Реконструкция эволюции равновесия тороидальной плазмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сучков, Егор Петрович

• Сучков, Егор Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сучков, Егор Петрович

Оглавление

Введение

1 Формулировки математических задач эволюции равновесия

1.1 Самосогласованные модели эволюции равновесия плазмы

1.2 Задача о восстановлении границы плазмы

1.3 Задача о реконструкции плотности тороидального тока

1.4 Реконструкция равновесия с учетом закона Ома

2 Численные методы решения обратных задач эволюции равновесия

2.1 Построение сильно различающихся решений некорректной задачи методом е-сетей

2.2 Реконструкция границы плазмы по данным магнитной диагностики

2.3 Реконструкция равновесной плотности тока

2.4 Пример расчета и анализ точности

2.5 Реконструкция напряжения тороидального электрического поля

2.6 Реконструкция эволюции равновесия

2.7 Построение существенно различных решений

2.8 Распараллеливание алгоритмов

3 Программное обеспечение

3.1 Концепция и функциональные возможности кода SDSS

3.2 Графический интерфейс пользователя

3.3 Входные и выходные данные

3.4 Технология использования

3.5 Организация параллельных вычислений

4 Результаты вычислительного эксперимента

4.1 Построение существенно различных решений обратной задачи для параметров установок MAST, JET и ITER

4.2 Роль измерений MSE в задаче реконструкции

4.3 Влияние данных поляриметрии и интерферометрии

4.4 Сравнение значимости данных MSE, поляриметрии и ин-треферометрии

4.5 Реконструкция эволюции равновесия в установке MAST

Заключение

Литература

Приложение №1 "Иллюстрации"

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Реконструкция эволюции равновесия тороидальной плазмы»

Введение

Актуальность работы

В последние десятилетия проводятся интенсивные исследования по созданию термоядерного реактора. Одно из наиболее перспективных направлений в области управляемого термоядерного синтеза (УТС) - замкнутые магнитные системы типа токамак [1, 2]. Успехи, достигнутые на установках токамак, позволяют рассматривать их в качестве способного обеспечить потребности человечества источника энергии. В конце 80-х годов прошлого века началось проектирование международного экспериментального термоядерного реактора ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor), целью которого является демонстрация экономической целесообразности использования УТС для производства энергии [3]. Сейчас проект ITER, находится в фазе активного строительства.

Существенный прогресс в исследованиях на установках токамак поставил задачу детального сопоставления эксперимента с теорией. Такое сопоставление требует применения методов математического моделирования, поскольку многие величины, фигурирующие в теории, не измеряются непосредственно в эксперименте. Одной из базовых моделей в проблеме УТС является магнитногид-родинамическая (МГД) модель, позволяющая в соответствующем приближении решать задачу расчёта равновесной конфигурации плазмы.

Возможность более точного и быстрого восстановления неизмеряемых непосредственно в процессе эксперимента параметров плазмы, таких как плотность тока и граница плазмы, позволит создать надежную технику управления разрядом и системы длительного удержания плазмы, что особенно актуально для термоядерных электростанций.

Цели и задачи исследования

• Создание методики, позволяющей исследовать с заданной точностью структуру множества решений задачи реконструкции эволюции равновесия тороидальной плазмы с неточно заданными входными данными.

• Разработка метода реконструкции границы плазмы по измерениям магнитного поля.

• Программная реализация вышеописанных методик. Разработка графического интерфейса пользователя, позволяющего облегчить процесс поиска решений обратной задачи.

• Исследование роли данных MSE (motional Stark effect; диагностики, основанной на изменении контуров спектральных линий под воздействием электрического поля, возникающего при взаимодействии заряженных частиц) [4, 5], поляриметрии (диагностики, основанной на измерении степени поляризации света и угла поворота плоскости поляризации при прохождении через плазму) и интерферометрии (диагностики, основанной на измерениях фазы волны, прошедшей через плазму) [4, 6] в задаче реконструкции плотности тока и коэффициента запаса устойчивости.

• Исследование структуры множества решений обратной задачи о реконструкции плотности тока и коэффициента запаса устойчивости с неточно заданными входными данными для параметров установок MAST (Mega Ampere Spherical Tokamak, Великобритания), JET (Joint European Torus, Евросоюз, Великобритания), ITER (Франция).

• Применение полученных теоретических результатов и созданного программного обеспечения для обработки экспериментальных данных и исследова-

ния эффективности измерительной аппаратуры на установке JET. Оценка с помощью вычислительного эксперимента необходимой точности измерений и интервала доверия реконструкций.

Научная новизна

Одной из центральных задач в проблеме УТС является задача восстановления плотности тока в плазме по измерениям магнитного поля. Однако эта задача является сильно некорректной. Определение корректности [7] может нарушаться сразу по всем трем пунктам. Помимо отсутствия или неединственности решения может иметь место неустойчивость по входным данным, т.е. близким измерениям могут соответствовать существенно различные плотности тока.

Типичные методы реконструции равновесия плазмы разыскивают лишь одно решение обратной задачи с неточно заданными входными данными. В диссертационной работе предложен способ построения всех сильно различающихся решений. Привлекая дополнительные измерения, из набора таких решений можно отобрать одно, соответствующее реальному физическому процессу. В случае отсутствия сильно различающихся решений предлженный метод дает оценку интервала доверия, который состоит из множества решений, удовлетворяющих погрешности входных данных.

Важнейшей задачей проблемы удержания плазмы в тороидальных системах является задача определения формы и положения плазмы. Информация о границе плазмы используется в качестве входной многими кодами, рассчитывающими или восстанавливающими характеристики плазмы, а также системами управления плазмой. Задача восстановления границы плазмы по измерениям магнитного поля также является некорректной, тем не менее разработаны различные методы ее решения, например, реализованные в кодах XLOC[8 - 10] и

ЕИТ[11 - 15]. Однако код ЕИТ решает слишком общую задачу, восстанавливая не только границу, но и внутренние параметры плазмы. При этом для достижения достаточной точности в дополнение к магнитным измерениям алгоритм кода ЕЕ1Т требует данные других диагностик. Недостатком кода ХЬОС является существенное использование конструктивных особенностей установки ЛЕТ и типичной формы плазмы. В диссертационной работе представлена формулировка общей математической задачи о восстановлении границы плазмы по магнитным измерениям и изложен алгоритм ее решения.

Предмет защиты составляют следующие положения:

Предложены новые постановки задач о реконструкции эволюции равновесия тороидальной плазмы.

