Развитие методологии определения динамических взаимодействий между элементами вибрационного технологического оборудования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Большаков Роман Сергеевич

• Большаков Роман Сергеевич
• доктор наук
• 2024

Оглавление диссертации доктор наук Большаков Роман Сергеевич

Введение

1. Особенности динамических состояний технических объектов: вибрационные воздействия, расчётные схемы, методы исследования

1.1. Особенности расчетных схем в задачах динамики технических объектов

1.2. Возможности изменения вибрационных состояний

1.3. Структурные методы построения математических моделей механических колебательных систем

1.4. Вопросы развития методологических основ в решении задач динамики транспортных и технологических машин

1.5. Выводы по 1-ой главе. Постановка цели и задач исследования

2. Структурные подходы в обобщении задач виброзащиты и виброизоляции. методика определения статических и динамических реакций

2.1. Обобщенные представления о задачах вибрационной защиты

2.1.1. Формирование реакций связей

2.1.2. Эффективность виброзащиты. Коэффициенты эффективности при гармоническом возбуждении

2.1.3. Некоторые обобщения

2.2. Статические реакции в линейных системах

2.3. Особенности оценки динамических реакций в системах с несколькими степенями свободы

2.4. Статические реакции в механических системах с твердым телом

2.5. Математическое моделирование в задачах определения динамических реакций в механических колебательных системах с твердым телом

2.6. Выводы по 2-ой главе

3. Возможности использования динамических реакций связей в качестве параметра динамического состояния технологического оборудования

3.1. Применение метода определения динамических реакций в механической колебательной системе с тремя степенями свободы

3.2. Трансформация расчетных схем с применением методики прямых преобразований

3.3. Использование методики при введении устройств для преобразования движения

3.4. Реакции связей как параметры динамического состояния колебательной системы

3.5. Учёт совместного действия силового и кинематического возмущений при определении динамических реакций

3.6. Выводы по 3-ей главе

4. Повышение эффективности функционирования вибрационных технологических машин с учетом влияния межпарциальных систем

4.1. Возможности структурного математического моделирования в оценке динамических свойств технологических вибрационных машин

4.2. О влиянии избыточных связяй между элементами на динамические свойства технических объектов

4.3. Особенности динамических реакций в механических колебательных системах с устройствами для преобразования движения

4.4. Учет рычажных связей при управлении динамическим состоянием технологического оборудования

4.5. Оценка возможностей управления динамическим состоянием технологического оборудования

4.6. Методика расчета параметров динамического состояния вибрационного стенда

4.7. Выводы по четвертой главе

5. Приложения методов структурного математического моделирования в задачах динамики технологического оборудования

5.1. Методика учета влияния на динамические свойства систем дополнительных

устройств для демпфирования и преобразования движения

5.1.1. Структурные представления об учете дополнительных связей

5.1.2. Особенности формирования математических моделей

5.2. Построение компактов упругих элементов в механических колебательных системах

5.2.1. Основные положения подхода

5.2.2. Возможные формы соединения упругих элементов в структуры

5.2.3. Особенности систем с тремя степенями свободы

5.2.4. Рычажные связи в системах с упругими элементами

5.3. Неудерживающие связи во взаимодействиях элементов систем: оценка динамических реакций связей

5.4. О возможностях изменения динамических свойств системы вибрационной защиты подвески сидения оператора транспортных средств

5.4.1. Общие положения. Особенности расчетных схем

5.4.2. Построение математических моделей

5.4.3. Оценка динамических свойств пневматических виброзащитных систем

5.4.4. Особенности экспериментальных данных

5.5. Приложения структурного математического моделирования при оценке результатов экспериментальных исследований

5.6. Выводы по 5-ой главе

Основные результаты и общие выводы

Список литературы

Приложение 1. Акты внедрения и использования результатов диссертационной работы

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие методологии определения динамических взаимодействий между элементами вибрационного технологического оборудования»

Актуальность работы.

Для формирования технического оснащения современной промышленности в условиях импортозамещения актуальной является ориентация на использование высокопроизводительных и надёжных в эксплуатации технологических машин. Общей тенденцией в создании машин в текущий момент времени становится усложнение конструктивных решений на этапе проектирования. Повышение производительности машин, рост скоростей рабочих органов и динамических нагрузок происходят на фоне значительного роста уровня вибрационных воздействий, характерных для многочисленных технических объектов. Действие вибрационных процессов при интенсивной эксплуатации увеличивает динамические нагрузки на элементы технологических машин, места соединений и сочленений, что уменьшает их прочность и долговечность.

Влияние вибраций также влечёт за собой появление неучтённых внутренних силовых факторов, представляющих собой реакции связей и взаимодействие межпарциальных систем, что проявляется при различных частотах внешних воздействий и наличии нескольких источников вибраций и снижает производительность и надежность технологического оборудования. Это требует внимания к развитию методов расчета параметров систем вибрационной защиты технологического оборудования, в совокупности представляющих собой текущее динамическое состояние, которое можно корректировать на всех стадиях жизненного цикла машин, в том числе связанных с выбором конкретных конструктивно-технических решений. Анализ динамических состояний дополнительно осложняется тем, что технические объекты представляют собой механические колебательные системы с различным числом степеней свободы, отличающиеся сложной динамикой взаимодействия составляющих агрегатов, узлов и типовых элементов.

Методы оценки динамических состояний вибрационных технологических машин основываются на фундаментальных исследованиях отечественной школы динамики и прочности машин и представлены в трудах Артоболевского И.И., Фролова К.В., Ганиева Р.Ф., Блехмана И.И. Вейца В.Л., Вульфсона И.И., Пановко Я.Г., Колесникова К.С., Левитского Н.И., Коловского М.З., Фурунжиева Р.И., Тимошенко С.П., Камаева В.А., Алабужева П.М., Бабакова И.М., Балакина П.Д., Бурьяна Ю.А., Болотина В.В., Коренева Б.Г., Елисеева С.В., Бабицкого В.И., Гурецкого В.В., Синева А.В., Генкина М.Д. и др.

Совокупность проведённых исследований позволила сформировать комплекс традиционных методов расчёта, позволяющий определять скорости и смещения узлов и агрегатов технологических машин при интенсивном динамическом нагружении. Статические и динамические характеристики в этом случае являются параметрами динамического состояния технологического оборудования и могут быть найдены на основе построения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, что позволяет решать широкий класс задач динамики машин с использованием достаточно понятных методов математического моделирования.

