Развитие теории метода усреднения для дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Хатламаджиян, Гаспар Лусегенович

• Хатламаджиян, Гаспар Лусегенович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хатламаджиян, Гаспар Лусегенович

Введение

Глава I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§1. Уравнение с большими высокочастотными слагаемыми.

1°. Обоснование метода усреднения. Формулировка.

2°. Обоснование метода усреднения. Доказательство.

3°. Устойчивость.

4°. Построение асимптотики.

5°. Обоснование асимптотики.

§2. Система уравнений с быстрыми и медленными переменными

1°. Обоснование метода усреднения. Формулировка.

2°. Обоснование метода усреднения. Доказательство.

3°. Построение и обоснование асимптотики.

Глава II. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения

§1. Критический случай устойчивости линейных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми

1°. Формулировка результата.

2°. Описание алгоритма.

3°. Обоснование алгоритма.

4°. Замечания.

§2. Критический случай устойчивости линейных систем с быстрыми и медленными переменными.

1°. Формулировка результата.

2°. Описание алгоритма.

3°. Обоснование алгоритма.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие теории метода усреднения для дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми»

Метод усреднения является важным методом асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими (высокочастотными) членами. Он зародился во второй половине XVIII века в работах А. Клеро, Ж. Лагранжа и С. Лапласа по небесной механике. Существенно позже, в начале XX века, нидерландский инженер Б. Ван-Дер-Поль изложил его применительно к дифференциальным уравнениям, описывающим колебания в системах с одной степенью свободы. Однако всё это время вопросы надлежащего обоснования метода усреднения, не говоря уже о построении и обосновании старших приближений, оставались открытыми.

Первые доказательства асимптотической корректности метода усреднения привели П. Фату [64] и Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси [36] для случая нормальных систем дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями.

Систематическая теория метода усреднения для широких классов систем дифференциальных уравнений была создана в работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова [22] и Н.Н. Боголюбова [3, 4]. Эта теория получила затем дальнейшее развитие для различных новых классов дифференциальных (обыкновенных и в частных производных), интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. В настоящее время имеется достаточно большое число монографий, посвященных методу усреднения. Укажем некоторые из них: в [3, 5, 37, 7, 12, 67] рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения, в [37, 40] - уравнения в частных производных, в [37, 49] - интегральные и интегро-дифференциальные уравнения.

Отдельно отметим некоторые работы, относящиеся к уравнениям типа параболических. С.Д. Эйдельман [59] и Р.З. Хасьминский [51] обосновали метод усреднения для некоторых видов параболических уравнений второго порядка; И.Б. Симоненко [38] обосновал его для абстрактных параболических уравнений с постоянной главной частью; В.В. Жиков [10, 11] - для абстрактных параболических уравнений с быстро меняющейся по времени главной частью, но с более слабыми, чем в [38], нелинейностями; В.Б.

Левенштаму [23] удалось избавиться от этих ограничений на нелинейности при рассмотрении параболических уравнений во всем пространстве.

Тематика настоящей диссертации относится к одному из таких направлений, посвященному развитию теории метода усреднения для уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые, пропорциональные определенным положительным степеням частоты осцилляций. Интерес к этому направлению связан с тем, что известные задачи естествознания, в которых обнаружены важные физические эффекты, связанные с высокочастотными вибрациями, описываются дифференциальными уравнениями с указанной спецификой.

Первой в ряду таких задач стоит задача об устойчивости верхнего положения равновесия маятника с вибрирующий точкой подвеса. В работах Н.Н. Боголюбова [3] и П.Л. Капицы [14] показано, что при достаточно высокой частоте вибраций верхнее положение равновесия маятника может стать устойчивым. Этот замечательный результат стимулировал появление ряда работ, посвященных не только маятниковым системам, но и задачам механики сплошной среды.

В статье В.Н. Челомея [56] показано, что высокочастотные сжатия-растяжения балки могут стабилизировать ее прямолинейную форму. В работе С.М. Зеньковской и И.Б. Симоненко [13] рассматривалась задача конвекции жидкости в контейнере, совершающем вертикальные колебания. Было установлено (без математического обоснования), что эти колебания стабилизируют состояние относительного покоя жидкости и даже могут предотвратить конвекцию при сколь угодно высоком градиенте температуры. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции проведено в работах И.Б. Симоненко [39] и В.Б. Левенштама [24, 25].

