Регулярные методы локализации особенностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Антонова, Татьяна Владимировна

• Антонова, Татьяна Владимировна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Антонова, Татьяна Владимировна

Содержание

Введение

Глава 1. Локализация особенностей зашумленной функции 42 § 1.1. Интерпретация функций с особенностями как обобщенных

функций

§ 1.2. Постановка задач локализации особенностей и основное разложение вспомогательной функции

§ 1.3. Построение и исследование методов локализации для конечного числа особенностей

§ 1.4. Оценки снизу точности и разделимости; оптимальность методов

§ 1.5. Построение и исследование методов локализации для функции со счетным числом особенностей

Глава 2. Локализация особенностей решения уравнения первого рода типа свертки 93 §2.1. Методы локализации особенностей решения уравнения первого рода типа свертки

§ 2.2. Метод локализации особенностей решения уравнения первого

рода типа свертки со ступенчатым ядром

§ 2.3. Оценки снизу точности и разделимости; оптимальность методов

Глава 3. Локализация линий разрыва зашумленной функции двух переменных 118 § 3.1. Построение и исследование вспомогательной функции

§ 3.3. Построение и исследование методов локализации для конечного числа особенностей

§ 3.4. Локализация линий разрыва функций двух переменных для

счетного числа особенностей

Глава 4. Идентификация числового параметра в ядре оператора на классах функций с разрывами

§ 4.1. Постановка задачи и основное разложение

§ 4.2. Предварительные оценки

§4.3. Метод идентификации параметров

Глава 5. Прикладные задачи локализации особенностей

§5.1. Метод разделяющих функционалов при расшифровке локальной атомной структуры

§ 5.2. Численные эксперименты локализации разрывов первого рода зашумленной функции

§ 5.3. Численные эксперименты идентификации параметра на

классах функций с разрывами

Список обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Регулярные методы локализации особенностей»

Введение

Работа посвящена конструированию и исследованию методов решения неустойчивых задач локализации особенностей функции одного или двух переменных. Изучены методы усреднения, для которых удается аналитически описать эффекты типа Гиббса, возникающие в окрестности особенностей. Это аналитическое описание, в частности, позволяет исследовать сходимость и получить оценки точности методов.

Одним из центральных понятий, используемых для классификации задач математической физики, является понятие корректности. Задача называется корректно поставленной по Ж.Адамару, если выполнены следующие условия:

1) решение существует для всех входных данных;

2) решение единственно;

3) решение непрерывно зависит от данных в некоторой разумной топологии.

Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию, называются некорректно поставленными (или некорректными). Поскольку такого рода задачи описывают многие процессы и явления в науке, технике и естествознании, то естественно пытаться построить методы решения задач, не удовлетворяющих условиям 1)-3). При этом наиболее сложной является ситуация, когда рассматриваемая задача не удовлетворяет условию 3). В этом случае решение, полученное классическими методами с данными близкими к точным, может как угодно сильно отличаться от точного (искомого) решения.

Развитие теории некорректно поставленных (неустойчивых) задач началось с основополагающих работ А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, в которых был предложен подход — метод регуляризации, позволяющий эффективно решать некорректно поставленные задачи. Среди

авторов, внесших значительный вклад на этапе становления теории, необходимо упомянуть D.L. Phillips [113], R. Lattes и J.-L. Lions [57].

В дальнейшем существенный вклад в развитие теории некорректно поставленных задач также внесли A.JI. Агеев, Ю.Е. Аниконов, A.C. Апар-цин, А.Б. Бакушинский, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, А.Ю. Веретенников, В.Б. Гласко, A.B. Гончарский, А.И. Гребенников, A.M. Денисов, С.И. Ка-банихин, А.И. Короткий, A.C. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менехис, В.А. Морозов, В.Г. Романов, И.П. Рязанцева, В.В. Степанов, В.Н. Страхов, В.П. Танана, Г.В. Хромова, С.П. Шишатский, А.Г. Ягола, G. Vainikko, M. Hanke, A. Neubauer, О. Sclierzer, G. Wahba и многие другие математики. Изложение теории и ссылки на литературу можно найти, например: по методам регуляризации для решения уравнений первого рода в [21,43,57,62,78,83-85,119], для обратных коэффициентных задач в [56,70]. В дальнейшем были также глубоко изучены некорректные вариационные проблемы [29], несобственные задачи выпуклого программирования [37,74], динамическая регуляризация [49,50,65,66,111] и другие постановки некорректно поставленных задач.

В классической теории решения некорректно поставленных задач важным направлением исследований является построение специальных регу-ляризирующих алгоритмов в случае, когда искомое решение не является гладким. Негладкое решение для функций одной переменной, в частности, может иметь особенности типа ö -функций, разрывов 1-го рода или изломов(разрывов производной); для функций двух переменных (изображений) решение часто содержит линии разрыва, то есть лииии, в каждой точке которых функция терпит разрыв. В этом случае важным является сохранение "тонкой структуры" [51] и отсутствие "заглаживания" решения. В настоящее время по этому направлению выполнено большое число работ, в том числе и теоретических. Останавливаясь только на теоретических работах, необходимо упомянуть статьи [58,59,94,118], в которых констру-

ировались и исследовались эффективные методы решения многомерных некорректно поставленных задач в пространствах функций ограниченной вариации, решения которых, в частности, могут содержать линии разрыва. Также отметим статьи А.Г. Яголы и других авторов (см., например, [23]), в которых решались одномерные и двумерные интегральные уравнения первого рода с гауссовым ядром на классах, содержащих 6 -функции. Однако необходимо заметить, что классическая теория некорректных задач дает обоснование восстановлению функций, а не локализации их особенностей.

