Разрывные энтропийные решения одномерных законов сохранения с неограниченными начальными условиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Гаргянц, Лидия Владимировна

• Гаргянц, Лидия Владимировна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Гаргянц, Лидия Владимировна

в полуплоскости £ > 0...................... 31

2.2. Примеры существования разрывных энтропийных решений

в полуплоскости £ > 0...................... 36

2.3. Несуществование положительного энтропийного решения задачи Коши с положительным начальным условием . . . . 41

3. Описание энтропийных решений скалярного закона сохра-

__и ___

нения со степенной функцией потока, имеющих специальное представление 43 3.1. Группа симметрий скалярного закона сохранения со степенной функцией потока ...................... 43

3.2. Разрывное энтропийное решение задачи Коши с экспоненциальным начальным условием................. 46

3.3. Пример неединственности энтропийного решения задачи Коши в классе локально ограниченных функций....... 50

3.4. Энтропийные решения скалярного закона сохранения, имеющие специальное представление................ 54

Заключение 66

Список литературы 67

Введение

Актуальность темы исследования

Представленная работа является исследованием в области качественной теории уравнений с частными производными.

Важную роль в качественной теории таких уравнений играют законы сохранения в связи с многочисленными приложениями к задачам гидродинамики, газовой динамики и т.д. (см., например, [29]).

Рассмотрим в полосе Пт = {(г, х) | I Е (0, Т), х Е К}, где 0 < Т ^ ^ задачу Коши

щ + (/(п))х = 0, (г, х) Е Пт, и|^=0= щ(х), х Е К. (1)

При гладком начальном условии п0 и гладкой функции потока / задача (1) имеет в некоторой окрестности каждой точки прямой г = 0 единственное гладкое решение [30], которое может быть найдено методом характеристик [34, 39].

Однако у классических решений квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка, даже при сколь угодно гладких начальном условии и функции потока, с ростом времени могут сформироваться особенности. Природа реальных физических процессов такова, что время, за которое протекают эти процессы, значительно превышает время существования гладкого решения. Поэтому возникает необходимость рассматривать так называемые обобщённые решения в классах, включающих разрывные функции.

Обобщённое решение задачи Коши (в смысле соответствующего интегрального тождества) неединственно (даже при п0(х) = 0, соответствующие примеры можно найти в [34, 39, 13]). Таким образом, одним из

центральных вопросов теории обобщенных решений задачи (1) является описание тех условий (эти условия называют условиями возрастания энтропии), которые необходимо наложить на эти решения, обеспечивающие их единственность при различных предположениях о начальной функции u0 и функции потока f.

Построение нелокальной теории обобщенных энтропийных решений задачи (1) в случае гладкой функции потока (введение в эту теорию можно найти в пособиях [13, 21]) было начато в 50-х годах прошлого столетия в работах Э. Хопфа [37], П. Лакса [38], О. А. Олейник [24, 25, 26], О. А. Ладыженской [23], И.М. Гельфанда [4], А. Н. Тихонова, А.А. Самарского [31], А. С. Калашникова [16] и других.

Э. Хопф в своей классической работе [37] построил разрывное решение задачи Коши (1) в случае квадратичной функции потока f (u) = u2/2 и произвольной ограниченной измеримой функции uo. Построение основывалось на методе «исчезающей вязкости». Э. Хопф рассмотрел задачу Коши для уравнения Бюргерса

uf + ((uM)2/2)x = ßufx, ß > 0,

с тем же самым начальным условием u0, решение которой выписывается явно. Обобщенное решение исходной задачи Коши определяется как поточечный предел решений uf при ß ^ 0 в каждой точке (t, x), t > 0, в которой этот предел существует, то есть u(t,x) = lim uf(t,x).

В работах О. А. Олейник [24, 25] были сформулированы и доказаны условия единственности обобщенного решения задачи Коши (1) с выпуклой функцией потока f в классе кусочно гладких функций. И.М. Гель-фанд в своей работе [4] сформулировал условия допустимости и дал решение задачи Римана о распаде разрыва для случая невыпуклой функции потока. В работе О. А. Олейник [26] было сформулировано условие единственности (называемое теперь E-условием Олейник) обобщенного решения задачи (1) для произвольной гладкой фунции потока f в классе кусочно гладких функций.

Дальнейшее развитие нелокальная теория обобщенных энтропийных

решений получила в работах [17, 33, 3, 22, 18, 19, 20] уже в случае многих пространственных переменных. В работах С.Н. Кружкова [18, 19, 20] было введено понятие обобщенного энтропийного решения, естественным образом вытекающее из метода «исчезающей вязкости», а также установлены существование и единственность ограниченного обобщенного энтропийного решения и Е Ьж(Пт) задачи (1) при п0 Е и / Е Св общем случае многих пространственных переменных. В этих работах также доказано свойство монотонной зависимости решения от начальных данных:

если и, V Е Ьж(Пт) — обобщенные энтропийные решения задачи (1) с начальными условиями п0 Е и v0 Е соответственно, причем

п0(х) ^ v0(x) п. в. на К, то и(г, х) ^ v(t, х) п. в. на Пт.

Из этого свойства вытекает принцип максимума/минимума: если а ^ |п0| ^ Ь почти всюду на К и и — ограниченное обобщенное энтропийное решение задачи (1), то а ^ |п| ^ Ь почти всюду на Пт. Из него, в частности, следует единственность постоянного решения в классе ограниченных измеримых функций. Отметим, что все классические определения обобщенных решений легко переносятся и на класс локально ограниченных функций.

