Развитие метода поверхностных гармоник для решения задач нейтронной пространственной кинетики в ядерных реакторах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Кондрушин, Антон Евгеньевич

• Кондрушин, Антон Евгеньевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Кондрушин, Антон Евгеньевич

Оглавление

Введение

Глава 1 Обзор литературы

1.1 Общие уравнения

1.2 Обзор проекционно-сеточных методов решения уравнения переноса нейтронов

1.2.1 Метод конечных элементов

1.2.2 Метод граничных элементов

1.2.3 Метод конечных суперэлементов Федоренко

1.2.4 Метод матриц отклика

1.3 Метод поверхностных гармоник

1.3.1 Основы метода поверхностных гармоник и определения

1.3.2 Обзор программных комплексов SUHAM и SVS

1.3.3 Обзор работ по нестационарным уравнениям Mill

1.4 Обзор методов решения нестационарного уравнения переноса нейтронов

1.4.1 Полностью явный метод

1.4.2 Полностью неявный метод

1.4.3 8-метод

1.4.4 Метод переменных направлений

1.4.5 Улучшенный квазистатический метод

1.4.6 SCM метод

1.5 Обзор программ для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов

Заключение к главе 1

Глава 2 Нестационарные уравнения метода поверхностных гармоник

2.1 Двумерные нестационарные уравнения Mill'

2.1.1 Поверхностная невязка

2.1.2 Объемная невязка

2.1.3 Вывод уравнений Mill

2.2 Одномерные уравнения Mill

2.3 Итерационная схема

Заключение к главе 2

Глава 3 Программный комплекс SUHAM-TD и его верификация

3.1 Программный комплекс SUHAM-TD

3.2 Верификация программного комплекса SUHAM-TD

3.2.1 Тест BSS-6

3.2.2 Тест PHWR

3.2.3 Тест TWIGL

3.2.4 Модифицированный тест 8-А1

3.2.5 Транспортный тест TWIGL

Заключение к главе 3

Глава 4 Разработка и расчет пространственно-временного бенчмарка C5G7-TD для тестирования кинетических нейтронно-физических кодов

4.1 Обзор пространственно-временных бенчмарков

4.2 Описание бенчмарка C5G7

4.3 Расчет кинетических характеристик для теста C5G7-TD

4.4 Законы ввода реактивности для теста C5G7-TD

4.5 Результаты моделирования теста C5G7-TD

Заключение к главе 4

Заключение

Обозначения

Список литературы

Приложение А Копии свидетельств о регистрации модулей SUHAM-TD

Приложение Б Результаты расчета теста BSS-6

Приложение В Результаты расчета теста PHWR

Приложение Г Результаты расчета теста TWIGL

Приложение Д Результаты расчета теста C5G7-TD

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие метода поверхностных гармоник для решения задач нейтронной пространственной кинетики в ядерных реакторах»

Введение

Развитие современной атомной энергетики требует повышенного внимания к характеристикам надежности и безопасности ядерных реакторов. Это внимание обуславливается наличием потенциальной возможности возникновения аварии и значительными затратами при строительстве атомных станций, по причине проектирования с запасом с целью предотвращения потенциально возможных аварий. Важнейшую роль в проектировании надежных, безопасных и вместе с тем экономически выгодных ядерных реакторов играет проведение исследовательских и проектных расчетов, позволяющих приблизится к оптимальному соотношению этих показателей. При этом важнейшее значение имеет проведение качественного нейтронно-физического расчета.

В последние годы все большее внимание уделяется развитию кодов, позволяющих проводить нестационарный расчет ядерного реактора. Это связано с наличием факта, что большинство существующих на данный момент нестационарных кодов содержит ряд серьезных приближений в своей нейтронно-физической составляющей на фоне высоких требований к безопасности реакторов. К таким приближениям в первую очередь относятся пространственная гомогенизация, расчет в малом числе энергетических групп, диффузионное приближение, а также применение разного рода поправок, полученных расчетно-экспериментальным путем и призванных уменьшить ошибки в моделировании по заложенной в расчет математической модели (например [1, 2]). Вместе с тем, следует также отметить, что ряд исследователей (например, [3-5]) указывает на возможность получения улучшенных результатов путем решения более универсального газокинетического уравнения, особенно для анализа безопасности. Результаты, полученные таким путем, позволили бы обрести большую уверенность в качестве получаемых результатов. Таким образом, можно заключить, что существует необходимость в создании нестационарных

нейтронно-физических программ, в алгоритмы которых не заложены вышеуказанные приближения.

Как известно, оперативность моделирования процесса переноса нейтронов главным образом зависит от сложности рассматриваемой модели (геометрические размеры, детальность описания, система приближений и т.д.), производительности вычислительной машины и метода, заложенного в основу моделирующего кода. Отказ от вышеизложенных приближений приводят к значительному усложнению математической модели и увеличению размера решаемой системы уравнений, что напрямую влияет на вычислительные затраты. Вместе с этим, несмотря на очень интенсивное развитие компьютерной техники в последние десятилетия, моделирование нестационарного процесса переноса нейтронов в полномасштабной модели ядерного реактора без вышеперечисленных приближений является трудоемкой задачей даже для современных компьютеров. Что касается методов моделирования переноса нейтронов, то наиболее широко используемые на сегодняшний день методы, такие как метод дискретных ординат, метод характеристик, метод вероятности первых столкновений, метод Монте-Карло и т.д., требуют больших вычислительных затрат. При этом, применение кода, основанного на методе, позволяющем быстро получать основные нейтронно-физические функционалы в нестационарном расчете с достаточной для практики точностью, могло бы повысить оперативность получения результатов и позволило бы применять его для сложных масштабных моделей с умеренными вычислительными затратами. Таким образом, по-прежнему является актуальной проблема развития эффективных и вместе с тем экономичных алгоритмов.

В качестве метода, который мог бы лежать в основе нейтронно-физической составляющей современного нестационарного кода, обладающего вышеизложенными характеристиками, предлагается использовать предложенный Н.И. Лалетиным [6-10] метод поверхностных гармоник (Mill').

Главной причиной для обращения к Mill стал тот факт, что данный метод, реализованный в стационарных программных комплексах SUHAM [11, 12] и

5

SVS [13], позволяет получать основные нейтронно-физические функционалы с точностью сравнимой с точностью детерминистических методов при вычислительных затратах сравнимых с затратами инженерных подходов. Данные свойства Mill проявил как при расчете классических сильно идеализированных бенчмарков, так и при расчете моделей как проектируемых (БРЕСТ-ОД-ЗОО, БН-1200 [14], ГТ-МГР [15]), так и реальных реакторов (РБМК-1000 [14], ВВЭР-1000 [16, 17]). Данный метод реализован в одно-, двух- и трехмерной геометриях [14, 17], в системах с квадратной и треугольной решеткой. Все это позволяет рассматривать Mill' как хорошо апробированный и состоявшийся метод, проявивший свои положительные черты на широком классе реакторных задач. Кроме этого, Mill' очень удобен для применения алгоритмов параллельных вычислений [18].

Для применения Mill в нестационарных задачах необходимо провести детальный математический вывод нестационарных уравнений Mill и их верификацию посредством программной реализации и расчета ряда бенчмарков.

Вышеописанная ситуация делает актуальной работу по развитию Mill' на задачи пространственно-временной кинетики, созданию алгоритмов и кода для их программной реализации, которые можно было бы рассматривать как базовое ядро для создания современного вычислительного инструмента.

Здесь следует заметить, что верификация такого кода на этапе разработки осложняется следующей проблемой. Существующий на сегодняшний день набор пространственно-временных бенчмарков содержит своего рода пробел. С одной стороны существует ряд классических диффузионных бенчмарков (например, TWIGL [19], 8-А1 [20]) представляющих собой несколько гомогенных зон и содержащих диффузионные нейтронно-физические константы в виде малогрупповых макроконстант и прочих величин. Такие тесты не позволяют провести верификацию программы, проводящей расчеты без пространственной гомогенизации и без диффузионного приближения. С другой стороны, имеется набор бенчмарков, которые описывают гетерогенную структуру среды, содержат концентрации нуклидов в качестве характеристик материалов, включают в себя

6

характеристики обратных связей и т.д. Например, к таким задачам можно отнести PWR MOX/UO2 core transient benchmark [21], PBMR coupled neutronics/thermal-hydraulics transient benchmark the PBMR-400 core design [22]. Результаты их расчетов содержат дополнительные погрешности (погрешность ядерных данных, погрешности тепло-гидравлических кодов и другие) что не позволяет выделить погрешность метода, заложенного в основу нейтронного кода.

Тест, описывающий гетерогенную среду, содержащий заданные нейтронно-физические макроконстанты материалов для решения уравнения переноса нейтронов без диффузионного приближения и обратных связей, позволил бы избежать излишних сложностей при верификации и мог бы дать больше возможностей для верификации непосредственно метода. Задача с такого рода характеристиками позволяет выделить методическую составляющую погрешности.

Исходя из вышеописанных проблем, формируется цель диссертационной работы — разработка алгоритмов и расчетных программ для решения нейтронно-физических пространственно-временных задач в ядерных реакторах на основе метода поверхностных гармоник для повышения надежности, точности и оперативности предсказания важнейших нейтронно-физических нестационарных характеристик ядерного реактора. Для достижения этой цели решены следующие задачи:

1. проведение детального вывода пространственно-временных уравнений метода поверхностных гармоник посредством классического метода минимизации невязки на основе нестационарного уравнения переноса нейтронов;

2. построение численного алгоритма решения нестационарного уравнения переноса нейтронов в одномерном и двумерном ядерном реакторе на основе полученных уравнений Mill;

3. программная реализация разработанных алгоритмов в рамках программного комплекса SUHAM-TD [23];

4. верификация созданного кода и проведение с его помощью исследований применения метода поверхностных гармоник в пространственно-временном расчете;

5. разработка нестационарного бенчмарка C5G7-TD для решения уравнения переноса на основе стационарного бенчмарка C5G7 (benchmark on deterministic transport calculations without spatial homogenization) [24] посредством получения нестационарных характеристик материалов. Проведение расчета предложенного бенчмарка средствами программного комплекса SUHAM-TD.

