Реномгрупповой анализ новых типов критического поведения при переходе к хаосу в нелинейных системах, описываемых двумерными отображениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Сатаев, Игорь Рустамович

• Сатаев, Игорь Рустамович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сатаев, Игорь Рустамович

ОГЛАВЛЕНИЕ '

Введение

ГЛАВА 1. ПЕРЕХОД К ХАОСУ ЧЕРЕЗ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА:

и *

РЕНОРМГРУППОВОИ АНАЛИЗ (обзор)

1.1. Уравнение РГ Фейгенбаума-Цвитановича

'1.2. Фейгенбаумовский тип критичности. ;

1.3. Общие замечания о коразмерности и типичности

1.4. Критические ситуации коразмерности три

для одномерных отображений

1.5. 1$итическое поведение

в бимодальных отображениях

1.6. От одномерных отображений к двумерным

1.7. Двумерное обобщение уравнения РГ

1.8. Удвоения в консервативных отображениях

1.9. Критическое поведение в системе двух логистических отображений с однонаправленной связью

1.10. Задача поиска и анализа новых типов

критического поведения

1.11. Выводы к первой главе

ГЛАВА 2. НОВМЙ ТИП КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ, АССОЦИИРУЮЩИЙСЯ

С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ РГ (тип РО)----53

2.1. Модификация модельного отображения ,

с включением обратного воздействия

2.2. Ренормгрупповой анализ

2.3. Особенности двумерных отображений

и их связь с классами универсальности

2.4. Модельное отображение и его динамика

2.5. Решение линеаризованного РГ уравнения

2.6. Динамика в критической точке и фрактальная

структура критического аттрактора

2.7. Топография пространства параметров и ее скейлинговые свойства

2.8. К вопросу об экспериментальной реализации

2.9. Выводы ко второй главе

ГЛАВА 3. УНИВЕРСАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТИПА С

3.1. "Спуск по коразмерности": модификация отображения

с включением линейного члена

* 3.2. Ренормгрупповой анализ

3.3. Модельное отображение

3.4. Динамика модельного отображения

3.5. Бесконечное самоподобное множество аттракторов

в критической точке: критический квазиаттрактор

3.6. Структура пространства параметров вблизи критической точки типа С

3.7. Выводы к третьей главе

ГЛАВА 4. НЕФЕЙГЕНБАУМОВСКИЕ ТИПЫ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ В СИСТЕМЕ ЧУА: ДВЙ1АРАМЕТРИЧЕСКИИ АНАЛИЗ ) ПЕРЕХОДА К ХАОСУ В ПРИБЛИЖЕННОМ

ОДНОМЕРНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ЧУА

4.1. Система Чуа: динамика в терминах дифференциальных уравнений

4.2. Отображение Пуанкаре для системы Чуа

4.3. Система Чуа: динамика в терминах приближенного одномерного отображения.

Фейгенбаумовская критичность в системе Чуа

4.4. Бинарное дерево циклов двойной сверхустойчивости и множество критических точек коразмерности два

в одномерном отображении Чуа

4.5. Свойства динамики в критических точках коразмерности два

4.6. Самоподобная структура пространства параметров в окрестности критических точек коразмерности два

4.7. Выводы к четвертой главе

ГЛАВА 5. НЕФЕЙГЕНБАУМОВСКИЕ ТИПЫ КРИТИЧНОСТИ

В СИСТЕМЕ ЧУА

5.1. Система Чуа: от приближенного одномерного отображения к точному двумерному

5.2. Система Чуа: трикритичность

в двумерном отображении

5.3. Критическое поведение в системе

двух контуров Чуа с односторонней связью

5.4. Выводы к пятой главе

Основные результаты и выводы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Реномгрупповой анализ новых типов критического поведения при переходе к хаосу в нелинейных системах, описываемых двумерными отображениями»

I. Введение

Актуальность работы.

На первых этапах развития ренормгруппового (РГ) метода в нелинейной динамике исследовались неподвижные точки РГ преобразования, относящиеся к одномерным отображениям. За короткое время после открытия фейгенбаумовского типа критичности

II,2] были выявлены и детально изучены сценарии перехода к хаосу через перемежаемость, разрушение квазипериодических движений [38]. Если исследуемая нелинейная система содержит более одного управляющего параметра, то у порога возникновения хаоса могут появиться новые ситуации со своими свойствами универсальности. Для сценариев, связанных с удвоениями периода, это трикритические точки 19], другие критические точки бимодальных одномерных отображений, отвечающие циклам различного периода РГ уравнения Фейгенбаума 110-14], а также двухпараметрическое критическое поведение диссипативных систем, демонстрирующих удвоения периода, вблизи нулевого значения параметра диссипации - гамильтоновский тип критичности 115-221. Указанные критические ситуации характеризуются векторным скейлингом [23]: топография пространства параметров воспроизводит себя при пересчете масштабов в некоторое число раз вдоль подходящих осей координат.

