Решение граничных задач строительной механики, включающих односторонние связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Харитонов, Владимир Анатольевич

• Харитонов, Владимир Анатольевич
• 1983

Оглавление диссертации Харитонов, Владимир Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Обзор методов решения краевых задач строи тельной механики

1.1. Разностные методы.

1.2. Метод конечных элементов (МКЭ).

1.3. Метод граничных уравнений (ГИУ).II

1.4. Построение систем разрешающих уравнений.

1.5. Решение систем линейных уравнений

1.6. Решение задач с односторонними связями.

1.7. Стыковка краевых задач.

Выводы по обзору

Плава П. Постановка и решение граничных задач.

ПЛ. Постановка граничных задач в операторном

П. 2. Применяемые обобщенные функции.

П.З. Постановка граничных задач по методу стандартной области.

П.4. Постановка граничных задач методом стан -дартной области и методом граничных интегральных уравнений.

П. 5. Численное решение граничных задач.

П. 6. Схема решения граничных задач.

Выводы

Глава Ш. Задачи с односторонними связями и стыковка краевых, задач.

Ш.I. Постановка задачи с односторонними связями

Ш.2. "Точный"метод вычисления базисных функций, элементов матрицы разрешающей системы и вектора правой части

Ш.З. Цриближенный метод вычисления базисных функций, элементов матрицы разрешающей системы и вектора правой части (применение штрафных функций)

Ш.4. Схема решения задач с односторонними связями.

Ш. 5. Стыковка краевых задач.

Ш.б. Схема решения стыковки краевых задач

Выводы.

Глава 1У. Программный комплекс для решения граничных задач строительной механики.

1У.1. Описание программного комплекса

1У. 2. Решение граничных задач с помощью программного комплекса "PRO&OUA/"

1У.З. Решение задач с односторонними связями и стыковки краевых задач.

1У.4. Модификация программного комплекса (ускоренный вариант). III

Шводы.

Глава У. Примеры решения граничных задач строительной механики . П

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение граничных задач строительной механики, включающих односторонние связи»

В соответствии с решениями ХХУ1 съезда КПСС дальнейшее развитие капитального строительства и проектирования строительных конструкций в XI пятилетке связано с рациональным использованием трудовых и материальных ресурсов. Црименение средств автоматизации проектирования позволяет уменьшить затраты труда проектировщиков и конструкторов, сократить сроки проектирования, снизить материалоемкость самих конструкций при более точном учете их действительной работы. Поэтому ХХУ1 съезд КПСС выдвинул автоматизацию проектирования в качестве самостоятельной научной темы, что нашло отражение в плане важнейших работ ГОНГ СССР на I98I-I985 г.г., в котором предусмотрена целевая комплексная программа 0.Ц.027, направленная на развитие и внедрение систем автоматизированного проектирования /САПР/ в строительстве. Автоматизация инженерных расчетов сооружений является составной частью САПР и способствует получению проектов высокого качества, повы -шению надежности сооружений, экономии материалов.

Цри расчете конструкций наиболее традиционным методом является метод конечных элементов, реализованный в виде стандартных программных комплексов, тесно увязанных с вопросами автоматизации проектирования. Однако метод конечных элементов в его стандартном варианте предназначен для выполнения расчетов по наиболее установившимся теориям работы материала. В настоящее время познания о работе и свойствах материалов изменяются, особенно в связи с появлением новых материалов. Отсюда следует и измене -ние математического описания состояния конструкции, т.е. соот -ветствующей краевой задачи строительной механики. Учет новых факторов, связанных со свойствами материалов и условиями работы

- 5 конструкций, приводит к изменению порядка дифференциальных уравнений и даже их типов. Новые постановки задач требуют экспериментальной и теоретической проверки в возможно более ко -роткие сроки.

В этом отношении обычно применяемые программы и алгоритмы конечного элемента недостаточно гибки и требуют большой работы по внедрению элементов, связанных с новыми моделями. При применении МКЭ возникают вопросы повышения точности расчета конструкций. Известно, что на границе области метод конечного элемента удовлетворяет граничным условиям лишь в "интеграль -ном смысле", в то время, как именно на границе чаще всего возникает максимальные усилия, что приводит к разрушению конструкций. Поэтому для граничных точек необходима более точная ин -формация о напряженно-деформированном состоянии. Эта информация может быть получена либо с помощью более точных граничных эле -ментов, для которых математическое описание аппроксимирующих зависимостей отличается от описания для внутренних элементов, либо применением для граничных элементов специальных функционалов. При внедрении новых граничных элементов также требуется проведение численных исследований.