Однако на сегодняшний день не рассматривались вопросы оценки динамического состояния технологических машин с точки зрения учета изменения динамических реакций в зависимости от частоты внешнего возмущения связности и между координатами движения технологического оборудования.

В связи с этим проведённый комплекс исследований, направленных на разработку методов расчёта параметров динамического состояния технологического оборудования для повышения эффективности его использования, является актуальным, так как для оценки динамического состояния таких технических объектов нужно знать величины нагрузочных параметров.

Степень разработанности темы исследования.

Серьезный вклад в развитие исследований и разработок в области динамики машин внесли российские ученые Блехман И.И., Брискин Е.С., Вейц В.Л., Вульфсон И.И., Елисеев С.В., Израилович М.Я., Камаев В.А., Пановко Г.Я., А.В. Синев, Горобцов А.С., Карцов С.К., Поляков Ю.А., Балакин П.Д., Аверьянов Г.С., Бурьян Ю.А., Калашников Б.А., Корнеев С.А., Галиев И.И., Николаев В.А., Нехаев В.А., Савоськин А.Н., Фурунжиев Р.И., Хачатуров А.А., Черноусько Ф.Л., Яцун С.П., Огар П.М., Чернышев В.И., Корчагин П.А., Корнеев В.С., J.S., а также зарубежные исследователи Snowdon, Дж.П. Ден-Гартог, Clarence W. De Silva и др. Их работы дают представление о тенденциях изменения динамических состояний технологического оборудования в зависимости от сложности технического объекта и наличия типовых элементов различного рода.

Разнообразие технических объектов и наличие различных источников вибрационных воздействий и элементов разного рода физической природы потребовали разработки расчётно-экспериментальных методов вибрационной защиты и виброизоляции, основные положения которых отражены в трудах Фролова К.В., Коловского М.З., Алабужева П.М., Блехмана И.И., Пановко Я.Г., Елисеева С.В. и др.

Елисеевым С.В. в рамках структурной теории виброзащитных систем показаны особенности математического моделирования при отождествлении расчётной схемы технического объекта в виде механической колебательной системы с сосредоточенными параметрами с эквивалентной в динамическом отношении системой автоматического управления. Такие подходы дают более детальную иллюстрацию представлений о наличии различного рода связей в системах, представляющих собой массоинерционные элементы, демпферы, устройства для преобразования движения и рычажные связи. Необходимо отметить, что наличие сложных структур в составе механических колебательных систем существенно влияет на их динамические свойства и инициирует развитие методов расчета параметров динамического состояния технологических машин, в

том числе приведенных параметров механических систем (приведенные жесткости, массы, моменты инерции и др.). Научные исследования в данной области проводились многими представителями научной школы, основанной Елисеевым С.В., среди которых можно выделить А.П. Хоменко, В.И. Соболева, Н.К. Кузнецова, П.А. Лонциха, В.Е. Гозбенко, А.В. Елисеева, Е.В. Каимова, Е.А. Паршуту и др.

Несмотря на наличие большого количества детализированных научных исследований, проведённых исследователями в рамках научного направления, остались малоизученными вопросы определения динамических взаимодействий между элементами вибрационных технологических машин, таких как динамические реакции и связность движения координат вибрационных технологических машин, что требует проведения дальнейших исследований, связанных с оценкой динамических свойств систем, определением их динамических параметров и разработки методологии их расчета.

Цель диссертационной работы: развитие методологии определения параметров динамических взаимодействий между элементами вибрационного технологического оборудования для повышения эффективности его использования.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Исследовать основные методы в области расчёта параметров динамических взаимодействий технологических машин и провести анализ используемых при этом расчётных схем.

2. Изучить особенности и формы взаимодействия элементов вибрационных технологических машин с расчётными схемами в виде механических колебательных систем, в том числе формирование статических и динамических реакций звеньев между собой и с опорными поверхностями.

3. Разработать обобщённый метод определения статических и динамических реакций в соединениях элементарных звеньев вибрационных технологических между собой и с опорными поверхностями.

4. Показать возможности метода определения статических и динамических реакций в механических колебательных системах с большим числом степеней свободы и на примере построения амплитудно-частотных характеристик динамических реакций связей в зависимости от внешнего возмущения.

5. Развить метод построения математических моделей вибрационных технологических машин на основе введения дополнительной передаточной функции взаимодействия межпарциальных связей с учетом влияния нескольких внешних возмущений.

6. Показать возможности структурного математического моделирования при оценке динамического состояния вибрационных технологических машин.

Объект исследования: Вибрационное технологическое оборудование и его динамическое состояние, возникающее при действии периодических внутренних и внешних вибрационных нагружений с учетом специфики технологических машин, расчётными схемами которых являются механические колебательные системы, состоящие из массоинерционных, упругих, диссипативных элементов, а также устройств для преобразования движения, являющихся основными расчетными схемами в задачах динамики машин, в том числе в задачах вибрационной защиты, оценки и управления параметрами динамического состояния технологического оборудования.

Предмет исследования: Динамическое состояние вибрационных технологических машин, расчетными схемами которых являются механические колебательные системы с несколькими степенями свободы с сосредоточенными параметрами с линейными свойствами, совершающими малые колебания относительно положения установившегося движения при одновременном действии нескольких факторов, изменяющих динамическое состояние системы, а также формирование динамических реакций, возникающих между типовыми элементами, а также при взаимодействии с опорными поверхностями в различных механических колебательных системах при действии периодических сил.

Методология и методы исследования Выбранный для достижения поставленной цели комплексный подход включает в себя теоретический анализ динамического состояния технических объектов, проведение численного моделирования при помощи пакетов прикладных программ МаШсаё и МаШ1аЬ, использование математического аппарата теоретической механики, теории механизмов и машин, теории колебаний, системного анализа и теории автоматического управления, экспериментальные исследования.

Личный вклад автора. Постановка задач исследования (совместно с научным консультантом), разработка методов построения структурных математических моделей, проведение численных экспериментов, обработка и анализ результатов.

