Решение квантовомеханической задачи пяти тел для системы ƞ - 4N тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат наук Колесников Олег Валерьевич

• Колесников Олег Валерьевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Колесников Олег Валерьевич

Введение

1 Уравнения Альта-Грассбергера-Сандхаса для задачи пяти тел

1.1 Вывод уравнений АГС для системы пяти частиц

1.2 Сепарабельное разложение ядер интегральных уравнений

1.3 Заключение к главе

2 Решение задачи пяти тел для системы тождественных бозонов

2.1 Формализм АГС для системы пяти тождественных бозонов

2.2 Результаты и их обсуждение

2.3 Заключение к главе

3 Решение задачи пяти тел для системы п — 4N

3.1 Двухчастичные взаимодействия

3.2 Чувствительность низкоэнергетического пядерного

взаимодействия к свойствам амплитуды nN рассеяния

3.3 Результаты и их обсуждение

3.3.1 Сходимость сепарабельного разложения

3.3.2 Обсуждение результатов

3.3.3 Важность N-частпчного подхода к исследованию n-ядерных систем , ,

3.4 Сравнение с результатами других авторов

3.5 Заключение к главе

Заключение

Приложения

I, Формализм Альта-Грассбергера-Сандхаса

II, Сепарабельное разложение

III, Учет тождественности частиц

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение квантовомеханической задачи пяти тел для системы ƞ - 4N»

Введение

Взаимодействие мезонов с ядрами и возможное существование связанных мезон-ядерных состояний в последнее время стали одним из наиболее важных объектов теоретических и экспериментальных исследований, Мезонные атомы (мезоатомы), являющиеся примером во-дородоподобной системы с электроном, замененным на отрицательно заряженный п- или К-мезон, хорошо известны и на сегодняшний день достаточно детально изучены, В частности, имеется обширная информация о действительной и мнимой частях пион-ядерного и каон-ядерного потенциалов, которая была получена при подгонке модельных расчетов к существующим наборам данных о сдвигах уровней, ширинах и дифференциальных сечениях для довольно большого числа мезоатомов, включая наиболее ранние результаты для глубоко связанных пионных состояний. Очевидно, что основным взаимодействием, отвечающим за образование мезоатома, является кулоновекое притяжение между отрицательно заряженным мезоном и протонами ядра, тогда как сильное взаимодействие выступает здесь лишь в качестве поправки. Эксперименты, в которых задействованы мезонные атомы, нацелены на исследование сильного мезон-ядерного взаимодействия лишь вблизи поверхности ядра и, таким образом, дают информацию об этом взаимодействии только для относительно малых ядерных плотностей.

Основным объектом исследования данной работы являются связанные мезон-ядерные состояния, возникающие при взаимодействии ядер с нейтральными мезонами (то есть в отсутствие кулоновекого притяжения), где основную роль играет сильное взаимодействие между мезоном и ядерными нуклонами. При экспериментальном поиске этих объектов использовались процессы, в которых в качестве налетающих на ядро частиц применялись фотоны, пионы, протоны, легкие и даже тяжелые ионы. Эксперименты проводились в широком диапазоне энергий от пороговых значений до ультрарелятивистских столкновений в процессах с тяжелыми ионами.

Представленные в настоящей работе исследования относятся главным образом к диапазону энергий, близких к порогу рождения мезона. Именно эта область в наибольшей степени связана с возможным образованием мезон-ядерных связанных состояний, поскольку ядро, очевидно, может захватывать лишь медленные мезоны даже в случае достаточно сильного

притяжения. Полученные результаты относятся к мезонам, имеющим время жизни, достаточное для образования квазисвязанного мезон-ядерного состояния. Это, в первую очередь, псевдоскалярные мезоны K + K0, K — ц, П■> а также векторные мезоны ш и ф, В то же время, развитые нами методы не применимы, например, к взаимодействию р-мезонов с ядрами ввиду исключительно малого времени жизни р-мезона.

Можно указать несколько причин, которыми обусловлен интерес к мезон-ядерному взаимодействию, Во-первых, оно является удобным полигоном для проверки теории сильного взаимодействия - квантовой хромодинамики (КХД) - в непертурбативном режиме. Исследования в этой области были мотивированы, в частности, теоретическими предсказаниями, указывающими на то, что свойства мезонов могут существенно изменяться в ядрах из-за частичного восстановления киральной симметрии, В рамках КХД мезоны рассматриваются как возбуждения вакуума КХД, имеющего сложную структуру, характеризующуюся ненулевым киральным, глюонным и кварковым конденсатами (то есть вакуумными средними типа (Тр<р)). Предполагается, что значения этих конденсатов могут претерпевать значительные изменения при переходе от вакуума к адронной среде, что, как следствие, должно приводить к изменению массового спектра мезонов. Эта идея стала генератором множества теоретических и экспериментальных исследований, результаты которых можно найти в недавно опубликованных обзорах [1, 2],

Важно отметить, что псевдоскалярные мезоны являются наиболее подходящим инструментом для изучения эффектов восстановления киральной симметрии в ядрах. Спонтанное нарушение этой симметрии порождает псевдоскалярный нонет (п, К, К, rj, r¡') безмассовых бозонов Намбу-Голдстоуна, Кроме того, нарушенная U(1)А-симметрия избирательно сдвигает массу синглета по приводя в итоге к образованию безмассового SU(3) октета пионов, каонов и П8-мезона. В связи с тем, что нарушение симметрии довольно сильно влияет на массы мезонов, можно ожидать, что частичное восстановление симметрии в сильно взаимодействующей среде будет приводить к значительному изменению этих масс по сравнению с их вакуумными значениями. Следствия этих эффектов могут выходить за рамки адронной и ядерной физики, В частности, уменьшение массы мезона K- в ядерной среде может указывать на возникновение конденсации K- в плотной ядерной материи, например, внутри нейтронных звезд, как было показано, например, в работах [3, 4],

В качестве конкретного псевдоскалярного мезона в диссертационной работе рассматривается мезон п(547), который в рамках КХД представлен емее ью состояний щи щ:

\if¡ = cos в ¡щ) - sin в\щ). (1)

Угол смешивания 9 = —11, 5° достаточно мал, что говорит о преимущественной доле компоненты П8 в комбинации (1),

Очевидно, что особенности мезон-ядерного взаимодействия обусловлены свойствами элементарного, то есть мезон-нуклонного, взаимодействия. Поэтому, для понимания этих особенностей требуется детальное изучение мезон-нуклонной динамики, В этой связи интересно отметить, что, несмотря на то, что изовекторный мезон п(139) и изоскалярный мезон п(547) являются членами одного и того же мультиплета (нонета) нестранных псевдоскалярных мезонов, их взаимодействие с нуклоном оказывается принципиально различным.

Действительно, ^-волновое пМ взаимодействие в области малых энергий характеризуется очень низкой интенсивностью. По этой причине, начиная с энергии в несколько МэВ выше порога в пМ рассеянии доминирует рволна, связанная с возбуждением р-волнового резонанса А(1232)|+,

В противоположность п-мезону, свойства низкоэнергетического пМ взаимодействия практически полностью определяются наличием в гцЫ амплитуде ^-волнового резонанса ]У(1535)| имеющего довольно большую моду распада в канал пМ (около 50 %), Резонансный характер пМ взаимодействия приводит к тому, что, в отличие от взаимодействия в системе пМ, оно является довольно интенсивным и, что наиболее важно, в околопороговой области имеет характер притяжения. Последнее связано с тем, что масса Мк « 1535 МэВ резонанса ]У(1535)^ оказывается лишь па 45 МэВ выше значения пороговой энергии Ш ~ 1480 МэВ рассеяния в системе центра масс пМ (то есть суммы масс п-мезона и нуклона). По этой причине амплитуда пМ рассеяния (Ш) имеет положительную вещественную часть в области энергий Ш < 1535 МэВ, что и определяет притягивающий характер пМ взаимодействия. Эти простые качественные рассуждения находят подтверждение в рамках различных парциально-волновых анализов, учитывающих, в том числе, связь канала пМ с другими адронными каналами, такими как пМ, ппМ и др.

На основе результатов, определивших основные динамические свойства системы пМ -преимущественно ^-волновой характер и сравнительно сильное притяжение - появилась ги-

пп

выдвинута идея о том, что хотя интенсивность пМ взаимодействия, по-видимому, недостаточна для образования связанного пМ состояния, увеличение числа нуклонов может привести к тому, что сложение отдельных пМ «притяжений» может связать п мезон с системой нескольких нуклонов, то есть, с ядром,

В наиболее ранних работах, посвященных анализу пМ взаимодействия (см., например, [6]), была получена длина пМ рассеяния, характеризующаяся относительно небольшой веще-

ственной частью,

aVN = (0, 27 + i 0, 22) Фм.