Если говорить о динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями, то при их анализе методом сечений Пуанкаре в общем случае могут получаться только обратите отображения - двумерные, если фазовое пространство трехмерно. В то же время исследование одномерных пеобршшшх отображений оказалось весьма плодотворным для понимания общих закономерностей перехода к хаосу, в частности, через удвоения

периода. При наличии диссипации, то есть сжатия элемента фазового объема, при движении вдоль траектории, точное многомерное отображение Пуанкаре во многих случаях оказывается возможным заменить на приближенное одномерное. Последнее уже не обязано быть обратимым. В частности, как оказывается, существенным моментом, ответственным за удвоения периода, и, следовательно, за сценарий Фейгенбаума, является наличие у отображения квадратичного экстремума на интервале переменной X, отображаемом в себя.

Однако возможность использовать одномерные отображения вместо сложных систем уравнений оборачивается тем обстоятельством, что соответствующие решения РГ уравнений зачастую получены и изучены лишь для модельных отображений. Возможность обнаружения нефейгенбаумовского критического поведения коразмерности два и выше в реальных ситуациях, скажем в системах дифференциальных уравнений до сих пор остается проблематичной.

Применимость одномерных необратимых отображений для исследования многомерных систем в некоторых случаях обоснована строго 1243, в других принимается как нечто самоочевидное. В последнее время, однако, были выявлены некоторые особенности, проявляющиеся при переходе от одномерных отображений к, скажем, двумерным 125, 26, 86Ь Представляется необходимым выяснение того, как это будет происходить в реальных системах, которые, как известно, в интересующих нас случаях, описываются многомерными (как минимум, двумерными) отображениями.

Возможны ситуации, когда одномерное описание принципиально неудовлетворительно. В этом случае необходимо рассматривать многомерные отображения. В частности, важную роль могут сыграть

при этом двумерные необратимые отображения. В настоящее время интенсивным исследованиям подвергаются сложные нелинейные системы находящиеся под внешним воздействием, которое может быть регулярным, например периодическим или квазипериодическим, либо хаотическим. Большой интерес также представляет приложение методов нелинейной динамики для исследования сложных систем, составленных из двух и более элементарных нелинейных подсистем со сложным поведением. Во всех этих случаях фазовое пространство имеет размерность больше трех. Для таких систем с размерностью фазового пространства 4 и более использование необратимых двумерных отображений может быть продуктивным для приближенного описания динамики (в полной аналогии с тем как это имеет место для одномерных необратимых отображений при размерности фазового пространства 3 и более). С друго^ стороны, двумерные необратимые отображения могут возникать естественным образом для систем с дискретным временем, например, в лазере с кольцевым резонатором [27].

Еще более важный, с нашей точки зрения, мотив для исследования состоит в том, что двумерные необратимые отображения могут демонстрировать новые специфические типы критического поведения при переходе к хаосу и служить простейшими представителями соответствующих классов количественной универсальности. Исходя из ренормгрупповой аргументации, мы вправе предположить, что характерные для этих ситуаций свойства универсальности и скейлинга могут встретиться при анализе динамики разнообразных реальных систем (при наличии достаточного числа управляющих параметров). Для феноменологического описания динамики нелинейных систем у порога

хаоса естественно использовать наиболее простые модели, обладающие нужным типом критического поведения, т.е. правильно передающие динамику на больших временных масштабах. При этом от модели не требуется соответствия с точки зрения "локального" поведения на малых временных масштабах, так что в один и тот же класс универсальности могут попасть системы казалось бы совершенно не похожие друг на друга по виду своих динамических уравнений. Ясно, что конструирование таких моделей само по себе представляет большой интерес и является одной из основных задач теории.

Цель диссертации. Поиск новых типов критических ситуаций на пороге хаоса в нелинейных системах, описываемых двумерными отбражениями; демонстрация возможности реализации обнаруженных в последнее.время нефейгенбаумовских типов критического поведения для реальных физических систем.

Задачи работы. Разработать стратегию и методику поиска новых типов критической динамики; провести ренормгрупповой анализ новых типов критического поведения, включающий нахождение решения двумерного РГ уравнения, описывающего динамику данного типа, и вычисление соответствующих количественных характеристик - коразмерности и универсальных скейлинг-факторов; разработать алгоритмы поиска критических точек для конкретных систем.

