Редукция псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Арутюнов, Андроник Арамович

• Арутюнов, Андроник Арамович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Арутюнов, Андроник Арамович

Содержание

1 Основные результаты для локальных псевдодифферен-

циальных операторов 8

1.1 Необходимые определения....................................8

1.2 Основные результаты........................................13

2 Доказательства теорем 18

2.1 Общая структура редукции..................................18

2.2 Расширение редукции на пространства обобщенных функций ..............................................................28

2.3 Псевдодифференциальные операторы......................31

2.4 Фредгольмовость и вычисление индекса....................39

3 Применение редукции к случаю нелокальных ПДО 44

3.1 Расширение класса ПДО в пространстве М(И2п) .... 44

3.2 Нелокальные ПДО в пространстве ¿>(КП)..................47

3.3 Сравнение нелокальных ПДО и ПДО в пространстве М(И2п) 49

4 Примеры 52

4.1 Операторы Грушина..........................................52

4.2 Биградуированные операторы ..............................53

4.3 Случай целых биградуировок................................53

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Редукция псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерности»

Введение

Задача вычисления индекса эллиптических псевдодифференциальных операторов была впервые поставлена И.М. Гельфандом в 1960 году в работе [3]. В 1962 году была опубликована известная работа [16] в которой приведена формула Атьи-Зингера, позволяющая вычислять индекс эллиптического псевдодифференциального оператора на компактном многообразии через гомотопические инварианты. Однако, вычисление индекса эллиптических операторов на некомпактных многообразиях до сих пор является открытой задачей даже в случае, когда в роли многообразия выступает Г1П.

Еще одним направлением развития задачи об изучении индекса эллиптических операторов является изучение нелокальных псевдодифференциальных операторов (ПДО со сдвигом). Как и в случае обычных псевдодифференциальных операторов (далее ПДО), есть большое количество весьма общих работ в которых вычисляется индекс для нело-

V'Л ''' ' ' ' ' 1 '

кальных псевдодифференциальных операторов на компактных многообразиях. Так в работе ([13], 1973) показана формула для вычисления индекса нелокальных ПДО с конечной группой сдвигов. В случаях более сложных групп отметим монографию ([8], 2008) в которой данная задача решается в случае когда действие группы изометрично, то есть сохраняет некоторую метрику на многообразии.

Есть работы в которых описываются узкие классы псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца. Так, в работе ([9], 1970) приведен случай ПДО, действующих в И" с символами, у которых все производные стремятся к нулю. В работе ([9], 1970) построена формула для индекса псевдодифференциальных операторов действующих на функциях, заданных в И/1. Однако, на изучаемые в работе ([9], 1970) символы накладываются обременительные ограничения, которые в настоящей работе не требуются.

Ранее классы биградуированных псевдодифференциальных операторов рассматривались в работах ([17], 2010), ([19], 2003), ([11], 2004). Авторы изучали вопрос фредгольмовости различных классов биграду-

ь

ированных псевдодифференциальных операторов, однако формулы для индекса таких операторов, получено до настоящего времени не было.

Определенный в диссертации класс символов псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца, являющийся для нас основным, определяется аналогично классу так называемых SG-операторов (см. ([17], 2010), ([19], 2003)). Класс интересующих нас символов состоит из бесконечно-дифференцируемых функций а{х, £) удовлетворяющих при некоторых вещественных параметриах (mi, 7712) и при всех мультииндексах о;, /3 неравенству

< Саф{ 1 + \х\)т*-М(1 + |£|ГН/?|

Класс таких символов мы будем обозначать через ^'"^(R" х Rn), а паРУ (^1, пьъ) будем называть обобщенным порядком роста символа. Псевдодифференциальные операторы действующие в пространстве Шварца <S(Rn) с символами из класса <Smi,m2(Rn х Rn) мы будем называть би-градуированным операторами обобщенного порядка (mi, тг).

Как будет показано в диссертации, операторы с такими символами отождествляются с псевдодифференциальными операторами, действующими в пространстве гладких сечений некоторого расслоения тора Т2п удвоенной размерности. Это пространство М(R2™) можно также понимать как функциональное пространство состоящее из бесконечно-дифференцируемых функций удовлетворяющих условию косопериодич-ности. А именно, бесконечно-дифференцируемая функция /г(£, v) € C°°(Rnx Rn) лежит в пространстве M(R2n) если для нее для всех (£, v) выполняются следующие условия

h{t + е, v) = h(t,v), h(t:v + е) = e~2*iteh(t,v),

для всякого целочисленного вектора е G Zn. Здесь и далее запись te обозначает скалярное произведение векторов t и е.

Редукцию осуществляет преобразование А определяемое следующим

образом

Л:/(аО-> ^е^Ди + г;).

(0.1)

Преобразование Л устанавливает изоморфизм между пространства-

Теорема 1. Ряд (0.1) сходится абсолютно. Пространство Шварца ¿>(11") изоморфно пространству М(В?п) относительно отображения Л. Обратное преобразование Л-1 задается по формуле

Теорема 1 была ранее приведена в одномерном случае в работе ([8], 2008).

