Решение некоторых задач общей теории относительности с применением системы аналитических вычислений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Ганеш, Чандра Рай

• Ганеш, Чандра Рай
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ганеш, Чандра Рай

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. АКТУАЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКИ

ЗАДАЧ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ЗАДАЧАМИ ОТО . . . II

§ I. Алгебраическая классификация безмассовых полей.II

§ 2. Алгебраическая классификация тензора электромагнитного поля.

§ 3. Классификация Петрова.

§ 'Проблема отыскания новых решений урав--нений Эйнштейна заранее заданного типа по Петрову.

§ 5. Проблема отождествления метрик

ГЛАВА П. СИСТЕМА АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ CAB РАМО

§ I. Назначение CAB РАМО.

§ 2. Структура системы CAB РАМО.

§ 3. Описание ядра системы CAB РАМО.

ГЛАВА Ш. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ОТО С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ CAB РАМО.

§ I. Вычисление конкомитантов тетрады

§ 2. Построение матрицы Вейля

§ 3. Алгоритмизация методов исследования матрицы Вейля

§ Обзор физических результатов, полученных с использованием CAB РАМО.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение некоторых задач общей теории относительности с применением системы аналитических вычислений»

Бурное развитие вычислительной техники является неотъемлемой частью научно-технического прогресса. Особую роль в нем занимает развитие ЭВМ и методов их использования.

За последние 25-30 лет бурное развитие получили системы аналитических вычислений (CAB), с помощью которых получены многочисленные теоретические и практические результаты в самых различных областях науки и техники.

В общей теории относительности (ОТО) системы аналитических вычислений начали применяться в 70-х годах. В [I, 2, 3, 4, 5~\ дан обзор современного состояния работ в области создания и применения CAB в физике, в том числе и в ОТО. По работам [б, 7] можно видеть, насколько интенсивно развивается интерес к этой проблеме как физиков, так и математиков.

Одной из первых систем аналитических вычислений, успешно применявшихся в ОТО, явилась система аъам [ 8J и ее вресия clam [9]. На сегодняшний день в ОТО успешно применяются перечисленные ниже CAB: АВТО-АНАЛИТИК [ioj , formac [il, 12], reduce-2 [13], ortocartan[lí] , sheep £15, 16, 17] , gratos [l8] , symbai [19], altran [20, 2l],macsyma [22^ и некоторые другие.

К системам аналитических вычислений, используемым в физике, можно подходить с разных сторон. Можно интересоваться ими с точки зрения системного программирования, можно сконцентрировать внимание на алгоритмах, которые позволят наилучшим образом распорядиться ресурсами ЭВМ, можно заботиться об общности решения класса задач, об удобстве использования системы и изучения и т.д.

Как правило, физики подходят к системам аналитических вычислений как потребители, как пользователи. Для решения интересующего их круга задач они выбирают наиболее подходящую из имеющихся в их распоряжении систему и "достраивают" ее [23-29], алгоритмизируя лишь свою задачу и дорабатывая недостающие системе средства. Постановка задачи значительно упрощается, если в системе предусмотрены все необходимые средства для решения интересующих пользователя задач. В таких случаях о системе говорят, что она является системой универсального назначения. К числу таких универсальных систем принадлежит широко расцрост-раненная CAB reduce -2.

Совершенно с другими проблемами сталкиваются те, кто отваживается на создание САБ "с нуля". Базой разработки обычно выбирается один из достаточно развитых языков, содержащий средства работы со строками и символами. Наиболее подходят для этого языки, ориентированные на символьные преобразования, такие как ЛИСП и Рефал. Впрочем, многие из известных универсальных CAB являются lisp-базированными; они были первоначально написаны на Lisp'e и их развитие шло затем в основном по пути совершенствования надстройки. Система reduce -2 является, как известно, lisp-базированной системой.

Для доведения создаваемой зэноео системы аналитических вычислений до такого уровня, когда с ее помощью можно будет решать физически интересные задачи, требуется включить в нее большое число модулей, реализующих различные алгоритмы, начиная от численных расчетов, включая алгоритмы из курса высшей математики и заканчивая специальными алгоритмами, решающими интересующую физическую задачу. Это очень большая и трудоемкая работа. Прежде, чем начинать ее, необходимо иметь серьезные основания, взвесить выгоды, получаемые от реализации новой САБ, с усилиями по ее реализации.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим, какие выкладки должна уметь выполнять некоторая САБ, чтобы она могла использоваться для решения задач ОТО.