Для реалистической модели физической системы отыскать в пространстве параметров критические точки нефейгенбаумовского типа, исследовать скейлинговые свойства в фазовом пространстве и пространстве параметров, разработать феноменологические модели описания динамики вблизи критических точек, дать рекомендации по поиску указанных ситуаций в эксперименте.

Методы исследования. Исследования проводились в рамках метода ренормализационной группы, который позволяет вскрыть универсальный характер феноменов, имеющих место быть на границе хаоса.

Научная новизна. В работе впервые:

- обнаружены и исследованы новые критические ситуации на пороге

хаоса в двумерных необратимых отображениях; проведен

о

ренормгрупповой анализ, вычислены универсальные масштабные константы для фазового пространства и пространства параметров; получены численные результаты, подтверждающие наличие этого типа скейлинга в модельных отображениях;

- обнаружена и исследована для системы дифференциальных уравнений, описывающих реальное физическое устройство (схема Чуа), полная иерархия типов критической динамики коразмерности 4 два; продемонстрированы свойства скейлинга в ' фазовом пространстве и пространстве параметров;

- исследованы на примере схемы Чуа особенности применимости , результатов РГ анализа при переходе от описания системы с помощью приближенного одномерного отображения (в пределе сильной диссипации) к точным многомерным динамическим уравнениям;

- для автономной системы, состоящей из двух связанных контуров Чуа показано существование на границе хаоса критических ситуаций, обнаруженных ранее для двух связанных логистических отображений (критичность типа БУ и В);

Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех данных, полученных в численных экспериментах, совпадением независимых теоретических результатов и данных численного экперимента.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Двумерные необратимые отображения, обладающие особенностью типа проекции зонтика Уитни, демонстрируют на пороге хаоса новый тип критического поведения Этот тип критичности относится к классу универсальности коразмерности три, отвечающему неподвижной точке уравнения РГ (обобщенного на случай двух измерений уравнения Фейгенбаума-Цвитановича) и характеризуется наличием двумерного скейлинга в фазовом пространстве с. масштабными факторами а=-4.008157849... и Ь=-1.900071670... и трехмерного скейлинга в пространстве параметров с масштабными факторами б1=6.32631925..., б2=3.44470967... и 63=Ь=-1.900071670...

2. Двумерные необратимые отображения, обладающие особенностью типа складки, демонстрируют на пороге хаоса новый тип

критического поведения С. Этот тип критичности относится к

«

классу универсальности коразмерности два, отвечающему циклу периода два уравнения РГ и характеризуется наличием двумерного

скейлинга в фазовом пространстве с масштабными факторами

>

а=6.565350... и Ь=22.120227... и двумерного скейлинга в пространстве параметров с масштабными факторами д1=92.43126348... и б2=4.19244418...

3. Одномерное отображение Чуа, описывающее в приближении сильной диссипации динамику простого радиотехнического устройства -схемы Чуа - демонстрирует в пространстве параметров полную иерархию типов критического поведения коразмерности два на пороге хаоса, характерную для бимодальных отображений. Не все типы критичности из этой полной иерархии выживают при переходе от приближенного описания динамики схемы Чуа с помощью одномерного отображения к точному решению дифференциальных

уравнений, получаемых из законов Кирхгофа: трикритическое поведение не наблюдается при двупараметрическом анализе перехода к хаосу в схеме Чуа.

4. Две однонаправленно связанные схемы Чуа демонстрируют переход к хаосу через бикритическое поведение - тип критического поведения, обнаруженный ранее при исследовании связанных логистических отображений.

Научно-практическая значимость.

Результаты работы дают возможность количественного описания динамики нелинейных систем различной физической природы без обращения к строгим, полученным из "первых принципов", уравнениям, которые могут быть даже вообще неизвестны. Вместо этого, на основании некоторой предварительной информации самого

общего характера можно выбрать и использовать подходящую

*

каноническую модель - отображение, принадлежащее к нужному классу универсальности. Это позволяет без проведения трудоемкого исследования конкретной системы выявить структуру пространства параметров вблизи порога возникновения хаоса - как раз там, где эта структура наиболее сложно и тонко устроена. Каноническая модель может использоваться как суррогат реальной системы и в том случае, если нужно выяснить, как влияет та или иная ее модификация, например, включение внешнего воздействия или взаимодействия нескольких систем.

Результаты работы позволяют рекомендовать постановку физических экспериментов, направленных на реализацию выявленных новых типов критического поведения на пороге хаоса.

Краткое содержание. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Диссертация содержит 130 страниц текста, 46

рисунков, список литературы из 98 наименований на 12 страницах.