В цикле работ В.И. Юдовича1 (см. [62] и содержащуюся там библиографию) изложены (в основном, без обоснования) важные результаты об асимптотическом интегрировании дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) с высокочастотными слагаемыми, пропорциональными определенным положительным степеням частоты. Там имеются также интересные приложения к задачам нелинейной механики

1Первые лекции В.И. Юдовича по этим вопросам были прочитаны на мехмате Ростовского госуниверситета в 1991г. и гидродинамики. Работы [1, 2, 28 - 32] В.Б. Левенштама и его учеников посвящены развитию строгой математической теории метода усреднения для дифференциальных уравнений с такой же спецификой.

Настоящая диссертация относится к этому же направлению. В ней рассматривается задача о 27га;--^периодических решениях системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнения dx = f(x, cot) + ut), u > 1, (0.1.1) системы уравнений с быстрыми и медленными переменными dt

If = <pi{x, У, Wt) + wt),

0.1.2) dt а также абстрактного параболического уравнения = Ax+Yl Е DM9kAx)eikwt + " Е (°-L3)

Уравнение (0.1.1) рассматривается в (0.1.2) - в Em+n = Rm х Rn, а (0.1.3) — в некотором банаховом пространстве X. Вектор-функции f(x, т), <р(х,т), fi(x,y,r), ipi(ж,г/,г), х(ж,г) предполагаются 27г-периодическими по переменной т 2, причем (р их имеют по г нулевые средние: t т <р(®, О >= ^ J = ^ J <р(х, t)dt = 0,

-t о

В (0.1.3) — произвольное целое неотрицательное число, А — линейный, вообще говоря, неограниченный оператор, порождающий аналитическую полугруппу в X, а линейные операторы и вектор-функции gk,s в определенном смысле подчинены оператору А. При этом gk,s{x) могут быть мономами произвольных степеней относительно х.

Для задач указанного вида обоснован метод усреднения, включая вопросы, связанные с устойчивостью решения по Ляпунову. Для систем (0.1.1) и систем с быстрыми и медленными переменными (0.1.2) при дополнительных условиях гладкости их данных обоснованы некоторые эффективные

2Насамом деле, вектор-функции f(x,r), уэ{х,т), f\{x,y,r), i^i(x,y,T), х(х,т) у нас Т-периодические по г (и, соответственно, рассматриваются задачи о ^периодических решениях уравнений (0.1.1) и (0.1.2)), но здесь для единообразия мы взяли Т = 2п способы построения полных асимптотик решений. Получены приложения результатов по задаче (0.1.3) к параболическим уравнениям и обобщенным системам Навье - Стокса (см. (0.1.18)). Именно, для них обоснован метод усреднения и при дополнительных ограничениях обоснованы некоторые эффективные алгоритмы построения полных асимптотик решений.

В диссертации разработаны с обоснованием некоторые алгоритмы исследования критического случая устойчивости для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми следующих трех видов:

X = ]Г Mt)eiXlUJtx + v^ (0.1.4)

1^0 IHlo

Г x= E e^iMQx + BiWy),

0 15) y= E e^iF^x + Gi^+u; E eiX^Hi{t)x, n—1 к a=k+l a=0 \l\0o q=1 a=0

0.1.6)

Здесь заглавными латинскими буквами обозначены матрицы-функции, элементами которых являются тригонометрические многочлены. Под последними мы, вслед за авторами работы [17], понимаем конечные суммы гармоник (возможно, с рационально независимыми частотами). Все Л; являются вещественными, причем Ао = 0, X-i = —Л; и А& ф Л/ при к ф I. Коэффициенты в правых частях этих уравнений считаются вещественными, т.е. A-k = Ак, В-к = Вк и т.д., где черта обозначает комплексное сопряжение. В (0.1.6) предполагается, что к 4- р = п, к ^ р. Для уравнений (0.1.5) и (0.1.6) рассмотрены примеры, иллюстрирующие изложенную теорию.