Разработан и обоснован численный алгоритм, позволяющий с заданной точностью находить множество решений задачи реконструкции эволюции равновесия тороидальной плазмы с неточно заданными входными данными. Алгоритм также позволяет получить оценку интервалов доверия для восстановленных характеристик плазмы.

Предложены новые алгоритмы восстановления границы плазмы по данным магнитной диагностики, не использующие конструктивные особенности конкретных токамаков.

Разработан программный комплекс, реализующий предложенные алгоритмы.

Изучено влияние данных ряда дополнительных, по отношению к магнитной, диагностик в задаче восстановления плотности тока и коэффициента запаса устойчивости на устойчивость задачи по входным данным. Пока-

зано, что при достаточной точности дополнительных измерений их использование даёт возможность выделить одно решение обратной задачи с неточными входными данными, соответствующее реальному физическому процессу.

• Применение предложенных методов и программного обеспечения для обработки экспериментальных данных и исследования эффективности измерительной аппаратуры на установках токамак.

Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях и семинарах:

• Международная конференция "35th EPS Plasma Physics Conference", о. Крит, Греция, 9-13 июня 2008 года.

• VI Курчатовская молодежная школа, г. Москва, 17-19 ноября 2008 года.

• Международная летняя школа "ITER", г. Экс-ан-Прованс, Франция, 22-26 июня 2009 года.

• XVII Международная конференция "Ломоносов-2010", г. Москва, 12-15 апреля 2010 года.

• XI Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", г. Саров, октябрь 2009 года.

• XII Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", г. Саров, октябрь 2010 года.

• Семинар ИКИ РАН "Вычислительные технологии в естественных науках. Перспективные компьютерные системы: устройства, методы и концепции", Таруса, март 2011 г.

• 7-th Workshop on Data Processing Validation and Analyses. Frascati, Italy. March 2012

Публикации

Результаты диссертационной работы опубликованы в следующих статьях:

1. Д.П. Костомаров, Ф.С. Зайцев, Е.П. Сучков "Построение сильно различающихся решений некоторого класса некорректных задач с неточно заданными входными данными", ДАН, 2011, т.437, №3, с. 316-320.

2. Д.П. Костомаров, Ф.С. Зайцев, А.Г. Шишкин, Д.Ю. Сычугов, С.В. Степанов. Е.П. Сучков. Программное обеспечение библиотеки "Виртуальный токамак". // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15, Вычислительная матем. и ки-берн. 2011, с. 48-54.

3. F.S. Zaitsev, D.P. Kostomarov, Е.Р. Suchkov, V.V. Drozdov, E.R. Solano, A. Murari, S. Matejcik, N.C. Hawkes and JET-EFDA Contributors. "Analyses of substantially different plasma current densities and safety factors reconstructed from magnetic diagnostics data", Nuclear Fusion, 2011, v. 51, 103044, 10 p.

4. F.S. Zaitsev, S. Matejcik, A. Murari, E.P. Suchkov and JET EFDA Contributors. A new method to identify the equilibria compatible with the measurements using the technique of the e-nets. // 7-th Workshop on Data Processing Validatio: and Analyses. Frascati, Italy. March 2012, 1 p.

5. Ф.С. Зайцев, Д.Ю. Сычугов, А.Г. Шишкин, В.Э. Лукаш, Ю.В. Митриш-кин, P.P. Хайрутдинов, В.Н. Докука, И.Б. Семенов, A.A. Лукьяница, И.В. Зотов, В.В. Нефёдов, C.B. Степанов, Е.П. Сучков, С.А. Унучек. Концепция комплекса имитационного моделирования «Виртуальный токамак» с системами управления плазмой. // XII Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование 11-15 октября 2010. - Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2011, с. 194-195.

6. Ф.С. Зайцев, А.Г. Шишкин, Д.Ю. Сычугов, В.Э. Лукаш, Ю.В. Митриш-кин, P.P. Хайрутдинов, C.B. Степанов, Е.П. Сучков. Структура и функциональные возможности комплекса имитационного моделирования " Виртуальный токамак". // Вычислительные технологии в естественных науках. Перспективные компьютерные системы: устройства, методы и концепции. М.: ИКИ РАН, 2011, с. .

7. Ф.С. Зайцев, Д.П. Костомаров, Е.П. Сучков "Восстановление границы тороидальной плазмы по данным магнитной диагностики". Труды XII Международного семинара "Супервычисления и математическое моделирование", г. Саров, 2010, с.193-194.

8. Е.П. Сучков "Алгоритм построения сильно различающихся решений некоторого класса обратных задач". Сборник тезисов XVII Международной научной конференций "Ломоносов-2010", секция "Вычислительная математика и кибернетика", Москва, 2010, с. 149-150.

9. Ф.С. Зайцев, Д.П.Костомаров, Е.П. Сучков. Анализ существенно различных решений обратной задачи магнитной диагностики тороидальной плазмы. //XI Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование". - Саров: РФЯЦ. Октябрь 2009. С. 67.

10. F.S. Zaitsev, D.P. Kostomarov, E.P. Suchkov "Existence of substantially different solutions in an inverse problem of plasma equilibrium reconstruction". 35th EPS Plasma Physics Conference. Crete, Greece, 2008. P-1.091, 4p.

11. Ф.С. Зайцев, Е.П. Сучков. Существование решений обратной задачи для уравнения Грэда-Шафранова с сильно различающимися q. // 6-я Курчатовская молодёжная школа. - Москва: РНЦ "Курчатовский институт". Ноябрь 2008. С. 93-94.

Структура и объем

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, приводится краткая аннотация диссертационной работы по главам. Указывается научная новизна и положения, выносимые на защиту.

В первой главе формулируются различные математические задачи эволюции равновесия, решению которых посвящена диссертация. В начале главы формулируется прямая задача эволюции тороидальной плазмы, далее, используя соотношения, входящие в постановку прямой задачи, формулируется обратная задача, которая разбивается на две: восстановление границы плазмы и определение параметров внутри плазмы. Во второй части первой главы в новой постановке сформулирована общая математическая задача о восстановлении границы плазмы по магнитным измерениям. В следующей части данной главы на основе уравнения Грэда-Шафранова ,также в новой постановке, формулируется задача реконструкции плотности тороидального тока. Приводятся различные модификации постановки обратной задачи. Четвертая часть первой главы посвящена описанию задачи реконструкции эволюции равновесия с учетом закона Ома.