В первой главе представлен обзор известных результатов, которые были получены в рамках РГ подхода к исследованию перехода к хаосу через удвоения периода для одномерных семейств отображений с одним, двумя или тремя параметрами, для системы из двух одномерных отображений и для двумерных отображений, сохраняющих площадь.

Во второй главе описан новый тип критического поведения на пороге хаоса в двумерных необратимых отображениях, обладающих особенностью типа проекции зонтика Уитни. Приведены результаты РГ анализа, иллюстрации скейлинга в фазовом пространстве и пространстве параметров.

В третьей главе описан новый тип критического поведения на пороге хаоса в двумерных необратимых отображениях, обладающих особенностью типа складки. Приведены результаты РГ анализа, иллюстрации скейлинга в фазовом пространстве и пространстве параметров. ,

Четвертая глава посвящена двупараметрическому анализу перехода к хаосу в одномерном отображении, которое описывает динамику схемы Чуа в приближении сильной диссипации.

Пятая глава посвящена двупараметрическому анализу перехода к хаосу в системе дифференциальных уравнений, которая описывает динамику схемы Чуа. Исследованы особенности применения результатов РГ анализа при переходе от описания системы с помощью приближенного одномерного отображения к точным динамическим уравнениям. Рассматривается также динамика системы, составленной из двух однонаправленно связанных контуров Чуа.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на VII Школе по механике сплошных сред (Пермь, 1989 г.), на IV Всесоюзной конференции "Проблемы оптической памяти" (Телави, 1990), на II Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1990 г.), на школах "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" (Саратов,

Россия, 1991, 1994 гг.), на международном семинаре "Nonlinear

&

circuits and systems" (Москва, Россия, 1992 г.), на II Международной конференции "Fractal'93" (Лондон, 1993), на конференции "Сложная динамика распределенных систем" (Копенгаген, 1995), на Международной школе по нелинейным явлениям ISNS-95 (Нижний Новгород, 1995), на школе-семинаре "Differential Equations: Bifurcations and Chaos" (Кацивели, Украина, 1994), на Международной конференции по нелинейной динамике ICND-96 (Саратов, Россия, 1996 г.), на научных семинарах в Саратовском филиале ИРЭ РАН. По теме диссертации имеются публикации 1681-1981 (21 статья,,10 тезисов). Результаты диссертационной работы получены в рамках НИР, выполняемых в СФ ИРЭ РАН, в том числе госбюджетных НИР "Яуза", "Яуза-1" и "Яуза-2", проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований $93-02-16169, $95-02-05818, Л96-02-00717, и №97-02-16414.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Сатаев, Игорь Рустамович

Основные результаты и выводы.

Многопараметрический анализ нелинейных динамических систем с удвоениями периода приводит к выводу о существовании в пространстве параметров множества критических состояний, иерархически организованного по возрастающей коразмерности.

На границе перехода к хаосу в двумерных необратимых отображениях, обладающих особенностью типа проекции зонтика Уитни обнаружен новый тип критического поведения РО, полная коразмерность которого равна трем. Ему соответствует неподвижная точка двумерного обобщения уравнения Фейгенбаума - Цвитановича. Аттрактор в критической точке подчиняется двумерному скейлингу в фазовом пространстве, масштабные факторы скейлинга а=-4,008157849 и Ь=-1,900071670. В пространстве параметров в окрестности критической, точки типа Р0 реализуется трехмерный скейлинг с масштабными факторами ^=6.32631925, б2=3.44470967 и д3=Ь=-1.90007167.

На границе перехода > к хаосу в двумерных необратимых отображениях, обладающих особенностью типа складки обнаружен новый тип критического поведения С, полная коразмерность которого равна двум. Ему соответствует цикл периода два двумерного обобщения уравнения Фейгенбаума - Цвитановича. Аттрактор в критической точке подчиняется двумерному скейлингу в фазовом пространстве, масштабные факторы скейлинга а,Иа^) =6.565349940 и Ь#«(Р1Р2) =22.120227422. В пространстве параметров в окрестности критической точки типа Р0 реализуется двумерный скейлинг с масштабными факторами <^=92.43126348 и б2= 4.19244418.

Один из возможных способов реализации типов критичности С и Р0 в экспериментальной ситуации и в системах дифференциальных уравнений состоит в использовании связанных систем, демонстрирующих фейгенбаумовский каскад удвоений периода. .

Одномерное отображение Чуа, описывающее динамику схемы Чуа в приближении сильной диссипации демонстрирует полную иерархию типов критического поведения коразмерности два, которая следует из существования в пространстве параметров бинарного дерева циклов двойной сверхустойчивости.