(2)

Используя найденное значение (2) в рамках оптического подхода к ^-ядерному потенциалу, Хайдер и Лиу [7] показали, что n-мезон может образовывать связанные состояния с ядрами с массовым числом A > 12, Аналогичные результаты были получены другими авторами в более поздних работах [8, 9, 10],

В течение следующих 40 лет было предпринято довольно много попыток экспериментального обнаружения n-ядер, Первый экспериментальный поиск этих объектов в лабораториях BNL и LAMPF [11] с использованием техники missing mass в реакциях (п+,р) дал отрицательный результат, В качестве одного из объяснений этого факта была выдвинута и теоретически обоснована идея о том, что n-ядра должны иметь довольно большую ширину. Как следствие, это должно приводить к значительному уширению ожидаемых пиков в экспериментальном спектре, что, в свою очередь, существенно затрудняет их обнаружение стандартным missing mass методом.

По-видимому, единственным экспериментом, результаты которого сегодня интерпретируются как свидетельство образования n-ядра с большим числом нуклонов, можно считать исследования, проведенные коллаборацией COSY-GEM [12] по измерению сечения реакции

Важной особенностью этого эксперимента является специальный выбор кинематических условий, при которых импульс образующегося п-мезона оказывается близким к нулю, что увеличивает вероятность его «застревания» в ядре. Наблюдаемый спектр представлен на рисунке 1 в виде функции полной энергии системы п 25М§ за вычетом масс частиц. Максимум, наблюдаемый при энергии Е = —13 МэВ, был интерпретирован как сигнал образования п-ядра

Необходимо отметить, что значение вещественной части длины рассеяния Яе = 0, 27 Фм (см, (2)), которое использовалось в работе Хайдера и Лиу [7], является довольно малым. Оно заметно меньше среднего значения Яе апм ~ 0, 5 Фм, которое может быть получено па основе результатов современных анализов пN взаимодействия (см., например, Таблицу 1), По этой

п

п

ядрами, начиная с углерода 12С, Вместе с тем, как видно из Таблицы 1, имеющиеся сегодня модели nN взаимодействия, в том числе кварковые модели, дают довольно большой разброс значений 'Я.е апм вплоть до 'Я.е апм = 1 Фм, Простые оценки в рамках оптического подхода

p + 27А1 ^ 3Не + p + п- + X.

(3)

> 0

(Л

¡В

■о

а

■О

15

см

-40 -20

BE (MeV)

Рисунок 1, Missing-mass спектр реакции p + 27А1 — 3Не+ p+п- + X, Сплошная и пунктирная кривые - результаты модельных расчетов. Взято из работы [13],

показывают, что для значений выше 0,75 Фм связанные состояния могут образовываться уже с такими легкими ядрами, как 3Не [16], В связи с этим, основное внимание исследователей переключилось на поиск легких ^-ядер, то есть связанных состояний ^-мезона с малонуклон-ными системами (как правило, A < 4),

В области эксперимента следует упомянуть два основных подхода к исследованию ц-ядерного взаимодействия, В первом случае [29, 30, 31, 32] в реакции регистрируются на совпадение пион-нуклонные пары, в которых угол между направлениями импульсов пиона и нуклона составляет 180° в общей системе центра масс. Идея эксперимента заключается в том, что значительная часть распадов ^-ядер происходит за счет ^N — nN перехода. Поэтому реакция образования пиона идет по схеме

b + A — A — п + N + (A - 1), (4)

где b - бомбардирующая частица, через nA обозначено связанное состояние ^-мезона и ядра A (n-ядро), и A — 1 есть конечное ядро с числом нуклонов A — 1, Если пренебречь эффектом

п

(протон) отдачи должны после распада П"ЯДР& двигаться в противоположные стороны в системе покоя конечного ядра (так называемая back-to-back кинематика). По этой причине превышение back-to-back событий над фоном в области энергий, близкой к порогу образования ^-мезонов, как правило, используется в качестве основного критерия при поиске рядер

Таблица 1, Значения длины п^ рассеяния полученные в рамках резонансных моделей (РМ), Т- или К-матричных подходов, а также методом киральных эффективных лагранжианов (хЕЬ), В ссылках указан только первый автор вместе с годом публикации, В последней колонке приведены каналы, включенные в анализы. Данные взяты из работы [5],

avN (Фм) Ссылка Год Модель Каналы

0,27 + И).22 Bhalerao [6] 1985 РМ tiN^ttN, r/N, 7гД

0,25 +Ю,16 Bennhold [14] 1991 РМ TiN^nN, r]N,

тгтгN] jN^-qN

0,98 + Ю,37 Arima [15] 1992 Т TiN^nN, r]N

0,55 +Ю,30 Wilkin [16] 1993

0,51 +10,21 Sauermann [17] 1995 К TiN^nN, r]N

0,68 + Ю,24 Kaiser [18] 1995 XEL TiN^nN, r]N,

KA,KE

0,888+10,279 Batinic [19] 1995 Т TiN^nN, r]N

0,476 +10,279 Fäldt [20] 1995 РМ

0,621+Ю,306 Abaev [21] 1996 т

KN^r]A

0,51 И).21 Deutsch-Sauermann [22] 1997 к TiN^nN, r]N

-fN^iiN, r]N

0,20 + Ю,26 Kaiser [23] 1997 XEL TiN^nN, r]N,

в экспериментах этого типа. Эффект образования п-ядра в этом случае проявляется в виде пика в спектре образующегося п-мезона, При этом положение и ширина пика определяют

п

п

мегаэлектронвольт), так что соответствующие пионные пики должны располагаться в непо-

п

от эффектов простого увеличения выхода реакции, возникающего вследствие притяжения

п

Таблица 2, Продолжение таблицы 1,

а^м (Фм) Ссылка Год Модель Каналы

0,87 + Ю,27 Сгееп [24] 1997 К

1.05 10.27 Сгееп [25] 1999 К

0,32 + 10.25 Саго Еатоп [26] 2000 ХЕЬ

0.772 10.217 .\ieveh [27] 2001 ХЕЬ тгЖ ->• тгЖ, -цЫ, К А, КИ

0.51 10,19 Кпрра [28] 2001 ХЕЬ 7ГN ->• 7ГМ,Г]М

показали, что для однозначной регистрации сигнала образования п-ядра необходима как довольно малая статистическая погрешность, так и большая точность определения энергии вылетающих п-мезонов,

В экспериментах другого типа [35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44] регистрируются события, в которых образованный в реакции п-мезон и конечное ядро движутся с малыми относительными импульсами, В этом случае притягивающий характер взаимодействия в системе п

видным, если учесть, что притяжение между продуктами реакции стремится удержать их в той области, в которой действует «основное» взаимодействие, приводящее к образованию этих частиц. Так как сечение пропорционально вероятности нахождения этих продуктов в области взаимодействия (в независящей от времени теории рассеяния), то очевидно, что притяжение будет приводить к увеличению выхода частиц,

п

является указанием на сильное притяжение между образующимся мезоном и ядром. Дальнейший анализ предполагает экстраполяцию экспериментальных результатов в область ниже

п

отвечающий связанному состоянию.

Одним из процессов, наиболее интенсивно используемых в этой группе экспериментов, п

^ + р ^ п + 3Не . (5)

Экспериментальные данные для полного сечения этой реакции, представленные в работах [34, 37, 38, 39, 40], отчетливо демонстрируют наличие полюса в ее амплитуде. Для исследования системы п 4Не в основном используется процесс

& + & ^ п + 4Не , (6)

сечение которого, измеренное в работах [41, 42, 43], приблизительно в 50 раз меньше сечения реакции (5), В этом случае экспериментальные данные также демонстрируют довольно

сильный рост с приближением энергии к пороговому значению, однако степень этого роста

3

п4

34

п

Если з-волновое состояние п3Не является «почти» связанным или даже слабо связанным, как

п4

связанной. При этом естественно ожидать, что соответствующий полюс в амплитуде будет расположен на физическом листе дальше от порогового значения энергии, чем в случае с

п3

полюс к физической области, в реакции (6) оказывается меньше.

Эта на первый взгляд согласованная картина не учитывает важный факт, который, как

п

Речь идет о сильной зависимости амплитуды пN рассеяния от энергии в области ниже упругого nN порога, вследствие которой притяжение в системе п 4Не оказывается слабее, чем в

п3 п4

Сегодня накоплена достаточно обширная экспериментальная информация, относящаяся

п

с ядрами 3Не и 4Не, Во всех случаях измеренные сечения демонстрируют заметный рост в области малых кинетических энергий. Основным недостатком такого подхода является невозможность разделения истинных и виртуальных связанных состояний. Как известно из квантовой теории столкновений, полюс матрицы рассеяния, находящийся вблизи пороговой энергии, и соответствующий связанному состоянию в системе, приводит к такому росту сечения, что и виртуальный полюс, расположенный на том же удалении от нулевой энергии. Другими словами, имеющиеся экспериментальные результаты, демонстрирующие аномаль-

п

п

п

п

рах. Первые измерения сечения 73Не ^ п0рХ [40] продемонстрировали отчетливое превышение вылета ЬаскЛо-Ьаск пар п0р в области нескольких МэВ ниже п 3Не порога, что могло бы быть сигналом рождения п-ядра ^Не с его последующим распадом в капал п0р(рп). Однако, более поздние исследования показали, что аналогичные флуктуации наблюдаются и при других значениях энергии, что в итоге было отнесено к особенностям измеряемого спектра. Таким образом, первоначальный результат объясняется простым совпадением, при котором

п

Метод ЪаскЛо-Ъаск был также использован в экспериментах с дейтрон-дейтронным столк-

п

&& ^ 4Не ^ п-р 3Не. (7)

Как и в предыдущих экспериментах, в данном случае отчетливый сигнал не был зафиксирован, на основании чего была определена лишь верхняя граница сечения образования ядра ^Не (около 20 нб, в зависимости от ширины связанного состояния).