Научная новизна результатов, представленных в работе, состоит:

• в разработке алгоритмов и их реализации в расчетной программе SUHAM-TD для решения одномерных и двумерных конечно-разностных нестационарных уравнений Mill в ядерных реакторах с квадратной решеткой;

• в проведении верификации разработанного кода SUHAM-TD на ряде бенчмарков с демонстрацией эффективности уравнений и разработанного кода;

• в создании пространственно-временного бенчмарка C5G7-TD для решения уравнения переноса на основе международного стационарного бенчмарка C5G7 с приведением результатов расчета.

Достоверность полученных результатов. Разработанные алгоритмы реализованы в программном комплексе SUHAM-TD и верифицированы на ряде пространственно-временных бенчмарков в одномерной и двумерной геометриях с различными сценариями ввода реактивности в систему. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами, полученными другими методами и программами, как автором, так и другими научными коллективами.

Практическая ценность полученных результатов определяется тем, что: • полученные нестационарные уравнения Mill могут быть применены для любого типа реакторов с квадратной регулярной решеткой блоков;

• разработанные алгоритмы и модули программного комплекса SUHAM-TD предлагаются в качестве базового ядра для создания современного вычислительного инструмента для анализа нейтронных переходных процессов;

• созданный пространственно-временной бенчмарк C5G7-TD предоставляет возможность для кросс-верификации любых пространственно-временных кодов с возможностью исследования эффекта гомогенизации и применения диффузионного приближения в нестационарном случае.

Личный вклад автора. Диссертант является соавтором научных работ по теме исследования и все основные результаты диссертации получены при непосредственном участии автора, а именно:

• нестационарные уравнения Mill и расчетные алгоритмы, реализованные в созданных кодах;

• разработанный программный комплекс SUHAM-TD за исключением программ РАЦИЯ [25], DICPN [26];

• верификационные исследования разработанного алгоритма и программ;

• созданный нестационарный тест C5G7-TD и его расчет по программе SUHAM-TD.

На защиту выносятся

• алгоритмы решения нестационарных уравнений Mili с тремя пробными матрицами, реализованные в созданных кодах, для случая реактора с квадратной решеткой блоков;

• разработанные программы комплекса SUHAM-TD;

• результаты верификации разработанного программного комплекса;

• созданный пространственно-временной бенчмарк C5G7-TD.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на следующих российских и международных конференциях, школах и семинарах:

• межведомственный ежегодный семинар по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики «Нейтроника-2010» (г. Обнинск, 26 - 28 октября 2010 г.);

• 8-ая Курчатовская молодежная научная школа (г. Москва ,22 - 25 ноября 2010 г.);

• международная конференция по физики ядерных реакторов «PHYSOR» (г. Ноксвилл, Теннесси, США, 15-20 апреля 2012 г.);

• научная сессия НИЯУ МИФИ (г. Москва, 1-6 февраля 2013 г.);

• международная конференция по математическому моделированию и расчету ядерных реакторов «М&С» (г. Сан-Валли, Айдахо, США, 5-9 мая 2013 г.);

• межведомственный ежегодный семинар по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики «Нейтроника-2013» (г. Обнинск, 6 — 8 ноября 2013 г.);

• 11-ая Курчатовская молодежная научная школа (г. Москва, 12-15 ноября 2013 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы две статьи в рецензируемом научном журнале «Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 122 наименований и пяти приложений, содержит 171 страницу, 66 таблиц и 34 рисунка.

Первая глава содержит краткий обзор проекционно-сеточных методов, нашедших применение для решения нейтронно-физических задач, к которым относится и метод поверхностных гармоник. Дано краткое описание МПГ. Описаны программные комплексы SUHAM и SVS с рассмотрением круга основных решенных ими задач. Приведен краткий обзор методов для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов и работ по нестационарным уравнениям Mill. Дан краткий обзор основных современных недиффузионных нестационарных нейтронно-физических кодов для расчета реакторной кинетики.

Во второй главе приведен детальный вывод двумерных нестационарных конечно-разностных уравнений Mill для квадратной решетки блоков посредством применения процедуры минимизации невязки. Приведен результат вывода одномерных уравнений. Проведено построение итерационной схемы.

Третья глава посвящена описанию созданного программного комплекса SUHAM-TD и его верификации на классических пространственно-временных бенчмарках. Проводится исследование применения Mill в нестационарном случае и демонстрация его эффективности.

В четвертой главе приводится описание созданного пространственно-временного бенчмарка C5G7-TD. Приведено описание алгоритма расчета кинетических параметров. Представлены результаты расчета предложенного бенчмарка посредством программного комплекса SUHAM-TD.

Глава 1 Обзор литературы

1.1 Общие уравнения

Данная глава посвящена обзору методов и программ для решения одной из

основных задач анализа нейтронных переходных процессов в ядерном реакторе, а

именно решению нестационарного уравнения переноса нейтронов с

запаздывающими нейтронами [27]: t я

———X|/(r, Я Е, 0 + £1 Vv|/(r, a Е, t) + 2, (г, Е, Оу(г, П, Е, t) = \(Е) а

= (1.1)

4/г

+ h^l fdE> J1 -P(r,E'))vXf (г,Ov(r,П',Е',t) + l-£x (г,О

¡я J.I

~CJ(r,t) = -XJCJ(rj) + jdE'jdSl^(r,E')vi:f(r,E',tMr^'^',t). (1.2)

" 4ж

где v(£) — скорость нейтронов с энергией Е, \\i(r,Q,E,t) - функция распределения нейтронов, E,(r,E,t) - полное макроскопическое сечение взаимодействия, Es(г,-> Е,£1' -» i2,t) - макроскопическое сечение рассеяния, qextem(r,Sl,E,t) -внешний источник нейтронов, ip(E) - спектр мгновенных нейтронов деления, Р(г,Е) - доля запаздывающих нейтронов, S7(r, E,t) - макроскопическое сечение деления нейтронов, v - число вторичных нейтронов на акт деления, %dJ(E) -спектр запаздывающих нейтронов в j-ой группе запаздывающих нейтронов, -

постоянная распада предшественников запаздывающих нейтронов группы j, Cj(r,t) - концентрация предшественников запаздывающих нейтронов группы j.

Запишем данные уравнения с использованием группового энергетического приближения и транспортного приближения при учете анизотропии рассеяния:

а 471

X, J

¿O-P^WjJdllVS^ir.O^ir.tl'.O

(r ,0 = -X^C, (r,t) + ¿pXg (r) Jdil'vS /g (r.O^g (r, H',f). (1 -4)

где vOTV - диагональная матрица, элементами которой являются обратные скорости, операторы L и К имеют следующий вид:

G

I

_g=l А я

4 ж

Для обеспечения единственности решения системы уравнений (1.3) и (1.4) дополнительно ставится граничное условие на границе расчетной среды Vs

Т(г,П,0 = Т,(г,П,0, (1.5)

и начальное условие

Т(г,П,0) = Т0(г,П). (1.6)

Далее в работе будет рассматриваться система уравнений (1.3-1.6) описывающая пространственно-временную кинетику в ядерном реакторе.

Как уже было отмечено, данная глава посвящена анализу методов и программ, используемых для решения задачи (1.3-1.6). Так как решению нестационарной задачи предшествует решение стационарной задачи, то проводится обзор методов решения стационарной формы уравнения переноса нейтронов (1.3). При этом внимание уделяется только методам, принадлежащих, как и Mill, к классу проекционно-сеточных методов [28, 29], что позволяет рассмотреть метод поверхностных гармоник в совокупности с методами из этого класса. Приводится описание основ Mill и его текущей реализации. Приводится краткий анализ работ по нестационарным уравнениям Mill. Также рассматриваются методы решения нестационарного уравнения переноса и наиболее известные современные нейтронно-физические программы, проводящие пространственно-временные расчеты переходных процессов в ядерном реакторе.

1.2 Обзор проекционно-сеточных методов решения уравнения переноса нейтронов

Одна из основных идей Mill, а именно поиск решения краевой задачи в виде линейной комбинации пробных функций и некоторых коэффициентов, является широко распространенным подходом и реализуется в классе методов, называемых проекционными {projection methods) [30, 31]. Для описания сути этих методов будим их рассматривать на примере односкоростного диффузионного уравнения

23У2\|/(г)-£0\|/(г)+д(г)= 0 (1.7)

с граничным условием

¥(r) = Vs(r), reVs, (1.8)

где D - коэффициент диффузии нейтронов, Vs — граница расчетной области V.

Идея проекционных методов заключается в том, что точное решение у(г) краевой задачи (1.7), (1.8) ищется в виде функции ср(г) удовлетворяющей граничным условиям (1.8) и являющейся линейной комбинацией пробных (базисных) функций:

У(г)«ф(г) = Хс,ф((г), (1.9)

/= 1

где с, - неизвестные коэффициенты, <р,(г)(/ = 1,2,...,/) - пробные функции или базисные функции (базис). Пробные функции должны быть линейно независимыми [32]. Данный подход поиска решения краевых задач является альтернативным подходом [32] по отношению к конечно-разностному методу (МКР) [33]. Необходимо отметить, что характер получаемого решения в определенной степени определяется характером пробных функций.

В качестве преимущества проекционных методов можно отметить, что в проекционных методах решение находится сразу во всей области изменения независимых переменных, а не в отдельных точках.