В первой главе диссертации «Особенности динамических состояний технических объектов: вибрационные воздействия, расчётные схемы, методы исследования» нашли отражение результаты отечественных и зарубежных ученых в области важнейших проблем современной динамики машин, среди которых большую известность получили работы. Артоболевского И.И., Фролова К.В., Ганиева Р.Ф., Генкина М.Д., Вейца В.Л., Вульфсона И.И., Пановко Я.Г., Колесникова К.С., Левитского Н.И. и др.; среди зарубежных ученых можно было бы назвать J.S. Snowdon, Дж.П. Ден-Гартога, С.П. Тимошенко и др. Теоретические и практические вопросы защиты машин и оборудования от действия вибраций нашли отражение в работах Фролова К.В., Коловского М.З., Фурунжиева Р.И., Камаева В.А., Алабужева П.М., Коренева Б.Г., Бурьяна Ю.А., Аверьянова Г.С., Калашникова Б.А. Елисеева С.В., Бабицкого В.И., Гурецкого В.В., Синева А.В., Яцуна С.Ф., Чернышева В.И. и др.

На основе сравнительного анализа работ показано, что расчетные схемы в задачах динамики, в том числе виброзащиты и виброизоляции, представляют собой механические колебательные систем с одной, двумя и более степенями свободы. Развитие подходов в разработке способов и средств вибрационной защиты приводит к расширению представлений о наборе типовых элементов, что

связано с детализацией рассмотрения динамических свойств виброзащитных систем, имеющих в своем составе более сложные структуры в виде устройств для преобразования движения и механизмов. Анализ способов и средств виброзащиты и виброизоляции технических объектов показывает, что большинство реализаций упругих и диссипативных элементов используют механизмы, привносящие динамические особенности даже в простейшие задачи виброзащиты. Развитие обобщенных представлений виброзащитных систем различного конструктивно -технического исполнения, позволяет сформулировать доказательную основу для расширения набора типовых элементов за счет введения новых звеньев, интерпретируемых в символике теории автоматического управления как дифференцирующие звенья второго порядка. Для построения более сложных систем используются правила структурных преобразований.

Вибрационные технологические машины, обладают, в плане динамических воздействий, определенной общностью проблем, связанных с поиском и разработкой способов и средств оценки, контроля и управления динамическими состояниями технических объектов.

Разнообразие задач динамики, сложность расчетных схем, в которых существенное значение имеет действие различных дополнительных связей, взаимодействий элементов и узлов с внешними ограничениями и возмущениями, предопределяют инициативы по поиску и разработке соответствующих методов математического моделирования технических объектов, разработки подходов в учете специфических особенностей систем и их динамических состояний.

Особенностью современных технических средств является автоматическое управление динамическими состояниями, что нашло отражение в разработках методов структурного математического моделирования механических колебательных систем на основе аналитического аппарата теории автоматического управления.

Показано, что определение статических и динамических характеристик, системы, в частности, реакций связей, достаточно просто реализуется на основе

структурных методов. В завершении первой главы сформулированы выводы, на основе которых определена цель и задачи диссертационного исследования.

Во второй главе «Структурные подходы в обобщении задач виброзащиты и виброизоляции. Методика определения статических и динамических реакций» рассматриваются методологические основы построения общих и частных моделей механических цепей, которые могут состоять из разнообразных типовых элементов, относящихся к виброзащитным системам.

Динамическое гашение колебаний является одним из направлений теории и практики вибрационной защиты машин, оборудования и приборов. Детализированное представление о свойствах динамических гасителей колебаний связаны с задачами, в которых объект защиты в виде твердого тела с одной степенью свободы приводится к режиму, обеспечивающему значительное уменьшение колебаний объекта на фиксированной частоте внешнего гармонического возмущения.

В меньшей степени разработаны вопросы защиты объектов, состояние которых описывается несколькими переменными. В частности, к таким задачам могут быть отнесены динамика вибрационных технологических машин. В простейших вариантах таких устройств объект защиты представляют собой твердое тело на упругих опорах. Его движение может быть описано в нескольких системах координат.

Развиваемый подход позволяет сформулировать постановку задач виброзащиты и виброизоляции, когда объект защиты может представлять собой систему с двумя степенями свободы; при этом часть координат исключается, а внешние силы, действующие по этим координатам, «приводятся» к наблюдаемым движениям.

Таким образом, исключение переменных в системах с несколькими степенями свободы приводит к тому, что «упрощенная» система (по числу степеней свободы), сохраняет все свойства колебательных систем, отображаемых структурными схемами. Вместе с тем необходимо отметить, что «упрощение»

приводит к введению новых понятий, которые связаны с представлениями о возможности использования звеньев нового типа. Такие звенья строятся как некоторые блоки, структуры или компакты из известных типовых элементов в виде массоинерционных звеньев, пружин, демпферов, а также устройств для преобразования движения на основе правил структурных преобразований, характерных для аппарата теории автоматического управления. Анализ показывает, что подобного вида сложные или составные звенья могут включать в свой состав, кроме пружин, и другие типовые элементы, образуя, в конечном итоге, компакт или квазипружину. Последние названия представляются вполне уместными, поскольку рассматриваемые образования являются приведенными пружинами с динамической жесткостью, зависящей от частоты возбуждаемых колебаний. Понятие «квазипружина» связано, в частности, с тем, что квазипружина, если иметь в виду возможность входить в состав блоков, ведет себя как обычный типовой элемент (пружина, демпфер и др.).

Исключение координат в механических колебательных системах с несколькими степенями свободы является формальным приемом упрощения систем, который приводит к уменьшению числа переменных, но не изменяют математическую модель в целом. Вместе с тем, предлагаемые подходы могут оказаться полезными в нескольких направлениях. Первое из них связано с возможностями представления парциальных систем в виде более сложных структур, имеющих вид систем с двумя степенями свободы. Это позволяет рассматривать задачи виброзащиты и виброизоляции машин и оборудования в более сложной постановке, обеспечивающей контроль за динамическим состоянием системы по двум независимым переменным. При этом сохраняются возможности использования приемов, методов и средств структурной теории виброзащитных систем.

В целом, предлагаемый подход можно рассматривать как методологическую основу нового метода преобразования механических колебательных систем и развития доказательной базы в представлениях о том, что

набор типовых звеньев может быть расширен за счет квазиэлементов, которые отличаются большим многообразием, но имеют простые принципы построения и правила структурных преобразований.

Реакции, возникающие в точках контакта элементов виброзащитного устройства имеют статическую и динамическую составляющие. Статические реакции формируются под действием постоянных сил, в том числе и сил тяжести. Предлагается метод определения статических реакций для механических колебательных систем, обладающих развитой структурой. Основой для соответствующих построений является математическая модель в виде структурной схемы эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления.