Отметим близкие к нашим результаты других авторов. В работе [65], о которой мы узнали при оформлении диссертации, имеется теорема, аналогичная нашей теореме 1.1.1 (см. ниже). Последняя относится к системе

0.1.1), а первая - к системе (0.1.7), отличающейся от (0.1.1) несущественным слагаемым порядка О , о; —оо (см. замечание 1). В доказательстве теоремы [65] при этом используются некоторые более жесткие, нежели у нас, требования гладкости главных членов / и <р. Отметим далее, что результатов о полной асимптотике периодических решений системы (0.1.1) (или (0.1.7)) типа теоремы 1.1.2 в работе [65] нет: имеются лишь некоторые рассуждения, относящиеся к линейным системам. Укажем еще, что теоремы 1.1.1 и 1.1.2 опубликованы в нашей статье [32].

Обоснование метода усреднения и построение полного обоснованного асимптотического разложения в случае задачи Коши для уравнения типа (0.1.1) проведено в работе [2]. Для уравнений второго и произвольного порядков в случае задачи Коши и задачи о периодических решениях аналогичные результаты содержатся в работах [1, 28, 31].

Для построения полных асимптотик решений в диссертации использованы с обоснованием алгоритмы, базирующиеся на методе многомасштабных разложений. Такие алгоритмы для обыкновенных дифференциальных уравнений ранее применялись в работах [47, 48, 62], а для дифференциальных уравнений с частными производными — в [26, 27, 29]. Отметим, что в [39, 26, 27] обоснованы метод усреднения и алгоритмы асимптотического интегрирования задачи о периодических решениях для традиционной системы Навье-Стокса (в (0.1.18) все равняются нулю) и задачи конвекции, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные частоте ш > 1.

При исследовании критического случая устойчивости линейных уравнений в диссертации используется процедура, базирующаяся на алгоритме Штокало-Колесова [17] (см. также [57, 58, 9]), и, вообще, методика работы [17], в которой рассматриваются уравнения с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. В работе [30] разработан с обоснованием алгоритм типа Штокало-Колесова исследования критического случая устойчивости для линейного абстрактного параболического уравнения вида (0.1.4).

Класс нелинейностей уравнений (0.1.3), в отсутствие асимптотического параметра, рассматривался ранее В.И. Юдовичем в монографии [60].

Прежде, чем перейти к детальному изложению содержания диссертации, напомним определения некоторых пространств.

Пусть Q — открытое подмножество Шп, I — натуральное число, р ^ 1. Через Wp(£l), как обычно, будем обозначать пространство Соболева определенных на Г2 функций и, имеющих в Q обобщенные производные по всем переменным до порядка I включительно, с обычной нормой.

Пусть Ъ - некоторое банахово пространство, J — либо конечный отрезок, либо полуинтервал вида [а, +оо), а Е 1, либо вся вещественная ось. Через С"*(Ъ) и С^(!В), д е (0,1), будем обозначать пространства непрерывных вектор-функций и : J —> Ъ, с нормами и\\сцъ) = IMIctfCB) = SUP IW*)II®> teJ

II II it , С11ТЛ сцъ) = Мер) + sup h<t2 соответственно. Если J = М, используем обозначения С(Ъ) = Ск(23), C^^C^fJLE (0,1).

Через Ck,k/2l(Q), где к ^ 0, I 6 N, Q = П х М, П - область в Мп, обозначается (см. [44, с. 81]) банахово пространство определенных на Q функций и, которые имеют непрерывные производные по переменной х до порядка [&] включительно, а по переменной t до порядка [к/21] включительно, и удовлетворяют условию И

М|СМ/« = IMU = Е Е sup +

0 2lfi+\u\=j (x,t)eQ

5k

E sup ||l?Dv{u{Xbt) - \x2 - +

2lfi+\v\=[k] (x1,f),(x2,t)eQ

E sup \§tD»{u(x,t2) - «(®,ti)}| \t2

Q<k-2ln~\v\<2l

ЬфЬ J +oo.

