РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В ТОНКОСТЕННЫХ ПРОВОДНИКАХ НА ОБОЛОЧКИ С РАЗРЕЗАМИ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат наук Данилина Элеонора Михайловна

• Данилина Элеонора Михайловна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Данилина Элеонора Михайловна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В ОБОЛОЧКАХ С РАЗРЕЗАМИ

1.1 История вопроса

1.2 Постановка задачи. Идеализации и допущения

1.3 Математическая модель вихревых токов для оболочек с разрезами

1.4 Исследование оператора Р1

1.5 Модификация программного пакета «СотрЕС 3ё» применительно к оболочкам

с разрезами

Выводы по главе

ГЛАВА 2. РАСЧЕТ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В БЕСКОНЕЧНЫХ ПЛАСТИНАХ С РАЗРЕЗАМИ

2.1 Математическая модель электромагнитного поля бесконечной пластины с разрезами

2.2 Интегральные операторы и тождества

2.3 Преобразование скалярной задачи к интегральному уравнению вдоль линии разреза

2.4 Влияние разрезов на вихревые токи, силовые и энергетические характеристики пластины, движущейся в поле двухпроводной линии

2.4.1 Постановка задачи

2.4.2 Решение задачи расчета вихревых токов

2.4.3 Случай одного разреза

2.4.4 Интегральные характеристики электромагнитного процесса

2.4.5 Численные эксперименты

2.5 Влияние разреза пластины на вихревые токи и электромагнитную силу,

испытываемую движущимся витком с током

2.5.1 Постановка задачи

2.5.2 Решение задачи для вихревых токов

2.5.3 Силовые характеристики

2.5.4 Оценка вклада эффекта близости

2.6 Диагностика пластины с трещиной вихретоковым методом

2.6.1 Постановка задачи

2.6.2 Случай одиночной трещины

2.6.3 Вклад эффекта близости

2.6.4 Случай двух трещин

2.6.5 Контроль физическим экспериментом

2.7 Расчет вихревых токов стальной пластины с разрезом

2.7.1 Постановка задачи

2.7.2 Расчет интегральных характеристик

2.7.3 Учет эффекта близости

2.7.4 Численные эксперименты

Выводы по главе

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ С РАЗРЕЗАМИ

3.1 Математическая модель вихревых токов цилиндрической оболочки с разрезами, вращающейся в магнитном поле

3.1.1 Исходная постановка задачи

3.1.2 Решение уравнения

3.1.3 Особенности численной реализации

3.1.4 Расчет интегральных характеристик

3.2 Математическая модель распределения вихревых токов в электромагнитных аппаратах вихревого слоя

3.2.1 Электромагнитные аппараты вихревого слоя

3.2.2 Расчет первичного магнитного поля трехиндукторного ЭМАВС

3.2.3 Анализ и сравнение способов снижения джоулевых тепловыделений в трехиндукторном ЭМАВС

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ- Результаты внедрения и апробация диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В ТОНКОСТЕННЫХ ПРОВОДНИКАХ НА ОБОЛОЧКИ С РАЗРЕЗАМИ»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность диссертационной работы. Задача расчета вихревых токов в тонких проводящих слоях (оболочках, пластинах) являлась предметом изучения многих исследователей [1 - 27]. Это связано, прежде всего, с тем, что данные объекты нашли применение в широком круге электромеханических, электро- и радиотехнических устройств. Примером тому могут служить системы электродинамических подвесов, асинхронные машины с полым ротором или синхронные машины с постоянными магнитами на роторе и беспазовым (гладким) статором, индуктивные датчики, электромагнитные защитные экраны и т.п. Находясь под действием переменного магнитного поля, они расходуют энергию на вихревые токи, оказывают силовое и электромагнитное воздействие на другие токонесущие тела или обеспечивают необходимый экранирующий эффект. В связи с этим для создания конкурентоспособной продукции и обеспечения оптимальных параметров электротехнических устройств еще на стадии проектирования необходим учет этих эффектов, что невозможно без расчета электромагнитного поля. Кроме того, в масштабе радиуса Земли к проводящим оболочкам могут быть отнесены моря и океаны, а также ионосфера, поэтому рассмотрение данной задачи оказывается полезным и при решении ряда геофизических проблем. Другая причина - высокий уровень математической сложности задачи в общей постановке. Поэтому предпринимались многочисленные попытки её решения для ряда частных случаев с использованием разнообразных идеализаций.

Расчету электромагнитных полей тонких оболочек и пластин посвящено много работ. Однако, в известных теоретических постановках и практической реализации отсутствуют, так называемые, идеальные разрезы. Последний термин означает имеющие нулевую ширину естественные (трещина), или искусственные (разрез) нарушения сплошности материала оболочки вдоль замкнутой, или разомкнутой линии.

Роль таких нарушений могут играть стыки путевого полотна в системах электродинамического подвеса, трещины в тонкопленочных конденсаторах [28, 29], стенках котлов и трубопроводов, обшивках судов, летательных аппаратов и других подобных устройств. Кроме того, разрезание оболочек поперек силовых линий вихревых токов, затрудняющее последним условия растекания, может использоваться для снижения джоулевых потерь в электро-радиотехнических и электромеханических устройствах.

