Решение нелинейных задач статической и динамической устойчивости изотропных и ортотропных пластин и пологих оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Журавлева, Татьяна Александровна

• Журавлева, Татьяна Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Журавлева, Татьяна Александровна

Оглавление

Введение

1 Обзор существующих исследований в области статики и динамики нелинейно-деформируемых тонкостенных конструкций

1.1 Основные положения теории пластин и оболочек

1.2 Методы решения краевой и вариационной задачи в теории пластин и оболочек

1.3 Решение нелинейных задач с помощью Методов и алгоритмов с параметром продолжения

1.4 Методы и алгоритмы численного решения задач нелинейной динамики

2 Формулировка зависимостей нелинейной теории оболочек

2.1 Общие нелинейные зависимости трехмерной теории и их упрощение

2.2 Теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига. Теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и изменения прогиба по толщине

2.3 Геометрические соотношения в приращениях для нелинейной теории оболочек

2.4 Физические соотношения теории оболочек

3 Формирование численных методик решения нелинейных задач устойчивости

3.1 Разностно-квадратурная аппроксимация функционала

3.2 Итерационные методы и методы д ифференц ирования по параметру

3.3 Определение коэффициентов матрицы Гессе и вектора невязки

3.4 Тестовая задача

4 Расчет ортотропных и изотропных пластин и оболочек

4.1 Устойчивость нелинейно-деформируемых цилиндрических

оболочек на квадратном и прямоугольном планах

4.2 Устойчивость нелинейно-деформируемых цилиндрических оболочек при действии несимметричных нагрузок

4.3 Использование метода продолжения по параметру при решении задачи о свободных колебаниях пластины в геометрически нелинейной постановке

4.4 Использование метода продолжения по параметру при решении задачи о динамической устойчивости пластин при условии действия поперечной нагрузки

4.5 Динамическая устойчивость нелинейно-деформируемых сетчатых пластин с различными конфигурациями решетки

4.6 Исследование устойчивости пространственного металлического каркаса покрытия

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение нелинейных задач статической и динамической устойчивости изотропных и ортотропных пластин и пологих оболочек»

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день тонкостенные конструкции различной конфигурации широко востребованы в различных областях техники, например, приборостроении, машиностроении, кораблестроении, авиации, в том числе космической, промышленном и гражданском строительстве. Это происходит благодаря тому факту, что тонкостенные конструкции, при огромном разнообразии форм, обладают высокой степенью экономичности. В силу широты применения упомянутого вида конструкций, диапазон внешних воздействий, которым они подвергаются во время эксплуатации в различных областях, очень широк, равно как и диапазон материалов, из которых их приходится изготавливать. Поэтому вопросы развития методик анализа прочности и устойчивости, в том числе динамической, тонкостенных конструкций при условии больших перемещений приобретают особую актуальность. Рассмотрение этого класса задач приводит к необходимости решения краевых задач, выраженных в нелинейных дифференциальных соотношениях (уравнениями равновесия или функционалами), которые чаще всего поддаются только численному решению.

В силу вышеозначенных причин в настоящее время расчет и проектирование тонкостенных конструкций с помощью ЭВМ приобретает значимость одного из наиболее важных разделов строительной механики. Расчет оболочечных конструкций любого рода обуславливается корректной формулировкой краевой задачи, которая должна содержать соответствующие исходные геометрические и физические соотношения, дифференциальные уравнения либо вариационный функционал и сформулированные граничные условия.

В существующей практике расчетов наибольшее распространение получили разнообразные варианты теории оболочек, которые основываются на гипотезах Кирхгофа-Лява. Несмотря на распространенность, этим теориям свойственно появление значительной погрешности при проведении расчетов оболочечных конструкций средней толщины, в контактных задачах, а также при исследовании свойств конструкций из анизотропных материалов. С течением времени все

большее распространение получают разнообразные уточненные технические теории, которые учитывают наличие деформаций поперечного сдвига. Их основное достоинство заключается в том, что учет деформаций поперечного сдвига позволяет строить вычислительные схемы, легче поддающиеся алгоритмизации, несмотря на то, что такие теории приводят к увеличению количества искомых функций перемещений.

Стоит отдельно отметить, что в настоящее время анализ прочности и устойчивости сооружений из стержневых и тонкостенных пространственных конструкций продолжает проводиться, в основном, посредством линейного расчета. При этом линейный анализ может считаться только первым приближением на этом пути, справедливым лишь в непосредственной близости от начального состояния. Для сооружений, относящихся к уникальным, возводимых с применением новейших высокопрочных конструкционных материалов, возникает потребность максимального использования несущей способности материала, а следовательно, учета как физической, так и геометрической нелинейности поведения конструкций при расчете. В этом свете, тонкостенные конструкции принадлежат к категории конструкций, которые в первую очередь нуждаются в проведении нелинейного расчета.