Проекционные методы отличаются по способу поиска коэффициентов сп в (1.9). Их подразделяют на вариационные методы (например, метод Релея-Ритца (Rayleigh-Ritz method) [32]) и методы взвешенных невязок {method of weighted residuals, MWR). К последним относят, например, метод коллокаций {collocation method) [32, 34] и метод Галеркина {Galerkin weighted residual method) [32, 34].

Проекционно-сеточные методы, о которых далее пойдет речь, являются своего рода синтезом проекционных и разностных методов. Их преимущество заключается в том, что к плюсам проекционных методов добавляется то, что эти алгоритмы приводят к «системам уравнений, подобным возникающим в разностных методах (т.е. незначительное число элементов матриц этих систем были бы ненулевыми)» [28, с. 17]. Для получения данных методов, достаточно в проекционных методах в качестве базисных функций <p,(r)(/ = l,2,...,/) брать финитные функции, т.е. функции, которые отличны от нуля лишь на небольшой части расчетной области решаемой задачи, что приводит к системе некоторых разностных уравнений, близкой к системе, возникающей в разностном методе [28].

Интерес к рассмотрению этих методов в контексте данной работы вызван тем, что вышеописанное свойство проекционно-сеточных методов, является одним из базовых моментов Mill. Здесь кратко рассмотрим проекционно-сеточные методы, более полно нашедшие применение в нейтронно-физических расчетах ядерных реакторов, а именно метод конечных элементов [32], метод граничных элементов [35], метод конечных суперэлементов Федоренко [36] и метод матриц отклика [37].

1.2.1 Метод конечных элементов

В методах Релея-Ритца и Галеркина пробные функции ср,(г) обычно

являются полиномами и чтобы повысить точность расчета необходимо

15

увеличивать степень этих полиномов, что в свою очередь ведет к повышению сложности алгоритма. Как альтернативу этому можно рассматривать возможность разделения всей расчетной области на подобласти (конечные элементы), что позволяет повысить точность расчета при сохранении порядка пробных функций Ф,(г), благодаря учету свойств элементов по отдельности. Т.е. «сплошная среда разбивается на ряд элементов, которые можно рассматривать как конкретные ее части» [35, с.9]. Это является фундаментальной идеей метода конечных элементов {МКЭ, finite element method, FEM) [32].

Рассмотрим основные моменты данного метода. В МКЭ расчетная область V разбивается на элементы Vn. В результате глобальное решение ф(г) представляет собой сумму решений по всем элементам:

Ф(г) = 2»)- (1.10)

п

Внутри п-то элемента функция ф„(г) ищется в виде следующей линейной комбинации

Ф.М-Е^/РЛГ). (1-11)

(=i

В литературе функции ф„,(г) часто называют функциями формы {shape functions)

[32]. Функции формы равны нулю за пределами рассматриваемого элемента и должны быть линейно независимыми. Точки пересечения границ элементов называют узлами.

Отметим, что МКЭ «может основываться как на вариационных принципах, так и на более общих выражениях метода взвешенных невязок» [35, с.9]. Таким образом, для получения уравнений МКЭ используется как метод Релея-Ритца, так и метод Галеркина, основанные на идее наличия некого функционала J который зависит от коэффициентов с„ , [32]. В случае МКЭ вместо всей расчетной области

с функционалом J (с J рассматриваются элементы с функционалами Jn(cn,¡) которые

в сумме равны J. Первым способом для получения уравнений МКЭ является

метод Релея-Ритца при котором, для каждого т-го узла получают узловое

уравнение {nodal equation), которое имеет вид:

16

dJ_ = ydJü_ =

(1.12)

где п — номер элемента, содержащего т-ый узел. Все узловые уравнения собираются в одно матричное уравнение, которое называется уравнением системы (system equation).

Другой способ для получения уравнений МКЭ - метод Галеркина. В этом случае общий интеграл системы

где Wj(г) — j-ая весовая функция, i?(r) — невязка, получаемая при подстановке в

решаемое уравнение приближенного решения (1.10). В качестве весовых функций Wj О) выбираются функции формы ср„,(г) [32] и получают систему

уравнений для п-то элемента (element equations):

Уравнения (1.14) называются уравнениями элементов (element equations). В качестве альтернативы также возможно получение узловых уравнений. Можно отметить, что уравнение узла может быть получено комбинацией соответствующих уравнений элементов. Необходимо отметить, что в двух- и трехмерных случаях использование уравнений элемента существенно проще, чем узловых уравнений [32].

Важно отметить, что МКЭ позволяет работать с областями произвольной формы. Особенностью МКЭ является то, что в нем можно использовать неравномерные сетки. Такие сетки могут быть статичными, т.е. неизменными в течение всего расчета, а могут быть динамичными, т.е. изменяться по мере расчета, отслеживая особенности результатов. Это делает МКЭ очень гибкой технологией для систем с произвольной геометрией.

Если рассматривать применение МКЭ для уравнения (1.7) с применением метода Галеркина, то отправной точкой является ослабленная формулировка

(1.13)

V

(1.14)

V.

{weak form) [38] уравнения (1.7) которую можно получить, применяя первую формулу Грина [39]:

8v

juAvdV = ffu-dS-f(Vu;Vv)dV,

s дп V

(1.15)

где V - некоторый объем, ограниченный достаточно гладкой поверхностью Я, и = и{г) и у = у(г) - функции, непрерывные вместе со своими первыми производными в внутри V + 5 и имеющие непрерывные вторые производные внутри п — внешняя нормаль к поверхности 5. Таким образом, имеем следующую ослабленную формулировку уравнения (1.7):

| (7^(г);Уф(г))+Ь-^(г)ф(г)-1^(г)«(г) ОУ-= 0. (1.16)

Следует также отметить, что, как правило, в роли функций формы выступают полиномы [40].

Поясним необходимость применения ослабленной формулировки. Применение метода взвешенных невязок Галеркина накладывает различные требования на непрерывность функции ср(г) и на ее производные. Применение данного метода «напрямую» к уравнению (1.7) требует, чтобы функция ср(г) была

интегрируема с квадратом второй производной, т.е.

J

'¿V

\dr2 j

dV <оо.

(1.17)

При этом весовой функции достаточно быть лишь интегрируемой с квадратом, т.е.

¡w/dV< оо. (1.18)

к

Отметим, что во многих случаях предпочтительнее снижать степень непрерывности искомой функции, что в данном случае делается посредством применения первой формулы Грина. В результате имеем, что функции wy(r) и

ф(г) должны быть непрерывными вместе со своими первыми производными. Одинаковое требование непрерывности к функциям Wj{г), ф(г) позволяет

использовать одни и те же базисные функции при их разложении, что приводит к симметричным матрицам [35].

Первое применение метода конечных элементов к теории диффузии нейтронов, как отмечается в [38], датируется 1970-и годами. Эти разработки в области применения МКЭ к диффузии нейтронов и в частности к уравнениям переноса были обобщены и описаны в [41-43]. МКЭ реализован в ряде программ нейтронно-физического расчета и здесь отметим лишь некоторые из них:

В отличие от МКЭ, который использует дискретное представление, как самой области, так и ее границы, метод граничных элементов (МГЭ, boundary element method, ВЕМ) основывается на дискретном представлении лишь внешней границы [35]. Если в случае МКЭ используется ослабленная формулировка, снижающая порядок производной на единицу по отношению к исходной задаче, то в МГЭ используется обратная формулировка, которая снижает порядок производной искомой функции еще на единицу, но при этом имеется повышение порядка производной весовой функции. Для получения обратной формулировки уравнения (1.7) применим вторую формулу Грина [38]

где V, S, и = и(г), v = v(r), п - те же что и для (1.15). Зная, что ток нейтронов на поверхности равен

NEDPCM [38], FTRAN, FTRAN2 [44, 45], EVENT [46].

1.2.2 Метод граничных элементов

(1.19)

(1.20)

получим

J w(r)[z)V2cp(r)- Еа(р(г)+ #(r)}iF = 0,

J[<p(r)v4r)- w(r)zMr)+ Hrk(r)W + Я(-^Лг) - Ф(г = 0. (1.21)

В качестве весовой функции применяются функция Грина G(г,р) исходного уравнения

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кондрушин, Антон Евгеньевич, 2014 год

Список литературы

1. Ковалишии А.А. Алгоритмы и программные комплексы для расчетного анализа ядерных реакторов на основе эффективных методов решения уравнения переноса : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 05.13.18 - М., 2011.

2. Краюшкин А.В. Разработка и внедрение нестационарных математических моделей реактора РБМК : дис.... д-ра тех. наук : 05.13.18 - М., 2007.

3. Tyobeka В., Pautz A., Ivanov К. Application of Time-Dependent Neutron Transport Theory to High-Temperature Reactors of Pebble Bed Type // Nuclear Science and Engineering. - 2011. - Vol. 168. - P. 93-114.

4. Taylor J.B. The Development of a Three-Dimensional Nuclear Reactor Kinetics Methodology based on the Method of Characteristics, Ph.D. Thesis in Nuclear Engineering, Pennsylvania State University, 2007.

5. Pautz A., Birkhofer A. DORT-TD: A Transient Neutron Transport Code with Fully Implicit Time Integration // Nuclear Science and Engineering. - 2003. -Vol. 145.-P. 299-319.

6. Ельшин A.B., Лалетин Н.И. Поперечная диффузия нейтронов в плоской решетке. Препринт ИАЭ-2721, М., 1976.

7. Лалетин Н.И., Ельшин А.В. Вывод конечно-разностных уравнений гетерогенного реактора. 1. Квадратная решётка блоков, Препринт ИАЭ-3280 5, Москва, 1980.

8. Лалетин Н.И., Ельшин А.В. Вывод конечно-разностных уравнений гетерогенного реактора. 2. Квадратная, треугольная и двойная решётки блоков, Препринт ИАЭ-3280 5, Москва, 1981.