Важным обстоятельством является то, что статические реакции в необходимых точках механической систем могут определяться на основе использования структурных схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления. Отметим, что использование структурных подходов связано с определенными условностями, так как структурные схемы, в обычном понимании, используются при периодических сигналах. При рассмотрении задач статики и статических реакций, вызванных силами тяжести или другими постоянными силами, формирующимися специальными устройствами, используемые передаточные функции представляют собой отношения изображений по Лапласу выходных сигналов в виде смещений при входных сигналах в виде постоянных сил. Предлагаемый метод, может быть распространен и на системы, в которых массоинерционные элементы могут быть представлены твердыми телами.

Реакции в точках контакта с опорными поверхностями совпадают между собой только при отсутствии в конструкции независимо двигающихся массо-инерционных элементов. В общем случае реакции не равны между собой, а их определение должно учитывать особенности структуры виброзащитной системы. Показано, что конкретная реализация системы расположения сил влияет на

величины статических реакций. Для определения необходимых значений реакций в технологии их нахождения используются передаточные функции системы, которые при обнулении комплексной переменной р = дают необходимые данные о свойствах системы при передаче статических усилий.

Если механическая колебательная система представлена механической цепью и состоит из упругих и массоинерционных элементов, что в рамках структурной теории виброзащитных систем отображается структурной схемой, разрешенной относительно выделенного объекта защиты с передаточной функцией интегрирующего звена второго порядка, то отрицательная обратная связь соответствует динамической жесткости, определяемой при приложении

внешней силы к объекту защиты массой т2.

Физическая сущность отрицательной обратной связи на структурной схеме заключается в том, что этот упруго-инерционный блок представляет собой, в некотором смысле, обобщенную пружину, обладающую динамической жесткостью. При р ^ 0 динамическая жесткость трансформируется в приведенную жесткость упругого блока в статике

В разделе 2.5 рассмотрены особенности определения динамических реакций для системы, содержащей объект защиты в виде твердого тела. Такой объект может рассматриваться в двух системах координат у и у2, а также ф и у соответственно.

В конечном итоге, система с твердым телом может быть трансформирована в эквивалентную систему с элементами, содержащими поступательное движение. При этом в механической системе появляются новые звенья, реализующие рычажные взаимодействия и преобразования движения.

Третья глава диссертации «Возможности использования динамических реакций связей в качестве параметра динамического состояния технологического оборудования» посвящена обоснованию и детализации представлений о динамических реакциях.

Показаны особенности динамических свойств при введении в структуру системы УПД. Рассмотрены также особенности совместного действия двух сил, что проявляется в возможностях наличии новых динамических эффектов не только в плане детализации представлений о режимах динамического гашения колебаний, но и позволяет создать основы научной концепции, объясняющей возникновение режимов нестационарных движений (динамических выбросов), создающих дополнительные нагрузки на объект, динамическое состояние которого оценивается, контролируется и подстраивается к определенным условиям.

Существенное значение в выборе направлений корректировки вибрационного поля имеет учет особенностей системы возбуждения динамического состояния вибрационной машины. Рассмотрены различные варианты схем возбуждения колебаний, в том числе от одного и двух вибровозбудителей. Предлагается метод формирования необходимых структур на основе использования передаточных функций системы, в частности, передаточных функций межпарциальных связей. Это позволяет строить семейства соответствующих амплитудно-частотных характеристик и получать аналитические соотношения параметров системы, в целом, для создания определенной структуры распределения амплитуд колебаний рабочего органа по его длине. Это могут быть условия получения отношения амплитуд колебаний равного единице; или случай, когда амплитуды по длине рабочего органа изменяются по линейному закону. Наличие аналитических соотношений позволяет создавать реализации необходимых форм вибрационного поля на различных частотах. Исследован достаточно широкий круг сочетаний параметров, которые могут представлять интерес для практических приложений.

Получены аналитические выражения, позволяющие для конкретного варианта вибростенда и его загрузки определять значения настроечных параметров и обеспечить необходимые структуру и форму вибрационного поля стенда. В приложениях к диссертации приведены детализированные технологии

оценки динамических свойств технических объектов при различных видах нагружения.

Предварительный анализ позволяет установить свойства амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) которые определяются тем, что динамическая реакция трижды принимает экстремальные значения, а на частоте колебаний, определяемой из частотного уравнения числителя формируется режим динамического режима, который можно было бы назвать «обнулением динамической реакции».

В общем случае динамическая реакция в структурных подходах определятся параметрами цепи обратной связи. Обратная связь развернута относительно интегрирующего звена второго порядка, то есть объекта защиты. Что касается динамическая реакция, то она определяется как произведение коэффициента усиления обратной связи на отклонения по рассматриваемой координате. Коэффициент усиления цепи обратной связи в физическом смысле соответствует приведенной жесткости обобщенной пружины. Такая жесткость, в отдельных случаях, может быть постоянной.

Полная реакция в рассматриваемых точках, в целом, состоит из статических и динамических компонент. Статическая реакция определяется с учетом постоянных сил, в том числе и сил тяжести массоинерционных элементов. Динамические реакции формируются в колебательных движениях относительно положения статического равновесия.

Полная реакция может принимать нулевые и отрицательные значения, что зависит от знака и величины динамической составляющей реакции. Это должно учитываться, если связи относятся к неудерживающему типу. Равенство нулю динамической реакции возможно в случае и в других динамического гашения и резонансных явлений динамических взаимодействий конструктивных элементов системы. Нулевое значение динамической реакции должно рассматриваться как одно из возможных состояний системы, в которой отношение реакции связи к внешней силе является одним из возможных способов описания состояния

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Большаков Роман Сергеевич, 2024 год

источник *- —у —• -

R' защиты защиты

в

R ВЗУ R' - Объект

защиты

z (t)

Рис. 2.1. Принципиальная схема виброзащитной системы с одной степенью свободы. а - общий случай; б - силовое возмущение; в - кинематическое возмущение (Я - представляет собой реакцию связи) Виброзащитное устройство (ВЗУ) (рис. 2.1) находится между источником возмущения и объектом защиты. В большинстве случаев масса одного из тел системы

— источника или объекта — существенно превышает массу другого тела — соответственно объекта или источника. Тогда движение тела «большой» массы может считаться не зависящим от движения тела «малой» массы. Если «большую» массу имеет объект, то его считают неподвижным, движение системы вызывается в этом случае приложенными к источнику внешними силами, представляющими силовое возбуждение 0= (см. рис. 2.1, б). Если «большую» массу имеет источник возмущения, то закон его движения 2 = г(?) можно считать заданным; такое движение может рассматриваться как кинематическое возбуждение системы (точнее

— объекта, рис. 2.1, в). В обоих случаях тело «большой» массы называют несущим, или основанием, а тело «малой» массы — несомым. Схему, представленную на рис. 2.1, б, обычно используют, когда рассматривается защита зданий, сооружений,

перекрытий или фундаментов от динамических воздействий, возбуждаемых установленными на них машинами с неуравновешенными движущимися частями или иным виброактивным оборудованием. Схему, изображенную на рис. 2.1, в, применяют в задачах виброзащиты приборов, аппаратов, точных механизмов или станков, т. е. оборудования, чувствительного к вибрациям и устанавливаемого на колеблющихся основаниях или на движущихся объектах. Можно предположить, что источник возмущения представляет собой форму взаимодействия с некоторой системой, обладающей несопоставимо большими энергетическими возможностями, а рис. 2.2, а построен в предположении, что парциальная система М, к01, к02 отражает свойства источника силового возмущения.

