Решение некоторых задач математической физики методами Монте-Карло тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Андрей Николаевич

• Кузнецов, Андрей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Андрей Николаевич

Оглавление

Введение

1. Нахождение взаимных электростатических ёмкостей

1.1. Постановка задачи

1.1.1. Электростатическая ёмкость

1.2. Краткое описание существующих алгоритмов вычисления ёмкостей

1.2.1. Аналитические методы нахождения электростатических ёмкостей

1.2.2. Алгоритмы «сопоставления с эталоном»

1.2.3. Алгортмы вычисления погонных ёмкостей

1.2.4. Алгоритмы вычисления трёхмерных ёмкостей

1.3. Решение задачи в случае уединённого проводника

1.3.1. Нахождение ёмкости

1.3.2. Вычисление нормальной производной

1.3.3. Алгоритм вычисления ёмкости

1.3.4. Моделирование переходной плотности

1.3.5. Экспериментальные данные

1.4. Решение задачи в общем случае

1.4.1. Нахождение взаимных ёмкостей

1.4.2. Вычисление нормальной производной

1.4.3. Оценка взаимных ёмкостей «блужданием по сферам»

1.4.4. Оценка взаимных ёмкостей «блужданием по полусферам»

1.4.5. Экспериментальные данные

2. Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца

2.1. Решение задачи без использования оценок степеней оператора Грина

2.1.1. Алгоритм «блуждания по сферам»

2.1.2. Алгоритм «блуждания по шарам»

2.2. Решение задачи через оценки степеней оператора Грина

2.3. Вычисление оценок степеней оператора Грина методами Монте-Карло

2.3.1. Метод «блуждания по шарам»

2.3.2. Метод «блуждания по шарам и сферам»

2.3.3. «Блуждание по сферам» с выделением объёмного потенциала

2.3.4. Нахождение степеней оператора Грина из определения функции Грина

2.3.5. Экспериментальные данные

3. Оценка первого собственного числа для оператора Лапласа

3.1. Оценка первого собственного числа первой краевой задачи

для оператора Лапласа

3.1.1. Метод Келлога

3.1.2. Вероятностный смысл метода Келлога для оператора Грина

3.2. Способы оценки итераций оператора Грина для функции

Мх) = 1

3.2.1. Использование оценки моментов случайной величины г

3.2.2. Оценка итераций на основе свойств броуновского движения

3.2.3. Модельная задача

3.3. Экспериментальные данные

4. Практическая реализация алгоритмов

4.1. Особенности реализации параллельных вычислений

4.1.1. Реализация генератора случайных чисел

4.1.2. Особенности реализации с использованием технологии MPI

4.1.3. Особенности реализации вычислений на GPU

4.1.4. Алгоритм суммирования с компенсацией

4.2. Моделирование переходной плотности

4.3. Краткое описание программного комплекса

4.3.1. Взаимодействие вычислительного модуля с оболочкой

4.3.2. Базовый класс вычислительного модуля

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение некоторых задач математической физики методами Монте-Карло»

Введение

Актуальность темы

С расширением использования сверхбольших интегральных схем и развитием высокочастотной электротехники значительное влияние на работу электронных систем стали оказывать значения паразитных элементов сопротивления, индуктивности и ёмкости. Для вычисления паразитных элементов и определения их влияния на части системы на различных этапах проектирования и изготовления разрабатываются системы автоматизированного проектирования микроэлектромеханических систем (Microelectromechanical Computer-Aided Design system, MEMCAD) [1]. Основными элементами таких систем являются: программа для моделирования структуры объекта (structure Simulator), база данных со свойствами материалов, модуль механического анализа и модуль электростатического анализа (рис. 0.0.1, [1]). В зависимости от методов, используемых при электростатическом и механическом анализе, трёхмерная модель может Рис о.0.1. Архитектура являться приближением исходного объекта с помощью тех или иных примитивов

геометрических, объектов со схожими свойствами и пр.), так и выражать-

База данных материалов

Электростатический анализ Механический анализ

ся в виде набора функций, например, описывающих расстояние от произвольной точки до того или иного объекта.