Критические точки коразмерности два, соответствующие циклам РГ преобразования выживают при переходе от приближенного описания системы Чуа с помощью одномерного отображения к полному описанию динамики системой дифференциальных уравнений. Трикритическое поведение, соответствующее неподвижной точке преобразования РГ, не выживает при таком переходе. Это означает, что трикритичность не может наблюдаться как феномен коразмерности два в системе Чуа.

В системе из двух контуров >. Чуа с диссипативной однонаправленной связью наблюдается бикритическое поведение при двупараметричесом исследовании перехода к хаосу через удвоения периода. о

Считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность доктору физико-математических наук Сергею Петровичу Кузнецову за многолетнее научное руководство и доктору физико-математических •« наук, профессору Кузнецову Александру Петровичу за постоянное внимание, обсуждение и консультации. Л

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сатаев, Игорь Рустамович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Felgenbaum M.J. Quantitative universality for a class oi nonlinear transformations //J. Stat. Phys. 1978. V.19. P.25-52.

2. Felgenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations //J. Stat. Phys. 1979. 7.21. P669-706.

3. Hlrsh J.E., Nauenberg M., Scalaplno, D.J. Intermlttency In

the presence of noise: a renormallzatlon group formulation. // Phys. Lett. 1982. V. A87. P. 391.

4. Hu B., Rudnlk J. Exact solution to the Felgenbaum renormalizatlon-group equations for Intermlttency. // Phys.Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1645.

5. .Ostlund S., Rand D., Sethna J., Slggla, E. Universal properties of the transition from quasl-perlodlclty to chaos in disslpatlve systems. // Physlca. 1983. V. D8. P. 303.

6. Felgenbaum M.J., Kadanoff L.P., Shenker, S.J. Quaslperlodlclty in disslpatlve systems: Renormallzatlon group analysis. // Physlca; 1982. V. 5D. P. 370.

7. Hu B. Introduction to real-space renormallzatlon-group methods In critical and chaotic phenomena. // Phys. Rep. 1982. V. 91. N 5. P. 233.

8. Zl'sook A.B. The complete set of Haalltonlan Intermittence scaling behaviors //Commun.Math.Phys. 1984. 7.96. P.361-371.

9. Chang S.J., ffortls M. and Wright J.A. Iterative properties of a one-dlmenslonal quartlc map. Critical lines and trlcrltlcal behavior. //Phys.Rev. 1981. V.A24. P.2669-2684.

10. MacKey R.S., Tresser C. Some flesh on the skeleton: The bifurcation structure of blmodal maps. //Physlca. 198T. Vol.D27. N.3. P.412-422.

11. MacKey R.S., Tresser C. Boundary of topological chaos for blmodal maps of the Interval. //J. London Math. Soc. 1988. Vol.37. N.I. P.164-181.

12. Schell M., Fraser S., Kapral R. Subharmonlc bifurcations In the sine mape: an Infinite of bifurcations. // Phys. Rev. 1983. V.A28. N.1. P. 373-378.

13. Gambaudo J.M., Loss J.E., and Tresser G. A horseshoe for the doubling operator: topological dynamics for metric universality. //Phys.Lett. 1987. V.A123. P.60-64.

14. MacKay R.S. and van Zeljts J.B.J. Period doubling for blmodal maps: a horseshoe for a renormalizatlon operator. //Nonllnearity 1988. V.1. P.253-277.

15. Helleman R.H.G. Self-generated chaotic behavior In nonlinear mechanics. In,: Fundamental problems in statistical mechanics, ed. E.G.D.Cohen Vol.5 (North-Holl.Publ., Amsterdam, 1981) Vol.5.

16. Greene J.M., MacKay R.S., Vivaldi F., and Feigenbaurn M.J. Universal behavior in families of area preserving maps. //Physlca 1981. V.D3. P.468-486.

17. Collet P., Eckmann J.-P. and Koch H. On universality for area-preserving maps of the plane. //Physlca. 1981. V.D3. P.457.

18. Eckmann J.-P., Koch H. and Wittwer P. Existence of a fixed point of the doubling transformation for area-preserving maps of the plane //Phys. Rev. 1982. V.A26. P.720-722.

19. Wldoro M. and Kadanoii L.P. Renormallzation group analysis of area-preserving maps. //Physlca 1982. V.D5. P.28T-292.

20. Zisook A.B. Universal effects of dissipation In two-dimensional mappings. //Phys. Rev. 1981. V.A24. P.1640.

21. Gunaratne G.H. and Feigenbaum M.J. Trajectory scaling functions for bifurcations in area-preserving maps on the plane. //Physlca. 1985. V.D17. P.295-3Q?.

22. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

llchtenberg A.J. and Lleberman M.A., Regular and StochastlcMotlon (Springer, Heidelberg-New York, 1982).