В этой связи очевидна необходимость оценки влияния разрезов (трещин) на разнообразные интегральные характеристики различных проявлений электромагнитного поля проводящих оболочек. Получение такой оценки требует разработки математических и компьютерных моделей вихревых токов оболочек и пластин с разрезами.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления ЮРГПУ (НПИ) им. М.И. Платова «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы», а также в рамках темы «Развитие методов математического и компьютерного моделирования электротехнических, механических и экологических систем» с номером государственной регистрации 2819.

Степень разработанности темы исследования.

Характеризуя общее состояние вопроса расчета электромагнитного поля тонких проводящих оболочек и пластин, можно заключить, что к настоящему времени хорошо изученными являются аналитические (допускающие аналитическое решение) замкнутые оболочки. Расчет оболочек, не являющихся аналитическими, представляет собой сложную математическую задачу, эффективные решения которой известны лишь для узкого класса проводников. Поэтому разработка новых и развитие существующих методов расчета электромагнитных полей тонких проводящих оболочек остается одной из актуальных задач теоретической электротехники.

Большой вклад в изучение вопроса внесли Прайс А. Т., Смайт В., Каден К., Цейтлин Л. А., Жуков В. В., Петрушенко Е. И., Краснов И. П., Майергойз И. Д.,

Тозони О. В., Астахов В. И., Апполонский С. М., Васильев В. В., Чечурин В. Л., Шпицберг В. Е., Шнеерсон Г. А., Гримальский О. В., Калимов А. Г. и др.

Целью работы является обобщение известной математической теории электромагнитных процессов в тонких оболочках на оболочки с разрезами, разработка математической модели вихревых токов в бесконечных пластинах с разрезами различной конфигурации, создание программного обеспечения для выполнения соответствующих расчетов, оценка влияния разрезов на распределение вихревых токов и интегральные характеристики электромагнитного процесса на основе численных экспериментов.

Для достижения поставленной цели в данной работе поставлены и решены следующие задачи:

- обоснована корректность математической модели вихревых токов оболочек с разрезами;

- краевая задача для вихревых токов бесконечной пластины с разрезами сведена к решению интегрального уравнения на линии разреза;

- модернизирован программный пакет «CompEC 3ё» для вихревых токов в оболочках, позволяющий рассчитывать влияние разрезов на распределение токов и интегральные проявления электромагнитного поля;

- разработаны программные пакеты для расчета вихревых токов, ЭДС, индуцируемой в витке, электромагнитной силы, мощности джоулевых тепловыделений в бесконечных пластинах с прямолинейными разрезами;

- разработан алгоритм и программа для расчета вихревых токов и интегральных характеристик электромагнитного процесса в круговой цилиндрической оболочке конечной длины с поперечными разрезами, вращающейся в поле внешних источников;

- проведены вычислительные эксперименты и выполнен анализ полученных результатов.

Научная новизна представленных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:

- впервые обоснована корректность математической модели вихревых токов проводящих оболочек конечных размеров с разрезами;

- выполнена модернизация программного пакета «CompEC 3d» для расчета вихревых токов в проводящих оболочках, что позволило учесть при расчетах влияние разрезов на распределение вихревых токов и обусловленные ими интегральные характеристики электромагнитного процесса;

- задача расчета вихревых токов в бесконечной пластине с разрезами впервые сведена к одномерному интегральному уравнению на линии разреза, которое в рамках некоторых постановок имеет аналитическое решение;

- получены новые соотношения, связывающие векторы электромагнитного поля при распределении токов на проводящей плоскости: получена формула обращения закона Био-Савара-Лапласа, выражающая функцию тока, распределенного на плоскости, через нормальную координату напряженности, созданного этим током магнитного поля; доказано, что функция потока вихревых токов в сплошной пластине удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца; установлено, что на линии разреза напряженность магнитного поля имеет логарифмическую особенность;

- получены оригинальные аналитические формулы для расчета вихревых токов и интегральных характеристик электромагнитного процесса в пластинах с одиночным разрезом, пересекающимися прямолинейными разрезами или бесконечным числом разрезов с учетом движения и магнитных свойств материала пластины;

- предложен алгоритм расчета вихревых токов и интегральных характеристик круговой цилиндрической оболочки конечной длины в разных режимах работы (в пульсирующем, бегущем переменном магнитном поле или вращение оболочки в магнитном поле постоянных токов сторонних источников), который в отличие от известных учитывает наличие поперечных разрезов, что позволяет расширить класс решаемых задач;

- с помощью оригинальных программ проведены численные эксперименты, на основании которых впервые получена оценка влияния разрезов на вихревые токи и интегральные характеристики электромагнитного процесса в оболочках и пластинах в зависимости от частоты питания внешнего источника и его расположения относительно разреза, скорости движения (вращения), электропроводимости и магнитной проницаемости материала оболочки.

Теоретическая значимость. Выполненное обобщение математической модели вихревых токов в оболочках расширило границы ее применимости, а также позволило получить новую информацию о токах, магнитном поле и их интегральных проявлениях.