Таким образом, несмотря на многочисленные попытки, предпринятые различными на-

п

дал однозначного ответа на вопрос о возможности их существования. Основным результатом подавляющего большинства исследований является отсутствие полезного сигнала, что в некоторых случаях позволило лишь установить верхнюю границу соответствующего сечения, Общий качественный вывод, который может быть сделан на основе экспериментов по п

этими объектами, а также многочисленные указания различных моделей на возможность их образования в той или иной области энергий, имеющиеся сегодня прецизионные экспериментальные данные не подтверждают гипотезу их существования.

Что касается теории, на сегодняшний день построено довольно большое число моделей, в

п

низких энергий, в пределах 10-20 мегаэлектронвольт выше порога. Существенная часть этих моделей [16, 45, 46, 47] использует концепцию оптического потенциала, основанную на применении так называемого локального и импульсного приближений к описанию взаимодействия налетающей частицы (мезона) с системой рассеивателей (нуклонов), В таком подходе мезон-ядерное взаимодействие описывается в терминах взаимодействия мезона с ядерной материей,

выступающей в качестве преломляющей среды для мезонной волны. Следует отметить, что теория оптического потенциала хорошо зарекомендовала себя в качестве удобной феноменологической модели в пион-ядерной физике, где имеется простая аналогия между рассеянием пиона на системе нуклонов и дипольным рассеянием света в среде. Физическим обоснованием введения простейшего оптического потенциала в этом случае является прямая связь между амплитудами пион-нуклонного и пион-ядерного рассеяний. Эта связь, в свою очередь, обусловлена сравнительно большим межнуклонным расстоянием в ядрах, значительно превышающим характерный радиус взаимодействия между пионом и нуклоном.

Напротив, резонансный характер nN взаимодействия приводит к тому, что, как импульсное, так и локальное приближение становятся, вообще говоря, неприменимыми в случае П-мезонов, Действительно, вследствие того, что резонансное взаимодействие связано с временной задержкой (то есть, промежуток времени, в течение которого осуществляется акт взаимодействия, не является пренебрежимо малым, как в случае с пионом, а определяется временем жизни резонанса), амплитуда nN рассеяния может претерпевать значительные изменения в ядерном многотельном окружении. Например, взяв для ширины резонанса iV(1535)| значение Г = 75 МеУ, получим для временной задержки (времени столкновения) величину At = 2h/T & 2 • 10-23 сек. Это существенно больше времени At = h/mn ~ 5 • 10-24 сек, в течение которого нуклоны в ядре обмениваются переносчиком взаимодействия, то есть виртуальным пионом. По этой причине применимость упомянутой выше простейшей опти-n

требуютея более рафинированные модели, учитывающие влияние ядерного окружения на взаимодействие мезона с отдельным нуклоном,

n

допилась в рамках так называемого приближения конечного ранга (finite-rank approximation), В рамках этого приближения происходит отбрасывание вклада виртуальных возбуждений

n

лонами ядра. Наряду с оптической моделью такой подход позволяет существенно упростить исходную многотельную задачу и фактически сводит ее к задаче двух тел, В то же время, очевидно, что исключение из спектра ядерной подсистемы возбужденных состояний с неизбежностью приводит к нарушению унитарности. При этом сама модель, вообще говоря, не позволяет оценить эффект, связанный с этим нарушением.

Несостоятельность отмеченных выше основных приближений, используемых для исследо-n

ной появления методов, основанных на точном решении малочастичных задач мезон-ядерной

физики. Один из таких методов используется в настоящей диссертации для решения задачи

п

Принципиальная трудность решения уравнения Липпмана-Швингера для нескольких частиц заключается в том, что ядро уравнения не имеет конечной нормы Шмидта, Например, в системе трех частиц возможны события, в которых две частицы взаимодействуют, в то время как третья остается свободной. Свободной частице в уравнении соответствует ^-функция 6(р — р'), отвечающая сохранению ее импульса, Появление ^-функции в ядре уравнения приводит к нарушению основного условия однозначности решения - конечности нормы Шмидта ядра. Избавиться от нежелательных ^-функций, то есть, устранить неоднозначность позволяет перестройка уравнений, впервые примененная Фаддеевым в работе [50] и развитая затем для случая произвольного числа частиц в статьях Якубовского [51] и Альта-Грассбергера-Сапдхаса [52],1

Принципиально другое направление в квантовомеханичеекой теории взаимодействия нескольких частиц связано с вариационной формулировкой проблемы, В этом случае, как правило, используют вариационный принцип Релея-Ритца, где в качестве функционала берется энергия

т-^. т

Ключевую роль в вариационном подходе играет лемма, согласно которой значение функционала энергии па любой пробной функции |Ф) всегда больше энергии основного состояния системы и равно ей в случае, когда |Ф) совпадает с точной функцией основного состояния. Таким образом, исходная задача сводится к вариационной задаче вида

5Е [Ф] = 0. (9)

Как правило, пробные функции |Ф) выбираются в параметрическом виде, В этом случае задача решается путем нахождения набора параметров, обеспечивающих минимум функционала (8).

Различные вариационные модели, используемые в ядерной и мезон-ядерной физике, можно разделить на две основных группы в зависимости от критерия, который применяется при выборе пробных функций, К первой группе можно отнести модели, в которых |Ф) берутся в виде разложения по полному набору квадратично интегрируемых функций | фп)

N

|Ф) = Е Сп|фп) . (10)

п=1

1 Существует также ряд других методов непосредственного решения Ж-частичных задач, однако лишь в указанных двух работах доказана эквивалентность выведенных уравнений соответствующему уравнению Шредингера.

В этом случае процедура минимизации функционала эквивалентна решению задачи на собственные значения

(Я - ЕБ)с = 0 , (11)

где матрицы Я и Б определены как

Ятп = {Фт\Н\Фи) , Бтп = {Фт\Фи} ■ (12)

Элементами ]У-компонентного вектора с являются искомые параметры сп, п = При

увеличении размерности базиса N результаты расчетов приближаются к точному значению энергии сверху. Преимущество моделей первой группы заключается, в первую очередь, в том, что основанные на них расчеты являются более контролируемыми. Требуемая точность может быть достигнута простым увеличением N.

Вторая группа включает модели, в которых при выборе затравочных функций руководствуются физическими соображениями. Например, при расчетах энергии основного состояния для некоторых ядер, имеющих хорошо выраженную кластерную структуру, используется кластерные функции (метод резонирующих групп), В некоторых случаях за основу берется хорошо определенная форма потенциала (вариационный метод Монте-Карло),

Вариационные методы позволяют также найти и саму волновую функцию основного состояния, Необходимо, однако, иметь в виду, что разница между точным решением \Ф0} и решением \Ф0}, полученным вариационном методом, является малой величиной более низкого порядка, чем соответствующая разность энергий,

В качестве общего недостатка вариационных методов можно отметить то, что все они нацелены в первую очередь на нахождение энергии основного состояния системы (в некоторых случаях также первых возбужденных уровней) и неудобны при решении задач рассеяния, где главным объектом является амплитуда перехода из одного состояния системы в другое. Необходимость создания модели для описания взаимодействия п-мезона с ядром 4Не, свободной от перечисленных выше недостатков, присущих оптическим и вариационным моделям, определяет актуальность темы диссертации. Несмотря на эффективность упомянутого выше метода Альта-Грассбергера-Сандхаса (АГС), до сих пор он применялся лишь для систем с числом частиц N < 4, Целью настоящей работы является применение процедуры сепарабельного разложения и вывод соответствующих уравнений для случая пяти тел. Основными задачами диссертации являлись следующие:

• Вывод уравнений для системы пяти частиц с использованием формализма АГС;

• Решение задачи пяти тел для взаимодействия псевдоскалярного мезона с системой четырех нуклонов;

• Исследование динамических особенностей взаимодействия п-мезонов с ядрами 3Не и 4

