Развитие методов эквивалентных зарядов и зеркальных изображений для расчета электромагнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Дмитриев, Иван Алексеевич

• Дмитриев, Иван Алексеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Дмитриев, Иван Алексеевич

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1 АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА

1.1 Численные методы расчёта стационарных электромагнитных полей

1.2 Методы расчета полей в квазистационарной области

1.3 Расчет поля в дальней зоне

1.4 Выводы

2 РАСЧЁТ СТАЦИОНАРНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ МЕТОДОМ

ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЗАРЯДОВ

2.1 Граничные условия

2.1 Поле эквивалентной площадки в плоскопараллельном поле

2.2 Поле эквивалентной площадки в трёхмерном случае

2.3 Алгоритм и результаты расчета

2.4 Расчет переменных магнитных полей в ближней зоне

2.5 Выводы

3 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ, СОЗДАВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТОМ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА РАСПОЛОЖЕННОГО ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА РЕАЛЬНЫХ СРЕД, МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

3.1 Уравнения «отражения - преломления» на плоской границе раздела сред для сферической горизонтально-поляризованной волны

3.2 Уравнения «отражения - преломления» на плоской границе раздела сред для сферической вертикально поляризованной волны

3.3 Электромагнитное поле на оси симметрии системы

3.4 Вычисление электромагнитного поля, создаваемого элементом тока, ориентированного нормально к плоской границе раздела реальных сред

3.5 Поля проводника с током, ориентированного произвольно к границе

раздела сред

3.6 Вычисление диаграммы направленности антенны

3.7 Поле при ненулевом потенциале проводника

3.8 Выводы

4 МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ПРЕДНАЗНАЧЕННАЯ ДЛЯ РАСЧЕТА СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ, ОБРАЗОВАННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ПОЛЯ, РАСПОЛОЖЕННЫХ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА

РЕАЛЬНЫХ СРЕД

4.1 Горизонтально-поляризованная поле

4.2 Обсуждение результатов и модель тонкого проводника с током, учитывающая материал проводника

4.3 Вертикально-поляризованное поле

4.4 Вычисление поля, создаваемого элементом тока, ориентированного нормально к границе раздела реальных сред

4.5 Электростатическое поле

4.6 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

МЗИ - метод зеркальных изображений; МИУ - метод интегральных уравнений; МП - магнитное поле; МКР - метод конечных разностей; МКЭ - метод конечных элементов; МЭЗ - метод эквивалентных зарядов; ЭП - электрическое поле; ЭМП - электромагнитное поле;

ф — скалярный потенциал электромагнитного поля, В; А — векторный потенциал электромагнитного поля, Вб/м; Е-вектор напряженности электрического поля, В/м; Н — вектор напряженности магнитного поля, А/м; у = Юд/ц^Д^ - комплексный коэффициент распространения, рад/м;

г — расстояние до точки наблюдения, м; / - сила электрического тока, А;

га = га—гуэ/оо— комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, Ф/м;

(1а - абсолютная магнитная проницаемость среды, Гн/м; У э — удельная электропроводность, См/м; (О - круговая частота колебаний, рад/с;

* О

] ~ плотность электрического тока, А/м ;

_< о

Характеристики воздуха: 8 = 1,000536, р. = 1, уэ = 10 См/м; Характеристики земли: 8 = 3, ц = 1, уэ= Ю-2 См/м.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие методов эквивалентных зарядов и зеркальных изображений для расчета электромагнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Одним из этапов разработки электротехнического и радиотехнического оборудования является расчет электромагнитного поля и оптимизация на его основе полеобразующей системы. Такие расчеты наглядно показывают влияние какого-либо фактора среды или объекта на результирующую напряжённость поля в данной точке пространства в данный момент времени. На основании расчетных оценок значительно проще выполнить анализ и уже на этапе проектирования устранить будущие проблемы. Помимо этого, оценка характера влияния ЭМП на биологические объекты, а это связано с вопросами безопасности жизнедеятельности, возможна во многом благодаря выполняемым расчётам, поскольку прямые измерения в таких случаях не всегда возможны и/или целесообразны [1 - 7]. В известных и широко распространенных методах расчета, таких, например, как стандартные метод эквивалентных зарядов и метод зеркальных изображений существуют ограничения на рассматриваемые классы задач, более того, в них отсутствуют возможности расчета ЭМП в широком частотном диапазоне и учет электрических и магнитных свойств реальных сред, которые рассматриваются как идеальные. Использование прямых методов решения граничных задач на основе полной системы уравнений Максвелла представляет для реальных объектов и физических сред существенные трудности и весьма затратно, что чаще всего совершенно неоправданно. Все это определяет актуальность развития методов расчета ЭМП, как аналитических, так и численных, в том числе и путем модификации известных методов. Кроме того, широкое распространение вычислительной техники и наличие современных компьютерных технологий способствуют тому, что такие расчёты будут оперативными.

Анализ результатов всех предшествующих исследований [26] показывает, что наиболее перспективным методом расчета электрических полей был и остается метод эквивалентных зарядов. Он выигрывает у наиболее распространенного метода расчета - метода конечных элементов, как по быстродействию, так и по-