Практическая значимость. На основе полученных в диссертации математических моделей и алгоритмов разработаны комплексы прикладных программ для расчета вихревых токов и их интегральных проявлений, которые прошли государственную регистрацию и могут применяться при проектировании различных электротехнических устройств, систем электродинамического подвеса, устройств вихретоковой дефектоскопии и магнито-импульсной обработки металлов.

Результаты исследования влияния разреза на электромагнитную силу, испытываемую витком с током, движущимся над пластиной, могут использоваться при создании систем демпфирования (гашения колебаний), а также удерживающей арматуры в системах подвеса.

Выполненная оценка влияния разреза на индуцируемую в витке с током ЭДС полезна при настройке вихретоковых дефектоскопов для подбора оптимальной рабочей частоты и повышения чувствительности к дефектам на удалении.

Данные анализа влияния разрезов на мощность джоулевых тепловыделений могут использоваться при выборе способа снижения потерь.

Результаты диссертационной работы используются в ООО НПП «ВНИКО» (г. Новочеркасск) в ходе выполнения работ над оптимизацией параметров электромагнитного аппарата вихретокового слоя (ЭМАВС). Копия акта внедрения

приведена в Приложении.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Обобщение математической теории вихревых токов проводящих оболочек на оболочки с разрезами.

2. Модификация программного пакета «СотрЕС 3d» для расчета вихревых токов в проводящих оболочках с разрезами.

3. Математическая модель вихревых токов бесконечной пластины с разрезами на основе одномерного интегрального уравнения на линии разреза.

4. Новые соотношения, связывающие векторы электромагнитного поля при распределении токов на проводящей плоскости (формула обращения закона Био-Савара-Лапласа на плоскости, двумерное уравнение Гельмгольца для функции потока в сплошной пластине, логарифмическая особенность напряженности магнитного поля на линии разреза).

5. Аналитические формулы для вихревых токов, ЭДС, индуцируемой в витке, электромагнитной силы, мощности джоулевых потерь в пластинах с одиночным, двумя пересекающимися или бесконечным числом равноотстоящих прямолинейных разрезов с учетом движения и магнитных свойств материала пластины.

6. Алгоритм расчета вихревых токов и обусловленных ими мощности потерь энергии и тормозного (вращающего) момента круговой цилиндрической оболочки с поперечными разрезами, вращающейся в магнитном поле.

7. Программные пакеты для расчета вихревых токов и электромагнитных характеристик в пластинах и цилиндрических оболочках с разрезами.

8. Оценка влияния разрезов на вихревые токи и интегральные характеристики электромагнитного процесса в оболочках и пластинах в зависимости от частоты питания внешнего источника и его расположения относительно разреза, скорости движения (вращения), электропроводимости и магнитной проницаемости материала оболочки на основании численных экспериментов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач и используемых математических методов, обоснованностью принятых допущений, а также совпадением результатов расчета с данными физического эксперимента.

Личный вклад автора. Совместно с научным руководителем поставлены задачи диссертационного исследования. Лично автором получены следующие результаты: обоснована корректность математической модели вихревых токов оболочек с разрезами; модернизирован программный пакет «CompEC 3d»; предложена математическая модель вихревых токов в бесконечных пластинах с разрезами на основе одномерного интегрального уравнения на линии разреза; получены соотношения, связывающие векторы электромагнитного поля при распределении токов на проводящей плоскости; получены оригинальные аналитические формулы для расчета вихревых токов и интегральных характеристик электромагнитного процесса в бесконечных пластинах; разработан алгоритм расчета вихревых токов и интегральных характеристик в круговой цилиндрической оболочке конечной длины с поперечными разрезами, вращающейся в поле внешних источников; разработаны программные пакеты для ЭВМ, реализующие полученные модели и алгоритмы; проведены вычислительные и физический эксперименты, выполнен анализ полученных результатов.

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях:

- XXXIV сессия всероссийского научного семинара Академии наук Российской федерации «Кибернетика энергетических систем» по тематике "Диагностика энергооборудования" (ЮРГТУ, г. Новочеркасск), 2012 г.;

- II международная научно-практическая конференция «Academic science -problems and achievements» (Академическая наука - проблемы и достижения), г. Москва, 2013;

- 5-й Международный научный семинар «Системный анализ, управление и обработка информации» (п. Дивноморское, 2-6 окт. 2014 г.) / Донской гос. техн. ун-

т. - Ростов н/Д: ДГТУ, 2014;

- XV Международная научно-практическая конференция «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» г. Новочеркасск, 20 марта 2015 г. / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т. - Новочеркасск: ЮРГПУ (НПИ), 2015.

Результаты исследований обсуждались на научных семинарах Института электрических машин, приводов и железных дорог Технического университета г. Брауншвейг (Германия), Института электротехники и информационных технологий Технического университета г. Дортмунд (Германия), ЮжноРоссийского государственного политехнического университета (НПИ).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ [30 -41] работах общим объёмом 4,96 п.л., вклад соискателя 2,56 п.л., из них 5 статей в рецензируемых научных журналах рекомендованных ВАК.

Получены 5 свидетельств о государственной регистрации программ для ПЭВМ [42 - 46]. Копии свидетельств о регистрации приведены в Приложении.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы, включающего 90 наименований. Общий объем работы составляет 155 страниц, в диссертации содержится 51 рисунок.