Так как при проектировании схем может потребоваться моделирование сотен или даже тысяч различных их конфигураций, к программам, вычисляющим значения паразитных параметров, выдвигаются высокие требования по быстродействию и точности вычислений. Аналитическое решение данной проблемы возможно лишь в случае небольшого количества проводников достаточно простой формы (параллелепипеды, сферы, цилиндры), поэтому для оценки взаимных электростатических ёмкостей трёхмерных систем из большого количества объектов, требуется применение тех или иных способов численного решения этой задачи [2-13].

В работе рассмотрена возможность применения методов Монте-Карло для нахождения взаимных электростатических ёмкостей проводников. Показано, что методы «блуждания по сферам» и «блуждания по сферам и полусферам» дают хорошую оценку искомых величин и могут быть использованы для решения поставленной задачи.

Знание первого собственного числа для оператора Лапласа может потребоваться для оценки применимости различных алгоритмов решения краевых задач, например, при решении задачи Гельмгольца с помощью «блуждания по шарам и сферам». В работе рассматриваются алгоритмы нахождения оценок итераций оператора Грина для оператора Лапласа и первого собственного числа для оператора Лапласа. Исследуется возможность использования оценок итераций оператора Грина для расширения области применимости методов Монте-Карло при решении уравнения Гельмгольца.

Использование метода Монте-Карло для решения описанных задач позволяет заметно упростить реализацию алгоритма для параллельного вычисления, в том числе на графических видеопроцессорах (General Purpose Graphical Processing Unit, GPGPU), и не требует значительных затрат для

хранения промежуточных данных.

Цели работы

• Разработка алгоритмов вычисления взаимных электростатических ёмкостей методами Монте-Карло.

• Исследование оценок итераций оператора Грина с целью вычисления первого собственного числа оператора Лапласа и решения уравнения Гельмгольца.

• Реализация перечисленных алгоритмов для вычислений с использованием MPI-кластеров и графических процессоров общего назначения (видеокарт).

• Создание программного комплекса, упрощающего «обычную» и «параллельную» реализацию указанных программ.

Методика исследования

Методика исследования включает применение методов статистического моделирования к решению краевых задач математической физики. С помощью формул Грина краевые задачи сводятся к интегральному уравнению, которое затем решается методом Монте-Карло. При решении уравнения Гельмгольца используется аналитическое продолжение решения методом замены переменных [14]. Для нахождения первого собственного числа краевых задач используются известные итерационные методы [15]. Реализация алгоритмов выполнена на языке программирования С++ с использованием реализации MPI MPICH-2 [16] и технологии CUDA [17]

Практическая значимость

Разработанные статистические алгоритмы вычисления взаимных электростатических ёмкостей проводников могут быть использованы для оценки паразитных электростатических ёмкостей в больших и сверхбольших интегральных схемах и многослойных печатных платах. Проведены вычислительные эксперименты для алгоритмов, использующих методы Монте-Карло при решении задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца. Рассмотрены различные методы вычисления итераций оператора Грина методами Монте-Карло. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие оценить возможность использования аналитического продолжения решения методом замены переменных. Представлены новые алгоритмы вычисления оценок первого собственного числа для оператора Лапласа с помощью оценок степеней оператора Грина. Разработан программный комплекс для реализации вычислительных задач, использующих методы Монте-Карло. Программный комплекс позволяет упростить реализацию и проведение вычислительных экспериментов как на выделенных компьютерах, так и на МР1-кластере или графическом процессоре общего назначения.

