Решение многомерных обратных задач эластографии с апостериорной оценкой точности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Шаров Александр Николаевич

• Шаров Александр Николаевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Шаров Александр Николаевич

6.4. Метод Хука-Дживса

Заключение

Список рисунков

Список литературы

Приложения

А Уравнения теории упругости

А.1 Уравнения равновесия

А.2 Уравнения, связывающие напряжения и деформации

A.З Уравнения, связывающие деформации и смещения ... 115 В Уравнения плоского деформированного и плоского напряженного состояний

B.1 Уравнения плоского деформированного состояния .... 119 В.2 Уравнения плоского напряженного состояния

С Единственность решения прямой задачи статики упругого тела

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение многомерных обратных задач эластографии с апостериорной оценкой точности»

Введение

Работа посвящена решению обратных задач квазистатической эласто-графии. Эластография - это новый метод исследования в медицине, предназначенный для диагностики рака. Это могут быть исследования щитовидной железы, легких, печени, простаты или молочной железы. Также эластография может быть применена для исследования кровеносных сосудов, мышц и гипертермии тканей. Метод основан на различии упругих свойств здоровой и опухолевой ткани. Кратко, суть метода заключается в поверхностном сжатии исследуемого участка тела с последующей качественной оценкой или количественным определением упругих свойств по измерениям возникающих смещений тканей. Эластография позволяет выявить опухоли на ранних стадиях или в случаях, когда они имеют небольшие размеры, что может быть недоступно при использовании других ультразвуковых методов. При этом качественная эластография, когда определяются только смещения ткани или скорость звука в ней и не решается обратная задача для определения упругих показателей, может не дать эффективных результатов. Так бывает, например, когда контраст показателей здоровой и опухолевой тканей невелик, опухоль имеет небольшие размеры или полученные измерения имеют низкую точность и неоднородности неразличимы. Поэтому важно применение именно количественной эластография, когда показатели упругости определяются с помощью численного решения обратной задачи. В данной работе рассматривается решение квазистатической задачи эластография в двумерном и трехмерном пространствах, когда исследуемая ткань рассматривается как линейно-упругое изотропное тело, подверженное малым поверхностным сжатиям. Сложность решения такой обратной задачи связана с ее некорректностью и многомерностью. Поэтому существенным является адекватный выбор пространства решений, определяемый априорной информацией, а также разработка соответствующего устойчивого метода решения обратной задачи, учитывающего специфику эластография. Принципиально важна также оценка точности решения этой обратной задачи в виде числа, что для некорректных

задач нетривиально.

Актуальность работы обусловлена эффективностью методов эласто-графии при онкологических исследованиях в случаях, когда другие ультразвуковые методы бессильны, и необходимостью количественной оценки упругих свойств исследуемых биологических тканей при диагностике.

Рассматриваемая обратная задача эластографии заключается в определении распределения модуля Юнга в исследуемой области по известным значениям вертикальных смещений ткани.

Целями работы являются:

1) разработка и обоснование алгоритмов решения различных вариантов обратной задачи эластографии в квазистатической постановке в двумерном и трехмерном пространствах;

2) вычисление апостериорных оценок точности полученных решений в зависимости от ошибки входных данных;

3) апробация и численное исследование разработанных методов на модельных задачах.

Для выполнения поставленных целей были решены следующие задачи:

1) разработан алгоритм и решена модельная обратная задача квазистатической эластографии в двумерной области на классе гладких решений и классе функций ограниченной вариации типа Харди;

2) поставлена обратная задача квазистатической эластографии на общем параметрическом классе решений в двумерном и трехмерном пространствах;

3) разработан алгоритм решения обратной задачи квазистатической эластографии на общем параметрическом классе решений в двумерном и трехмерном пространствах. Доказана теорема о сходимости получаемых приближенных решений к точному решению задачи;

4) численно решены модельные задачи квазистатической эластографии на параметрическом классе решений в двумерном и трехмерном пространствах;

5) для всех полученных численных приближенных решений получены апостериорные оценки точности и найдены зависимости этих оценок от уровня ошибки входных данных.

Методы исследования. Работа выполнена с применением методов теории упругости, теории эллиптических уравнений в частных производных, функционального анализа, теории обратных и некорректных задач, методов математического моделирования и прикладного программирования.

Научная новизна работы:

1) в диссертации впервые рассмотрена обратная задача эластографии на пространстве решений - функций ограниченной многомерной вариации. Наиболее интересные случаи в онкологии, когда двумерное или трехмерное решение может быть разрывным, могут быть описаны функциями именно такого класса;

2) впервые рассмотрена и поставлена обратная задача эластографии на параметрических классах решений;

3) впервые построен и обоснован устойчивый к ошибкам данных алгоритм решения многомерной обратной задачи эластографии на параметрических классах решений общего вида; доказана теорема о сходимости соответствующих приближенных решений к точному решению задачи. Алгоритм апробирован и исследован на двумерных и трехмерных модельных задачах;

4) впервые получены апостериорные оценки точности найденных численных решений многомерных обратных задач квазистатической эластографии.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие пункту 2 паспорта специальности 01.01.03 - математическая физика по физико-математическим наукам:

1) предложена и исследована новая постановка обратной задачи квазистатической эластографии на пространстве решений - функций ограниченной многомерной вариации;

2) разработан и обоснован алгоритм, который позволяет найти решение обратной задачи квазистатической эластографии в двумерной области на классе гладких решений и классе функций ограниченной вариации типа Харди;

3) предложена и исследована новая постановка обратной задачи квазистатической эластографии на параметрических классах решений;

4) разработан и обоснован алгоритм, который позволяет найти решение обратной задачи квазистатической эластографии в двумерной и трехмерной областях на параметрических классах решений;

5) разработан и обоснован метод апостериорной оценки точности полученных численных решений многомерных обратных задач квазистатической эластографии;

6) разработанные алгоритмы решения обратной задачи квазистатической эластографии апробированы на модельных задачах в двумерных и трехмерных областях.

Научная значимость работы заключается в новых постановках многомерных обратных задач квазистатической эластографии, в разработке новых устойчивых методов и алгоритмов решения этих некорректных задач с апостериорной оценкой точности.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования ее результатов для количественных онкологических исследований тканей с определением упругих характеристик опухолей даже небольших размеров или на ранних стадиях.

Степень достоверности и обоснованности полученных результатов определяется научно обоснованными в теории упругости математическими моделями эластографических явлений, строгими математическими постановками решаемых обратных задач, математическим обоснованием методов и алгоритмов их решения, а также адекватными результатами решения модельных задач с различными уровнями ошибок входных данных.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на Международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики 2019» (Новосибирск, 2019), the 5th international symposium on Inverse Problems, Design and Optimization (Tianjin, Китай, 2019), Международной Школе-конференции молодых ученых «Математика, физика, информатика и их приложения в науке и образовании» (Москва, 2016), Международной конференции «International Workshop on Inverse and Ill-Posed Problems» (Москва, 2015), Международной конференции «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы» (Москва, 2014).

