i) end if ! 13 end do ! i

c3(1)=c1(2)*c2(3)-c1(3)*c2(2) c3(2)=c1(3)*c2(1)-c1(1)*c2(3) c3(3)=c1(1)*c2(2)-c1(2)*c2(1)

!Формирование матрицы направляющих косинусов s(12,12) i=1 j=1

do k=1,4

s(i,j)=c1(1); s(ij+1)=c2(1); s(ij+2)=c3(1) s(i+1,j)=c1(2); s(i+1j+1)=c2(2); s(i+1j+2)=c3(2) s(i+2,j)=c1(3); s(i+2,j+1)=c2(3); s(i+2j+2)=c3(3) i=i+3 j=j+3

end do ! k

!Переход к глобальной системе координат

ca11 pmmt(h,s,w,24,24,24)!произведение матриц w(24,24)=h(24,24)*TRN[s(24,24)] ca11 pmum(s,w,h,24,24,24)!произведение матриц h(24,24)=s(24,24)*w(24,24)

return; end

Вычисление матрицы жесткости h(24,24) объемного 8-ми узлового КЭ

subroutine ph8x(inh,eu) !ms$real:8 ! Расчеты выполняются с удвоенной точностью

real u,e(6,6),eu(6,6),x(3),yd(3,8),h(24,24),d(6,24),xga(2),

1p(3,8),w(3,8),t(8),z1(3,3),z2(3,3),z3(3),g(3,3),f(6,24),v(24,24) !

common /ah/h /xgu/yd /p/p /xga/xga !

e=0.0; h=0.0; d=0.0 ! обнуление массивов !

u=0.1250d00 ! константа (u=1/8)

!Вычисление производных w(3,8) по x1, x2, x3 в центре КЭ do k=1,3 do m=1,8 w(k,m)=p(k,m) end do j m end do j k

Нормирование матрицы преобразования z1(3,3) call pmmt(w,yd,z1,3,8,3) ! произв-ние матриц z1(3,3)=w(3,8)*TRN[yd(3,8)] z1=u *z1

!Вычисление ковариантных компонент метрического тензора g(3,3) в центре КЭ

Со 1=1,3

Со з=1,3

е(1,:')=0-

Со к=1,3

8(1,3')=8(1,3')+21(1, к^1(з',к) епС Со ! к епС Со ! 3 епС Со ! 1

!Вычисление смешанных производных w(3,8) по x1x2, x1x3, x2x3 в центре КЭ do m=1,8

w(1,m)=p(1,m)*p(2,m) w(2,m)=p(1,m)*p(3,m) w(3,m)=p(2,m)*p(3,m) end do j m

!Формирование матрицы преобразования Z2(3,3) call pmmt(w,yd,z2,3,8,3)!произв-ние матриц z2(3,3)=w(3,8)*TRN[yd(3,8)] z2=u*z2

!Вычисление смешанных производных t(8) по x1x2x3 в центре КЭ do m=1,8

t(m)=p(1,m)*p(2,m)*p(3,m) end do j m

!Формирование вектора преобразования Z3(3,3) call pmmt(t,yd,z3,1,8,3)!произв-ние массивов z3(3)=t(8)*TRN[yd(3,8)] z3=u*z3

!Вычисление контравариантных компонент тензора e(6,6) в центре КЭ do i=1,3 do j=i,3

e(i,j)=eu(i,j)/(g(i,i)*g(j,j)) if(i/=j) e(j,i)=e(i,j) end do ! j end do ! i

e(4,4)=eu(4,4)/(g(1,1)*g(2,2)) e(5,5)=eu(5,5)/(g(1,1)*g(3,3))

e(6,6)=eu(6,6)/(g(2,2)*g(3,3))

!Циклы по точкам интегрирования с1о 11=1,2 х(1)=хез(11) Со 12=1,2 х(2)=хез(12) Со 13=1,2 х(3)=хез(13)