требности в оперативной памяти компьютера. Однако МЭЗ, в контексте рассматриваемой проблематики, имеет существенный недостаток: он не пригоден для расчета магнитных полей. В связи с этим актуальной является задача разработки модификации МЭЗ, пригодной для расчета как электрических, так и стационарных магнитных полей. Идея расчета магнитных полей методом эквивалентных зарядов была выдвинута ещё в начале 80-х годов прошлого века [8], когда была предпринята первая попытка создания "алгоритма расчёта, аналогичного применяемому в методе эквивалентных зарядов" [9 -16]. Основную трудность на этом пути представлял тот факт, что в природе не существует магнитных зарядов, и в качестве вторичных источников поля было предложено использовать магнитные диполи [17, 18], а интенсивность поля этих диполей находить из граничных условий. Однако область применения такого подхода оказалась весьма узкой: стационарные электрические и магнитные поля, и переменное ЭМП в ближней зоне. Для выхода из данной ситуации в [19 - 22] было предложено использовать в качестве вторичных источников 7 элементов, расположенных в бесконечно малом объеме: переменный электрический заряд, 3 элементарных электрических вибратора и 3 элементарных магнитных вибратора. Однако получить граничные условия для вычисления параметров этих элементов оказалось невозможным в силу того, что МЗИ, на основе которого получаются эти условия, имеет ограничения: он позволяет рассчитывать только переменные ЭМП на границах раздела «вакуум - идеальный проводник». Как следствие, актуальной стала задача модификации МЗИ, при помощи которой стало бы возможным получить точное решение задачи о преломлении сферической волны на плоской границе раздела сред. Далее актуальным стало бы распространение результатов модификации МЗИ и на область стационарных ЭМП, что позволило бы установить сходимость метода с уже известными решениями и получить новые зависимости для расчета полей в реальных средах.

Представленные соображения обусловили предпринятый в диссертации подход к разработке методов расчета ЭМП.

Объектом исследования являются ЭМП широкого диапазона частот (от 0 Гц до верхней границы радиочастот) в реальных физических средах.

Предметом исследования являются методы расчета стационарных и переменных ЭМП в широком диапазоне частот с учетом электрических и магнитных свойств сред.

Целью работы является развитие методов расчета ЭМП в широком диапазоне частот на основе модификации и обобщения МЭЗ и МЗИ с учетом электрических и магнитных свойств реальных физических сред.

Решаемые задачи.

1. Разработка модифицированного МЭЗ для расчета стационарных магнитных полей и переменных магнитных полей в ближней зоне.

2. Модификация и развитие МЗИ для обеспечения возможности расчета ЭМП во всем диапазоне частот с учетом электрических и магнитных свойств реальных физических сред.

3. Разработка алгоритма вычисления поля, созданного отрезком проводника с током во всем диапазоне частот, ориентированного произвольно к границе раздела сред, и решение на его основе задачи вычисления поля и диаграммы направленности Х-образной антенны.

4. Адаптация разработанного модифицированного МЗИ на случай со—>0 для расчета стационарных электрических и магнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред.

Научная новизна выполненных исследований заключается в следующем:

1. Разработан модифицированный метод эквивалентных зарядов, позволяющий в отличие от известного МЭЗ, рассчитывать стационарные магнитные поля и переменные магнитные поля в ближней зоне. Особенностью метода является использование трехмерного вторичного источника поля. Разработана новая методика размещения вторичных источников, основанная на их равномерном распреде-

лении вдоль границ раздела сред. Для массива вторичных источников получены аналитические интегральные зависимости, что позволило существенно уменьшить время расчета.

2. Разработана модификация МЗИ для обеспечения возможности расчета ЭМП во всем диапазоне частот с учетом электрических и магнитных свойств реальных физических сред, особенностью которой является отсутствие точной геометрической привязки фиктивного тока (заряда), определяющего поле преломленной волны. Выполнена адаптация модифицированного МЗИ для расчета стационарных электрических и магнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред.

3. С помощью разработанного модифицированного МЗИ получены уравнения «преломления - отражения» в средах с произвольными значениями проводимости, диэлектрической и магнитной проницаемостей для сферической волны разной поляризации, созданной произвольно расположенным по отношению к границе раздела сред отрезком проводника с током.

4. Разработан алгоритм вычисления поля, созданного отрезком проводника с током во всем диапазоне частот, ориентированного произвольно к границе раздела сред.

Практическая значимость. Разработанный алгоритм численного расчета стационарных МП и переменных МП в ближней зоне позволяет создавать программное обеспечение, предназначенное для расчёта стационарных ЭМП и переменных ЭМП в ближней зоне различной конфигурации: плоскопараллельных и трёхмерных, в открытых и закрытых областях. Полученные уравнения «преломления - отражения» для сферической волны на плоской границе раздела сред с произвольными электрическими и магнитными свойствами позволяют получать точные аналитические решения для всех частот, включая ш=0. Кроме этого, в будущем становится возможным развить МЭЗ для расчета переменных ЭМП во всем диапазоне частот для реальных физических сред.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Модифицированный МЭЗ для расчета стационарных магнитных полей и переменных магнитных полей в ближней зоне.

2. Модифицированный МЗИ с возможностью расчета ЭМП во всем диапазоне частот с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред.

3. Уравнения «преломления - отражения» в средах с произвольными значениями проводимости, диэлектрической и магнитной проницаемостей для сферической волны разной поляризации на плоской границе раздела сред.

4. Модификация МЗИ для расчета стационарных электрических и магнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред.

Достоверность полученных результатов и обоснованность выводов диссертационной работы обеспечивается совпадением полученных в работе результатов с результатами известных теоретических и численно-модельных исследований других авторов для конкретных частных случаев. Достоверность также подтверждается использованием корректных, апробированных математических методов электродинамики.

Апробация работы. Основные результаты работы были опубликованы в российских реферируемых научных журналах, докладывались и обсуждались на 12-м Межвузовском научно-техническом семинаре научно-исследовательской лаборатории им. A.C. Фигурнова (Казань, 2000); конференции "Проблемы энергетики", посвященной 80-летию плана ГОЭЛРО и созданию Казанского государственного энергетического университета (Казань, 2000); 13-й, 14-й Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика, диагностика, экология" (Казань, 2001, 2002); Российском национальном симпозиуме по энергетике (Казань, 2001), 1-м форуме молодых ученых и специалистов республики Татарстан (Казань, 2001); Республиканском конкурсе научных работ студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2002); 3-й Волжской региональной молодежной научной конференция «Радиофизические исследования природных

сред и информационные системы» (Зеленодольск, 2010); XVII, XVIII региональных конференциях "Распространение радиоволн" (С.-Петербург, 2011, 2012); XXIII Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн» (Йошкар-Ола, 2011); VII Всероссийской научно-технической конференции «Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства» (Ижевск, 2011).

Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы были внедрены в учебный процесс в Казанском государственном энергетическом университете, что подтверждено актом внедрения.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 24 научных публикациях, включая 9 статей в ведущих научных изданиях, входящих в перечень ВАК, 2 материалов докладов международных конференций, 6 материалов докладов всероссийских конференций и 7 материалов докладов региональных конференций.

Личный вклад автора работы. Результаты, представленные в диссертации и публикациях, получены при непосредственном участии автора работы. Автор принимал участие в разработке модифицированных методов МЭЗ и МЗИ, разработках алгоритмов вычисления ЭМП на основе этих методов и их приложений к расчетам стационарных полей; в подготовке и написании статей и представлении докладов на конференциях. Уравнения «преломления - отражения» в средах с произвольными значениями проводимости, диэлектрической и магнитной прони-цаемостей для сферической волны разной поляризации на плоской границе раздела сред получены непосредственно автором.

Соответствие диссертации научной специальности.

Диссертация соответствует специальности 01.04.03 - Радиофизика. Представленные в ней результаты соответствуют п. 2 «Изучение линейных и нелинейных процессов излучения, распространения, дифракции, рассеяния, взаимодействия и трансформации волн в естественных и искусственных средах», п. 7 «Разработка теоретических и технических основ новых методов и систем связи, навига-

ционных, активных и пассивных локационных систем, основанных на использовании излучения и приема волновых полей различной физической природы и освоении новых частотных диапазонов».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения, содержит 148 страниц машинописного текста, 68 рисунков, 97 наименований использованной литературы, в том числе 24 наименования работ автора, опубликованных по теме диссертации.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Белашову Василию Юрьевичу за научное руководство, ценные советы, моральную и практическую поддержку во время подготовки и написания диссертации.

1 АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА

Существующие методы расчёта электромагнитных полей делятся на две основные группы: аналитические и численные. Преимущество аналитических методов состоит в том, что они позволяют получить явную функциональную зависимость параметров поля от параметров электромагнитной системы и координат. Применение аналитических методов связано с введением большого числа ограничительных условий, и их возможности в настоящее время практически исчерпаны. Поэтому при расчете практических конструкций в основном применяются численные методы, которые свободны от указанного недостатка.

Все существующие методы численного расчета поля имеют жестко ограниченные области применения, определяемые в зависимости от соотношения длины волны X и характерного размера / заданной области V:

1) расчет стационарных электрических и магнитных полей [23 - 29];

2) расчет переменных ЭМП в ближней зоне поля, т.е. при /Д«1 [8 - 11], [23], [26], [27], [30], [31];

3) расчет переменных ЭМП в квазистатическом приближении в полупроводящих средах [31-33];

4) расчет переменного электромагнитного поля в резонансной области, для которой //А,«1 [34-38];

5) расчет переменного ЭМП в дальней зоне, для которой //А, »1 [38 - 52].

Наиболее сложной для исследования является резонансная область, в которой может иметь место явление усиления поля за счет многократных отражений. Для исследования поля в этой области применяются строгие методы, дающие решение, справедливое для любой области. Тогда как приближенное решение обычно справедливо только для рассматриваемой области при принятых ограничивающих допущениях. При этом строгими методами решается достаточно ограниченный круг задач. К настоящему времени наряду с имеющимися решениями

задач по отражению - преломлению плоских электромагнитных волн на плоской границе раздела реальных сред и сферической волны на плоской границе раздела «вакуум - идеальный металл», получены строгие решения дифракционных задач для шара и бесконечного цилиндра. Также получены частные решения для некоторых других тел правильной формы: идеально проводящих бесконечного конуса, клина, образованного двумя пересекающимися бесконечными полуплоскостями, сфероида в падающем поле и др. Вместе с тем практика требует решения более сложных электродинамических задач и, в том числе, задач дифракции электромагнитных волн на телах сложной формы.

1.1 Численные методы расчёта стационарных электромагнитных полей

В случае полей, образованных постоянными во времени зарядами, токами и магнитами, считается допустимым раздельное рассмотрение электрических и магнитных полей. Методы расчета при этом в обоих случаях во многом одинаковы. В настоящее время наибольшее распространение для расчёта электрических полей получили следующие численные методы: метод сеток, или метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод интегральных уравнений и метод эквивалентных зарядов. Все они, кроме МЭЗ, применяются для расчета и магнитных полей.

МКР и МКЭ относятся к классу сеточных методов [26], [53 - 67]. Решение задачи при этом основано на численном решении уравнений Пуассона или Лапласа. В случае стационарного поля уравнения Пуассона для потенциалов поля записываются, как

У2ф = -—, У2А = -МэТ- (1-1)

Рассмотрим процесс построения системы линейных уравнений в методе конечных разностей для простейшего случая плоскопараллельного электрического поля. Для того чтобы определить распределение потенциала во всей расчётной

области, эта область разбивается на прямоугольные ячейки с достаточно малым шагом к. В произвольном узле сетки М(х,у), лежащем внутри рассматриваемой области, производные потенциала выражаются следующим образом:

Эф(х, + К у)- ф(х, у).