Для двух банаховых пространств через Нот(Ъ\,Ъ2) обозначим банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из !Bi в Ъ2, с обычной операторной нормой. При этом для краткости будем писать ЦЛЦв^фз вместо ||^4||яош(Ъ1,ф2)- Норму матрицы определим как корень квадратный из суммы квадратов ее элементов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и трех приложений. В главе I рассмотрена задача о ^периодических решениях системы уравнений (0.1.1) с Т-периодическими по т вектор-функциями f(x, т), ip(x,r). Обоснован метод усреднения, а также один эффективный алгоритм построения полной асимптотики решения этой задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хатламаджиян, Гаспар Лусегенович, 2008 год

1. Абоод Х.Д. Асимптотическое интегрирование задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 2005.

2. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Изд-во АН УССР, 1945.

3. Боголюбов Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике//Сб. инта строит, мех. АН УССР. 1950. Т. 14. С. 9-34.

4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

5. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5. С. 3-122.

6. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: изд-во МГУ. 1971.

7. Далецкий Ю.А., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534 с.

8. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во АН БССР, 1963.

9. Жиков В.В. Принцип усреднения для параболических уравнений с переменным главным членом // Докл. АН СССР. 1973. Т. 208, №1. С. 31-35.

10. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1976. Т. 40, №6. С. 13801408.

11. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.

12. Зеньковская С. М., Симоненко И. Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции // Изв. АН. СССР. Механика жидкости и газа, 1966. №5. С. 51—55.

13. Капица П. J1. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн. эксперим. и теорет. физики, 1951. Т. 21, №5, с. 588-598.

14. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

15. Коледов Л.В. Конструктивное описание областей определения дробных степеней эллиптических операторов // Сиб. мат. журн. Сентябрь-октябрь, 1975. Т. 16, №5. С. 1011-1019.

16. Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравн. 1974. Т. 10, №10. С. 1778-1788.

17. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Физматгиз, 1963. 728 с.

18. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966.

19. Красносельский М. А., Бурд В. LLL, Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.

20. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966, 499 с.

21. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Изд-во АН УССР, 1937.

22. Левенштам В.Б. Усреднение квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующей главной частью. Экспоненциальная дихотомия // Изв. РАН. Сер. мат. 1992. Т. 56, №4. С. 813-851.

23. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях // Сиб. мат. журн. Март—апрель, 1993. Т. 34, т. С. 92-109.

24. Левенштам В.Б. Метод усреднения в задаче конвекции при высокочастотных наклонных вибрациях // Сиб. мат. журн. Сентябрь—октябрь, 1996. Т. 37, №5. С. 1103-1116.

25. Левенштам В.Б. Асимптотическое разложение решения задачи о вибрационной конвекции // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, т. С. 1416-1424.

26. Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование системы Навье— Стокса с быстро осциллирующей массовой силой // Дифференц. уравн. 2001. Т. 37, №5. С. 696-705.

27. Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Дифференц. уравн. 2005. Т.41, Ж). С. 761—770; // №8. С. 1084-1091.

28. Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование параболических задач с большими высокочастотными слагаемыми j j Сиб. мат. журн. Июль-август, 2005. Т. 46, №4. С. 805-821.

29. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Сер. мат. 2006. Т. 70, № 2. С. 174-205.

30. Левенштам В.Б. Асимптотические разложения периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Дифференц. уравн. 2008. Т. 44, №1. С. 52-68

31. Левенштам В.В., Хатламаджиян ГЛ. Распространение теории усреднения на дифференциальные уравнения, содержащие быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. Задача о периодических решениях // Изв. вузов. Математика. 2006. №6. С. 35—47.

32. Майоров В.В. К объему понятий сильной устойчивости и неустойчивости // Вестн. Яросл. ун-та. 1975. Вып. 13. С. 146—152.

33. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Го-стехиздат, 1956.

34. Мандельштам Л.И, Папалекси Н.Д. Обоснование одного метода приближенного решения дифференциальных уравнений // Журн. экспе-рим. и теорет. физики. 1934. Т. 4, №2. С. 117-122.

35. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. К.: Наукова думка, 1971.

36. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для абстрактных параболических уравнений // Матем. сборник. 1970. Т. 81(123), №3. С. 53-61.

37. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Матем. сборник. 1972. Т. 87, №2. С. 236-253.

38. Симоненко И.Б. Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости. Ростов-н.Д.: Изд-во РГУ, 1989. 112 с.

39. Соболев СЛ. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. 255 с.

40. Соболевский П.Е. Об уравнения параболического типа в банаховых пространствах // Тр. Моск. об-ва. 1961. Т. 10. С. 297—350.

41. Солонников В.А. О дифференциальных свойствах решений первой краевой задачи для нестационарной системы Навье—Стокса // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1964. Т. 73. С. 221-291.

42. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида //Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1965. Т. 83. С. 3-162.

43. Соломяк М.З. Применение теории полугрупп к исследованию дифференциальных уравнений в пространствах Банаха // ДАН СССР. 1958. Т. 122, №5. С. 767-769.

44. Соломяк М.З. Оценка нормы эллиптического оператора в пространствах Lp // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, №6 (96). С. 141-148.

45. Стрыгин В.В. Об одной модицикафии метода усреднения при отыскании высших приближений // ПММ. 1984. Т. 48, вып. 6. С. 1042-1045.

46. Стрыгин В.В. Об асимптотическом интегрировании уравнений движения механических систем, находящихся под воздействием быстро осциллирующих сил // ПММ. 1989. Т. 53, вып. 3. С. 845-853.

47. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент: ФАН, 1971.

48. Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна. СМБ. М.: Наука, 1972. 544 с.

49. Хасьминский Р.З. О принципе усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и марковских процессов с малой диффузией // Теория вероятностей и ее применения. 1963. Т. 8, №1. С. 23-25.

50. Хатламаджиян Г.Л. Исследование устойчивости решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми в критическом случае // Деп. в ВИНИТИ 10.01.2006, №15-В2006. Деп., РЖ Математика, 2006, 13Б.222.

51. Хатламаджиян Г.Л. Об устойчивости решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с большими высокочастотными слагаемыми в критическом случае // Деп. в ВИНИТИ 11.05.2006, №636-В2006.

52. Хатламаджиян Г.Л. Об устойчивости решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми в критическом случае // Ж. вычиел. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, №1. С. 96-109.

53. Хатламаджиян Г.Л. Асимптотический анализ некоторых эволюционных задач с большими высокочастотными слагаемыми // Деп. в ВИНИТИ 24.09.2007, №889-В2007.

54. Челомей В. Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // ДАН СССР, 1956. Т. 110, №3. С. 345347.

55. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Киев: Изд-во АН УССР, 1960.

56. Штокало И.З. Операционное исчисление. Киев: Наукова думка, 1972.

57. Эйдельман С.Д. О применении принципа усреднения к квазилинейным параболическим системам второго порядка//Сиб. матем. журнал, 1962. Т. 3, т. С. 302-307.

58. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-н.Д.: Изд-во РГУ, 1984. 190 с.

59. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия систем со связя-ми//Деп. в ВИНИТИ. 2003. №1407-В2003

60. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями // Успехи механики. 2006. Т. 4, №3. С. 26—158.

61. Agmon S. On the eigenfunetions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Comm. Pure and Appl. Math., 1962. V. 15, N 2. P. 119-158.

62. Fatou P. Sur le mouvement d'un systeme soumis a des forces a courte periode // Bull. Soc. Math. 1928. 56. P. 98-139.

63. Hartono, van der Burgh A.H.P. Higher order averaging: periodic solutions, linear systems and an application // Nonlinear analysis. 2003. 52. P. 17271744.

64. Hille H., Phillips R.S. Functional analysis and semi-groups. AMS Colloquium Publications, 1957. V. 31. 808 p. averaging of functional differebtial equations // Functional Differential Equations. 2002. V. 9, N 1-2. P. 165-200.

65. Sanders J.A., Verhulst F. Averaging methods in nonlinear dynamical systems. Springer-Verlag, Apllied Mathematical Sciences, 1985. V. 59. 247 P