Рассмотрим процедуру вычисления конкомитантоЕ тетрады -таких величин, как коэффициентов связности, тензора Риыана--Кристоффеля, тензора Риччи, тензора Эйнштейна, тензора Вейля и других геличин, вычислять которые приходится при решении почти любой задачи ОТО. Так, для вычисления тензора Рима на и связанных с ним величин по заданной ковариантной метрике с/в2 - <§«*> попутно приходится решать системы линейных уравнений Я £ёс - с что в данном случае можно реализовать как решение задачи об обращении матрицы // •

Символы Кристоффеля первого рода определяемые частными производными от : - кОл ас ксай О*« "Ж/ что требует реализации операции дифференцирования.

Символы Кристоффеля второго рода выражаются через символы Кристоффеля первого рода и контравариантную метрику произведением со сверткой гЛ в г^цв , что требует реализации всего набора матричных и тензорных операций.

Другие величины, такие как тензор Римана

Rabea = ^ ^с' Г €4 тензор Риччи

Rag ~ feagccl скалярная кривизна

R = SatRae и тензор Эйнштейна

Qu = я*« - í могут быть найдены, если реализованы полные наборы операций алгебры матриц, тензорного анализа, если есть средства упрощения алгебраических выражений и реализованы операции дифференцирования скалярных и тензорных величин.

В диссертации рассматривается система аналитических вычислений, названная САБ РАМО, реализованная на базе языка символьных преобразований Рефал, и задачи общей теории относительности, решенные с использованием этой CAB, ч

CAB РАМО относится к системам аналитических вычислений, создаваемых "с нуля". Ее разработка осуществлялась в рамках выполнения госбюджетной темы 20500? "Реализация и внедрение в качестве типовой по Академии наук СССР ЭПИ-МЕТА-МАКРО-системы и ЭММ-технологии разработки и реализации алгоритмически сложных программных комплексов" (НИР № 0I8I.I0II0I4). Одной из основных целей создания CAB РАМО была реализация такого программного комплекса, который позволил бы решать задачи теоретической и математической Физики на микро-ЭВМ. Тем самым подготавлига л ется основа для широкого внедрения системы аналитических вычислений в учебный процесс и научные исследования как в вузах, так и в научных учреждениях СССР.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Первая глава посвящена рассмотрению актуальных проблем ОТО, на решение которых направлены известные САБ и в том числе, наша САБ РАМО. Одной, быть может наиболее важной, проблемой ОТО, решаемой с использованием CAB, является проблема отнесения заданной метрики классу по Петрову. Вопросами, которые Естают после того как класс метрики по Петрову известен, являются следующие:

- как ведет себя данная метрика при различных цреобразо-ваниях координатной системы ?

- могут ли быть найдены физически интерпретируемые преобразования координатных систем, переводящие данную метрику в другую, заранее указанную, принадлежащую тому же классу по Петрову ?

Эти и аналогичные воцросы относятся к проблеме отождествления метрик £зз, 34, 35, 36, 37, 38, 39, Четкая постановка и решение проблемы отождествления метрик во многих случаях позволит сводить новую метрику к уже известной, хорошо изученной, ускоряя тем самым получение новых физически значимых результатов.

В диссертации не дается окончательного решения проблемы отождествления метрик, однако отмечается, что система САБ РАМО может использоваться при ее решении.

Первая глава носит обзорный характер. Изложение основывается на спинорном формализме Р.Пенроуза, и на этом языке излагается алгебраическая классификация пространств по Петрову.

Как известно, безмассовое поле спина в классифицируется по числу различных главных изотропных направлений.

Пусть спинор УЛ д имеет п. различных главных изотропных направлений, каждое из которых т; -кратно вырождено. В этом случае говорят, что спинор Ч/^д .дн принадлежит к типу

• Спинор называется алгебраически общим, когда он имеет тип [.1,1,. , 1Д .В противном случае (когда хотя бы одно главное направление вырождено), его называют алгебраически специальным.