Анализ литературы, опыта прикладных [9,10,38,98] и теоретических исследований, выполненных в Институте математики и механики УрО РАН, позволяет утверждать, что существует достаточно много прикладных задач, для которых решение состоит в определении положений особенностей, и поэтому методы решения таких задач должны изучаться и оцениваться именно с точки зрения локализации особенностей. А сами задачи такого рода должны рассматриваться как самостоятельный класс [4] некорректно поставленных проблем, относительно которых можно утверждать следующее:

— в классической и неклассической спектроскопии, астрономии, биологии, медицине, технике, картографии, навигации и других областях встречаются задачи, где необходимо гарантированно локализовать особенности; кроме того, возникает проблема, отсутствующая в классической теории некорректных задач — проблема разделения близких особенностей; при этом методы локализации необходимо исследовать как на точность локализации, так и на способность разделять близкие особенности;

— методы локализации особенностей могут использоваться как составная часть при решении других задач: восстановления негладких решений, идентификации параметров в ядре интегрального уравнения и других приложениях;

— для гарантированной работоспособности методов локализации необхо-

дима неклассическая (не используемая в классической теории) дополнительная априорная информация об особенностях, которая встречается на практике.

В прикладных исследованиях различные элементы постановки проблемы именно с точки зрения локализации особенностей встречаются достаточно часто. Ограничимся тремя примерами. В [79] на стр.167 для задач спектроскопии в связи с проблемой разделения близких особенностей сказано: "Прежде всего хотелось бы знать, от каких факторов зависит степень восстановления мелких деталей, существует ли естественный предел достижимого разрешения и чему равен этот предел в типичных условиях, если он действительно существует". В [34] на стр.150 153 обсуждается проблема' разделения близких пиков в связи с задачей радиоастрономии для случая конечного числа точечных источников. В статье [35] на инженерном уровне проводится интересное различие при определении линий разрыва на изображении: "визуализация разрывов", когда линии разрывов нужно восстановить качественно, и "идентификация разрывов", когда необходимо обеспечить их локализацию, то есть гарантировать надежность определения положения с оценкой точности восстановления.

В то же время многие теоретические вопросы по этой проблематике изучены недостаточно, особенно это касается детерминированной постановки. Поэтому направление исследований настоящей диссертационной работы по конструированию и исследованию регулярных методов локализации особенностей является актуалъпъш.

Приведем краткий обзор основных подходов к построению и исследованию методов локализации особенностей. Ввиду большого количества прикладных работ сделать их сколько-нибудь полный обзор невозможно. Поэтому приведем только некоторые ключевые работы, в которых можно найти ссылки на дополнительную литературу.

Первые работы по этой тематике были выполнены в спектроскопии.

Уравнение

+оо

Ах =

J K(l-s)x(s)ds = y{t), t E (—00, +00), (0.0.1)

связывающее истинный спектральный профиль х и наблюдаемый профиль у , было выписано лордом Релеем [77] в конце XIX века. Здесь К(Ь) — известная функция. Для многих материалов искомое решение предста-вимо в виде

Заметим, что в некоторых задачах функция х может дополнительно содержать гладкую составляющую. Лорд Релей для случая точно заданного наблюдаемого профиля у и распределения Гаусса Kit) предложил определять Sk по правой части у. При этом им было замечено, что, если Sk достаточно близко к Sj при h ф %, то гауссовы формы в правой части у практически не разделяются. В этом случае велика вероятность неправильного определения числа I. Точность определения положений sk и Si при этом резко падает. Лорд Рэлей предложил критерий разделимости двух одинаковых по величине спектральных линий (¿-функций) (см. также обзор [69], где приведены критерии разделимости, предложенные другими авторами). Для улучшения ситуации с разделением близких спектральных линий в работах [77,93] были построены итерационные алгоритмы решения уравнения (0.0.1), которые в отсутствии погрешностей позволяют разделить пики, не разделяющиеся по правой части. Однако наличие возмущений в задании наблюдаемого профиля у ограничивает точность, с которой любой метод может разделить близкие спектральные линии. В работах В.П. Козлова [45,46] для статистических погрешностей в задании у было введено понятие разрешающая способность прибора и предложена методика ее вычисления. Это был, вероятно, первый строго

(0.0.2)

обоснованный теоретический результат в этой тематике. Изучением разрешающей способности прибора для интегральных уравнений первого рода в детерминированной постановке занимались A.B. Гончарский, A.C. Леонов, А.Г. Ягола [33]. Детерминированный аналог этого понятия для рассматриваемых в диссертации задач — порог разделимости задачи — был введен А.Л.Агеевым [3,4].

В дальнейшем задачи локализации особенностей функций одной переменной возникали в классической [79, 80] и неклассической спектроскопии [9,98] (6-функции), медицине [85,120] (6-функции и разрывы первого рода), технике [71-73] и других областях. Для функций двух переменных задача определения положения и разделения близких 6 -функций решалась в астрономии [34], навигации по радиолокационным изображениям [10]. Примеры проблем, где используются линии разрыва можно найти, например, в [30,61].

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся подходы к построению прикладных алгоритмов.

Одним из методов, предлагаемых для решения уравнения (0.0.1) на классе (0.0.2), является решение следующей экстремальной задачи:

i

min \\у - £ ДkK(t - 5fc)||ia(_00j+<X)).