9. Лалетин Н.И. Об Уравнениях Гетерогенного Реактора // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. - 1981. — Вып. 5 (18).-С. 31-46.

lO.Laletin N.I. Basic Principles for Developing Equations for Heterogeneous Reactors - A Modification of the Homogenization Method // Nuclear Science and Engineering. - 1983. - Vol. 85. - P. 133-138.

1 l.Boyarinov V.F. SUHAM-2.5 Code for Solving 2D Finite-Difference Equations of the Surface Harmonics Method in Square and Triangular Lattices / Proceeding of Annual Meeting on Nuclear Technology'99, Karlsruhe, Germany, May 18-20, 1999.-P. 23-26.

12.Boyarinov V.F., Davidenko V.D., Polismakov A.A. et. al. New Code System SUHAM-U-WER-01. Description and Verification Calculations of VVER-1000 Fuel Assemblies with Uranium and MOX Fuel. International Topical Meeting on Mathematics and Computation, Supercomputing, Reactor Physics and Biological Application, M&C-2005, Palais des Papes, Avignon, Franse, September 12-15, 2005, Proceeding on CD.

13.Laletin N.I., Kovalishin A.A., Sultanov N.V. et al. Complex SVS for neutron-physical calculations in uranium-water reactors, Int. Conf. on Mathematics and Computations, Supercomputing, Avignon, France, Sep. 12-15,2005.

14.Бояринов В. В. Разработка алгоритмов и программ решения уравнения переноса в ядерных реакторах методом поверхностных гармоник: автореф. дис.... д-ра тех. наук : 05.13.18-М., 2009.

15.Бояринов В.Ф., Фомиченко П.А. Исследование некоторых моделей и приближений, применяемых при расчете ТВС ГТ-МГР // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов. - 2010. Вып. 1. С. 59 -67.

16.Бояринов В.Ф. Верификация комплекса программ SUHAM-2D на бенчмарк-расчетах ТВС ВВЭР-1000 с урановым и МОХ топливом // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов. - 2009. - Вып. 2. - С. 59-74.

17.Laletin N.I., Kovalishin A.A., Sultanov N.V. et. al. Some results of the verification calculations by the SVL code for the VVER subassemblies, Proc. of PHYSOR-2006, Vancouver, ВС, Canada, September 10-14, 2006.

18.Ковалишин A.A., Лалетин Н.И., Султанов H.B. Использование методов МППИ и Mill эффективный и весьма подходящий для распараллеливания путь расчетов ядерных реакторов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. - 2002 -Вып. 4-С. 11-21.

19.Hageman L.A., Yasinsky J.B. Comparison of Alternating-Direction Time-Differencing Methods with Other Implicit Methods for the Solution of the Neutron Group-Diffusion Equations // Nuclear Science and Engineering. -1969.-Vol. 38.-P. 8-33

20.Argonne Code Center: Benchmark Problem Book. ANL-7416, 1968, last rev. Dec. 1985.

21.Kozlowski Т., Downar TJ. PWR M0X/U02 Core transient benchmark. Final report, NEA/NSC/DOC, 2006(20).

22.PBMR coupled neutronics/thermal-hydraulics transient benchmark the PBMR-400 core design, NEA/NSC/DOC(2013)10.

23.Boyarinov V.F., Kondrushin A.E., Fomichenko P.A. Surface harmonics method for two-dimensional time-dependent neutron transport problems of square-lattice nuclear reactors. Proc. of International Conference on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering (M&C 2013), Sun Valley, Idaho, May 5-9,2013.

24.Benchmark on Deterministic Transport Calculations Without Spatial Homogenisation - MOX Fuel Assembly 3-D Extension Case, NEA/NSC/DOC(2005) 16.

25.Султанов H.B. Многогрупповая программа расчета цилиндрической ячейки "РАЦИЯ". Препринт ИАЭ 3536/5, М., 1982.

26.Boyarinov V.F., Elchine A.V. Spherical Harmonics Method for Calculation of Antisymmetric Trial Functions in Nuclear Reactor Cells. Proc. of 12-th Meeting on the Reactor Physics Problems. "Volga-2002", 2002, Moscow, September 2-6, P. 207-209.

27.Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных ректоров М.: Атомиздат, 1974.

28.Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

29.Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981.

30.Даугавет И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. СПб.: БХВ-Петербург, 2006.

31.Неег В., Maussner A. Dynamic general equilibrium modeling: computational methods and applications. Springer, 2009.

32.Hoffman J.D. Numerical Methods for Engineers and Scientists, second ed. Boca Raton, London, New York: CRC Press, 2001.

33.Самарский A.A. Теория разностных схем. M.: Наука, 1977.

34.Heath М.Т. Scientific Computing: An Introductory Survey, second ed., New York: McGraw-Hill, 2002.

35.Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Метод граничных элементов. М.: Мир, 1987.

36.Страховская Л.Г., Федоренко Р.П., Об одном варианте метода конечных элементов // Вычислительная математика и математическая физика. - 1979. -19. 4.-С. 950-960.

37.Shimizu A., Monta К., Miyamoto Т. Application of the Response Matrix Method to Criticality Calculations of One-Dimensional Reactors // Journal of the Atomic Energy Society of Japan. - 1963. - Vol. 5 (5). - P. 369.

38.Cavdar S., Ozgener H.A. A finite element boundary element hybrid method for 2-D neutron diffusion calculations // Annals of Nuclear Energy. - 2004. - Vol. 31.-P. 1555-1582.

39.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва, 1953.

40.Azmy Y., Sartori Е. Nuclear computational science: a century in review, Eds. Springer, Dordrecht, 2010.

41.Lewis E.E., Finite element approximations to the even-parity transport equation // Advances in Nuclear Science and Technology. - 1981. - Vol. 13. - P. 155.

42.Martin W.R. The application of the finite element method to the neutron transport equation. PhD dissertation, The University of Michigan, Ann Arbor, Michigan, 1976.

43.Слесарев И.С., Сироткин A.M. Вариационно-разностные схемы в теории переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1978.

44.Martin W.R., Yehnert С.Е., Lorence L. et al. Phase-space finite element methods applied to the first-order form of the transport equation // Annals of Nuclear Energy. - 1981. - Vol. 8. - P. 633 - 646.

45.Rathkopf J.A., Martin W.R. The finite element response matrix method for the solution of the neutron transport equation // Progress in Nuclear Energy. - 1986.-Vol. 18, n. 1/2, P. 237-250.

46.De Oliveira C.R.E., Goddard A.J.H. EVENT: A Multidimensional Finite Element Spherical Harmonics Radiation Transport Code, in 3D Deterministic Radiation Transport Computer Programs, Paris, France, December 2-3, 1996.

47.0zgener В., Isikli H. A quadratic boundary element formulation for neutron diffusion equation // Turkish Journal of Physics. - 2002. - Vol. 26. - P. 225 - 228

48.Dulla S., Ravetto P., Han S., Alcaro F., Development of a model for core dynamics-neutronics, CERSE-UNIBO RL 1258/2010.

49.1tagaki M. Boundary element methods applied to two-dimensional neutron diffusion problems // Journal of Nuclear Science and Technol. - 1985. - Vol. 22 (6), P. 565-583.

50.Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. Об одной специальной разностной схеме. В сб. «Числ. методы механ. сплошной среды». Т. 7. №4. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1976,149 - 163.

51.Galanin М., Lazareva S., Savenkov Е. Fedorenko Finite Superelement Method and its Application // Computational methods in applies mathematics. - 2007. -Vol. 7, no.l. - P. 3 —24.

52.Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М., Издательство Московского физико-технического института, 1994.

53.Roberts J.A, Forget В. Solving Eigenvalue Response Matrix Equations With Jacobian-free Newton-Krylov Methods. International Conference on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering (M&C 2011) Rio de Janeiro, RJ, Brazil, May 8-12, 2011, on CD-ROM.

54.Casal J.J., Stammler R.J.J., Villarino E.A. and Ferri A.A. HELIOS: Geometric capabilities of a new fuel-assembly program / International Topical Meeting on Advances in Mathematics, Computations and Reactor Physics. Pittsburg, Pennsylvania, USA, April 28 -May 2,1991, Vol. 2, p. 10.2.1 1-13.

55.Кочуров Б.П. О расчете гетерогенного реактора в дипольном приближении. Препринт ИТЭФ-141, М., 1976.

56.Кочуров Б.П., Малафеев В.М. Разностный подход к решению уравнений гетерогенного реактора // Атомная энергия. - 1977. - т. 42, вып.2 - с. 87.

57.Кочуров Б.П. Численные методы в теории гетерогенного реактора. М., Атомиздат, 1980.

58.Галанин А.Д. Теория гетерогенного реактора. М., Атомиздат, 1971.

59.Boyarinov V.F. SUHAM-2.5 Code for Solving 2D Finite-Difference Equations of the Surface Harmonics Method in Square and Triangular Lattices / Proceeding of Annual Meeting on Nuclear Technology'99, Karlsruhe, Germany, May 18-20, 1999, P. 23 -.26.

60.Boyarinov V.F., Davidenko V.D., Polismakov A.A. et al. New Code System

SUHAM-U-VVER-01. Description and Verification Calculations of VVER-1000

138

Fuel Assemblies with Uranium and MOX Fuel. International Topical Meeting on Mathematics and Computation, Supercomputing, Reactor Physics and Biological Application, M&C-2005, Palais des Papes, Avignon, Franse, September 12 - 15, 2005, Proceeding on CD.

61.Laletin N.I., Sultanov N.V., Boiarinov V.F., et al. WIMS-SU complex codes and SPEKTR code, Proc. PHYSOR-90, ANS/ENS, Marseille, 4, p. PV-148 - 157 (1990).