К основным направлениям современного нелинейного анализа конструкций следует отнести разработку и совершенствование адекватных расчетных моделей, а также создание эффективных алгоритмов численного решения краевых задач для ЭВМ. К методам решения задач строительной механики, которые получили наибольшее распространение в последнее время, относятся метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных интегральных уравнений (МГИУ), вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных разностей (МКР). Такие методы, как МКЭ или ВРМ, характеризуются широкой областью применимости, инвариантностью по отношению к геометрии конструкции и физическим характеристикам материалов, относительной легкостью учета взаимодействия конструкции со средой (температурные, механические, коррозионные воздействия, различные граничные условия и т.п.), пригодностью к эффективной автоматизации на всех эта-

пах расчета. При численной реализации перечисленных методов особенно важным оказывается тот факт, что при формулировке задачи в вариационной постановке порядок производных снижается по сравнению с формулировкой задачи через дифференциальные уравнения равновесия. Помимо этого, матрица разрешающей системы алгебраических уравнений обладает редко заполненной квазидиагональной структурой, что обуславливает ускорение хода численного решения и сокращение требуемого объема машинной памяти. Решение краевой задачи с использованием ВРМ дает возможность построить гибкий и эффективный алгоритм, который рационально воплощается в пакет прикладных программ, и впоследствии легко адаптируется к решению различных конкретных задач, с помощью внесения незначительных изменений, связанных, в основном, с формулировкой конкретного функционала и соответствующих аппроксимирующих функций.

Вопросы исследования устойчивости нелинейно деформируемых оболочеч-ных конструкций влекут за собой необходимость построения кривых равновесных состояний. Одновременно с этим при анализе устойчивости упомянутого вида конструкций необходимо определять предельные и бифуркационные нагрузки, а также исследовать устойчивость форм равновесия при наличии малых возмущений исходных параметров системы. Для решения этих задач особенно часто используются методы, связанные с построением последовательности решений при шаговом изменении ведущего параметра, отталкивающиеся от существующего начального решения. Параметром продолжения решения могут выступать такие величины, как параметр нагрузки, параметр перемещения в заданной точке, длина дуги кривой равновесных состояний.

Цели диссертационной работы:

1. разработка методик численного решения задач устойчивости и нелинейной динамики пластин и пологих оболочек, основанных на вариационно-разностном методе и методе продолжения решения по параметру;

2. создание алгоритмов и процедур численного решения задач устойчивости и нелинейной динамики, а также их реализация в виде программного обеспечения для ЭВМ;

3. численное исследование устойчивости и нелинейных колебаний пластин и оболочек с помощью разработанных методик при различных параметрах систем, граничных условиях и воздействиях.

Научную новизну работы составляют:

1. разработка методики и численных процедур решения геометрически нелинейных задач устойчивости изотропных и ортотропных оболочек на базе вариационно-разностного подхода и метода продолжения решения по параметру;

2. разработка и реализация численной методики решения задач нелинейной динамики пластин с применением метода продолжения решения по параметру путем введения дополнительного уравнения в задачу Коши;

3. проведение исследования устойчивости нелинейно деформируемых пологих оболочек из композиционного материала при несимметричном нагружении с использованием разработанной методики.

4. проведение исследования свободных колебаний и динамической устойчивости нелинейно деформируемых пластин с помощью метода продолжения решения по параметру.

Практическая ценность диссертации заключается в разработке программного обеспечения для ЭВМ на языке FORTRAN, входящего в состав пакетного продукта, предоставляющего возможность выполнения расчетов ортотропных пластин и оболочек при условии приложения разнообразных статических и кинематических воздействий. Предложенное программное обеспечение содержит возможность учета деформаций поперечного сдвига и геометрической нелинейности работы материала.

Обоснованность и достоверность научных положений обуславливается тем, что в основе разрабатываемой методики лежат заведомо корректные математические модели и существующие методы решения нелинейных задач. Проведенное решение совокупности тестовых задач указывает на хорошее совпадение полученных численных результатов с данными о результатах расчетов других авторов. Помимо этого, достоверность результатов расчетов подтверждается анализом ха-

рактера сходимости численных решений при различной величине шага по ведущему параметру.

По теме диссертации имеется 8 публикаций, в том числе 4 статьи опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе содержится обзор существующих научных работ, описывающих построение теории пластин и оболочек, разработку и оценку численных методов решения нелинейных задач прочности, устойчивости и динамики тонкостенных конструкций. Приводится обоснование выбора математической модели.

Во второй главе приведено построение геометрических соотношений теории нелинейно деформируемых оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, как в отношении полных значений перемещений, так и в отношении приращений перемещений. Также во второй главе приведены физические соотношения для теории оболочек, соответствующие положениям линейной теории упругости. Приведено описание вариационного подхода к решению задач расчета тонкостенных конструкций с учетом геометрической нелинейности.

В третьей главе рассматриваются методы численного решения нелинейных статических и динамических задач. Описаны применяемые формулы разностно-квадратурной аппроксимации исходного функционала при расчете нелинейно деформируемых тонкостенных конструкций, а также формулы, по которым вычисляются коэффициенты разрешающей системы алгебраических уравнений. Приведено описание методик, базирующихся на дискретном и непрерывном продолжении решения по параметру, а также методик прямого интегрирования уравнений движения.

В четвертой главе описаны результаты, полученные в ходе исследования задач динамики и устойчивости пластин и пологих цилиндрических оболочек, отличающихся различными геометрическими характеристиками, условиями нагру-жения и опорными закреплениями.