Апробация работы

Основные результаты обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики в Вологодском государственном педагогическом университете, семинаре кафедры статистического моделирования математико-механического факультета СПбГУ и докладывались на

• пятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (СамГТУ, Самара, 29-31 мая 2008 г.);

• II ежегодном смотре-сессии аспирантов и молодых учёных по отраслям наук. Секция «Математика. Информатика. Методика преподавания» (Вологда, 12-14 ноября 2008 г.); в научной школе-конференции молодых исследователей «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 14-18 мая 2011 г.).

Основные результаты опубликованы в работах [18-21].

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы.

В главе 1 рассматривается проблема нахождения взаимных электростатических ёмкостей.

Раздел 1.1 содержит постановку задачи нахождения электростатической ёмкости уединённого проводника и взаимных электростатических ёмкостей нескольких проводников.

В разделе 1.2 приведено краткое описание существующих алгоритмов нахождения взаимных электростатических ёмкостей.

Раздел 1.3 содержит теоретические и практические результаты данной диссертации, касающиеся нахождения электростатической ёмкости уединенного проводника с помощью «блуждания по сферам». Для модельных задач приведено сравнение оценок, полученных с помощью разработанного алгоритма, с аналитическими решениями.

В разделе 1.4 содержатся теоретические и практические результаты данной диссертации, касающиеся нахождения взаимных электростатических ёмкостей нескольких проводников методами «блуждания по сферам» и «блуждания по сферам и полусферам». Для модельных задач приведено сравнение оценок, полученных с помощью разработанного алгоритма, с

аналитическими решениями и результатами программ РаяЮАР и РРТСАР.

Глава 2 посвящена алгоритмам вычисления оценок степеней оператора Грина для уравнения Лапласа и решению задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца. В ней представлены теоретические и практические результаты данной диссертации, касающиеся нахождения оценок степеней оператора Грина и применения метода аналитического продолжения решения к задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца.

В разделе 2.1 рассмотрены алгоритмы решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца методами «блуждания по шарам и сферам» [22] и «блуждания по шарам» [23]. Эти алгоритмы не используют оценок степеней оператора Грина. Они были реализованы для сравнения с разработанными нами методами.

Раздел 2.2 содержит представление решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в виде суммы степеней оператора Грина. Приведено описание метода аналитического продолжения решения [14] посредством замены переменных.

Раздел 2.3 посвящён вычислению оценок степеней оператора Грина для оператора Лапласа методами Монте-Карло. Рассмотрены как стандартные методы построения с помощью «блуждания по шарам и сферам», «блуждания по сферам» (через представление решения в виде суммы объёмного потенциала и гармонической функции), вычисления кратного интеграла, полученного из определения функции Грина, так и новый «векторный» алгоритм «блуждания по шарам», позволяющий находить одновременно несколько значений итераций оператора Грина.

В разделе 2.3.5 проведено сравнение полученных оценок с аналитическими значениями для модельной задачи. Рассмотрена возможность использования «аналитического продолжения решения» для расширения области применимости данных оценок при решении уравнения Гельмгольца.

В главе 3 представлены теоретические и практические результаты дан-

ной диссертации, касающиеся нахождения оценок первого собственного числа оператора Лапласа с помощью оценки степеней оператора Грина.

Раздел 3.1 содержит описание алгоритма вычисления первого собственного числа для оператора Лапласа с помошью метода Келлога.

Раздел 3.2 содержит описание алгоритмов оценки степеней оператора Грина для оператора Лапласа методами Монте-Карло, используемых для оценки первого собственного числа.

В разделе 3.3 рассмотрена модельная задачи и проведено сравнение полученных оценок с аналитическими значениями для модельной задачи.

Глава 4 посвящена практической реализации описанных алгоритмов.

В разделе 4.1 описаны особенности реализации методов Монте-Карло при параллельных вычислениях на МР1-кластерах и графических процессорах общего назначения. Обращено внимание на особенности выполнения программного кода на графических процессорах и реализацию параллельного генератора псевдослучайных чисел.