*** 9

дх И

дф, у)_ц>(х, у + И)- ф(х, у)%

г*/ ,

ду к

д2ц{х,у) ф(лс + к,у) + <р(х-к,у)-2ф(х,у) дх2 ~ н2

д2фО,у) у + к) + фр, у-к)- 2ф(х, у) ду2 * к2

В результате получаем для (1.1):

АФ=ТТ+^ГТ~ТТ М* + к>у) + ф(* - у) + Ф(*> У + Л>+ ах ду /г

У 4ф(х, у) }=—. (1.2)

8

Если во всех внутренних узлах сетки записать уравнение (1.2), а в узлах, лежащих на границе области уравнения с учётом граничных условий:

дф,. дф-8/ —=8/ — »

дп

то получится система уравнений относительно значений потенциалов в узлах сетки. Решив систему линейных уравнений, определим распределение потенциала в рассматриваемой области. Приближенный характер метода сказывается в том, что в решение дает значения потенциала лишь в узлах сетки. Напряженность в любом узле сетки может быть вычислена через значения потенциала в этом и соседних узлах. При этом вычисление напряженности на границе области осуществляется с меньшей точностью, чем во внутренних точках. Число уравнений в системе равно числу узлов сетки. Матрица коэффициентов имеет ленточный вид, так как боль-

шинство ее коэффициентов равно нулю. Отличны от нуля только диагональные и близдиагональные коэффициенты.

Метод сеток, или метод конечных разностей, применим в случае, если граничные условия заданы на всей границе области, в которой рассматривается решение. Для открытых областей следует вводить дополнительные граничные условия, т. е. прибегать к искусственному ограничению области. Это приводит к появлению дополнительной погрешности решения. Шаг сетки в МКР должен быть существенно меньше наименьшего радиуса кривизны контура, описывающего форму проводника. Если размеры области, в которой производится расчет поля, много больше необходимого шага сетки, то проводят так называемую фокусировку. Она состоит в ряде последовательных расчетов, в которых шаг сетки уменьшается в тех подобластях, где это необходимо.

Погрешность результатов расчета в МКР может быть оценена по правилу Рунге путем сравнения результатов двух расчетов с уменьшенным вдвое шагом сетки. Метод конечных разностей одинаково успешно может применяться для расчета плоских, осесимметричных и трехмерных полей.

Определенные затруднения возникают при описании криволинейных участков границ с помощью прямоугольной сетки. В этом случае применяют сетку разной формы либо на границе изменяют величину шага.

Метод конечных элементов является развитием МКР [25], [26], [32], [53 -70]. В МКЭ так же, как и в МКР, производится численное решение уравнения Пуассона (1.1) или Лапласа с соответствующими граничными условиями. Так же, как и в МКР, при применении МКЭ расчетная область разбивается на ячейки. Отличие заключается в том, что ячейки эти могут иметь вид любых многоугольников, в общем случае криволинейных. Простейшим случаем разбиения является применение элементов первого порядка - треугольников (см. рисунок 1.1).

Рассмотрим МКЭ применительно к расчету электрического поля. Распределение потенциала внутри элемента аппроксимируется некоторой функцией. Для элементов первого порядка это — билинейная функция

Ф = а, +а2х + а3-у

Применение аппроксимирующей функции позволяет выразить значения потенциала внутри элемента через его значения в узлах. Так, для элемента первого порядка с узлами, имеющими номера /, у, к, потенциал внутри элемента определяется, как

Ф = Р/-Ф/ + РуФу +Р*Фь С1-3)

I* у У к - хкУ]) + (у у - У к )х + (** - *у )у,

где ру =—--—---; -площадь элемента. Коэффициенты р получаются циклической перестановкой индексов.

Н[А_рег_п]

^^т 1. 60/4е+002 ■ 1.0736е+002 Р 6,1914е+001 Г 3.5706е+001 2,0592е+001 1.1876е+001 6.8Ч88е+00® 3.9497е+000 2.2778е+000 1.3137е+000 7,5759е-001 4 3691е-001 2.5197С-001 1.4531е-001 8.3803е-002 I 4,8330е-002 I г.7872е-002 ^ 1,6074е-002

Рисунок 1.1- Разбиение на конечные элементы первого порядка (треугольники)

Применение аппроксимации (1.3) позволяет перейти к определению распределения потенциала с помощью ЭВМ. Задача состоит в определении значений потенциала в узлах {ф/}, минимизирующих значения функционала

Л

+ 2р V

Ч

[ах

Г (диЛ

+ / {дУ)

¿3

(1.4)

Решение такой задачи эквивалентно решению уравнению Пуассона (1.1). Искомая функция должна быть непрерывна в области И со своими частными производными первого и второго порядков. Если она при этом обеспечивает выполнение граничных условий, то она тождественно равна потенциалу электрического поля в области Э .При решении уравнения Лапласа, т. е. в отсутствие объемного заряда в расчетной области, условие минимизации функционала (1.4) принимает вид:

81

I

Эф; дq>i о

д(р дх

+

\дУ/

е£5 = 0, / = 1,2,..,М,

(1.5)

где М — число узлов в расчетной области.

Сеточный подход заключается в том, что интегрирование ведется по элементам. Это позволяет переписать выражение (1.5) в следующем виде:

81 дф/

N

<3ф 8 (

8х дц>1

\дхУ

+ 2

8ц> 8 (

8у дфг-

\дхУ

¿Б = 0

>, г = 1,2,..,М,

(1.6)

где N - число конечных элементов; Д - площадь 1-го элемента.

Выражение (1.6) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Неизвестными в ней являются значения потенциала в узлах. Для узлов, принадлежащих границе расчетной области, правая часть в уравнениях (1.6) записывается в соответствии с заданными граничными условиями. Как следует из (1.6), вклад в г'-ю вариацию функционала будут давать только интегралы по площадям элементов, прилегающих к /-му узлу. А это значит, что в г-й строке матрицы системы линейных алгебраических уравнений (1.6) ненулевыми будут

только элементы, соответствующие узлам этих прилегающих элементов. В связи с этим матрица, так же как и в МКР, будет иметь ленточную структуру. Однако ширина ленты может быть существенно больше, чем в МКР. Число уравнений равно числу узлов элементов.

Метод конечных элементов может применяться для расчета плоских, осе-симметричных и трехмерных полей как в однородных, так и в неоднородных средах, в том числе и при наличии объемного заряда. Применение криволинейных элементов позволяет достаточно точно описывать сложные границы. Использование аппроксимации распределения потенциала внутри элемента дает возможность получить значения напряженности в любой точке элемента, в том числе и на границе области, дифференцированием выражения для потенциала. Так же как и МКР, МКЭ применим только для закрытых расчетных областей. При расчете поля в открытой области необходимо задание дополнительных граничных условий. Это снижает точность решения. Погрешность результатов расчетов в МКЭ может быть оценена повторным расчетом с увеличенным числом элементов.