1 ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Ключевым фактором, обуславливающим характер анализа оболочечных конструкций при любом виде воздействия, является выбор способа преобразования трехмерной системы уравнений теории упругости к двумерной системе теории оболочек. В настоящее время существует огромное количество работ, описывающих основные соотношения теории пластин и оболочек, в том числе, включая уточнения различного характера. Наиболее распространенными среди них являются работы, описывающие модели с аппроксимацией перемещений либо напряжений и последующим использованием трехмерной системы уравнений теории упругости.

Упомянутый способ, описывающий сведение трехмерной задачи к двумерной посредством задания закона изменения перемещений по толщине элемента пластины или оболочки, был использован в работах Б.Ф.Власова [23,24], И.Е.Милейковского [73], М.П.Шереметьева и Б.Л.Пелеха [114], Р.Кристенсена [64].

В настоящее время наибольшее распространение приобрела модель пластинок и оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява [4,25,26,41,57,85,97,109]. Эта модель находит широкое применение в практике расчетов и предоставляет возможность получения результатов достаточно высокой точности при решении обширной группы прикладных задач. Варианты нелинейных уравнений, основывающихся на упомянутой модели, в различной трактовке представлены В.В.Новожиловым [80], Э.И.Григолюком, В.В.Кабановым [43], Л.А.Шаповаловым [113], В.И.Мяченковым, И.В.Григорьевым [79] и многими другими. Ниже приводится вариант формы записи геометрических соотношений, соответствующих данной постановке. При справедливости зависимостей вида:

£и=еп +2Кн;&у=еу+2ясу = 1,2;* (1.1.1)

для линейных и угловых деформаций, а также изменений кривизн срединной поверхности оболочки будут иметь место следующие соотношения: 1) из работы [32]:

еи =Еп =Еи +ЕЛ '

К«7:=Ки >Ку=Ку +КЛ '¿>1 = 1>2'>* * 3

2) из работы [114]:

2

еи +Ел+\\fi\fj;

(1.1.2)

\|/7

Кц=Ки1=КУ+Кл '¿>1 = 1'2'/ * ]

(1.1.3)

3) из работы [9]:

еи=Еи+^;еу=Еч- +Ер +¥г Уу;

кИ=КИ '>Ки=Ку +Кл +У/У/

'111Л

(1.1.4)

4) из работы [67]:

Кп=ки ~ *ц=Кч +Кл

—+— К; Л ,•

V 1 ] У

(1.1.5)

и,} — 1>2;г * у

Формулы (1.1.2)-(1.1.4) получены, исходя из предположения, что со«Ч'. Анализ этого допущения выполнен на основе зависимостей, приведенных в выражениях (1.1.5) в работе [32].

Следует отметить, что теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява, обладает рядом недостатков:

1) строгое удовлетворение пяти статическим граничным условиям на свободном крае заведомо невозможно, что ведет к необходимости введения искусственного понятия обобщенных поперечных сил;

2) действие теории не распространяется на оболочки из современных композитных материалов с низкой сдвиговой жесткостью, а также на оболочки средней и большой толщины;

3) наличие вторых производных функции прогиба в выражениях минимизируемых функционалов ведет к усложнению реализации задачи посредством метода конечного элемента, и вариационно-разностного метода.

Позднее были созданы уточненные теории различного толка. Наибольшее распространение из них получили теории, которые учитывают поперечные деформации, в первую очередь, сдвиговая модель С.П.Тимошенко. В применении к нелинейным задачам теории пластин и оболочек эта теория была подробно развита в работах Л.Я.Айнолы [3], А.С.Вольмира [29], К.З.Галимова [37], Крысько В.А. [65] , Р.Б.Рикардса, Г.А.Тетерса [92], и других.

Отдельно следует упомянуть методы построения теории оболочек, основанные на разложении неизвестных функций трехмерной задачи теории упругости в ряды, используя поперечную координату. К ним относятся метод интегрирования А.И.Лурье [70], метод начальных функций В.З.Власова [26]. Оба упомянутых метода основаны на разложении в ряды Маклорена по координате г неизвестных величин. Кроме того, сведение трехмерной задачи к двумерной путем разложения искомых функций в ряды по полиномам Лежандра по толщине оболочки, и построение моделей оболочек, в том числе многослойных, продемонстрировано в работах А.А.Амосова [7,8].

Интегральные и интегрально-дифференциальные уравнения статики и динамики оболочек получены в монографии Н.А.Кильчевского [54], для чего проведено разложение всех перемещений в конечные ряды по поперечной координате после чего применены функциональные соотношения, вытекающие из теорем теории упругости о взаимности работ.

А.Р.Ржаницыным в работе [90] предложен способ построения основополагающих уравнений моментной теории оболочек. Чтобы свести трехмерную задачу теории упругости к двумерной задаче теории оболочек, в работе принята гипотеза прямых вертикалей, эквивалентная по точности гипотезе прямых нормалей (мо-

дели Кирхгофа-Лява). Согласно этой гипотезе вертикальные линии, пересекающие оболочку по толщине, после ее деформации остаются прямыми и располагаются под тем же углом наклона к срединной поверхности, что и до деформации. Недостатком предложенного метода является громоздкость формулировки закона Гука на поверхности оболочки, выраженного в косоугольных координатах. Достоинством - относительная простота формулировки статических и геометрических уравнений.

