Решение эллиптических и параболических краевых задач методами неполной факторизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Эксаревская, Марина Евгеньевна

• Эксаревская, Марина Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Эксаревская, Марина Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МЕТОДЫ НЕПОЛНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ ДЛЯ СЕТОЧНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1.1. Алгебраические особенности сеточных систем уравнений и постановка задачи.

1.1.1. Основные понятия и обозначения.

1.1.2. Особенности сеточных систем при неявных аппроксимациях параболических уравнений

1.1.3. Постановка двумерной параболической краевой задачи с постоянными коэффициентами.

1.1.4. Трехмерная эллиптическая краевая задача.

§1.2. Применение итерационных методов для решения сеточных систем.

1.2.1. Общие свойства и анализ итерационных алгоритмов

1.2.2. Рассмотрение метода сопряженных градиентов

1.2.3. Предобусловленный метод сопряженных градиентов

1.2.4. Применение метода неполной факторизации.

1.2.5. Корректность и устойчивость неполной факторизации

Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕПОЛНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ К РЕШЕНИЮ ДВУМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ИХ МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ

§2.1. Анализ параболической краевой задачи с постоянными коэффициентами.

2.1.1. Оценки элементов точных факторизаций.

2.1.2. Получение улучшенных оценок элементов точных факторизации:.

§2.2. Оценки неполных факторизаций модельной параболической краевой задачи.

2.2.1. Теорема об оценках норм матриц

2.2.2. Вспомогательные результаты для неполной блочной факторизации.

2.2.3. Вспомогательные результаты для неполной факторизации Холесского.

2.2.4. Теоремы об оценках чисел обусловленности предобуславливателей матрицы В.

§2.3. Методы неполной факторизации для параболических краевых задач с переменными коэффициентами.

Глава 3. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НЕПОЛНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ

§3.1. Постановка эллиптической краевой задачи и оценки блочных факторизаций.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Оценки элементов матрицы О^1.

3.1.3. Оценки элементов матрицы компенсации

§3.2. Оценки неполных факторизаций трехмерных эллиптических краевых задач

3.2.1. Теорема об оценках норм матриц С/п.

3.2.2. Вспомогательные результаты для неполной блочной факторизации.

3.2.3. Теорема об оценках предобуславливателей типа неполной блочной факторизации для эллиптических краевых задач

Глава 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

§4.1. Реализация методов решения на основе алгоритмов работы с разреженными матрицами специального вида.

4.1.1. Схемы хранения разреженных матриц.

4.1.2. Алгоритмы работы с разреженными матрицами

4.1.2. Реализация методов неполной факторизации.

§4.2. Численный эксперимент

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение эллиптических и параболических краевых задач методами неполной факторизации»

При моделировании явлений или процессов, как природно-естественного, так и технического характера часто возникает необходимость решения сложных задач математической физики эллиптического и параболического типа с использованием сеточных методов.

Зачастую при рассмотрении таких задач возникает необходимость решать их в областях достаточно сложной формы. Именно поэтому в последнее время для их решения наиболее эффективным средством стали итерационные методы неполной факторизации. Эти методы хорошо зарекомендовали себя на практике и легли в основу ряда пакетов прикладных программ. Их главными достоинствами являются рекордная практическая экономичность, высокие теоретические оценки скорости сходимости итераций и широкие возможности конструирования адаптивных алгоритмов для разных классов задач.

Большое значение при решении таких задач математической физики придается градиентным итерационным методам, в частности, методу сопряженных градиентов [39],[56]. Этот метод пригоден для областей достаточно сложной формы, когда алгоритмы типа быстрого преобразования Фурье [45], переменных направлений для прямоугольных областей [66] становятся не эффективными. Он является быстросходящимся и применяется для решения возникающих при аппроксимации исходной дифференциальной задачи систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) произвольного вида. Достаточно только, чтобы матрица этой системы была положительно определенной и симметричной. Его привлекательность обусловлена, однако, не только его весьма высокой скоростью сходимости (это достигается и у Чебышевского метода с оптимальным набором параметров [39]), но и тем, что метод не требует дорогостоящей априорной информации о матрице системы (граница спектра, число обусловленности).