62. Askew J.R. et al. A General Description of the Lattice Code WIMS, JBWES, Oct. 1966.

63.Белоусов Н.И., Давиденко В.Д., Цибульский В.Ф. Программа UNK для детального расчета спектра нейтронов в ячейке ядерного реактора. Препринт ИАЭ-6083/4, М., 1998.

64.Boyarinov V.F., Fomitchenko Р.А. Use of the Surface Harmonics Method for Evaluation of Homogenization Effect for PWR-Type Lattices with MOX Fuel / Proceeding of International Conference "Mathematics and Computation, Reactor Physics and Environmental Analysis in Nuclear Applications", M&C-99, Madrid, Spain, September, 1999, vol. 2, P. 1780.

65.Бояринов В.Ф. Верификация комплекса программ SUHAM-2D на бенчмарк-расчетах ТВС ВВЭР-1000 с урановым и МОХ топливом // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов. - 2009. — Вып. 2. - С. 59-74.

66.Boyarinov V.F. Use of the Surface Harmonics Method for Calculation of 2D C5G7 MOX Benchmark // Progress in Nuclear Energy. - 2004. - Vol. 45. -No 2-4.-P. 133-142.

67.Бояринов В.Ф., Невиница B.A. Применение комплекса программ SUHAM-2D для расчета двумерного бенчмарк-эксперимента на сборке VENUS-2 с урановым и МОХ топливом // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов. - 2009. - Вып. 3. - С. 27-35.

68.Ковалишин А.А., Лалетин Н.И., Султанов Н.В. и др. Нейтронно-физический решетчатый код SVL., 15 семинар НЕЙТРОНИКА - 2004. Обнинск, ФЭИ, 26-29 октября.

69.Sultanov N.V. Verification of the SVL Code by Benchmark calculations for WER-1000 Pin cell with MOX fuel. Proc. Of Inter. Conf. Annual Meeting on Nuclear Technology 2004, CD-ROM, May 25-27 2004, Dusseldorf, Germany, 2004.

70.Laletin N.I., Kovalishin A.A., Sultanov N.V. et al. Some results of the verification calculations by the SVL code for the WER subassemblies, Proc. of PHYSOR-2006, Vancouver, ВС, Canada, September 10-14, 2006.

71.Краюшкин A.B., Гольцев A.O., Ковалишин А.А. и др. Применение метода поверхностных гармоник в программе расчета PBMK-STEPAN / Материалы 13 семинара по проблемам физики реакторов. — Москва, 2-6 сентября 2004 -С. 157-158.

72.Лалетин Н.И., Бояринов В.Ф., Султанов Н.В. Распространение метода поверхностных гармоник на задачи пространственной динамики. Тезисы докладов 8-го семинара по проблемам физики реакторов. Москва, МИФИ, б/о "Волга", 1993, т.1, С. 14-16.

73 .Бояринов В.Ф., Лалетин Н.И. Вывод конечно-разностных уравнений пространственной динамики в методе поверхностных гармоник. Препринт ИАЭ-5902/5, Москва, 1995 г.

74.Елыиин А.В., Лалетин Н.И. Метод поверхностных гармоник для получения уравнений для ценности нейтронов и уравнений пространственно зависимой кинетики гетерогенного реактора. Тезисы докладов 8-го семинара по проблемам физики реакторов. Москва, МИФИ, б/о "Волга", 1995.

75.Елынин А.В. Получение конечно-разностных уравнений гетерогенного реактора с пространственной кинетикой. Труды семинара "Алгоритмы и

программы . нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов Нейтроника-2006", 31 октября - 03 ноября 2006, г. Обнинск, на CD.

76.Елыпин А.В. Получение конечно-разностных уравнений гетерогенного реактора с пространственной кинетикой // Атомная энергия. — 2007. - т. 103, вып. 4. - С. 222-232.

77.Бояринов В.Ф. Конечно-разностные уравнения пространственной кинетики в методе поверхностных гармоник без запаздывающих нейтронов. Плоская одномерная решетка. Препринт ИАЭ-6369/5, Москва, 2005 г.

78.Бояринов В.Ф., Фомиченко П.А. Развитие вычислительного инструмента для расчета нестационарных процессов в высокотемпературном газоохлаждаемом реакторе ГТ-МГТ на основе метода поверхностных гармоник. Материалы XVI семинара по проблемам физики реакторов. Москва, 3-7 сентября 2010, М.: НИЯУ МИФИ, С. 34-37.

79. Sung Ki Chae. Review of Computational Methods for Space-time Reactor Kinetics // Journal of the Korean Nuclear Society. - 1979. - September Vol. 11, 3.

80.Stacey W.M. Nuclear reactor physics, second edition. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, 2007.

81.Лебедев В.И. Явные разностные схемы с переменными шагами по времени для решения жестких систем уравнений - М.: ОБМАН СССР, 1987 Препринт, № 177.

82.Peaceman D.W., Rachford Н.Н. Jr. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Soc. Indust. Appl. Math., - 1955. - Vol. 3, P. 28-41.

83.Douglas J. Jr. // J.Soc.Indust.Appl.Math.. - 1955. - Vol. 3, 42.

84. Wight A.L. Application of Alternating-Direction Implicit Methods to the Space-Dependent Kinetics Equations // Nuclear Science and Engineering. - 1971. - Vol. 44. P. 239-251.

85.Goluoglu S., Dodds H.L. A Time-Dependent, Three-Dimensional Neutron Transport Methodology // Nuclear Science and Engineering. - 2001. - Vol.139. -P. 248-261.

86.Chao Y.A., Attard A. A Resolution of the Stiffness Problem of Reactor Kinetics // Nuclear Science and Engineering. - 1985. - Vol. 90, P. 40-46.

87.Chao Y.A., Huang P. Theory and Performance of the Fast-Running Multidimensional Pressurized Water Reactor Kinetics Code, SPNOVA-K // Nuclear Science and Engineering. - 1989. - Vol. 103. - P.415^19.

88.Hutt P.K., Knight M.P. The Development of a Transient Neutron Flux Solution in the PANTHER Code // Transactions of the American Nuclear Society. - 1990. -Vol. 61.-P. 348-349.

89.Shengyi Si. Algorithm Development and Verification of UASCM for Multi-dimnsion and Multi-group Neutron Kinetics Model. PHYSOR 2012, Knoxvile, Tennessee, USA, April 15-20, 2012.

90.McCormick W.T. Numerical solution of the two-dimensional multigroup kinetic equations. Ph.D thesis. Mass., MIT-NE-99, 1969.

91.Reed Wm.H., Hansen K.F. Alternating Direction Methods for the Reactor Kinetics Equations // Nuclear Science and Engineering. - 1970. - Vol. 41, P. 431-442.

92.Taiwo T.A., Khalil H.S. DIF3D-K: A Nodal kinetics code for solving the time-dependent diffusion equation. Proc. Conf. Mathematics and Computations, Portland, Oregon, May, 1995

93.Lizorkin M.P., Semenov V.N., Ionov V.S., Lebedev V.I. Time Dependent Spatial Neutron Kinetic Algorithm for BIPR8 and its Verification, in Proc. Second Symposium of AER, KFKI Atomic Energy Research Institute, Budapest (1992), P. 389.

94.Фомиченко П.А. Решение задач пространственной нейтронной кинетики методами улучшенной квазистатики в программе JAR-IQS. Препринт ИАЭ-5880/5, М., 1995.

95.3изин М.Н., Иванов Л.Д. Решение нестационарных нейтронно-физических задач в интеллектуальной программной системе ShIPR для математического моделирования ядерных реакторов. Препринт ИАЭ-6428/5, Москва , 2006.

96.Селезнёв Е.Ф., Белов А.А. Расчётное сопровождение эксплуатации БН-600 // Атомная энергия. - 2010. - т. 108, вып. 4. - С. 256 - 259.

97.НШ Т. Е., Reed W. М. TIMEX: A Time-Dependent Explicit Discrete Ordinates Program for the Solution of the Multigroup Transport Equation. LA-6201-MS, Los Alamos National Laboratories, 1976.

98.Lathrop K.D., Anderson R.E. TRANZIT: A Program for Multigroup Time-Dependent Transport in r-z Cylindrical Geometry. LA-4575, Los Alamos National Laboratories, 1971.

99 Johnson J.O. A User's Manual for MASH 1.0, A Monte Carlo Adjoin Shielding Code System, ORNL/TM-11778, Oak Ridge National Laboratory, 1992.

100. Seubert A., Velkov K., Langenbuch S. The Time-Dependent 3-D Discrete Ordinates Code TORT-TD Coupled with the Thermal-Hydraulics System Code ATHLET, Proc. PHYSOR 2008, Interlaken, Switzerland, September 14-19, 2008.

101. Saubert A., Sureda A., Bader J. et. al. The 3-D time-dependent transport code TORT-TD and its coupling with the 3D thermal-hydraulic code ATTIC A3 D for HTGR applications // Nuclear Engineering and Design. - 2012. - Vol. 251. - P. 173-180.

102. Rhoades W.A., Childs R.L. The TORT three dimensional discrete ordinates neutron/photon transport code // Nuclear Science and Engineering. - 1991. — Vol. 107.-P. 397-398.

103. Rhoades W.A., Simpson D.B. The TORT three dimensional discrete ordinates neutron/photon transport code (TORT version 3), ORNL/TM-13221, 1991.

104. Alcouffe R.E., Baker R.S. Time-Dependent Deterministic Transport on Parallel Architectures Using PARTISN. Proc. Topi. Conf. Radiation Protection and

Shielding, Nashville, Tennessee, April 19-23, 1998, Vol. 1, p. 335, American Nuclear Society, 1998.

105. Akimushkin S., Avvakumov A., Malofeev V. et. al. Validation of a Pin-by-pin Heterogeneous Method Against LWR MOX Benchmarks, Proc. of the International Conference on the New Frontiers of Nuclear Technology: Reactor Physics, Safety and High-performance Computing (PHYSOR 2002), Korea, October 2002.