23. Fraser S. and Kapral R. Universal vector scaling in one-dlmenslonal maps //Phys. Rev. 1984. ?.A25. P.3223-3233.

24. Collet P., Eckmann J.-P., Koch H. Period doubling bifurcations for families of maps on Rn. //J.Stat.Phys. 1981. v.25. pp.1-14.

25. Kuznetsov S.P. Trlcriticallty in two-dimensional maps //Phys. Lett. 1992. V.A169. P.438-444.

26. Ketoja J.A. //Physlca. 1992. Yol.D55. P.45.

27. IkedaK., DaldoH., Akimoto 0. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 709.

28. Myrberg P.J. Iteration der reelen polynome zweiten grades //Ann.Acad.Sci.Fennica. 1963. V.A336. P.1-18.

29. Шарковский A.H. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. //Укр. мат. журн. 1964. т. 16. N.1. с.61-71.

30. Metropolis M., Stein M.L. and Stein P.R. On finite limit sets for transformations of the unit interval. //J.Combinatorial Theory. 1973. V.A15. P.25-44.

31. May R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics //Nature. 1976. V.261. P.459-467.

32. Вул Ё.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума

и термодинамический формализм. УМН. 1984. т.39. N.3. с.3-37. ©

33. Ни В. and Satlja I. A spectrum of universality classes in period doubling and period tripling //Phys. Lett. 1983. V.A98. P.143-150.

34. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гуссейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М.:Наука, 1982.

35. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.:Наука, 1990.

36. Ostlund S., Rand D., Sethna J. and Slggia E.D.,Universal properties of the transition from quasl-perlodicity to chaos in dlsslpatlve systems //Physlca 1983. V.D8. P.303-342.

37. Rand D. fractal bifurcation sets, renormalizatiqn strange sets, and their universal invariants. //Proc.R.Soc. London, 1987. V.A413. P.45-61.

38. Procaccla P, Thomae S., Tresser C. First return maps as a unified renormaliatlon scheme for dynamical systems. //Phys.Rev. 1987. V.A35. P.1884-1900.

39. Chlrlkov В.У. and Shepelyansky D.L., in: Renormallzation Group, Editors: Shirkov D.V., Kazakov D.I., Vladimirov A.A., World Scientific (1988) 221-249.

40. Rand D., in: New Directions in Dynamical Systems, Editors Bedford T. and Swift J.W., Cambrige University Press (1988).

41. Kuznetsov S.P. and Pikovsky A.S. Henormallzatlon group îor

the response function and spectrum of the period-doubling system. //Phys.Lett. 1989. V.A140. P. 166-172.

42. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Новый тип критического поведения связанных систем при переходе к хаосу. //ДАН СССР. 1986. т.287. N.3. с.619-622.

43. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума. //Изв.вузов - Радиофизика, 1985, т.28, N.8, с.991-1007

44. Безручко Б.П., Пудовочкин О.Б. Колебания у порога хаоса в системе однонаправленно связанных нелинейных радиотехнических осцилляторов. //Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1992. т.35. HI. с.39.

45. С.П.Кузнецов. Динамика двух однонаправленно связанных систем Фейгенбаума у порога гиперхаоса. Изв.вузов-Радиофизика, 1990, т.33, с.788-792.

46.. Mira С. »Chaotic dynamics. World Scientific, Singapore, 1987.

47. Whitney H. Ann.Math. 62 (1955) 347.

48. Halsey T.S., Jensen M.H., Kadanoff I.P., Procaccla I. and Shralman B.I. Fractal measures and their singularities //Phys. Rev. 1986. V.A33. P.1141-1151.

49. Schmidt G. Universality of dlssipatlve systems, in: Direction in Chaos, ed. Hao Bal-lln, vol.2 (World Scientific, 1988), P. 1-15.

50. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах. //ЖТФ. 1990. т.60. в.10. с.19.

51. Астахов В.В., Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Особенности возникновения квазипериодических движений в системе диссипативно связанных нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием. //Письма в ЖТФ, 1988. Т.14. В.1. СС.37-41

52. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.:Наука, 1990. 312 с.

53. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.:Наука, 1989.

54. ChuaL.O., Komuro М., Matsumoto Т. The double scroll family. Parts I and II. //IEEE Trans. Circuits and Systems. 1986 CAS-33, pp. 1072-1118.

55. Chua's Circuit: A Paradigm for Chaos. //Madan R.N, ed. 1993. World Scientific, Singapore.

56. Komuro M., TokunagaR., Matsumoto Т., ChuaL.O., Hotta, A. Global bifurcation analysis of the double scroll circuit. //Int. J. Bifurcation and Chaos. 1991. v.1. pp.139-182.