Для более полного учета работы конструкции иногда требу -ется решать граничные задачи с нестандартными граничными условиями (задачи с односторонними связями, контактные задачи), а также рассчитывать отдельные части конструкции разными методами (программными комплексами) с последующей стыковкой этих частей.

Целью представленной работы является построение методики и универсальных алгоритмов, с помощью которых достаточно легко и в короткий срок могут быть решены вновь поставленные задачи,

- б как в смысле их математического описания, так и в смысле дискретного аналога, лучше удовлетворяющего реальной работе конструк -ции, а также задачи, решаемые в классе разрывных функций, аада-чи с односторонними связями и стыковка краевых задач, что также приводит к более полному учету работы материалов.

Цредставленные методы и алгоритмы являются развитием методов численного решения граничных-задач, предложенных А. Б. Болотовым, В. Н. Сидоровым, М.Л.Мозгалевой. Автором разработаны алгоритмы и формулы, позволяющие расширить использование различных функционалов с разным количеством неизвестных в точках, дана постановка граничных задач, приспособленная для решения их с учетом разрывных искомых функций внутри области, разработан двухэтап-ный метод решения граничных задач, на основе которого созданы методы решения задач с односторонними связями и стыковки краевых задач. Цри этом большое внимание уделено предварительному математическому описанию и выводу формул, способствующих упрощению построения решений.

Методы и алгоритмы использованы автором при написании программного комплекса "PROBOUA/" для решения граничных задач.

Работа выполнялась в вычислительной лаборатории МИСИ им. В.В.Куйбышева, сотрудником которой является автор данной работы.

- 7

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Харитонов, Владимир Анатольевич

- 132 -ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена общая постановка краевых задач для стан -дартной области. Отличительной чертой этой постановки является распространение исходных уравнений на всю стандартную об -ласть, при этом, при переходе от исходной области к дополняющей допускаются скачки искомой функции, подлежащие определе -нию из граничных условий. Предложенная постановка задач поз воляет учитывать трещины и разрезы в конструкции.

2. Построена универсальная, по отношению к исходным фор -мулировкам, методика решения краевых задач, объединяющая методики решения, исходящие из описания функционалов, уравнений в частных производных и граничных интегральных уравнений. Это позволяет построить дискретный аналог граничных интегральных уравнений в вариационной постановке, приводящий к симметричной положительно определенной системе разрешающих уравнений.

3. На основе общей постановки краевой задачи разработан универсальный алгоритм решения с учетом нестандартных гранич -ных условий, включающий в себя на дискретном уровне как реше -ние краевых задач, так и решение граничных задач, при достаточно произвольных математических постановках, формах области, а также физических и геометрических условиях. В этом алгоритме используются универсальные формулы определения коэффициентов разрешающих уравнений. Решение дискретной задачи строится на произвольной сетке, технологически эквивалентной прямоугольной.

4. В разработанном алгоритме легко используются любые функционалы, описывающие напряженно-деформированное состояние конструкции. В частности, легко решаются задачи, для которых на подобластях состояние конструкции описывается в различных

- 133 системах координат и различными уравнениями. Притом, в дискретном аналоге может быть разное количество неизвестных в точке. Так, на границе области для повышения точности или удобства дальнейших вычислений, может быть увеличено количество неизвестных (включение в качестве неизвестных дополнительных производных, скачков и т.д.).

5. Разработан двухэтапный метод решения граничных задач, заключающийся в следующем: сначала решается краевая задача относительно неизвестной функции на границе, затем решается граничная задача, удовлетворяющая условиям на границе.

6. Выведены два типа формул получения коэффициентов разрешающих уравнений относительно неизвестных на границе. Пер -вый вариант - точные формулы, приводящие к вычислению значения исходного линейного оператора на некотором минимальном шаблоне; второй - приближенные формулы, полученные с помощью метода штрафных функций. В этом случае уже на первом этапе (вычисления базисных фунуций краевой задачи) одновременно вычисляются коэффициенты граничных условий, что существенно упрощает получение общего решения задачи.

7. Разработана методика решения стыковки краевых задач на основе двухэтапного метода - решение каждой краевой . задачи отдельно, а затем решение задачи в зоне контакте об -ластей.