В последнее время широкое распространение получил метод интегральных уравнений [25 - 30], [53], [70] основанный на идее Г.А. Гринберга о возможности замены реального электрического и магнитного полей некоторым эквивалентным, образованными зарядами и токами, распределёнными по поверхностям раздела сред.

При расчёте электрического поля методом интегральных уравнений решение ищется в виде потенциала простого слоя зарядов. Это решение в силу физической постановки задачи удовлетворяет уравнению Лапласа или Пуассона. Соблюдение краевых условий обеспечивается введением соответствующих интегральных уравнений. Метод интегральных уравнений позволяет рассчитывать поля в закрытых и открытых областях, причём границы области могут быть описаны точно. Он даёт решение непосредственно в виде распределения напряжённости по поверхности электродов. Другой особенностью МИУ, снижающей эффективность его применения для расчёта некоторых полей, является значительное увеличение

необходимого числа расчётных точек при наличии большого числа границ раздела сред. Это приводит к резкому увеличению, как требуемого объёма памяти применяемой вычислительной машины, так и времени счёта.

Метод эквивалентных зарядов [13], [26], [57], [70] состоит в том, что условие эквипотенциальности поверхности проводника записывается в виде:

Выражение (1.7) эквивалентно тому, что внутри поверхности проводника имеется п электрических зарядов Qi, создающих в п расчетных точках поверхности проводника, находящегося во внешнем поле с потенциалом фвш потенциал фу. Расчет поля состоит в том, что выбираются различные системы зарядов: точечных, кольцевых, линейных и т.д., размещающихся внутри поверхности проводника. Выбор системы зарядов и их положения определяет вид и значения коэффициентов а . Так, например, для точечного заряда

где - расстояние между точками / и у .

После записи системы уравнений относительно в виде (1.7) она решается, и по принципу наложения находятся потенциалы и напряженность в любой точке поля. Матрица коэффициентов системы уравнений (1.7) является квадратной, имеет размерность П и заполнена целиком. Основным достоинством МЭЗ является то, что коэффициенты матрицы вычисляются по замкнутым формулам типа (1.8). Основной проблемой при расчете является выбор числа, вида и расположения зарядов, формирующих электрическое поле.

Метод эквивалентных зарядов применим при расчете электрических полей любых видов: плоских, осесимметричных или трехмерных, в открытых и закрытых областях, в однородной и неоднородной среде. Точность расчета поля суще-

п

(1.7)

/=1

ственно зависит от числа, вида и положения расчётных зарядов. При равном числе расчетных точек точность МЭЗ ниже, чем МИУ. Оценки точности МЭЗ производятся путем вычисления потенциала на поверхности проводников в точках, не совпадающих с расчетными. Такие расчеты показывают, насколько близка эквипотенциальная поверхность, образованная выбранной системой зарядов, к фактической поверхности проводника. Оценки погрешности расчета напряженности при этом затруднительны. Кроме того, к числу недостатков МЭЗ необходимо также добавить отсутствие его модификации, предназначенной для расчета магнитных полей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дмитриев, Иван Алексеевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кузнецов А.Н. Биофизика электромагнитных воздействий. - М.: Энерго-атомиздат, 1994. - 256 с.

2. Григорьев Ю.Г., Степанов B.C., Григорьев O.A., Меркулов A.B. Электромагнитная безопасность человека. Российский национальный комитет по защите от неионизирующих излучений. 1999. - 145 с.

3. Григорьев Ю.Г., Григорьев O.A. Магнитные поля промышленной частоты: реальна ли опасность? Энергия. 1999. №6. С. 46 - 50.

4. Дмитриев И.А., Килеев А.И., Матухин В.Л., Вакатов A.C., Мануйлов Ю.Е., Максимов В.Н., Никонов A.C. Оценка электромагнитной обстановки в электрораспределительных системах. // Изв. Вузов. Проблемы энергетики. 2001. № И - 12. С. 80 - 86.

5. Дмитриев И.А., Килеев А.И., Матухин В.Л., Вакатов A.C., Мануйлов Ю.Е., Максимов В.Н., Никонов A.C. Оценка электромагнитной обстановки на энергообъектах // Матер, докл. Российского нац. симп. по энергетике, Казань, 10-14 сентября 2001 г. Казань: КГЭУ, т. 3. с. 99 - 101.

6. Дмитриев И.А., Газеева Е.В., Мануйлов Ю.Е. Электромагнитная обстановка в электрораспределительных системах // Матер, докл. "I форума молодых ученых и специалистов республики Татарстан", Казань, 11-12 декабря 2001 г. Казань: Мастер Лайн, 2001, с. 97.

7. Дмитриев И.А., Матухин В.Л. Электромагнитные поля объектов энергетики // Матер, докл. конф. "Проблемы энергетики", посвященной 80-летию плана ГОЭЛРО и созданию Казанского государственного энергетического университета. Казань: КГЭУ, 2002, с. 115.

8. Бобиков В.Е. Инженерные аспекты применения метода эквивалентных зарядов в расчетах электрических полей высоковольтного оборудования. Ав-тореф. дис. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. М.: Изд-во МЭИ, 1984.

9. Белогловский A.A., Бурмистров М.М. О методике расчета магнитных полей промышленной частоты. Вестник МЭИ. 1996. №2. С. 85 - 90.

10. Дьяков А.Ф., Левченко И.И., Никитин O.A., Аношин O.A., Кужекин И.П., Максимов Б.К. О влиянии электрических и магнитных полей промышленной частоты на человека. Энергетик. 1996. № 6. С. 4 - 5.