Первая глава посвящена развитию математической теории вихревых токов геометрически тонких проводящих оболочек с краем, отвечающим условиям Липшица, изложенной в работах Астахова В.И. и Кочубей Т.В. [18, 20] и реализованной в программе «СотрЕС 3d» [47], на оболочки с разрезами. А именно, с помощью вариационного метода путем минимизации функционала и исходя из теоремы Рисса, в рассматриваемом случае обоснована корректность интегрального уравнения вихревых токов и его обобщенной постановки в пространстве Соболева. Выполнена модернизация программного пакета «СотрЕС 3d», позволяющая учитывать наличие разрезов при расчетах вихревых токов и интегральных характеристик электромагнитного процесса проводящих оболочек.

Во второй главе рассмотрена задача расчета вихревых токов и интегральных проявлений электромагнитного поля в бесконечных пластинах с кусочно-гладкими разрезами различных геометрических форм. С помощью интегральных операторов теории потенциалов и связанных с ними тождеств, рассматриваемых как пары двумерных интегральных преобразований, задача расчета вихревых токов сведена к одномерному интегральному уравнению на линии разреза, кроме того получены новые соотношения связывающие векторы электромагнитного поля токов, распределенных на проводящей плоскости. Для ряда задач получены аналитические решения и выполнены оценки влияния разрезов на распределение вихревых токов и обусловленные ими интегральные характеристики электромагнитного процесса. Приведены данные сравнения расчета с экспериментом, выполненным на лабораторной модели.

В третьей главе описан алгоритм расчета вихревых токов и интегральных проявлений электромагнитного поля в круговой цилиндрической оболочке конечной длины с поперечными разрезами, вращающейся в магнитном поле внешних источников. В качестве расчетной модели использовано обобщенное представление интегрального уравнения удобное для применения метода Галеркина. На основании разработанной модели решена практическая задача расчета вихревых токов в трубе (немагнитном полом цилиндре) трехиндукторного электромагнитного аппарата вихревого слоя (ЭМАВС). Выполнена оценка эффективности предложенных способов уменьшения джоулевых потерь на вихревые токи в трубе для повышения экономичности устройства.

В заключении сформулированы основные научные результаты диссертационной работы.

ГЛАВА 1.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В ОБОЛОЧКАХ С РАЗРЕЗАМИ

1.1 История вопроса

Первое систематическое исследование вихревых токов тонких оболочек и пластин было выполнено Прайсом А. Т. [1, 2]. Областью его научного интереса был ряд геофизических проблем, связанных с анализом влияния вихревых токов морей, океанов и ионосферы на земной магнетизм. Прайс А. Т. установил, в частности, что скалярный магнитный потенциал при переходе через оболочку испытывает скачок, равный функции вихревого тока, а последняя удовлетворяет на срединной поверхности оболочки уравнению Пуассона-Бельтрами, правая часть которого выражена через нормальную к оболочке составляющую индукции магнитного поля.

Пользуясь дифференциальной постановкой задачи, Прайс А. Т. проанализировал вихревые токи в неограниченных пластинах и сфере методом Фурье и сделал ряд полезных заключений о влиянии неоднородности и анизотропии проводника на магнитную реакцию и вихревые токи.

Цейтлин Л. А. в [3, 4] изучил случай, когда магнитная реакция оболочки (собственное магнитное поле вихревых токов) ничтожно мала и поэтому правая часть уравнения Пуассона-Бельтрами известна. Для этого случая применительно к цилиндрическим оболочкам и пластинам простейшей конфигурации, помещенным в однородное магнитное поле, им предложены аналитические решения уравнения Пуассона-Бельтрами и соответствующие формулы потерь в проводнике на вихревые токи [4].

Отметим, что в общем случае для искривленных оболочек решение уравнения Пуассона-Бельтрами встречает принципиальные трудности, связанные с отличием внутренней геометрии их срединных поверхностей от геометрии

плоскости, на которой развит необходимый математический аппарат. Кроме того, учет магнитной реакции резко усложняет задачу, но оказывается необходим, поскольку на практике вклад этой реакции нередко многократно превышает результирующее магнитное поле.

Можно, однако, выделить класс оболочек, называемых аналитическими (сфероидальная, круговая бесконечно длинная цилиндрическая оболочка, неограниченная пластина), для которых указанные трудности относительно легко преодолимы. Это замкнутые оболочки, срединные поверхности которых являются координатными поверхностями такой системы координат, которая допускает разделение переменных в уравнении Лапласа. В этих оболочках расчет вихревых токов и магнитной реакции может быть выполнен аналитически методом Фурье. Многочисленные примеры решения задач с аналитическими оболочками содержатся в работах Аполлонского С. М. [5], Кадена Г. [6], Васильева В. В. [7], Полонского Н. Б. [8], Смайта В. [9], Маергойза И. Д. [10], Туровского Я. [11] и многих других.

На практике всякую реальную оболочку стараются заменить аналитической, близкой по форме, что не всегда возможно. Это оправдано в случае, когда поле изучается на значительном удалении от оболочки. Если же требуется расчет поля на поверхности оболочки или вычисление интегральных характеристик (джоулевые тепловыделения, электромагнитная сила, испытываемая оболочкой и т.д.), указанная замена может привести к недопустимым погрешностям. Расчет оболочек, не являющихся аналитическими, представляет собой сложную математическую задачу, эффективные решения которой известны лишь для узкого класса проводников.