Развитие применения современных композиционных материалов обусловило сопутствующее развитие теорий и методов расчета анизотропных оболочек. Опубликовано множество работ на эту тему, среди которых следует упомянуть работы А.К.Галиньша [38], С.А.Амбарцумяна [5,6], Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко, Г.П.Голуб [45], Р.Б.Рикардса, Г.А.Тетерса [92] и других авторов. Среди работ, затрагивающих область нелинейной теории, следует отметить исследования Г.А.Ванина, Н.П.Семенюка, Р.Ф.Емельянова [20], Р.Б.Рикардса [91] и др.

Исходя из проведенного обзора, можно заключить, что ключевым пунктом построения технической теории пластин и оболочек является сведение трехмерной задачи теории упругости к двумерной задаче теории оболочек, посредством формулировки соответствующего набора геометрических и физических посылок. Причем, вид полученных в результате соотношений обуславливается методом, который будет использоваться при последующем решении задачи. Так, для численных методов предпочтительнее вводить дополнительные неизвестные функции, описывающие напряженно-деформированное состояние оболочки, нежели повышать порядок производных в подынтегральном выражении энергетического функционала.

1.2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ И ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ В

ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Анализ нелинейно деформируемых тонкостенных конструкций, в большинстве случаев, сводится к решению систем нелинейных дифференциальных урав-

нений либо функционалов, выраженных в частных производных различного порядка. Строго аналитическое решение таких систем, как правило, оказывается невозможным, поэтому огромное значение приобретает развитие численных методик их решения.

В современной строительной механике можно условно выделить три группы методов решения возникающих задач:

1. Методы решения краевой задачи. Эти методы используются для поиска решения системы, состоящей из дифференциальных уравнений и соответствующих граничных условий. К ним относятся метод Бубнова-Галеркина, метод конечных разностей, метод Власова.

2. Методы минимизации энергетических функционалов. Эти методы подразумевают поиск экстремального значения для функции полной потенциальной энергии деформируемой системы (минимума функции). К ним относятся метод конечных элементов (МКЭ), вариационно-разностный метод (ВРМ), метод Ритца.

3. Методы линеаризации. Методы этой группы сводят имеющуюся нелинейную задачу к последовательному решению серии линейных задач. К ним относятся метод Ньютона-Рафсона, метод малого параметра, метод последовательных нагружений, метод упругих решений, и другие.

Весьма универсальным, с точки зрения возможности применения к задачам с различными граничными условиями, является способ решения в тригонометрических рядах методами Власова [65,88], Бубнова-Галеркина [25,27] или малого параметра [63]. Речь, в основном, идет о невысоких (1-2) приближениях.

К недостаткам методов Ритца и Бубнова-Галеркина следует отнести зависимость их эффективности от выбора аппроксимирующих функций и числа параметров, которые подвергаются варьированию. Кроме того, рост числа варьируемых параметров ведет к повышению порядка разрешающей системы нелинейных алгебраических уравнений. К тому же, эффективность перечисленных методов резко падает при усложнении геометрических и физических исходных данных рассматриваемой задачи: нестандартная геометрическая форма, нерегулярная структура, комбинированные материалы.

Довольно востребованным среди численных методов является метод конечных разностей или метод сеток. Данный метод в применении к расчету пластинок рассмотрен в работе П.М.Варвака, Л.П.Варвака [21]. Вопросы учета геометрической нелинейности при решения задач исследования пластин и оболочек с помощью МКР освещены в монографии А.С.Вольмира [29]. Изгиб прямоугольных и круглых пластин и пологих оболочек рассматривался в работах М.С.Корнишина [59] и М.С.Корнишина, Н.Н.Столярова [61].

М.С.Корнишиным показано, что для пластин и пологих оболочек наиболее экономичным, с точки зрения трудоемкости вычислений, является метод конечных разностей [59]. Однако, это достоинство нивелируется при переходе к задачам для областей сложной геометрической формы, отличной от прямоугольника.

Одним из наиболее эффективных и, безусловно, наиболее распространённым на сегодняшний день методов численного решения инженерных задач можно считать метод конечных элементов. Процесс развития МКЭ продвигался одновременно по двум основным направлениям. С одной стороны, он явился естественным эволюционным продолжением разработки и алгоритмизации методов механики стержневых систем и метода перемещений в частности. С другой стороны, метод конечного элемента на каком-то этапе выделился в самостоятельную разновидность вариационно-разностного метода математической физики. Впервые термин "конечный элемент" появляется у Клафа в работе [55]. Оба описанных направления самостоятельного развития МКЭ постепенно слились в одно, и на сегодняшний день, насчитывается тысячи публикаций, посвященных МКЭ. Подробное описание основ метода конечных элементов, а также особенностей его применения к расчету стержневых систем, к различным задачам теории упругости, а также теории пластин и оболочек, мембранных конструкций, задачам теплопроводности, гидро- и аэродинамики и т.п. приводится в монографиях таких авторов, как А.В.Александров, Б.Я.Лащеников, Н.Н.Шапошников [4], К.-Ю.Бате, Е.Вилсон [12], А.Е.Белкин, С.С.Гаврюшин [13], Р.Галлагер [39], О.Зенкевич [48], Д.Норри, Ж. де Фриз [81], Д.Оден [86], В.А.Постнов, И.Я.Хархурим [89],

Л.А.Розин [94], Л.Сегерлинд [95], Г.Стренг, Д.Фикс [98], Р.Б.Рикардса [91], Р.А.Хечумов, Х.Кепплер, В.И.Прокопьев [112].