При рассмотрении алгебраической классификации электромагнитного поля получено два типа полей - общий и алгебраически специальный. В случае гравитационного поля алгебраически различных типов оказывается пять.

При рассмотрении проблемы отождествления метрик предлагается прежде всего определить тип по Петрову каждой из исследуемых метрик. Если метрики принадлежат различным алгебраическим классам, то получено отрицательное решение проблемы. Если же тип у метрик один, то для каждой метрики находятся скалярные инварианты в соответствии с алгоритмом, изложенным в работе [34]. Их вычисление дает некоторую информацию для нахождения "преобразующей функции", дающей искомое преобразование координатных систем.

Во второй главе описаны характеристики системы аналитических вычислений группы развиваемого математического обеспечения - системы CAB РАМО.

САБ РАМО состоит из ядра системы и нескольких оболочек. В диссертации рассматривается в основном ядро CAB РАМО. Б него входят такие модули, которые решают алгоритмически простые задачи из элементарной и высшей математики. Большинство программ ядра САБ РАМО реализовано на языке символьных преобразований "Базисный Рефал". Отдельные модули реализованы на расширенном Решале.

Б ядро САБ РАМО включены модули, решающие задачи из следующих разделов:

- арифметика,

- теория чисел,

- высшая алгебра,

- алгебра матриц,

- тензорные алгебры и анализ,

- дифференцирование.

Отмечается, что в настоящее время САБ РАМО реализована на машинах серии ЕС ЭВМ. Система САБ РАМО ориентирована на использование малого объема оперативной памяти (при работе с системой использовалась ЭВМ 1022, имеющая 256 К оперативной памяти), и что в системе CAB РАМО существенно используется встроенная информационная система, позволяющая использовать внешнюю память на дисках.

Третья глава диссертации посвящена применению САБ РАМО к решению конкретных задач ОТО. Хотя в первой главе алгебраическая классификация по Петрову проводилась на основе спинорного формализма, в третьей главе за основу принят тетрадный формализы.

Подсистема tns САБ РАМО содержит модули, реализующие вычисления конкомитантов тетрады. Внимания заслуживает реализация алгебраических и чисто тензорных операций, позволяющая эффективно реализовать вычисления тензорных величин в достаточно общем виде.

В качестве иллюстрации возможностей САВ РАМО, которыми она обладает в настоящее время, рассмотрены вычисления конкомитантов тетрады, определены классы по Петрову для семи метрик, часть из которых хорошо известна; принадлежность некоторых метрик к классам по Петрову априори не очевидна.

В приложении приведены листинги некоторых модулей САВ РАМО, дающие представление о реализации этой системы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ганеш, Чандра Рай

Основные результаты диссертации могут быть коротко сформулированы в виде следующих пяти пунктов.

1. Создана новая система аналитических вычислений (САВ РАМО), основанная на языке символьных преобразований РБФАЛ, пригодная для цроведения аналитических вычислений в теоретической физике и, в частности, в общей теории относительности.

2. В рамках этой системы разработаны оригинальные алгоритмы работы с матрицами и тензорами, воспроизводящие аппарат римановой геометрии при задании метрического тензора или тетрадного базиса.

3. Реализованы вычисления конкомитантов тетрады для ряда гравитационных полей на основе САВ РАМО; проведено практическое сравнение эффективности таких расчетов с аналогичными вычислениями на основе системы ££2)1/С£-&, » показавшее существенные преимущества предлагаемой нами системы.

4. Построена схема процедуры отождествления метрик на основе САВ РАМО и показано ее практическое применение на серии пробных метрик.

5. Получены новые данные о принадлежности к конкретным типам по классификации Петрова для двух пространств-времен ОТО, причем для одного из них обнаружен переход между разными типами при изменении координаты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в данной работе рассматривается универсальная система аналитических вычислений, получившая название CAB РАМО, ее использование при решении задач общей теории относительности, а также полученные с ее помощью физические результаты.

Использование ЭВМ в научных исследованиях с целью получения содержательных результатов становится все более актуальной проблемой. Особенно актуальна она для специалистов из развивающихся стран, которые, как правило, получают в свое распоряжение самые передовые образцы вычислительной техники, но которым недостает опыта в ее использовании.