Наличие края, разреза или щели (имеющей не нулевую ширину) в оболочке создает особые трудности в расчете электромагнитного поля. Применительно к пластине (составному электропроводному экрану) в [12] Счастливым Г. Г. предложен учет присутствия щели путем введения «источников влияния», однако никаких расчетов не приведено. В [13] Шнеерсоном Г. А. рассмотрены идеально

проводящие пластины с отверстиями и щелями. Задача сведена к решению интегрального уравнения первого рода для индукции на оси щели, для пластин конечной толщины получено интегральное уравнение, позволяющее учесть протекание тока по поверхности пластины и границам щели.

Для однородных изотропных пластин с краем в [14 - 17] получены интегральные уравнения II рода относительно комплексной функции вихревых токов. В [14] Майергойзом И. Д. приведены численные расчеты для пластин, имеющих сложную границу, однако предложенная модель не учитывает поверхностный эффект и неоднородность материала, в [15] сделано уточнение применительно к случаю неодносвязной пластины. В [16] Астаховым В. И. уравнение для функции тока системы компланарных пластин не только получено, но также исследовано и решено методом Гильберта-Шмидта в условиях установившегося и переходного режимов. Подобные модели для пластин простейших форм с однородной проводимостью также рассматривались в [17]. В дальнейшем эти результаты были распространены на движущиеся в магнитном поле неоднородные анизотропные многосвязные оболочки, срединные поверхности которых отвечают условиям Римана и Липшица, а края - требованию кусочной гладкости [18, 19].

Подход, изложенный в [18], получил, как представляется, наиболее существенное развитие в [20], где была разработана и исследована модель вихревых токов в оболочках сложных геометрических форм с неоднородной и анизотропной проводимость в условиях переходного и установившегося режимов. В работах [18, 20] задача расчета вихревых токов сведена к уравнению 2-го рода, обобщенная формулировка которого удобна для применения метода Гильберта-Шмидта, Галеркина и, в частности, метода конечных элементов. Последний был реализован в виде программного пакета «СотрЕС 3d» [47], позволяющего рассчитывать вихревые токи в установившемся и переходном режимах, а также интегральные характеристики электромагнитного процесса оболочек сложных геометрических форм конечных размеров.

Кроме того, из оригинальных подходов к задаче о вихревых токах в оболочках выделим еще работы [19, 21 - 27]. В [19] предложено векторное интегральное уравнение, нагруженное задачей для скалярного электрического потенциала, решение которой с уменьшением толщины оболочки теряет устойчивость. В [21] показано, что если пренебречь нормальной к срединной поверхности оболочки составляющей тока, то интегральное уравнение преобразуется к скалярному даже при рассмотрении оболочки как массивного тела. Однако проблемы устойчивости при этом остаются. Позже этот подход был развит в [22], автором работы рассмотрены уравнения для пластин и цилиндрических оболочек (конечных размеров и бесконечно длинных) с неоднородной и анизотропной проводимостью, предусматривающие неравномерность распределения токов по толщине проводника введением комплексной проводимости [48].

Радикальный способ преодоления неустойчивости состоит в замене оболочки её срединной поверхностью, наделенной некоторыми эквивалентными свойствами в отношении электромагнитного поля. Такой прием впервые был предложен Жуковым В. В. [23] и развит в дельнейшем Шпицбергом В. Е. [24].

Для замкнутой проводящей оболочки с неоднородной проводимостью Красновым И. П. предложено интегральное уравнение II рода с чрезвычайно сложным и громоздким по конструкции ядром [25]. В силу последних свойств, сведения о практической реализации этого уравнения в литературе отсутствуют.

В [26] Гримальский О. В. развил возможности метода граничных элементов, что позволило эффективно использовать переход к проводящей поверхности при расчете электромагнитных полей тонкостенных оболочек. Также автор работы свел модель квазистационарного электромагнитного поля, содержащую граничные условия Жукова В. В. [23], к приближенным моделям в виде интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с гиперсингулярными интегральными операторами, а модель двумерного поля на основе системы интегральных

уравнений в сочетании с преобразованием Фурье была развита применительно к нестационарному (импульсному) полю.

В [27] Калимов А. Г. разработал и исследовал интегральный метод расчета вихревых токов в немагнитных средах, основанный на прямой аппроксимации вектора плотности тока в расчетной области функциями Уитни первого порядка.

Однако, несмотря на богатую историю вопроса и большой круг исследователей в известных теоретических постановках и практической реализации отсутствуют, так называемые, идеальные разрезы (имеющие нулевую ширину). Кроме того, существующие прикладные программные пакеты, предназначенные для расчета электромагнитных полей (ANSYS, Maxwell, Flux 2D, 3D, Femm 3D, Elcut и т.д., подробный обзор их возможностей приведен в [20]) в большинстве своем не способны решать задачи для оболочек с границами, не удовлетворяющими условиям Липшица. Это связано с невозможностью выполнения триангуляции в случае наличия в геометрической модели нулевых углов или краев, прилегающих друг к другу вплотную (то есть, разрезов). Все это делает актуальным разработку математической модели электромагнитного поля оболочки, учитывающей разрезы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Данилина Элеонора Михайловна, 2016 год

источников;

rмQ - расстояние между точками М и Q, N - проекция точки Q на %, а знак приближенного равенства вызван удержанием в разложении

11 а 1

+ zQ--+ ...,

2,

Q

к п

< —, ZN = 0 только двух первых слагаемых

rMQ rMN аzN ГШМ

аналогично (2.46).