Нормирование матрицы d(6,24) в точке интегрирования 1=0 ! счетчик столбцов матрицы d(6,24) Со т=1,8 Со к=1,3 1=1+1

d(1,1)=u*p(1,m)*(z1(1,k)+(z2(1,k)+z1(1,k)*p(2,m))* x(2)+(z2(2,k)+z1(1,k)*p(3,m))*x(3)+(z3(k)+ z2(1,k)*p(3,m)+z2(2,k)*p(2,m)+z1(1,k)* p(2,m)*p(3,m))*x(2)*x(3))

!___________________________________________________________

d(2,1)=u*p(2,m)*(z1(2,k)+(z2(1,k)+z1(2,k)*p(1,m))* x(1)+(z2(3,k)+z1(2,k)*p(3,m))*x(3)+(z3(k)+ z2(1,k)*p(3,m)+z2(3,k)*p(1,m)+z1(2,k)*p(1,m)* p(3,m))*x(1)*x(3))

!___________________________________________________________

d(3,1)=u*p(3,m)*(z1(3,k)+(z2(2,k)+z1(3,k)*p(1,m))* x(1)+(z2(3,k)+z1(3,k)*p(2,m))*x(2)+(z3(k)+ z2(2,k)*p(2,m)+z2(3,k)*p(1,m)+z1(3,k)*p(1,m)* p(2,m))*x(1)*x(2))

!___________________________________________________________

d(4,1)=u*(z1(1,k)*p(2,m)+z1(2,k)*p(1,m)+(z2(2,k)*p(2,m)+ *z1(1,k)*p(2,m)*p(3,m)+z2(3,k)*p(1,m)+z1(2,k)*p(1,m)*p(3,m))* *x(3))

!-----------------------------------------------------------

d(5,1)=u*(z1(1,k)*p(3,m)+z1(3,k)*p(1,m)+(z2(1,k)*p(3,m)+ *z1(1,k)*p(2,m)*p(3,m)+z2(3,k)*p(1,m)+z1(3,k)*p(1,m)*p(2,m))* *x(2))

!-----------------------------------------------------------

d(6,1)=u*(z1(2,k)*p(3,m)+z1(3,k)*p(2,m)+(z2(1,k)*p(3,m)+ *z1(2,k)*p(1,m)*p(3,m)+z2(2,k)*p(2,m)+z1(3,k)*p(1,m)*p(2,m))* *x(1))

end do ! k end do ! m !

!Вычисление определителя матрицы Якоби det

ca11 pbd8(inh,x,det) !

!Формирование матрицы жесткости элемента h(24,24) ca11 pmum(e,d,f,6,6,24) !произв-е матриц f(6,24)=e(6,6)*d(6,24) ca11 pmtm(d,f,v,6,24,24)!произв-е матриц v(24,24)=TRN[d(6,26)]*f(6,24) v=det*v ! умножение матрицы на скаляр v(24,24)=det*v(24,24)

h=h+v ! cложение массивов h(24,24)=h(24,24)+v(24,24) !

end do ! i3 end do ! i2 end do ! i1

return end

Вычисление матрицы жесткости объемного 6-ти узлового КЭ

subroutine ph6x(inh,eu)

!ms$real:8 ! Расчеты выполняются с удвоенной точностью

real e(6,6),eu(6,6),x(3),yd(3,8),h(24,24),d(6,24),xga(2), p(3,8),w(3,8),t(8),z1(3,3),z2(3,3),z3(3),g(3,3),f(6,24),v(24,24),

dx1(6),dx2(6),dx3(6),dx12(6),dx13(6),dx23(6) !

common /ah/h /xgu/yd /p/p /xga/xga !

e=0.0; h=0.0; w=0.0; d=0.0; f=0.0; v=0.0 ! обнуление массивов !

u=0.1250d00 ! константа (u=1/8)