Локально ограниченные обобщенные энтропийные решения изучались в работах А. Ю. Горицкого и Е. Ю. Панова [12, 14, 36, 28]. В работе А. Ю. Горицкого [12] методом характеристик приведено построение локально ограниченного обобщенного энтропийного решения задачи Коши для уравнения

Щ + (и3/3)х = 0 (2)

с линейным начальным условием и0(х) = х/2. В работе Е. Ю. Панова [28] этот результат был обобщен на случай степенной функцией потока /(и) = |и|а-1и/а, а > 1 и степенного начального условия и0(х) = |х|в, в (а — 1) > 1. В отличие от работы А. Ю. Горицкого [12] построение проводилось не методом характеристик, а при помощи группы симметрий. Все построенные обобщённые энтропийные решения определены во всей полуплоскости г > 0, имеют счётное число линий сильного разрыва (ударных волн) и меняют знак при переходе через каждую

из этих линий. Следовательно, эти решения не удовлетворяют принципу максимума, что может вести к неединственности.

В работах А. Ю. Горицкого и Е. Ю. Панова [14, 36, 28] показано, что в классе локально ограниченных функций постановка задачи Коши некорректна в том смысле, что ни один из положительных результатов (существование и единственность решения, свойство монотонной зависимости решения от начальных данных), справедливых для ограниченных обобщенных энтропийных решений, вообще говоря, неверен для локально ограниченных решений. Например, оказалось, что уравнение (2) имеет нетривиальное обобщенное энтропийное локально ограниченное решение. Построение этого решения было приведено в работах А. Ю. Горицкого и Е. Ю. Панова [14, 36] на основе конструкции А. Ю. Горицкого [12]. Также выяснилось, что задача Коши для уравнения (2) с начальным условием

I 0 при х ^ 0,

щ(х) = <

I —х/2 при х < 0,

не имеет положительного решения ни в какой полосе Пт. Этот результат получен на основе принципа сравнения для ограниченных обобщенных суб- и суперрешений, установленного в работах [2, 32].

В работе Е. Ю. Панова [28] доказана теорема существования и единственности локально ограниченного обобщенного энтропийного решения задачи (1) в общем случае многих пространственных переменных в классе функций, удовлетворяющих некоторому степенному ограничению на рост по пространственным переменным. Все решения, рассмотренные в работах А. Ю. Горицкого и Е. Ю. Панова [12, 14, 36], выпадают из установленных Пановым классов корректности.

Таким образом, актуальной является задача изучения локально ограниченных решений задачи Коши (1), не удовлетворяющих степенному ограничению на рост по пространственным переменным.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разрывные энтропийные решения одномерных законов сохранения с неограниченными начальными условиями»

Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является построение локально ограниченных обобщенных энтропийных решений задачи (1) при различных функциях потока и начальных условиях.

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные научные результаты:

• построено знакочередующееся обобщенное энтропийное решение задачи (1) со степенной функцией потока и экспоненциальным начальным условием, определенное во всей полуплоскости г > 0, а также изучены свойства этого решения;

• показано, что такая задача Коши не имеет положительного обобщенного энтропийного решения ни в какой полосе Пт;

• приведен новый пример неединственности обобщенного энтропийного решения задачи Коши (1) со степенной функцией потока и нулевым начальным условием в классе локально ограниченных функций;

• описаны все обобщенные энтропийные решения задачи Коши (1) со степенной функцией потока и экспоненциальным начальным условием, имеющие специальное представление.

Методы исследования

В работе применяются аналитические методы теории уравнений с частными производными и математического анализа.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами по качественной теории уравнений с частными производными.

Апробация работы

Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

• семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений механико-математическо-го факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. И. В. Асташовой, проф. А. В. Боровских, проф. Н.Х. Розова и проф. И.Н. Сергеева в 2016 г.

• научно-методический семинар МГТУ им. Н.Э. Баумана под руководством проф. В. И. Ванько, проф. В. В. Феоктистова и доц. И. К. Мар-чевского в 2016 г.

• семинар «Уравнения в частных производных» кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. Е.В. Радкевича проф. А.С. Шамаева и проф. Т.А. Шапошниковой в 2017 г.

• семинар «Задачи дифференциальных уравнений, анализа и управления: теория и приложения» кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. М.И. Зеликина, проф. В.Ю. Протасова, проф.В.М. Тихомирова и проф. А.В. Фурсикова в 2018 г.

• семинар «Уравнения математической физики» под руководством проф. Г.А. Чечкина в 2018 г.

• семинар по математическим моделям экономики под руководством проф. А.С. Шамаева и проф. О.С. Розановой в 2018 г.

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (г. Москва, апрель 2014 г. и апрель 2018 г.);

• Международная научная конференция «Дни студенческой науки МЭ-СИ» (г. Москва, апрель 2015 г.);

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, июль 2016 г. и июль 2018 г.);

• Международная научная конференция «Современные методы и проблемы математической гидродинамики — 2018» (г. Воронеж, 3-8 мая 2018 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ ([5]—[11], [35]), в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 71 страницу. Библиография включает 39 наименований.

Краткое содержание диссертации

В первой части первой главы диссертации вводятся основные определения, среди которых понятие обобщенного энтропийного решения, обобщенного энтропийного суб- и суперрешения, а также приводятся формулировки известных утверждений, необходимых для последующего изложения.

Основу первой главы диссертации составляет построение обобщенного энтропийного решения задачи Коши (1) со степенной функцией потока и экспоненциальным начальным условием (см. теорему 1.1). Построение такого решения проводится методом характеристик, а линии разрыва получаются как огибающие семейств характеристик. Для нахождения огибающих семейств характеристик используется преобразование Лежандра.