Воспользуемся преобразованию Фурье (2.18) по переменной V.

ш 1 ^

/(©)= {е-^/{г)dt, /(г) = ^ {(2.50)

2л

после чего задача (2.1) для плотности а , записанная в терминах фурье-образов по времени, где под Н и Н0 будем понимать Н, и Н,0, и краевая задача для т [18]

примут вид

(Н, - НО )=

ГОД

ё1у Н, = О

ЯО Н, = а Н, = О

О

Ы > 0;

г01 (н 2

Н

0

&у Н 2 = 0

ы = 0;

КО н2 = 0 Б1У Н 2 = го! Ы т

Ы > 0;

ы = 0;

го!ыст = ->юуц0Н,ы | ы = 0,

&уа = 0

т = -х[н] , ы = 0,

(2.51)

вне Ь,

Х:

2е 2_

, 2 л( рк

к - —

р

лЛ ))

аеу = 0 на Ь,

Н,(М, ю)-Н,0 (М, ю)

->0.

Н2(М,ю)-Н2(М,ю) , . > 0.

Здесь Ь - разрез, в условиях рисунка 19, задающийся как у = 0, V -

единичный вектор нормали к Ь, равный ёу. Как показано в [18] поле т

нечувствительно к наличию края (следовательно, и разреза) пластины, поэтому в правом столбце соотношений (2.51) краевые условия на линии разреза отсутствуют. В этой связи можно ожидать, что вклад эффекта близости в возмущение электромагнитной силы будет ничтожно мал и основное внимание уделить рассмотрению

^а=-Як 0

dS.

(2.52)

S

2.5.2 Решение задачи для вихревых токов

В терминах функции тока у задача для электрической компоненты будет иметь вид аналогичный (2.2), в которой все комплексные величины следует заменить на фурье-образы по времени /(ю) (2.50) и учитывать только краевые условия, относящиеся к разрезу вида I,

>

>

Таким образом, в условиях рассматриваемой задачи фурье-образ функции потока (2.23) примет вид

/ \ 0(т,0, ш)+ 1"кН° (т, п, ш) у(т,п,-^ ' ' ' , (2.53)

( 2л/ т2 + п2 + уХ ]л/т2 + п2

где 0(т,0, ш)= { 0^ ,0, ш)eJmXQdxQ , Н° (т, п, ш) - фурье-образ 2-координаты

—7

симметричной составляющей напряженности поля внешних источников.

После применения обратного преобразования (2.19) по координате у получим

у(т, у, ш)=—2 0(т,0, ш){ С0§ пУ^ — (2.54)

Л 0 ^2л/ т2 + п2 + уХ] л/т2 + п2

уХ 7 е"упуН0 (т, п, ш^п

— — I -12 4 ' '—-, — 7 < у <7.

Л —2л/т2 + п2 + уХ] л/т2 + п2

Нетрудно убедиться, что интеграл (2.54) при конечном Х в ноль обратиться не может, поэтому из краевого условия задачи (2.2), относящегося к разрезу типа ¡1, следует

уХ 7 Н°2 (т, п, ш) dn

20(т,0, ш)=-У— {

т —7[2л/ т 2 + п2 + 'Х )л/ т2 + п2

ух] л/т

а после подстановки в (2.53) будем иметь у = У0 + У1, причем

/ ч 2уЛН?2 (т, п, ш) у 0 (т, п, ш) =----—-' (2.55)

^2л/ т2 + п2 + уХ] л/т2 + п2 - фурье-образ решения задачи в отсутствие разреза;

•л

у1(т, п, ш)=- у --х (2.56)

G(Х, т)(2л/т 2 + п 2 + уХ] л/т 2 + п 2

х 7 Н02 (т, V, ш)dv

—7

^2л/т2 + V2 + уХ] л/т^ + у2

вклад разреза.

Входящий в эти формулы фурье-образ Н02 (т, п, ю) 2 - координаты

напряженности магнитного поля витка (рисунок 19) находится последовательным применением преобразований (2.18) по х, у, (2.50) по X к оригиналу

,2 Ь/2 а 12-и

' "" (2.57)

Я0 (х, у, 2, X) =

г а

4пд12

№ I I -,

-Ь/2 -а/2-^(^ - X)2 + (л - У )2 + (2А - 2)2

в записи которого предполагается, что в нулевой момент времени геометрический центр витка (точка А, см. рисунок 19) находится над разрезом. После технически несложных вычислений получим

Я0 (т, п, 2, ю) = 4пг

I 2 , 2 . л/т + п

тп

Г тЬ ^ г пал

Бт Бт — е

V 2 У V 2 У

I 2 21 |

-V т +п \2 л -2 \

~ 1 А '5(пи + ю).