8.На основе двухэтапного метода предложен подход и-раз -работана методика решения задач с односторонними связями. На первом этапе решается линейная краевая задача в области, на втором - граничная нелинейная вариационная задача с ограничениями, например, методом квадратичного программирования. Этот подход минимизирует количество неизвестных, участвующих в решении нелинейной задачи.

9. На основе предложенных общих алгоритмов разработана универсальная программа решения краевых задач ( PROB0UA/ ), позволяющая решать вышеперечисленные задачи.

10. Решены представляющие практический интерес примеры, подтверждающие эффективность и достоверность разработанных способов и алгоритмов решения граничных задач. Цроведен анализ напряженно-деформированного состояния реальных конструкций, полученных в результате использования разработанного програм -много комплекса.

Список литературы диссертационного исследования Харитонов, Владимир Анатольевич, 1983 год

1. Александров А. Я. Решение основных задач теории упру -гости путем численной реализации метода интегральных уравне -ний.- В сб.: Успехи механики деформируемых сред.- М: Машиностроение, 1976, с.3-24.

2. Аргирис Дк. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц.-М: Стройиздат, 1968, с.115.с.

3. Астраханцев Г. П. Метод фиктивных областей для эллипти -ческих уравнений второго порядка с естественными граничными условиями." ЖВМ и Mi, 1978. т.18, № I, с. II8-I25.

4. Аугустон М.И., Балодис Р.П., Бардзинь Я.М. и др. Программирование на ПЛ/1 ОСЕС.- М: Статистика, 1979.- 300 с.

5. Базара М., Шети К. Нэлинейное программирование. Тео -рия и алгоритмы.- М: Мир, 1982. 583 с.

6. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов.- М: Стройиздат, 1982. 442 с.

7. Бахвалов М.С. Численные методы.- М: Наука, 1975, 631 с.

8. Ь^гров А.Н. Обоснование метода фиктивных областей для некоторых задач математической физики. Авторф. дис. . на соиск. учен.степ. канд. физ.-мат.наук.- Новосибирск:1978, 16 с.

9. Булгаков В.Е. К решению пространственной задачи теории упругости итерационным методом. В сб.: Численные методы и ал -горитмы.- М: ЦНИИСК им.Кучеренко, 1981, с.86-95.

10. Вазов В., Форесайт Дк. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.- М: Изд-во иностр. лит., 1963, 215 с.

11. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки (прочность, устойчивость и колебания).- Киев: Госстрой-издат УССР, 1959. 1049 с.

12. Валединский В.О. Решение задач о контакте упругойи несжимаемой среды.- Д к . АН СССР, 1979, т.217, № 3, с. 536-540.

13. Валединский В.О. Решение задачи теории упругости оконтакте сжимаемой и несжимаемой сред. Автореф. дис. насоиск. учен. степ.канд.физ.-мат.наук.- М: 1979, 8 с.

14. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремаль -ных задач.- М: Наука, 1980, 518 с.

15. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Некоторые задачи прикладной теории упругостив конечных разностях Киев, Изд. АН УССР: ч.1, 194Э, 136 с, ч.2, 1952, 115 с.

16. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравне -ний и некоторые граничные задачи.- М: Физматгиз, 1970, 142 с.

17. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики.- Киев: издательское объединение "Вищ школа", 1978, 184 с.

18. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М: Наука, 1971, 511 с.

19. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.-М: Наука, 1977, 303 с.

20. Вовкушевский А. В. Расчет массивных сооружений с раз -резами.- Л: Известия, ВНИИГ им.Веденеева, 1975, т.108, с.152-164.

21. Вовкушевский А.В., Зейлигер В.А. К решению задач теории упругости с односторонними связями методом конечных элементов.- Изв. ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева, 1979, т.129, с.27-30.

22. Вовкушевский А. В, Шойхет Б. А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов.- М: Энерготехиздат, 1981, 136 с.

23. ГЪльфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.- М: Наука, 1971, 271 с.

24. Гельфанд И.М., ШиДэв Г.Е. Обобщенные функции и действие над ними.- М: Шизматгиз, 1958, 439 с.

25. ГЪльфонд А.О. Исчисление конечных разностей.- М.: ГЪстехиздат, 1952, 2375 с.

26. Пяовински Р., Лионе Ж.Л., Тремольер Р. Численное ис -следование вариационных неравенств.- М: Мир, 1979, 574 с.

27. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М: Наука, 1977, 439 с.