а

б

Рис. 2.2. Схема формирования силового возмущения в виброзащитной системе. а - расчетная схема с учетом существования источника энергии; б - структурная схема виброзащитной системы с источником силового возмущения Поскольку в расчетах действия вибраций силовое возмущение считается независимым от нагрузки, то источник силового воздействия можно представить в виде контактов с колебательной системой (М, к01, к02), совершающей незатухающие свободные гармонические колебания. При этом выполняется условие М >> т, что позволяет рассматривать действие парциальной системы (М, к01, к02) только по связи 1 (рис. 2.2, б), что формирует силу Q = к02у0, приложенную к объекту массой т. В силу условия М >> т обратное воздействие по связи 2 (рис. 2.2, б) можно считать пренебрежимо малым. Ниже приводится обоснование подходов, позволяющих предложить обобщенную методику определения реакции связей, что необходимо для динамических расчетов виброзащитных систем.

т. В

г2а

Ф)

z1(t

б

ту" + (к\ + к2) у = = к^ + к2 + ), 1

т т. А

\тр2 у + (к + к2) у = [= к\2\ + к2+ б; 2

д

к2 к

1

тр2

кг

к2

т. А

л//1

Щ( р)=у=-

б тр + к! + к2

Щ( р)=у=-^

21 тр + к! + к2

ВД =У = " 2 , ,

22 тр + к1 + к2

к

у = б -Щр), 6 й

Я4 II \

_ = к2 у, 8 т. А к

Яв б * 0

|Ял = |Ял11, 9 = 0 к 21

Я = Яв1 , 10 22 = 0 т

( к1 + к 2) г т

й = 0

к + к,

б * 0.г1 = 0.г2 = 0, 11

щА (р)=%=

^КВ (р) = =

+ к

б тр2 + к1 + к2

б тр + к! + к2 _Яв _ к2

12

13

Ял * Яв , 14

м

б = 02 * 0.г2 = 0, 15

(р) = ^ =

к1

16

21 тр2 + к1 + к2 ^ (р) = ^ = —-, 17

'ЯВ

Ял * Яв , 18

ЯВ _ к1к2

2 ; 21 тр + к1 + к2

б = 02 = 0.22 * 0, 19

Щ4 (р) =^ - к1к2

22 тр + к1 + к2

Я

2 к2

(р) =- 2 В 22 тр + к1 + к2

Ял = Яв , 22

20

21

б = 02 = 22 = г, 23

иг ! \ Я1,11 к1 + к2

^ и(р) = = 2' 1, 2 тр + к1 + к2

Щр) =1 = к1 + к2 , 25

2 тр + к1 + к2 Я1 г = Ял + Яв , 26

г

в

а

г

2

е

к

л

н

о

Рис. 2.3. Принципиальные позиции метода определения динамических реакций

Структурное математическое моделирование. На рис. 2.3 представлена методика определения динамических реакций связей в механических колебательных системах с одной степенью свободы.

Последовательный переход от позиции а к позиции о показан на рис. 2.3. Стадии преобразований исходных математических моделей приведены также на позициях 1 - 23. Для реализации методики определения реакций в выбранных точках на основе расчетной схемы (рис. 2.3, а) составляется дифференциальное уравнение 1, которое трансформируется после преобразований Лапласа в уравнение 2, а затем - в структурные схемы на рис. 2.3, г, д. При этом р = ую -комплексная переменная, а значок (-) над переменными означает изображение по Лапласу. Физическая сущность метода заключается в том, что объект защиты при действии различных возмущений выделяется на структурной схеме как звено с передаточной функцией типового интегрирующего звена 2-го порядка. В свою очередь, типовые элементы виброзащитной системы представляют собой элементы структурной теории в следующих связях: пружина - звено с передаточной функцией усилительного звена; демпфер - звено с передаточной функцией дифференцирующего звена; промежуточный массоинерционный элемент - звено с передаточной функцией дифференцирующего звена 2-го порядка. Динамическая реакция представляет собой произведение приведенной динамической жесткости в заданной точке на ее координату смещения. Приведенная динамическая жесткость фомируется цепью отрицательной обратной связи относительно объекта защиты, что достигается преобразованиями, правила которых характерны для аппарата теории автоматического управления. Подробное изложение методики определения динамических реакций приводится в [52, 53, 147].

2.1.1. Формирование реакций связей

Важным для последующих исследований является то обстоятельство, что силовое возмущение реализуется как сила, прикладываемая к объекту (т. А, рис. 2.4). Кроме того, рассмотрение такого вида возмущения связано с признанием несимметричности действия связей 1 и 2 между парциальными системами (М, к01, к02) и (т, к01, к). При кинематическом возмущении схема формирования воздействий происходит по такому же принципу, но кинематическое возмущение у0 будет прикладываться к т. В, как показано на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Принципиальная схема формирования кинематического воздействия

В отличие от силового возмущения (рис. 2.4) смещение у0 действует через элемент жесткостью £02. В этом случае также предполагается, что связь 2 не влияет на движение парциальной системы (М, к01, к02). Сравнение двух форм внешних воздействий на рис. 2.4 и рис. 2.5 показывает относительность представлений о разделении внешних возмущений на силовые и кинематические. На самом деле, они могут приводиться друг к другу. Последнее, в конечном итоге, послужило основой для обобщенных подходов [19, 92, 128, 136].