Во второй главе описываются разработанные численные методы решения обратных задач эволюции равновесия. В первой части данной главы излагается метод поиска сильно различающихся решений некорректной задачи с использованием теории £-сетей, описываются способы построения £-сетей. В разделе дана общая формулировка задач, представленных в первой главе, и описан алгоритм их решения. Следующая часть главы посвящена изложению алгоритма решения общей задачи о восстановлении границы плазмы по магнитным измерениям. В третьей части второй главы описывается алгоритм восстановления равновесной плотности тороидального тока. Алгоритм излагается поэтапно -сначала описывается алгоритм реконструкции тороидальной компоненты тока на основе закона Ампера, затем описывается алгоритм нахождения давления плазмы р и функции полоидального тока F, и последним этапом, учитывающим предыдущие два, является описание алгоритма восстановления непосредственно равновесной плотности тока. Далее приводится пример моделирования типичного разряда в установке MAST. Проводится анализ точности расчета, подтверждающий пригодность предложенных алгоритмов для практического использования. В разделах 2.5 и 2.6 описываются алгоритмы реконструкции напряжения тороидального электрического поля и эволюции равновесия, соответственно. Седьмой раздел второй главы посвящен изложению способа построения существенно различных решений, в нём также приводятся критерии их отбора, излагается способ построения доверительных интервалов. В последнем разделе второй главы описываются способы распараллеливания предложенных алгоритмов построения s-сетей и реконструкции эволюции равновесия.

В третьей главе дается описание программной системы, реализующей предложенные в предыдущей главе алгоритмы. В первом разделе третьей главы

сформулированы функциональные возможности кода SDSS. Следующий раздел описывает графический интерфейс пользователя, реализованный на языке Java, который позволяет автоматизировать построение и визуализацию е-сетей, задание объемных входных данных и запуск кода SDSS. В разделах 3.3 и 3.4 приводится описание входных и выходных данных кода SDSS, а также представлена методика его использования. Последний раздел третьей главы посвящен описанию организации параллельных вычислений. В данном разделе продемонстрированы преимущества использования языка Фортран 90/95/2003 для организации параллельных вычислений при решении задач проблемы УТС. Также в разделе приводится описание технологии MPI и сформулированы некоторые рекомендации по ее использованию.

В четвертой главе продемонстрированы результаты восстановления плотности тока и коэффициента запаса устойчивости с помощью алгоритма, описанного в седьмом разделе второй главы, для параметров установок MAST, JET и ITER. Построение решения проводилось с помощью кода SDSS. Для каждой из рассмотренных установок показано, что использования данных только магнитной диагностики недостаточно для однозначной идентификации физического процесса внутри плазмы. В следующем разделе главы исследована роль диагностики MSE в выделении решения, адекватного физическому процессу. Во втором разделе показано, что использование MSE-ограничения, заданного с погрешностью, сравнимой с экспериментальной, позволяет выделить решение, соответствующее реальному физическому процессу. Проведен анализ зависимости интервала доверия для плотности тороидального тока от погрешностей диагностических данных MSE. В разделе 4.3 проанализирована роль данных поляриметрии и интерферометрии. Для параметров установки JET показано, что эти диагностики также позволяют выделить решение, соответствующее ре-

альному физическому процессу. В следующем разделе приведено сравнение значимости данных MSE, поляриметрии и интерферометрии. Для каждой из этих диагностик, найдены оценки максимально допустимой погрешности аппаратуры, при которой удается выделить решение, соответствующее физическому процессу. Последний раздел главы посвящен описанию результатов реконструкции эволюции равновесия для установки MAST с использованием алгоритма, предложенного в шестом разделе второй главы.

В заключении сформулированы основные полученные результаты и выводы из проведённых исследований.

1 Формулировки математических задач эволюции равновесия

1.1 Самосогласованные модели эволюции равновесия плазмы

В тороидальной плазме развивается большое количество процессов с различными характерными временами [1, 16]. В диссертации рассматриваются относительно медленные процессы постепенного перехода одного квазиравновесного состояния в другое, вызванные самосогласованным взаимодействием плазмы и магнитного поля. С одной стороны, различные процессы в плазме изменяют давление и ток, что приводит к перестроению электромагнитного поля. С другой стороны, электромагнитное поле само влияет на эволюцию процессов в плазме.

Разработка адекватных моделей эволюции плазмы крайне важна. Такие модели и соответствующие им коды позволяют количественно изучать изменение свойств плазмы с течением времени, оптимизировать режимы удержания плазмы, исследовать процессы переноса, рассчитывать влияние неомических токов, решать другие задачи.

В наиболее общем виде самосогласованная задача эволюции равновесия тороидальной плазмы может быть описана тремя группами уравнений. Это уравнения Максвелла, уравнение равновесия и кинетические уравнения. Выпишем эти уравнения в инвариантной относительно системы координат форме.

Законы Ампера и Фарадея, условия отсутствия свободных магнитных зарядов и наличия электрических зарядов с обычными для тороидальной плазмы

предположениями о диэлектрической и магнитной проницаемости имеют вид

УхВ = (1о1 (1-1)

г) /?

Ч-В = 0. (1.3)

Уравнение равновесия выражает баланс сил

Ур = / х Б. (1.4)

Система кинетических уравнений для функций распределения fa (согласно терминологии теории вероятностей, /а есть плотность вероятности), где индекс а пробегает по всем присутствующим в плазме сортам частиц, в общем виде может быть записана так

^ = -ЗаА^' М ~ ^а/а + ^а- (1-5)

аъ Р

Здесь в левой части стоит полная производная по времени, в правую часть

—*

входит дивергенция потоков в пространстве скоростей, потери и источник частиц. Суммирование происходит по всем сортам частиц плазмы. Плазма предполагается полностью ионизованной.

Кинетическое давление р и плотность тока ] определяются по функциям распределения

р = £ паТа, па= [ /«Л, Та = I \ ^/«Л, (1.6)

а

а ^

Уравнения (1.1)-(1.7) с заданными граничными и начальными условиями дают общую математическую постановку прямой задачи эволюции равновесия плазмы. Присутствие уравнения (1.4) соответствует описанию эволюции через последовательность равновесных конфигураций. Быстрые процессы, приводящие к установлению равновесия, в модели не рассматриваются. Уравнение (1.4) является некоторым дополнительным ограничением на искомые функции, так как система (1.1)-(1.7) является замкнутой и без него. Разумность описания эволюции плазмы с использованием уравнения равновесия основывается на экспериментальных данных, которые показывают, что во многих режимах тороидальная плазма находится именно в квазиравновесном состоянии.