57. Carcasses J., Mlra C., Bosh M., Slmo C., and Tatjer J.C. Crossroad area - spring area transition (1) Parameter plane representation. //Int. J. Bifurcation and Chaos. 1991. V.1. P.183-196.

58. Пиковский А.С. Взаимодействие странных аттракторов. //Препринт #79, ИПФ АН СССР, Горький, 1983, 21 с. Plkovsky A.S. On the Interaction of strange attractors. //Z.Phys. 1984. У.В55. pp.149-154.

59. Kuznetsoy S.P., Plkovsky A.S. Universality and scaling of period-doubling bifurcations in a disslpatlve distributed medium. //Physica. 1986. V.D19. pp.384-396.

60. Анищенко B.C., Арансон И.С., Постнов Д.Э., Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркация развития хаоса в цепочке связанных генераторов. // ДАН СССР. 1986. Т. 286. И 5. С. 1120-1124.

61. JohnsonG.A., LocherM., HuntE.R. Stabilizedspatotemporal waves in a convectlvely unstable open flow system: coupled diode resonators. //Phys. Rev. 1995. v. E51. pp.R1625-R1628.

62. Anishchenko V. S., Dynamical Chaos - Models and Experiments. Appearance, Routes and Structure oi Chaos In Simple Dynamical Systems (World Scientific, Singapore, 1995)

63. Кузнецов С.П. Критический квазиаттрактор: бесконечное самоподобное множество устойчивых циклов, возникающих при двухпараметрическом анализе перехода к каосу. //Письма в

ЖТФ. 1994. т.20. вып.10. с.11-15.

«

64. Genot М. Application oi 1D Chua's map Irom Chua's circuit: A pictorial guide. //J. of Circuits, Systems and Computers.

1993. v.3. n.2. pp.431-440.

65. Scheifczyk C., Parlltz U., Kurz T., Knop W., and Lauterborn

W. Comparison oi bifurcation structures oof driven disslpatlve nonlinear oscillators. //Phys.Rev. 1991. V.A43. P.6495-6502.

66. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D. and Seleznev E.P. Multiparameter model of a disslpatlve nonlinear osclllatr in the form of a one-dimensional map. //Chaos, Solitons and Fractals. 1995. V.11. P.2095-2107.

67. Badli R., Brun E., Finardl M. Progress in the analysis of experimental chaos through periodic orbits. //Rev.Mod.Phys.

1994. V.66. P.1389-1415.

Публикации по теме диссертации

68. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р. Особенности перехода к хаосу нелинейных систем, описываемых одномерными двухпараметрическими отображениями. .// Радиотехника и электроника. 1994. N 3. С. 439-445.

69. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критическая динамика у порога хаоса в простейщей потоковой системе, составленной из двух фейгенбаумовских элементов. Нелинейные колебания механических систем. //Тезисы докладов II Всесоюзной конференции (сентябрь 1990 г.). Горький, 1990, 4.1, с.95.

70. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Скейлинг и иерархическая организация диссипативных структур в одномерных решетках у порога хаоса. Нелинейные колебания механических систем. //Тезисы, докладов II Всесоюзной конференции (сентябрь 1990 г.). Горький, 1990, ч.1, с.96-97.

71. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Мультистабильные состояния решеточных структур, составленных из элементов со сложной динамикой. //Всесоюзная конференция "Проблемы оптической памяти". Тезисы докладов и сообщений. Москва, 1990, с.98-99.

72. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Иерархия критической динамики в нелинейной потоковой системе. //IX зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО АН СССР, 1991, с.93-95.

73. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критические явления в однонаправленно связанных системах Фейгенбаума. //Изв.вузов - Радиофизика, 1991, т.34, N4, с.357-364.

74. Kuznetsov S.P. and Sataev I.R. New types of critical dynamics for two-dimensional maps. //Phys. Lett. 1992. V.A162. P.236-242.

75. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P. and Sataev I.R. Bicrltical dynamics of period-doubling systems with unidirectional coupling //Int. J. Bifurcation and Chaos. 1991. V.1. P.839-848.

76. Kuznetsov A. P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Period doubling system under fractal signal: Bifurcation in the

renormalizatlon group equation. //Chaos, Solltons and «

Fractals, 1991, Vol.1, No 4, p. 355-367.

77. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р.. Воздействие фрактального сигнала на систему Фейгенбаума и бифуркация в уравнении ренормгруппы. //Изв.вузов - Радиофизика, 1991, т.34, N6, с.661-670.

78. ErastovaE.N., Kuznetsov А.Р., Kuznetsov S.Р., Sataev I.R. Two-parametric criticallty in nonlinear systems near onset of chaos. //Proc. Int. seminar "Nonlinear Circuits and systems", Moscow, 1992, Vol.2, p.131- 140.