Материал диссертации изложен в трех главах,

В главе 1 дается краткий вывод уравнений АГС для системы пяти тел, В отличие от уравнений, возникающих в вариационной формулировке задачи, уравнения АГС получены непосредственно для операторов перехода, что делает их наиболее удобными для анализа именно процессов рассеяния. По аналогии с трехчаетичной задачей вводятся разбиения системы пяти частиц и соответствующие этим разбиениям канальные гамильтонианы. Использование сепарабельпого разложения для ядер интегральных уравнений позволяет свести исходную задачу пяти тел к эффективной четырехчаетичной задаче, которая в свою очередь последовательно сводится к трех- и затем к двухчастичной задаче. Получающиеся таким образом динамические уравнения оказываются сходными по форме с уравнениями Липпмана-Швингера для системы связанных каналов, где каждый канал соответствует возможному разбиению исходной системы на две подсистемы типа (1 + 4) и (2 + 3), В итоге трехкратное использование итерационной процедуры дает необходимые уравнения. Возникающие в этих уравнениях эффективные потенциалы описывают взаимодействие между кластерами, входящими в отдельные подсистемы, как обмен частицами или группами частиц,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колесников Олег Валерьевич, 2022 год

-О - -

.О- - '

_|_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_|_

1350

1400

1450

[МэВ]

Рисунок 3,8, Амплитуда п^ рассеяния вне массовой поверхности, рассчитанная с параметрами из набора II в таблице 3,1, Обозначения: сплошная кривая: действительная часть, пунктирная кривая: мнимая часть. Данные представляют результаты К-матричного анализа из работы [24],

Для длин п-ядерного рассеяния были получены следующие результаты:

апа = 2,16 + г 1, 25 Фм, апзНе = 3, 73 + г 2, 89 Фм, (3.18)

ап4Не = 3, 37 + г 1, 46 Фм.

Как видим, вещественные части всех длин рассеяния положительны ('Я,вапА > 0), так что ни в одном из случаев не происходит образование связанного состояния. Если взять модуль

|япа| в качестве количественной характеристики степени притяжения в системе, то наиболее сильное взаимодействие достигается в случае п3Не, В дейтроне оно слабее, очевидно, из-за меньшего числа нуклонов. Несколько неожиданным является тот факт, что взаимодействие между п-мезоном и ядром 4 Не также характеризуется более слабым притяжением по сравнению с п3Не, Как уже отмечалось в конце раздела 3,2, основной причиной этого является быстрое уменьшение амплитуды рассеяния пN в области ниже однонуклонного порога, то есть в области Ш < 1480 МэВ, Действительно, поскольку энергия ограничена условием

Епм < — Ед, для 3Не значение в среднем больше, и эффективное притяжение пN

4

Л<НС [МэВ]

п 4 4

сплошные кривые: действительная часть, пунктирные кривые: мнимая часть. Пары кривых с номерами 1 и 2 получены с наборами пN параметров, обозначенными в таблице 3,1 как наборы I и II, соответственно.

Как можно заключить из приведенного выше обсуждения, если бы удельная энергия связи 4Не была близка к удельной энергии 3Не, притяжение в системе п 4 Не было бы сильнее, чем в п 3Не. В связи с этим интересно проследить за изменением длины рассеяния ап4Не при изменении энергии связи ядра 4Не, С этой целью мы искусственно ослабили потенциал NN (3,1), умножив его на вещественную постоянную а Е (0,1] и вычислили длину рассеяния ап4Не для нескольких выбранных значений а. Полученная таким образом зависимость ап4Не

4тт

от ЕьНе показана на рис, 3,9 кривыми с номером 2, Как видим, когда энергия связи на нуклон для ядра 4Не близка к соответствующему значению для 3Не, то ееть Е'^Не/4 « 3 МэВ, длина рассеяния п4Не заметно превышает длину рассеяния п3Не, что указывает на то, что притя-

п4

34

появляетея дополнительный центр притяжения (четвертый нуклон). Набор параметров I (см, таблицу 3,1) дает апм = 0, 93 + г0, 25 Фм, что изображено на том же рисунке кривыми с номером 1, В этом случае система п4Не оказывается связанной ('еап4Не < 0), Здесь действительная часть ап4Не мала, тогда как мнимая часть достигает максимума (кривые 1 на рис, 3,9), Если а последовательно увеличивается, то связанное состояние п4Не превращается в виртуальное состояние. При этой энергии полюс на физическом листе римановой поверхности пересекает унитарный двухчастичный разрез [Е4Не, то) и переходит па нефизический

а

что приводит к уменьшению значения ап 4Не,

3.3.3 Важность ^-частичного подхода к исследованию п_яДеРных систем

В заключении главы мы хотели бы остановиться на обсуждении важного вопроса о том, п

зования п-мезонов и почему модели, в которых точно учитываются ^-частичные аспекты п

имодейетвия,

п

ядро, которые генерируются относительно сильным притяжением между частицами. Мы связываем виртуальное состояние с полюсом, лежащим на нефизическом листе в области отрицательных энергий. Полюс находится вблизи физической области и, следовательно, сильно влияет на процесс рассеяния частиц,

В качестве простого и хорошо известного примера можно привести рассмотренную выше аналитическую структуру амплитуды нуклон-нуклонного рассеяния в з-волне для двух различных спиновых состояний 351 и 1Б0, показанную па рис, 3,1, Амплитуда рассеяния как функция энергии определена над двумя римановыми листами, которые связаны через унитарный разрез, начинающийся с нулевой энергии. Физическая область находится на верхнем берегу этого разреза.

Полюс в триплетном состоянии 3Б1 лежит на физическом листе на вещественной оси энергии при Е = -2, 23 МэВ, В синглетной конфигурации 1$0 потенциал слабее, и полюс, пересекая унитарный разрез, перемещается па пефизический лист, генерируя так называемое виртуальное состояние. Виртуальный полюс расположен очень близко к нулевой энергии примерно при -70 КэВ, Эта близость к физической области определяет основные свойства пизкоэпергетического пуклоп-пуклошюго взаимодействия, В частности, это приводит к резкому увеличению сечения пейтроп-протошюго рассеяния с приближением энергии к пуню (см, левый график па рис, 3,1), Триплетпое состояние, полюс которого находится дальше от разреза, оказывает менее существенное влияние па поведение сечения.

Рисунок 3,10, Структура римаповой поверхности дня амплитуды рассеяния в трехчастичпой системе как функции полной кинетической энергии Е, равной полной энергии систе-

мы за вычетом масс частиц. Показаны результаты для конфигураций Т(Зп) = 0(1-) (левый рисунок) и Т(Зп) = 1(0-). Красные линии - траектории движения полюса при изменении значения константы связи д^мм*- Через И* обозначен резонанс ]У(1535)^ , В нижней части рисунка приведены полюсные значения энергии, соответствующие истинному (согласующемуся с имеющимися моделями) значению дпмм*■

Включение п-мезона удобнее всего рассмотреть на примере системы пММ, риманова поверхность дня которой изображена па рис, 3,10, Для систем с большим числом нуклонов структура римаповой поверхности значительно сложное, по качественно ситуация остает-

ея той же. Вблизи пороговой области имеется два разреза, первый начинается с порога пd, а второй, трехчаетичный разрез, - от неупругого порога пММ Таким образом, риманова поверхность состоит из четырех основных листов. На рис, 3,10 показаны только три из них, которые являются ближайшими к физической области и имеют непосредственное отношение к нашей задаче,

В триплетной конфигурации 7п = 1" имеется связанное состояние в ММ-подеиетеме (дейтрон), и поэтому физическая область непосредственно связана с нефизическим двухчастичным листом, В синглетном состоянии, когда в двухчастичных подсистемах отсутствуют связанные состояния, физическая область непосредственно примыкает к трехчаетичному листу.

Непосредственные расчеты показывают, что система пММ является не связанной. Понять ее динамические особенности легко, если рассмотреть полюсную структуру соответствующей трехчаетичной амплитуды в зависимости от параметра дпм (выражение (3,5) с а = пМ, определяющего интенсивность притяжения в системе пМ Искусственное увеличение значения приводит к тому, что в системе пММ появляется связанное состояние с полюсом на физическом листе. Последующее уменьшение дпм до физически разумного значения приводит к тому, что полюс движется вдоль вещественной оси, пересекает унитарный разрез и переходит на нефизический лист, генерируя таким образом виртуальный уровень в системе. Существование виртуального состояния пММ вблизи физической области определяет динамический особенности системы пММ и в общем случае п-ядерной системы с большим числом нуклонов.

Первым следствием близости полюса является существенное увеличение выхода медлен-п

п

модели, где это взаимодействие сводится к простой сумме однократных взаимодействий мезона с отдельными нуклонами ядра, оказывается несостоятельной. Причина заключается в том, что вблизи полюса ряд многократного рассеяния сходится медленно, и поэтому сумма нескольких первых членов, которые удерживаются в пертурбативном подходе, сильно отличается от суммы всего ряда. Другими словами, для сохранения точности требуется вычисление большого числа членов разложения, и поэтому более подходящей моделью является теория трех тел, в которой эта сумма вычисляется точно.