Построенное обобщённое энтропийное решение определено при всех г > 0, имеет счётное число линий сильного разрыва (ударных волн) и меняет знак при переходе через каждую из этих линий. Следовательно,

для него не справедлив принцип максимума, что может вести к неединственности указанного решения (в третьей главе показано, что указанное решение действительно не является единственным). Кроме того, построенное решение оказывается ограниченным при t > 0, равномерно по x стремящемся к нулю при t ^ и односторонне периодическим по пространственной переменной (см. следствие 1.1). На рис. 1.4 и рис. 1.5 приведены сечения графика функции u плоскостями to = const и x0 = const соответственно.

В третьей части первой главы приведены достаточные условия несуществования положительного обобщенного энтропийного решения задачи Коши (1) ни в какой полосе Пт (см. теорему 1.2). Для доказательства данного утверждения использован принцип сравнения для ограниченных обобщенных суб- и суперрешений, а также тот факт, что минимум конечного множества обобщенных энтропийных суперрешений задачи Коши также является ее обобщенным энтропийным суперрешением. Как следствие доказано, что исследуемая в этой главе задача Коши для закона сохранения со степенной функцией потока и экспоненциальным начальным условием не имеет положительного обобщенного энтропийного решения ни в какой полосе Пт (см. следствие 1.3).

Результаты первой главы подробно опубликованы в статьях [6, 35].

Во второй главе построены обобщенные энтропийные решения задачи Коши для более широкого класса функций потока и начальных условий. Построение таких решений, как и в первой главе, проводится методом характеристик, а линии разрыва получаются как огибающие семейств характеристик при помощи преобразования Лежандра. В теореме 2.1 сформулированы достаточные условия существования во всей полуплоскости t > 0 обобщенного энтропийного решения задачи (1) с неограниченным начальным условием. На основе этого результата приведены новые примеры существования знакочередующихся обобщенных энтропийных решений со счетным числом ударных волн, определенных во всей полуплоскости t > 0 (см. следствия 2.1, 2.2, 2.3).

В следствии 2.1 установлено существование решения указанного вида задачи Коши для скалярного закона сохранения со степенной функцией

потока и начальным условием

uo(x) = ((-go)-1(x))1/(a-1),

где

go : R+ ^ R, go(k) = Ao • km + Bo • ln k, 0 <m< 1, Ao, Bo > 0.

В следствии 2.2 установлено существование решения указанного вида задачи Коши для скалярного закона сохранения со степенной функцией потока и начальным условием

В следствии 2.3 установлено существование решения указанного вида задачи Коши для скалярного закона сохранения с функцией потока ](и) =

В теоремах 2.2 и 2.3 на основе теоремы 1.2 доказано, что задачи Коши, рассмотренные в следствиях 2.2, 2.3 не имеют положительных решений ни в какой полосе Пт.

В третьей главе вновь исследуется задача Коши для скалярного закона сохранения со степенной функцией потока и экспоненциальным начальным условием. В первой части третьей главы находится группа симметрий указанной задачи, что позволяет искать ее решение в специальном виде. На основе найденной группы симметрий во второй части третьей главы приводится альтернативное доказательство теоремы 1.1.

На основе построенного в этой теореме решения в третьей части третьей главы приводится новый пример неединственности нулевого решения задачи (1) со степенной функцией потока и нулевым начальным условием в классе локально ограниченных функций (см. теорему 3.1).

В последней части третьей главы описаны все обобщенные энтропийные решения квазилинейного уравнения первого порядка со степенной функцией потока, имеющие специальное представление (см. теорему 3.2). Как следствие, доказано, что задача Коши для такого уравнения с экспо-

A = 0 <B.

|u|a 1и/а + Au, A G R и экспоненциальным начальным условием.

ненциальным начальным условием имеет бесконечно много обобщенных энтропийных решений, определенных при £ > 0, для каждого из которых не выполнен принцип максимума (см. следствие 3.3). Однако все эти решения после первого разрыва выходят на фактически однозначный периодический режим, и вся неединственность состоит лишь в выборе первой ударной волны.

Результаты третьей главы подробно опубликованы в работах [7, 11].

Глава 1

Разрывные энтропийные решения задачи Коши для скалярного закона сохранения с экспоненциальным начальным условием

1.1. Понятие обобщенного энтропийного решения

Для заданных f Е Cu0 Е L1c(R) рассмотрим задачу Коши для уравнения

ut + (f (u))x = 0, (t, x) Е Пт = (0, T) x R, 0 < T < 1, (1.1) с начальным условием

u|t=0= u0(x), x Е R. (1.2)

Определение 1.1 [18, 20]. Функция u: Пт ^ R, u Е ЬЦс(Пт), называется обобщённым энтропийным решением задачи (1.1), (1.2), если:

1) для любого k Е R выполнено неравенство

|u - k|t + (sign(u - k)(f (u) - f (k)))x ^ 0 в Т>'(Пт); (1.3)

2) esslimu(t, •) = u0(^) в L11oc(R), т.е. существует множество E С (0,T) полной меры Лебега, такое что u(t, •) Е L^R), t Е E, и u(t, •) ^ u0 в Lloc(R) при t ^ 0+, t Е E.

Условие (1.3) означает, что для любой пробной функции р Е 00° (Пт), р ^ 0, выполнено неравенство

[|u - k+ sign(u - k)(f (u) - f (k))px] dxdt ^ 0.