Личный вклад автора. Основные идеи и положения работы изложены в 8 печатных изданиях (3,2 п.л.), из них 4 статьи в рецензируемых научных изданиях [1-4], рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности 01.01.03 - математическая физика. В написанных в соавторстве работах все результаты, представленные в диссертации, получены лично Шаровым А.Н.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения, списка рисунков, списка литературы и трех приложений. Полный объем диссертации (без учета приложений) составляет 109 страниц текста с 35 рисунками и одной таблицей. Список литературы включает 80 наименований.

Краткое содержание работы. В работе рассматриваются решения двумерных и трехмерных обратных задач квазистатической эластографии - метода в онкологии, основанного на различиях в упругих свойствах здоровой и опухолевой тканях.

В разделе 1 рассматривается физическая постановка задачи эластогра-фии и дается обзор методов эластографических исследований: квазистатического, гармонического и транзиентного. Кроме того, приводятся примеры неединственности и неустойчивости решений обратной задачи квазистатической эластографии, что говорит о ее некорректности в общем случае и необходимости применять регуляризирующие алгоритмы для ее решения.

В разделе 2 рассматривается математическая постановка прямой задачи квазистатической эластографии. Дается вывод системы дифференциальных уравнений в частных производных, связывающих смещения ткани и ее упругие характеристики, приводятся граничные условия для модельной области. Прямая задача, заключающаяся в вычислении смещений ткани по известным ее упругим характеристикам, ставится как краевая задача для этой системы дифференциальных уравнений на некоторых классах функций. Отмечается существование и единственность решения прямой задачи. Т.к. в онкологии наиболее интересны случаи, когда упругие характеристики ткани, такие как модуль Юнга являются разрывными функциями, то специально рассматривается слабое решение прямой задачи. Слабые решения могут быть найдены с помощью метода конечных эллементов. В разделе 2.1 рассматривается прямая задача в двумерной области. При этом используется две модели: модель «plane-strain», или случай плоского деформированного состояния тела, и модель «plane-stress», или случай плоского напряженного состояния тела. Эти две постановки существенно отличаются конечным видом уравнений и краевых условий. В разделе 2.2 прямая задача рассматривается в трехмерной области.

В разделе 3 рассматривается математическая постановка обратной задачи квазистатической эластографии и алгоритм ее решения. Обратная задача заключается в вычислении модуля Юнга по измеренным значениям вертикальных смещений ткани. В разделе 3.1 обратная задача, представляемая в виде нелинейного операторного уравнения, рассматривается на классе гладких функций и классе функций нескольких переменных с ограниченной вариацией типа Харди. Проводится дискретизация задачи по ме-

тоду конечных элементов, и модуль Юнга ищется в узлах сетки метода. Нелинейное операторное уравнение обратной задачи решается с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова, параметр регуляризации определяется по обобщенному принципу невязки. В разделе 3.2 обратная задача рассматривается на параметрическом классе решений, когда неоднородности в ткани могут быть заданы с помощью модельных функций, которые определяются небольшим числом геометрических параметров, а модуль Юнга внутри и вне неоднородностей является постоянным. В частности, численные эксперименты рассматривались для задач с неоднородностями в виде кругов или эллипсов в двумерном случае и шаров или эллипсоидов в трехмерном случае. При этом считается, что значение модуля Юнга вне неоднородностей (фоновое значение) известно. Таким образом, обратная задача сводится к поиску числа неоднородностей в рассматриваемой области, параметров, задающих их геометрическую форму, и значений модулей Юнга внутри неоднородностей. Для решения обратной задачи на параметрическом классе предложен алгоритм, который является специализированной модификацией метода расширяющихся компактов В.К. Иванова и И.Н. Домбровской. Для предложенного алгоритма доказана теорема сходимости найденного приближенного решения к точному решению задачи при стремлении ошибки входных данных к нулю.

В разделе 4 приводятся численные результаты решения модельных обратных задач квазистатической эластографии во всех рассмотренных постановках из предыдущих глав. В разделе 4.1 приводятся результаты решения модельной двумерной обратной задачи в приближении плоского деформированного состояния тела в прямоугольной области на классе гладких решений и классе функций ограниченной вариации типа Харди. Результаты приведены для точных входных данных и данных задачи, имеющих ошибку 5%. В разделе 4.2 приводятся численные решения задач, рассмотренных в разделе 4.1, но на параметрическом классе решений. В разделе 4.3 приводятся результаты решения трехмерной задачи путем сведения ее к решению ряда двумерных задач в нескольких вертикальных разрезах

области. При этом двумерные задачи рассматриваются как в приближении плоского деформированного состоянии, так и в приближении плоского напряженного состояния. В разделе 4.4 приводятся результаты решения трехмерной обратной задачи на параметрическом классе решений для модельной области, включающей неоднородности в виде шаров и эллипсоидов, в том числе приводится решение трехмерной задачи, рассмотренной в разделе 4.3.

Раздел 5 посвящен апостериорной оценки точности найденных решений. В разделе 5.1 излагается используемый в работе метод апостериорной оценки точности. В разделе 5.2 приводятся результаты апостериорной оценки точности для приближенных решений двумерных задач, полученных в разделе 4.1. В разделе 5.3 приводятся результаты апостериорной оценки точности для приближенных решений трехмерной обратной задачи квазистатической эластографии с одной неоднородностью в виде шара.

В разделе 6 приведено описание численных методов решения экстремальных задач, которые использовались для решения поставленных в работе обратных задач. В разделе 6.1 приводится описание метода доверительной области. При этом важной составляющей метода является вычисление градиента невязки, которая минимизируется при решении обратной задачи. Схема вычисления градиента дана в разделе 6.2 для решения задачи на классе гладких решений и классе функций ограниченной вариации типа Харди, а также в разделе 6.3 для решения задачи на параметрическом класе решений. В разделе 6.4 приводится описание метода минимизации Хука-Дживса, не требующего вычисления градиента.

В заключении приведены основные результаты работы.

В приложении А дан вывод уравнений теории упругости, которые используются для получения системы дифференциальных уравнений, связывающих смещения ткани и ее упругие характеристики, и постановки прямой и обратной задач. В приложении В приведен вывод уравнений плоского напряженного и плоского деформированного состояний - приближений «plane-strain» и «plane-stress» соответственно, используемых при решении

двумерной обратной задачи. В приложении С изложено доказательство единственности решения прямой задачи статики упругого тела.