Вместе с тем, для систем высокого порядка, метод сопряженных градиентов сходится достаточно медленно. Поэтому применяются различные способы ускорения метода сопряженных градиентов. В настоящей работе используется ускорение метода сопряженных градиентов с помощью неполных факторизаций.

Метод сопряженных градиентов в сочетании с алгоритмами работы с разреженными матрицами [57], [81] позволяет решать дифференциальные задачи достаточно большой размерности, порядка десятков тысяч. За последние десятилетия итерационные методы неполной факторизации, применяемые совместно со спектральными или вариационными принципами ускорения сходимости последовательных приближений, стали наиболее эффективным средством для решения многих дифференциальных задач.

Методы неполной факторизации были открыты в 50-е годы Н.И. Булеевым [25]. Методы Н.И. Булеева предназначались для итерационного решения пятиточечных и семиточечных конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих двумерные и трехмерные краевые задачи математической физики. Принципы их конструирования можно считать формальным обобщением безытерационного метода прогонки для решения одномерных краевых задач, основанного на разложении трехдиагональной матрицы в произведение нижней и верхней треугольных матриц. Существенно новым моментом для итерационных процессов явилось введение приема, названного Н.И. Булеевым принципом компенсации. Он заключается в добавлении к уравнению таких членов, которые приводят к взаимному исключению ошибок итерационных приближений, если они являются гладкими функциями координат. А это как раз представляется естественным для задач математической физики.

Несмотря на отсутствие теоретических обоснований в рассматриваемых работах, в многочисленных экспериментах по численному решению практических задач методы неполной факторизации обнаруживали высокую эффективность. Особые преимущества эти алгоритмы имели при их использовании с учетом свойств решаемых задач. Тем не менее в связи с недостатком теоретических выкладок полученные результаты еще долгое время не привлекали пристального внимания отечественных специалистов, а исследования в России долгое время продолжались исключительно Н.И. Булеевым и его учениками(В.П. Гинкиным [32],[33], В.К. Артемьевым [16], [17] и некоторыми другими).

Зарубежными учеными методы неполной факторизации неоднократно переоткрывались в последующие годы и получили дальнейшее развитие в работах О. Axelsson'a [1]-[6], R. Beauwens'a [7], X. Van der Vorst'a [14], J. Gol-ub'a [10], P.Concus'a, J. Meurant'a [9], T. Manteuffel'a [12], Y. Notay'a [13], T. Chan'a [8], P. Vassilevski [15] и многих других авторов. Они стимулировали новые исследования и привнесли ряд интересных результатов.

Одно из важных направлений работ связано с исследованием итерационных процессов на основе использования предобуславливающих матриц в виде приближенного разложения матрицы исходной системы на треугольные множители. Для симметричных уравнений это дает семейство алгоритмов, называемых разложением Холесского [39],[56]. Известно, что вычислительная сложность разложения Холесского для разреженных матриц высокого порядка определяется главным образом степенью заполнения вычисляемых треугольных матричных множителей ненулевыми элементами. Отсюда появляются различные возможности для конструирования неполных факторизаций, основанных на принудительном аннулировании некоторых новых матричных элементов в соответствии с какой-либо выбранной стратегией. В результате формируется класс итерационных процессов, отличающихся как скоростью сходимости, так и трудоемкостью реализации отдельного итерационного шага.

Другим важным моментом явилось построение алгоритмов, основанных на вычислении ленточной части матрицы, обратной к ленточной матрице со свойством диагонального преобладания. Это позволило получать хорошие приближенные факторизации для М-матриц и на их основе конструировать эффективные неявные итерационные методы. Такие подходы были рассмотрены впервые в работах В.П. Ильина [44],[41], Н.С. Бахвалова [18], С.А. Сандер [61], O.Axelsson'a [5], G. Golub'a и G. Meurant'a [9].