106. Bentley C., DeMiglio R., Dunn M. et. al. Development of a Hybrid Stochastic/Deterministic Method for Transient, Three Dimensional Neutron Transport. Proc. Joint Int. Conf. for Mathematical Methods and Supercomputing for Nuclear Applications, Vol 2. p. 1670, 1997.

107. Sjenitzer B.L., Hoogenboom J.A. Implementation of the dynamic Monte Carlo method for transient analysis in the general purpose code TRIPOLI. Int. Con. On Math, and Com. Meth. App. to Nuc. Sci. and. Eng. (M&C 2011). Rio de Janireo, RJ, Brazil, May 8-12,2011.

108. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1973.

109. Лалетин Н.И. Метод поверхностных псевдоисточников для решения уравнения переноса нейтронов (GN-приближения). В кн. Методы расчета полей тепловых нейтронов в решетках реакторов. Под ред. Я.В. Шевелева. М.Б., Атомиздат, 1974.

110. McDonnell F.N., Baudouin А.Р., Garvey P.M. et. al. CANDU Reactor Kinetics Benchmark Activity // Nuclear Science and Engineering. - 2011. - Vol. 64. — P. 95-105.

111. Christensen B. Three Dimensional Static and Dynamic Reactor Calculation by the Nodal Expansion Method, Riso National laboratory, DK-4000 Roskilde, Denmark, 1985.

112. Do Sam Kim, Nam Zin Cho. Kinetics Calculation Under Space-Dependent

Feedback in Analytic Fucntion Expansion Nodal Method via Solution

144

Decomposition and Galerkin Scheme // Nuclear Science and Engineering. -2002. - Vol. 140. - P. 267-284.

113. Sutton T.M., Aviles B.N. Diffusion Theory Methods for Spatial Kinetics Calculations // Progress in Nuclear Energy. - 1996. - Vol. 30. - P. 119.

114. Tsujita K., Endo Т., Yamamoto A. Application of the Multigrid Amplitude Function Method for Time-dependent Transport Equation using MOC, Proceeding of M&C 2013, Sun Valley, Idaho, USA, May 5-9, 2013.

115. Gougar H. et al. Prismatic Coupled Neutronics/Thermal Fluids Transient Benchmark of MHTGR-350 MW Core Design - Benchmark Definition, Revision O.a, INL, 2010.

116. Smith M.A., Lewis E.E., Na B.C. Benchmark on Deterministic Transport Calculations Without Spatial Homogenisation - A 2-D/3-D Mox Fuel Assembly Benchmark (C5G7 MOX Benchmark), OECD/NEA report, NEA/NSC/DOC(2003)16, March 2003.

117. Cavarec C. et al. The OECD/NEA Benchmark Calculations of Power Distributions within Assemblies, Electricity de France, Sept. 1994.

118. Cathalau S., Lefebvre J.C., West J.P. Proposal for a Second Stage of the Benchmark on Power Distributions within Assemblies, an earlier version of the published OECD/NEA Benchmark, April 1996.

119. Зизин M.H. Подготовка параметров запаздывающих нейтронов для пространственно-временных расчетов тепловых и быстрых реакторов // Атомная энергия. - 2012. - т. 112, вып. 6. - С. 355-360.

120. Bergiers С., Ivanov В., Ivanov К. Establishment of Consistent Benchmark Framework for Performing High-Fidelity Whole Core Transport/Diffusion Calculations, Proceeding of PHYSOR 2006, Vancouver, ВС, Canada, September 10-14, 2006.

121. Селезнев Е.Ф. Кинетика реакторов на быстрых нейтронах. М.: Наука, 2013.

122. Rudstam G. et. al. International Evaluation Co-operation. Volume 6: Delayed neutron data for the major actinides., NEA/WPEC-6, 2002.

Приложение А Копии свидетельств о регистрации модулей 8иНАМ-ТБ

т€€ШШ(ОШАВ ФВДВРМЦШШ

й Й й

т

ш й ш й

ш

й «

Й Й Й Й Й Й Й й й Й Й Й Й

Й

ЙЙЙЙЙЙ

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2013617040

т й й й

Правообл учреусд «КурЧ

л

ужетпое

Кондру

[ЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙ

Рисунок А. 1 -Копия свидетельства о государственной регистрации программы

8иНАМБ-8д-2Б-8НМ

МШга!(ОЖАШ ФВДИЗРАЩШШ

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2013619904

«Программа для расчета нестационарных нейг ронно-физических задач методом поверхностных гармоник 8иНАМБ-ТО-8(>21)-8НМ»

Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное учреждение «Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт» (1111)

Авторы: Бояр иное Виктор Федорович (К1/), Кондрушин Антон Евгеньевич (1Ш)

Заявка № 2013617794

Дата поступления 29 августа 2013 Г.

Дата государственной регистрации в Реестре профамм для ЭВМ 18 октября 2013 ,

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

Б.П. Симонов

®

й Й ш

ш т ш

ш

т &

ж ж

ш ш

ш

mWЖЖЖЖWWWWWWWWшшWWWшЖW^ЖWшWWWWWWШs

Рисунок А.2 -Копия свидетельства о государственной регистрации программы

8иНАМБ-ТВ-80-2В-8НМ

Приложение Б Результаты расчета теста ВвБ-б

Таблица Б.1 - Тест ВББ-б-АО. Значения полной Р и зонных Р, мощностей в расчете ЗиНАМ-ЕБМ (к = 0,25 см), а также относительные отклонения от значений в расчете с шагом Л? = 10'4 с

Р Л Рз 8Р,% 5РЬ % 6Р2, % 5Р3, %

Д/=10"4с

0 1000 278,857 442,287 278,856 — — — —

0,01 988,249 275,346 437,558 275,345 — — — —

0,02 972,565 270,771 431,023 270,771 — — — —

од 861,022 238,286 384,451 238,285 — — — —

0,2 750,951 206,283 338,386 206,282 — — — —

0,5 535,476 143,883 247,710 143,882 — — — —

1 352,248 91,317 169,615 91,316 — — — —

1,5 327,578 84,871 157,836 84,871 — — — —

2 308,201 79,811 148,579 79,811 — — — —

3 277,609 71,834 133,942 71,833 — — — —

4 253,570 65,574 122,423 65,573 —- - _ — _

Аг = 10*3с

0 1000 278,857 442,287 278,856 0,0Е+00 0,0Е+00 0,0Е+00 0,0Е+00

0,01 988,172 275,325 437,523 275,324 7,8Е-03 7,5Е-03 8,0Е-03 7,5Е-03

0,02 972,563 270,771 431,022 270,770 2,4Е-04 2,8Е-04 1,9Е-04 2,9Е-04

од 861,008 238,282 384,445 238,281 1,6Е-03 1,6Е-03 1,5Е-03 1,6Е-03

0,2 750,928 206,276 338,376 206,276 ЗДЕ-ОЗ 3,2Е-03 3,0Е-03 3,2Е-03

0,5 535,451 143,876 247,699 143,876 4,7Е-03 4,7Е-03 4,6Е-03 4,7Е-03

1 352,232 91,312 169,607 91,312 4,5Е-03 4,6Е-03 4,4Е-03 4,6Е-03

1,5 327,568 84,868 157,832 84,868 3,0Е-03 3,0Е-03 2,9Е-03 3,0Е-03

2 308,194 79,810 148,575 79,809 2,ЗЕ-03 2,4Е-03 2,ЗЕ-03 2,4Е-03

3 277,605 71,832 133,940 71,832 1,6Е-03 1,6Е-03 1,5Е-03 1,6Е-03

4 253,568 65,573 122,422 65,573 1,0Е-03 1ДЕ-03 1,0Е-03 1ДЕ-03

Д/= 10"^ с

0 1000 278,857 442,287 278,856 0,0Е+00 0,0Е+00 0,0Е+00 0,0Е+00

0,01 987,387 275,113 437,163 275,112 8,7Е-02 8,5Е-02 9,0Е-02 8,5Е-02

0,02 972,354 270,714 430,927 270,713 2,2Е-02 2ДЕ-02 2,2Е-02 2ДЕ-02

од 860,851 238,238 384,376 238,237 2,0Е-02 2,0Е-02 1,9Е-02 2,0Е-02

0,2 750,677 206,207 338,264 206,206 3,6Е-02 3,7Е-02 3,6Е-02 3,7Е-02

0,5 535,190 143,805 247,579 143,805 5,ЗЕ-02 5,4Е-02 5,ЗЕ-02 5,4Е-02

1 352,068 91,269 169,529 91,269 5ДЕ-02 5,2Е-02 5ДЕ-02 5,2Е-02

1,5 327,465 84,841 157,782 84,841 3,5Е-02 3,5Е-02 3,4Е-02 3,5Е-02

2 308,117 79,790 148,538 79,789 2,7Е-02 2,7Е-02 2,7Е-02 2,7Е-02

3 277,556 71,820 133,917 71,820 1,9Е-02 1,9Е-02 1,9Е-02 1,9Е-02

4 253,537 65,565 122,407 65,565 1,ЗЕ-02 1,ЗЕ-02 1,ЗЕ-02 1,ЗЕ-02

и с Р Л Р2 Рз ЪР,% 8РЬ % 5Р2, % 5Р3,%

Д/= 10"1 с

0 1000 278,857 442,287 278,856 0,0Е+00 0,0Е+00 0,0Е+00 0,0Е+00

0,1 859,405 237,833 383,739 237,833 1,9Е-01 1,9Е-01 1,9Е-01 1,9Е-01

0,2 748,459 205,592 337,276 205,591 3,ЗЕ-01 3,ЗЕ-01 3,ЗЕ-01 3,ЗЕ-01

0,5 532,787 143,155 246,477 143,155 5,0Е-01 5ДЕ-01 5,0Е-01 5ДЕ-01

1 350,529 90,868 168,794 90,867 4,9Е-01 4,9Е-01 4,8Е-01 4,9Е-01

1,5 326,494 84,589 157,316 84,589 3,ЗЕ-01 3,ЗЕ-01 3,ЗЕ-01 3,ЗЕ-01

2 307,404 79,605 148,195 79,604 2,6Е-01 2,6Е-01 2,6Е-01 2,6Е-01

3 277,118 71,707 133,705 71,707 1,8Е-01 1,8Е-01 1,8Е-01 1,8Е-01

4 253,263 65,495 122,274 65,495 1,2Е-01 1,2Е-01 1,2Е-01 1,2Е-01

Таблица Б.2 - Тест ВЭЗ-б-АО. Значения полной Р и зонных мощностей Р, в

Л

расчете ЗиНАМ-ТОМ (М = 10" с), а также отклонения от значении в расчете с шагом к = 0,25 см