В диссертационной работе кинетические уравнения (1.5) заменяются законом Ома. Закон Ома характеризует свойства среды, его записывают с разной степенью детализации, в разных формах. В работе используется обобщенный закона Ома, приведённый в [1]

1 + 4 + + ^ (1.8)

о-Ц <т±

где Е - электрическое поле, з - плотность тока, сгц, ^ц и <т_|_, з±_ - проводимость

—»

плазмы и компоненты тока параллельные и перпендикулярные магнитному —* —*

полю В, V - скорость движения плазмы. Член

т=? _ Зайй, || За<1<1,1.

Еа(Ы =--1--

о" || а±

учитывает внешние силы неэлектрического происхождения. Дополнительный ток Зам = /а^;|| + ЗаМ;± не включён в 3, он используется лишь для удобного представления Ёа

Eadd учитывает силы, которые приводят к возникновению токов, связанных с градиентом давления р (бутстреп-ток [17-22], ток Пфирша - Шлютера [23], диамагнитный ток), генерируемых ВЧ-волнами [1,24], инжекцией нейтралов [2527], индуцированных меняющимся магнитным полем [28], и т.д.

Модели эволюции плазмы рассматривались во многих работах, например: [18, 1, 29, 30, 31]. Некоторые модели реализованы в кодах TR.ANSP [29], TSC [30], DINA [31] и ASTRA [32].

Сформулируем достаточно общую, доступную для реализации на ЭВМ, самосогласованная модель эволюции равновесия тороидальной плазмы. Формулировка обратной задачи представлена в разделе 1.3 с использованием соотношений, входящих в прямую задачу.

В рассматриваемой модели предполагается аксиальная симметрия магнитного поля É. Вектор В представляется с помощью двух скалярных функций ip{t, R, Z) и F(t, ß, Z) (см. рис. 2)

1 /

В = - (Уф х Сл + Fi^

Здесь iv - единичный вектор в тороидальном направлении в системе цилиндрических координат (R,rj, Z). Объясним физический смысл функций ф и F.

Функция ф характеризует поток магнитного поля через круг S с центром на оси Z, лежащий в плоскости Z = const

Ф = J BV0\dS + "00,

где фо - произвольная константа, Вро\ - полоидальная компонента магнитного поля. То есть 2ттф - поток полоидального магнитного поля В через поверхность S. Величину ф называют функцией полоидального потока, а иногда, для крат-

кости, полоидальным потоком. Функция ^ выражается, как

то есть Р пропорциональна полоидальному току, текущему через поверхность 5.

Математически прямая задача формулируется следующим образом. Требуется найти функции ф, Р и Гр, удовлетворяющие уравнению равновесия Грэда-Шафранова в аксиально-симметричном магнитном поле:

„д/1 дф\ д2ф „ , „

( др& ф) 1 д^ф) ь

МЩя - щщг - вне гРй

^ ¿=1

и усредненной продольной (по отношению к магнитному полю) компоненте обобщённого закона Ома в Гр(£) [33, 34]

т V 7 эф

/Ю<г\\ (*, Ф& я, г)) дф <тц (¿, де, д, £))

х

х - + £(*,#£, (1.10)

где

О* = / ' B^dl/ I B^dl,

Jib—const J%b=const

I ^>=const J ip=с

dt dt

(R,Z)e{(R,Z):ip=const}

2 / о / \ 21

2 /^maxW Г

C(i, = / f (Bpoi)-1^,

; fc=1 Jzmin(ip) Jip= const

V) = Ik(Zm&M)Jk(Zm^))/ <f (Bpoi^dl,

J%jj=const

R, Z'))

dZ

R=Rk{t,Z)

J H 7)= fZ (R' У) i(dR(t,Z')/8Z'f + l)1/2\ ,7,

ay v__z, вЖКгГ) jm)dZ-

Использованы обозначения, принятые в [2]: (R,rj,Z) - цилиндрические координаты с осью Z, направленной вдоль оси аксиальной симметрии; ip(t,R,Z)

- функция полоидального потока, равная ковариантной компоненте Av вектор—> —» —*

ного потенциала магнитного поля В = V х A; F(ip) - функция полоидального тока, связанная с тороидальным магнитным полем Bt0T = F/R-, p(t, ф) - кинетическое давление, которое здесь считается либо заданным из измерений, либо рассчитанным по модели радиального транспорта [1]; Tp(t) - граница граница плазмы, определяемая как замкнутая магнитная поверхность ф = const максимальной ширины; Ji(t) - токи в соленоиде, катушках полоидального поля и стенках камеры; jv(t, R, Z) - плотность тороидального тока; в уравнении (1.10)

вектор jadd учитывает внешние силы неэлектрического происхождения; интегрирование по dl проводится по кривой (ф =const, г) =const), т\ - тороидальный угол; ZrT1in('0) и - минимальное и максимальное значения Z для задан-

ного ф\ Rk{t, Z), к = 1, 2 - параметризация двух ветвей кривой ф — const в плоскости (R, Z) между точками Zm-т{Ф) и в которой Z рассматривается в качестве параметра. Производная дф^, ф^, R, Z))/dt понимается как производная по первому аргументу на линии (R, Z) G {(R, Z) : ф(t, R, Z) = const, то есть рассматривается изменение ф по t относительно фиксированной во времени магнитной поверхности R, Z) — const. При таком понимании зависимость R и Z на линии уровня ф от t не надо учитывать при вычислении производной.

Уравнение (1.9) рассматривается в неограниченном пространстве переменных (R,Z), а уравнение (1.10) внутри плазмы. Дополнительные условия определяются выражениями

= = (1.11) lim '</'(/■, R, Z) = lim ф(Ь, R, Z) = 0, (1.12)

R->0 R^oо

Z oo

F(iJÄ,Z)|rp(i) = ^/rod(i), (1.13)

W = [ Jrjds. (1.14)

Здесь S^ - сечение плазмы, часть меридианальной плоскости, высекаемая поверхностью ф = const; /rod(fi) - ток, протекающий через центральный сердечник, Ip{t) - полный тороидальный ток в плазме.

Согласование электромагнитных и кинетических процессов в уравнениях (1.9) и (1.10) происходит следующим образом.

Кинетические параметры входят в уравнения для электромагнитного поля

через давление р, продольную проводимость сгц и дополнительные токи jadd■

Важно отметить, что в рассматриваемой модели плотность тока у не надо рас—*

считывать из кинетических уравнений, так как они уже использованы для ] в виде закона Ома. Поэтому кинетические уравнения остаются лишь для вычисления р, сгц и дополнительных токов Результаты моделирования показывают, что кинетические параметры, как правило, оказывают сильное влияние на электромагнитное поле.

