Развитие асимптотических методов в моделях реакция - диффузия и их приложения в задачах о межфазовых переходах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Божевольнов, Юстислав Владиславович

• Божевольнов, Юстислав Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Божевольнов, Юстислав Владиславович

1 Введение

1.1 Актуальность темы диссертации.

1.1.1 Научная новизна.

1.1.2 Практическая значимость работы.

1.2 Метод пограничных функций и метод дифференциальных неравенств.

1.3 Содержание диссертации.

1.3.1 Пограничные слои в системе реакция — диффузия

1.3.2 Внутренние слои в системе реакция — диффузия

1.3.3 Движение фронта в уравнении реакция — диффузия

1.3.4 Движение всплеска в уравнении реакция — диффузия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие асимптотических методов в моделях реакция - диффузия и их приложения в задачах о межфазовых переходах»

Наличие малого параметра при старших производных в уравнениях типа реакция — диффузия приводит к возможности существования быстро меняющихся в малой пространственной области решений — контрастных структур.

В работе рассмотрены некоторые классы задач, получены асимптотические разложения решений, для которых доказаны теоремы существования. Исследование основано на применении и развитии метода пограничных функций (см. [1, 2, 3, 4]) и асимптотического метода дифференциальных неравенств (см. [5]).

Математический аппарат теории контрастных структур днашел приложение в описании процессов синтеза и автосепарации в химически активированной плазме. Здесь надо отметить, что до сих пор не ясны фундаментальные механизмы таких явлений (см. [6]). На основе теории контрастных структур рассмотрен процесс фазового разделения (см. [7, 8]) и предложена соответствующая модель. Это позволило дать качественное описание явления и предсказать некоторые свойства процессов синтеза и релаксации.

1.1 Актуальность темы диссертации

Диссертация посвящена исследованию существования и устойчивости стационарных решений типа контрастных структур и описанию движения (эволюции) контрастных структур в важных для приложений начально-краевых задач для уравнений реакция — диффузия.

Теоретические исследования в области асимптотических методов в теории сингулярных возмущений ведутся довольно давно. Их начало положено классическими работами А. Н. Тихонова [9, 10, 11], А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова [12], С. А. Ломова [13], А. М. Ильина [14] и ряда других исследователей. В последние годы интенсивно развивается важное направление этой теории — исследование контрастных структур, основы которого заложены в работах А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова,

H. Н. Нефедова (см. обзорные работы [3, 4, 15]). Несмотря на значительный прогресс в этой области, ряд интересных для приложений задач все еще не исследован полностью.

В сингулярно возмущенных задачах типа реакция — диффузия разработанные методы позволяют строить формальную асимптотику, что активно используется на практике, в частности при численном моделировании процессов в социологии (работы А. П. Михайлова [16, 17]) или космической динамики (работы Д. Д. Соколова и А. П. Петрова [18, 19, 20, 21], а также см. [22]). В приложениях вопросы обоснования существования решения часто остаются вне рассмотрения. В настоящей работе предложено теоретическое обоснование существования решений для рассмотренного класса задач. Проведение строгого доказательства существования и устойчивости стационарных решений для систем уравнений наряду с построением асимптотики произвольного порядка точности движущегося фронта были основными целями данной работы. Результаты был получены в развитии асимптотического метода дифференциальных неравенств, предложенного Н. Н. Нефедовым (см., например, [5, 15]).

В работе также рассмотрены некоторые аспекты применения развиваемого аппарата для качественного описания процесса синтеза ал-мазоподобных кластеров в ходе релаксации углерод-содержащей плазмы [23, 24].

I.1.1 Научная новизна

В выбранных классах задач в диссертации получены теоремы о существовании и устойчивости стационарных контрастных структур, построена их асимптотика произвольного порядка точности, описана эволюция движущихся контрастных структур. Эти результаты являются новыми.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Божевольнов, Юстислав Владиславович

Заключение

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Николаю Николаевичу Нефедову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также сотрудникам Санкт-Петербургского государственного университета — Божевольнову Владиславу Борисовичу и Яфясову Адилю Маликовичу, с которыми была проделана часть работы по приложению асимптотических методов к задаче синтеза углеродных наноструктур.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Божевольнов, Юстислав Владиславович, 2011 год

1. Бутузов, В. Ф. Об асимптотике решения типа контрастной структуры / В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева // Математические заметки. - 1987. - Т. 42, № 6. - С. 831-841.

2. Васильева, А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М.: «Высшая школа», 1990. — 208 с.

3. Бутузов, В. Ф. Асимптотические методы в исследовании контрастных структур / В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, Н. Н. Нефедов,— М.: МГУ, 1999.

4. Васильева, А. Б. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т. 4, №3. —С. 799-851.

5. Нефедов, Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями / Н. Н. Нефедов // Дифференциальные уравнения.— 1995. — Т. 31, № 7.- С. 1132-1139.

6. Даниленко, В. В. Из истории открытия синтеза наноалмазов /

7. B. В. Даниленко // Физика твердого тела. — 2004. — Т. 46, вып. 4. —1. C. 581-584.

8. Fife, Р. С. Models for phase separation and their mathematics / P. C. Fife // Electronic Journal of Differential Equations. — 2000. — Vol. 2000, no. 48. — Pp. 1-26.

9. Allen, S. M. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening / S. M. Allen, J. W. Cahn // Acta Metal— 1979. — no. 27. — Pp. 1085-1095.

10. Тихонов, А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Матем. сб. — 1948. — Т. 22(64), вып. 2. — С. 193-204.

11. Тихонов, А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры / А. Н. Тихонов // Матем. сб. — 1950.— Т. 27(69), вып. 2. — С. 147-156.