11. Дьяков А.Ф., Никитин O.A., Максимов Б.К., Верещагин И.П., Белогловский A.A., Бурмистров М.М., Винокуров В.Н. Методики и программа расчета электрических и магнитных полей промышленной частоты вблизи электроэнергетических объектов. Вестник МЭИ. 1997. №1. С. 91 - 100.

12. Дьяков А.Ф., Левченко И.И., Никитин O.A., Аношин O.A., Кужекин И.П., Максимов Б.К. Электромагнитная обстановка и оценка влияния её на человека. Электричество. 1997. № 5. С. 2 - 10.

13. Дьяков А.Ф., Никитин O.A., Максимов Б.К., Верещагин И.П., Белогловский A.A., Бурмистров М.М., Винокуров В.Н., Белановский Ю.С. Расчет электрических и магнитных полей промышленной частоты вблизи воздушных линий электропередачи 500 и 750 кВ. Вестник МЭИ. 1997. №5. С. 35-42.

14. Загрядицкий В.И., Кобяков Е.Т. Магнитные поля проводника с током в линейных изотропных концетрически ориентированных средах. Электричество. 2000. №2. С. 51-57.

15. Загрядицкий В.И., Кобяков Е.Т. Магнитное поле некругового витка с током в однородной изотропной среде. Изв. вузов. Электромеханика. 2000. №4. С. 17-22.

16. Максимов Б.К., Верещагин И.П., Белогловский A.A., Бурмистров М.М., Винокуров В.Н., Белановский Ю.С. Анализ электрических и магнитных полей воздушных линий электропередачи высокого напряжения, проходящих в населенных районах. Электроэнергетика. С. 78 - 84.

17. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Оценочный расчет магнитных полей про-

мышленной частоты. // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2002. № 1 - 2. С. 69 - 77.

18. Дмитриев И.А., Газеева Е.В. Разработка методики и программы расчета переменных электромагнитных полей //Матер, докл. Всеросс. конф. "Студенты и аспиранты - малому наукоемкому бизнесу - 2002", Барнаул, 2-6 октября 2002 г. Барнаул: АлтГТУ, с. 23-25.

19. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Расчет переменного электромагнитного поля // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2002. № 7 - 8. С. 75 - 80.

20. Дмитриев И.А., Газеева Е.В., Килеев А.И. Методика расчета переменного электромагнитного поля. Матер, докл. "I форума молодых ученых и специалистов республики Татарстан", Казань, 11-12 декабря, 2001 г. Казань: Мастер Лайн, 2001, с. 87 - 89.

21. Дмитриев И.А. Численный расчет электромагнитного поля // Матер, докл. "Республиканского конкурса научных работ студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского ", Казань, 1 - 2 марта 2002 г. Казань: КГУ, 2002, с. 56 - 57.

22. Дмитриев И.А., Газеева Е.В., Килеев А.И. Универсальный алгоритм расчета переменного электромагнитного поля // Матер, докл. XIV Всеросс. межвуз. научно-техн. конф. "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология", Казань, 14 - 16 мая 2002 г. Казань: КФВАУ, Т. 2, с. 190 - 193.

23. Альтшулер И.Б., Карташевский П.Я., Лившиц А.Л. Файнштейн М.Б. Расчет электромагнитных полей в электрических машинах. - М.: Энергия, 1969. - 88 с.

24. Горская И.Ю. Синтез магнитной системы с постоянными магнитами, создающей максимальное среднее значение магнитного поля в заданном объёме. Изв. вузов. Электромеханика. 2001. № 1. С. 21 - 24.

25. Ковалёв О.Ф. Расчет магнитных полей комбинированным методом конеч-

ных элементов и вторичных источников. Изв. вузов. Электромеханика. 2000. №4. С. 14-16.

26. Колечицкий Е.С. Расчет электрических полей устройств высокого напряжения. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 168 с.

27. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 168 с.

28. Саркисян JI.A. Аналитические методы расчета стационарных магнитных полей. - М.: Энергоатомиздат, 1993. - 288 с.

29. Стадник И.П., Жильцов A.B. Повышение эффективности метода последовательных приближений для расчёта магнитостатических полей при наличии ферромагнетиков с бесконечной магнитной проницаемостью. Изв. вузов. Электромеханика. 2001. № 2. С. 3 - 14.

30. Рудаков M.JI. Расчет незамкнутых электромагнитных силовых экранов методом интегральных уравнений. Изв. академии наук. Энергетика. 2000. №3. С. 53-61.

31. Филиппов A.A. Расчёт электрических полей в несовершенных диэлектриках. Электричество. 1985. №7. с. 69 - 71

32. Колечицкий Е.С., Елисеев Ю.С. Экономичный алгоритм расчёта трёхмерных электрических полей. Изв. вузов. Энергетика. 1986. №2. С. 33 - 35.

33. Цицикян Г.Н. Индуктированные ЭДС от воздушных линий электропередачи и электробезопасность. Электричество. 2001. № 10. С. 22 - 29.

34. Афанасьев A.M., Подгорный В.В., Сипливый Б.Н., Яцышен В.В. Математическое моделирование взаимодействия СВЧ излучения с влагосодержа-щими плоскими слоистыми средами. Часть 1. Известия вузов. Электромеханика. 2001. № 2. С. 14 - 21.

35. Голобородько A.C., Пермяков В.А. Структура электромагнитного поля ортогональных электрического и магнитных диполей с произвольным соотношением токов. Вестник МЭИ, 1999. № 5. С. 49 - 53.

36. Сухаревский И.В., Важинский С.Э. Коротковолновая асимптотика переотраженных полей в апертурной антенне с обтекателем. Электромагнитные волны и электронные системы. 2001. т.6. № 1. С. 4 - 10.

37. Федоров H.H. Основы электродинамики. - М.: Высшая школа, 1980. - 400 с.

38. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения радиоволн. - М.: Советское радио, 1970. - 520 с.