Благодарности. Автор выражает огромную благодарность своим научным руководителям, доктору физико-математическеих наук, профессору Леонову Александру Сергеевичу, и доктору физико-математических наук, профессору Яголе Анатолию Григорьевичу, за помощь и наставления в научной деятельности автора, постоянное внимание к работе, ответы на интересующие автора вопросы, координацию действий по настоящей работе. Все это способствовало успешному написанию диссертации и формированию научных взглядов автора.

1. Обзор подходов в эластографических исследованиях

Эластография - метод в онкологии, основанный на различиях в упругих свойствах здоровой и опухолевой тканей. Дело в том, что упругие характеристики опухолевой ткани, например модуль Юнга, в несколько раз превышают эти же характеристики здоровой ткани. Поэтому определение упругих характеристик тканей позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии опухоли. Пример возможных значений модуля Юнга приведен в таблице 1 [5].

Ткань Е, кПа

Печень нормальная 0,4 - 6

Печень циррозная 15 - 100

Простата нормальная 55 - 70

Карцинома простаты 90- 240

Молочная железа:

жировая ткань 18- 24

железистая ткань 28- 66

фиброзная ткань 96- 244

карцинома 22 - 560

Таблица 1: Модуль Юнга различных мягких тканей организма.

Эластография начала развиваться в конце 80-начале 90 г. XX века сначала как метод усовершенствования ультразвукового исследования (УЗИ), однако потом вылилась в отдельный метод диагностики, основанный как на УЗИ, так и на других методиках исследования. На текущий момент существует много подходов к эластографии, однако для большинства из них можно выделить три основных этапа исследования [6,7]:

1) воздействие на поверхность исследуемой части тела с помощью квази-

статического, гармонического или импульсного механического источника;

2) измерение внутренних смещений ткани используя соответствующий ультразвуковой, магнитно-резонансный или оптический метод оценки смещений;

3) определение характеристик упругости ткани упрощенным (качественным) методом или путем решения обратной задачи.

В данной работе нас, прежде всего, интересует третий этап исследования. Более того, нас интересует именно решение обратной задачи эла-стографии, которое дает более точные результаты упругих характеристик нежели качественный (упрощенный) метод определения.

Далее рассмотрим основные качественные методы определения упругих характеристик в эластографии [6-9]. Любая деформация может быть разделена на деформации растяжения-сжатия и деформации сдвига. А механическое поведение ткани при воздействии на нее сил определяется упругими характеристиками или модулями упругости. При этом ткань часто рассматирвается как линейно-упругое изотропное тело, которое определяется всего двумя независимыми упругими характеристиками: модулем объемной упругости или модулем всестороннего сжатия (К) и модулем сдвиговой упругости или модулем сдвига (д). Модуль всестороннего сжатия характеризует способность объекта изменять свой объем под воздействием объемного, т. е. всестороннего напряжения, когда на тело воздействует одинаковая во всех направлениях сила. Рассмотрим, например, шар (рис. 1а), на который действует сжимающая сила со всех сторон. Под действием этой силы объем шара уменьшается, а связь величины полученной таким образом деформации и приложенного давления характеризуется модулем всестороннего сжатия. На рис. 1с представлен пример сдвиговой деформации. Для этого рассматривается стержень, к граням которого приложени силы, направленные в противоположные стороны. В этом случае получается деформация сдвига, при которой изменяется форма стержня, но объем

остается неизменным. Модуль сдвига отражает способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении объема и характеризует связь между приложенными силами и сдвиговыми деформациями. Часто также используют модуль продольной упругости или модуль ЮнгаЕ, который выражается через модуль всестороннего сжатия и модуль сдвига. Например, если деформируется стержень, то происходит простое одностороннее сжатие (растяжение), которое характеризуется модулем Юнга (рис. 1Ь). Он отражает способность материала сопротивляться деформации сжатия-растяжения, т.е. характеризует связь величины сжатия-растяжения вдоль оси и приложенной силы вдоль этой же оси.

Рис. 1: а) Деформация всестороннего сжатия. При всестороннем воздействии объем шара уменьшается: Е - сжимающая сила, V - первоначальный объем, VI - конечный объем. Ь) Деформация одностороннего сжатия. При одностороннем сжатии объекта уменьшается длина объекта: Ь - первоначальная длина объекта, Ь\ - конечная дайна объекта, 5Ь - величина изменения длины объекта, с) Деформация сдвига. Под действием силы Е цилиндр длиной Ь деформируется на величину при этом первоначальный объем V равен конечному объему VI.

Основные подходы к эластографии можно условно разделить на три группы (рис. 2) [6,7]: 1. Квазистатическая эластография.

В квазистатической эластографии ткань возмущается с помощью квазистатического механического источника. При этом измеряются аксиальные смещения ткани, например, с помощью кросскорреляционного анализа до-

и после деформирования, а деформации ткани как правило невелики и составляют не более 1-2%. Квазистатическую эластографию также называют компрессионной эластографией [5,8,9], т.к. ткань подвергается сжатию (компрессии). В основе квазистатической эластографии лежит сравнение модулей Юнга. Суть метода заключается в наложении одинакового давления на разные участки ткани, которые сжимаются по-разному. Более упругие участки сжимаются в меньшей степени и могут быть классифицированы как опухоли. Модуль Юнга можно приближенно вычислить при предположении однородности распределения внутренних напряжений ткани из формулы:

а = Ее, (1)

где а - внутреннее напряжение ткани, е - измеренные деформации ткани, Е

ние напряжения тканей, то предполагается, что а ~ 1. Таким образом, модуль Юнга приближенно оценивается как обратная величина к деформациям ткани. На практике обычно не вычисляют значения модуля Юнга и производят сравнения по измеренным деформациям.

Описанный выше метод квазистатической эластографии имет ряд недостатков. Основной из них заключается в том, что формула (1) выполняется далеко не всегда. В частности, отсутствие твердой поверхности, на которой происходит сжатие тканей, приводит к тому, что сжатие приводит не к сдавливанию, а к смещению тканей. 2. Гармоническая эластография.

В гармонической эластографии ткань возбуждается с помощью периодического механического источника, вызывающего распространение в ткани низкочастотной акустической волны. Из-за объемной и сдвиговой деформации в среде появляются силы, стремящиеся вернуть тело в исходное состояние. Проходя положение равновесия ткань деформируется в другую сторону. Так появляются колебания объема - сжатия и разрежения среды - и колебания формы, которые распространяются в среде в виде волн: продольной и поперечной или сдвиговой волн соответственно. Гармоническая

эластография основана на анализе сдвиговой деформации. Если предположить, что поперечная волна распространяется с плоским волновым фронтом, то можно получить приближенную оценку модуля сдвига из формулы

где с2 - скорость поперечной волны, р - плотность ткани, д - модуль сдвига. Соответственно чем выше скорость распространения сдвиговой волны, тем выше упругость ткани.