к=1

В случае, если I известно, задача формально сводится к методу квазирешений В.К. Иванова, но остаётся необходимость построения алгоритмов определения минимума. Однако в случае неизвестного I полное теоретическое обоснование этого подхода, по-видимому, отсутствует. Практически (см., например, [34, стр.151]) предлагается задать некоторый уровень точности 5 и последовательно увеличивать I, проводя каждый раз минимизацию. Минимальная величина I = 1(0), для которой существует набор варьируемых параметров, удовлетворяющих заданному уровню точности

5 , принимается за искомое количество особенностей. В [85, стр.272] отмечается, что даже при известном I эта задача не всегда разрешима. Для функций одной переменной поиск величин вк можно достаточно эффективно организовать перебором на сетке. Этот подход можно перенести на случай, когда функция х в уравнении (0.0.1) содержит гладкий фон.

Для определения числа особенностей I и начальных приближений к точкам вк при решении уравнения (0.0.1) на классе (0.0.2) часто предлагается использовать методы классической теории некорректно поставленных задач, например, решать уравнение (0.0.1) методом Тихонова [73]. Поскольку регуляризованное решение в этом случае является суммой пиков, то, задавая величину порога Р, подбирая параметр регуляризации и оценивая количество пиков можно в качестве приближения к величинам Бк выбирать точки, в которых регуляризованное решение достигает локального максимума и больше порога Р. Заметим, что в диссертационной работе в главе 2 построены специальные методы регуляризации, для которых удаётся обосновать такой способ действий для уравнения типа свертки (0.0.1).

Отметим цикл работ по расшифровке атомной структуры радиоактивных комплексов методом ЕХАГБ [9,98,114,115]. В этих работах решалась система интегральных уравнений Фредгольма первого рода общего вида (не типа свертки) на классе функций (0.0.2). Для локализации особенностей, в частности, использовался эвристический алгоритм (метод разделяющих функционалов), который строился на основе вариационного метода Тихонова для сопряженного оператора к оператору задачи (подробнее этот прием изложен в §1 главы 5).

В работе [23] для уравнения (0.0.1) с гауссовым ядром К [сг] рассматривается следующий прием (опишем его для функций одной переменной, но все рассуждения верны для функции многих переменных). Функция К[а]

представляется в виде свертки

K[<j](t) = ехр(-£2/(2<r2))/(vW), К[а] = К[аг] * К[а2], а2 = <7? +

Вместо исходного уравнения (0.0.1) предлагается решать уравнение

I

K[ai] *х = у, где x(s) = ^ ДkK[a2}{s - sk),

k=i

используя метод Тихонова. Метод модифицируется для случая, когда точное решение имеет гладкий фон. Для регуляризованного решения этой задачи доказывается сходимость к функции х на основе классической теории некорректно поставленных задач. К сожалению, не совсем ясно, как применять этот прием в случае не гауссового ядра уравнения (0.0.1).

По локализации разрывов первого рода функции одной переменной, за-шумленной статистическим шумом (задача о "разладке"), опубликовано большое количество работ. В нашей стране эта тематика активно развивается начиная с 60-х годов прошлого столетия (описание основных подходов и ссылки на литературу можно найти в [39,91]). Для решения этой задачи используются различные методы, в том числе методы усреднения, для которых получены вероятностные оценки точности локализации (см. также [52,64,92,109]). Из всего разнообразия публикаций, остановимся на работе [48] (см. также [112]), которая наиболее близка нашему подходу. В [48] для липшицевого класса функций с разрывами первого рода предложен метод, оптимальный по порядку точности локализации. В работах [48,112] оценки получены при условии min^{|sfc — Sj| > h}, где h — положительная константа, Sk — положения разрывов, и условие на близость особенностей (разрывов) не зависит от уровня шума, то есть понятие порога разделимости не вводилось.

В литературе, посвященной прикладным задачам, предложено большое количество других подходов к построению методов локализации особенностей (в том числе и более общего вида, чем рассмотрено в настоящей pall

боте), но эти методы, насколько известно автору, не исследованы на устойчивость к шуму, то есть с точки зрения численного анализа полностью не обоснованы. В качестве примера упомянем [61, раздел 6.2], где предлагается метод, основанный на исследовании коэффициентов в ассимптотическом вейвелет-разложении в условиях точно заданной функции, и автор на основе численных расчётов даёт практические рекомендации по регуляризации задачи (не используя этого термина).

Особую актуальность задачи локализации особенностей приобретают для функции двух переменных в связи с проблемой обработки изображений (см., например, [30,32]). В литературе активно исследуется задача локализации линий разрывов зашумленной функции и предложено большое количество практических алгоритмов решения этой проблемы, которые в основном укладываются в рамки двух эвристических подходов с разной априорной информацией о решении. В области определения зашумленной функции (как правило это прямоугольник) берется сетка (обычно равномерная по каждой из переменных). В первом подходе определяются точки, через которые с точностью до шага сетки проходит линия разрыва, а затем эти точки стремятся объединить в линии. Таким образом, первый подход неявно опирается на информацию о том, как устроены линии разрыва точной функции. Во втором подходе определяются точки, через которые линия разрыва не проходит, а затем эти точки стремятся объединить в области, свободные от линий разрыва. Следовательно, второй подход опирается на информацию о том, как устроены области точной функции, свободные от линий разрыва. Для определения точек, через которые проходит линия разрыва (или линия разрыва не проходит), в том и в другом подходе обычно используют методы усреднения. Описание методов и ссылки на литературу можно найти, например, в [31,68,90].