39. Абрамова Е.В., Приходько В.Ю. Дифракция плоской волны на вытянутой оболочке вращения. Вестник МЭИ. 2000. № 6. С. 71 - 76.

40. Анфиногенов А.Ю., Лифанов И.К., Ненашев A.C., Петров Д.Ю. Численное решение некоторых задач электродинамики. Электромагнитные волны и электронные системы. 2001. т.6. № 2 - 3. С. 22 - 33.

41. Белашов В.Ю. Электромагнитная теория и ЭМС электротехнических устройств. Ч. 1. Электромагнитная теория. - Казань: КГЭУ, 2007. - 123 с.

42. Белашов В.Ю., Чураев P.P. Вопросы электромагнитной совместимости электротехни-чес-ко-го оборудования в контексте проблем надежности их функционирования // Всеросс. Школа-семинар мол. уч. и спец. под рук. акад. В.Е.Алемасова "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомаши-но-строении", 2-4 окт. 2002 г. Материалы докладов. - Казань: КГЭУ, 2002. с. 120 - 122.

43. Белашов В.Ю., Чураев P.P. Численное исследование пространственно-временной структуры ЭМ полей, генерируемых элементами электрооборудования // Межд. научно-техн. интернет-конференция: www.ostu.ru/conf/ers2002/sect4/belashov.html.

44. Белашов В.Ю., Чураев P.P. Исследование помеховых ЭМ полей, возбуждаемых отдельными элементами электроустановок, имеющими аксиально-симметричную конфигурацию // Научно-техн. конф. «Электрооборудование, электроснабжение, электросбережение, Ижевск, 24 - 28 мая 2004 г.

Материалы докладов. - Ижевск: ИжГТУ. с. 18-23.

45. Белашов В.Ю., Чураев P.P. Пространственно-временная структура ЭМ поля, возбуждаемого в контактных системах электрических аппаратов. // Известия вузов. Проблемы энергетики, 2004. № 9-10. с. 126 - 132.

46. Белашов В.Ю., Чураев P.P. Математическое моделирование переменного ЭМ поля, возбуждаемого в контактных системах электрических аппаратов. // Известия вузов. Проблемы энергетики, 2004. № 11-12. с. 45 - 51.

47. Belashov V.Yu., Denisova A.R. Theory and numerical simulation of the internal EM fields ex-ci-ted by the external source in the cable lines of different assignment // Межд. научно-практ. Интернет-конференция "Модели, алгоритмы и программы процессов и систем управления электрооборудованием и электрохозяйством". Армавир, 21 - 22 сент. 2004 г. http://www.amti.ru/ konf/index.htm.

48. Белашов В.Ю., Хальфиева A.M. Численное исследование пространственно-временной структуры ЭМ поля, возбуждаемого участком линии электропередачи // Тр. II Всеросс. научно-техн. конф. с межд. участием «Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологии», Тольятти, 16 - 18 мая 2007 г. - Тольятти: ТГУ, 2007. Ч. 1. с. 28 - 34.

49.Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р.Митры. - М.: Мир, 1977. 485 с.

50.Коротковолновые антенны / Под ред. Г.З. Айзенберга - 2-е, перераб и доп -М.: Радио и связь, 1985. - 536 с.

51 .Зоммерфельд А. Электродинамика. - М.: Издательство иностранной литературы, 1957.-505 с.

52.Маслов М.Ю. Исследование электромагнитных полей в помещениях для целей электромагнитной и информационной безопасности. Автореферат дис. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. Самара: Изд-во ПГАТИ, 2003.

53. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкно-

венные дифференциальные уравнения. - М.: Высшая школа, 2001. - 382 с.

54. Говорков В.А., Купалян С.Д. Теория электромагнитного поля в упражнения и задачах. - М.: Высшая школа, 1970. - 304 с.

55. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1977. -456 с.

56. Миронов В.Г., Казанцев Ю.А., Кузовкин В.А. Методы расчета потенциальных электромагнитных полей. - М.: Изд-во МЭИ, 1993. - 170 с.

57. Расчет электрических цепей и электромагнитных полей на ЭВМ. Под ред. Л.В. Данилова и Е.С. Филиппова. - М.: Радио и связь, 1983. - 344 с.

58. Kane Yee (1966). «Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 14: 302-307.

59. Белицын И.В. Макаров A.B. Алгоритм расчета электрического поля ВЛЭП на основе метода эквивалентных зарядов // Ползуновский вестник. 2007. №4. с. 134-140.

60. Finite Element Method Magnetics. [Электронный ресурс], http://www.femm.info (дата обращения 14.11.2013)

61. Becker A.A. The boundary element method in engineering: A complete course. - McGraw-Hill, 1992. - 337 p.

62. Chari M.V.K., Salon S.J. Numerical methods in electromagnetism, Academic Press, San Diego, CA, 2000. - 359 p.

63. Klimpke B. A Hybrid Magnetic Field Solver Using a Combined Finite Element/Boundary Element Field Solver. Integrated Engineering Software/Enginia Research. Presented at the U.K. Magnetics Society Conference "Advanced Electromagnetic Modelling & CAD for Industrial Application". Feb. 19,2003. Al-stom Research and Technology Centre, Stafford, U. К. [Электронный ресурс], http://www.integratedsoft.com/papers/research/hybrid/ (дата обращения 14.11.2013)

64. Lehner G. Electromagnetic field theory for engineers and physicists. 1st Edition.

- Springer, 2008. - 659 p.

65. Zhu Yu, Cangellaris A.C. Multigrid finite element methods for electromagnetic field modeling. Wiley-IEEE Press, 2006. - 408 p.

66. Zimmerman W.B.J. Process modeling and simulation with finite element methods. World Scientific Publishing, 2004. - 382 p.

67. Шевченко С.Ю., Окунь A.A. Анализ методов расчета электрических полей установок высоких напряжений. // ISSN 2074-272Х. Електротехшка i Електромехашка. 2010. №4. с. 59 - 62.

