Разрешение классов сигналов методом максимального правдоподобия в условиях воздействия помех тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат физико-математических наук Амро Аладдеин Мухаммед

• Амро Аладдеин Мухаммед
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Амро Аладдеин Мухаммед

Введение.

Глава 1. Общий подход к решению задач распознавания сигналов в условиях воздействия помех

• Выводы по главе

Глава 2. Условия и оптимальный алгоритм разрешения классов сигналов

2.1. Условия разрешения классов сигналов.

2.2. Оптимальный алгоритм разрешения классов сигналов.

2.3. Решение системы уравнений правдоподобия методом Ньютона

2.4. Моделирование алгоритма и результаты.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Синтез электромагнитной обстановки работы радио* электронных систем.

3.1. Общие вопросы синтеза электромагнитной обстановки

3.2 Методика синтеза электромагнитной обстановки для импульсной радиоэлектронной системы.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Анализ генератора класса сигналов.

4.1. Генераторы класса импульсных сигналов.

4.2. Преобразование плотностей вероятностей.

4.3. Вероятностные характеристики устройства формирования случайных периодов следования импульсов.

Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разрешение классов сигналов методом максимального правдоподобия в условиях воздействия помех»

Увеличение количества радиоэлектронных систем (РЭС), используемых в быту и в производстве, а также переполненность радиочастотного диапазона привели к осложнению электромагнитной обстановки, что вызвало ф в свою очередь ухудшение разрешаемости классов сигналов, — с одной стороны, а с другой стороны желание получить высокое быстродействие мешало использованию сложных алгоритмов разрешения классов сигналов. Но в настоящее время после существенного прогресса средств программирования и электроники появилась возможность использовать более сложные алгоритмы разрешения для повышения точности при допустимом быстродействии.

Определим вначале понятие класса сигналов. Под классом сигналов будем понимать совокупность сигналов от одного источника, когда существенные * параметры сигнала меняются от сигнала к сигналу случайным образом.

Случайный характер изменения параметров сигнала может происходить вследствие аппаратурных нестабильностей и ошибок измерения. Например, в качестве случайных существенных параметров сигналов могут выступать время запаздывания сигнала или его несущая частота.

Класс сигналов представляет собой совокупность дискретных сигналов, в качестве которых могут использоваться простые радиоимпульсы, сигналы с внутриимпульсной модуляцией (ЛЧМ, ФМн, сигналы на базе составных последовательностей, сигналы на базе кодов Баркера и т. д.). Эти сигналы обычно используются в радиолокационных системах, в системах управления воздушным движением в аэропортах, в системах траекторных измерений, в системах активного запроса и ответа, в радиотехнических системах предупреждения столкновений самолетов.

В настоящее время актуальной является проблема оптимального разрешения классов сигналов, которая заключается в нахождении оценок параметров частных распределений, характеризующих классы, и в распределении сигналов по их классам. Процедуре разрешения классов сигналов предшествует разрешение сигналов. Иначе, до процедуры разрешения классов сигналы должны быть предварительно обработаны, т е. усилены, сжаты, продетектированы, декодированы и иметь метку (label) со значением того параметра, по которому будет производиться разрешение классов. Например, если в качестве такого параметра выступает время запаздывания, то должно быть значение временного положения сигнала относительно некоторого опорного момента времени. Если же в качестве параметра берется несущая частота, то с помощью частотно-избирательного устройства определяется значение несущей частоты или значение отклонения от номинала несущей частоты сигнала. Эти значения представляются в цифровом виде, так как рассматриваемый алгоритм разрешения классов сигналов предполагает цифровую обработку.

При разработке алгоритма разрешения классов сигналов с учетом выше сказанного невозможно игнорировать проблему электромагнитной совместимости (ЭМС). Это крайне важно в данном исследовании, так как алгоритм имеет дело со случайными сигналами и должен корректно функционировать в условиях воздействия непреднамеренных помех.