!_________________________________________________________________________

!Вычисление производных w(3,6) по X1, X2 и X3 в центре КЭ do i=1,3 w(i,1)=p(i,1) w(i,2)=p(i,2) w(i,3)=p(i,3)+p(i,4) w(i,4)=p(i,5) w(i,5)=p(i,6) w(i,6)=p(i,7)+p(i,8) end do ! i do i=1,6 dx1(i)=w(1,i) dx2(i)=w(2,i) dx3(i)=w(3,i) end do ! i

Нормирование матрицы преобразования Z1(3,3) call pmmt(w,yd,z1,3,8,3)!произв-ние матриц z1(3,3)=w(3,8)*TRN[yd(3,8)] z1=u*z1

!_________________________________________________________________________

!Вычисление ковариантных компонент метрического тензора g(3,3) в центре КЭ do i=1,3 do j =1,3 g(i,j)=0.0 do k=1,3

g(i,j)=g(i,j)+z1(i,k)*z1(j,k) end do ! k end do ! j end do ! i

!_________________________________________________________________________

!Вычисление смешанных производных w(3,6) по X1X2,X1X3 и X2X3 в центре КЭ w(1,1)=p(1,1)*p(2,1) w(1,2)=p(1,2)*p(2,2) w(1,3)=p(1,3)*p(2,3)+p(1,4)*p(2,4) w(1,4)=p(1,5)*p(2,5) w(1,5)=p(1,6)*p(2,6) w(1,6)=p(1,7)*p(2,7)+p(1,8)*p(2,8)

!___________________________________

w(2,1)=p(1,1)*p(3,1)

w(2,2)=p(1,2)*p(3,2)

w(2,3)=p(1,3)*p(3,3)+p(1,4)*p(3,4)

w(2,4)=p(1,5)*p(3,5)

w(2,5)=p(1,6)*p(3,6)

w(2,6)=p(1,7)*p(3,7)+p(1,8)*p(3,8)

!___________________________________

w(3,1)=p(2,1)*p(3,1) w(3,2)=p(2,2)*p(3,2)

w(3,3)=p(2,3)*p(3,3)+p(2,4)*p(3,4)

w(3,4)=p(2,5)*p(3,5)

w(3,5)=p(2,6)*p(3,6)

w(3,6)=p(2,7)*p(3,7)+p(2,8)*p(3,8)

do i=1,6

dx12(i)=w(1,i)

dx13(i)=w(2,i)

dx23(i)=w(3,i)

end do ! i

!____________________________________________________________________

Нормирование матрицы преобразования Z2(3,3) в центре КЭ ca11 pmmt(w,yd,z2,3,8,3)!произв-ние матриц z2(3,3)=w(3,8)*TRN[yd(3,8)] z2=u*z2

!____________________________________________________________________

!Вычисление контравариантных компонент e(6,6) в центре КЭ do i=1,3 do j=i,3

e(i,j)=eu(i,j)/(g(i,i)*g(j,j)) if(i/=j) e(j,i)=e(i,j) end do ! j end do ! i

e(4,4)=eu(4,4)/(g(1,1)*g(2,2)) e(5,5)=eu(5,5)/(g(1,1)*g(3,3)) e(6,6)=eu(6,6)/(g(2,2)*g(3,3))

!Циклы по точкам интегрирования Со 11=1,2 х(1)=хез(11) Со 12=1,2 х(2)=хез(12) Со 13=1,2 х(3)=хез(13) !

1=0 ! счетчик столбцов матрицы d(6,24) Со т=1,6 Со к=1,3 1=1+1

!Формирование матрицы d(6,24) в точке интегрирования

!_____________________________________________________

С(1,1)=и*(11(1,к)*Сх1(т)+(12(2,к)*Сх1(т)+

* 11(1,к)*Сх13(т))*х(3))

!_____________________________________________________

С(2,1)=и*(11(2,к)*Сх2(т)+(12(3,к)*Сх2(т)+

* 11(2,к)*Сх23(т))*х(3))