28. ГЪрдеев В. Н., Перельмутер А.В. Расчет упругих систем с односторонними связями, как задача квадратичного программирования. В кн.: Исследования по теории сооружений, вып.ХУ, М: Стройиздат, 1967, с. 208-212.

29. ГЪродецкий А.С. Численная реализация метода конечных элементов.- В кн.: Сопротивление материалов и теория сооруже -ний, Киев: Цудивильник, 1973, вып. XX, с.31-42.

30. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости.- Киев: Наукова думка, 1964, 260 с.

31. J^obo Г., Лионе Д.Л. Неравенства в механике и физи -ке.- М: Наука, 1980, 383 с.

32. Дьяконов Е. Г. Разностные методы решения краевых задач.' М: Изд-во МГУ, 1971, вып.1, 242 с.

33. Ефремов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М: Наука, 1970, 528 с.

34. Зенкевич 0. Метод конечных элементов.- М: Мир, 1975, 539 с.

35. Золотов А. Б. К расчету трехмерных конструкций на ЭВМ.- Строительная механика и расчет сооружений, 1969, № б, с. 22-27.

36. Каландия А. И. Математические задачи двумерной упругости.» М: Наука, 1973, 303 с.

37. Капорин И.Е., Николаев Е. С. Метод фиктивных неиз -вестных для решения разностных уравнений эллиптического типа в областях сложной формы.- Докл. АН СССР, 1980, т.251, № 3, с. 544-548.

38. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложением в технике.- М: Мир, 1978, 518 с.

39. Клаф Р. У. Метод конечного элемента в решении плоской задачи теории упругости.- В сб.: Расчет строительных конструкций с применением электронных машин. М: Стройиздат, 1967, с. 142-171.

40. Колмогоров A.M., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М: Наука, 1976, 543 с.

41. Копейкин Ю.Д., Аляутдинов М.И., Бормот Ю.Л. Решение двумерных задач расчета элементов конструкций,- В сб.: Мате -риалы по металлическим конструкциям, вып.18, М: Стройиздат, 1975, с.96-108.

42. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях.- М: Змзматгиз, I960, 458 с.

43. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности, изд-во ЛГУ, 1977, 206 с.

44. Кравчук А. С., Васильев В. А. Вариационный метод в контактной задаче.- Упругость и неупругость, вып.5, М: 1978. с. 23-31.

45. Кравчук А.С., Васильев В.А. Численные методы контактных задач для линейных и нелинейных упругих тел конечных размеров. Прикладная механика, т. 16, № 6, Киев: 1980, с.35-47.

46. Круз Т. Метод граничных интегральных уравнений в механике разрушения.- В кн.: Методы граничных интегральных уравнений, М: Мир, 1978, с.46-67.

47. Купрадзе В.Д., ГЬгелия Т.Г., Башемишвили и др. Трехмерные задачи математической теории упругости. М: Наука, 1976, 663 с.

48. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М; Наука, 1973, 407 с.

49. Милейковский И.Е. Системы исходных уравнений пологих оболочек при учете сдвига по толщине и решение их по методу конечного элемента.- В сб.: Пространственные конструкции зданий и сооружений, вып.З, М: Стройиздат, 1977, с.5-10.

50. Марчук П.И. Методы вычислительной математики.- М: Наука, 1977, 455 с.

51. Михлин • С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и ин -тегральные уравнения.- М: Физматгиз, 1972, 254 с.52. %схелишвили Н.И. Нзкоторые основные задачи матема -тической теории упругости.- М: Наука, 1966, 106 с.

52. Новацкий В. Теория упругости.- М: Мир, 1975, 72 с.

53. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических крае -вых задач.- М: Мир, 1977, 323 с.

54. Оганесян Л. А., Буховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений.- Ереван: Изд-*во АН Армянской ССР, 1979, 234 с.

55. Ортега Дк.М., Рейнболдт B.C. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.- 140 -М: Мир, 1975, 558 с.

56. Партон В.З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости.- М: Наука, 1981, 688 с.

57. Перельмутер А. В. Использование метода квадратичного программирования для расчета систем с односторонними связями.-В кн.: Исследования по теории сооружений, вып. XIX, М: Строй -издат, 1972, с.17-27.

58. Полак Э. Численные методы оптимизации.- М: Мир, 1974, 376 с.

59. Ппеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах.- М: Наука, 1975, 319 с.

60. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности.- М: Изд-во МГУ, 1981, 344 с.

