Разрешимость начальных и обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Манаенкова, Татьяна Алексеевна

• Манаенкова, Татьяна Алексеевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Манаенкова, Татьяна Алексеевна

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Вспомогательные сведения и обзор результатов................3

1. Исторический обзор.........................................................3

2. Специальные функции......................................................5

3. Дробные интегралы и производные.........................................8

4. Полугруппы и производящий оператор.....................................13

5. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.....................................................................................................................17

6. Формулировка основных результатов диссертации..........................22

Глава 2. Абстрактные дифференциальные уравнения, содержащие дробные производные Римана-Лиувилля..........................34

7. О разрешимости задачи типа Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля....................34

8. Операторная функция Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля.................................58

Глава 3. Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Ада-мара.........................................................................65

9. Задача типа Коши с дробной производной Адамара........................65

10. Обратная задача.........................................................70

11. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего

две различные дробные производные Адамара................................80

Список литературы........................................................94

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разрешимость начальных и обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными»

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Исторический обзор

Математический анализ с использованием интегрально-дифференциальных операторов нецелых порядков зародился уже более 300 лет назад. Еще в 1695 году Лопиталь и Лейбниц в своей переписке обсуждали значение производной порядка 1/2. Запись Лейбница стала основанием появления теории производных и интегралов произвольного порядка, которые к концу 19 века приняли более или менее окончательную форму благодаря, в основном, Лиувиллю Ж., Грюнвальду Г., Летникову A.B. и Рима-ну Б. Обзор по истокам теории дробного исчисления может быть найден в [58], [60], [37].

В последние четыре десятилетия дробное исчисление окончательно сформировалось в специальный раздел математики, что связано в основном с увеличением его прикладного значения. Особый интерес к дробному исчислению был вызван развитием теории моделирования, которая требовала более совершенного аппарата, описывающего изучаемые объекты. Стало ясно, что классический аппарат математического анализа (интегро-дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных) не способен учесть различные погрешности, которые чаще выражаются степенями нецелых порядков. Это и привело к необходимости применения производных и интегралов, порядки которых могут быть дробными, иррациональными и комплексными.

Кроме того, дробные производные предоставляют превосходный инструмент для описания запоминающих устройств и наследственных свойств различных материалов и процессов. Это главное преимущество дробных производных в сравнениии с целочисленными классическими моделями, в которых этот эффект игнорируется.

Дробные производные и интегралы также применяются в теории управления динамическими системами, когда система управления описывается дробным дифференциальным уравнением.

Развитию теории интегро-дифференциальных уравнений и специальных функций математической физики способствовали такие области современных приложений дробного исчисления, как диффузионные перемещения близкие диффузии, электросети, вероятность и статистика, вязкоупру-гость, электрохимия коррозии, оптика, задачи о потоках жидкостии т.п.

Одна из первых работ, посвещенная исключительно систематическому представлению идей, методов и приложений дробного исчисления, — это книга "The fractional calculus" Oldham K.B. и Spanier J. [60], опубликованная в 1974 г. Позже появились некоторые фундаментальные работы о различных аспектах дробного исчисления, включая монографию энциклопедического типа, написанную Самко С.Г., Килбасом A.A. и Мариче-вым О.И. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения" [37], которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных и интегралов. Сюда можно отнести работы Горенфло Р. и Весселя С. [49], МакБрайда A.C. [56], Миллера К.С. и Росса Б. [58] и обзор Россихина Ю.А. и Шитиковой М.В. [65], Нахушева A.M. [31], Псху A.B. [35].

В вышеуказанных монографиях и статьях можно найти различные приложения дифференциальных уравнений дробного порядка в физике, механике, химии, инженерии и других областях науки и естествознания с библиографией работ в этих отраслях.

Книга Капуто М. [45], опубликованная в 1969 году, в которой системно применяется его оригинальное определение дробного дифференцирования для формулировки и решения задач вязкоупругости и его лекции по сейсмологии, также должны быть включены в этот список.

Отметим и книгу Подлубного И. [62], опубликованную в 1999 г., которая посвящена главным образом дробным дифференциальным уравнениям. И, конечно, книгу [54] авторов Kilbas A.A., Srivastava Н.М., Trujillo J.J., в которой представлена теория и приложения дробных уравнений.

Кроме того, сейчас издается ряд международных журнала, целиком посвещенных только предмету дробного исчисления, например, "Journal of Fractional Calculus "Fractional Calculus and Applied Analysis'^ др.

Приводимый далее обзор использованных в диссертации результатов заимствован из [37], [54], [20], [35], [25].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Манаенкова, Татьяна Алексеевна, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Авад, Х.К. К вопросу о возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля / Х.К. Авад, A.B. Глушак // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2010. - № 5 (76), вып. 18. - С. 21 - 26.

2. Авад, Х.К. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля /Х.К. Авад, A.B. Глушак // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 6. - С. 859 - 873.

3. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи - Т. 1. - М.: Наука, 1965.

4. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи - Т. 3. - М.: Наука, 1967.

5. Васильев, В.В. Полугруппы операторов, косинус-оператор функции и линейные дифференциальные уравнения / В.В. Васильев, С.Г. Крейн, С.И. Пискарев // Итоги науки и техники. Серия Математический анализ. ВИНИТИ. - 1990. - Т. 28. - С. 87 - 202.

6. Герасимов, А.Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения. /А.Н. Герасимов // АН СССР. Прикладная математика и механика. - 1948. - Т. 12. - С.529 - 539.

7. Глушак, A.B. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной / A.B. Глушак // Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. - 2001. - № 2. - С. 74 - 77.

8. Глушак, A.B. О задаче типа Коши для неоднородного абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной / A.B. Глушак // Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. - 2002. - № 1. -С. 121 - 123.

9. Глушак, A.B. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные / A.B. Глушак // Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. - 2002. 2.-С. 61-63.

10. Глушак, A.B. Задача типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными / A.B. Глушак // Математ. заметки. - 2005. - Т. 77, вып. 1. - С. 28 - 41.

11. Глушак, A.B. О свойствах задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной / A.B. Глушак // Математ. заметки. - 2007. - Т. 82, вып. 5. - С. 665 - 677.

12. Глушак, A.B. О корректности задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными / A.B. Глушак // Известия вузов. Математика. - 2009. - № 9. - С. 13-24.

13. Глушак, A.B. Об одной обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения дробного порядка / A.B. Глушак // Математ. заметки. - 2010. - Т. 87, вып. 5. - С. 684 - 693.

14. Глушак, A.B. Задача типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной Адамара / A.B. Глушак, Т.А. Мана-енкова // Научные ведомости БелГУ. Физико-математические науки. -2008. - № 13(53) вып. 15. - С. 37 - 46.

15. Глушак, A.B. Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Адамара / A.B. Глушак, Т.А. Манаенкова // Дифференциальные уравнения. -2011. - Т. 47. - № 9. - С. 1294 - 1304.

16. Глушак, A.B. О разрешимости задач типа Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля / A.B. Глушак, Т.А. Манаенкова // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2012. - № 17(136) вып. 28 - С. 28 - 45.

17. Голдстейн, Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения./ Дж. Голдстейн - Киев. Выща школа. - 1989.

18. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория. / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц - Иностранная литература. - 1962.

19. Джрбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. / М.М. Джрбашян - М.: Наука. -1966.

20. Иосида, К. Функциональный анализ. / К. Иосида - М.: Мир. - 1967.

21. К amo, Т. Теория возмущений линейных операторов. / Т. Като - М.: Мир. - 1972.

22. Килбас, A.A. Дробные интегралы и производные типа Адамара и дифференциальные уравнения дробного порядка / A.A. Килбас, A.A. Марзан, A.A. Титюра // ДАН. - 2003. - Т. 389. № 6. - С. 734 - 738.

23. Костин, В. А. К задаче Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными / В.А. Костин // ДАН СССР.

- 1992. - Т. 326. - № 4. - С. 597 - 600.

24. Кочубей, А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка / А.Н. Кочубей // Дифференциальные уравнения. - 1989. - Т. 25. - № 8. - С. 1359 - 1368.

25. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. / С.Г. Крейн - М.: Наука. - 1967.

26. Крейн, С. Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, М.И. Хазан // Итоги науки и техники СССР. Серия Математический анализ. Москва. - 1983. - Т.21. - С. 130 - 266.

27. Манаенкова Т.А. Об одной абстрактной задаче типа Коши с дробной производной Адамара / Т.А. Манаенкова // Вестник СНО. БеГУ. -2007. - 4.1. - С. 192

28. Манаенкова, Т.А. Абстрактные дифференциальные уравнения, содержащие дробные производные Адамара / Т.А. Манаенкова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. Нальчик. -2009.-Т.П. - №1. - С. 17-20.

29. Манаенкова, Т.А. Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробную производную Адамара и неограниченный оператор / Т.А. Манаенкова // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2010 г. - № 17(88) вып. 20. - С. 79 - 90.

30. Манаенкова, Т.А. Функция Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля / Т.А. Манаенкова // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2012 г. - № 17(136) вып. 28. - С. 71 - 76.

31. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. / A.M. Нахушев

- М.: Физматлит. - 2003.

32. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции. / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев - М.: Наука. - 1981.

33. Прудников, А.П. Интегралы и ряды: Специальные функции. / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев - М.: Наука. - 1983.

34. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев - М.: Наука. - 1986.

35. Псху, А. В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. / А.В. Псху - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН. - 2005.

36. Псху, А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка./ А.В. Псху - М.: Наука. - 2005.

37. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев - Минск. Наука и техника. - 1987. - С. 688.

38. Седлецкий, A.M. О нулях функции типа Миттаг-Леффлера / A.M. Сед-лецкий // Математ. заметки. - 2000. - Т. 68. - № 5. - С. 710 - 724.

39. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы. / Э. Хилле, Р. Фил-липс - М.: Иностранная литература. - 1962.

40. Эйделъман, Ю.С. Двухточечная краевая задача для дифференциального уравнения с параметром / Ю.С. Эйдельман // Докл. АН УССР. Сер А. - 1983. - № 4. - С. 15 - 18.

41. Arendt, W. Vector valued Laplace transforms and Cauchy problems / W. Arendt // Israel. Matem. - 1987. - V.59. - P. 327 - 352.

42. Arendt, W. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. / W. Arendt, C. Batty, M. Hieber, F. Neubrander - Basel. Boston. Berlin: Birkhauser Verlag. - 2001.

43. Bajlekova, E. Fractional evolution equations in banach spaces./ E. Bajlekova // Ph. D. Thesis. Eindhoven University of Technology. -Eindhoven. - 2001.

44. Caputo, M. Lineal model of dissipation whose Q is almost frequancy independent - II / M. Caputo // Geophys. J. Astronom. Soc. - 1967. -V. 13. - P. 529 - 539.

45. Caputo, M. Elasticita e dissipazione. / M. Caputo - Bologna: Zanichelli. -1969.

46. Carrol, R. Singular and degenerate Cauchy problems / R. Carrol, Shovalter R.E. - NY: Academic Press. - 1976/

47. Clement, Ph. Regularity properties of solutions of fractional evolution equation. Evolution equations and their applications in physical and life sciences (Bad Herrenalb, 1998) / Ph. Clement, G. Gripenberg, S.-O. Londen // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. - Dekker, New York. - 2001. -V. 215. - P. 235 - 246.

48. Eidelman, S.D. Cauchy problems for fractional diffusion equations / S.D. Eidelman, A.N. Kochubei // Differential Equations. - 2004. - V. 199.- P. 211 - 255.

49. Gorenflo, R. Abel integral equations: analysis and applications / R. Gorenflo, S. Vessela // Lecture Notes in Mathematics. - V.1461 - 1991

50. Gorenflo, R. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order, Fractal and Fractional Calculus in Continuum Mechanics (Udine, 1996). / R. Gorenflo, F. Mainardi // CISM Courses and Lectures.

- 1997. - V. 378. - P. 223 - 276.

51. Fattorini, H.O. A note on fractional derivatives of semigroups and cosine functions / H.O. Fattorini // Pacific J. Math. - 1983. - V.109. - № 2. -P.335 - 347.

52. Heymans, N. Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives. / N. Heymans, I. Podlubny - Rheol. Acta 45. - 2006. - P. 765 - 771.

53. Li, K. Cauchy problems for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives. / K. Li, J. Peng, J. Jia //Journal of Functional Analysis. - 2012. - №263. - P. 476 — 510.

54. Kilbas, A.A. Theory and application of fractional differential equations. / A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo - Math. Studies. - V. 204. -Elsevier. - 2006.

55. Kilbas, A.A. Differential equations of fractional order: methods, results and problems. I / A.A. Kilbas, J.J. Trujillo // Appl. Anal. - 2001. - V. 78. - P. 153 - 192.

56. McBride, A.C. Fractional calculus and integral transforms of generalized functions / A.C. McBride // Res. Notes in Math. - V. 31. - Pitman Press. San Francisco. - 1979.

57. Meerschaert, M.M. Fractional Cauchy problems on bounded domains. / M.M. Meerschaert, E. Nane, P. Vellaisamy // Ann. Probab. - 2009. - №37.

- P. 979 - 1007.

58. Miller, K.S. An introduction to the fraction al calculus and fractional differential equations. / K.S. Miller, B. Ross - New York: John Wiley and Sons. - 1993.

59. Nigmatullin, R.R. To the theoretical explanation of the "universal response". / R.R. Nigmatullin - Phys. Stat. Solidi. - B 123. - 1984. - P. 739 - 745.

60. Oldham, K.B. The fractional calculus. / K.B. Oldham, J. Spanier - New York-London: Academic Press. - 1974.

61. Orsingher, E. Fractional diffusion equations and processes with randomly varying time. / E. Orsingher, L. Beghin - Ann. Probab. 37. - 2009. - P. 206 - 249.

62. Podlubny, I. Fractional differential equations. / I. Podlubny - San-Diego: Academic Press. - 1999.

63. Prilepko, A.I. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I. A. Vasin-New York. Basel: Marcel Dekker. - 2000.

64. Priiss, J. Evolutionary integral equations and applications. / J. Priiss. -Basel, Boston, Berlin. - 1993.

65. Rossikhin, Yu.A. Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Appl.Mech.Rev. - 1997. - V 50. - № 1. - P. 15 - 67.

66. Zaslavsky, G.M. Fractional kinetic equation for Hamiltonian chaos / G.M. Zaslavsky // Phys. D 76. - 1994. - P. 110 - 122.