Виброизолирующее устройство (ВЗУ) представляет важнейшую часть виброзащитной системы. Его назначение состоит в создании такого режима движения, инициируемого заданными возмущениями, при котором реализуется цель защиты объекта. Во многих случаях это оказывается достижимым при использовании

безынерционного виброизолирующего устройства. Для схем, изображенных на рис. 2.1, это может быть одноосный виброизолятор. В этом случае реакции виброизолятора Я и Я' совпадают по значению (Я = Я ). Таким образом в простейшем случае реакцию Я можно считать пропорциональной смещению и скорости смещения объекта:

Я = ку + Ъу. (2.1)

В данном случае предполагается, что виброизолятор имеет простую конструкцию, в которой движение объекта защиты формирует динамическое состояние виброизолятора. Расчетная схема виброзащитной системы (ВЗС) представлена на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Расчетная схема виброзащитной системы с параметрами да, к, Ь с одной степенью свободы

Зависимость (2.1) описывает линейную характеристику простого безынерционного виброизолятора; коэффициенты к и Ь называются соответственно жесткостью и коэффициентом демпфирования. При Ь = 0, (2.1) описывает характеристику линейного упругого элемента (пружины); при к = 0 -характеристику линейного вязкого демпфера. Таким образом, модель виброизолятора с характеристикой (2.1) можно представить в виде параллельного соединения пружины и демпфера (см. рис. 2.4). Коэффициент жесткости к виброизолятора с линейной характеристикой (2.1) определяет собственную частоту системы

®о , (2-2)

V m

а также статическую деформацию уот (осадку) виброизолятора. Демпфирующие свойства системы (см. рис. 2.4) характеризуются коэффициентом демпфирования

n = b /(2 m) (2.3)

и относительным демпфированием

v = n / ю0 = b / 2yj km. (2.4)

При v = 1 в системе реализуется критическое демпфирование [37]. Влияние демпфирования в общем случае имеет разнообразные формы и существенно изменяет свойства виброзащитных систем.

2.1.2. Эффективность виброзащиты. Коэффициенты эффективности при

гармоническом возбуждении

Под эффективностью виброзащиты понимается степень реализации виброзащитным устройством целей виброзащиты. При силовом гармоническом возбуждении Q(t) = Q0 sin ct, где Q0 и ю - соответственно амплитуда и частота вынуждающей силы. При этом виброзащита может состоять в уменьшении амплитуды R0 силы, передаваемой на неподвижный объект,

QnJ + 4n V R = 0 2 , (2.5)

j(co2 - со 2) + 4п2ю 2

что следует из рассмотрения уравнения кинетостатики для элемента m при z (t ) = 0 :

my + by + ky = Q. (2.6)

Используя преобразования Лапласа найдем, что

R = y (bp + к). (2.7)

В свою очередь, уменьшение амплитуды установившихся вынужденных колебаний объекта при действии силы определяется

во

Ус = I , • (2.8)

т*/(®2 -ю2 )2 + 4я2ю2

Передаточная функция системы при входном сигнале О и выходном - Я0, имеет вид

^ (Р) = Я = -"2^, (2.9)

в тр + Ьр + к

так как у = ——0-. (2.10)

тр + Ьр + к

Отметим, что реакция связи Я0 определяется из (2.6)

Я = у (Ьр + к) = 0 - тр2у• (2.11)

Полагая, что у определяется из (2.10), получим

=в - трР0 ,= (Ьр+к) в (2.12)

тр + Ьр + к тр + Ьр + к

или

ШЛр) = % = • Ьр + к

в тр2 + Ьр + к '

что совпадает с выражением (2.9), т. е. в виброзащитной системе с одной степенью свободы передаточная функция (р) определяет отношение значения реакции связи Я0 к приложенной к объекту защиты внешней гармонической силы в. Отметим также, что определять (р) можно и непосредственно из структурной схемы, что можно проиллюстрировать совмещением расчетной (рис. 2.5) и структурной схем (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Структурная схема виброзащитной системы с одной степенью свободы Отметим, что структурная схема (рис. 2.6) является графическим аналогом математической модели ВЗС в виде дифференциального уравнения, которое может быть получено известными способами.

2.1.3. Некоторые обобщения

Кинематическое возмущение г (г) характеризует движение основания и передается на объект защиты, что можно описать с помощью передаточной функции

Ьр + к

W (p )z = У

(2.13)

Z mp2 + bp + к

Физический смысл уравнения (2.13) заключается в том, что оно соответствует отношению амплитуды вынужденных колебаний объекта к амплитуде колебаний основания. Выражения (2.9) и (2.13) совпадают, что свидетельствует о способе находить W (Р) через определение W(p)z, что можно сделать, используя структурную схему на рис. 2.5. В данном случае нужно иметь в виду возможности эквивалентности действия двух внешних возмущений, так как справедливо Q = kz . Отметим, что при z(t) = z0 sin ®t и Q(t) = 0 цель вибрационной защиты может заключаться в уменьшении амплитуды абсолютного ускорения (перегрузки) объекта

_пю2л/ю2 + 4п 2ю2 к = 0 V 0 , (2.14)

пер С 72 4 7

I / О О \ л л

юА - ю I + 4п й

®2 - Ю)

а также в уменьшении амплитуды колебаний объекта относительно основания, т. е. в системе координат у' = у - г

у' = . (2.15)

^^Г^)' + 4п2 Ю2

Таким образом, для каждой цели виброзащиты можно выбрать безразмерные коэффициенты эффективности. Такие коэффициенты определяются соответствующими передаточными функциями исходной (рис. 2.5) структурной модели. При силовом возмущении

к = К (р)| = № (р)|; ку = кг = № (р)| = у ;

к = кг К (р) = У = 2\ .. ^ Q тр + Ьр + к

В случае кинематического воздействия рассматриваются следующие соотношения:

к = кпер • к, = — кя 2 ; ку .