Система аналитических вычислений CAB РАМО имеет универсальный характер. Универсальность системы достигается за счет разработки и реализации подсистем, берущих на себя все специфические для данной области применения расчеты, CAB РАМО создавалась "с нуля" с ориентацией на задачи ОТО, и опыт разработки ее подсистем, таких как J}k*/ , Ъ/Е , POL , л/#т» TAfS позволит сравнительно просто адаптировать CAB РАМО для использования в других разделах теоретической и математической физики.

Группой специалистов Междуведомственной целевой комплексной бригады по разработке развиваемого математического обеспечения (МЦКБ РАМО) Центра по вычислительным сетям (ЦВС) Координационного комитета Академии наук СССР по вычислительной технике в соответствии с планом МЦКБ РАМО разрабатывается микропроцессорная реализация системы аналитических вычислений PAMO. Разработанная нами система станет составной частью "Микро-САВ РАМО".

Сопоставление CAB РАМО с другими системами (в тех случаях, когда такое сопоставление провести удается) свидетельствует в пользу CAB РАМО, позволяя заключить, что разработанные нами алгоритмы весьма эффективны. Речь идет, в первую очередь, об алгоритмах матричной алгебры и тензорного анализа. В то же время требуют улучшения алгоритмы работы с полиномами и алгебраическими выражениями. По литературе эти алгоритмы известны, а их введение в CAB РАМО, учитывая модульный характер всех подсистем CAB РАМО, не вызовет затруднений.

Использование ЭВМ в теоретических исследованиях, и в особенности систем аналитических вычислений, требует, чтобы задача носила, как говорят, массовый характер и была четко формализована. Это означает, что применение ЭВМ наиболее целесообразно тогда, когда приходится проводить большие расчеты по четко разработанной методике. Такой массовой задачей является "решето новизны" решений уравнений Эйнштейна в ОТО, ядром которой является проблема отождествления метрик. Разработка "решета новизны" позволит концентрировать все известные метрики в их различных представлениях в банке решений уравнений Эйнштейна, целенаправленно отбирая интересные для более детального изучения экземпляры.

В плане решения проблемы отождествления метрик (и создания в перспективе "решета новизны") нами проанализированы 7 метрик, причем получены новые данные по двум метрикам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ганеш, Чандра Рай, 1985 год

1. Гердт В.П., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике. У®, 1980, т.130, вып. 1. с. ИЗ - 147.

2. Неагп A.C. Computer solution of symbolic problems in theoretical physics. In: Computing as a language of physics, IEEA Trieste, Vienna, 1972, pp. 567 596.

3. Campbell J.A. Comparative survey of programming languages of phy sics. In: Computing as a language of physics, IEEA Trieste, Vienna, 1972, pp. 391 484.

4. Summet J.E. Survey of Formula Manipulation by Computer. In: "Proceedings, EUROSAM 79"» Lecture notes in computer science, 1979, no.72, pp. 47-102.

5. Proceedings of the 1 st symposium on symbolic & algebraic manipulation 1966». In: Communications of the Association for Computing Machina ry ( CACM ), 1966, vol.9, no. 8.

6. Fitoh J.P. Application of algebraic manipulation programs in physics, 1972, vol. 35, no.3, pp. 235 314.

7. Cohen H.I., Leringe О., Sunbland Y. The use of algebraic computing in general relativity. General Relativity & Gravitation (GRG), 1976, vol. 7, no.3, pp.269 286.

8. D'Inverno R.A., Russel-Clark R.A. CLAM Its function, structure & implimentation. The computer ¿journal, 1974, vol.17, pp. 229 233.

9. D'Inverno R.A. ALAM Atlas Lisp Algebraic Manipulations. The computer journal, 1969, vol.12, no.2, pp. 124-127.

10. Арайс E.A., Сибиряков Г.В. АВТО-АНАЛИТИК. Издательство Новосибирского Университета, 1973.- 89

11. FORMAC Manual, IBM part no. 7090, IBM 0016, 1964.

12. Tobey R.G. Eliminating monotonous mathematics and FORMAC. СACM, 1966, vol.9, no.8, pp.742-751.13« Heam A.C. REDUCE -User's manua 1 ( UCP ), Uta h University, Utah, 1973.