с Р Р2 Рз 5Р,% 5РЬ % 5Р2, % 5Р3, %

к = 0,25 см

0 1000 278,857 442,287 278,856 -

0,01 987,387 275,113 437,163 275,112

0,02 972,354 270,714 430,927 270,713

од 860,851 238,238 384,376 238,237

0,2 750,677 206,207 338,264 206,206

0,5 535,190 143,805 247,579 143,805

1 352,068 91,269 169,529 91,269

1,5 327,465 84,841 157,782 84,841

2 308,117 79,790 148,538 79,789

3 277,556 71,820 133,917 71,820

4 253,537 65,565 122,407 65,565

к = 0,5 см

0 1000 278,865 442,270 278,865 0,0Е+00 2,9Е-03 3,8Е-03 ЗДЕ-ОЗ

0,01 987,427 275,132 437,163 275,131 4,0Е-03 7,0Е-03 1,8Е-04 7ДЕ-03

0,02 972,401 270,735 430,931 270,735 4,9Е-03 7,8Е-03 1ДЕ-03 7,9Е-03

0,1 860,891 238,256 384,379 238,256 4,7Е-03 7,7Е-03 9ДЕ-04 7,8Е-03

0,2 750,709 206,222 338,266 206,222 4,ЗЕ-03 7,ЗЕ-03 4,8Е-04 7,5Е-03

0,5 535,208 143,815 247,578 143,815 3,4Е-03 6,6Е-03 3,9Е-04 6,8Е-03

1 352,077 91,275 169,527 91,275 2,6Е-03 6ДЕ-03 1,2Е-03 6,2Е-03

1,5 327,473 84,847 157,780 84,847 2,6Е-03 6ДЕ-03 1,2Е-03 6,ЗЕ-03

2 308,125 79,794 148,537 79,794 2,7Е-03 6,2Е-03 1,2Е-03 6,ЗЕ-03

3 277,564 71,824 133,915 71,824 2,8Е-03 6,ЗЕ-03 1ДЕ-03 6,4Е-03

4 253,544 65,569 122,406 65,569 2,8Е-03 6,4Е-03 1,0Е-03 6,5Е-03

с Р Рх ЪР,% ЪРХ,% 6Р2, % ЪРъ, %

И = 1 см

0 1000 278,900 442,200 278,900 0,0Е+00 1,5Е-02 2,0Е-02 1,6Е-02

0,01 987,436 275,169 437,098 275,169 4,9Е-03 2,0Е-02 1,5Е-02 2ДЕ-02

0,02 972,412 270,772 430,868 270,772 6,0Е-03 2ДЕ-02 1,4Е-02 2,2Е-02

од 860,900 238,289 384,322 238,289 5,7Е-03 2ДЕ-02 1,4Е-02 2,2Е-02

0,2 750,716 206,250 338,215 206,250 5,2Е-03 2ДЕ-02 1,4Е-02 2ДЕ-02

0,5 535,211 143,835 247,540 143,835 3,9Е-03 2ДЕ-02 1,6Е-02 2ДЕ-02

1 352,077 91,288 169,500 91,288 2,6Е-03 2ДЕ-02 1,7Е-02 2ДЕ-02

1,5 327,473 84,859 157,755 84,859 2,6Е-03 2ДЕ-02 1,7Е-02 2ДЕ-02

2 308,125 79,806 148,513 79,806 2,6Е-03 2ДЕ-02 1,7Е-02 2ДЕ-02

3 277,563 71,835 133,894 71,835 2,6Е-03 2ДЕ-02 1,7Е-02 2ДЕ-02

4 253,543 65,579 122,386 65,579 2,6Е-03 2ДЕ-02 1,7Е-02 2ДЕ-02

к = 2 см

0 1000 279,061 441,879 279,061 0,0Е+00 7,ЗЕ-02 9,2Е-02 7,ЗЕ-02

0,01 987,434 275,327 436,780 275,327 4,8Е-03 7,8Е-02 8,7Е-02 7,8Е-02

0,02 972,407 270,927 430,553 270,927 5,5Е-03 7,9Е-02 8,7Е-02 7,9Е-02

0,1 860,876 238,422 384,033 238,422 3,0Е-03 7,7Е-02 8,9Е-02 7,7Е-02

0,2 750,677 206,362 337,953 206,362 1,7Е-06 7,5Е-02 9,2Е-02 7,6Е-02

0,5 535,155 143,910 247,336 143,910 6,4Е-03 7,2Е-02 9,8Е-02 7,ЗЕ-02

1 352,021 91,334 169,352 91,334 1,ЗЕ-02 7ДЕ-02 1,0Е-01 7ДЕ-02

1,5 327,419 84,902 157,616 84,902 1,4Е-02 7ДЕ-02 1ДЕ-01 7ДЕ-02

2 308,073 79,846 148,381 79,846 1,4Е-02 7ДЕ-02 1ДЕ-01 7ДЕ-02

3 277,514 71,870 133,774 71,870 1,5Е-02 7,0Е-02 1ДЕ-01 7,0Е-02

4 253,496 65,611 122,275 65,611 1,6Е-02 6,9Е-02 1ДЕ-01 7,0Е-02

/г = 2,5 см

0 1000 279,197 441,605 279,197 0,0Е+00 1,2Е-01 1,5Е-01 1,2Е-01

0,01 987,430 275,461 436,508 275,461 4,4Е-03 1,ЗЕ-01 1,5Е-01 1,ЗЕ-01

0,02 972,398 271,058 430,283 271,058 4,6Е-03 1,ЗЕ-01 1,5Е-01 1,ЗЕ-01

од 860,839 238,530 383,780 238,530 1,4Е-03 1,2Е-01 1,6Е-01 1,2Е-01

0,2 750,619 206,450 337,719 206,450 7,8Е-03 1,2Е-01 1,6Е-01 1,2Е-01

0,5 535,075 143,963 247,149 143,963 2,2Е-02 1ДЕ-01 1,7Е-01 1ДЕ-01

1 351,943 91,364 169,214 91,364 3,5Е-02 1,0Е-01 1,9Е-01 1,0Е-01

1,5 327,343 84,929 157,486 84,929 3,7Е-02 1,0Е-01 1,9Е-01 1,0Е-01

2 307,999 79,871 148,257 79,871 3,8Е-02 1,0Е-01 1,9Е-01 1,0Е-01

3 277,444 71,892 133,660 71,892 4,0Е-02 1,0Е-01 1,9Е-01 1,0Е-01

4 253,430 65,630 122,170 65,630 4,2Е-02 9,9Е-02 1,9Е-01 9,9Е-02

Таблица Б.З — Тест ВвБ-б-АО. Значения полной Р и зонных мощностей Р{ в расчета ЗиНАМ-ЕОМ (к = 0,25 см), а также отклонения значений в расчете БЦНАМ-ЗНМ (к = 0,25см, Я = 2 см) от значений в расчете 8ШАМ-ЕБМ при одинаковых значениях расчетного шага по времени