Раздел 4.2 содержит описание алгоритма, позволяющего моделировать плотность вероятности переходар(х, у) = + — я)р(х, у), где 5ц —

равномерное распределение на сфере с центром в точке х, а р(ж, у) =

с2 вЬ(сД — сг) ^ ^

=--—, без использования метода отбора, что позволяет эф-

47ГГ эЬ сК — сН

фективно производить моделирование на графических процессорах.

В разделе 4.3 содержится краткое описание программного комплекса, разработанного для реализации описанных алгоритмов.

В заключении перечислены основные результаты диссертации, показана их теоретическая и практическая ценность.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кузнецов, Андрей Николаевич

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

• Разработан новый универсальный стохастический алгоритм вычисления взаимных электростатических ёмкостей с помощью «блуждания по сферам». Алгоритм не требует того, чтобы границы объектов были плоскими. В случае же, если все или часть границ являются плоскими, «блуждание по сферам и полусферам» позволяет ускорить вычисления и повысить точность расчётов за счет построения несмещённой оценки.

• Проведены вычислительные эксперименты для алгоритмов, использующих методы Монте-Карло при решении задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца.

• Рассмотрены различные методы вычисления итераций оператора Грина методами Монте-Карло. Представлены новые алгоритмы вычисления итераций оператора Грина.

• Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие оценить возможность использования аналитического продолжения решения методом замены переменных.

• Представлены новые алгоритмы вычисления оценок первого собственного числа для оператора Лапласа с помощью оценок степеней оператора Грина.

• Выполнена реализация рассмотренных алгоритмов для вычисления на МР1-кластере.

• Для алгоритмов оценки первого собственного числа выполнена реализация вычислений на GPU (графических процессорах общего назначения).

• Реализован программный комплекс, упрощающий (параллельную) реализацию вычислений методами Монте-Карло.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Андрей Николаевич, 2012 год

Литература

1. A computer-aided design system for microelectromechanical systems (MEMCAD) / S. D. Senturia, R. M. Harris, B. P. Johnson et al. // IEEE J. Microelectromech. Syst.— 1992.- Vol. 1, no. 1.— Pp. 3-13. — URL: http://www.rle.mit.edu/cpg/publications/publ7.pdf (дата обращения: 27.02.2011).

2. Сафронов, С. И. Компьютерная технология определения электростатических полей и емкостных коэффициентов многоэлментных трехмерных экранов / С. И. Сафронов, Р. П. Тарасов // Журнал технической физики.- 2002. Т. 72, № 9. С. 1 12. URL: http://journals. ioffe.ru/jtf/2002/09/pl-12.pdf (дата обращения: 05.01.2011).

3. Jiang, L. J. A complete variational method for capacitance extractions / L. J. Jiang, W. C. Chew // Progress In Electromagnetics Research. — 2006.- Vol. 56. — Pp. 19-32. — URL: http://ceta.mit.edu/pier/ pier56/02.0502042.Chew.J.pdf.

4. Nabors, K. FastCap: a multipole accelerated 3-D capacitance extraction program / K. Nabors, J. White // IEEE Trans. On Computer-Aided Design.- 1991,- Vol. 10, no. 11.- Pp. 1447-1459.- URL: http: //www.rle.mit.edu/cpg/publications/publ9.pdf.

5. Phillips, J. R. A precorrected-FFT method for electrostatic analysis of complicated 3-D structures / J. R. Phillips, J. K. White // IEEE Trans. On Computer-Aided Design Of Integrated Circuits And Systems. — 1997. —

Vol. 16, no. 10.- Pp. 1059-1072,- URL: http://www.rle.mit.edu/ cpg/publications/pub07 .pdf (дата обращения: 09.01.2011).