Основной недостаток данного подхода - то, что сдвиговые волны очень быстро затухают в мягких тканях и тем самым не достигают необходимого участка ткани. Для устранения данного недостатка используется подход, рассматриваемый далее - транзиентная эластография. 3. Транзиентная эластография.

В транзиентной эластография ткань возбуждается с помощью акустической радиационной силы. Радиационное давление волны можно подобрать так, что оно будет максимальным в заданном участке ткани и станет источником сдвиговых волн, распространяющемся в перпендикулярном направлении. Изменяя интенсивность радиационного давления, можно возбуждать сдвиговые полные в каждой точке исследуемой обалсти и тем самым измерять скорость распространения сдвиговой волны в каждой точке. Оценка модуля сдвига получается из той же формулы (2) для гармонической эластографии.

Некоторые авторы объединяют гармонический и транзиентный подходы к эластографии в один подход эластографии на сдвиговой волне, т.к. в обоих подходах рассматривается деформация сдвига, а модуль сдвига оценивается по измеренным значениям скорости сдвиговой волны [5,8,9].

Качественные методы оценки модуля Юнга или модуля сдвига основаны на достаточно грубых предположениях, которые в реальности могут не выполняться, и поэтому дают лишь приближенные значения. Для получения более точных оценок необходимо ставить и решать обратную задачу нахождения распределенных упругих модулей по эластографическим измерениям.

(2)

Рис. 2: Подходы к эдастографии.

Рассмотрим основное уравнение, связывающее смещения тканей и ее упругие характеристики в общей форме. В данном разделе мы опустим вывод данного уравнения. В следующем разделе приведем подробный вывод соответствующих уравнений для рассматриваемых в работе задач.

Основное уравнение выводится из уравнений теории упругости, а именно уравнений равновесия, уравнений, связывающих напряжения в ткани и деформации ткани (закон Гука), и уравнений, связывающих деформации и смещения. При этом предполагается, что ткань ведет себя как линейно-упругое тело. В этом случае мы имеем 21 независимых упругих характеристик ткани, описывающих ее механическое поведение. Однако, нахождение 21 характеристик - это достаточно трудоемкая задача. Поэтому часто предполагают, что ткань ведет себя как линейно-упругое изотропное тело. Тогда остается всего 2 независимых характеристики: Л (второй коэффициент Ламэ) и д (модуль сдвига). Часто вместо Л и д рассматривают инженерные характеристики: Е (модуль Юнга) и V (коэффициент Пуассона), которые связаны между собой следующим образом:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шаров Александр Николаевич, 2021 год

Список литературы

[1] Leonov A.S., Sharov A.N., Yagola A.G. // Solution of the three-dimensional inverse elastography problem for parametric classes of inclusions // Inverse Problems in Science and Engineering. — 2020. — Published online. - P. 1-14. DOI: 10.1080/17415977.2020.1817006. Impact Factor WoS: 1,314.

[2] Леонов А.С., Шаров A.H., Ягола А.Г. // Решение трехмерной обратной задачи эластографии на параметрическом классе с апостериорной оценкой точности // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика, астрономия. — 2019. — № 5. — с. 67-72; Leonov A.S., Sharov A.N., Yagola A.G. Solution of the inverse elastography problem in three dimensions for a parametric class with a posteriori error estimation // Moscow University Physics Bulletin, Allerton Press (New York, N.Y., United States). - 2019. - Vol. 74. - №5.- P. 488-493. Impact Factor WoS: 0,538.

[3] Leonov A. S., Sharov A. N., Yagola A. G. // Solution of the inverse elastography problem for parametric classes of inclusions with a posteriori error estimate // Journal of Inverse and 111-Posed Problems. — 2017. — Vol. 26. 493-499. Impact Factor WoS: 0,926.

[4] Leonov A. S., Sharov A. N., Yagola A. G. jj A posteriori error estimates for numerical solutions to inverse problems of elastography // Inverse Problems in Science and Engineering. — 2016. — Vol. 25. Л'0 1 P. 114-128. Impact Factor WoS: 1,314.

[5] Гурбатов C.H., Демин И.Ю., Прончатов-Рубцов H.B. j j Ультразвуковая эластография: аналитическое описание различных режимов и технологий, физическое и численное моделирование сдвиговых характеристик мягких биологических тканей: учебно-методическое пособие. - Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2015.

[6] Doyley M.M. // Model-based elastography: a survey of approaches to the inverse elasticity problem. Phys. Med. Biol. 2012. 57. R35-R73.

[7] Marvin M. Doyley, Kevin J. Parker // Elastography. General Principles and Clinical Applications. Ultrasound Clinics. 2014. 9. 1-11.

[8] Руденко О.В., Сафонов Д.В., Рыхтик П.И., Гурбатов С.Н., Романов С. В. II Физические основы эластографии. Часть 1. Компрессионная эластография (лекция). Радиология - практика. 2014. 3. 41-50.

[9] Руденко О.В., Сафонов Д.В., Рыхтик П.И., Гурбатов С.Н., Романов С.В. II Физические основы эластографии. Часть 2. Эластография на сдвиговой волне (лекция). Радиология - практика. 2014. 46. 62-72.

[10] Andrei R. Skovoroda, Mark A. Lubinski, Stanislav Y. Emelianov and Matthew O'Donnell 11 Reconstructive Elasticity Imaging for Large Deformations. IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control. 1999. 46. 523-535.

[11] Michael S Richards, Paul E Barbone and Assad A Oberai // Quantitative three-dimensional elasticity imaging from quasi-static deformation: a phantom study. Physics in Medicine and Biology. 2009. 54. 757-779.

[12] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости: Учеб. пособие. - М.: Наука, 1987.

[13] Кац A.M. ¡I Теория упругости. 2-е изд., стер. - СПб.: Издательство Лань, 2002.

[14] Sokolnikoff I.S. ¡I Mathematical theory of elasticity. New York (NY): McGraw-Hill, 1946.

[15] Мусхелишвили Н.И. // Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд. - М.: Наука, 1966.

[16] Paul E. Barbone, Assad A. Oherai // Elastic Modulus Imaging: Some exact solutions of the compressible elastography inverse preblem. Physics in medicine and biology. 2007. 52. 1577-93.

[17] Paul E Barbone, Nachiket H Gokhale j j Elastic modulus imaging: on the uniqueness and nonuniqueness of the elastography inverse problem in two dimensions. Inverse Problems. 2004. 20. 283-296.

[18] Paul E Barbone, Jeffrey С Bomber j j Quantitative elasticity imaging: what can and cannot be inferred from strain images. Physics in Medicine and Biology. 2002. 47. 2147-2164.