3.4 Сравнение с результатами других авторов

Ниже приводится сравнение (главным образом качественное) наших результатов с результатами, полученными в других работах на основе двух принципиально различных моделей -модели оптического потенциала и модели, в которой используется вариационная процедура (стохастическая вариационная модель), Основное внимание уделено обсуждению возможных причин, ведущих к значительным различиям результатов. Для лучшего понимания этих причин дается короткое описание основных концепций обеих моделей.

Метод оптического потенциала. Для анализах мезон-ядерных взаимодействий в

области низких и средних энергий, как правило, используется оптическая модель с потенциалом в форме Кпсслинджера-Эрпксонов [78, 79]:

2шИ(ш, г) =

Здесь параметры Ь и с линейно зависят от ядерной плотности и связаны с фазами соответственно з- и ^волнового рассеяния мезонов на нуклонах. Параметры В и С, квадратично зависящие от плотности, характеризуют вклад механизмов двухчастичного поглощения в мезон-ядерное рассеяние. Как известно, характерной особенностью пМ взаимодействия является, с одной стороны, его относительная слабость в з-волне, а с другой стороны сильное р-волновое притяжение, обусловленное сильной связью 7гМ канала с резонансом А(1232)|+, Помимо этого, важную роль в пион-ядерном взаимодействии играет двухнуклонное поглощение пММ ^ ММ, что соответствует большим значениям параметров В и С в выражении (3,19), Эти особенности пион-ядерного взаимодействия приводят к тому, что соответствующий потенциал (3,19) является существенно нелокальным (|Ь/с| ^ 1) и нелинейно зависящим от ядерной плотности,

п

етея его преимущественно в-волповой характер, уже отмеченный в разделе 3,1, Поэтому в п

оказывается доминирующим (|Ь/с| ^ 1), Что касается механизма двухнуклонного поглоще-п

п

4п{[Ь(ш,г) + В(ш, г)] - А ■

с(ш, г) + С(ш, г)

1 + 4пд'[с(ш, г) + С(ш, г)]

1

(3.19)

п

осуществляются по схеме пМ — пМ

п

кальным и линейно зависящим от ядерной плотности:

(и, г) = -4пЬ0(и)р(г). (3.20)

В импульсном приближении параметр Ь0(и) можно связать с э-волновой амплитудой пМ рассеяния /пМ (ЖпМ) в виде

= (3.21)

Исходя из изложенного выше материала, касающегося основных принципов оптического подхода, можно ожидать, что предсказания оптической модели будут в значительной мере отличаться от полученных нами результатов точного решения задачи о взаимодействии п

дартном» виде не учитывает сильную зависимость однонуклонной амплитуды /пМ от энергии. Как правило, для расчетов связанных состояний в формуле (3.21) используется приближение

/пм(Ж) « /пм(0) = апм , (3.22)

где апМ - длин а пМ рассеяния. Такое приближение во всех случаях приводит к сильной пе-

п

раеееяния ее значением при нулевой энергии приводит к формированию связанного состоя-

п3

раеееяния 'Я.е апМ ~ 1 Фм даже для п^, что полностью противоречит имеющимся экспериментальным данным.

В работе [68] была предпринята попытка ввести в «стандартную» оптическую модель наиболее важные поправки: зависимость /пМ от энергии, а также поправки па отдачу нуклонов. Вместе с тем, как было отмечено во введении к работе, в таком подходе остается открытым

п

лоном. Формула (3.12) в случае 4Не дает в качестве оценки Ж ~ -30 МэВ, что существенно отличается от наших результатов. Напомним, что, согласно нашим расчетам, энергия, при которой амплитуда /пМ входит в интегральные уравнения, находится в интервале от -150 -30

Оптическая модель [68] с упомянутыми выше поправками предсказывает существование связанного состояния п4Не с энергией связи около -10 МэВ и шириной 50 МэВ. Однако,

как уже неоднократно отмечалось, имеющиеся на сегодня экспериментальные данные не подтверждают этот результат.

Стохастический вариационный метод. Насколько нам известно, сегодня существует только одна модель, позволяющая решить уравнения Шредингера для системы п — 4М в рамках вариационного подхода. Вариационная процедура реализуется с помощью так называемого стохастического вариационного метода (СВМ), который в свое время был предложен

п

четырехнуклонной системой изложены в работах [71, 72], Здесь мы коротко опишем только общие положения, связанные с его особенностями,

В методе СВМ пробная волновая функция системы А нуклонов ), где / - спин ядра, п = ±1 - его четность, раскладывается в ряд (10) по системе коррелированных гауссиан

(щ,... ,гм-1 \Г) = Е • • • /ЧА-1), (3.23)

[\}к

где х представляет собой набор (А — 1) векторных координат Якоби г]1,... , '¡Пл-ъ а есть сокращенное обозначение всех квантовых чисел, характеризующих определенный канал.

Вк представляет собой положительно определенную матрицу размерности (А — 1) х (А — 1). Она зависит от нелинейных параметров Вк = В-. Пропзведение X В{х^х можно записать как

X В{кХ}х = х: В* <Пг ■ ъ . (3.24)

13 = 1

Необходимо отметить, что оптимизация большого количества параметров для достижения минимума является, вообще говоря, довольно сложной задачей. Однако, поиск минимума заметно упрощается в методе СВМ, в котором используется стохастический подход. Стохастическая процедура СВМ организована в три этапа: (1) генерируется пробная функция путем случайного выбора параметров В^ и каналов; (11) оценивается его полезность по энергии, делается выбор в пользу сохранения либо отбрасывания; (111) процедура «проб и ошибок» повторяется до тех пор, пока полученный таким образом базис не будет обеспечивать сходимость метода.

С помощью метода СВМ авторы работ [71, 72] решили соответствующие четырех- и пя-тичаетичные уравнения Шредингера для систем п — 3М и п — 4М. Согласно полученным ими результатам, связанное состояние п 4Не образуется уже при значении вещественной части

длины пМ рассеяния ~ 0, 7 МэВ, в то время, как для появления связи в системе

п 3 п

очевидно, противоречит нашим результатам, которые, как отмечалось выше, указывают на более слабое притяжение в случае п 4Не по сравнению с п 3Не,

Для выяснения возможной причины разногласия введем понятие эффективного пМ потенциала, А именно, поскольку расчеты в работах [71, 72] выполняются в координатном представлении с локальным потенциалом пМ приведем наш нелокальный потенциал (3,4) к аналогичному виду, С этой целью решим систему релятивизованных уравнений Шредингера для двух связанных каналов пМ — пМ

"

+ 2ша ^ J уа^(ЕГ]М,г, г')фр(г')гг'в,г' = д1фа(г), (3.25)

а = п, п,

где ша - полная энергия мезона а, & (г, г') - преобразование Фурье потенциала (3,4):

д дв в 2в2 е-ваГ е-[)вг'

Уа13(Е,м,гУ) = --— , (3.26)

где

W = Е^м + Мы + тп . (3.27)

После того, как получено решение фа(г), а = п,п, уравнения (3.25), определим эквивалентный локальный потенциал пМ посредством замены

1 ^

Щм{ЕГ1м,г) =—— ^ ¡Щ^гУШг'УгЧг'. (3.28)

Фп (Г) в=П,п о

а=п

канале пМ с локальным комплексным потенциалом упМ(ЕпМ, г). Его решение, очевидно, совпадает со значениями «нелокальной» волновой функции фп(г) во всей области г.

Наконец, чтобы сравнить наш локальный потенциал (3.28) с тем, который использовался

4

ноеть, даваемую моделью гармонического осциллятора р(г) ~ ехр(—г2/г0) с параметром г0 = 1, 38 Фм. Результаты представлены на рис.3.11 в области ЕпМ € [—150, —30], в которой, как было найдено в предыдущем разделе, однонуклонная амплитуда ¡пМ дает основной вклад в длину рассеяния ап4Не. В работе [72] потенциал УпМ (ЕпМ, г) берется в ядре при фиксированной энергии ЕЩм, величина которой зависит от некоторого екалирующего параметра Л, Детали, связанные с нахождением Л изложены в работе [72]. Значение этого потенциала показано на том же рисунке пунктирными линиями для двух значений Л, используемых в

-150 -100 -50

7 [МэВ]

Рисунок 3,11, Сплошные кривые: действительная и мнимая части локального потенциала nN vvn(EnN,r) (3,28), который эквивалентен нашему сепарабельному потенциалу (3,4), Пунктирные линии: потенциал vnN(W,r) из работы [72], вычисленный при постоянном значении аргумента W для двух значений скалирующего параметра Л = 2 Фм-1 и Л = 4 Фм-1. Все потенциалы усреднены по плотности ядра 4Не, как пояснено в тексте,

[72], Как видно из рисунка, наш потенциал vnN слабее почти во всей рассматриваемой области EvN. Это различие, по всей видимости, является основной причиной, по которой наши результаты качественно отличаются от результатов, полученных в работах [71, 72],

3.5 Заключение к главе 3

Таким образом, в данной работе взаимодействие в системе n — 4N впервые рассчитывается корректно с учетом малочастичных аспектов. Применяя сепарабельное представление сначала к ядрам (3 + 1) и (2 + 2), а затем к ядрам (4 + 1) и (3 + 2), мы решили соответствующую проблему пяти тел посредством сведения динамических уравнений АГС к связанной системе интегральных уравнений, имеющих структуру уравнений Липпмана-Швингера для связанных каналов.