Для отождествления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии и псевдодифференциальных операторов на компактном многообразии, отображения такого типа были впервые предложены для редукции операторных пространств С.П Новиковым (1960-е года, неопубликованное приватное сообщение). Ранее данное отобража-ние использовалось также в работе И.М. Гельфанда ([15], 1950) для доказательства теоремы о разложении в интеграл Фурье по собственным функциям. Также данное отображение используется в задачах усреднения (во всем пространстве), см. например работу ([14], 2005). В данных работах преобразование используется для редукции исходной задачи к более удобному виду, как в выражении (8) работы [14].

Теорема 1 позволяет отождествить классы псевдодифференциальных операторов. Пусть оператор А явлется ПДО с символом обобщенного порядка (7711,7712). Рассмотрим оператор А = А АЛ-1, действующий в прострнастве М(К2п).

Теорема 2. Оператор А является псевдодифференциалъным оператором в пространстве М(Л2п) с символом + и, £2)- Для любых 271-мерных мультииндексов а = (0:1,0:2) и ¡3 = {^1^2), найдется такая

ми £(11п) и М(К2п).

(0.2)

неотрицательная констаната что имеет место неравенство

+ ".«2)1 < Cad 1 + liil)raiHail(i + 1ЫГ-1-1- (0-3)

Оператор А задается по формуле

Ah{t, v) = JJJJ (0.4)

R2nxR2n

Здесь и далее d = (27r)~nd. Формулу (0.4) следует понимать в следующем смысле. Если взять функцию h G M(R2n) и применить к ней, как к обобщенной функции, оператор А, определенный в формуле (0.4) и действующий, вообще говоря, в пространстве обобщенных функций XV(R2n), то, как будет показано при доказательстве теоремы 2, получится регулярная функция, лежащая в пространстве М(R2n).

Поскольку пространство M(R2n) отождествлено с пространством гладких сечений расслоения тора, к оператору А в случае, если он является эллиптическим псевдодифференциальным оператором, можно применять формулу Атьи-Зингера. Напомним, что символ оператора называется эллиптическим если он обратим. Псевдодифференциальный оператор называется эллиптическим, если его символ эллиптический ([16], 1968, стр. 130).

Теорема 3. Если А и А - операторы из условия теоремы 2 обобщенного порядка (mi,m,2). Если оператор А является эллиптическим, то для любых вещественных параметров Si,S2 операторы А и А продолжаются до фредгольмовых операторов

А : HSl,S2 —> HSl~mi,S2~m2,

А . t7sbs2 , TTSi-mi,s2-m2 (0-5)

n . nM nM

Имеет место следующая формула для индекса

index А — index А= ( ch

, [т2Ч ). (о.б)

В формуле (0.6) мы обозначаем через сН[а] характер Черна (см. [7] стр. 81) расслоения, задаваемого символом [сг], приведенным к базе Т2п при помощи изоморфизма Тома ([8], 2008, стр. 141). -

Множество псевдодифференциальных операторов действующих в пространстве М(И2п) с символами вида о + V, £2), не исчерпывает всех псевдодифференциальных операторов, действующих в нем.

Будем далее говорить, что бесконечно-дифференцируемая функция а(а,Ь,с,(Г) е С°°(К4п) лежит в классе функций ¿>^ьт2, если она перди-одична по первым двум переменным

<т(а + б1,6 + в2,с, (Г) = <т(а, 6, с, «¿), € Ъп, (0.7)

и кроме того для всяких п-мерных мультииндексов а, ¡3 найдется такая неотрицательная константа Са,р, что имеет место неравенство

д?д$а(а, 6, с, <*)| < Са,0 (1 + |с|)тНа| (1 + \d\r~W . (0.8)

Отметим, что в отличии от классического определения, отсутствует падение порядка роста при дифференцировании по первым переменным. Взамен этого имеет место периодиочность. Если функция а(а, 6, с, с?) из этого определения не зависит от периодических переменных а, Ь, то мы получаем биградуированные символы, рассмотренные выше.

Пару (т^тг) мы будем называть обобщенным порядком символа а. Если рассмотривать в качестве символа оператора А такие биградуированные функции, то после подстановки ее в формулу (0.4), определяемый ей оператор А будет псевдодифференциальным.

Если функция о обладает обобщенным порядком (ттн, т2), то в силу периодичности по первым двум группам переменных она разложима в ряд Фурье

а(а, 6, с, <0 = е2т1ае2™кЬ(Т1,к{с, й). (0.9)

1,ке2п

Такое естественное расширение класса рассматриваемых ПДО в пространстве М(ТИ2п) за счет умножения символов на периодические ко-эфиценты, дает нам действующие в пространстве Шварца нелокальные

ПДО с целочисленными сдвигами в следующем смысле.