[19] Rychagov M., Khaled W., Reichling S., Bruhns O., Ermert H. // Numerical Modeling and Experimental Investigation of Biomedical Elastographic Problem by Using Plane Strain State. Model. Fortsch. der Akustik. 2003 29. 586-589.

[20] Marvin M. Doyley, Sashadri Srinivasan, Sarah A. Pendergrass, Ziji Wu, Jonathan Ophir j j Comparative evaluation of strain-based and modelbased modulus elastography. Ultrasound in Medicine and Biology. 2005. 31. 787-802.

[21] M M Doyley, P M Meaney, J С Bember j j Evaluation of an iterative reconstruction method for quantitative elastography. Physics in Medicine and Biology. 2000. 45. 1521-1540.

[22] Купрадзе В.Д. j j Методы потенциала в теории упругости. - М.: Физ-матгиз, 1963.

[23] Ладыженская О. A. j j Краевые задачи математической физики. - М.: Наука, 1973.

[24] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. j j Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1973.

[25] Bers L, John F, Schechter M. // Partial differential equations. New York (NY): Interscience Publishers; 1964.

[26] Oberai A A, Gokhale N H, Feijoo G R // Solution of inverse problems in elasticity imaging using the adjoint method. Inverse Prob. 2003. 19. 297-313.

[27] Hughes TJR jj The finite element method. Linear static and dynamic finite element analysis. New York (NY): Dover; 2000.

[28] Gurtin ME ¡j Topics in finite elasticity. Philadelphia (PA): SIAM; 1983.

[29] Stem, E, de Borst R, Hughes JR, editors-in-chief j j Encyclopedia of computational mechanics. Vol. 1, Fundamentals. Weinheim:Wiley; 2004.

[30] Тихонов A.H., Леонов А.С., Я гола А.Г. j j Нелинейные некорректные задачи. - М.: КУРС, 2017.

[31] Леонов А.С. ¡j Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. - М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2010.

[32] Зенкевич О. // Метод конечных элементов в технике. - М.: МИР, 1975.

[33] Engl HW, Hanke М, Neubauer А. // Regularization of inverse problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

[34] Leonov AS. // Numerical piecewise-uniform regularization for two-dimensional ill-posed problems. Inverse Prob. 1999. 15. 1165-1176.

[35] Leonov AS. // Application of functions of several variables with limited variations for piecewise uniform regularization of ill-posed problems. J. Inverse Ill-Posed Prob. 1998. 6. 67-94.

[36] Леонов А. С. ¡I Функции нескольких переменных с ограниченной вариацией в некорректных задачах. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. 36. 35-49.

[37] Леонов А. С. // О многомерных некорректных задачах с разрывными решениями. Сиб. журн. вычисл. математики. 1998. 39. 74-86.

[38] Леонов А. С. // Применение функций нескольких переменных с ограниченными вариациями для численного решения двумерных некорректных задач. Сиб. журн. вычисл. математики. 1999. 2. 257-271.

[39] Леонов А.С. // Кусочно-равномерная регуляризация двумерных некорректных задач с разрывными решениями: численный анализ. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. 39. 1939-1944.

[40] Acar R, Vogel С. // Analysis of BV penalty methods for ill-posed problems. Inverse Prob. 1994. 10. 1217-1229.

[41] Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. // Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - М.: Наука, 1978.

[42] Ягола А.Г., Янфей Ван, Степанова Н.Э., Титаренко В.Н. // Обратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике. - М.: БИНОМ, 2014.

[43] А. С. Yagola and К. Y. Dorofeev // Sourcewise representation and a posteriori error estimates for ill-posed problems, in: Operator Theory and Its Applications (Winnipeg 1998), AMAST Ser. Comput. 25, American Mathematical Society, Providence. 2000. 543-550.

[44] Raghavan KR, Yagle AE j j Forward and inverse problems in elasticity imaging of soft tissues. IEEE Trans. Nucl. Sci. 1994. 41. 1639-1648.

[45] Skovoroda AR, Emelianov SY, O'Donnell M. j j Tissue elasticity reconstruction based on ultrasonic displacement and strain images. IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. 1995. 42. 747-765.

[46] Sumi С, Suzuki A, Nakayama K. // Estimation of shear modulus distribution in soft tissue from strain distribution. IEEE Trans. Biomed. Eng. 1995. 42. 193-202.

[47] Kallel F, Bertrand M. // Tissue elasticity reconstruction using linear perturbation method. IEEE Trans. Med. Imaging 1996. 15. 299-313.

[48] Van Houten EEW, Paulsen KD, Miga MI, et a,I. //An overlapping subzone technique for MRbased elastic property reconstruction. Magn. Reson. Med. 1999. 99. 779-786.

[49] Michael S Richards, Paul E Barbone and Assad A Oberai // Quantitative three-dimensional elasticity imaging from quasi-static deformation: a phantom study. Physics in Medicine and Biology. 2009. 54. 757-779.

[50] Eunyoung Park and Antoinette M. Maniatty // Finite element formulation for shear modulus reconstruction in transient elastography. Inverse Problems in Science and Engineering. 2009. 17. 605-626.

[51] Вакушинский А.В., Гончарский А.В. // Некорректные задачи. Численные методы и приложения. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

[52] Gaponenko YuL, Vinokurov VA. // A posteriori estimates of solutions to illposed inverse problems. Sov. Math. Dokl. 1982. 263. 277-280.

[53] V Titarenko and A. Yagola. jj Error estimation for ill-posed problems on piecewise convex functions and sourcewise represented sets. J. Inverse Ill-Posed Probl. 2008. 16. 625-638.

[54] Titarenko VN, Yagola AG. j j The problems of linear and quadratic programming for ill-posed problems on some compact sets. J. Inverse Ill-Posed Probl. 2003. 11. 311-328.

[55] Bakushinsky AB. //A posteriori error estimates for approximate solutions of irregular operator equations. Dokl. Math. 2011. 83. 439-440.

[56] Leonov AS. // A posteriori accuracy estimations of solutions of ill-posed inverse problems and extra-optimal regularizing algorithms for their solution. Numer. Anal. Appl. 2012. 5. 68-83.

[57] Leonov AS. jj Extra-optimal methods for solving ill-posed problems. J. Inverse Ill-Posed Prob. 2012. 20. 637-665.

[58] Leonov AS. j j Locally extra-optimal regularizing algorithms. J. Inverse Ill-Posed Prob. 2014. 22. 713-737.

[59] Банди Б. // Методы оптимизации. Вводный курс. - М.: Радио и связь, 1988.

[60] More, J.J. and D.C. Sorensen. j j Computing a Trust Region Step. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1983. 3. 553-572.

[61] Branch, M.A., Т.Е. Coleman, and Y. Li. j j A Subspace, Interior, and Conjugate Gradient Method for Large-Scale Bound-Constrained Minimization Problems. SIAM Journal on Scientific Computing. 1999. 21. 1-23.