6. Iverson, R. B. A floating random-walk algorithm for extracting electrical capacitance / R. B. Iverson, Y. L. Le Coz // Mathematics and Computers in Simulation.— 2001.— Vol. 55, no. 1-3.— Pp. 5966. — URL: http: //www. sciencedirect. com/science/article/B6V0'T-42DX509-7/2/07dl0721a3d7a2b800b9efaae9e8e2df.

7. Методы экстракции паразитных элементов в интегральных схемах / А. Е. Безруков, А. С. Русаков, Д. Ф. Ткачев, М. М. Хапаев // Проблемы разработки перспективных микроэлектронных систем,— М.: ИППМ РАН, 2005,- С. 45-50.- URL: http://www.ippm.ru/MES/year2005/ 06.doc (дата обращения: 03.01.2011).

8. Kapur, S. Large-scale capacitance calculation / S. Kapur, D. E. Long // Proc. 37th Design Automation Conf. - 2000. - Pp. 744-749.

9. Iverson, R. B. A stochastic algorithm for high speed capacitance extraction in integrated circuits / R. B. Iverson, Y. L. Le Coz // Solid-State Electronics. - 1992. - Vol. 35, no. 7. - Pp. 1005-1012.

10. Новый алгоритм вычисления двумерных емкостей в задачах экстракции. / А. Е. Безруков, А. Я. Бойко, А. С. Русаков и др. // Проблемы разработки перспективных микроэлектронных систем. — М.: ИППМ РАН, 2006,- С. 76-80.- URL: http://www.ippm.ru/MES/year2006/12.pdf (дата обращения: 03.01.2011).

11. Nabors, К. Fast capacitance extraction of general three-dimensional structures / K. Nabors, S. Kim, J. White // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 1992. — Vol. 40, no. 7. — Pp. 1496— 1506. — URL: http://www.rle.mit.edu/cpg/publications/publ5.pdf (дата обращения: 09.01.2011).

12. A fast hierarchical algorithm for 3-D capacitance extraction / W. Shi, J. Liu,

N. Kakani, T. Yu // Proc. Design Automation Conf. - 1998.- Pp. 212217.

13. Tausch, J. A multiscale method for fast capacitance extraction / J. Tausch, J. White // Proc. 36th Design Automation Conf. - 1999. - Pp. 537-542.

14. Кублановская, В. H. Применение метода аналитического продолжения посредством замены переменных в численном анализе / В. Н. Кублановская // Работы по приближенному анализу. — Т. 53 из Тр. МИ АН СССР.- М. Л.: 1959,- С. 145-185,- URL: http://mi.mathnet.ru/ tml328 (дата доступа 27.02.2011).

15. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. — М.: Наука, 1967. — 436 с.

16. MPICH2 high-performance and widely portable MPI.— URL: http: //www.mcs.anl.gov/research/projects/mpich2 (дата обращения: 02.04.2011).

17. CUDA toolkit 4.0. — URL: http://developer.nvidia.com/cuda-toolkit-40 (дата обращения: 11.04.2011).

18. Кузнецов, A. H. Универсальный алгоритм расчета взаимных электростатических емкостей системы проводников методом Монте-Карло / А. Н. Кузнецов, А. С. Сипин // Матем. моделирование. — 2009. — Т. 21, № 3. — С. 41-52. — URL: http : //mi. mathnet. ru/mm2746 (дата обращения: 23.05.2011).

19. Кузнецов, А. H. Статистические оценки для степеней оператора Грина / А. Н. Кузнецов, А. С. Сипин // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2009. - Т. 2(19). - С. 114-123. - URL: http: //mi.mathnet.ru/vsgtu708 (дата обращения: 23.05.2011).

20. Кузнецов, А. Н. Расчёт взаимных электростатических ёмкостей системы проводников методом блуждания по полусферам / А. Н. Кузнецов // Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием (29-31 мая 2008 г.). Часть 2.— Матем. моде-

лирование и краев, задачи. — Самара: СамГТУ, 2008. — С. 58-60. — URL: http://mi.mathnet.ru/mmkzl074 (дата обращения: 05.11.2011).