!_____________________________________________________

С(3,1)=и*(11(3,к)*Сх3(т)+(12(2,к)*Сх3(т)+

* 11(3,к)*Сх13(т))*х(1)+(12(3,к)*Сх3(т)+

* 11(3,к)*Сх23(т))*х(2))

!_____________________________________________________

С(4,1)=и*(11(1,к)*Сх2(т)+11(2,к)*Сх1(т)+

* (12(2,к)*Сх2(т)+11(1,к)*Сх23(т)+12(3,к)*Сх1(т)+

* 11(2,к)*Сх13(т))*х(3))

!_____________________________________________________

С(Б,1)=и*(11(1,к)*Сх3(т)+11(3,к)*Сх1(т))

!_____________________________________________________

С(6,1)=и*(11(2,к)*Сх3(т)+11(3,к)*Сх2(т))

end do ! k end do ! m !Вычисление det

ca11 pbd6(inh,x,det) !

!Формирование мж элемента ca11 pmum(e,d,f,6,6,24) !произв-е матриц f(6,24)=e(6,6)*d(6,24)

call pmtm(d,f,v,6,24,24)!произв-е матриц v(24,24)=TRN[d(6,26)]*f(6,24) v=det*v ! умножение матрицы на скаляр v(24,24)=det*v(24,24)

h=h+v ! сложение массивов h(24,24)=h(24,24)+v(24,24) j

end do j i3

end do j i2

end do j i1 j

return end

Приложение II

Численное решение задачи наследственной вязкоупругости

subroutine prcreep(ng,ng1Jmh1JmaxijaJnuJikoJ ns,time,tau0j 3tau_min,nt)

!ms$real:8 ! Расчеты выполняются с удвоенной точностью

real an(maxija),anw(maxija),anj(maxija),

Iad1(ng1),adw(ng1),ad1w(ng1),ad1j(ng1),

r1(ng1),rv1(ng1),rw1(ng1),rw2(ng1),ro1(ng1),

u(ng1),u_all(ng),xwo(ng1),ywo(ng1), zwo(ng1),uwo(ng1),

rs(ns),ts(ns),ves(ns), rs_ts(3),time_st(nt+1)JtimeJtau0Jtau_minJ

dt,rwa,gcon ,ti,e0_k, a1_k,a2_k,a3_k,c1_k,c3_k,g_k,

beta_k,alpha_k,delta_k,psi_k,tooz,

start_time, finish_time, timer !

integer ia1(mh1)Jja1(maxija)Jmuz(nuJ2)Jmuzw(2),idir(ng),

*laa(ns),lbb(ns) !

!Элементы именованных списков

namelist /TIP_KERN/ kern /RSTS/ rs_ts /UZ_REZ/ muzw !

!Ввод массива idir(ng) граничных условий

read(5,*) (idir(i),i=1,ng)

!Ввод массивов ia1(mh1), jal(maxija)

read(6) (ia1(i),i=1,mh1); read(7) (ja1(i),i=1,maxija)

!Ввод массивов an(maxija), ad1(ng1)

read(3) (an(i),i=1,maxija); read(4) (ad1(i),i=1,ng1)

!Ввод массива узловых сил от внешней нагрузки rl(ngl) и веса rvl(ngl) read(21) (r1(i),i=1,ng1); read(25) (rv1(i),i=1,ng1) if(iko==1) then

!Ввод массива узловых сил от преднапряжения арматуры ro1(ng1) read(22) (ro1(i),i=1,ng1)

end if ! iko !

!Ввод массива номеров исследуемых узлов: !muz(i,1) - номер i-го узла;

!muz(i,2) - номер оси, вдоль которой требуется знать перемещение if(nu/=0) then do i=1,nu

read(2,UZ_REZ) ! ввод рабочего массива muzw(2) muz(i,1)=muzw(1); muz(i,2)=muzw(2) end do ! i end if ! nu

!xu - файл прямого доступа используется для хранения векторов ! перемещений (двоичный формат)

open(unit=37,file='C:\Fortran_box\Data_exit\xu.f90,Jaccess=,direct', *form='binary',recl=ng1*16) !