Предсказываемое значение Re an4He положительно и оказывается меньше ReanзHe, Этот

результат объясняется эффективным ослаблением ^^-взаимодействия в ядерной среде с увеличением ее плотности. Согласно нашим расчетам, увеличение сил притяжения за счет дополнительного нуклона в 4Не компенсируется сильным подавлением подпорогового п^-взаимодейетвия в более плотном ядре. Результирующее притяжение в системе п — оказывается недостаточным для образования связанного состояния п4Не, по крайней мере, с параметрами п^, использованными в данных расчетах. Это обстоятельство должно быть

п

Заключение

В диссертации представлен метод решения задачи пяти тел, основанный на уравнениях Альта-Грассбергера-Сандхаса, Его ключевым звеном является сепарабельное разложение амплитуд в двух-, трех- и четырехчаетичных подсистемах. Получающиеся таким образом уравнения имеют форму двухчастичных уравнений Липпмана-Швингера для многоканальной задачи, В качестве неоднородных членов в этих уравнениях выступают обобщенные потенциалы, описывающие обмен частицей или группой частиц между двумя кластерами, либо два независимых кластера, между которыми возможен обмен энергией.

До настоящего времени решение задачи пяти тел системы основывалось главным образом на традиционных методах, таких как вариационная модель, оболочечная модель, методы резонирующих групп, различные стохастические методы, в которых также используется вариационная процедура. Основной недостаток этих методов заключается в том, что зачастую трудно оценить ошибку, связанную с использованием вариационного решения, поскольку мы так или иначе вынуждены использовать ограниченный класс пробных функций.

Представленный нами систематический подход к решению задачи пяти тел, основанный на формализме Альта-Грассбергера-Сандхаса, лишен этих принципиальных недостатков, Как отмечено во введении, существенным достоинством метода является его наглядность и удобство практического использования, С его помощью может быть найдено точное решение как для связанных состояний (не только основных, но и возбужденных), так и решена задача рассеяния. Область применения метода АГС к физическим проблемам достаточно широка: от молекулярных и атомных систем до многокварковых конфигураций, в которых взаимодействие описывается через потенциал с конфайнментом.

Перечислим основные результаты диссертации:

1, Получен аппарат для решения задачи пяти тел в рамках метода Альта-Грассбергера-Сандхаса, Ключевым звеном является сепарабельное разложение ядер интегральных уравнений. Как и в случае трех и четырех частиц, представление ядра в виде суммы сепарабельпых слагаемых позволяет свести исходные уравнения к системе уравнений типа Липпмана-Швингера для связанных каналов.

• Получены выражения для эффективных потенциалов, описывающих взаимодействия в подсистемах, возникающих при разбиении исходной системы пяти частиц по схеме (1 + 4) и (2 + 3), Наряду с потенциалами, имеющими структурные аналоги в четырехчаетичной задаче, в задаче пяти тел появляются потенциалы, имеющие принципиально новую структуру (см, формулы (1.41) и рис, 1,4), В этой связи, пятичаетичные уравнения не могут быть получены путем простой экстраполяции эффективных потенциалов задачи четырех тел на систему с N = 5,

• Рассмотрен случай, когда в системе имеются тождественные частицы. Проведена необходимая процедура симметризации и получены уравнения для симметризован-ных амплитуд,

2, Полученные в формальной части работы уравнения применены к исследованию взаимодействия в системе пяти тождественных бозонов,

• В качестве примера вычислены энергии связи системы. Расчеты с потенциалом (2,1) предсказывают наличие двух связанных состояний 0+ с энергиями

E = 144, 3 МэВ и E* = 61, 0 МэВ.

• Исследована сходимость полученных результатов при изменении количества членов, учитываемых в сепарабельном разложении. Непосредственные расчеты показывают, что первый член разложения обеспечивает точность около 2%, Такая быстрая сходимость объясняется довольно быстрым уменьшением абсолютных величин собственных значений |An|, а также тем, что знаки членов сеиарабельного ряда в этом случае чередуются, что приводит к значительному сокращению вклада членов с номерами n > 1,

3, Решена задача о взаимодействии n-мезонов с системой четырех нуклонов. Исследовано взаимодействие n-мезона с ядром 4Не, Вычислена длина рассеяния n-мезона на ядре 4Не,

• Анализ зависимости результатов от числа сепарабельных членов в разложении ядер интегральных уравнений, как и в случае пяти бозонов, демонстрирует сходимость, вполне достаточную для практических целей, В целом, удержание в разло-

%

п

поведения элементарной амплитуды Расчеты выполнены для ядер 1, 3Не и 4

тем не менее ограниченная область энергий, при которых значения оказывают существенное влияние на величину

• Проведена подгонка значений под имеющиеся экспериментальные данные для квадрата |/па|2. Для этого были решены уравнения АГС для систем п1 П3Не и п4Не, В каждом случае амплитуда аппроксимировалась брейт-вигнеровекой функцией с варьируемыми параметрами - константами связи, массой и полной шириной распада в адронные каналы. Полученные таким образом значения оказались близкими к результатам Х-матрпчного анализа каналов пМ пМ и ппМ [30].

п4 п3

Этот результат находит естественное объяснение, если принять во внимание отмеченную ранее сильную зависимость амплитуды от энергии в подпороговой

43

п

зываетея ниже. Этот результат, в частности, позволяет объяснить почему эффект взаимодействия в конечном состоянии в реакции 11 — п 4 Не оказывается слабее, чем в процессах, в которых образуется система п3Не, например 1р — п 3Не,

Таким образом, проведенные нами исследования показывают невозможность образования п-ядер с массовым числом А < 4. Отметим, что этот результат получен в рамках точного решения квантовомеханической задачи нескольких тел и впервые ему дано ясное физическое толкование. Можно предположить, что если эта тенденция (то есть уменьшение эффективной энергии пМ с ростом А) сохраняется в более тяжелых ядрах (А > 4). В этом случае

п

Различные теории, не только кварковые, но и чисто феноменологические предсказывают

п

желых чармированных мезонов пс- В этом случае взаимодействие имеет уже не резонансный характер, как в случае пМ а обусловлено одноглюонным обменом между кварками, входящими в состав чармированного мезона пс и нуклона. Следствием этой особенности является экзотический характер псМ взаимодействия. А именно, оно является очень интенсивным, но при этом характеризуется довольно малым радиусом действия сил. В связи с этим, есте-

етвенным является вопрос о существовании связанных состояний чармированных мезонов с ядрами и возможности их экспериментального исследования.

Кроме того, полученные нами уравнения в силу своей универсальности и эффективности открывают широкие возможности для решения аналогичных задач взаимодействия в других системах адронов. Сюда следует отнести пятинуклонные системы (в первую очередь 5Не и 5Li), гиперядра, а также системы, содержащие ядро 4Не и Х-мезон, ц'-мезон и другие мезоны, В заключение, автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору ф.-.м. наук Фиксу А,И, за всестороннюю поддержку и постоянный интерес к результатам исследований.

Автор также признателен научному коллективу Исследовательской школы физики высокоэнергетических процессов Томского политехнического университета, в особенности, профессорам Галажинекому A.B. и Трифонову А.Ю, за помощь в работе над диссертацией.

Приложения

I. Формализм Альта-Грассбергера-Сандхаса

Ниже дан краткий обзор уравнений Альта-Граеебергера-Сандхаеа в применении к задаче трех тел. Нашей основной целью является изложение как самого метода получения уравнений со связными ядрами, так и введение основных терминов и обозначений, используемых в содержательной части работы.

Введем свободный Гамильтониан (оператор кинетической энергии)

3 к 2 Р 2 Р 2 Р 2 Н0 = У— = — + — + —, а =1,2,3. (А.1)

¿2та 2М 2ца 2Ма ' ' 1 ;

Здесь через обозначен импульс частицы с номером а, Р есть импульс центра масс всей системы, - относительный импульс частиц в подсистеме а = (ßY) и qa - импульс относительного движения частицы а и тары а = (ßY)■ Легко убедиться, что состояния |р,ра,Р*) являются взаимно ортогональными и образуют полный набор, то есть

(р',pa', Р«'|р,Р«, qa) = ¿(р' - р) 5(ра' - ра) 5(Ра' - ра) (А.2)

и

dP dp а dqa =

У (2п)3 (2п)3 (2п)3

Так как полный импульс системы Р сохраняется, будем считать его равным нулю и в дальнейшем опустим. Функции |ра,Па) являются, очевидно, собственными функциями оператора Яс:

Яо|Ра, ра) = |ра, Ра) , (А.4)

где Еа = + 2м— кинетическая энергия, соответствующая разбиению а.