К настоящему времени исследования по решению дифференциальных уравнений в частных производных с помощью методов неполной факторизации пока не получили полного освещения в учебной и монографической литературе российских специалистов. Однако, следует отметить, что одним из первых систематических изложений современных результатов в данной области является монография В.П. Ильина [39]. Этой тематике посвящены также последние работы И.А. Блатова [20]-[24], А.Ю. Еремина [38], И.Е. Капорина [46], Л.Ю. Колотилиной [48].

Главными теоретическими вопросами решения краевых задач методами неполной факторизации являются обоснование самого существования и устойчивости применяемых матричных преобразований, определение условий сходимости итерационных процессов и получение оценок скорости сходимости итераций. Первые вопросы за последние годы уже практически решены, а в последних имеется еще немало открытых аспектов. Эксперименты в этой области зачастую опережают теорию и ставят ряд таких исследовательских проблем, для решения которых не хватает существующего теоретического аппарата.

Особое место здесь занимают проблемы с разреженными матрицами специальной структуры, возникающими из сеточных аппроксимаций краевых задач и предъявляющими особенно жесткие требования к быстродействию и оперативной памяти компьютера. По данной тематике изучались работы В. Вазова и Дж. Форсайта [29], Г.И. Марчука [53], [54], И.А. Блатова [21], A.A. Самарского и Е.С. Николаева [59], O.A. Ладыженской [50], В.Б. Андреева [60], А.Н. Тихонова [64].

Одной из основных трудностей при разработке и, особенно, при обосновании вычислительных алгоритмов с разреженными матрицами является то, что многие основные вычислительные операции над разреженными матрицами (обращение, переход к треугольным и ортогональным факторизациям) не сохраняют разреженность. Но вычислителями-практиками давно было замечено, что, несмотря на потерю разреженности, большинство вновь возникающих ненулевых элементов часто оказываются малыми по абсолютной величине, и замена их нулями приводит к хорошим разреженным аппроксимациям заполненных матриц, к которым применимы и эффективны вычислительные алгоритмы типа методов неполной факторизации. Теоретическое обоснование этого феномена (за исключением некоторых специальных случаев) практически отсутствовало, что не позволяло обосновать ряд существующих алгоритмов и затрудняло разработку новых. В связи с этим актуальным является любой вклад в построение соответствующей теории. В настоящем времени этой тематикой стали заниматься У. №^ау [13], И.А. Блатов [21]-[23], М. Р. Ларин [11], чьи последние работы были внимательно изучены и учтены при исследовании.

Важнейшим направлением исследований решения задач математической физики при помощи методов неполной факторизации является расширение типов систем уравнений, для которых обосновываются и эффективно применяются специальные или универсальные алгоритмы.

Одними из таких интересных в математическом плане задач являются дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического и параболического типа, аппроксимации которых приводят к алгебраическим системам. Здесь оказываются актуальными алгоритмы, учитывающие свойства исходных дифференциальных задач.

Актуальность темы обусловлена также приложениями полученных теоретических результатов к важным классам дифференциальных задач.

В постановке численного эксперимента помогли работы Х.Гулда и

Я.Тобочника [36], А.Н. Бубенникова [28], H.H. Лебедева, И.П. Скальской, Я.С. Уфлянд [51], B.C. Польского [58], С.Г. Мулярчика [55], A.B. Лыкова [52].

Таким образом, получение и обоснование эффективных алгоритмов решения параболических и эллиптических краевых задач на основе методов неполной факторизации представляет большой как теоретический так и практический интерес. Поскольку, во-первых, такие задачи большой размерности возникают во многих отраслях науки и техники, а итерационные методы неполной факторизации позволяют достаточно быстро находить их решение в условиях ограниченных вычислительных ресурсов. Во-вторых, вопросы теоретического обоснования применения данных методов для дифференциальных уравнений эллиптического и параболического типа еще недостаточно хорошо изучены.