Примером популярного метода, соответствующего первому подходу, является алгоритм Канни [104], где для усреднения используется двумерное

гауссово распределение. Для реализации второго подхода применяется, например, алгоритм Ши [117]. Изложение методов, основанных на комбинации обоих подходов, можно найти, например, в [20,101]. Насколько известно автору, во всех многочисленных работах по этой тематике отсутствуют в общей постановке теоретические исследования предлагаемых алгоритмов па устойчивость к шуму. В третьей главе настоящей работы, по-видимому впервые, теоретически исследованы методы усреднения локализации линий разрывов (выписана априорная информация на точную функцию и получены оценки точности локализации).

Как уже было сказано выше, при решении некоторых задач методы локализации используются в качестве промежуточного этапа. Остановимся, на двух классах задач, в которых вопрос о локализации особенностей не ставится, по для их решения нужно получить приближение положений особенностей с оценкой точности локализации. Более того, для второго из рассматриваемых классов задач без априорной информации о наличии особенности у искомой функции решение невозможно.

Опишем первый класс такого рода задач. При восстановлении функции с особенностями в случае, когда известны приближения к положениям особенностей с оценками точности локализации, можно улучшить оценки точности аппроксимации точного решения регуляризованпым. Например, в [112] для задачи восстановления зашумленной функции с конечным числом разрывов первого рода в статистической постановке показано, что для функции с конечным числом изолированных точек разрыва можно получить такие же вероятностные оценки точности аппроксимации, как и для непрерывной функции, если вычислить приближения к точкам разрыва с хорошей точностью. В работах [14,15] в детерминированной постановке при восстановлении зашумленной функции и решении интегрального уравнения первого рода типа свертки на классах функций с особенностями для исключения эффекта типа Гиббеа использовалось приближение положений

особенностей, полученное методом локализации. Учитывая оценки точности локализации для приближённых положений особенностей sf, в этих работах получена равномерная оценка близости регуляризованного решения к точной функции на множестве R\ (U^sf. — (B(S))~P, s5k + (В(д))~р)), где параметр регуляризации В = В(5) —У оо при 5 —)■ 0, число р > О зависит от задачи.

Перейдем к описанию второго класса задач. Рассмотрим интегральное уравнение первого рода с оператором типа свертки, который нелинейно зависит от числового параметра cr (t £ (—00, +00))

00 2

А[а}х = J K(t - 5, a) x(s) ds = y{t), K(t} cr) = -^L- exp •

-00

При каждом фиксированном а оператор А действует из Ь2(—оо, +оо) в Ь2{—оо, +оо). Вместо точной правой части у задана приближенная правая часть у5 такая, что ||у — у5\\ь2 < б. Требуется по у5 и уровню погрешности 6 одновременно определить пару {а*,х*}. Нетрудно привести пример, когда на всем пространстве Ь2(—оо, +оо) без дополнительной априорной информации однозначное определение пары невозможно. Действительно, пусть погрешность отсутствует и у(Ь) — К(1,а{), тогда пара {сг*,х*}, где

о* = х*(з) = К(1, а2),

при любом значении сг2 является решением уравнения А[сг]сс = у.

Тем не менее, оказывается, что решение вышеприведённой задачи возможно на классах функций с особенностями. Более того, в прикладных исследованиях используются более общие постановки задач, в которых необходимо найти пару — ядро уравнения и его решение. Описание некоторых алгоритмов и ссылки на литературу можно найти, например, в [25, гл. 9, § 52], [28]. Пример практического применения метода, позволяющего восстанавливать ядро по "резким границам" истинного изображения, приведен

14

в работе [67].

Насколько известно автору, первые теоретические результаты по исследованию методов определения пары {<т, х-} получены в работах [11,12,15, 16,95]. В первых двух работах [11,95] положения особенностей считались известными. В работах [12,15,16] положения особенностей определялись конкретным методом локализации. В диссертационной работе обсуждается только задача определения (уточнения) параметра а* при 6 —> 0 поскольку методы решения интегрального уравнения первого рода при известном а* хорошо разработаны. Назовем эту проблему задачей идентификации параметра. В главе 4 диссертации удалось развить и упростить предложенную ранее в работах [11,12,16,95] методику. Позже появилась оригинальная работа [107], в которой в статистической постановке рассматривается задача определения параметра а* в ядре двумерного уравнения типа свертки с двумерным гауссовым ядром (более подробно эта статья обсуждается ниже).

Перейдем к описанию настоящей работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы.

В первой главе рассматриваются задачи локализации особенностей (разрывов первого рода и изломов) зашумленной функции одной переменной. При построении и обосновании методов локализации центральными являются два момента.

Хорошо известно, что при аппроксимации рядами Фурье функции, имеющей разрывы первого рода, в окрестности разрывов наблюдается эффект Гиббса. Аналогичные эффекты наблюдаются в окрестности особенностей в случае применения метода усреднения. При наличии аналитического описания эти эффекты могут быть использованы для локализации особенностей. В диссертации с помощью метода усреднения конструируется вспомогательная функция, для которой выводится основное разложение, описывающее эффекты в окрестности особенностей. Для удобства понимания

приведем пример (точные формулировки приведены в главе 1) построения и разложения вспомогательной функции в случае наличия у точной функции разрывов первого рода.

Рис. 0.1.