1.2 Задача о восстановлении границы плазмы

В диссертационной работе сначала формулируется прямая задача эволюции тороидальной плазмы, потом на основе соотношений, входящих в прямую задачу, формулируется обратная, которая разбивается на две: восстановление границы плазмы по данным магнитной диагностики вне плазмы и реконструкция параметров внутри плазмы (см. рис. 1).

Обозначим оператор Грэда-Шафранова следующим образом

Вне плазмы выполнено уравнение

ь

А*ф = - Яс,г)6{2 ~ Д»), (1-15)

г 1

где (-КС)г, %с,г) ~ координаты витков токов полоидальных катушек и соленоида. Известны значения функции полоидального потока фк в точках измерения (Як, Яъ), расположенных вне плазмы, к = 1,..., Ке.

Требуется найти границу плазмы, под который понимается замкнутая линия уровня функции ф максимальной ширины. То есть такая замкнутая линия уровня, что высекаемый ей на оси Я отрезок имеет максимальную длину. Таким образом, задачу восстановления границы плазмы Тр можно свести к задаче поиска функции ф, удовлетворяющей уравнению (1.15) и следующим соотношениям

Ф |гр = Фъ, Ф |гто = Фьл а*ф = -цоЩяоь, (1-16)

где фь - значение ф на границе плазмы, фЬ} - значение ф вблизи стенок камеры и пассивных элементов ^оь - плотность тока в приграничной с плазмой области. Значения фь и фу, определяются в процессе решения задачи, ^оь задается из другой модели.

Принципиально новым в данной постановке задачи является использование информации о значении функции полоидального потока вблизи стенок камеры и пассивных элементов, а также информации о токах в приграничной с плазмой области [35], управляющих катушках и соленоиде.

1.3 Задача о реконструкции плотности тороидального тока

Рассмотрим задачу реконструкции плотности тороидального тока Я, Z). Эта задача сводится к поиску функций (ф,р,Г) (см. описание к задаче (1.9)-(1.14)) внутри плазмы. Считаем, что граница известна из решения задачи предыдущего раздела.

Математически задачу можно сформулировать следующим образом: рас-

сматривается уравнение Грэда-Шафранова внутри плазмы,

Д

(1.17)

(1.18)

и базовые дополнительные условия

(1.19)

(1.20)

дфк

Ф /ЦФ|| < <5, где, например ||Ф|| =тах|Ф|, (1-21)

(ВДег,

р

(1.22)

где Гр - известная граница плазмы,0р - известное значение функции полоидаль-ного потока на границе плазмы, Ф - производная по внешней нормали на Гр, заданная с известной погрешностью 5. Также считаются известными ток через центральный сердечник /гос1 и полный ток I.

Задаче восстановления плотности тока посвящено достаточно большое количество работ [36]-[46]. Известно, что данная задача является сильно некорректной. Определение корректности [7] может нарушаться сразу по всем трём пунктам. Помимо отсутствия или неединственности решения может иметь место неустойчивость по входным данным, когда близким измерениям удовлетворяют существенно различные плотности тока.

Для устранения данного недостатка в диссертации предложена новая постановка задачи, использующая помимо базовых дополнительных условий (1.19)-

(1.22) специальные дополнительные условия

||х№, гг) - ХМ8Е{Яг, ¿г)Ц < ¿м8е, (1-23)

х(Я, г) = аг^ап ' * = ''''ЛГшЕ'

II (аг - ар1гтд)/«р1гшд|| < ¿р1гт, (1-24)

он = Ср1гт [ 2'2 '* пе{я{1), г(1))<й, % = 1,... л^.

|(Дф. _ ДФ^г£д)/ДФад|| < (1.25)

Аф, = Сьш / Пе(Д(/), £(0)<й, * = 1, ... Л^гЬ

где

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сучков, Егор Петрович

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Предложены новые постановки задач о реконструкции эволюции равновесия тороидальной плазмы. Разработан численный алгоритм для исследования с заданной точностью структуры множества решений данных задач. Создана методика отбора дополнительных условий, позволяющая выделить решение, наиболее адекватное реальному физическому процессу. Предложены и обоснованы новые последовательные и параллельные алгоритмы восстановления границы и внутренних параметров плазмы по заданным с погрешностью измерениям.

2. Новые подходы реализованы в программном комплексе SDSS, написанном на языках Fortran 2003 и Java. Комплекс имеет развитый графический интерфейс пользователя, позволяющий автоматизировать процесс поиска решений обратной задачи и визуализировать большое количество связанных с ней массивов данных.

3. Исследована структура множества решений задачи о реконструкции плотности тока и коэффициента запаса устойчивости с различными дополнительными ограничениями для параметров установок MAST, JET и ITER. Показано, что обратная задача, основанная только на магнитных измерениях, является сильно неустойчивой по входным данным и имеет решения, соответствующие различным режимам удержания плазмы. Изучена роль измерений MSE (motional Stark effect), поляриметрии и интерферометрии в выделении решения.

4. Полученные теоретические результаты и созданное программное обеспечение составили основу одного из приоритетных проектов Евроатома по обработке экспериментальных данных и исследованию эффективности измерительной аппаратуры на установке JET. Предложенные методы в сочетании с масштабным вычислительным экспериментом позволили обосновать достоверность идентификации физического процесса и оценить интервал доверия для реконструкций.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сучков, Егор Петрович, 2012 год

Литература

1. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. - М: Наука, первое издание 1982, 320 е., второе издание 1993, 336 с. (Издание на англ. языке: Yu.N. Dnestrovskij, D.P. Kostomarov. Numerical Simulations of Plasmas. Springer-Verlag, New-York, 1986.)

2. Зайцев Ф.С., Математическое моделирование эволюции тороидальной плазмы. - М.: МАКС Пресс, 2011, второе издание, 640 с.

3. R.Aymar, P.Barabaschi and Y.Shimomura. The ITER design // Plasma Phys. Control. Fusion 44 (2002) 519-565.

4. А.А. Галеев, P. Судан. Основы физики плазмы: в 2-х т., том 2. - М.: Энер-гоатомиздат, 1983, 640 с.

5. Т. Fujita, Н. Kuko, Т. Sugie, N. Isei, К. Ushigusa. Current profile measurements with motional Stark effect polarimeter in the JT-60U tokamak, Fusion Engineerir and Design 34-35, 1997, pp. 289-292.

6. John Wesson. Tokamaks. Third edition, Clarendon Press - Oxford, 2004, 755 PP-

7. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986, 288 с.