'П

T

Известно [19, 13], что неравенство (1.3) эквивалентно следующему условию: для любой выпуклой функции n Е C j(R) (энтропии) имеет место неравенство

(n(u))t + (^(u))x ^ 0 в &(Пт), (1.4)

где ^ — соответствующая функция потока энтропии, определяемая с точностью до аддитивной константы равенством ^'(u) = n'(u)f'(u).

Обозначим f + = max(f, 0); f- = max(-f, 0); sign+(f) = sign(f+); sign-(f) = - sign+(-f).

Определение 1.2 [2, 32]. Функция u: Пт ^ R, u Е ЬЦс(Пт), называется обобщенным энтропийным субрешением задачи (1.1), (1.2), если:

1) для любого k Е R выполнено неравенство

[(u - k)+]t + [sign+(u - k)(f (u) - f (k))]x ^ 0 в ЩПт); (1.5)

2) esslim((u(i,x) - u0(x))+ = 0 в L/oc(R).

Определение 1.3 [2, 32]. Функция u: Пт ^ R, u Е ЬЦс(Пт), называется обобщенным энтропийным суперрешением задачи (1.1), (1.2), если:

1) для любого k Е R выполнено неравенство

[(u - k)-]t + [sign-(u - k)(f (u) - f (k))]x ^ 0 в &(Пт); (1.6)

2) essHm((u(t, x) - u0(x))- = 0 в LjOc(R).

Замечание 1.1. Условие (1.5) эквивалентно выполнению требования (1.4) для всех неубывающих функций n Е C1 (R), а (1.6) — для всех невозрастающих функций n Е Cj(R).

Замечание 1.2. Функция u является обобщенным энтропийным ре-

шением задачи (1.8), (1.9) тогда и только тогда, когда она является обобщенным энтропийным субрешением и суперрешением одновременно.

В работах [2, 32] установлен следующий принцип сравнения для ограниченных обобщенных энтропийных суб- и суперрешений.

Предложение 1.1. Если V: Пт ^ К, и: Пт ^ Е ) —

обобщенное энтропийное субрешение и обобщенное энтропийное суперрешение задачи (1.8), (1.9) с начальными функциями и0 и и0 соответственно, и0Е и v0(х) ^ и0(х) п. в. на К, то м(£,ж) ^ и(£,ж) п. в. на Пт.

В работе [27] доказано, что максимум конечного множества обобщенных энтропийных субрешений задачи (1.1), (1.2) также является обобщенным энтропийным субрешением этой задачи, а минимум конечного множества обобщенных энтропийных суперрешений задачи (1.1), (1.2) также является обобщенным энтропийным суперрешением этой задачи, откуда вытекает

Предложение 1.2 [14]. 1) Пусть и — обобщенное энтропийное субрешение задачи (1.8), (1.9), с Е К. Тогда функция V: Пт ^ К, v(t,ж) = = шах(и(£, х), с) также является обобщенным энтропийным субрешением этой задачи с начальной функцией v0: К ^ К, v0(ж) = = шах(и0(х), с).

2) Пусть и — обобщенное энтропийное суперрешение задачи (1.8), (1.9), с Е К. Тогда функция и: Пт ^ К, и(£,ж) = шт(и(£, х), с) также является обобщенным энтропийным суперрешением этой задачи с начальной функцией и0: К ^ К, и0(х) = шт(и0(ж), с).

Мы будем строить кусочно гладкое обобщенное энтропийное решение задачи (1.1), (1.2). В учебном пособии [13] доказано

Предложение 1.3. Пусть и: Пт ^ К — кусочно гладкая в полосе Пт функция с не более чем счётным числом линий разрыва Гп, являющихся графиками функций 7П Е С :(0, Т), где п Е^С N = N и {0}; пусть эти линии не пересекаются, и существуют односторонние пределы

Нш

Нш

функции и при подходе к каждой линии разрыва Гп. Тогда и является обобщённым энтропийным решением уравнения (1.1) в том и только в том случае, когда выполнены следующие условия:

1) в области гладкости и удовлетворяет (1.1) в классическом смысле;

2) на каждой линии разрыва Гп при каждом £ Е (0,Т) выполнено условие Ранкина-Гюгонио:

• (£) _ /(и+(£)) - /(и-(£)), и+ (£) - и-(£)

(1.7)

3) для любого п Е N и для любого £ Е (0,Т) выполнено условие допустимости разрыва (см. рис. 1.1): при и+(£) > и-(£) (и+(£) < и-(£)) график функции / лежит не ниже (соответственно, не выше) хорды, соединяющей точки этого графика с абсциссами и-(£), и+(£).

(£)) / —^...................... / («-(¿))

(£)) " 1 1 / (и+(£))

0 1 1 1 и 0

и-(£) и+(£)

и

и+(£)

и-(£)

Рис. 1.1. Условие допустимости разрыва

Замечание 1.3. Первые два условия предложения 1.3 эквивалентны тому, что функция и является обобщенным решением (в смысле распределений) уравнения (1.1), а последнее является условием возрастания энтропии для кусочно гладких решений, эквивалентное Е-условию О. А. Олейник [26].

Замечание 1.4. В условиях предложения 1.3 кусочно гладкая функция и: Пт ^ М является обобщенным энтропийным решением задачи (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда выполнены условия 1)-3) предложения 1.3, а также условие 2) определения 1.1.

Замечание 1.5. В случае гладкого начального условия и0 и кусочно гладкой функции и условие 2) определения 1.1 можно переписать в виде: и(£, •) ^ ио(-) при £ ^ +0 в смысле компактно-открытой топологии.