На рис. 0.1 изображены точная функция х , имеющая пять разрывов, и зашумленная функция хб. Рассмотрим вспомогательную функцию х6х, порожденную усредняющей функцией ф\ (Л > 0 — параметр регуляризации)

+00

*а(*) = I - ф(1) = ехр(—¿2/2), фх(1) = ф{1/\).

—ос

1111111

ЛкШ шУйА^ ¡мМ

Рис. 0.2.

На рис. 0.2 изображен модуль вспомогательной функции х6х и прямая линия, соответствующая некоторому порогу Р. Видно, что количество локальных максимумов, превышающих порог Р, равно количеству разрывов

у точной функции. В качестве аппроксимации положения разрывов исходной функции можно выбрать локальные максимумы функции |а,д| на каждом из интервалов, где эта функция выше порога. То есть для определения количества разрывов и приближений к положениям можно использовать пороговый метод. Можно показать, что большие пики определяются эффектами типа Гиббса в окрестности разрывов и главная часть этих эффектов описывается аналитически с помощью основного разложения 5

4(3) = Ак • фх{з - зк) + а5х{з), \а{(з)\ < А0(х)Х0-5 + А^А'0"5, к=1

где вц- — положения разрывов точной функции х, = х(вк + 0) — х(зк — 0) — величины скачков, константа зависит от точной функ-

ции х. Оценки выписаны в предположении, что функции х и х' € Ь2{—оо, +оо), Цх — х^||£,2(—оо,+оо) < & Аналитическое представление вспомогательной функции позволяет выбрать параметр регуляризации Л = А(с>), порог Р, а затем обосновать метод определения числа особенностей и получить оценки точности их аппроксимации.

Вторая центральная идея первой главы связана с описанием классов функций х, для которых максимум константы Ао(х) на классе ограничен и, поэтому, возможно получить абсолютные оценки точности локализации и других важных характеристик методов (максимум на классе также будет обозначаться буквой Ад ).

В классической теории некорректно поставленных задач изучение оценок погрешности на классе корректности началось с работ [42,44,75,76], в которых были введены понятия оптимального (оптимального по порядку) на классе корректности метода, разработаны способы вычисления его погрешности и построены оптимальные (оптимальные по порядку) методы (см., например, обзор [86] и монографию [27]).

Целью диссертационной работы является введение аналогичных понятий и развитие аналогичного аппарата для задач локализации особенно-

стей. В классической теории класс корректности обычно является шаром Мг = {х: ||х|| < г}, где ||-|| — некоторая подходящая норма, более сильная по сравнению с нормой, в которой производится оценка точности решения. Обычно Мг является компактом в основном пространстве функций х.

Для простоты рассмотрим случай конечного числа разрывов, расположенных в точках вк, к = 1, 2, • • • , I.

На рис. 0.3 изображена точная функция х (нарисована точками) и возмущенная функция х5: Ца? — ж(5||х,2(_00)+00) < 5 (сплошная линия). Легко видеть, что для любого 5 > 0 число разрывов и их положение известной возмущенной функции х6 могут как угодно сильно отличаться от искомых положений разрыва функции х, т.е. рассматриваемая задача локализации особенностей некорректно поставлена. Поэтому для гарантированной локализации разрывов и получения оценок точности локализации необходимо привлекать дополнительную априорную информацию, которая позволит отличить разрывы, отвечающие точной функции, от разрывов приближенной функции.

Пример, приведённый на рис. 0.3, показывает, что при наличии шума невозможно гарантировать локализацию особенностей с малой величиной скачка. Также при заданном <5 > 0 существует некоторая величина h(6) такая, что, если ]sfc — Sj| < h(ö), к ^ ъ, то никакой метод не может гаранти-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Антонова, Татьяна Владимировна, 2014 год

Список литературы

[1] Агеев А. Л., Антонова Т. В. О задаче разделения особенностей // Изв. вузов. Математика. 2007. № 11. С. 3-10.

[2] Агеев А. Л., Антонова Т. В. Регуляризирующие алгоритмы выделения разрывов в некорректных задачах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008. Т. 48, № 8. С. 1362-1370.

[3] Агеев А. Л., Антонова Т. В. Оценки снизу в задачах локализации особенностей функции // Проблемы теоретической и прикладной математики: тр. 39-й Всерос. молодеж. конф. Екатеринбург, 2008. С. 5660.

[4] Агеев А.Л., Антонова Т.В. О новом классе некорректно поставленных задач // Изв. Урал. гос. ун-та. 2008. № 58. С. 27-45. (Математика. Механика. Информатика. Вып.11.)

[5] Агеев А.Л., Антонова Т. В. Метод локализации особенностей решения уравнения 1 рода со ступенчатым ядром // Изв. вузов. Математика. 2011. №7. С. 3-13.

[6] Агеев А.Л., Антонова Т. В. О некорректно поставленных задачах локализации особенностей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 3. С. 30-45.

[7] Агеев А.Л., Антонова Т. В. О локализации разрывов первого рода для функций ограниченной вариации // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, №1. С. 56-68.

[8] Агеев А.Л., Антонова Т.В. Аппроксимация линий разрыва за-шумленной функции двух переменных // Сиб.журнал индустр. математики. 2012. Т.ХУ, №1(49). С. 3-13.

[9] Агеев A.JI., Антонова Т. В., Райх Т.Е., Райх Т., Хеннинг К.

Метод разделяющих функционалов при расшифровке локальной атомной структуры // Мат. моделирование. 2004. Т.16, №10. С. 81-92.