Класс нелокальных псевдодифференциальных операторов (ПДО со сдвигом) определяется следующим образом (см. например [13], 1973). Обозначим через Тд паралельный перенос на вектор д Е Zn. То есть

(0.10)

Тд : х и-)- х — д.

Пусть Ац- - псевдодифференциальные операторы обобщенного порядка (7711,7712), для всех 1,к е Zn. Рассмотрим действующий в пространстве Шварца ¿>(11п) оператор А : ¿¿(Б/1) ¿>(КП). Если оператор А представим в виде абсолютно сходящегося ряда

А = £ Т1е'кхА1:к, (0.11)

то будем говорить, что оператор А является нелокальным псевдодифференциальным оператором обобщенного порядка (7711,7722).

В работах ([8], 2008), ([13], 1973) рассматривается более узкий класс операторов у которых отличны от нуля только слагаемые А^о, то есть рассматривается ряд (3.9) без умножения на периодические функции.

Пусть оператор А псевдодифференциальный оператор, обобщенного порядка (777-1, тг), действующий в пространстве М(И2п). Рассмотрим оператор А = А-1 АЛ, замыкающий коммутативную диаграмму

5(11п) -► М(К2п)

а

(0.12)

¿(Я71) -► М(И2п).

л

Тогда имеет место следующее утверждение.

Теорема 4. Оператор А является нелокальным ПДО обобщенного порядка (7711,7712) и задается в виде абсолютно и равномерно сходящегося

ряда

А^Т^А^, (0.13)

1,к

где операторы А&1к псевдодифференциальные операторы с символами

О^О-

Данная редукция позволяет расширить область применения теоремы 3 на нелокальные операторы с целочисленными сдвигами, действующие в пространстве Шварца.

Теорема 5. Пусть операторы А и А - операторы из теоремы 4- Тогда, если символ оператора А эллиптический, то операторы А и А фредгольмовы в соответствующих нормах, то есть для любых вещественных параметров ¿х^ £ Ы фредгольмовы операторы

А : Н81'82 ->• Я51"-"11'52-™2, (0.14)

А : Я^'52 Н^-ти82-т\ (0.15)

Имеет место формула для индекса

гпйех А = тйех А = ( сК

, [Т2"] ) . (0.16)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Арутюнов, Андроник Арамович, 2013 год

Список литературы

[1] Арутюнов A.A., Мищенко A.C. Редукция ПДО исчисления на некомпактном многообразии к компактному многообразию удвоенной размерности. Доклады РАН. 2013. Т.451, N4. С. 369373.

[2] Арутюнов A.A., Мищенко A.C. Редукция исчисления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерности. Математические заметки. 2013. Том 94, выпуск 4. С. 488-505.

Публикации, цитированные в работе.

[3] Гельфанд U.M. Об эллиптических уравнениях. Успехи матем. наук. 1960. Т. 15, вып. 3(93). С. 121-132.

[4] Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975.

[5] Зорич В.А. Математический анализ. М.:Наука. Физматлит. 1984.

[6] Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Добросвет. 2003.

[7] Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения. М.: Наука. 1984.

[8] V. Е. Nazaikinskii, A. Yu. Savin, В. Yu. Sternin. Elliptic Theory and Noncommutative Geometry. Nonlocal Elliptic Operators. Birkhauser Verlag AG. 2008.

[9] Грушин B.B. Псевдодифференциальные операторы в Rn с ограниченными символами. Функциональный анализ и его прил. 1970. N4. С. 37-50.

[10] Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях. Итоги науки и техники. Совр. проблемы матем. 1990. Фунд. напр. Т. 63. М.: ВИНИТИ. С. 5-129.

[11] Рабинович B.C. Априорные оценки и фредгольмовость одного класса псевдодифференциальных операторов. Математический сборник. 1973. Т. 92 (134), N2 (10). С. 195 - 208.

[12] Маслов В.П. Операторный метод. М.: Наука. 1973.

[13] Антоневич А.Б. Эллиптические псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов. Известия академии наук СССР. Серия математическая. 1973. Т. 37. N3. С. 663-675.

[14] Жиков В. В. О спектральном методе в теории усреднения. Тр. МИАН. 2005. Т. 250. С. 95 - 104.

[15] Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами. Доклады АН СССР. 1950. Т. 73. N6. С. 1117 - 1120.

[16] Atiyah М. F., Singer I. М. The index of elleptic operators on compact manifolds. 1963. Bull. Amer. Math. Soc. 69. P. 422-433.

[17] Fabio Nicola, Luigi Rodino Global Pseudo-Differential Calculus on Euclidian Spaces. Pseudo-Differential Operators Theory and Applications. Vol. 4. Springer Basel AG. 2010.

[18] V. Rabinbovich, S.Roch, B.Silbermann. Limit operators and their applications in operator theory in ser. Operator Theory Advances and Applications. Vol.150. Birkhauser. 2004.

[19] Fabio Nicola. K-theory of SG-pseudo-differential algebras. Proceedings of the american mathematical society. 2003. Vol. 131. N9. P. 2841-2848.