Потенциал взаимодействия частиц внутри группы а = (вт) будем обозначать уа. Состояние в котором имеются две взаимодействующие частицы в группе а, образующие связанное

а

обозначать как

|Фа) = |¥>а) |Ра) • (А.5)

Здесь |<^а) есть волновая функция связанного (резонансного) состояния и |ра) описывает свободное движение частицы а относительно пары а = (вт)■ Фупкция |фа) является собственной

функцией канального Гамильтониана

Иа = Но + V« , (А.6)

то есть

И#„) = Еа1фа) , (А.7)

2

где Еа = —еа иеа >0 представляет собой энергию связи частиц в состоянии | (ра).

В подсистеме а рассеяние может быть описано соответствующей ¿-матрицей

ta(z) = ьа + ьада(г)ьа , (А.8)

где да - функция Грина частиц а = (вт) (резольвента оператора На). Аналогично двухчастичной задаче ¿а удовлетворяет уравнению Липпмана-Швингера

¿а^) = ьа + (z) , (А.9)

которое имеет формальное решение

¿а = (1 - Уад0^))-1Уа, , (А.10)

где д0 - свободная функция Грина, относящаяся к подсистеме а = (вт)■

аН

можно представить в виде

Я = На + + = На + уа , (А,11)

где Уа = У/з + у7, в = 7 = а.

Формально мы можем записать уравнение Липпмана-Швингера для задачи трех тел по аналогии с двухчастичной задачей

Т^) = V+ УСо^)Т , (А,12)

где О0^) = (z — Н0)-1 есть свободная функция Грина (резольвента оператора кинетической энергии) для трех частиц и

V = VI + У2 + У3 . (А,13)

Так как V представляет собой сумму двухчастичных потенциалов, в импульсном представлении для каждого слагаемого в этой сумме будем иметь

(Ра'> Яа'ЫРа, Яа) = КЯа — Яа')(Ра'ЫРа) • (А-14)

Очевидно, что итерируя уравнение (А,12) мы всегда будем иметь множители вида 6 (Яа — д^) в правой части. Например, после первой итерации получим

Т = ^ У а + Е УаОо^ У в + Е У а Со ^ У в СоТ • (А,15)

а а в а в

Другими словами, ядро уравнения (А,12) не имеет конечной нормы Шмидта, что эквивалентно нарушению условия единственности решения,

6

тональных элементов вида УаС0Уа. Исключить эти элементы позволяет метод Фаддеева, Следуя этому методу, расщепим уравнение (А, 12) на три уравнения, введя вспомогательные

Та

Та = Уа + УаСоТ • (А,16)

Легко убедиться, что

Т = Т1 + Т2 + Т3 . (А,17)

а

Будем иметь

Та — УаСоТа = Уа + УаС ^ Тв • (А.18)

в=а

Далее воспользуемся формальным решением уравнения Липпмана-Швингера для двухчастичных операторов ¿а (А,10), Умножая уравнение (А,18) слева на оператор (1 — УаС0)-1,

Та

Та = ¿а + ¿аСо £ Тр (А.19)

в=а

или в развернутом виде

( т \ Т1 ' 0 ¿1 ( т \ Т1

Т2 = ¿2 + ¿2 0 ¿2 С0 Т2 (А,20)

' Т3 ) [ь) у ¿3 ¿3 0 ) 1Т3 )

В импульсном представлении операторные уравнения (А, 11) дают систему интегральных уравнений

Та(р',д',р,д) = ¿а (р',Я",р,Я) + (А,21)

1гр " 1д" ¿а(р',д',р'',д''),

3 (2тг)3(2тг)3

Р^а \ / \ / ¿< 2Мр 2/лр

а

Ш'л'^Л = {р',Р'К\р,<1) = 6(д-д'){р'\г(г-1£г)\р) (А.22)

где ¿а - двухчастичный оператор, ядра уравнений (А,21) по-прежнему содержат ^-функции. Можно, однако, показать, что дефект, приводящий к нарушению условия единственности решения уравнения (А, 12) в последнем уравнении устранен. Действительно, первая итерация уравнения (А. 11) дает

Та = tа + tаGо^2 ¿® + ¿аС0 ¿вС0 ТТ • (А,23)

®=а ®=а 7=®

Как видим, ядра уравнений (А,23) содержат только произведения вида ¿аС^®, где а = в, так что ^-функции устраняются. Отметим также, что вместо потенциалов уа в новых уравнениях содержатся двухчастичные ¿-матрицы ¿ а, которые теперь уже понимаются как операторы в трехчаетичном пространстве.

¿¿

а2

деева вне массовой поверхности из-за энергетического сдвига г — -^¡Ц- и из-за того, что произведение ¿ад0Т® содержит в себе интегрирование по всем возможным промежуточным состояниям

|р '')|р'') (А.24)

при условии

2ца ^ 2Ма ^ 2ца ^ " ;

Уравнения для компонент волновой функции трех частиц можно вывести из уравнения для резольвенты С полного гамильтониана системы трех частиц Я (А.1):

С(г) = С0(г) + С0(г)УС(г) • (А.26)

Получающиеся три уравнения, которые обеспечивают корректные граничные условия для волновой функции, имеют вид [73]

|*а+)> = |Фа) + Са £ V® |Фа+)) ,

®=а=1 3

|^а+)) = ор ^|Фа+)), (А.27)

7=в=1

|^а+)) = с 5: V,|Фа+)),

¿=7=1

где индексы а = в = 7 принимают значения 1,2,3. Функция |Фа+)) представляет собой рае-

аа

невзаимодействующую с ней пару двух других частиц и состояние системы в нем оиисыва-|Ф )

Я = Я0 + V

я |Фа+))=е |Фа+)) • (а.28)

Функция Грина Са (г) есть резольвента канального Гамильтониана Яа:

Св(г) = —. (А.29)

г Яа

Рассмотрим теперь матричные элементы операторов перехода между канальными состояниями |фа) и |ф®):

{фр\ира\фа) = {фр\Ур\^). (А.30)

Матричные элементы оператора и на энергетической поверхности определяют ¿"-матрицу перехода |фа) —^ |ф®)

¿®а = ¿®а - 2п^(Еа - Е®) (ф® | и®а |фа) (А.31)

и

иаа\фа) = Уа\¥^) = + (А.32) Используя последние два уравнения из (А,27) получим

иаа\фа) = ^®С®У®|ф1+))+^С7У7|ф1+)) (А.ЗЗ)

= V® С® и® а | фа ) + С7 и7а | фа ) •

и® (в = а)

и®а | фа ) = ^а |фа ) + ^Са^а^а ) + С7 Цуа |фа ) • (А,34)

В выражениях (А.ЗЗ) и (А.34) а = в = 7- Следует отметить, что для конкретного входного а

уравнения типа (А.ЗЗ) и двух уравнений типа (А.34). Таким образом, как и в случае урав-

и и®

и7а ■

Воспользуемся далее равенствами

V*|фа) = С-11фа) , ^аСа = ¿аС0 , (А.35)

где ¿а, как и ранее, есть ¿-матрица, определяющая взаимодействие частиц в группе а = (в7)-Объединяя уравнения (А.ЗЗ) и (А.34) в одно, запишем

и®а |фа) = (1 - ¿®а)С--1|фа) + £(1 - ¿®7)¿7С0и7а |фа) • (А.36)

7

В итоге приходим к стандартному виду уравнений Альта-Грассбергера-Сандхаса (АГС)

ива = (1 — 6ва)С—1 + ]Т(1 — 6р7) ЦСоЩа • (А.37)

II. Сепарабельное разложение

Как показывается в квантовой теории рассеяния, двухчастичная ¿-матрица имеет полюс при энергии г, равной энергии связанного состояния двух частиц еь, и, что важно, вычет в полюсе факторизуетея, В итоге, в операторном виде имеем

X еь

где V - двухчастичный потенциал и |^ь) - волновая функция связанного состояния. Другими словами, оператор ¿(х) вблизи энергии связи имеет сепарабельный вид. Эта особенность приводит к существенному упрощению решения задачи трех (а также большего числа) частиц.