Целью работы является изучение численного решения дифференциальных уравнений эллиптического и параболического вида с помощью методов неполной факторизации с различными видами предобуславливаниелей.

В соответствии с поставленной целью в работе анализируются разреженные матрицы сеточных систем уравнений, соответствующих исходным дифференциальным задачам, строится теория оценок их элементов, оценок элементов обратных матриц и элементов точных и неполных факторизаций. Для соответствующих задач доказываются оценки спектральных чисел обусловленности, характеризующих скорость сходимости итерационного процесса. Полученная теория применяется для решения эллиптических и параболических краевых задач в областях достаточно сложной формы.

В работе используется аппарат теории обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотических методов, элементы анализа, линейной алгебры и функционального анализа, теории итерационных методов.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, четырех

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Эксаревская, Марина Евгеньевна, 2000 год

1. Axelsson О. A class of iterative methods for finite element equations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1976. V. 9. — P. 123137.

2. Axelsson 0. A survey on preconditioned iterative methods for linear systems of algebraic equations // BIT. 1985. V. 25. P. 166-187.

3. Axelsson O. Iterative solution methods. Cambridge. University Press. - 1996.

4. Axelsson O. Incomplete block matrix factorization methods. The ultimate answer? // J. Comput. and Appl. Math. 1985. - V. 12/13. - P. 3-18.

5. Axelsson 0.,Brinkemper S.,Il'in V.P. On some versions incomplete block matrix factorization iterative method. Nijmegen: Catholic Univ., 1983.

6. Axelsson 0. A general incomplete block matrix factorization methods. The ultimate answer? // Linear Algebra and its Applications 1986. - V. 74. - P. 179-190.

7. Beauwens R., Wilmet R. Conditioning analysis of positive definite matrices by approximate factorization // Comput. Appl. Math. 1989. V. 26. P. 257269.

8. Chan T.F. Fourier analusis of related incomplete factorization preconditioned // SIAM J. Sci. Statist. 12 (1992).

9. Concus P., Golub G.H., Meurant G. Block preconditioning for the conjugate gradient method // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1985. V. 6. P. 220-252.

10. Golub G.H., Van Loan C.F. Matrix Computations. Baltimore: The Johns Hopkins Univ. Press. 1989.

11. Larin M.R. Algebraic multilevel incomplete factorization methoods for five-point matrices. Departament of Mathematics University of Nijmegen, Report No. 9636 (December 1996).

12. Manteuffel Т.A. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems // Math. Сотр. 1980. V. 34. N 150. P. 473-497.

13. Notay Y. Incomplete factorizations of singular linear systems // BIT. 1989. N 29. P. 682-702.

14. Van der Vorst H.A., Dekker K. Conjugate gradient type methods and preconditioning // J. of Comput. and Appl. Math. 1988. V. 24. P. 73-87.

15. Vassilevski P.S. Algorithm for construction of preconditioners based on incomplete block-factorizations of the matrix // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1989. V. 27. P. 609-622.

16. Артемьев В.К. Достаточные условия сходимости для одного класса неявных схем неполной факторизации. Обниинск, 1984. Препринт/ФЭИ, N 1579.

17. Артемьев В.К., Булеев Н.И. О сходимости явной схемы неполной факторизации при решении двумерных уравнений диффузии // Вопросы атомной науки и техники. Сер. физики и техника ядерных реакторов. -1983. Вып. 5(34). - С. 19-25.

18. Бахвалов Н.С.,Орехов М.Ю. О быстрых способах решения уравнения Пуассона // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1982. Т.22. N 6. -С.1386-1392.

19. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.

20. Блатов И.А. О методе неполной факторизации в сочетании с быстрым преобразованием Фурье решения дискретного уравнения Пуассона в области с криволинейной границей // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. N 3. С. 197-216.