12. Тихонов, А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / А. Н. Тихонов // Матем. сб.— 1952.- Т. 31(73), вып. 3.- С. 575-586.

13. Васильева, А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов.— М.: «Наука», 1973. — 272 с.

14. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / Под ред. С. А. Ломов, — М.: Наука, 1981. — 400 с.

15. Пограничный слой / Под ред. А. М. Ильин. — Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные исследования, т.34, ВИНИТИ изд. — М.: Наука, 1988. — 336 с.

16. Васильева, А. Б. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — 2010. — Т. 268. С. 268-283.

17. Михайлов, А. П. Математическое моделирование власти в иерархических структурах / А. П. Михайлов // Математическое моделирование. 1994. — Т. 6, № 6. — С. 108-138.

18. Дмитриев, М. Г. Асимптотический анализ модели "власть — общество" для случая двух устойчивых распределений власти / М. Г. Дмитриев, Г. С. Жукова, А. П. Петров // Математическое моделирование. — 2004. — Т. 16, № 5. — С. 23-34.

19. Anomalous persistence of bisymmetric magnetic structures in spiral galaxies / A. Bykov, A. Popov, A. Shukurov, D. Sokoloff // Monthly

20. Notes of the Royal Astronomical Society. — 1997.-— Vol. 292, no. 1.— Pp. 1-10.

21. Moss, D. The motion of magnetic fronts in spiral galaxies / D. Moss, A. Petrov, D. Sokoloff // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2000. - Vol. 92. — Pp. 129-149.

22. Петров, А. П. Магнитные фронты в галактиках / А. П. Петров, Д. Д. Соколов, Д. JI. Мосс // Астрономический оюурнал,— 2001.— Т. 78, № 7. С. 579-584.

23. Попов, В. Ю. Моделирование эволюции контрастных структур в астрофизической и геофизической плазме / В. Ю. Попов // Научная конференция: "Ломоносовские чтения. Секция физики. Апрель 2005". — 2005. — С. 92-100.

24. Нефедов, Н. Н. Исследование процессов возникновения неоднород-ностей в химически активированной плазме в процессе ее релаксации / Н. Н. Нефедов, Ю. В. Божевольнов. — 2008. http://dl. dropbox.сот/и/9823550/carbon2008.pdf.

25. Нефедов, H. Н. Модель возникновения неоднородностей фазового состава на этапах синтеза и сепарации продуктов детонационного синтеза / Н. Н. Нефедов, Ю. В. Божевольнов. — 2009. http://dl. dropbox.com/u/9823550/carbon2009.pdf.

26. О формировании резких переходных слоев в двумерных моделях "реакция — диффузия" / В. Т. Волков, Н. Е. Грачев, Н. Н. Нефедов, А. Н. Николаев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2007. — Т. 47, № 8.- С. 1356-1364.

27. Nefedov, N. N. Multi-dimensional stationary internal layers for spatially inhomogeneous reaction-diffusion equations with balanced nonlineari-ty / N. N. Nefedov, K. Sakamoto // Hiroshima Mathematical Journal. — 2003. — Vol. 33, no. 3. — Pp. 391-432.

28. Авдеев, А. С. О контрастной структуре типа ступеньки для системы двух сингулярно возмущенных уравнений второго порядка / А. С. Авдеев, А. Б. Васильева // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. - Т. 36, № 5. - С. 75-89.

29. Бутузов, В. Ф. О формировании и распространении резких переходных слоев в параболических задачах / В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов, К. Р. Шнайдер. 2005. — JY® 1. — С. 9-13.

30. Нефедов, H. Н. Фронты в задаче реакция — диффузия / Н. Н. Нефедов, Ю. В. Божевольнов // Труды восемнадцатых математических чтений РГСУ. — 2009. — С. 153-165.

31. Божевольнов, Ю. В. Движение фронта в параболической задаче реакция — диффузия / Ю. В. Божевольнов, Н. Н. Нефедов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 2010.— Т. 50, № 2,— С. 276-285.

32. Nefedov, N. N. On moving spike type internal layer in nonlinear singularly perturbed problems / N. N. Nefedov //J. Math. Anal. Appl.— 1998. — Vol. 221. — Pp. 1-12.

33. Нефедов, H. H. Контрастные структуры типа всплеска в системах типа реакция-диффузия / Н. Н. Нефедов // Фундамент, и прикл. матем. — 2006. — Т. 12, вып. 5. — С. 121-134.

34. Konorov, P. P. Field Effect in Semiconductor-Electrolyte Interfaces: Application to Investigations of Electronic Properties of Semiconductor Surfaces / P. P. Konorov, A. M. Yafyasov, V. B. Bogevolnov. — Princeton University Press, 2006. — 196 pp.

35. Толочко, А. Я. Радикальный механизм образования наночастиц алмаза после ударно-волнового воздействия на адамантан / А. Я. Толочко. — 2006. — 12 с.

36. Рао, С. V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations / С. V. Pao. — New York—London: Plenum Press, 1992. — 777 pp.

37. Fife, P. C. The generation and propagation of internal layers / P. C. Fife, L. Hsiao // Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. — 1998. — Vol. 12. — Pp. 19-41.

38. Change of the type of contrast structures in parabolic neumann problems / N. N. Nefedov, M. Radziunas, K. R. Schneider, A. B. Vasil'eva // Comput. Math. Math. Phys. — 2005. — Vol. 45, no. 1, —Pp. 37-51.

39. Sattinger, D. Monotone methods in elliptic and parabolic boundary value problems / D. Sattinger // Indiana Univ. Math. J. — 1972. — Vol. 21, no. 11. —Pp. 979-1001.