Применение МКЭ для решения задач с геометрической нелинейностью рассматривалось в работах Тернера, Дилла, Мартина и Мелоша [138], Р.Галлагера и др. [128], Крисфилда [124,125], Шмита, Богнера, Фокса [115]. В этих работах задача решалась через численное отыскание минимума полной потенциальной энергии деформируемой системы. Вопросы расчета оболочек на устойчивость при помощи МКЭ рассматривались в работах Дж.Коннора и Р.Морина [58], Р.Галлагера [127]. Вопросы применения неклассических моделей МКЭ в нелинейных задачах исследованы в работе С.Б.Косицына [62].

На сегодняшний день, МКЭ в перемещениях, безусловно, является самым распространенным методом решения задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела в инженерной практике. К его достоинствам следует отнести универсальность применения, возможность охвата задач со сложной геометрией и физическими характеристиками материалов, относительная простота моделирования взаимодействия конструкции и среды (практически любые внешние условия), пригодность к эффективной автоматизации на всех этапах расчета. В настоящее время существует огромное количество вычислительных комплексов различной мощности на базе МКЭ, в том числе ABAQUS, ANSYS, MSC/NASTRAN, COSMOS/M, SCAD, Lira.

К другим методам решения задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела, достаточно распространенным на сегодняшний день, следует отнести метод граничных элементов, подробно освещенный в работах К.Бреббиа, С.Уокера [17], К.Бреббиа, Ж.Теллеса, Л.Вроубела [16], П.Беннерджи, Р.Баттерфилда [14], Ж.Теллеса [102], Риццо [134], Круза [126]. К достоинствам метода можно отнести необходимость дискретизации только поверхности рассматриваемого тела. Благодаря этому, снижается число узлов и, соответственно, число неизвестных конечной системы. Все операции метода, в том числе и аппроксимация функций неизвестных, производятся для величин на поверхности, то есть, исходная пространственная задача сводится к поверхностной и

ее размерность понижается на единицу. К недостаткам метода следует отнести тот факт, что хотя разрешающая система алгебраических уравнений имеет порядок меньший, нежели система в МКЭ для аналогичной задачи, матрица ее коэффициентов получается полной, несимметричной и необязательно положительно определенной. Метод граничных элементов, в отличие от МКЭ, является эффективным в применении к задачам о поведении весьма удлиненных областей и тел, задачам в бесконечных и полубесконечных областях определения.

В тесной связи с МКЭ находится вариационно-разностный метод, который также относится к самым эффективным методам численного решения задач механики деформируемого твердого тела. Дискретизация выражения энергии деформации системы, а также последующий переход от функциональных соотношений к системам алгебраических уравнений подробно описаны в работе Д.В.Вайнберга и А.Л.Синявского [18]. Исследование вариационных проблем в теории упругости, включающее формулировку различных вариационно-разностных схем, программ и алгоритмов расчета тонкостенных конструкций, представлено в работах Н.П.Абовского, Н.П.Андреева, А.П.Деруги [1], Л.Н.Енджиевского [47]. Эффективный метод алгоритмизации численного решения задач механики деформируемого твердого тела был предложен А.Б.Золотовым и В.Н.Сидоровым [49]. Некоторые алгоритмы численного решения задач теории пластин и оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей на базе ВРМ предложены в монографиях И.Е.Милейковского и С.И.Трушина [75, 132], A.B. Миргородского [76]. В упомянутых работах подвергались рассмотрению вопросы прочности и устойчивости тонкостенных конструкций, в том числе с учетом ортотропии.

К достоинствам ВРМ относится возможность расчета тонкостенных конструкций сложной геометрической формы, с наличием дефектов. Кроме того, вариационная постановка задачи приводит к снижению порядка производных, фигурирующих в ее формулировке, по сравнению с формулировкой в дифференциальных уравнениях равновесия, что является плюсом при численной реализации метода. Этому же способствует тот факт, что структура матрицы разрешающей системы алгебраических уравнений при ВРМ является редко заполненной и ква-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Журавлева, Татьяна Александровна, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций. - М.: АСВ, 2000.

3. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН Эст.ССР, сер. физ.-матем. и техн. наук, 1965, т. 14, №3, с.337-344.

4. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. - М.: Стройиздат, 1983. -488 с.

5. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. - М.: Наука, 1974. -446 с.

6. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. - М.: Физматгиз, 1967. -266 с.

7. Амосов A.A. Приближенная трехмерная теория нетонких упругих оболочек и плит. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук, М., ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1990. - 336 с.

8. Амосов A.A. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1987, №5, с.37-42.

9. Антонов E.H. К анализу соотношений геометрически Нелинейной теории малых деформаций тонкой оболочки // Изв. вузов. Сер. Стр-во и архитектура, 1983, №11, с.41-45.

10. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций.-М.: Наука, 1986.-302 с.

11. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Черноусько Ф.Л. О разностно-квадратурных аппроксимациях выпуклых интегральных функционалов // ДАН СССР, 1976, т. 231, №2, с. 269-272.

12. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

13. Белкин A.A., Гаврюшин С.С. Расчет пластин методом конечных элементов: Учеб. Пособие. -М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 232 с.

14. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984. - 494 с.

15. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. - Рига.: Зинатне, 1987. - 295 с.

16. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987. - 524 с.

17. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. -М.: Мир, 1982.-248 с.

18.Вайнберг Д.В., Синявский A.J1. Дискретный анализ в теории пластин и оболочек // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. - М.: Наука, 1966, с.209-214.

19. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. - М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

20. Ванин Г.А., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Ф. Устойчивость оболочек из армированных материалов. - Киев: Наукова думка, 1978. 212 с.

21.Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. - М.: Стройиздат, 1977. - 154 с.

22. Васильков Г.В., Кудинов O.A., Панасюк Л.Н. Итерационные методы решения упруго-пластических задач динамики сооружений. // Исследования по расчету пластин и оболочек. - Ростов на Дону: Ростовский инженерно-строительный институт, 1986, с. 3 - 18.

23. Власов Б.Ф. Об одном случае изгиба прямоугольной толстой плиты // Вестник МГУ, сер.физ.-матем.наук, 1957, №2, с.25-33.

24. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластин // Известия АН СССР, ОТН, 1957, №12, с.57-60.

25. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. - M.-JL: ГИТТЛ, 1949. -784 с.

26. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. - М.: Физматгиз, 1960. - 492 с.

27. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. - М.: ГИТТЛ, 1956. -420 с.

28. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967. -984 с.

29. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: Наука, 1972. - 432 с.

30. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа (задачи аэроупругости). -М.: Наука, 1976.-416 с.

31. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. -М.: Наука, 1979.-320 с.

32. Вольмир A.C., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур. - М.: Машиностроение, 1989 - 248 с.

33. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек // ПММ, 1956, 20, №4, с.449-474.

34. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // ПММ, 1965, т.29, №5, с.894-901.

35. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах численного метода последовательных аппроксимаций. // Строительная механика и расчет сооружений., 1978, №3, с. 26-30.

36. Габбасов Р.Ф. Расчет плит с использованием разностных уравнений метода последовательных приближений. // Строительная механика и расчет сооружений., 1980, №3, с. 27-30.

37. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. -Казань: Изд-во КГУ, 1975. -325 с.

38. Галиньш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1967, вып.5, с.66-92.

39. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

40. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф., Якушин С.А. Исследование нелинейного статического и динамического деформирования оболочек малой и средней толщины методом конечных элементов. // Материалы XX международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов.» - СПб: Изд-во СПбГУ, 2003, с. 134-139.

41. Гольденвейзер A.JT. Теория упругих тонких оболочек. - М.: Гостехиздат, 1953.-544 с.

42. Горшков А.Г. Механика взаимодействия конструкций со сплошными средами и физико-механическими полями. // Материалы XX международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов.» - СПб: Изд-во СПбГУ, 2003, с. 152-157.

43. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. - М.: Наука, 1978. -360 с.

44. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. - М.: Наука, 1988. - 232 с.

45. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб. Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. - Киев: Наукова думка, 1978. - 216 с.

46. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР, 1953, т.88, №4, с.601-602.

47. Енджиевский J1.H. Нелинейные деформации ребристых оболочек. - Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1982. - 295 с.

48. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 542 с.

49. Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Алгоритмизация решения краевых задач строительной механики на ЭВМ // Строительная механика и расчет сооружений, 1975, №5, с.36-42.

50. Иванов A.C., Смирнов В.А., Трушин С.И., Чентемиров Г.М., Черниченко В.А. Вариационно-разностный метод расчета и экспериментальные исследования оболочек и пластин, выполненных из композиционного материала с низкой сдвиговой жесткостью // Методы расчета и оптимизации строительных конструкций на ЭВМ. Труды ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко, 1990, с. 165-175.

51. Иванов A.C., Трушин С.И. Разработка и оценка вычислительных алгоритмов исследования устойчивости нелинейно деформируемых оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1991, №5, с.53-58.

52. Иванов A.C., Трушин С.И. Расчет несущей способности нелинейно деформируемых пологих оболочек с учетом начальных несовершенств / Пространственные конструкции зданий и сооружений: Исследование, расчет, проектирование. Вып.7. - М.: Изд-во ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1992, с.24-29.

53. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчет пространственных систем в строительной механике. - Саратов: Изд-во Сарат.политехнич.ин-та,1972,с.3-8.

54. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. - Киев: Изд-во АН УССР, 1963.-354 с.

55. Клаф Рэй В., Пензиен Дж. Динамика сооружений. - М.: Стройиздат, 1979. -320 с.

56. Кобелев В.Н., Потопахин В.А. Динамика многослойных оболочек. - Ростов на Дону: изд-во Ростовского университета, 1985. - 160 с.

57. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. - М.: Высшая школа, 1963.-278 с.

58. Коннор Дж. и Морин Р. Метод возмущений в расчете геометрически нелинейных оболочек // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. -JL: Судостроение, 1974, т.2, с. 186-202.

59. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. - М.: Наука, 1964. - 192 с.

60. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. - М.: Наука, 1968.-260 с.

61. Корнишин М.С., Столяров H.H. Большие прогибы прямоугольной в плане пологой цилиндрической панели с неподвижными краями // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970, вып.6-7, с.165-186.

62. Косицын С.Б. Неклассические криволинейные конечноэлементные модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики : дис. ... доктора технических наук : 05.23.17 / Косицын Сергей Борисович. - М., 1993. - 424 с.

63. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник - М.: Издательство УДН, 1991.-287 с.

64. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М.: Мир, 1982. - 336 с.

65. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216с.

66. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Устойчивость и колебания неоднородных оболочек. - Саратов: СГТУ, 1999. - 202 с.

67. Куранов Б.А., Турбаивский А.Т., Бобель JI.B. Геометрические соотношения нелинейной теории малых деформаций тонких оболочек // Проблемы прочности, 1988, №6, с.58-61.

68. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. - М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 464с.

69. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. -416 с.

70. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. - М.: Гостехиздат, 1955.

71. Матевосян P.P. Метод решения и анализа систем нелинейных уравнений // Труды ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1974, вып.35, с.22-33.

72. Методы динамических расчетов и испытаний тонкостенных конструкций / под ред. Кармишина A.M. - М.: Машиностроение, 1990. - 288 с.

73. Милейковский И.Е. Система исходных уравнений пологих оболочек при учете сдвига по толщине и решение их по методу конечных элементов // Пространственные конструкции зданий и сооружений, 1977, вып.З, с.5-10.

74. Милейковский И.Е., Сидоров В.Н., Трушин С.И., Булгакова М.В., Кислов В.В. Численные методы расчета оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности и деформаций поперечного сдвига // Теория и экспериментальные исследования пространственных конструкций. Применение оболочек в инженерных сооружениях. Труды Международного Конгресса ИАСС, М., 1985, т.1, с.580-594.

75. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций . - М.: Стройиздат, 1989. - 200 с.

76. Миргородский A.B. Численное исследование колебаний однослойных и многослойных оболочек в геометрически нелинейной постановке : дис. ... канд. техн. наук: 05.23.17 / Миргородский Андрей Валерьевич. - М., 2004. -156 с.

77. Михайлов A.B. Численное исследование устойчивости нелинейно деформируемых сетчатых оболочек : дис. ... канд. техн. наук: 05.23.17 /Михайлов Андрей Вадимович. - М., 2004. - 181 с.

78. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. - М.: Наука, 1978. - 352 с.

79. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. - М.: Машиностроение, 1981. -216 с.

80. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. - JI.-M.: Гостехтео-риздат, 1948. -212с.

81.Норри Д., де Фриз Ж. Ведение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981.- 304 с.

82. Овчинников И.Г., Трушин С.И. О расчете гибкой пластинки из нелинейно-упругого материала, свойства которого зависят от температуры // Прикладная теория упругости. - Саратов: Изд-во Сарат.политехнич.ин-та, 1979, вып.2, с. 130-134.

83. Овчинников И.Г., Трушин С.И. Приложение метода последовательных нагреваний к расчету нелинейно-упругих пластин на температурные воздействия // Прикладная теория упругости. - Саратов: Изд-во Саратовского политехнического института, вып.1, 1977, с.60-65.

84. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. - М.: изд-во Московского университета, 1963. - 419 с.

85. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. - М.: Изд-во МГУ, 1969. - 695 с.

86. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

87. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Научные доклады высшей школы. Строительство, 1959, №1, с.27-35.

88. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 119 с.

89. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1974.-342 с.

90. Ржаницын А.Р. Новые уравнения теории оболочек // Международная конференция по облегченным пространственным конструкциям покрытий для строительства в обычных и сейсмических районах. Доклады. - М.: Стройиз-дат, 1977, с. 126-139.

91. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. - Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

92. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композиционных материалов. - Рига: Зинатне, 1974. - 270 с.

93. Ричард, Блэклок. Расчет неупругих конструкций методом конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика, 1969, т.7, №3, с.59-66.

94. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. - Л.: Энергия, 1971. - 214 с.

95. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. -392 с.

96. Секулович М. Метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с.

97. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания. - М.: Стройиздат, 1978. -304 с.

98. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977. -349 с.

99. Стриклин, Хейслер, Макдуголл, Стеббинс. Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке // Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №12, с.82-89.

100. Стриклин, Хейслер, Риземан. Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (или) геометрией // Ракетная техника и космонавтика, 1973, т.11, №3, с.46-56.

101. Стриклин Дж.А. Статические и динамические расчеты геометрически нелинейных оболочек вращения. // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. - Л.: Судостроение, 1974., т. 1, с. 272-292.

102. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. - М.: Стройиздат, 1987. - 160 с.

103. Трушин С.И. Решение задач устойчивости гибких упруго-пластических оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига : диссертация ... доктора технических наук : 05.23.17 / Трушин Сергей Иванович. - М. 1999. - 277 с.

104. Трушин С.И. Теория и расчет нелинейно деформируемых многослойных оболочек вращения // Численные методы расчета и оптимизации строительных конструкций. Труды ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1989, с. 157-164.

105. Трушин С.И. Численное решение нелинейных задач устойчивости пологих оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига // Исследования по

строительным конструкциям. Труды ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1984, с.46-52.

106. Трушин С.И., Блохина Н.С., Иванов A.C. Решение нелинейных задач устойчивости тонкостенных конструкций при термосиловом нагружении // Проблемы теории и практики в инженерных исследованиях. Труды XXXIII научной конференции РУДН, М., 1997, с. 135-137.