21. Блатов И. А. Об алгебрах операторов с псевдоразрео!сенными матрицами и их приложениях // Сибирский матем. журнал. 1996. Т. 37. N 1. С.36-59.

22. Блатов И.А. Об оценках LU-разложений разреженных матриц и их приложениях к методам неполной факторизации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т.37. N 3. С. 259-276.

23. Блатов И.А. О методах неполной факторизации для систем с разреженными матрицами // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т. 33. N 7. С. 819-836.

24. Блатов И.А.,Тертерян A.A. Об оценках элементов обратных матриц и методах неполной блочной факторизации на основе матричной прогонки // Журн. вычисл. матем и матем. физики. 1992. Т. 32. N 11. С. 1683-1696.

25. Булеев Н.И. Численные методы для решения двумерных и трехмерных уравнений диффузии // Математический сб. 1960. Т. 51. N 2. С. 227-238.

26. Берг Дж., Лёфстрём Дж. Интерполяционные пространства. М.: Мир. 1980. - 316 с.

27. Блехер П.М. Оценки функции Грина разностных операторов в произвольных областях и их приложения. Препринт ИПМ. им . М.В. Келдыша АН СССР N 167 за 1981 г. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР. 1982.

28. Бубенников А.Н. Моделирование интегральных микротехнологий, приборов и схем: Учеб. пособие для спец. "Физика и технология материалов и компонентов электронной техники". М.:Высш. шк. -1989. 320 с.

29. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.:ИЛ. 1963.

30. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука. 1987. - 320 с.

31. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука. -1984. 275 с.

32. Гинкин В.П. О влиянии релаксации на сходимостьсхемы h-факторизации при решении двумерных разностных уравнений типа диффузии // Вопросы атомной науки и техники. Сер. физика и техника ядерных реакторов. 1980. - Вып. 4(13). - С. 111-114.

33. Гинкин В.П., Кончиц А.П. Элементы теории блочных итерационных методов. Обнинск, 1985. Препринт/ФЭИ, N 1738.

34. Годунов С.К.,Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука. 1977.

35. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука. 1988.

36. Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Часть 1: Пер. с англ. М.:Мир. 1990. - 349 с.

37. Джангава П.В. Об одном свойстве коэффициентов метода "прогонки". // Тр. Вычислительного центра ГрАН СССР. Тбилиси. 1976. - С. 5-13.

38. Еремин А.Ю.,Колотилина Л.Ю. Об одном семействе двухуровневых переобуславливаний типа неполной блочной факторизации. М. 1985. -Препринт ОВМ АН СССР. N 108.

39. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Физматлит. — 1995. — 288 с.

40. Ильин В.П. О скорости сходимости итераций неявных методов неполной факторизации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т. 33. N 3. С. 3-11.

41. Ильин В.П. Об итерационных методах приблиэюенной факторизации. // Новосибирск, 1982. (Препринт/ВЦ СО АН СССР, N 98).

42. Ильин В.П. Разностные методы решения эллиптических уравенний. Новосибирск: НГУ. 1970.

43. Ильин В.П., Урванцев A.JI. Об автоматизации чебышевских итерационных процессов // Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1977. - С. 133-145.

44. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагоналъные матрицы и их приложения. М.: Наука. 1985.

45. Калиткин H.H. Чсленные методы. М.: Наука. 1978. - 512 с.

46. Капорин И.Е. О предобуславливании метода сопряженных градиентов при решении дискретных аналогов дифференциальных задач / / Дифференц. уравнения. 1990. Т7 26. N 7. С. 1225-1236.

47. Колмогоров А.Н.,Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1983.

48. Колотилина Л.Ю. Об одном семействе явных предобуславливающих систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами. Ленинград. 1986. (Препринт/ЛОМИ, N 886).

49. Крылов В.И. Бобков В.В. Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 2. М.: Наука. 1997.

50. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973.