1.2. Существование знакочередующегося разрывного энтропийного решения в случае экспоненциального начального условия

Будем решать задачу Коши (1.1), (1.2) с ](и) = |и|а—1и/а, и0(х) = = ехр (—х/(а — 1)), где а > 1, в полуплоскости £ > 0, то есть

и + |и|а-1иж = 0, £ Е = (0, то), х Е К, (1.8)

и|^_0= ехр ( ---— ) , х Е К. (1.9)

х

(а ~ 1).

Теорема 1.1. У задачи Коши (1.8), (1.9) существует обобщенное энтропийное решение и, которое

1) определено во всей полуплоскости х К;

2) имеет счетное число ударных волн Гп, п Е являющихся графиками функций (см. рис. 1.2)

7п(£) = 1п £ + 1 — пС, С = С (а); (1.10)

3) удовлетворяет соотношениям

и(£,х) = (—1)пи(£, х + пС), (£, х) Е £п, п Е N0, (1.11)

где = {(£,х) Е х К | 7п+1(£) < х < 7П(£)} и и = и|^0.

Предпошлем доказательству теоремы 1.1 ряд вспомогательных фактов.

Вспомогательные факты

Определение 1.4. Преобразованием Лежандра выпуклой вверх функции д: К ^ К называется функция 7, задаваемая для каждого £ Е К равенством

7 (£) = 1пМ* — д (к)).

х

0

_ £

72(£) = 1 + 1П £ — 2С

7о(£) = 1 + 1П £

71(£) = 1 + 1П £ — С

7э(£) = 1 + 1П £ — 3С

Рис. 1.2. Линии разрыва

Обозначим через £(д) преобразование Лежандра функции д. Непосредственно из определения следует, что для всякого С Е К выполнено соотношение £(д + С) = £(д) — С.

Предложение 1.4 [1]. Пусть х^(£) = к£ — д(к), £ > 0 — семейство прямых, зависящих от параметра к > 0, причем д: ^ К — гладкая, возрастающая и строго выпуклая вверх функция. Тогда огибающая этого семейства прямых является графиком гладкой выпуклой вверх функции 7: К+ ^ К, где 7 = £(д).

Лемма 1.1. Пусть функция и: х К ^ К удовлетворяет условиям предложения 1.3, и для некоторого п Е N при всех £ > 0 справедливо равенство

Тогда на линии разрыва Гп выполнено условие Ранкина-Гюгонио (1.7) в том и только том случае (см. рис. 1.3), когда для всех £ > 0 справедливо соотношение и— (£) = — (£), где эд — корень уравнения

7 п (£) = / '(<(£)) = |и+(£)|а—1.

(1.12)

| V |а—1^ — а-и + а — 1 = 0,

(1.13)

отличный от 1.

/ \ /(и) = |и|а

и«(£) = -^и+(£) 0

tg ^ = / '(и+(£)

и

X

Рис. 1.3. Функция потока /(и) = |и|а :и/а

Доказательство. 1. Докажем, что если при некотором п е N и при всех £ > 0 справедливо равенство (1.12), то соотношение

*Чп ^ - / (и+(£)) - / (и п

/(ип (£))= и+(£) - и-(£)

£ > 0.

(1.14)

выполнено в том и только в том случае, когда ип (£) = для любого

£ > 0.

2. Пусть (1.14) выполнено. При фиксированных £ > 0 и и+(£) рассмотрим равенство (1.14) как уравнение относительно и-(£). Заметим, что это уравнение является уравнением касательной к графику функции / в точке и+(£). Подставив в (1.14) функцию потока /(и) = |и|а-1и/а и сделав замену и-(£) = и+(£)-и, получим уравнение (1.13).

Анализ функции

g : R ^ R, g(v) = |v|a-1v - av + a - 1,

показывает, что это уравнение имеет единственный корень, отличный от единицы, причем он отрицателен и меньше -1. Обозначим его - w. Получим, что для всякого t > 0 справедливо соотношение u— (t) = -wu+(t).

3. Пусть для всех t > 0 выполнено u- (t) = - wu+(t). Непосредственной подстановкой доказывается справедливость (1.14). H

Замечание 1.6. Отметим, что если a = 3, то есть f (u) = u3/3, то w = 2. Если же a = 2, то w = -1 - л/2.

Доказательство теоремы. Разобьем доказательство на пункты, которые мы будем нумеровать римскими цифрами.

I. Построим явно кусочно гладкое обобщенное энтропийное решение задачи (1.8), (1.9), удовлетворяющее условиям теоремы. В пункте II докажем существование гладкого решения в областях D = {(t,x) G R+ х х R | x > Yo(t)} и Dn, n G No. В пункте III докажем, что на линиях разрыва Гп выполнено условие Ранкина-Гюгонио и условие допустимости разрыва.

II. 1. В окрестности любой точки прямой t = 0 классическое решение задачи (1.8), (1.9) существует и единственно [30]. Для его построения следует продолжить начальное условие uo константой вдоль характеристик. Характеристическая система для уравнения (1.8) имеет вид

t = l, u = 0, x = f'(u). (1.15)

Характеристикой, выходящей из точки (t0,x0,u0(x0)) = (0, s,u0(s)), s G R — параметр на графике начального условия u0, является прямая

{(t, x,u) G R3 | u = e-s/(a-1), x = f(u)(t - t0) + x0 = |u|a-1t + s}, (1.16) которая в проекции на плоскость (t, x) имеет вид

{(t, x) G R2 | x = e-st + s}. (1.17)

Покажем что проекции характеристик (1.17) покрывают область О. Тем самым мы докажем существование классического решения в этой области. Сделав в (1.17) замену к = б-в, получим семейство прямых хк(£) = к£ — #0(к), #0(к) = 1п к, зависящих от параметра к > 0. Это семейство прямых имеет огибающую Г0, которая является графиком гладкой выпуклой вверх функции 70: ^ К, 70 = £(#0) (см. предложение 1.4).