ис ЗиНАМ-БОМ Отклонение ЗиНАМ-БНМ от 8иНАМ-РБМ

Р Л Рг Рз 5Р,% 5РЬ % 5Р2, % ЬРЪ, %

Д*=1 [О"4 с

0 1000 278,857 442,287 278,856 0,0Е+00 1.6Е-04 1ДЕ-04 1,4Е-05

0,01 988,249 275,346 437,558 275,345 8,4Е-03 8,5Е-03 8,4Е-03 8,4Е-03

0,02 972,565 270,771 431,023 270,771 9,ЗЕ-03 9,5Е-03 9,2Е-03 9,4Е-03

од 861,022 238,286 384,451 238,285 1,4Е-02 1,5Е-02 1,ЗЕ-02 1,4Е-02

0,2 750,951 206,283 338,386 206,282 1.8Е-02 2,0Е-02 1,7Е-02 2,0Е-02

0,5 535,476 143,883 247,710 143,882 2,7Е-02 3,0Е-02 2,ЗЕ-02 2,9Е-02

1 352,248 91,317 169,615 91,316 3,ЗЕ-02 3,8Е-02 2,7Е-02 3,8Е-02

1,5 327,578 84,871 157,836 84,871 3,ЗЕ-02 3,9Е-02 2,7Е-02 3,8Е-02

2 308,201 79,811 148,579 79,811 3,ЗЕ-02 3,9Е-02 2,7Е-02 3,9Е-02

3 277,609 71,834 133,942 71,833 3,6Е-02 4ДЕ-02 3,0Е-02 4ДЕ-02

4 253,570 65,574 122,423 65,573 3,8Е-02 4,ЗЕ-02 3,2Е-02 4,ЗЕ-02

О""* с--------- ------

0 1000 278,857 442,287 278,856 0,0Е+00 1,6Е-04 1ДЕ-04 1,4Е-05

0,01 988,172 275,325 437,523 275,324 8,0Е-03 8ДЕ-03 7,9Е-03 8,0Е-03

0,02 972,563 270,771 431,022 270,770 9,0Е-03 9,2Е-03 8,8Е-03 9ДЕ-03

од 861,008 238,282 384,445 238,281 1,4Е-02 1.4Е-02 1,ЗЕ-02 1,4Е-02

0,2 750,928 206,276 338,376 206,276 1,8Е-02 1.9Е-02 1,7Е-02 1,9Е-02

0,5 535,451 143,876 247,699 143,876 2,6Е-02 2,9Е-02 2,ЗЕ-02 2,9Е-02

1 352,232 91,312 169,607 91,312 3,2Е-02 3,8Е-02 2,6Е-02 3,8Е-02

1,5 327,568 84,868 157,832 84,868 3,ЗЕ-02 3,9Е-02 2,7Е-02 3,8Е-02

2 308,194 79,810 148,575 79,809 3,4Е-02 3,9Е-02 2,8Е-02 3,9Е-02

3 277,605 71,832 133,940 71,832 3,5Е-02 4ДЕ-02 2,9Е-02 4ДЕ-02

4 253,568 65,573 122,422 65,573 3,7Е-02 4,2Е-02 ЗДЕ-02 4,2Е-02

0_/с

0 1000 278,857 442,287 278,856 0,0Е+00 1.6Е-04 1ДЕ-04 1,4Е-05

0,01 987,387 275,113 437,163 275,112 6,6Е-03 6,8Е-03 6,4Е-03 6,6Е-03

0,02 972,354 270,714 430,927 270,713 8,7Е-03 8,9Е-03 8,5Е-03 8,8Е-03

од 860,851 238,238 384,376 238,237 1,4Е-02 1,4Е-02 1.3Е-02 1,4Е-02

0,2 750,677 206,207 338,264 206,206 1,8Е-02 1,9Е-02 1.7Е-02 1,9Е-02

0,5 535,190 143,805 247,579 143,805 2,6Е-02 2,9Е-02 2,ЗЕ-02 2,9Е-02

1 352,068 91,269 169,529 91,269 3,2Е-02 3,8Е-02 2,6Е-02 3,8Е-02

1,5 327,465 84,841 157,782 84,841 3,ЗЕ-02 3,9Е-02 2,7Е-02 3,8Е-02

2 308,117 79,790 148,538 79,789 3,4Е-02 3,9Е-02 2,8Е-02 3,9Е-02

3 277,556 71,820 133,917 71,820 3,5Е-02 4ДЕ-02 2,9Е-02 4ДЕ-02

4 253,537 65,565 122,407 65,565 3,7Е-02 4,2Е-02 ЗДЕ-02 4,2Е-02

с ЗиНАМ-БОМ Отклонение 8ЦНАМ-8НМ от ЗиНАМ-БОМ

Р Л Рз ЪР,% ЬРи % 5Р2, % 8Р3, %

Л/= 1 О"1 с

0 1000 278,857 442,287 278,856 0,0Е+00 1,6Е-04 1ДЕ-04 1.4Е-05

0,1 859,405 237,833 383,739 237,833 1,ЗЕ-02 1,4Е-02 1,ЗЕ-02 1.4Е-02

0,2 748,459 205,592 337,276 205,591 1.8Е-02 1.9Е-02 1,7Е-02 1,9Е-02

0,5 532,787 143,155 246,477 143,155 2,6Е-02 2,9Е-02 2,ЗЕ-02 2,9Е-02

1 350,529 90,868 168,794 90,867 3,2Е-02 3,8Е-02 2,6Е-02 3,8Е-02

1,5 326,494 84,589 157,316 84,589 3,ЗЕ-02 3,8Е-02 2,7Е-02 3,8Е-02

2 307,404 79,605 148,195 79,604 3,4Е-02 3,9Е-02 2,8Е-02 3,9Е-02

3 277,118 71,707 133,705 71,707 3,5Е-02 4ДЕ-02 2,9Е-02 4ДЕ-02

4 253,263 65,495 122,274 65,495 3,6Е-02 4,2Е-02 ЗДЕ-02 4,2Е-02

Таблица Б.4 - Тест В88-6-А0. Значения полной Р и зонных Р,- мощностей в расчете ЗиНАМ-БОМ (А/ =10"2 с), а также отклонения значении в расчете

'У

8ЦНАМ-8НМ ^ =10" с) от значений в расчете 8иНАМ-РБМ при одинаковых значениях параметра к в обоих расчетах

ы 8иНАМ-РБМ Я, Отклонение 8ЦНАМ-8НМ от ЗиНАМ-БОМ

см и С Р Л Р2 ¿>3 см 5 Р, % 5Рь % ЬР2, % со

0,25 0 1000 278,857 442,287 278,856 1 0,0Е+00 4,9Е-05 9,1Е-05 1,9Е-04

0,01 987,387 275,113 437,163 275,112 5,7Е-03 5,6Е-03 5,6Е-03 5,8Е-03

0,02 972,354 270,714 430,927 270,713 7,ЗЕ-03 7,2Е-03 7,2Е-03 7,4Е-03

од 860,851 238,238 384,376 238,237 8,ЗЕ-03 8,ЗЕ-03 8ДЕ-03 8,5Е-03

0,2 750,677 206,207 338,264 206,206 8,7Е-03 8,9Е-03 8,4Е-03 9ДЕ-03

0,5 535,190 143,805 247,579 143,805 9,8Е-03 1,0Е-02 9,0Е-03 1ДЕ-02

1 352,068 91,269 169,529 91,269 1,0Е-02 1,2Е-02 9,0Е-03 1,2Е-02

1,5 327,465 84,841 157,782 84,841 1ДЕ-02 1,2Е-02 9,2Е-03 1,2Е-02

2 308,117 79,790 148,538 79,789 1ДЕ-02 1,2Е-02 9,4Е-03 1,2Е-02

3 277,556 71,820 133,917 71,820 1ДЕ-02 1,2Е-02 9,9Е-03 1,ЗЕ-02

4 253,537 65,565 122,407 65,565 1,2Е-02 1^3Е-02 1,0Е-02 1,ЗЕ-02

0 2 0,0Е+00 1,6Е-04 1ДЕ-04 1,4Е-05

0,01 6,6Е-03 6,8Е-03 6,4Е-03 6,6Е-03

0,02 8.7Е-03 8,9Е-03 8,5Е-03 8,8Е-03

0,1 1,4Е-02 1,4Е-02 1,ЗЕ-02 1,4Е-02

0,2 1,8Е-02 1,9Е-02 1,7Е-02 1.9Е-02

0,5 2,6Е-02 2,9Е-02 2,ЗЕ-02 2,9Е-02

1 3,2Е-02 3,8Е-02 2,6Е-02 3,8Е-02

1,5 3,ЗЕ-02 3,9Е-02 2,7Е-02 3,8Е-02

2 3,4Е-02 3,9Е-02 2,8Е-02 3,9Е-02

3 3,5Е-02 4ДЕ-02 2,9Е-02 4ДЕ-02

4 3,7Е-02 4,2Е-02 ЗДЕ-02 4,2Е-02

К см и с 8ШАМ-РБМ Я, см Отклонение ЗиНАМ-БНМ от БШАМ-РОМ

Р Л Р2 Р3 5Р, % 5РЬ % 5Р2, % 5Р3, %

0 5 0,0Е+00 4,6Е-05 7,0Е-05 1,6Е-04

0,01 1,4Е-02 1,5Е-02 1,ЗЕ-02 1,5Е-02

0,02 2ДЕ-02 2,2Е-02 2,0Е-02 2,2Е-02

0,1 5,4Е-02 5,8Е-02 4,9Е-02 5,8Е-02

0,2 8,5Е-02 9,ЗЕ-02 7,6Е-02 9.3Е-02

0,5 1,4Е-01 1,6Е-01 1,2Е-01 1,6Е-01

1 1,9Е-01 2,2Е-01 1,5Е-01 2,2Е-01

1,5 1,9Е-01 2,ЗЕ-01 1,5Е-01 2,ЗЕ-01

2 2,0Е-01 2,ЗЕ-01 1,6Е-01 2,ЗЕ-01

3 2,0Е-01 2,4Е-01 1,7Е-01 2,4Е-01

4 2ДЕ-01 2,5Е-01 1,7Е-01 2,5Е-01

0 10 0,0Е+00 4,6Е-05 1,6Е-05 2,0Е-05

0,01 1,0Е-01 1ДЕ-01 9,ЗЕ-02 1ДЕ-01

0,02 1,4Е-01 1,5Е-01 1,ЗЕ-01 1,5Е-01

0,1 2,7Е-01 2,9Е-01 2,4Е-01 2,9Е-01

0,2 3,9Е-01 4,ЗЕ-01 3,5Е-01 4,ЗЕ-01

0,5 6,2Е-01 7,0Е-01 5,ЗЕ-01 7,0Е-01

1 7,9Е-01 9,4Е-01 6,ЗЕ-01 9,4Е-01

1,5 7,8Е-01 9,2Е-01 6,2Е-01 9,2Е-01

2 8,0Е-01 9,4Е-01 6,4Е-01 9,4Е-01

3 8,ЗЕ-01 9,8Е-01 6,7Е-01 9,8Е-01

4 8,6Е-01 1,0Е+00 7,0Е-01 1,0Е+00

0,5 0 1000 278,865 442,270 278,865 2 0,0Е+00 1,7Е-04 2,4Е-05 1,4Е-04

0,01 987,427 275,132 437,163 275,131 2ДЕ-03 2,ЗЕ-03 1,9Е-03 2,0Е-03

0,02 972,401 270,735 430,931 270,735 3,0Е-03 3,ЗЕ-03 2,8Е-03 3,0Е-03