Применяя теперь к обоим равенствам (2.55 - 2.56) обратное преобразование Фурье по времени (2.50), найдем

2А* (п)Н02 (т, п,0, X)

у 0 (т, п, X )= --

2л/ т 2 + п 2 + X* (пШ т 2 + п 2

(2.58)

(т, п, X):

I 2 2

л1т + п

х

X

X* (у)Н02 (т, у,0, X) ¿у

О(х*(у),т)Г2Vт2 + п2 + X*(у)! л/т2 +у2Г2л/т2 +у2 + X*(у

где X* (п) = -/пиу * (п)цо, у* (п) = -2у

Р (п

(п)

-гН

^ р (п)Н^ 2

V у

Н° (т, п, 2, X )= 2г

I 2 , 2 . л/т + п

тп

Г па ^ Г тЬ ^

Б111 — Б111 е

V 2 у V 2 У

р(п)=4- ./пиУ^о,

-л/ т2 + п21 2а - 2 - /пи

(2.59)

(2.60)

Существенно, что мнимая часть подынтегральной функции в (2.59) обладает нечетной симметрией относительно точки у = 0, поэтому при суммировании обнуляется. Таким образом, 1ш(у1(т, п, X ))= 0. Одновременно, вещественная часть обладает четной симметрией и, выделив эту часть, можно

1

да

перейти к пределам интегрирования от 0 до да.

Для получения оригиналов остается вычислить интегралы

^ да да

у0(х,У, 1 ) = —2 I|е~]ПУ со$(тх)у1(т, п,1)dn,

-да

2л2

дада

У1 (х, у, 1 ) = — | dm | сов(пу)сов(тх )у 2 (т, п, 1) dn.

л 0 0

Однако нас интересуют только силовые характеристики, поэтому указанных вычислений можно избежать, воспользовавшись равенством Планшереля (2.22).

2.5.3 Силовые характеристики

Обратимся к формулам для координат Рау, электромагнитной силы ,

испытываемой витком с током. Из формулы (2.52) с учетом равенства (1.6) и равенства Планшереля (2.22) можно записать

Ра у =1т

^ да да ^

^0 г Л™ 0

| dm | пуЙ°^п

4л2 1 1 12

у^'1 —да —да у

К, =— Яе

{ да да ,--^

|dm {Vт2 + п2уЙ^п

4л

а 2

у ■л —да —да у

(2.61)

(2.62)

Здесь также учтено, что дифференцирование оригинала соответствует умножению

изображения на — ]п ; а дЙ12 =л1 т 2 + п 2 Й°.

дх

Подставляя в эти формулы слагаемые у 0 и у функции тока, представленные равенствами (2.58) и (2.59), после простых преобразований с учетом (2.60), найдем

у у0 + у1, 2 2 0 + ^а ,

причем

Кау 0 =^2 I ^1т л 0

пХ (п)Й° (т, п,0,1) dn

да

—дал/т2 + п2^2л/ т2 + п2 + Х (п)

о 2 2 да даБ1п

Ш |dmj-

'тЪл

2

у 2 у

2 II 2

л 0 0 т

I 2 2 • 2

л/т + п Бт

у

-2л/

2 21 I

т + п \2д\

Яе

У*(п)

у 2л/ т 2 + п 2 + Х* (п)у

dn,

К

а 2 0 2

л 0

{ dm Яе

да Х (п ) й0 (т, п ,0,1)

2

dn

2д/ т 2 + п 2 + Х* (п)

о 2 2 да даБ1п 8 dmj-

у 2 у

2 ■ -2 ^ ->( па ^

2 I.....I 2

л 0 0 т

(т + п ) . 2

х Б1П2

п

у2у

е

-24 т2 +п21га|

1т

*

У (п

(п)

2л/ т 2 + п 2 + Х* (п)

dn

у^ V | |

- координаты электромагнитной силы в отсутствие разрезов, являющиеся стационарными величинами;

•2

г тЪл

о 2 2 да да Б1п Ка у1 (1 )= — ^1 dm{

у 2 у

2 2 л 0 0 т

Б1П

г па Л —4--2-2

у2у

е т +п \2а\!(т,п, 1 )б1П(пи!)dn,

• 2

о 2 2 да даБ1п

Ка 21 (1 )= — ^ { dm {

^тЪ^ I 2.2 •

- л/"" " ""

2

'т + п Б1п

у 2 у

па у "2 у

2 i i 2

л 0 0 т

х

п

х е п +п N7(т, п, г) СОБ(пи1) dn

вклад разреза в значения соответствующих координат.

Входящий в эти формулы интеграл I (т, п, 1) выглядит как

Т( \ да • Гva ^ —4 I(т,п, 1 )= { Б1пI— е

у 2

2 21 т +у 2/1 е 1 а х

х 1т

у* (у> "

а (х* (V), т^ ^л/т2+ Х* ^^ 2л/ т 2 + п 2 + Х* (V)

2

—да

0

В качестве примера оценки возмущений электромагнитной силы, вносимых разрезом, рассмотрена система электродинамического подвеса, в которой пластина выполнена из сплава алюминия, имеет удельную проводимость

у ai = 2,5 -107 (Ом • м) 1, толщину h = 0,0254 м. Размеры витка a х b = 3 х 0,5 м"

2

h

электрический клиренс zэ = z^ - — = 0,3 м, ток витка i = кА. Для этого случая

значения координат электромагнитной силы в отсутствии разрезов известны, что позволит одновременно проконтролировать принятые допущения.