61. Постнов В.А., Хорхурим И. Я. Метод конечных элементов в расчете судовых конструкций.- М: Судостроение, 1974, 341 с.

62. Постнов В.А., Дмитриев С.А. и др. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений.- Л: Судостроение, 1979, 288 с.

63. Рабинович И.М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями.- М: Стройиздат, 1975, 145 с.

64. Рабинович И.М. Основы строительной механики стержне -вых систем.- М: ГЪсстройиздат, I960, 519 с.

65. Рабинович Й.М. Энергетические свойства и особенности расчета статически неопределимых стержневых систем с односто -ронними связями.- В кн.: Исследования по теории сооружений, вып. ХУЛ, М: Стройиздат, 1969, с.141-151.

66. Вканицын А.Р. Строительная механика.- М: Высш.школа, 1982, 400 с.

67. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.- М: Мир, 1979, 579 с.

68. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решениякраевых задач. М: Мир 1972, 418 с.

69. Риццо Метод граничных интегральных уравнений -современный вычислительный метод.- В кн.: Метод граничных интегральных уравнений, М: Мир, 1978, с.II-17.

70. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам.- М: Стройиздат, 1977, 129 с.

71. Розин Л.А. Вариационная постановка задач для упругих систем.- Изд-во ЛГУ, 1978, 223 с.

72. Самарский Л.А. Введение в теорию разностных схем.- М: Наука, 1977, 656 с.

73. Самарский Л. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эл -липтических уравнений.- М: Наука, 1976, 352 с.

74. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток/под ред. Л. А.Люстерника/.- М:Шизматгиз, I960, 324 с.

75. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов.-М: Мир, 1979 , 388 с.

76. Сидоров В.Н., Золотов А. Б. Алгоритмизация решения краевых задач строительной механики на ЭВМ.- Строительная механикаи расчет сооружений, 1975, № 5, с. 36-42.

77. Олирнов А.Ф., Александров А. В и др. Расчет сооружений с применением вычислительных машин.- М: Стройиздат, 1964, 380с.

78. Снитко Н.К. Строительная механика.- М: Васшая школа, 1966, 535 с.

79. Стренг Г. Линейная алгебра и её применение.- М: Мир, 1980, 454 с.

80. Стренг Г., Шике Дк. Теория метода конечных элемен -тов.- М: Мир, 1977, 349 с.

81. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М: Мир, 1980, 512 с.

82. Тимошенко С.П., ГУдьер Дк. Тэория упругости,- М: Наука, 1975, 525 с.

83. Федоренко Р.П. 0 скорости сходимости одного итерационного процесса.- ЖВМ, 1964, т.4, № 3, с.559-564.

84. Шикера Г. Теоремы существования в теории упругости.-М: Мир, 1974, 159 с.

85. Филин А.П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела.- Л: Стройиздат, 1974, 73 с.

86. Шилоненко-Еородич М.М. Теория упругости.- М: Физмат-гиз, 1959, 364 с.

87. Хемминг Р.В. Численные методы.- М:Наука, 1972, 400 с.

88. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.-М: Мир, 1975, 534 с.

89. Чэрноусько Ф.Л., Баничук М.В. Вариационные задачи механики и управления.- М: Наука, 1973, 238 с.

90. Шапошников Н.Н., Тарабасов Н.Д. и др. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость.- М: Машиностроение, 1981, 333 с.

91. Шилов Г.Е. Математический анализ / второй специальныйкурс /. М.: Наука, 1965, 327 с./ ■ ■ 1

92. Argyris J.H., Kelsey S. The Analysis of Fuselages of

93. Arbitaiy cross-section and taper.- Aircraft Engineering, 1959»i ■ , ' • t tvol,31 361-368, 1961Vvol.33,H" 383-391 •iii *95* Bredbia С .A. The Boundary element method for engeheris.- ■ i *

94. Petch Press,- London, PLYMOUTH, 1980, p. 190. . * «96» Courant K. Variational methods for the solution of

95. Problems of equilibrium and variations.- Bull. Amer. Math, Col.',i . ,vol.49, H 1, 1943, pi 1-23.1.I • II- . I J » •

96. Turner M.J.', Clongh R.W., Martin H.O., Topp L.T.jt ■■■ г

97. Stiffnes and deflection analysis of complex structures, J.Alronaut.' a 4

98. Sci., 23, N S, 1956, p. 805-824.