ю го го

В технической литературе [59] кк называется коэффициентом виброизоляции, а ку - коэффициентом динамичности. Если ввести безразмерный

параметр у = — и у = — (2п = —), то

ю0 Ю т

К =

1 + 4 V2 у2

1 +4 У 1 ■ (2.16)

Ш1 - у2 )2 + 4v2у2'

1 у2

ку = г ,2 ; (2.17) ку,= \ . (2.18) ^(1 - у2) + у2 ^/^^У

При расчете простейших виброзащитных систем условия эффективности по критериям кК, ку, ку' формируются в виде неравенств:

кк < 1; ку < 1, ку,< 1. (2.19)

Поскольку указанные коэффициенты зависят от частоты, можно рассматривать эффективность виброзащиты на данной частоте у или в заданном частотном диапазоне ^ < У < У 2 • Анализ соотношений (2.19) позволяет сделать ряд выводов. Например, вывод о том, что эффективность виброзащиты по критерию кК < 1 обеспечивается при любом уровне демпфирования в частотном диапазоне

у > ^2. (2.20)

При любом у из диапазона (2.29) эффективность тем выше, чем слабее демпфирование; наилучшей эффективностью обладает идеально упругий виброизолятор (V = 0). Кроме того, эффективность виброзащиты по критерию к < 1 также обеспечивается в диапазоне (2.20) при любых значениях V. При

V = -^= виброзащита эффективна во всем диапазоне частот о < у < да; при V < -4=

л/2 у/2

эффективность отмечается в диапазоне

у >л/2(1-2У2). (2.21)

При фиксированной величине у эффективность повышается с ростом демпфирования. Виброзащита по критерию к , < 1 эффективна во всем частотном

диапазоне, если V > -1, а при V < - в диапазоне 0 < у < , 1 ==.

у/2 у/2 у2(1 - 2 V2)

Степень эффективности на фиксированной частоте у повышается с ростом демпфирования; в наихудшем случае (при V = 0) диапазон эффективности соответствует полосе

0 < у . (2.22)

Зависимости кл = кл (у, V), к = к^ (у, V), к , = к , (у, V) при фиксированных V можно рассматривать как амплитудно-частотные характеристики системы по

соответствующим входу и выходу. Разночастотные характеристики виброзащитной системы соответственно определяются:

2уу

в = аг^-1Т, (2.23)

1 —у

3

Л = аго1в-^--, (2.24)

1 — у (1 - 4у )

и представляют зависимость фазовых сдвигов процессов у(?), у'(?) (2.23) и Л(?), у(г) (2.24) относительно возмущений и . Отметим также, что

виброизолирующее устройство часто выполняют в виде соединения нескольких виброизоляторов, образующих сложный виброизолятор. При определенных условиях реакция Л такого соединения может аппроксимироваться зависимостью (2.1). Тогда рассматриваемый сложный виброизолятор эквивалентен (в смысле воздействия на источник и объект) простому, характеристики которого могут быть названы эквивалентными коэффициентами жесткости и демпфирования [82]. Однако такие подходы имеют ограниченную область применения. Большие перспективы в этом отношении имеют идеи расширения состава (или набора) типовых звеньев виброзащитных систем с последующим построением блоков звеньев или компактов. Приведенное выше отражает существующие подходы в решении задач виброзащиты [59]. Вместе с тем на простых примерах достаточно наглядно проявляются особенности и возможности структурных подходов. В этом отношении важным для последующего исследования представляется то обстоятельство, что реакция связи в физическом смысле интерпретируется через параметр (коэффициент усиления) цепи обратной связи, развернутой

относительно объекта защиты (в данном случае - звено - рис. 2.5). Такие

тр2

представления создают основу нового подхода, позволяющего изучать закономерности возникновения форм взаимодействия элементов системы [6, 45, 92, 240].

2.2. Статические реакции в линейных системах

Для определения статических реакций, возникающих в механических системах с упругими соединительными элементами (или пружинами) рассмотрим систему с одной степенью свободы (рис. 2.6). При горизонтальном расположении элемента с массой т (объекта) сила тяжести Q не будет оказывать действия. Предполагается, что длины пружин с жесткостями к1 и к2 выбраны соответствующим образом и обеспечивают равновесие в точках контакта А, А1, В, В1 без усилий.

Я

Рис. 2.7. Принципиальная схема статически уравновешенной системы

В положении равновесия у = 0 в качестве внешнего статического воздействия принимается во внимание постоянная по сила Е Ф 0 (рис. 2.7). Под действием силы Е происходит смещение точки равновесия на величину

Я

у

к| + к2 соответственно

, что позволяет определить реакции в тт. А, А1, В, В1; получим

ЯА = N =

ял

яп

= к1 у =

= к2 у =

к

кх + к2

■Я

к

кх + к2

■Я.

(2.25)

(2.26)

Показанное на рис. 2.6. твердое тело может быть представлено в виде материальной точки, к которой приложена постоянная сила Е. Эта сила вызывает статические реакции: в т. А (точке контакта пружины к1 (рис. 2.7) с опорной

RA + Rв = F.

поверхностью I, ^^ = к^у), а также в т. В - точке контакта пружины к2 с опорной поверхностью II (рис. 2.1), где RB = к^у. В свою очередь,

(2.27)

Учет геометрических размеров твердого тела (как это показано на рис. 2.6) приобретает смысл в определенных задачах, когда, например, представляет интерес взаимодействие в т. A\ к и твердого тела m, или между пружиной к2 и твердым телом т (т. В!). В таких случаях могут определяться усилие давления твердого тела, предварительная деформация пружин и т.д.

Уравнение равновесия системы (рис. 2.7) может быть получено из уравнения кинетостатики на основе применения принципа Даламбера

ту + к, у1 + у 2 = ¥. (2.28)

В изображениях Лапласа (2.28) можно записать

2_ _

mp у + у (( + k1) = F,

(2.29)

где р = у® - комплексная переменная [190]; у, F - изображения у(1) и в

области преобразований Лапласа. В статике можно полагать, что р = 0, тогда получим, что (2.29) соответствует (2.27).

а

Q

т. В

т. В ^

б

m

У

т. A1

m <:> т. A

Q ^ 1 г

1

т.А' т.В^ к ' т. А' т. В1

, ^ т. A т В <> 2 ^ т. т.^ I • • II • • I

в

Q

У

г

д

Q

е

-1

У

Рис. 2.8. Принципиальная схема расположения опорных поверхностей. а - раздельные; б - раздельные и параллельные; в - общие и соответствующие структурные схемы: г - раздельные пружины; д - пружины в параллельном соединении;

е - пружины как дополнительные обратные связи

тр

Рассматриваемая задача может быть интерпретирована с использованием структурных подходов. На рис. 2.8 показана последовательность соответствующих преобразований. При этом на рис. 2.8 исходная расчетная схема (рис. 2.7), приведена к вертикальному виду, а сила Е заменена на силу тяжести Q.

Из сводного рис. 2.8 следует, что выбор опорных поверхностей I и II предопределяет особенности реакций, которые могут рассматриваться как отдельные или происходящие в параллельном соединении взаимодействия. Структурные схемы системы на рис. 2.8, г - е относятся к случаю динамического взаимодействия, но использование символики позволяет продемонстрировать некоторые общности, существующие при определении как статических воздействий, так и динамических сил, если они относятся к гармоническим.