!Обнуление рабочей переменнойх и массивов: kern=0; rs_ts=0; rw1=0.0; rw2=0.0; laa=0; lbb=0 !

!Ввод массивов, необходимых для реализации ступенчатого закона нагружения: !rs(ns) - массив коэффициентов, изменяющих ! начальный вектор нагрузки {r1}

!ts(ns) - массив значений времени отсчета ! каждой ступени нагружения (разгрузки)

!ves(ns) - массив ! весовых коэффициентов для коррекции перемещений ползучести ! каждой ступени нагружения (разгрузки)

do i=1,ns

read(9,RSTS) ! ввод rs_ts

rs(i)=rs_ts(1); ts(i)=rs_ts(2); ves(i)=rs_ts(3) end do ! i !

!Ввод типа ядра Релаксации: !kern=1 - теория упругой наследственности !kern=2 - теория упруго ползучего тела read(9,TIP_KERN) ! ввод kern !

nt=nt-dint(ts(1)) ! nt - общее число шагов по временной координате

! отсчитываемое от момента начала процесса нагружения ts(1)

dt=(time-ts(1))/dfloat(nt) ! dt - шаг интегрирования по времени !

laa(1)=0 ! счетчик числа шагов от начала процесса нагружения до момента ! изменения вектора нагрузки {rw1} на шаге k

!

lbb(1)=nt ! счетчик числа шагов от конца текущего шага нагружения k

! до конца процесса наблюдения, которому соответствует время time

!

!Цикл по ступеням нагружения start_time=timer() ! время начала вычислений do k=1,ns

write(*,*) 'step=',k

!

Нормирование вектора {rw1} if(k==1) then

if(iko==0) rw1=rs(k)*r1+rv1 ! начальное нагружение без преднапряжения арматуры if(iko==1) rw1=rs(k)*r1+rv1+ro1 ! начальное нагружение с учетом преднапряжения арматуры

end if ! k !

if(k/=1) then

rw1=rs(k)*r1 ! текущее нагружение end if ! k !

tau0=ts(k) ! момент времения изменения вектора {rw1} на k-ой ступени !

tooz=0.0 ! обнуление переменной tooz ti=time

!Константы для стандартной модели теории старения:

if(kern==1) then

e0_k=2.6d05

delta_k=0.219d-05

psi_k=0.756d-05

alpha_k=0.275

g_k=0.030

end if ! kern=1

!Константы для модели модернизированной теории старения:

if(kern==2) then

e0_k=2.6d05

a1_k=4.62d-05

a2_k=1.0d00

a3_k=3.416d-05

c1_k=.975d-05

c3_k=.756d-05

g_k=0.03

beta_k=0.206

a1pha_k=6.0d00 !

!Вычисление поправочного коэффициента tooz ca11 kerne1_IV_146(ti,tau0,tau_min,e0_k,a1_k,a2_k,a3_k,c1_k, 0c3_k,g_kjbeta_k, a1pha_k,tooz,rwa) tooz=rwa

end if ! kern=2 !

!Вычисление числа шагов от начала отсчета до момента tau0 if(k/=1) then

1aa(k)=dint((ts(k)-ts(1))/(dt)) 1bb(k)=1bb(k-1)+(nt-1aa(k)) end if ! k

!Линейно упругое решение

!Нормирование [a] и {r}

1c=0 ! счетчик элементов [a]

do i=1,ng1 ! цикл по строкам [a]

11=ia1(i+1)-ia1(i) ! число элементов в строке i

1h=ia1(i) ! счетчик элементов в строке i

do j=1,11 ! цикл по элементам строки i

1c=1c+1

anw(1c)=an(1c)/dsqrt(ad1(i)*ad1(ja1(1h)))

1h=1h+1

end do ! j

end do ! i

adw=1.0d00 ! инициализация массива do i=1,ng1

rw2(i)=rw1(i)/dsqrt(ad1(i)) end do ! i--