Для нахождения £(#0) зафиксируем £ е К0 и найдем к из уравнения £ — #0(к) = 0. Получим, что

к = -, 70(£) = £ • - — 1п- = 1+1п£.

Итак, в области О доказано существование классического решения задачи (1.8), (1.9).

Найдем предел и+: К0 ^ К этого решения при подходе к кривой разрыва Г0. Заметим, что для всякого £ > 0

70(£) = /'К+ (£)), (1.18)

откуда вытекает соотношение 1/£ = |и°(£)|а—1. Поскольку в области О решение и положительно, имеем и+(£) = £—1/(а—1).

2. Теперь докажем существование классического решения задачи (1.8) в области О0. Решим в этой области задачу Коши для уравнения (1.8) с начальным условием, заданным на кривой разрыва Г0, и— (£).

Определим и— : К0 ^ К формулой

и—(£) = — ^£—1/(а—1), (1.19)

где эд > 0 — решение уравнения (1.13). Характеристикой, выходящей из точки

(£0, Х0, и—(£0)) = (5, 1 + 1п5,м5—1/(а—1)),

где s > 0 — параметр на графике начального условия u0 , является прямая

{(t,x,u) G R3 | u = -ws-1/(a-1), x = /(u)(t - to) + xo =

= |u|a-1(t - s) + ln s + 1},

которая в проекции на плоскость (t, x) имеет вид

{(t, x) G R2 | x = wa-1s-1(t - s) + ln s + 1 =

= wa-1s-1t + ln s + 1 - wa-1}. (1.20)

Покажем, что проекции характеристик (1.20) покрывают область D0. Сделав в (1.20) замену k = wa-1s-1, получим семейство прямых x^(t) = = kt - g (k), где

g1(k) = ln k + C, C = wa-1 - 1 - (a - 1) ln w,

зависящих от параметра k > 0.

Это семейство прямых имеет огибающую Г1, которая является графиком гладкой выпуклой вверх функции y1 : R+ ^ R, y1 = L(g1) (см. предложение 1.4). Как уже отмечалось, L(g0 + C) = L(g0) - C, поэтому Y1 (t) = 1 + ln t - C.

Итак, в области D0 доказано существование классического решения задачи (1.8), (1.9). Обозначим его U.

4. Определим в областях Dn, n G N, решение следующим образом:

u(t, x) = (-1)nU (t, x + nC ).

Таким образом, мы имеем классическое решение задачи (1.8), (1.9) в областях D и Dn, n G N0.

III. Докажем, что на линиях разрыва Гп, n G N0, выполнено условие Ранкина-Гюгонио и условие допустимости. Условию Ранкина-Гюгонио решение u удовлетворяет по лемме 1.1. Проверим условие допустимости разрывов Гп, n G N0. Заметим, что для любого n G N0 и любого t > 0 хорда, соединяющая точки с абсциссами u-(t) и u+(t), совпадает с отрезком каса-

тельной, проведенной к графику функции / в точке и+(£). Действительно, из построения функции и имеем: 7п(£) = /'(и+(£)), откуда с учетом условия Ранкина-Гюгонио (1.7) получим (1.14).

Следовательно, в случае и+(£) > 0 график функции / на отрезке [и—(£), и+0(£)] лежит над соответствующей хордой; в случае же и— (£) < 0 — под хордой. Таким образом все разрывы построенного решения являются допустимыми, а само решение — энтропийным. ■

Докажем ряд свойств построенного в теореме 1.1 обобщенного энтропийного решения, среди которых знакочередование, ограниченность в любой фиксированный положительный момент времени, односторонняя периодичность по пространственной переменной и поведение при больших временах.

Следствие 1.1. Обобщенное энтропийное решение задачи (1.8), (1.9), построенное в теореме 1.1, является знакочередующимся. Кроме того, для любых £ > 0 и х е К справедлива оценка

|и(£, х)| < -£—1/(а—1), - = -(а) > 0, (1.21)

откуда следует ограниченность построенного решения при любом £ > 0 и равномерное по х е К стремление к нулю при £ ^

Доказательство. I. Докажем, что при переходе через каждую ударную волну Гп, п е N, являющуюся графиком функции (3.4), решение меняет знак. Действительно, в области О = {(£,х) | х > 70(£)} решение является положительным, поскольку начальное условие (1.9) является положительным, а решение строится методом характеристик. В области же О0 = {(£,х) | 70(£) < х < 71(£)} «начальное» условие (1.19) является отрицательным, поэтому и решение является отрицательным. Следовательно, при переходе через линию разрыва Г0 решение меняет знак с плюса на минус. Из формулы (1.11) следует смена знака у решения при переходе через ударные волны Гп, п е N.

II. Докажем оценку (1.21). Заметим, что пределы функции и при под-

ходе к линиям разрыва Гп слева и справа соответственно равны

u+(t) = (-1)nt-1/(a-1) и u-(t) = (-1)n-1wt-1/(a-1) (1.22)

для любых n G No и t > 0 (см. пункт II доказательства теоремы 1.1), причем u = const вдоль характеристик.