8. D.P. O'Brien, J.J. Ellis and J. Lingertat. Local expansion method for fast plasma boundary indentification in JET. Nucl. Fusion. 1993, v. 33, p. 467-474.

9. A. Beghi, A. Cendese. Advances in real-time plasma boundary reconstruction. From gaps to snakes. IEEE Control Systems Magazine, vol. 25, No. 5, 2005, p. 44-64.

10. F. Sartori, A. Cenedese, F. Milani. JET real-time object-oriented code for plasma boundary reconstruction. Fusion Engineering and Design. 2003, v: 66-

68, p. 735-739.

11. Lao L.L., et. al. Reconstruction of current profile parameters and plasma shapes in tokamaks. Nucl. Fusion 1985, v. 25, p. 1611-1622.

12. M.L. Walker, D. A. Humphreys, J.R. Ferron. Multivariable shape control development on the DIII-D tokamak. Preprint at the 17th IEEE/NPSS Symposium on Fusion Engineering. 1997, 4 p.

13. M. Brix, N.C. Hawkes, A. Boboc, V. Drozdov, S.E. Sharapov. Accuracy of EFIT equilibrium reconstruction with internal diagnostic information at JET. Preprin in Proceedings of the HTPD High Temperature Plasma Diagnostic. 2008, 7 p.

14. M.J. Lanctot, H. Reimederes, A.M. Garofalo, M.S. Chu, Y.Q. Liu, G.A. Navratil, et. al. Measurement and modeling of three-dimensional equilibria in DIII-D. Physics of Plasmas. 2011, No. 18, 9 pp.

15. Lao L.L., et. al. MHD Equilibrium Reconstruction in the DIII-D Tokamak. Fusion Sci. Technol., 2005, v. 48, p. 968.

16. Ж.А. Биттенкорт. Основы физики плазмы / Пер. с англ. под общ. ред. Л.М. Зеленого. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 584 с.

17. Галеев А.А., Сагдеев Г.З. "Неоклассическая11 теория диффузии. Вопросы теории плазмы. -М.: Атомиздат, 1973, вып. 7, с. 205-245.

18. Hinton F.L., Hazeltine R.D. Theory of Plasma Transport in Toroidal Confinemen Systems. Reviews of Modern Phys. 1976, April, v. 48, # 2, Part 1, p. 239-308.

19. Hirshman S.P. Finite-Aspect-Ratio Effects on the Bootstrep Current in Tokamak Phys. Fluids. 1988, v. 31, No. 10, p.3150-3152.

20. Wu Y., White R.B. Numerical simulations of bootstrap current. Phys. Fluids B. 1993, v. 5, p. 3291-3298.

21. Sauter О., Angioni С., Lin-Liu Y.R. Neoclassical conductivity and bootstrap current formulas for general axisymmetric equlibria and arbitrary collisionality regime. Physics of Plasmas. 1999, v. 6, n. 7, p. 2834-2839.

22. Sauter O., Angioni C., Lin-Liu Y.R. ERRATUM: "Neoclassical conductivity and bootstrap current formulas for general axisymmetric equlibria and arbitrary collisionality regime". Physics of Plasmas. 2002, v. 9, n. 12, p. 5140.

23. Wilson H.R. SCENE-Simulation of Self-Consistent Equilibria with Neoclassical Effects. Report UKAEA FUS 271, 1994, 23 p.

24. Bonoli P.T., Englade R.C. Simulation model for lower hybrid current drive. Phys. Fluids. 1986, v. 29, p. 2937-2950.

25. Леонов B.M., Лысенко C.E., Зайцев Ф.С., Смирнов А.П., Чернов А.А. Генерация тока инжекцией нейтралов в токамаке некруглого сечения. Препринт No. 5028/7. - М :ИАЭ, 1990, 20 с.

26. Start D.F.H., Cordey J.G. Beam-induced currents in toroidal plasmas of arbitrary aspect ratio. Phys. Fluids. 1980, v. 23, p. 1477-1478.

27. Mikkelsen D.R., Singer C.E. Optimization of steady-state beam-driven tokamak reactors. Nuclear Techn. Fusion. 1983, v. 4, p. 237-252.

28. Чен Ф. Введение в физику плазмы. - М.: Мир, 1987, 398 с.

29. Budny R.V., et.'al. Simulations of deuterium-tritium experiments in TFTR.. Nuclear Fusion. 1992, v. 32, p. 429-447.

30. Jardin S.C., in: Multiple Time-Scales. Academic Press. New York, 1985, p. 185.

31. Khayrutdinov R.R., Lukash V.E. Studies of Plasma Equilibrium and Transport in a Tokamak Fusion Device with Inverse-Variable Technique. J. Сотр. Phys. 1993, v. 109, p. 193-201.

32. Pereverzev G.V., et. al. Kurchatov Inst, of Atomic Energy preprint IAE-5358, 1992.

33. Kostomarov D.P., Zaitsev F.S., Shishkin A.G. The problem of evolution of toroidal plasma equilibria. Computer Physics Communications. 2000, v. 126, No. 1, pp. 101-106.

34. Zaitsev F.S., Shishkin A.G., Kostomarov D.P. The numerical solution of the self-consistent evolution of plasma equilibria. Computer Physics Communicationi 2004, v. 157, No. 2, Pp. 107-120.

35. R. Kaiser, D. Lortz and G.O. Spies. Constant toroidal current density. Plasma Corners, 1991, pp. 529 - 534.

36. Andreev V.F., Zotov I.V., Popov A.M. Inverse problems for partial defferential equations in computational plasma diagnostic. ILL-Posed Problems. Abstract of the Reports at the International Conference. 1991, Moscow, Printed at the Keldysh Inst. Of Appl. Math. P.47.

37. Зотов И.В., Вабишевич П.Н. Восстановление плотности продольного электрического тока в токамаке по результатам магнитных измерений. Физика плазмы. 1988, т. 14, No. 11, с. 1299-1307.

38. D.W. Swain, G.H. Neilson. An efficient technique for magnetic analysis of non-circular, high-beta tokamak equilibria. Nuclear Fusion. 1982, Vol. 22, No. 8, p. 1015-1030.

39. J.R. Ferron, M.L. Walker, L.L. Lao, H.E. St. John, D.A. Humphreys, J.A. Leuer. Real time equilibrium reconstruction for tokamak discharge control. Nuclear Fusion. 1998, Vol. 38, No. 7, p. 1055-1066.