Система с двумя степенями свободы. Рассматривается случай с двумя материальными телами т1 и т2, соединенными упругими элементами к и к2, к3 (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Принципиальная схема системы с упругими связями к1, к2, к3 и постоянными силами Е1 и Е2

В данном случае, как и ранее, рассматривается линейная система, в которой при действии постоянных сил Е1 и Е2 происходят отклонения системы у! и у2 от положения равновесия.

Примем, что Е1 Ф 0, а Е2 = 0. Используем изложенный выше прием построения уравнений кинетостатики и получим

(к1 + к2 ) у1 - к2 у2 = ; (2.30) к + къ)у1 - к2у1 = 0. (2.31)

Так как в соответствии с (2.31)

(к2 + кз)

то после подстановки (2.32) в (2.30) получим, что

У = 77^Т У , (2.32)

(к2 + кз)у - ^у' = У = Я • (2.33)

откуда

у = Е_(к 2 + к 3)_= Е_1__(234)

у 1(к2 + къ)к, + к2к.3 1 к + кк^ ■ (. )

к 2 + к3

Другими словами, под действием силы Я масса т1 получит смещение,

которое определяется при параллельном соединении к1 и блока последовательно соединенных пружин к2 и к5. При этом можно найти реакцию в точке А (на опорной поверхности I):

Я'А = к'= к' у', (2.35)

к + к2 кз

к2 + кз

Используя (2.30), получим, что

тогда

у = ^Т+^Г^2 = к' у, (2.36)

к + к2

(к2 + к3)у2 - „ \ ч у2 = к2

(к1 + к2) к' + к2 или

у2 = Я'-^-. (2.36')

к (к + ) + к\к2

В дальнейшем можно полагать, что у2 = у2 в силу свойств преобразования Лапласа (постоянные величины) [92, 190, 240]. Отметим, что смещение у2 отличается от у1.

Реакция в т. В, т. е. между упругим элементом к3 и опорной поверхностью II, определится

*'в = (з У2 . (2.37)

к3 (( + к2 ) + кхк2

При этом = |, а = 1. Что касается пружины с жесткостью к2, то усилие ее деформации может быть определено

R/2 = (У2 -У1 )к2 = —((к2 + кз -к2)к2 ) =-—1(2(3-. (2.38)

(к2 + + к^к^ к|к2 + к2к^ + к^к^

Из (2.38), в частности, следует, что

= 2|. (2.39)

Учет изменения расположения сил. Будем полагать, что схема действия постоянных сил изменится и = 0, а ¥2 Ф 0. Тогда уравнения равновесия примут вид

У1(к + к2) - к2у2 = 0; (2.40)

У2(кз + кз) - к2У1 = —2 . (2.41)

к

Из (2.40), найдем, что у1 = —2— у2. (2.42)

к + к2

Подставим (2.42) в (2.41) и получим

к2 у

у2(к2 + к 3) --= ¥2, (2.43)

откуда следует, что [(к, + к2)к3 + к1к2]у2 = ¥2(к1 + к2) или

у2 = —-к1±к-=-. (2.44)

(к + к2) кз + к1к2 ^ + к1к2

к + к2

Найдем (при = 0, ¥2 Ф 0) реакцию в т. В = у2к3):

щ =_кз(к1 + к2)_^ =_—2(з__(2 45)

в (к + к2)кз + к^ 2 к + к1к2 ' '

к + к2

В свою очередь, реакция в т. А определится после ряда промежуточных преобразований

К2 + к2 у1

у2

тогда

у'(к1 + к2) -

к2 + кз

к22 у1

к2 + к3 к2 + кз

(2.46)

к

■К

или

у' =

к2 К2

к2 к + к + к2 кз

(2.47)

В итоге получим

ЯА = КУх =

к1к2

я;=к2(у2 - у,)=

к\к2 + к\к^ + к2къ (к1 + к2 )к2 - к2

-К

кк

к к + к к + к к к к + к к + к к

(2.48)

. (2.49)

( ЯА = к 2( у2 - ух) =

(к1 + к2)к2 Е2 - к2 у1

)

кк + к,к3 + к2 к3

Случай одновременного действия двух сил. Теперь можно перейти к определению полных статических реакций, которые находятся по принципу суперпозиций. Вначале найдем статические смещения, вызванные силами Е1 и Е2:

ад + к 3) ± к 2 Е2 .

ух

у 2 =

кк +кк + к к

12

1'"3

23

к2 Ех ± (к, + к2)Е2

(2.50)

(2.51)

кк + к к + к к

Сравнивая (2.50) и (2.51), можно отметить, что в системе с двумя степенями свободы при действии двух постоянных сил одновременно необходимо учитывать знаки смещения масс по координатам у1 и у2 (они могут быть противоположными). Поэтому из (2.50) и (2.51) можно найти условия, когда у1 = 0, что возможно, если выполняются соотношения

Р1(К2 + К) = К2 Р2

ИЛИ

К + К К

Р = ^ Р = Р,(1 + К3). (2.52)

При этом ¿2 и Р} направлены противоположно. Такие процессы можно реализовать практически, например, на основе электромагнитных управляемых устройств.

В свою очередь, можно аналогичные условия найти для равновесия по у2. Тогда необходимо обеспечить

К + К К

¿1= ^ Р, = ^2(1 + £). (2.53)

К 2 К 2

Реакции в точках контакта с опорными поверхностями I и II и между пружинами и массами т} и т2 могут быть обнаружены при использовании принципа суперпозиции. Найдем статические реакции при одновременном действии сил и Р2:

К =К' , К» = (К2 + К3)К1 Р1 ± (К1К2)Р2 .

2 37 1 1 ±ч 1 27 2 ; (2.54)

А0 А0

Яв = Я'в + ^ = ± РКз(К + к2). (2.55)

ВДВ. . V

А0 А0

Соответственно = К + ^М = 1^1; К = ^Вх + ^ | = 1^1. На рис. 2.10 показана последовательность преобразования начальной расчетной схемы (см. рис. 2.9) с учетом особенностей соединения упругих элементов (в данном случае вес не учитывается, это будет сделано в дальнейшем; Р} и Р2 - просто постоянные силы).

т.

У

V

т. Л т. Л,

А +

84

б т

V

1 тт. Л, А2

А

к

т. В

т

: У2

К

»т. В

г У 2

т. Л т. В

т

т. В т. В,

^-^

А 4

г. л-

т

II