[10] Агеев А. Д., Коршунов М.Е. Регулярные алгоритмы в задачах анализа радиолокационных изображений // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. С. 275-285.

[11] Антонова Т. В. О решении нелинейных по параметру уравнений 1 рода на классах обобщенных функций // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2000. Т. 40, № 6. С. 819-831.

[12] Антонова Т. В. Решение нелинейных уравнений 1 рода на классах функций с разрывами / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. 32 с. Деп. в ВИНИТИ 17.10.00, №2639-В00.

[13] Антонова Т. В. О решении уравнений 1 рода на классах обобщенных функций // Тезисы докл. Всеросс.науч.конф."Алгоритмический анализ неустойчивых задач", (Екатеринбург, 26 февраля - 2 марта 2001г.) Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2001. С. 76-77.

[14] Антонова Т. В. Восстановление функции с конечным числом разрывов 1 рода по зашумленным данным // Изв. вузов. Математика. 2001. № 7. С. 65-68.

[15] Антонова Т. В. Линейные и нелинейные некорректные задачи на классах функций с особенностями: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / Институт математики и механики УрО РАН. Екатеринбург.

2001. 28 с.

[16] Антонова Т. В. Решение уравнений первого рода на классах функций с особенностями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.

2002. Т. 8, № 1. С. 147-188. (Перевод на англ.: Antonova Т. V. Solving

equations of the first kind on classes of functions with singularities // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 1. 2002. P. S145-S189.)

[17] Антонова Т. В. Регуляризирующие алгоритмы локализации изломов зашумленной функции // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, № 1. С. 44-58.

[18] Антонова Т. В. Новые методы локализации разрывов зашумленной функции // Сиб. журн. вычисл. математики. 2010. Т. 13, № 4. С. 375386.

[19] Антонова Т. В. Метод локализации линии разрыва приближенно заданной функции двух переменных // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2012, Т. 15, №4. С. 345-357.

[20] Антонова Т. В., Агеев А. Л., Reich Т. Ye., Reich Т., Christoph

Н. Об одной прикладной задаче в структурных исследованиях материалов. Проблемы теорет. и прикл. математики: Тр. 34-й Всерос. молодеж. конф. / Ин-т математики и механики Уро РАН. Екатеринбург, 2003. С. 69-73.

[21] Бакушинский A.B., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989. 199 с.

[22] Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965. 276 с.

[23] Белокуров В.А., Шимановская Е.В., Сажин М.В., Яго-ла А.Г., Артамонов Б.П., Шаляпин В.Н., Хамитов И. Восстановление изображений гравитационной линзы QSO 2237-1 0305 "Крест Эйнштейна" // Астр.журн. 2001. Т.78, №10. С. 1-11.

[24] Бескачко В.П., Ватолин H.A., Ухов В.Ф. и др. Расчет функции радиального распределения жидкости по дифракционным дан-

ным методом регуляризации // ДАН СССР. 1979. Т.245, №4. С.863-865.

[25] Бейтс Р., Мак-Доннел М. Восстановление и реконструкция изображений. М.: Мир, 1989. 333 с.

[26] Блохин Ю.Б., Горбачев В. А. Привязка наземных объектов на аэрофотоснимках на основе анализа контуров // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. №5. С.83-94.

[27] Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 181 с.

[28] Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений. М.: Радио и связь, 1986. 304 с.

[29] Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

[30] Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов / Ред. Я. А. Фурман. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 596 с.

[31] Визильтер Ю. В. и др. Обработка и анализ изображений в задачах машинного зрения: Курс лекций и практических занятий. М.: Физма-ткнига. 2010. 672 с.

[32] Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М: Техносфера, 2005. 1072 с.

[33] Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Методы решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода типа свертки // Некоторые вопросы автоматизированной обработки и интерпретации физических экспериментов. Вып. 1. М.: МГУ, 1973. С. 170-191.

[34] Гончарский A.B., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978. 336 с.

[35] Деревцов Б. Ю., Пикалов В. В. Восстановление векторного поля и его сингулярностей по лучевым преобразованиям // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. Т. 14, №1. С. 29-46.

[36] Джеймс Р. Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей. М.: ИЛ., 1950. 572 с.

[37] Еремин И. И. Теория линейной оптимизации. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. 312 с.

[38] Ефимов С. А., Кандоба И. Н., Костоусов В. В., Перевалов Д. С., Скрипнюк В. В. Система автоматизированного топографического дешифрирования изображений земной поверхности //• Геодезия и картография. 2008. № 12. С. 34-40.

[39] Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. 3. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979. 528 с.

[40] Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // Доклады АН СССР. 1962. Т. 145, № 2. С. 270-272.

[41] Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Мат. сб. 1963. Т. 61(103), № 2. С. 211-223.

[42] Иванов В. К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач // Сиб. Матем. журн. 1966. Т. 7, №3. С. 556-558.

[43] Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

[44] Иванов В. К., Королюк Т.И. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. Т. 9, № 1. С. 30-41.

[45] Козлов В. П. О разрешающей способности спектральных приборов.

I. Постановка задачи и критерий разрешения // Оптика и спектроскопия. 1964. Т. 16, № 3. С. 501-506.

[46] Козлов В. П. О разрешающей способности спектральных приборов.

II. Обобщенная разрешающая сила спектрального прибора // Оптика и спектроскопия. 1964. Т. 17, №2. С.278-283.

[47] Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.

[48] Коростелев А. П. О минимаксном оценивании разрывного сигнала // Теория верояностей и ее применения. 1987. Т. 32, вып. 4. С. 796-799.