68.Zaky Safwat G., Robertson Stuart D.T. Integral equation formulation for the Solution of magnetic field problems. - IEEE Trans. Power App. And System, 1973, №2, p. 803-815.

69.Trowbridge C.W. Tree-Dimensional Field Computation. - IEEE Trans. On Magnetics, vol. MAG-18, № 1, 1982, p. 293 - 297.

70.Тозони O.B., Маергойз И. Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Киев: Технка, 1974. 352 с.

71. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. - М.: Высшая школа, 1980. - 400 с.

72. Красюк Н.П., Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение радиоволн. - М.: Высшая школа, 1974. - 536 с.

73. Фрадин А.З. Антенно-фидерные устройства. - М.: Связь, 1977. - 440 с.

74. Сухаревский И.В., Важинский С.Э. Коротковолновая асимптотика переотраженных полей в апертурной антенне с обтекателем. Электромагнитные волны и электронные системы. 2001. т.6. № 1. С. 4 - 10.

75. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Расчет стационарных магнитных полей // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2002. № 5 - 6. с. 70 - 77.

76. Дмитриев И. А., Матухин В Л. Экономичная методика численного расчета мгновенных значений параметров трёхмерных магнитных полей промышленной частоты // Матер, докл. 12-го Межвуз. постоянно действующего

научно-техн. семинара научно-исслед. лаборатории им. A.C. Фигурнова, Казань, 17-18 мая 2000 г. Казань: КФВАУ, с. 301.

77. Дмитриев И.А., Килеев А.И., Матухин В.Л. Численная оценка магнитных полей промышленной частоты // Матер, докл. 13-й Всеросс. межвузовской научно-техн. конфер. "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология", Казань, 15-17 мая 2001 г. Казань: КФВАУ, Т. 2, с. 300.

78. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Оценка магнитных полей промышленной частоты // Матер, докл. Российского нац. симп. по энергетике, Казань, 10 -14 сентября 2001 г. Казань: КГЭУ, т.5, с. 135 - 138.

79. Дмитриев И.А., Газеева Е.В. Разработка методики и программы расчета переменных электромагнитных полей //Матер, докл. Всеросс. конф. "Студенты и аспиранты - малому наукоемкому бизнесу - 2002", Барнаул, 2-6 октября 2002 г. Барнаул: АлтГТУ, с. 23 - 25.

80. Колечицкий Е.С., Филиппов A.A., Шульгин В.Н. Мониторинг электромагнитных полей объектов энергетики. Вестник МЭИ. 1996. №5. С. 9 - 12.

81. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория поля. - М.: Наука, 1973. - 504 с.

82. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1973.-752 с.

83. Бронштейн И.Н. Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.: Наука, 1986. - 544 с.

84. Прикладная математика. Справочник математических формул. Примеры и задачи с решениями. [Электронный ресурс], www.pm298.ru/itab integrallO.php. (дата обращения: 24.10.2013).

85. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. - М.: Наука, 1978. - 544 с.

86. Дмитриев И.А., Белашов В.Ю., Килеев А.И. Вычисление ЭМ поля, создаваемого элементом тока ориентированного нормально к полупроводящей

плоскости // Матер, докл. VII Всеросс. научно-техн. конф. с междунар. участием «Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства», г. Ижевск, 15-17 ноября 2011 г. Ижевск: ИжГТУ, 2011, с.

87. Дмитриев И.А., Белашов В.Ю., Килеев А.И. Поле отрезка провода вблизи границы раздела сред при наличии разности потенциалов // Сб. трудов регион. XVII конф. «Распространение радиоволн», г. С.-Петербург, 2011 г. СПб.: СПбГУ, с. 130 - 132.

88. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Вычисление ЭМ поля, создаваемого линейным участком проводника с переменным током над полупроводящей плоскостью // Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2009. № 7 - 8. С. 82 - 93.

89. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Точное решение задачи вычисления ЭМ поля линейного переменного тока над полупроводящей плоскостью // Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2009. № 9 - 10. С. 71 - 81.

90. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Вычисление ЭМ поля, создаваемого элементом тока, ориентированного нормально к полупроводящей плоскости // Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2012. № 11-12. С. 86 - 92.

91. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А. Расчет диаграммы направленности антенны над полупроводящей плоскостью модифицированным методом зеркальных изображений // Изв. вузов. Радиофизика, 2013. Т. LVI. № 10. С. 722-729.

92. Дмитриев И.А., Газеева Е.В., Килеев А.И. Решение задачи "провод с переменным током над проводящей плоскостью" методом зеркальных изображений // Матер, докл. XIV Всеросс. межвуз. научно-техн. конф. "Внут-рикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология", г. Казань 14-16 мая 2002 г. Казань: КФВАУ, Т. 2. с. 193 -196.

93. Латыпов P.P. Развитие метода спектрально-поляризационных измерений

декаметрового радиосигнала //Диссертация канд. физ.-мат. наук: 01.04.03 -радиофизика. Казань: КГУ, 2009.

94. Теплов В. Ю. Развитие интерференционных методов радиозондирования ионосферы // Диссертация канд. физ.-мат. наук: 01.04.03 - радиофизика. Казань: КГУ, 2005.

95. Белашов В.Ю., Чернова Н.М. Эффективные алгоритмы и программы вычислительной математики. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 160 с.

96. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А. Расчет стационарных электромагнитных полей в полупроводящих средах // [Электронный ресурс]: сб. докл. III Волжской регион, молод, научн. конф., Филиал КФУ в г. Зеленодольск, 2010 г. Казань: КФУ, с. 18-21.

97. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А. Точное решение задач вычисления стационарных и нестационарных ЭМ полей с учетом электрических и магнитных свойств полупроводящих сред // Матер, докл. XXIII Всеросс. научн. конф. «Распространение радиоволн», Йошкар-Ола, 22 - 25 мая 2011 г. Йошкар-Ола: МарГТУ, с. 75 - 77.