[62] Byrd, R.H., R.B. Schnabel, and G.A. Shultz. j j Approximate Solution of the Trust Region Problem by Minimization over Two-Dimensional Subspaces. Mathematical Programming. 1988. 40. 247-263.

[63] Floudas С A, Pardalos PM, editors j j Encyclopedia of optimization. 2nd ed. New York (NY): Springer; 2009.

[64] More, J.J. and D.C. Sorensen. j j Computing a Trust Region Step. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1983. 3. 553-572.

[65] Steihaug, T. j j The Conjugate Gradient Method and Trust Regions in Large Scale Optimization. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1983.20. 626-637.

[66] Васильев Ф.П. j j Методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1981.

[67] Васильев Ф.П. // Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988.

[68] Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. // Практическая оптимизация. - М.: Мир, 1985.

[69] Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. // Численные методы в экстремальных задачах. - М.: Наука, 1975.

[70] Химмельблау Д. // Прикладной нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975.

[71] Gerald A. Shultz, Robert В. Schnabel and Richard H. Byrd //A family of trust-region-based algorithms for unconstrained minimization with strong convergence properties. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1985. 22. 47-67.

[72] M.J.D. Powell // A new algorithm for unconstrained optimization. Nonlinear Programming. 1970. 31-65.

[73] J.E. Dennis, Jr. and H.H. W. Mei / j Two new unconstrained optimization algorithms which use function and gradient values. Journal of Optimization Theory and its Applications. 1979. 28 453-482.

[74] M.D. Hebden j j An algorithm for minimization using exact second derivatives. A.E.R.E. 1973.

[75] J.J. More ¡j The Levenberg-Marquardt algorithm: implementation and theory. Numerical Analysis Dundee. Lecture Notes in Mathematics. 1977. 630 105-116.

[76] D.M. Gay // Computing optimal locally constrained steps. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1981. 2 71-82.

[77] D. C. Sorensen // Newton's method with a model trust region modification. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1982. 19 409-426.

[78] M.S.D. Powell // A new algorithm for unconstrained optimization. Nonlinear Programming. 1982. 31-65.

[79] Coleman, T.F. and A. Verma. //A Preconditioned Conjugate Gradient Approach to Linear Equality Constrained Minimization. Computational Optimization and Applications. 2001. 20. 61-72.

[80] Sorensen, D.C. jj Minimization of a Large Scale Quadratic Function Subject to an Ellipsoidal Constraint. Department of Computational and Applied Mathematics, Rice University, Technical Report TR. 1994.

Приложение А Уравнения теории упругости

В работе решается система дифференциальных уравнений, описывающая механическое поведение тела и связывающая смещения ткани и ее упругие характеристики. Данная система выводится из трех групп уравнений теории упругости: уравнений равновесия, уравнений, связывающих напряжения в ткани и деформации ткани (закон Гука), и уравнений, связывающих деформации и смещения. Приведем вывод данных уравнений.

А.1 Уравнения равновесия

Приведем вывод уравнений равновесия для твердого тела под действием объемной силы К (см., например, [13]).

Будем рассматривать элементарный объем в форме параллелепипеда с ребрами (х, (у, (х. Запишем для данного параллелепипеда условия равновесия, которые заключается в том, что сумма всех сил, действующих на выделенный объем, равна нулю. В результате мы получим три уравнения, описывающих равенство нулю сумм проекций па ось х,у,г всех сил, действующих на выделенный объем. Рассмотрим первое из этих уравнений -равенство нулю проекций па ось х всех сил, действующих па рассматриваемый объем. На рис. 36 представлен рассмотриваемый объем и проекции х

объемной силы. В этом случае мы получаем следующее уравнение:

(ах — ах )(1у<1г + (т — тух)(х(г + (тгх — тгх)(х(у + Кх(1х(1у<1г = 0, (97)

Бесконечно малые приращения напряжений можно выразить через их частные производные по соответствующим координатам:

" ' _ < • " ' — дтУх < • '' ' _ дТгх < /ая\

^х дх • Тух Тух ду У; Тгх Тгх ^^ ч^®/

Подставляя (98) в (97) и сокращая на <х<у<г, получим дифференциальное уравнения вдоль оси х. Аналогично получаются уравнения равновесия вдоль осей у, г. В результате получаем следующие уравнения равновесия:

+ К — 0,

+ Ку — 0, (99)

дох дх + дтух ду + дтгх дг

дт / и ' ху дх + доу ду + дтгу дг

дТхг дх + дТуг ду + до х дг

Для равновесия выделенного объема также должны удовлетворяться три уравнения моментов, однако данные уравнения приводят к уравнениям (99).

А.2 Уравнения, связывающие напряжения и деформации

Приведем вывод выражений, свяхывающих напряжения и деформации

13].

г

В общем виде связь между напряжениями и деформациями устанавливается обобщенным законом Гука: составляющие тензора деформации суть линейные функции от составляющих тензора напряжения. В этом случае верны так называемые формулы Кастильяно:

В х

да дах

е = 1а.

ВУ = да,,

е, =

да да.

гч = да 'ху = дтху

гу = да

'уг = дту, ■ ^ = да

1,х дт,х

(100)

где а - потенциальная энергия деформации единицы объема:

= 1( )

а 2 (Схех + Суеу + С гег + тхуТху + тугТу, + тгх/Угх) .

(101)

Т.к. согласно обобщенному закону Гука деформации являются линейными однородными функциями от напряжений, то потенциальная энергия

а

от напряжений, т.е.:

а = ц(сц о\ + С22&1 + Сзз^2 + С44т|у + с^у, + Стт1х + х Су + 2С1зСхС, +

+ 2С14^х тху + +2С15^хту, + 2С1б^хт,х + 2С23^у С, + 2С24^утху + 2С25^у ту, + + 2С2бСу т,х + 2С34С, тху + 2С35С, туг + 2СзбС, т,х + 2С45тху ту г + 2С46тху тгх + + 2С56тугтгх) ,

(102)

где С11,..., С56 - постоянные коэффициенты для однородных упругих тел. В случае неоднородных упругих тел коэффициенты зависят от координат. Подставляя (102) в формулы Кастильяно (100), получим выражения,

связывающие деформации и напряжения, в общем случае:

/

£x = cnax + CyiGy + C!3az + C14 Txy + C15 TyZ + C160"zx, = Ci2^x + C22^y + C23^z + C24Txy + C25Tyz + C26^zx, ^z = Ci3^x + C'23<3y + C33G z + C34 Txy + C35 Tyz + C360"zx, Yxy = Cl4&x + C'24<3y + C33G z + C34 Txy + C45 Tyz + C460"zx, Yyz = Cl5^x + C25^y + C35^z + C45 Txy + C55Tyz + C560"zx, Yzx C16^x + C36^z + C46 Txy + C56 Tyz + C66^zx.