[49] Короткий А. И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами // Изв. вузов. Математика. 1995. m п. с. Ю1-123.

[50] Короткий А. И. О восстановлении местоположения и интенсивности источников возмущений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1996. Т. 4. С. 219-227.

[51] Коршунов В. А., Танана В. П. Определения фононной плотности состояний по термодинамическим функциям кристалла. Докл. АН СССН. 1976. Т. 231, №4. С. 845-848.

[52] Кутоянц Ю. А. Оценивание параметров случайных процессов. Ереван: АН Арм.ССР. 1980. 253 с.

[53] Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады АН СССР. 1959. Т. 127, ДО 1. С. 31-33.

[54] Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 96 с.

[55] Лаврентьев М. М. К вопросу об обратной задаче теории потенциала // Докл. АН СССР. 1956. Т.106, №3. С. 389-390.

[56] Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 286 с.

[57] Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир. 1970. 280 с.

[58] Леонов A.C. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1982. Т. 22, № 3. С. 516-531.

[59] Леонов A.C. Кусочно-равномерная регуляризация двумерных некорректных задач с разрывными решениями: численный анализ // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1999. Т. 39, № 12. С. 1939— 1944.

[60] Макаров Б.М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 688 с.

[61] Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

[62] Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. М.: Изд-во МГУ, 1992. 320 с.

[63] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

[64] Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем: Пер.с англ; Под ред. М.Бассвиль, А.Банвениста. М.: Мир, 1989. 278 с.

[65] Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Методы динамического восстановления входов управляемых систем. Екатеринбург: УрО РАН, 2011. 292 с.

[66] Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы методы динамической регуляризации. М.: МГУ, 1994. 237 с.

[67] Протасов К.Т., Белов В.В., Молчунов Н.В. Восстановление изображений с предварительным оцениванием функции рассеяния точки // Оптика атмосферы и океана. 2000. Т. 13, №2. С. 139-145.

[68] Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Пер. с англ. М.: Мир, 1982. Кн.2. 480 с.

[69] Раутиан Г.Н. Реальные спектральные приборы // Успехи физ. наук. 1958. Т. 66, № 3. С. 475-517.

[70] Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с.

[71] Сизиков В. С. Устойчивые методы обработки результатов измерений // СПб: СпецЛит, 1999. 240 с.

[72] Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений // СПб: Политехника, 2001. 240 с.

[73] Сизиков B.C. Обратные прикладные задачи и MatLab // СПб: Изд-во "Лань", 2011. 256 с.

[74] Скарин В. Д. Аппроксимационные и регулиризирующие свойства штрафных функций и функций Лагранжа в математическом программировании: автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук / Институт математики и механики УрО РАН. Екатеринбург. 2010. 34 с.

[75] Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, №2. С. 137-148.

[76] Страхов В. Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, №8. С. 1490-1495.

[77] Стретт (Релей) Дж. В. Волновая теория света. М.: Едиториал УРСС, 2004. 208 с.

[78] Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. 156 с.

[79] Теребиж В. Ю. Восстановление изображений при минимальной априорной информации// Успехи физ. наук. 1995. Т. 165, №2. С. 143— 176.

[80] Теребиж В. Ю. Введение в статистическую теории обратных задач. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 376 с.

[81] Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады АН СССР. 1943. Т. 39, №5. С. 195-198.

[82] Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН СССР. 1963. Т. 151, №3. С. 501-504.

[83] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 223 с.

[84] Тихонов А. Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г.

Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.

[85

[86

[87 [88

[89

[90

[91

[92

[93

Тихонов А. Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 311 с.

Тихонов А. Н., Морозов В. А. Методы регуляризации некорректно поставленных задач // Вычисл. методы и программир. М: Изд-во МГУ, 1981. Вып. 35. С. 3-34.

Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

Тычинский В. П. Микроскопия субволновых структур // УФН. 1996. Т. 166, № 11. С. 1219-1229.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т.2. 8-е изд. М.: Физматлит, 2003. 864 с.

Шапиро Л., Стокман Дж. Компьютерное зрение. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 752 с.

Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976. 272 с.

Ширяев А.Н. Минимаксная оптимальность метода кумулятивных сумм (CUSUM) в случае непрерывного времени // УМН. 1996. Т. 51, №4. С. 173-174.

Шустер А. Введение в теоретическую оптику. ОНТИ-ГТТИ. Л.-М., 1935. 376 с.

[94] Acar R. and Vogel C.R. Analis of bounded variation penalty methodfor ill-posed problems // Inverse Problems. 1994. V. 10. P. 12171229.

[95] Ageev A. L., Antonova T. V. On solution of nonlinear with respect to parameter equation of the first kind on the class of discontinuous functions // J.Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. V.7, iss. 1. P. 1-16.

[96] Ageev A. L., Antonova T. V. Localization algorithms for singularities of solution to convolution equation of the first kind // J.Inverse and Ill-Posed Problems. 2008. V. 16, iss. 7. P. 639-650.

[97] Ageev A. L., Antonova T. V. New Methods for the Localization of Discontinuities of the First Kind for Functions of Bounded Variation // J.Inverse and Ill-Posed Problems. 2013. V. 21, iss. 2. P. 177-191.

[98] Ageev A. L. , Korshunov M. E., Reich T. Ye., Reich T., Moll

H. Application of regularization methods to analysis of EXAFS spectra of chemical complexes // J.Inverse and Ill-Posed Problems. 2007. V. 15, iss. 8. P. 767-783.