40. Дегтярев Л.М., Вабишевич П.Н. О численном решении обратной задачи МГД равновесия. Препринт ИПМ АН СССР, 1978, No. 74, 15 с.

41. Дегтярев JI.M., Бесполуденный С.Г., Вабишевич П.Н., Дроздов В.В., Пи-стунович В.И. Расчет полоидального магнитного поля в токамаке. Препринт ИМП им. М.В. Келдыша АН СССР, 1981, No. 135, 22 с.

42. Degtyrev L.M., Drozdov V.V. An inverse variable technique in the MHD equilibrium problem. Comput. Phys. Rep. 1985, v.2, p.341-388.

43. Maki Kishiomoto, Kaoru Sakasai, Katuyuki Ara, Takaaki Fujita, Yasuo Suzuki. Reconstruction of Plasma Current profile of tokamaks using combinatorial optimization techniques. IEEE Transactions on plasma science, vol. 24, NO. 2, April 1996, p. 528-538.

44. Kuznetsov А.В., Sychugov D.Yu., Shchepetov S.V. Is it possible to extract information on the plasma pressure profiles from magnetic measurements in stellarator? Nuclear Fusion. 1994, v. 34, No. 2, pp. 185-190.

45. Kuznetsov А.В., Shchepetov S.V. Method of magnetic analysis for stellat-ator equilibria. Nucl. Fusion. 1997, v. 37, No. 3, p. 371-380.

46. J.L. Luxon, B.B. Brown. Magnetic analysis of non-circular cross-section tokamak, Nuclear Fusion. 1982, v. 22, No. 6, pp. 813-821.

47. Д.П. Костомаров, Ф.С. Зайцев. Самосогласованная реконструкция эволюции равновесной конфигурации тороидальной плазмы. Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006, No. 3, с. 35-43.

48. А.Н. Колмогоров, В.М. Тихомиров, ^-энтропия и ^-емкость множеств в функциональных пространствах. Успехи мат. наук. 1956, т. XIV, вып. 2(86), с. 3-86.

49. Maple. (http : //wwww.maplesoft.com)

50. Самарский А.А Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989, 432 с.

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1984, 834 с.

52. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. - М.: Наука, 1984, 320 с.

53. Pustovitov V.D. Magnetic diagnostics: General principles and the problem of reconstruction of plasma current and pressure profiles in toroidal systems. Nucl. Fusion. 2001, v. 41, p. 721-730.

54. Д.П. Костомаров, Ф.С. Зайцев. Самосогласованная реконструкция эволюции равновесной конфигурации тороиадальной плазмы. Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006, No. 3, с.35-43.

55. Lao L.L., et. al. Separation of (3P and ^ in Tokamaks of Non-Circular Cross Section. Nucl. Fusion. 25 (1985) 1421.

56. Freidberg J.P., et. al. Why ¡3P and k Cannot Be Separately Measured in a Near Circular Tokamak Plasma Phys. Control. Fusion 35 (1993) 1641.

57. JavaDoc for Java 2 API v 1.4.101.

http : //java.sun.com/j2se/lA.l/docs/api/ http : //java.sun.com/docs/index.html

58. Java Swing documentation, http : //docs.oracle.com/ javase/tutorial/uiswing

59. Gnuplot. (http : //www.gnuplot.info)

60. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления.-Санкт-Петербур БХВ-Петербург, 2002, 599 с.

61. М. Snir, S. Otto, S. Huss-Lederman, D. Walker, J. Dongarra. MPI: The complete reference. The MIT Press, 1996.

62. MPI: The message Passing Interface,: //parallel.ru/tech/techdev/mpi.ht'i

63. MPI-2 standart. http : //www.mcs.anl.gov/research/projects/mpi/mpi — standard/mpi — report — 2.0/mpi2 — report.htm

64. MPI-1 standart. http : //www.mcs.anl.gov/research/projects/mpi/mpi — standard/mpi — report — 1.1/mpi — report.htm

65. D.P. O'Brein, L.L. Lao, E.R. Solano, M. Garribba, T.S. Taylor, J.G. Cordey and J.J. Ellis. Equilibrium analysis of iron core tokamaks using a full domain method. Nucl. Fusion. 1992, v. 32 p. 1351.

66. Polevoi A.R., et. al. in Fusion Energy 2002 (Proc. 19th Int. Conf. Lyon, 2002) (Vienna: IAEA) CD-ROM file CT/P-08.

67. L.E. Zakharov, et. al. The theory of variances in equilibrium reconstruction. Phys. of Plasmas. 2008, v. 15, 092503.

68. B.W. Rice, K.H. Burrell, L.L. Lao. Effect of plasma radial electric field on motional Stark effect measurements and equilibrium reconstruction. Nuclear Fusion. 1997, Vol. 37, No. 4, p. 517-522.

69. S.H. Batha, F.M. Levinton, S.P. Hirshman, M.G. Bell, R.M. Wieland. Sensitivity of equilibrium profile reconstruction to motional Stark effect measurements. Nuclear Fusion. 1996, Vol. 36, No. 9, p. 1133-1143.

70. J.P. Qian, et. al. Equilibrium reconstruction of plasma profiles based on soft x-ray imaging in DIII-D. Nucl. Fusion. 2009, v. 49, 025003.

71. M.F.M. de Bock., et. al. Ab initio modeling of the motional Stark effect on MAST. Review of Scientific Instruments. 2008, v. 79, 10F524.

Приложение №1 "Иллюстрации"

Рис. 1: Схема вертикального сечения камеры токамака. Датчики магнитной диагностики обозначены крестиками.

Ф const

Рис. 2: Системы координат: (R, г), Z) - цилиндрическая, (ф, 77, £) - связанная с поверхностью ф — const.

3

С!)

О -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

Рис. 3: Пример простейшей е-сети полиномов, М = 4, £* = 0.5. Изображены лишь некоторые элементы £-сети.

Рис. 4: Схема построения г-сети.

о 0.2 0.4 0.8 0.8 1

и

Рис. 5: Пример е-сети- полиномов на сетке, М = 16, г* = 0.25. Изображены лишь некоторые элементы £-сети.

и

Рис. 6: Пример £-сети сплайнов, е* = 0.3. Изображены лишь некоторые элементы £-сети.

4 5 6 7 8 9

Рис. 7: Граница плазмы в плоскости (Я, Z). Штриховая линия соответствует решению прямой задачи, тонкая - решению обратной задачи с использованием трёхпараметрической аппроксимации, толстая - аппроксимации е-сетями сплайнов.