Рассмотрим сечение плоскости t > 0 прямой t = t0 > 0 и точку (t0, x), x G R. Если (t0, x) G D, то есть x > Y0(t0), то u+ (t0) = t-1/(a-1), а характеристика уравнения (1.8), проходящая через эту точку, имеет меньший наклон по сравнению с характеристикой, проходящей через точку (t0, Y0(t0).

Если же (t0, x) G Dn, n G N0, то есть Yn+1(t0) < x < Yn(t0), то u-(t0) = = (—1)n+1wt-1/(a-1), а u+(t0) = (—1)n+1t-1/(a-1). Наклон характеристики, проходящей через эту точку меньше наклона характеристики, проходящей через точку (t0, Yn(t0)), и больше наклона характеристики, проходящей через точку (t0, Yn+1(t0)).

В силу того, что t0 выбрано произвольно, наши рассуждения означают, что в области D выполнена оценка 0 < u(t,x) < t-1/(a-1),t > 0, а в областях Dn, n G N0 — оценка

t-1/(a-1) < |u(t, x)| < wt-1/(a-1), w = w(a) > 1, (1.23)

откуда следует оценка (1.21), а вместе с ней ограниченность построенного решения при любом t > 0 и равномерное по x G R стремление к нулю при t ^ ■

Следствие 1.2. Для любых t > 0 и x G R справедлива оценка

|u(t,x)| < we-(x-1)/(a-1). (1.24)

Доказательство. Заметим, что пределы функции u при подходе к линиям разрыва Гп справа и слева соответственно равны (1.22) для любых n G N0 и t > 0 (см. пункт II доказательства теоремы 1.1), причем u = const вдоль характеристик. Поскольку графики линий разрыва задаются для каждого n G N0 функциями (3.4), получаем следующие пределы решения

при подходе к этим линиям разрыва:

и+(х) = (-1)пе-(х-1+пС,)/(а-1), (1.25)

и—(х) = (—1)п-1-е-(х-1+пС)/(а-1). (1.26)

Рассмотрим сечение плоскости £ > 0 прямой х = х0 и точку (£, х0), £ > > 0. Если (£, х0) е О, то есть х0 ^ Т0(£), то и+ (х0) = е-(хо-1)/(а-1), а при любом £ < 70"1(х0) характеристика уравнения (1.8) имеет больший наклон по сравнению с характеристикой, проходящей через точку (70"1(х0), х0). Если же (£, х0) е Оп, п е N0, то есть 7П(£) < х0 < 7п+1(£) то

и— (х0) = (—1)пО1-е-(х0-1+пС)/(а-1), и+(х0) = (—1)пО1е-(х0-1+пС)/(а-1).

Наклон характеристики, проходящей через точку (£, х0) меньше наклона характеристики, проходящей через точку (7—1(х0), х0), и больше наклона характеристики, проходящей через точку (7—+11(х0), х0).

В силу того, что х0 выбрано произвольно, наши рассуждения означают, что в области О справедлива оценка

е-х/(«-1) ^ и(£, х) < е-(х-1)/(а-1),

а в областях Оп, п е N0, — оценка

е-(х-1+(п+1)с)/(а-1) ^ |и(£,х)| ^ —е-(ж-1+пС)/(а-1),

откуда следует требуемая оценка (1.24). ■

Представляет интерес поведение решения при фиксированном £ и при фиксированном х. Соответствующие сечения графика функции и изображены на рис. 1.4 и рис. 1.5.

Замечание 1.7. Обобщенное энтропийное решение задачи (1.8), (1.9), построенное в теореме 1.1 является односторонне периодическим1. Это ре-

1 Назовем функцию f: М ^ М односторонне периодической с периодом Б, если соотношение f (х + Б) _ /(х) выполнено на луче х > хо или х < хо.

и

Рис. 1.4. График решения при фиксированном £

и

и = £ а-1

и = — £ а-1

Рис. 1.5. График решения при фиксированном х

шение легко изменить до периодического по пространственной переменной, положив

и(£, х) = (-1)|п|и(£, х + пС), (£, х) е Вп, п е Ж,

где Вп = {(£, х) е х К | 7п+:(£) < х < 7п(£)}, функции 7„, п е Ж,

1

определены в (1.10), а и = и|^0. Функция и является обобщенным энтропийным решением уравнения (1.8), удовлетворяющем в любой области Оп, п е Ж, оценке (1.23), откуда следует несуществование предела у этого решения при £ ^ +0.

1.3. Несуществование положительного энтропийного решения

В следствии 1.1 доказано, что решение, построенное в теореме 1.1 является знакочередующимся. Следовательно, для него не справедлив принцип максимума, что ставит под сомнение единственность рассматриваемой задачи (в главе 3 мы приведем соответствующие примеры). Ниже мы покажем, что задача (1.8), (1.9) не имеет положительного обобщенного энтропийного решения ни в какой полосе Пт.

Теорема 1.2. Пусть функции /, и0 е С 1(К), функция #(х) = (/(х) — — /(0))/х — возрастающая при х > 0, функция и0 — неотрицательная неограниченная убывающая на К функция, причем выполнено соотношение —и—1(х) = о(#(х)) при х ^ Тогда не существует неотрицательного обобщенного энтропийного решения задачи (1.1), (1.2) ни в какой полосе Пт.

Доказательство. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1.1) с начальным условием (1.2), а также задачи Коши для того же самого уравнения со следующими начальными условиями

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гаргянц, Лидия Владимировна, 2018 год

Литература

[1] Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2012.