79. KuznetsovA.P., Kuznetsov S.P., SataevI.R. Multiparametric criticallty in a laser system. Technical Digest, 1992, Opt. Soc. of America, Washington, D.C. V 16. P. 209-211.

80. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Мультипараметри-ческая критичность нелинейных систем. //Лекции по СВЧ электронике и радиофизике. IX зимняя школа-семинар. Изд. ГосУНЦ "Колледж" Саратовского ун-та, 1992, с.241-250.

81. Kuznetsov А.P., Kuznetsov S.P. and Sataey I.R. Variety of types of critical behavior and multlstabillty In period-doubling systems with unidirectional coupling near the onset of chaos //Int. J. Bifurcation and Chaos. 1993. V.3. P.139-152.

82. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Динамика однонаправленно связанных систем Фейгенбаума. Бикритический аттрактор. //Изв. высш. уч. зав. - Радиофизика, 1992, т.35, N 5, с.398-406.

83. Kuznetsov А.Р., KuznetsovS.Р., Sataev I.R. ChuaL.O. Self-similarity and Universality in Chua's Circuit via the approximate Chua's 1-D map. //Journal of Circuits, Systems and Computers, »1993, vol.3, Ho 2, p.431-440.

84. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. and Chua L.O. Two-parameter study of transition to chaos in Chua's circuit: Renormalization group, universality and scaling //Int. J. Bifurcation and Chaos. 1993. V.3. P.943-962;

In book: Chua's circuit: A paradigm for Chaos. Ed. R.N.Madan. World Scientific, Singapore, 1993, 591-621.

85. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критическая динамика одномерных отображений. Часть II. Двухпараметрический переход к хаосу. //Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993, т.1, N 2, с, 17-35.

86. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. From bimodal

one-dimensional maps to Henon-llke two-dimensional maps: does quantitative universality survive? //Phys. Lett. 1994. V.A184. pp.413-421.

87. KuznetsovA.P.,KuznetsovS.P., Sataev I.R. Multi-parameter transition to chaos and fractal nature of critical attractors. //In book: Fractals In the Natural and Applied Sciences. Ed. Novak M.M. Elsevier Science B.V. (North-Holland), 1994, p.229-239.

88. Kuznetsov A.P., KuznetsovS.P., Sataev I.R.. Multi-parameter crltlcallty at the onset of chaos in Chua's circuit and its modifications. //Differential Equations: Bifurcations and Chaos. Abstracts of School-Conference, Katslvell, Crimea, Ukraine, May 3-14 (1994). Inst, of Math., Ukrainian Acad.Sci., Kiev, 1994, p.57.

89. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P. and Sataev I.R., Three-parameter scaling for one-dimensional maps //Phys. Lett. 1994. Y.A189. P.367-373.

90. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. and ChuaL.O. Multi-parameter crltlcallty In Chua's circuit at period-doubling transition to chaos //Int. J. Bifurcation and Chaos. 1996. V.6. P.119-148.

91. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R.. A variety of period-doubling universality classes In multi-parameter analysis of transition to chaos. //Int. Conf. on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (ICND-96). Book of abstracts. Saratov, 1996, c.105.

92. Кузнецов С.П., Сатаев И.Р.. Гибрид удвоений периода и касательной бифуркации: количественная универсальность и двухпараметрический скейлинг. //Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, 1995, т.З, N 4, с.3-11.

93. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р.. Фрактальный сигнал и динамика систем, демонстрирующих удвоения периода. //Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, 1995, т.З, М 5, с.64-87.

94. Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Удвоения периода и количественная универсальность в двумерных необратимых отображениях. //В книге: Nonlinear Waves: Slnchronizatlon and Patterns. (Proc. ISNS'95, N.Novgorod, Sept.1995.) Eds. M.Rablnovich, M.Sushchlk and T.Shalieev. The Nlzhny Novgorod University Press, N.Novgorod, 1995, part 1, p.111-116.

95. KuznetsovS.P., SataevI.R.. Universality and scaling innon-lnvertible two-dimensional maps. //Physica Scrlpta, 1996, vol.167, pp.184-187.

96. Kuznetsov S.P. and Sataev I.R. Period-doubling for two-dimensional non-invertlble maps: renormalizatlon group analysis and quantitative universality. //Physica D. 1997. V.101. P.249-269.

97. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. A variety ol period-doubling universality classes In multi-parameter analysis oi transition to chaos. //Physica D, V.109,1997,91-112.

98. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах. // Регулярная и хаотическая динамика, т.2, 1997, N3-4, с.90-105.