Таким образом, мы получили, что в общем случае упругие свойства однородного тела характеризуются 21 независимыми упругими постоянными

C1b C56-

В динн ной работе используется приближение линейно-упругого изотропного тела, т.е. линейно-упругого тела, обладающего одинаковыми упругими свойствами во всех направлениях. В этом случае очевидно, что

C11 = C22 = C33

объема изотропного тела является инвариантом тензора напряжения (или тензора деформации), т.к. она не должна изменяться при любом повороте координатных осей. При этом тензор напряжений имеет 3 независимых инварианта I1,/2,/3 первой, второй и третьей степени относительно напряжений соответственно. Т.к. потенциальная энергия деформации единицы объема является инвариантом и однородной функцией второй степени от напряжений, то эта функция выражается через инварианты /1 и /2:

а = A/f+B^ = A(ax+ay)2+B(^y+ay^z^-т^--r^x), (104)

где A, B = Const.

Таким образом, мы получили, что линейно-упругое изотропное тело характеризуется только двумя упругими постоянными A и B.

Подставляя полученное выражение для потенциальной энергии дефор-

(103)

мации единицы объема (104) в формулы Кастильяно (100), получим:

ех = 2Асх + (2 А + В )(ау + с, ), еу = 2Асу + (2А + В )(с, + Сх), е, = 2Ас, + (2А + В )(сх + Су),

^ху 2Втху 1

(105)

^у, - 2Вту,,

^,х 2Вт,х.

Введем технические упругие постоянные Е - модуль Юнга, д - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона, которые выражаются через А и В следующим образом:

2А = Е,

—2В = 1,

и'

2А+В =

(106)

2А

При этом справедливы ограничения:

Е> 0,д> 0, 0 <v < 1.

2

(107)

Заметим, что из (106) следует, что

Е = 2д(1 + V).

(108)

Таким образом, подставляя (106) в (105), мы получаем уравнения, связывающие деформации и напряжения:

Вх = Е (Сх — V (Су + С,)),

Ву = Е (Су — V (с, + Сх)),

е, = Е (с, — V (Сх + Су)),

^ху и т

ху

Ъг = и ^,

^', х /I'т, х. и

Выражая из (110) напряжения через деформации, получим итоговые уравнения, связывающие напряжения и деформации:

ах = 2

Е 2(1+^)

Е

аУ = 2 2(1+^) (^У

а* = 2

Е 2(1+^)

Е

1 -2v

V 1

1

V ,

(110)

7ху = 2(1+) ^ху ' Ъг = 2(1+V) Ъ* '

Л1Х = 2(1+)

А.З Уравнения, связывающие деформации и смещения

Приведем вывод уравнений, связывающих деформации ткани с ее смещениями (см., например [13]).

Будем рассматривать элементарный отрезок «в с началом в точке М и концом в точке М' и элементарный от резок «в*, в который переходит отрезок Будем обозначать через «х,«у,«х и «х*,«у*,«х* проекции па оси х, у и £ отрезков «в и «в* соответственно.

Пусть проекциями перемещения точки М являются величины и,у,,ш. Тогда проекциями перемещения точки М' являются величины:

и + йи = и + дх <х + ж, «у + «х,

ду

дг

V + «V = V + ддхх «х + дУУ «у + ж «х,

(111)

^ + «и = и + «х + «у + ш «х-

Для проекций отрезка «в* получим:

«х* = (х + «х + и + «и) - (х + и) = «х + «и = (1 + )«х + ду «у + дг «х,

«у * = (у + «у + V + «V) - (у + V) = «у + «V = дХХ «х + (1 + ду )«у + дТг «X,

«X* = (х + «X + и + «и)) - (х + и) = «X + «и = дхх«х + ^«у + (1 + дг)«х.

(112)

Считая, что перемещения малы вместе со своими производны-

ми, и пренебрегая квадратами и произведениями этих производных, для

квадрата отрезка ¿й* получим:

¿й*2 = ¿х*2 + ¿у*2 + ¿г*2 = (1 + 2 ^ + 2 ^Му + 2 + (1 + 2 ^ Ыу2+

дх ду дг ду

^д-и 7 7 дг 7 7 „д^ т 2 ^д^ 7 7 дэд 7 7

+ 2—ахау + 2—ауаг + (1 + 2—— )аг2 + 2—— ахаг + 2—— ауаг. дх дг дг дх ду

(ИЗ)

Учитывая, что ¿й2 = ¿х2 + ¿у2 + ¿г2, получим:

ди 7 7 ^дм 7 7 дг !—ахау + 2—ахаг + 2—< ду дг ду

т *2 7 2 ^дм 7 2 ^дм 7 7 ди 7 7 ^дг 7 2 дг 7 7 дг 7 7 ай — ай = 2—ах + 2—ахау + 2—ахаг + 2—ау + 2—ахау + 2—ауаг+ дх ду дг ду дх дг

д^ д^ д^ + 2 "д^аг2 + 2 д^ах^ + 2 "ду^у^г = т^х2 + ^уу ¿у2 + 7хх ¿г2 + 27^

(114)

где

7хх _ 2 ди дх '

7уу _ 2 д« = ду,

7хх _ 2 д^ дх '

1ху ди | = ду + д« дх

ъ* д« | = дх + дад ду

7хх ди> | = дх + ди дх

(115)

Таким образом, деформированное состояние тела в окрестности точки характеризуется величинами 7хх,...,7хх, которые являются составляющими тензора деформаций. При этом можно заметить, что 7ху = 7ух,7ух = 7ху, 7хх 7хх •

Рассмотрим физический смысл величин 7хх, ...,7хх. Для этого рассмотрим относительное удлинение отразка ¿й как

¿Й* - ¿Й

=

(116)

В приближении малых деформаций

¿Й*2 — ¿Й2 = (¿5* + ¿5)

¿Й* — ¿Й

(117)

Предположим, что отрезок ^параллелен оси х. В этом случае проекциями ^ являются величины ¿х, 0,0, а формула (117) принимает вид

2 & х ¿X — ^хх ¿X ,

(118)

откуда

— ^Ухх *

Аналогично можно получить, что

2&у Туу, Тгг *

(119)

(120)

Таким образом, величины 7хх,7уу, 7гг характеризуют удвоенные относительные удлинения отрезков, параллельных осямх, рг соответственно.