[2] Бенилан Ф, Кружков С. Н. Квазилинейные уравнения первого порядка с непрерывными нелинейностями // Докл. РАН. 1994. Т. 339, № 2. С. 151-154.

[3] Вольперт А. И. Пространства ВУ и квазилинейные уравнения // Ма-тем. сборник. 1967. Т. 73. № 115. С. 255-302.

[4] Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи математ. наук. 1959. Т. 14. №2. С. 87-158.

[5] Гаргянц Л. В. О локально ограниченных решениях одномерных законов сохранения со степенной функцией потока // Материалы конференций, проходивших в рамках «Дней студенческой науки МЭСИ. 0сень-2014». Сборник научных трудов. Часть 2. Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, М., 2014. С.231-233.

[6] Гаргянц Л. В. Локально ограниченные решения одномерных законов сохранения // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 4. С. 481-489.

[7] Гаргянц Л. В. О локально ограниченных решениях квазилинейных уравнений первого порядка со степенной функцией потока // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 6. С. 854-855.

[8] Гаргянц Л. В. О локально ограниченных решениях квазилинейных уравнений первого порядка // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль. 2016. С. 47-48.

[9] Гаргянц Л. В. О неединственности неограниченных решений задачи Коши для скалярного закона сохранения с экспоненциальным начальным условием // Материалы международной научной конференции «Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2018». Воронеж. 2018. С. 109-118.

[10] Гаргянц Л. В. Примеры неединственности неограниченных обобщенных энтропийных решений скалярных законов сохранения // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль. 2018. С. 67-68.

[11] Гаргянц Л. В. О локально ограниченных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка со степенной функцией потока // Мат. заметки. 2018. Т. 104. № 2. С. 191-199.

[12] Горицкий А. Ю. Построение неограниченного энтропийного решения задачи Коши со счетнымм числом ударных волн // Вестник Московского Университета. Сер. 1, Математика, механика. 1999. №2. С. 3-6.

[13] Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г. А. Уравнения с частными производными первого порядка (Учебное пособие) // М.: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 1999.

[14] Горицкий А. Ю., Панов Е. Ю. О локально ограниченных обобщенных энтропийных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова. 2002. Т. 236. № 5. С. 120-133.

[15] Зорич В. А. Математический анализ I. М.:МЦНМО, 2007.

[16] Калашников А. С. Построение обобщенных решений квазилинейных уравнений первого порядка без условий выпуклости как пределов решений параболических уравнений с малым параметром // ДАН СССР. 1959. Т. 127. № 1. С. 27-30.

[17] Кружков С. Н. О задаче Коши в целом для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 1. С. 36-39.

[18] Кружков С. Н. Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка // ДАН СССР . 1969. Т. 187. № 1. С. 29-32.

[19] Кружков С. Н. Результаты о характере непрерывности решений параболических уравнений и некоторые их применения // Мат. заметки. 1969. Т. 6. № 1. С. 97-108.

[20] Кружков С. Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Мат. сб. 1970. Т. 81. № 2. С. 228255.

[21] Кружков С. Н. Нелинейные уравнения с частными производными. Ч. 2. Уравнения первого порядка. М.: МГУ. 1970.

[22] Кузнецов Н. Н. О слабом решении задачи Коши для многомерного квазилинейного уравнения // Матем. заметки. 1967. Т. 2. № 4. С. 401410.

[23] Ладыженская О. А. О построении разрывных решений квазилинейных гиперболических уравнений как пределов решений соответствующих параболических уравнений, когда коэффициент вязкости стремится к нулю // ДАН СССР. 1956. Т. 111. № 2. С. 291-294.

[24] Олейник О. А. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций // ДАН СССР. 1954. Т. 95. № 3. С. 451-454.

[25] Олейник О. А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12. № 3. С. 3-73.

[26] Олейник О. А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14. № 2. С. 165-170.

[27] Панов Е. Ю. К теории обобщенных энтропийных суб- и суперрешений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 2. С. 252-259.

[28] Панов Е. Ю. О классах корректности локально ограниченных обобщенных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12. № 5. С. 175-188.

[29] Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. 2-ое изд. М.: Наука, 1978.

[30] Сергеев И. Н. Дифференциальные уравнения. Академия: 2013.

[31] Тихонов А. Н., Самарский А. А. О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка //ДАН СССР. 1954. Т. 99. № 1. С. 2730.

[32] Benilan Ph., Kruzhkov S.N. Conservation laws with continuous flux functions // Nonlin. Diff. Equat. and Appl. 1996. V. 3. P. 395-419.

[33] Conwey E., Smoller J. Global solutions of the Cauchy problem for quasilinear first-order equations in several space variables // Comm. Pure Appl. Math. 1966. V. 19. № 1. P. 95-105.

[34] Evans L. C. Partial Differential Equations. Providence: AMS, 1998.

[35] Gargyants L. V. Example of Nonexistence of a Positive Generalized Entropy Solution of a Cauchy Problem with Unbounded Positive Initial Data // Russian Journal of Mathematical Physics. 2017. V. 24. № 3. P. 412-414.

[36] Goritsky A. Yu., Panov E. Yu. Example of nonuniqueness of entropy solutions in the class of locally bounded functions // Russian Journal of Mathematical Physics. 1999. V. 6. № 4. P. 492-494.

[37] Hopf E. The partial differential equation + = pbuxx // Comm. Pure Appl. Math. 1950. V. 3. № 3. P. 201-230.

[38] Lax P. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations // Comm. Appl. Math. 1954. V. 7. № 1. P. 159193.

[39] Lax P. Hyperbolic Partial Differential Equations. Providence: AMS, 2006.