[99] Ancudinov A.L., Ravel B., Rehr J.J., and Conradson S.D.

Main FEFF8: Real Space Maltiple Scattering Calculation of XANES // Phys.Rev. B58, 7565 (1998)

[100] Antonova T. V. Approximation of function with finite number of discontinuities by noised data //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2002. Vol. 10, iss. 2. P. 1-11.

[101] Arbelaer P., Maire M., Fowlkes Ch., Malik J. Contour detection and hierarchical image segmentation // IEEE Trans. Pattern Analisis and Machine Intelligence. 2011. V.33, №5. P.898-916.

[102] Babanov Yu. A., Vasin V. V., Ageev A.L., Ershov N.V. A new

interpretation of EXAFS spectra in real space. 1. General formalism// Phys. Stat. Sol. 1981. V. 105, №3. P. 747-754.

[103] Babanov Yu.A., Zayarnaya T.Ye., Reich T., Funke H. EXAFS Study of U(VI) Compounds: A New Approach to Data Analysis // Workshop Proceedings "Speciation, Techniques and Facilities for Radioactive Materials at Synchrotron Light Sources Grenoble, France, Sept.2000, printed OECD 2002 Publications, 75775 Paris Cedex 16, France, p. 105-116

[104] Canny J. A computational approach to edge detection // IEEE Trans. Pattern Analisis and Machine Intelligence. 1986. V.8, №6. P.679-698.

[105] Ershov N. V., Ageev A. L., Vasin V. V., Babanov Yu. A. A

new interpretation of EXAFS spectra in real space. 2. A comparison of the regularization technique with the Fourier transformation method // Phys. Stat. Sol. 1981. V. 108, №. P. 103-111.

[106] George G.N., Pickering L.J. EXAFSPACK - A Suite of Computer Programs for analysis of X-ray Absorption Spectra // Stanford Synchrotron Radiation Laboratory, 2000.

[107] Hall P., Qui P. Blind deconvolution and deblurring in image analysis // Statistica Sinica. 2007. V.17. P.1483-1509.

[108] Khelashvili G., Bunker G. Practical regularization methods for analysis of EXAFS spectra // J.Synchrotron Rad. 1999. V. 6. P. 271273.

[109] Khodadadi A. Asgharian M. Change-point Problem and Regression: An Annotated Bibliography / COBRA Preprint Series. 2008. 44 p.

[110] Matz W., Schell N., Bernhard G. et al. ROBL - a CRG beamline for radiochemistry and materials research at the ESRF // J.Synchrotron Rad. 1999. V. 6. P. 1076-1085.

[111] Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problem of ordinary differential equations: dynamical solutions. Gordon and Breach Sci. Publ., 1995. 625 pp.

[112] Oudshoorn Catarina G.M. Asymptotically minimax estimation of a function with jumps // Bernoulli 1998. 4(1) P. 15-33

[113] Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind //J. Assoc. Comput. Mach., 1962, V.9, №1. P. 84-97.

[114] Reich T.Ye., Reich Т., Korshunov M.E., Antonova T.V., Ageev A.L., Moll H. New regularization method for EXAFS analysis. В сборнике: AIP Conference Proceedings X-RAY ABSORPTION FINE STRUCTURE - XAFS13: 13th International Conference. Сер. "X-RAY ABSORPTION FINE STRUCTURE - XAFS13: 13th International Conference"Stanford, CA, 2007. C. 153-155.

[115] Reich T. Ye., Banik N.L., Buda R.A., Amayri S., Drebert J., Kratz J. V., Trautmann N., Ageev A. L., Korshunov M. E., Reich T. EXAFS study of plutonium sorption onto kaolinite. (Workshop Proceedings (Speciation, Techniques and Facilities fot Radioactive Materials at Synchrotron Light Sources, 2006)) OECD 6288. 273-279 (2007).

[116] Stern E. A. Theory of the Extended x-Ray Absorption Fine Structure Techniques // Phys. Rev. 1974. V. B10. P. 3027-3037.

[117] Shi J., Malik J. Normalized cuts and image segmentation // IEEE Trans. Pattern Análisis and Machine Intelligence. 2000. V. 22, №8. P. 888905.

[118] Vasin V.V. Some approaches to reconstruction of nonsmooth solution of linear ill-posed problems // J.Inverse and Ill-Posed Problems. 2007. V. 15, iss. 6. P. 625-643.

[119] Vasin V. V., Ageev A. L. Ill-Posed Problems with A Priori Information. Utrecht, the Netherlands: VSP, 1995. 255 c.

[120] Winkler G., Wittich O., Liebsher V., Kempe A. Don't shed tears over breaks // Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 2005. Bd. 107, no. 2.

[121] Yamaguchi K., Ito Y., Mukoyama T., Takahachi M., Emura Sh.

The regularization of the basic x-ray absorption spectrum fine structure equition via the wavelet-Galerkin method // J.Phys. B: At.Mol.Opt.Phys. 1999. V. 32. P. 1393-1408.

[122] Zayarnaya T.Ye., Reich T., Hennig C., Funke H. Application of the Tikhonov Régularisation Method to the EXAFS Analysis of U02(H2As04)2xH20 // Workshop Proceedings "Speciation, Techniques and Facilities for Radioactive Materials at Synchrotron Light Sources Grenoble, France, Sept.2000, printed OECD 2002 Publucations, 75775 Paris Cedex 16, France. P. 359-366

S. 57-87.