Изложенный выше подход реализован в виде компьютерной программы на языке программирования высокого уровня Microsoft Visual C# 2008 [45]. Полученные с ее помощью графики составляющих электромагнитной силы Fa представлены на рисунках 20 - 22. Для контроля допустимости ранее принятых идеализаций на рисунке 20 вместе с Fa ^, Fa z0 изображены графики координат

F y, Fz силы F, полученные в [81] для пластины без разреза по строгой

математической модели.

F, Н

0,8

0,6

0,4

0,2

0

100

и, м/с

Рисунок 20 - Сравнение координат Fy, Fz, Fa20, Faуо электромагнитной силы в отсутствии разреза; Fy, Fz - взяты из [81]; Fa,,о, Faуо - расчет автора

Как видно из рисунка 20, 2 - координаты сил практически совпадают во всем диапазоне скоростей движения (отличия не достигают 1%, поэтому графики неразличимы). В то же время, у - координаты с ростом скорости начинают заметно различаться. Объясняется это проявлением эффекта близости, вклад которого оценивается в следующем пункте.

На рисунках 21, 22 показан вклад разреза в подъемную (левитационную) и

^у1, Н

тормозную силы при разных скоростях движения того же витка. 0

-0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,10 -0,12

-3 -2

1

0

1

23

Уа, м

Рисунок 21 - Вклад разреза в подъемную силу

- и = 25 м/с; -

- и = 50 м/с;------ и = 100 м/с; -

- и = 150 м/с

Рсу 1, Н 0,04 ..

0,02

0

-0,02----

-0,04

-0,06

-3

-2

0

2

3

Уа, м

Рисунок 22 - Вклад разреза в тормозную силу

- и = 25 м/с; -

- и = 50 м/с;------ и = 100 м/с;

- и = 150 м/с

Из рисунков 21 - 22 видно, что при прохождении над разрезом токовая рамка испытывает значительные возмущения подъемной и тормозной сил (в подъемной силе до 15%, в тормозной - более 100%), причем согласно рисунку 22 передняя по отношению к движению поперечная сторона витка испытывает дополнительное торможение, а задняя, напротив, - подталкивание. Эта информация может быть полезна при разработке системы демпфирования, а также удерживающей арматуры.

2.5.4 Оценка вклада эффекта близости

Для нахождения остается решить задачу, записанную в правом столбце соотношений (2.51). Воспользуемся представлением (2.49)

1 А

Н2 (М, ш) = го^—Цт(Я)--dSN + Н20 (М, ш), Ы > 0,

4л £ дЫNrNM

(2.63)

1

1

* = -х

Н 2вг

2 = 0.

(2.64)

а умножив обе части равенства (2.63) векторно на е2 и устремив М к £, найдем

На ]=—* ± я^

дг2 4л 5 гмм

+

Н&

4л 5 Гм

Н2Ч

М е 5.

Применяя преобразование Фурье (2.18) по х, у, получим алгебраическое уравнение

[н 2 (т, п, г, ю)е2 ]= -1л/

.2,2 —л/т2 + п21\ , Тт0(

т + п е 1 'х(т,п,ю)+Н(т,п,г, ю)е2

22

2

которое после подстановки результата в (2.64) примет вид

т(т, п, ю)= - -

(ук — у) Н2° (т, п ,0, ю)е2

у — 1 л/ т2 + п2 (ук — у)

(2.65)

г

= 2

где

Н(т, п ,0, ю)е2

2 , 2 т + п

1 —

у

1 Г

—л/т

у — — V т2 + п2 (ук — у)

2

тй

. Бт I

Н20 (т, п ,0, ю)ё2 = —4шу(ёхп — ёут)—-—

Бт

2

- 2 /

тп

2 21 | т + п ¡гл!*-./ , \

1 л '§(пи + ю).

(2.66)

Выполнив обратное преобразование по времени (2.50), вместо (2.65), (2.66) будем иметь

т(т, п, X )= 2

Н2 (т, п ,0, X)е2

I 2 2

л/т + п

1

у

у — 1 л/ т 2 + п 2 (ук — у* (п))

Б1П

Н2(т,п ,0, X)е2 = —2г/(ёхп — ёу т)—

^тй^ . ГпаЛ

2

Б1П

- 2 /

2

- 2 /

тп

Далее воспользуемся формулой вычисления электромагнитной силы (2.47) и неравенством Планшереля (2.22) и выразим через фурье-образы. А

именно,

^ да да

^="—2 II

4 Л __гч

—да —да

ж

0

т(т, п, ?)-(т, п, 0, t)

ды

^п

• 2 да да • / 2 2

?у ^т+ п

БШ

гтЪл

V 2 у

Бт'

V "2" у

л —да —да у — 1 д/ т 2 + И 2 (у^ — у * (п ))

т2п

х е

—2^-2 ■ "2

• 2 да да / \