Я [111]

Рис. 8: Тонкие линии соответствуют плотности тороидального тока ^^ на равновесии в экваториальной плоскости Z = 0. Штриховой линией изображено решение прямой задачи, сплошной - восстановленные значения, штрих-пунктирной - реконструированные при 30-процентной систематической ошибке в измерениях фт в сторону меньших значений (наихудший случай). Толстые линии соответствуют функции полоидального потока ф. Смысл различных толстых линий тот же.

Рис. 9: Тонкие линии соответствуют производной р по ф, толстые - производной Г2. Штриховыми линиями показано точное значение, сплошными -восстановленное, штрих-пунктирными - восстановленные при наличии случайной ошибки из коридора ±10% в значениях jr] и ф.

, GUI for SDSS -----,------ - - -

i' I.DpDrho : 2.Df2''Drho ' 3.SDSS

CJ I ËD - Ц

gMmus and gPlus

Number ot coefficients in poiynom gt.linus: 3 : Load Save | ! Delete t

jCoeîflcientO = 0.1 Coeffidentl = 0.7 Coefficient = -0.6

Number of coefficients in poiynom gPlus; j3

Load

Save ! £ Delete

;Coefflci6ntO = 0.8 jcoeffidentl = 0.9 Coefficient = -1.0

EpsNet

Use poiyrioms О Use splines

Э Set derivative in several intervals Definition of epsilon net

Set default

Calculate

Load

T

j Mam eps-netparams : Uniform eps-netparams

Segment for construction of the epsilon-net on ia.o], 0<=a«;=a<=1 : (a: 0.0 |b : 10

Degree ofthe poiynom: on [a.b| : 3

Degree of the poiynom: on [0,1Wa,bJ (set upper to skip that option): ¡lower : 0

j

U I

I

L_ i

Delete

Plot poiynoms

Select

Œ

J_ Load

Рис. 10: Фрагмент графического интерфейса кода ЭБЭЭ. Закладка Бр/БЛо, построение г-сети полиномов, используя основные параметры.

¿i GUI for SPSS

.OpiDrhc

i

gPJinus and gPIus

2.Df2»'Qrho I 3.SDSS

Number of coefficients in poiynom gMinus: |3_

Load

Save

Delete

'CoefficientO = 0.1 'Coefficient! = 0.7 ■¡Coefficient? =-0.6

„

i

Humber of coefficients in polynom gPIus: «3_____

( Load , Save

Delete

aete j

•CoefficientO = 0.8 :Coefflcient1 = 0.9 !Coefficient2 = -1.0

a

EpsNet

Use poiyncms О Use splines

C»> Set derivative in severaf intervals Definition of epsilon net

Set default

Calculate

I i. [ Load ]

Delete

"1

Main eps-net params I Uniform eps-net params

dumber N of intervals with different derivativeimaximum number is 10}: 3; Boundaries of the intervals with the given derivatives

4!

,;(fJM + 1) points): 0.0, 0:1,0.8,1.0;

¡¡The value of the derivative in each internal: 3.0 , 5.0. 6.0:

.¡¡Set cehavior of pclj-nim/splme for each intervai(1-monotonic increase.

l0!-non rnonotonic,-1-monotonic decrease): 1,0.-1:

я:

PlotpoJyncms

Рис. 11: Фрагмент графического интерфейса кода ЗОББ. Закладка Ор/БЛо, построение £-сети полиномов, используя дополнительную информацию о монотонности искомых полиномов.

£ ?.1й1)й{>з 1е1рэ*4'п$ ияи'очп ее 5-чеЕ ^ндгчй

$ Зудгее оШе ро? пегч 0153.01:3

| СергеесИпегепетпг^з с '1 :о5юр№з1оо!;оя1:

| иррег -1

| >А££о1и1г зесигзе/ о'лЬе ерзиол г=е!: 0.1

5 "Са1С1!1215 опч-тв питсег оГ ерзЛол ©¡ететзго-шн езюЛзйол): о

5е1ес! : йо£

----- РкЛро>упо1п$ изе т535$ 1

Рис. 12: Фрагмент графического интерфейса кода БОБЯ. Построение графиков выбранных элементов с помощью пакета СпиркЛ.

1,Dp.-'Drho i 2,Df2;Drho f 3.SDSS

The main physical parameters

■jTotal current: 2374462 ¡Rodcurrent:-35337631 ¡Difference in kappa : 0.15 ¡Difference in 6:0.1

.Difference in totoal taroiaal currant: 0.0001

¡Absolute path to file with plasma aorder: defaults/ITER.tet

(Total numDerofR.H.S. in the equilibrium equation : 0

| Plasma boundary IJ

Save

Load

List of constraints

jmse[1-used, 0-igrioreol= 0 ¡difflnMse [degree; = 0.022

Save

Load

Constraint file

Run ScopeShell Qj.t

»

^¿шттшттжт&я»^.;.

Рис. 13: Фрагмент графического интерфейса кода SDSS. Закладка SDSS.

R (m), Z = 0

Рис. 14: MAST. Плотность тороидального тока jv и коэффициент запаса устойчивости q в плоскости Z = 0: штриховые линии - заданные, сплошные - найденные.

Рис. 15: MAST. Компоненты тороидального тока штриховые линии - заданные, сплошные - найденные.

о

т—

X, сГ"

Е

О 2.0

2.4

2.8 3.2 R (m), Z = О

3.6

0.5 4.0

Рис. 16: JET. Плотность тороидального тока jv и коэффициент запаса устойчивости g в плоскости Z = 0: штриховые линии - заданные, сплошные -найденные.

о

1? CL

Cl TJ

о. -о

e

со

H a.

cm

-4 X3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

P

Рис. 17: JET. Компоненты тороидального тока j^: штриховые линии - заданные, сплошные - найденные.

R (m), Z = 0

Рис. 18: ITER. Плотность тороидального тока jr, и коэффициент запаса устойчивости q в плоскости Z = 0: штриховые линии - заданные, сплошные - найденные.

JG09.375-3b

Р

Рис. 19: ITER. Компоненты тороидального тока jv: штриховые линии - заданные, сплошные - найденные.

К [т]

Рис. 20: Плотность тороидального тока её компоненты и функция поло-идального потока ф в экваториальной плоскости 2 = 0. Штриховой линией изображено решение прямой задачи, сплошной - восстановленные значения при случайной ошибке ±15% в измерениях фт.

р

Рис. 21: Зависимость значений др/дф и с1Р2/(1ф от р. Штриховыми линиями показано решения прямой задачи, сплошными - обратной при наличии случайной ошибки из коридора ±10% в значениях дф/&Ь.