21. Кузнецов, А. Н. Оценки методом Монте-Карло итераций оператора Грина и собственных чисел первой краевой задачи для оператора Лапласа / А. Н. Кузнецов, И. А. Рытенкова, А. С. Сипин // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2011. — Т. 4(25). — С. 82-92.

22. Михайлов, Г. А. Весовые алгоритмы статистического моделирования / Г. А. Михайлов. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2003. - 185 с.

23. Ермаков, С. М. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики / С. М. Ермаков, В. В. Некруткин, А. С. Сипин. - М.: Наука, 1984.

24. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М.: Наука, 1977.

25. Смайт, В. Электростатика и электродинамика. Перевод со второго американского издания / В. Смайт. — М.: Издательство иностранной литературы, 1954.

26. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 2-е, переработанное и дополненное изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. — T. VIII. Электродинамика сплошных сред.

27. Демин, С. К. Численный анализ и синтез электронно-оптических систем сложной структуры, i / С. К. Демин, С. И. Сафронов, Р. П. Тарасов // ЖТФ.- 1998. Т. 68, № 2. С. 97 103.-URL: http://journals.ioffe.ru/jtf/1998/02/p97-103.pdf (дата обращения: 06.01.2011).

28. Демин, С. К. Численный анализ и синтез электронно-оптических систем сложной структуры, ii / С. К. Демин, С. И. Сафронов, Р. П. Тарасов // ЖТФ.- 1998.- Т. 68, № 7,- С. 126-129,- URL: http:

//journals.ioffe.ru/jtf/1998/07/pl26-129.pdf (дата обращения: 06.01.2011).

29. Nabors, К. Multipole-accelerated capacitance extraction algorithms for 3-D structures with multiple dielectrics / K. Nabors, J. White // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications.- 1992. — Vol. 39, no. 11.- Pp. 946-954,- URL: http: //www.rle.mit.edu/cpg/publications/publ3.pdf (дата обращения: 09.01.2011).

30. Kapur, S. A fast method of moments solver for efficient parameter extraction of MCMs / S. Kapur, J. Zhao // Proc. 34th Design Automation Conf. - 1997. - Pp. 141-146. - URL: http://citeseerx.ist.psu.edu/ viewdoc/download?doi=10.1.1.31.8253&rep=repl&type=pdf (дата обращения: 25.05.2011).

31. Saad, Y. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems / Y. Saad, M. H. Schultz // SIAM J. Sci. Stat. Comput.- 1986.- Vol. 7, no. 3,- Pp. 856-869.-URL: http://www.stat.uchicago.edu/~lekneng/courses/324/saad-schultz.pdf (дата обращения: 25.05.2011).

32. Kapur, S. IES3: a fast integral equation solver for efficient 3-dimensional extraction / S. Kapur, D. E. Long // Proc. IEEE/ACM Int Computer-Aided Design Digest of Technical Papers. Conf. — 1997.— Pp. 448-455.— URL: http://integrand-software.com/oldpapers/iccad97.pdf (дата обращения: 25.05.2011).

33. Accurate high-speed performance prediction for full differential current-mode logic: the effect of dielectric anisotropy / A. Garg, Y. L. Le Coz, H. J. Greub et al. // IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. - 1999. - Vol. 18, no. 2. - Pp. 212-219.

34. Mascagni, M. The random walk on the boundary method for calculating capacitance / M. Mascagni, N. A. Simonov // The Journal of

Computational Physics.- 2004.- Vol. 195, no. 2.- Pp. 465-473.-URL: http://sab.sscc.ru/~nick/papers/jcp03.pdf (дата обращения: 09.01.2011).

35. Sipin, A. S. Random walks in the domain and their applications to the boundary value problems / A. S. Sipin // International Conference «Tikhonov and Contemporary Mathematics», Section 3. — Moscow: 2006. — June 19-25.-Pp. 113 114.