13. Тарасевич С.В. Система аналитических вычислений для решения задач общей теории относительности GRAT0S . В книге: Аналитические вычисления на 3BiM и их применение в теоретической физике, Дубна, I960, с. 116 - 121.

14. Engeli М.Е. SYMBAL -User's guide ( manual ). University, of Texas, 1969.

15. Brown W.S. Altran User's manual, 3rd edition, Bell lab., 1973.

16. Clemens R.W., Matzner R.A. A system for symbolic computation of the Reimann tensor. Technical report 635, depts. of physics & astronomy, University of Maryland, 1967.

17. Bogen R., Golden J«, Geneserth M., Doohovskoy A.

18. MACSYMA Reference Manual, Version nine, MIT, Mathlab group Lab* fer computer sciences. 1977* In: Proceedings of the 1977 MACSYMA User's conference, na sa cp-2012.

19. D'Inverno R.A. Algebraic computing in general relativity. GRG, 1975, vol.6, pp. 567-593.27» Barton D., Bournet S.R., Fitch J.P. An algebra system. The computer journal, 1970, vol.13, no.1, pp.30 39.

20. Barton D., Fitch J.P. A review of algebraic manipulative programs & their applications. The computer journal, 1972, vol.15, no.4, PP*362-379.

21. Cohen H.I. The use of algebraic computing in general relativity. GRG, 1976, vol.7, no.3, pp. 269-286.

22. Pavelle R. Applications of MACSYMA to problems in Gravitation & Differential geometry. In: Proceedings of 1979 MACSYMA User's Conference, Washington.

23. Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике. Дубна, 1980, -187 с.

24. Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике. Дубна, 1983, -260 с.j

25. Siklos S.T.C. The Equivalence Problem in General Relativity.

26. Karlhede A., Aman J.E. A review of the Equivalence problem. Physics Lett., 1980, 80 A, p. 229.

27. Misra M. Some Exact solutions of the field equations of General Relativity. Journal of mathematical physics, 1966,vol.7» no.1, pp.155-158.

28. Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херлбт Э. Точные рещения уравнений Эйнштейна. М.: Энергоиздат, 1982, -416. 42. Петров А.3. Пространства Эйнштейна. М.: Физматтиз, 1961, 464 с.

29. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности.1. М.: Наука, 1967, -664 с.

30. Синг Дж. Общая теория относительности. М.: ИЛ, 1963, -432с.

31. Синг Дж. Классическая динамика. М.:Физматтиз, 1963, -448 с.

32. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности М.: Наука, 1969, -326 с.

33. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973, 504 с.

34. Rayn М.Р., Shapley L.C. Homogeneous Relativistic cosmologies, Princeton University Press, 1975, -320V»

35. Penrose R. A spinor approach to general relativity. Annals of physics, 1960, vol.10, pp. 171- 201.

36. Newman E>T., Penrose R. An approach to gravitational radiation by a method of spin coefficients. Journal of mathematical physics, 1962, vol.3, p.902.

37. Penrose R. Zero rest-mass fields including gravitation: Asymptotic behaviour. Proceedings of Royal Society of Lonиdon, 1965, A?84, pp. 159-203.о

38. Пенроуз P. Структура пространства-времени. М.: Наука, 1872, -183 с.

39. Фролов В.П. Метод Ньюмена-Пенроуза в общей теории относительности. Труды ®AHt 1977, т.96, с. 7?.-180.

40. Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна. М.: Наука, 1972, -199с.

41. Хокинг С., Эллис Две. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977, -431 с.

42. Общая теория относительности. Д1од. редакции С. Хокинга, В. Израэля/,. М.; Мир, 1983, -463 с.

43. Хокинг С. и другие. Геометрические идеи в физике. Сб. статье Докинг С., Прасад М., Гиббоне Г., и другие/, М., Мир, 1983, -240 с.

44. Robinson I., Robinson J. Vacuum metrics without symmetry. International journal on theoretical physics, 1969, vol.2,no.3, pp. 231-242.

45. Лайтман А., Пресс В., Прайс P., Тгоколски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации . М.: Мир, 1979, 535 с.

46. Strubbe Н. Manual for SCHOONSHIP -A CDC 6000/7000 program for symbolic evaluation of algebraic expressions. Сomraunications of the ACM, 1974, vol.8, no.1, pp.1-30.