Рассмотрим задачу, в которой взаимодействие описывается сепарабельпым потенциалом

V = А| д )(д1. (В.2)

В этом случае уравнение Липпмана-Швингера

* = V + VgоT (В.З)

решается алгебраически и дает

Ф0 = |д)т(х)(д| , (В.4)

где

т (х) = (А-1 — (д|до|д))—1. (В.5)

Переходя к трехчастичпому пространству, запишем

(р',я'КШр,д) = 5(д- ([')(р'\га{г - Р) > (в-6)

где Ма, как и ранее, есть приведенная масса системы, содержащей частицу а и пару а = (вт)-Учитывая (В,4), будем иметь

= 5(2- д')д(р')та(г - 2мг)д(р) • (в-7)

Отщепление зависимости от импульсов рЯ и рЯ' позволяет свести уравнения АГС, зависящие от двух векторных переменных, к уравнениям с одной переменной. Действительно введем представление (В,4) в уравнение АГС (А,37):

ива = (1 — 6ва)С—1 + 53(1 — 6в7) |д7)т7(д7|Сои7а . (в,8)

Как видим, во втором члене справа зависимость от р и р факторизуетея уже на этом этапе:

2М~) ^ 1(^71^0^7« ■ (в.9)

7=® а

Беря уравнение (В,8) в обкладки (д®|С0 • • • С0|да), получим

(д® |С0и®аС0 |да) = (1 - ^®а)(д® |С0|да) + (В,10)

Т7 (д7|С0и7аС0 |да) •

7=®

В полученном выражении отдельные члены по-прежнему являются операторами в пространстве относительных импульсов |ра)■ Вводя обозначения

Х®а = (д®|С0и®аС0|да) , (В,11)

^®а = (1 - ^®а)(д®|С0|да) , (В.12)

придем к интегральному уравнению

(р® |Х®а(г)|ра) = (р® |^®а(г)|ра) (В,13)

/дър р2

7=р (2п)3 2м7

Наконец, амплитуда перехода в процессе рассеяния принимает вид

(ф® | и®а | фа) = (р® |(д® |С0и®аС0|да)|ра) = (р® |Х®а|ра) , (В.14)

где матрица X берется па энергетической поверхности. Отметим, что интегральное уравнение (В, 13) является трехмерным и его размерность можно уменьшить до единицы разложением по парциальным волнам,

¿

уравнение (В, 13) описывает задачу трех тел как эффективную двухтельную задачу: подсистема рассматривается как одна частица. Здесь, если опустить индексы каналов, Х®а можно сравнивать с двухчастичным Т-оператором, а ^®а с эффективным двухчастичным потенциалом, Последнее становится очевидным, если учесть, что на массовой поверхности

(р® |(д® |С0|да)|ра) = (ф® |фа) • (В.15)

Величина т7 соответствующая свободному двухчастичному пропагатору д0, описывает свободное движение частицы 7 относительно связанной подсистемы 7 = (ав). Так как т7 зависит от энергии подсистемы, из общей энергии трехчаетичной системы г вычитается кинетическая энергию свободной частицы.

Отметим еще одно качественное сходство т7 и до- В импульсном представлении для системы двух частиц имеем

= (В.16)

2 — о

Здесь д0 - свободный пропагатор, имеющий полю с при энергии х, равной энергии относительного движения двух частиц. Аналогичное утверждение верно и для т7, для которого можно получить

(д |т7(х - =-5-¿(Я----(В17)

7 2Му (г - - ЕВ) (дУЫЕВЫг - '

откуда наличие полюса и сходная роль д0 и т7 в соответствующих выражениях становятся очевидными.

III. Учет тождественности частиц

Ниже амплитуды перехода определены е учетом тождественности частиц. Вначале рассмотрен более простой случай, когда система состоит из пяти тождественных бозонов. Затем процедура симметризации применяется к системе, содержащей мезон и четыре нуклона.

Система 5 тождественных бозонов. Набор различных каналов определятся разбиениями системы пяти частиц на подсистемы типа 1 + 4 и 2 + 3, Отмечая бозоны номерами от 1 до 5 будем иметь следующие состояния

(1) 5 состояний (1 + 4) : |1 (2345)), |2 (3451)), |3 (4512)),

|4 (5123)), |5 (1234)), обозначены 1(г),г = Т75

(2) 10 состояний (2 + 3) : |(12) (345)), |(13) (245)), |(14) (235)) |(15) (234)),

|(23)(145)Ы(24)(135)Ы(25)(134)),

|(34)(125)),|(35)(124)),

|(45) (123)), обозначены 2(ij), г < j = 1,5.

Здесь и в дальнейшем предполагается, что волновые функции подсистем, входящих в разбиения, уже должным образом симметризованы. Для получения замкнутой системы уравнений достаточно рассмотреть амплитуды перехода из всех указанных выше состояний в одно выбранное состояние, например 11 = |1 (2345)), Тогда система (1.44) состоит из 15 уравнений, которые с учетом используемой выше нумерации изображены на рис. С, 12

Ввиду тождественности бозонов волновые функции различных состояний, относящихся к одному и тому же каналу, могут быть получены друг из друга непосредственно с помощью перестановки координат частиц. Это приводит к очевидным равенствам для потенциалов:

Z1(i),1(j) = Z1(1),1(2) , = 1,5, (C.l)

Z1(i),2(ij) = Z1(1),2(12) , hj = 175, (C.2)

Z1(i),2(jk) = Z1(1),2(23) , i,j,k= 1,5. (C.3)

Как легко видеть, уравнения для амплитуд Хц^ (г = 2,..., 5) являются одинаковыми. То же самое относится к уравнениям для Х2(^) (%,] = 1,..., 5),

Определим далее диагональную и недиагональную амплитуды равенствами

Хи = Х1(1) ) Х11 = Х1(2) • (С.4)

юхко

7

т.т

1<г).2(ч)

+2;

1 1=1

Хт

= +

7

201),1(1)

1 = 1

7' 7

7'

1(0,20к)

1 г _ 1

~ 5

хш= +

к* I

Х20к)

д„

1

+

201),Ю)

к? ¡1

Рисунок С,12, Графическое изображение системы уравнений (1.44),

Тогда для суммы

будем иметь

Хи = ХЦ + 4Х^

Хц = 4^11 + 4^11©1ХП + (2^12 + 3^2)02Х21 ,

Х21

Х21 = Х2(Ч) >

удовлетворяет уравнению

Х21 = 4^21 + 6^2'1 + 2(2^21 + 3^2/1)©1Хц + 3^22Х21 .

(С.5)

(С.6)

(С.7)

(С.8)

Уравнения (С.6) и (С.8) являются искомыми симметризованными уравнениями, в которых корректно учтена тождественность бозонов. Их графическое представление дано на рис. 2.3.

Система п—Процедура симметризации уравнений для системы п — 4Ж несколько сложнее в связи с тем, что одна из частиц (п-мезон) отличается от остальных (нуклонов). Для удобства будем располагать нуклоны в циклическом порядке, что избавляет нас от необходимости следить за изменением знака при переходе от одного состояния к другому. Обозначая нуклоны как частицы 1, 2 и 3, получаем следующие состояния, имеющих отношение к задаче

(!) 1 состояние в канале 1: |п(1234)), обозначено 1

(11) 4 состояния в канале 2: |(1п)(234)), |(2п)(341)), |(3п)(412)),

1(4п)(123)),

обозначены |(гг])^к1)) = 2(г) (г = 1,4),

(ш) 6 состояний в канале 3: |(12)(п34)), |(13)(п24)), |(14)(п23)), |(23)(п14)),

|(24)(п13)), |(34)(п12)), обозначены \{Ц){г]к1)) = З(г^) [г,] = 1,4),

(Ь') 4 состояния в канале 4: |1(^234)), |2(^134)), |3(^124)), |4(^123)),

обозначены |г(щЫ)) = 4(г) (г = 1,4),

Здесь как и ранее предполагается, что волновые функции подсистем, содержащих два, три или четыре нуклона, уже должным образом симметрнзованы. Рассмотрим набор амплитуд, определяющих переходы в канал 1 из каналов 1, 2(г) и 3(г^) и 4(г), Обозначим их, соответственно, как Х1; Х2(^, Х3(з) и Х4(г), Тогда, уравнения (1.44) принимают вид

4 4 4

Х1 = 12 ^1;2С?)02(3)Х2(3) +12 ^1;3(^к)@3(^к)Х3(^к) + 12 ^1;4(3)©4(3)Х4(3) , 3=1 3 = 1

4

Х2(г) = ^2(г);1 + ^2(г);1©1Х1 + 12 ^2(г);3(у)@3(у)Х3(у) +

3=1

4

+ 12 ^2(г);4(3)@4(3)Х4(3) + ^2(г);4(г)@4(г)Х4(г) , (С.9)

3=1

Х3(з) = ^3(г3);1 + %3);1©1 Х1 + ^3(3);2(г) ©2(г)Х2(г) + ^3(з);2(3) @2(3)Х2(3) + + ^3(г3);3(к1)©3(кг)Х3(к1) + ^3(3);4(г)©4(г)Х4(г) + ^3(3);4(3)@4(3)Х4(3) )

4

Х4(г) = ^4(г);1 + ^4(г);1 @1Х1 +12 ^4(г);2(3) ©2(3)Х2(3) + ^4(г);2(3) ©2(3)Х2(3) +

3=1

4

+ Щ ^4(г);3(г3) @3(г3)Х3(з) + ^4(г);3(3) ©3(г3)Х3(з) + ^4(г);4(3)©4(3)Х4(3) .

3=1

где г, = 1,..., 4, В приведенных выражениях подразумевается, что индексы, обозначенные разными буквами, не могут быть равны друг другу. Смысл эффективных потенциалов объясняется схематическим представлением на рис, 1,3, Выполняя циклические перестановки координат нуклонов получим соотношения между потенциалами. Например