36. Computer codes produced and supported by the research laboratory of electornics at MIT computational prototyping group.— URL: http: //www.rle.mit.edu/cpg/research_codes.htm (дата обращения: 03.01.2011).

37. Михайлов, Г. А. Параметрическое дифференцирование и оценки собственных чисел методом Монте-Карло / Г. А. Михайлов, Р. Н. Макаров // Сиб. матем. журн.- 1998.- Т. 39, № 4,- С. 931-941. — URL: http://mi.mathnet.ru/smj245 (дата обращения: 09.03.2011).

38. Сабелъфелъд, К. К. Методы Монте-Карло в краевых задачах / К. К. Са-бельфельд; Под ред. Г. А. Михайлова. — Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1989.

39. Message passing interface forum.— URL: http://www.mpi-forum.org (дата обращения: 02.04.2011).

40. Кнут, Д. Э. Искусство программирования / Д. Э. Кнут. — 3-е изд. изд. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. — Т. 2. Получисленные алгоритмы.

41. Кнут, Д. Э. Реализация генератора псевдослучайных чисел. — URL: http://www-cs-facuity.Stanford.edu/~knuth/programs/rng-double.c (дата обращения: 22.07.2011).

42. Михайлов, Г. А. Параллельная реализация статистического моделирования и генераторов случайных чисел / Г. А. Михайлов, М. А. Мар-

ченко // Препринт.— 2001.— URL: http://osmf .sscc.ru/0/07Emam/ Programs/Preprint .pdf (дата обращения: 18.04.2011).

43. Коды программ для 128-битного конгруэнтного генератора. — URL: http://osmf.sscc.ru/~mam/generator_progr_fortran.htm (дата обращения: 18.04.2011).

44. Что такое CUDA?— URL: http://www.nvidia.ru/object/what_is_ cuda_new_ru.html (дата обращения: 24.02.2012).

45. NVIDIA СиОА:новая архитектура для вычислении на GPU. — URL: http://www.nvidia.ru/content/cudazone/download/ru/CUDA_ rus.pdf (дата обращения: 24.02.2012).

46. Whitehead, N. Precision & performance: Floating point and IEEE 754 compliance for NVIDIA GPUs. - 2011,- URL: http://developer. nvidia.com/sites/default/files/akamai/cuda/files/NVIDIA-CUDA-Floating-Point.pdf (дата обращения: 24.02.2012).

47. Бахвалов, H. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — 3-е, изд., перераб. и доп. изд. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. — 632 с.

48. Goldberg, D. What every computer scientist should know about floatingpoint arithmetic / D. Goldberg // ACM Comput. Surv. — 1991. — March. — Vol. 23, no. 1.- Pp. 5-48.

49. McNamee, J. M. A comparison of methods for accurate summation / J. M. McNamee //ACM SIGSAM Bulletin. - 2004. - March. - Vol. 38, no. 1,— Pp. 1-7.— URL: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/ download?doi=10.1.1.103.344&rep=repl&type=pdf (дата обращения: 04.05.2011).

50. Pretty good accuracy in matrix multiplication with GPUs / M. Badin, L. Bic, M. Dillencourt, A. Nicolau // Ninth International Symposium on Parallel and Distributed Computing. — Instanbul, Turkey: 2010. —

URL: http://www.ics.uci.edu/~mbadin/Pretty_Good_Accuracy_ Badin_2010.pdf (дата обращения: 04.05.2011).

51. Кузнецов, А. Н. О вычислении собственных чисел для оператора Лапласа методом Монте-Карло / А. Н. Кузнецов, А. С. Сипин // Ма-тематческие идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Научная школа-конференция молодых исследователей (Обнинск, 14-18 мая 2011 г.): Тез. докладов. / Под ред. В. А. Галкина; ИАТЭ НИЯУ МИФИ. - Обнинск: 2011. - С. 24.