Рассмотрим теперь физический смысл величин 7ху ,7уг , 7хг. Рассмотрим величину 7уг. Для этого рассмотрим углы поворота отрезков ¿у и ¿г в плоскости у г. С точностью до малых второго порядка эт и углы равны ду и — считая положительным направлением вращения от оси у к оси г. Прямой угол между проекциями отрезков ¿у и ¿г уменьшается при деформации па величину 'ду + т.е. на 7уг. Это следует из равенств

сой(^у *,х) — ,

сой(^у *, у сой(^у *, г

*, х *, у

— 1,

ду ;

дм дг '

ду дг '

(121)

—1

откуда следует, что

п

— — (¿у* , ¿г*) — сой(^у * , х)сой(^г * , х) + сой(^у* , у)сой(^г * , у)+ + сой(ау , г)сой(аг , г) — — ——Ь —Ь — 7уг*

(122)

3у 3г 3г 3у

Таким образом, величина 7уг имеет смысл величины, на которую уменьшается при деформации прямой угол между проведенными из данной точки

бесконечно малыми отрезками, которые до деформации были параллельны осям у и г соответственно. Аналогичные рассуждения верны для величин 1ху, Величины 7ху,^ух,1хх называются сдвигами.

Подставляя в (115) полученные равентсва для относительных удлинений (ссылка), получим уравнения, связывающие относительные удлинения и сдвиги с производными перемещений

/

£х ди дх'

£у = ди

ду ,

£х = дт

дх '

1ху = _ ди ~ ду + ди дх

1уг = _ ди дх + дт ду

^хх = _ дт дх + ди дх

Приложение В

Уравнения плоского деформированного и плоского напряженного состояний

В.1 Уравнения плоского деформированного состояния

В данном разделе приведем вывод уравнений, связывающих напряжения и деформации, для плоского деформированного состояния тела ( [13]).

Как было отмечено ранее, в случае плоского деформированного состояния перемещения п,и вдоль осей х, у не зависят от г, а перемещение V вдоль оси г равно нулю:

п = п(х,у),и> = и(х,у)^ = 0. (124)

Компоненты тензора деформаций в этом случае имеют вид:

дп ди> дп ди>

дх ,6у ду, ^ху ду дх

ех = Л ™,еу = ^ .,^ху = о , + о ,ех = 1ух = 1хх = (125)

С учетом (124) и (125) напряжения тух,тхх равны нулю, а остальные напряжения связаны с деформациями следующим образом:

ех = ее(ах - V(ау + ах)),

еу = Е (ау - V (ах + ах)),

1 (126)

ех = Е(ах - V(ах + ау)), = 2(1+у)

1ху = е Тху.

ах

ах = V (ах + ау). (127)

Подставляя (127) в первые два уравнения (126), получим деформации,

х, у

ностью исключаем компоненты вдоль оси г:

= Е(С1 - V2)Ох - V(1 - V)ау), < еУ = Е((1 - - V(1 - V)ox),

= 2(1+у)

7ху = е ТхУ •

Выражая из системы (128) наприжения через деформации, получим итоговые уравнения плоского деформированного состояния:

Ох. =

Е

(1+и )(1-2^)

32-)((1 - V)бх + ^);

Е

^ ОУ = (1+^)(1-2^)

ТхУ = ТЕи ^х-У

32-)(^х + (1 - V)6у);

(129)

В.2 Уравнения плоского напряженного состояния

Приведем вывод уравнений, связывающих напряжения и деформации, для плоского напряженного состояния тела [13].

Плосокое напряженное состояние применяется в случаях, когда тело может быть рассмотрено в виде тонкой пластины с постоянной толщиной, а приложенные силы параллельны плоскости пластинки и равномерно распределены по ее толщине.

Будем рассматривать пластинку толщиной К с граничными условиями вида:

К

О = 0, ТуХ = 0, тхх = 0 при г = ±^• Рассмотрим третье уравнение равновесия, полагая К, = 0

дтх* дт

дх

+

до.

Уг + ^ = 0.

ду дг

(130)

(131)

Т.к. граничные условия (130) выполняются па всей поверхности г = |

и г = - 2, то выполняется соотношение

( дтхгл _

( дх ),=±* = ( ду ),=±*

л = 0.

(132)

Учитывая (132), из (131) получаем, что

(£ >*=± I =0.

Разложим напряжение а* в ряд Тейлора в окрестноети точки г = ±

/ ч / , Нч , Нч 1 .3 2аг, , Н 2 /„„^

^(г> = (±н> + (>*=±I(г Т н> + 2(>*=±|(г Т ^>2 + ••• (134)

Учитывая (130) и (133), получаем, что

1 д 2а

Н

а*(г> = 2(~д2? >*=± 1 (г >2 +

2

(135)

Из этого выражения следует, что при малой толщине пластинки по сравнению с прочими ее размерами можно считать, что во всех точках пластинки напряжение а* равно нулю - это ключевое предположение в модели плоского напряженного состояния.

Таким образом, третье уравнение равновесия (131) выполнено и остаются первые два уравнения:

= 0,

дах + дтух + дтгх дх ду д* ■

дтху + дау + дтгу = 0 дх ду д* '

(136)

В уравнении (141), как и в уравнении (131), предполагается, что объемные силы равны нулю, т.е. Кх = Ку = 0.

Умножим уравнения системы (141) на ^ и проинтегрируем по г в пределах от г = —12 до г = -2. В результате получим:

!тХ Лг + 2/ Лг + 2/ <1г = 0

Лг + Ц ^Лг + Ц ^Лг = 0.

1 Г дту

2 Л ду к.

2 к 2

дау

1 г дтк

2 Л д* к 2 К 2

дт,

(137)

Учитывая (130), получаем, что

1

дт*

Н дг

■ *=I

■Лг = [т*х] *=21 = 0.

*=- I

*= 2

Остальные члены (137) можно преобразовать следующим образом:

к к 1 I Чх<Ь = I(I / Ох^г)

даХ

дх

/ & ¿г = £ (1 / Оу ¿г)

к ' 2

к 2

З'У

ду ( Н

_к

2 к 2

к ' 2 к 2

= М

зу

дт*

(139)

1 Г ^Тж = _д_( 1 Г т ) =

НЗ ду ду(из 'Ухаг) ду '

к ' 2 к 2

Н ^тху= _д_( 1 2 т ) = Отк

Н .) дх = дх (Н Л /хУ) = дх :

где величины

О* = 1

Нх _к

2 к 2

ОУ = Н/ ОУ^

_к

2 к 2

= Н / ТхУ _к

2 к 2

(140)

'ху

Т" = -ух Н

являются средними по толщине пластинки значениями напряжений. Отметим, что т.к. тух = тху, то тух = тху. В этом случае уравнения равновесия плоского напряженного состояния окончательно принимают вид:

М + дтк = 0

дх ду '

дТ* да* ' ху I иоу = 0 дх + ду •

(141)

Как видно, полученные напряжения и уравнения равновесия зависят только от двух координат х и у и не зависят от г.

Уравнения, связывающие напряжения с деформациями в общем случае