51. Лебедев H.H., Скальская И.П., Уфлянд Я.С. Сборник задач по математической физике. М.:Гостехиздат. 1955. - 420 с.

52. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк. 1967. - 599 с.

53. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1980.

54. Марчук Г.И. Шайдуров В.В. Повышение точности разностных схем. М.: Наука. 1979. - 318 с.

55. Мулярчик С.Г. Интегральная схемотехника. Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина. 1983. - 187 с.

56. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы рещения линейных систем: Пер. с англ. М.: Мир. — 1991. — 367 с.

57. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир. 1988.

58. Польский B.C. Численное моделирование полупроводниковых приборов. Рига: Зинатне. 1986. - 186 с.

59. Самарский A.A., Николаев E.H. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978. - 589 с.

60. Самарский А. А., Андреев В. Б. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971.

61. Сандер С.А. Об одной оценке для трехдиагональных матриц // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31. N 5. - С. 171-173.

62. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элелгенты функционального анализа. М.: Наука. 1965.

63. Страуструп Б. Язык программирования С++: Пер. с англ. М.: Радио и связь. 1991. - 352 с.

64. Тихонов А.Н. О методе последовательных приближений для линейных уравнении в гильбертовом пространстве // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. N 13. С. 1041-1044.

65. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Мир. 1970.

66. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз. — 1963.

67. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир. -1986.

68. Шубин М.А. Псевдоразностные операторы и их функция Грина // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1985. - Т. 49. - N 3. - С. 652-671.

69. Эксаревская М.Е. Об оценках элементов Ы1-факторизаций для модельной параболической краевой задачи//Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства: Сб. науч. тр. -Воронеж, ВГУ, 1998, с.197-204.

70. Эксаревская М.Е. О применении итерационных методов для решения параболических уравнений//Современные методы в теории краевых задач.Понтрягинские чтения IX: Тез.конф. - Воронеж, ВГУ, 1998, с.217.

71. Эксаревская М.Е. Матричная компенсация в неполной блочной факторизации для нестационарных зада^/Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз.сб.науч.тр. -Воронеж, ВГТУ, 1999, с.49-53.

72. Эксаревская М.Е. Оценки спектрального числа обусловленности в методах неполной факторизации для нестационарных задач//Сборник работ студентов и аспирантов. Вып.2 - Воронеж, ВГУ, 1999, с. 153-159.

73. Эксаревская М.Е. Асимптотически точные оценки предобуславливателей для модельной параболической краевой задачи//Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения X: Тез.конф. - Воронеж, ВГУ, 1999, с.272.

74. Эксаревская М.Е. Оценки элементов предобуславливателей для эллиптической краевой задачи с переменнымикоэффициентами//Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Тез.конф. Воронеж, ВГУ, 2000, с.201-202.

75. Блатов И.А., Эксаревская М.Е., Китаева Е.В. Об асимптотически неулучшаемых оценках предобуславливателей дискретного лапласиана//Вестник ВГУ. Естественные науки. Серия физика, математика. Вып.1-Воронеж, 2000, с.81-91.

76. Эксаревская М.Е. Исследование нестационарных краевых задач в областях слоэюной формы//Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы. Материалы конф. Т.1 - Воронеж, 2000, с.292-293

77. Стрыгин В.В., Эксаревская М.Е. Решение дифференциальных уравнений эллиптического и параболического вида с помощью методов неполной факторизации//НИИМ Воронеж, 2000 - Препринт №5,июнь, 66 с.

78. Эксаревская М.Е. Оценки предобуславливателей типа гсеполной блочной факторизации для эллиптических уравнений//Труды молодых ученых. Сб.науч.тр.- Воронеж, ВГУ, 2000, с. 203-217.

79. Эксаревская М.Е. Об оценке элементов в методе неполной блочной факторизации для параболических уравнений//Вестник факультета прикладной математики и механики. Вып.2 - Воронеж, ВГУ, 2000, с. 96-102.