47. Perisho R.A. ASMEDAI User's Guide. U! S! aI, E.C. Rept. no. GOO -ЗО66 44#

48. Collins G.E. The SAC-1 system, An introduction & survey. Ins Proceedings of the 2nd symposium on symbolic & algebraic manipulation, 1971, ACM head-quarters, New York, pp# 144-152.

49. Griesmer J.H., Jenks R.D., Yun D.Y.Y. SCRATCHPAD User's manual. IBM research rept. RA -70.

50. Pitch J.P. CAMAL User's manual. Computer laboratory, University of Cambridge, 1975*65* Wainwright J. "CAMAL Programs for GRT: A User's guide". University of Waterloo, Canada, 1977»

51. Campbell S.J., Wainwright J. Algebraic computing & thei

52. Newman-Penrose formalism in GR*. GRG, 1977, vol.8, p.987

53. Campbell J.A. Lisp & its applications to physical problems.

54. Computer physics communications, 1970, vol.1, pp.251-264.

55. Лавров С.С., Силагадзе Г.С. Автоматическая обработка данных. Язык ЛИСП и его реализация. М.;Наука, 1978, 176 с.69* Moses J. Symbolic Integration: The stormy decade. Communications of the ACM, 1971, vol. 14, no.8, pp.548-560.

56. Moses J. Algebraic simplification: A guide for perplexed.i

57. Communications of the ACM 1971, vol.14, no.8, pp.527-537.

58. Slagle J.R. Symbolic Integrator. Journal of the ACM, 1963, vol.10, pp.507-520.

59. Risch A. The problem of Integration in finite terms. American mathematical society ( AMS ) -Transactions, 1969, vol.139, no.404, pp.167-189.73* Risch A. The solution of the problem of integration infinite terms. Bull, of AMS, 1970, vol.76, pp.604-611.

60. Базисный РЕФАЛ и его реализация (методические рекомендации) на вычислительных машинах. ЦНИИПИАС, 1977, вып.40, -258 с.

61. Мансуров В.Н. Развитие алгоритмического языка РЕФАЛ и методов металингвистического программирования. Окончат, отчет УДН имени П. Лумумбы, Вычислительная лаборатория,

62. ГР. 76000329, инв. № Б- 916504.

63. Ганеш Чандра Рай. 0 реализации языка научно-технических расчетов с неограниченной точностью. В книге: Вычислительная математика и информатика (сборник научных трудов), М.: УДН, 1983, с. Ill—112.

64. Ганеш Чандра Рай, Сальников А.Ю. Система аналитических вычи* вычисяений (CAB) как адаптивный программный комплекс (АПК).

65. В сборнике "Материалы У конференции молодых ученых УДН им. П. Лумумбы". M.: 1982, Рукопись депонирован во ВИНИТИ СССР, № 3814- 82, с.146-152.

66. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973, -831 с.

67. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, т.1, 1976, е.; т.2, 1977, - е.; т.З, 1978, - С.

68. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977, -303.

69. Стренг Г. Линейная алгебра и её приложения. М.: Мир, 1980, -454с.

70. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, -576 с.

71. Ланкестер П. Теория матриц. М.: Наука, I9E2, -280 с.

72. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, -431 с.

73. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970, 400 с.

74. Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная геометр трия. М., Наука, 1979, -312 с.

75. Фаддеев Д.К.ц Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Наука, 1963, -734 с.

76. Коллац Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968, -504 с.

77. Гильман Л., Роуз А.И. Курс АЛЛ -диалоговый подход. М.: Мир, 1979, -524 с.

78. Рашевский U.K. Риманова геометрия и тензорный анализ. М. : Наука, 1967, -664с.

79. Дубровин Б.А., Новиков О.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979, -760с.

80. Мизнер Ч., Торн К., Уилер дж. Гравитация. М.: Мир, 1977, т1, -474о.94* Synge J.L. The Petrov classification of gravitational fields. In: Communications of Dublin Institute for ad-• vanced study, A, no. 15, 1964o

81. Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю, доценту кафедры высшей математики Мансурову В.Н. за постоянное внимание и помощь в работе. А также всем сотрудникам группы РАМО.