107. Трушин С.И., Кислов В.В. Устойчивость пологих оболочек из упругопла-стического материала с учетом геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига // Устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Тезисы докладов II Всесоюзного симпозиума. - Калинин: Изд-во КПИ, 1986, с.80-81.

108. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем // ПММ, 1963, т.27, №2, с.265-274.

109. Филин А.П. Элементы теории оболочек. - JL: Стройиздат, 1987. -384 с.

110. Фэмили, Арчер. Конечные несимметричные деформации пологих сферических оболочек // Ракетная техника и космонавтика, 1965, т.З, №3, с.158-163.

111. Хейслер, Стриклин, Стеббинс. Разработка и оценка методов решения геометрически нелинейных задач строительной механики // Ракетная техника и космонавтика, 1972, т. 10, №3, с.32-44.

112. Хечумов P.A., Кепплер X, Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 1994. - 353 с.

113. Шаповалов JI.A. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1968, №1, с.56-62.

114. Шереметьев М.П., Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин // Инж.журнал, 1964, T.IV, вып.З, с.504-509.

115. Шмит, Богнер, Фокс. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием конечных элементов пластин и оболочек // Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №5, с. 17-29.

116. Alamatian J. Displacement-based methods for calculating the buckling load and tracing the post-buckling regions with Dynamic Relaxation method // Computers & Structures, 2013, vol. 114-115, pp. 84-97.

117. Argyris J.H. Recent Advances in Matrix Methods of Structural Analysis // Progress in Aeronautical Science, Vol.4, Pergamon Press, New York, 1964.

118. Bathe K.-J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Englewood Cliffs. Prentice-Hall, 1982. - 735 p.

119. Batoz J.L. and Dhatt G. Incremental displacement algorithms for nonlinear problems // Int. J. Num. Meth. Eng., v. 14, 1979, pp. 1262-1266.

120. Bergan P.G. Solution algorithms for nonlinear structural problems // Computers & Structures, v. 12, 1980, pp. 497-509.

121. Bushnell D. Stress, buckling and vibration of hybrid bodies of revolution // Computers & Structures, 1977, vol.7, No.4, pp.517-573.

122. Crisfield M.A. A Fast Incremental/Iterative Solution Procedure that Handles "Snap-Through" // Computers & Structures, 1981, Vol.13, N1, pp.55-62.

123. Crisfield M.A. An Arc-Length Method Including Line Searches and Accelerations // Int. J. Num. Meth. Engng.,1983, Vol.19, pp.1269-1289.

124. Crisfield M.A. Non-linear finite element analysis of solids and structures, Vol. 1. John Wiley & Sons Ltd. Ballins Lane, Chichester, 2000. - 345 p.

125. Crisfield M.A. Non-linear finite element analysis of solids and structures, Vol. 1. John Wiley & Sons Ltd. Ballins Lane, Chichester, 2000. - 494 p.

126. Cruse T.A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics // Int. J. Sol. and Struct., 1969, 5, pp. 1259-1274.

127. Gallager R.H. Finite element representations for thin shell instability analysis // Buckling Struct. - Berlin e.a., 1976, pp.40-51.

128. Gallager R.H., Gellatly R.A., Pedlog J., Mallet R.H. A discrete element procedure for thin shell instability analysis // AIAA Journal, 1967, 4.

129. Lahaye M.E. Une metode de resolution d'une categorie d'equations transcendentes // Compter Rendus hebdomataires des seances de L'Academie des sciences, 1934, v.198, N21, pp.1840-1842.

130. Lindgaard E., Lund E. A unified approach to nonlinear buckling optimization of composite structures // Computers & Structures, 2011, vol. 89, issues 3-4, pp. 357-370.

131. Meek J.L. and Loganathan S. Geometrically non-linear behaviour of space frame structures // Computers & Structures, v.31, 1989, pp. 35-45.

132. Mileykovsky I.E., Ivanov A.S., Trushin S.I. Efficient Numerical Methods of Nonlinear Stability Analysis of Shallow Shells // Innovative Large Span Structures. Proc. IASS-CSCE International Congress, Toronto, 1992, vol.2, pp.813824.

133. Ricks E. The Application of Newton's Method to the Problems of Elastic Stability//J. Appl. Mech., 1972, 39, pp. 1060-1066.

134. Rizzo F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics // Quart, appl. Math., 1967, 25, pp.83-95.

135. Sidorov V.N., Trushin S.I. An efficient method for algorithmization of boundary problem solution and its application in elastoplastic analysis // Innovative Num. Anal. Eng. Sci. Proc. 2nd Int. Symp., Montreal, 1980, pp. 625-631.

136. Thompson J.M.T., Walker A.C. The nonlinear perturbation analysis of discrete structural systems // Int. J. Solids and Struct., 4, No.8, 1968, pp.757-768.

137. Thurston G.A. Continuation of Newton's method through bifurcation points // Trans. ASME, E36, No.3, 1969, pp.425-430.

138. Turner M.J., Dill E.H., Martin H.C. and Melosh R.J. Large Deflections of Structural Subjected to Heating and External Loads // Journal of the Aerospace Sciences, vol.27, No.2, 1960, pp. 97-106.

139. Wempner G.A. Discrete Approximations Related to Nonlinear Theories of Solids // Int. J. Solids Structures, 1971, Vol.7, pp. 1581-1599.