В настоящее время в качестве критериев ЭМС часто используют энергетический критерий, при котором электромагнитное воздействие мешающего передатчика на исследуемый приемник определяется сравнением величины мощности помехи на входе (выходе) приемника с мощностью, при которой срабатывает исполнительное устройство на выходе приемника с вероятностью близкой к единице. Если величина мощности помехи равна или превышает определенную таким образом пороговую мощность, то считается, что условия ЭМС этих информационных систем (ИС) нарушены, и необходимо принимать меры по уменьшению мощности помех.

По нашему мнению, широко используемый энергетический критерий электромагнитной совместимости наряду с простотой не дает возможности провести количественную оценку достоверности принимаемой информации в условиях воздействия помех для большого класса информационных систем. Действительно, довольно часто, даже в случае превышения мощности помехи порогового значения, она может не оказывать существенного влияния на работу ИС в целом. Примером может служить воздействие импульсной помехи большой скважности на ИС, использующую импульсный сигнал.

Поэтому в данной диссертации мы предлагаем определять пороговую мощность с учетом влияния помехи на эффективность РЭС в целом. Это позволяет избежать те случаи, когда критерии ЭМС бывают неоправданно завышены, что является актуальным в настоящее время.

Цель и задачи исследования. Цель настоящей работы заключается в разработке алгоритма разрешения классов сигналов на основе метода максимального правдоподобия, в синтезе помеховой обстановки, создаваемой непреднамеренными помехами, а также в анализе генератора класса сигналов. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Определить понятие класса сигналов и дать его статистическое описание;

2. Определить необходимые и достаточные условия разрешения классов сигналов;

3. Синтезировать оптимальный алгоритм разрешения классов сигналов с помощью метода максимального правдоподобия;

4. Получить и решить систему уравнений максимального правдоподобия для определения средних значений в практически важном случае, когда частные плотности распределений моментов прихода сигналов подчиняются нормальному закону;

5. Синтезировать допустимую помеховую обстановку с учетом критерия эффективности информационной системы;

6. Разработать методику по определению пороговой мощности шумовой помехи для импульсной радиоэлектронной системы с учетом критерия эффективности этой системы;

7. Провести анализ генератора класса импульсных сигналов.

Научная новизна работы

1. Сформулирована и доказана теорема определяющая необходимое и достаточное условия разрешения классов сигналов.

2. Получена система уравнений максимального правдоподобия для определения средних значений в практически важном случае, когда частные плотности распределений моментов прихода сигналов подчиняются нормальному закону. Система уравнений решена методом Ньютона. Получены численные результаты, которые показывают работоспособность алгоритма.

3. Разработана новая методика синтеза допустимой помеховой обстановки с учетом критерия эффективности информационной системы.

4. Для конкретной РЭС разработана методика по определению пороговой мощности для шумовой помехи.

5. Проведен анализ генератора класса импульсных сигналов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано десять печатных работ, в том числе 8 статей и 2 тезисов докладов.

Практическая ценность результатов работы

1. Оптимальный алгоритм разрешения классов сигналов, синтезированный с помощью метода максимального правдоподобия, позволяет создавать самонастраивающиеся устройства разрешения повышенной точности для информационных систем, которые к настоящему времени практически отсутствуют.

2. Синтез условий ЭМС с учетом критерия эффективности информационной системы позволяет качественно на новом уровне определять условия ЭМС информационных систем.

3. Разработка генераторов классов импульсных сигналов позволит создать соответствующие имитаторы для исследований и испытаний импульсных информационных систем.

Личный вклад. Автор принимал участие в синтезе алгоритма разрешения классов сигналов и в синтезе методики расчета пороговой мощности шумовой помехи на выходе радиоприемного устройства импульсной РЭС. Непосредственно им написана программа разрешения классов сигналов на алгоритмическом языке С++, получены численные результаты и исследованы возможности алгоритма разрешения классов сигналов. Автор также принимал участие в исследовании генератора класса сигналов.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы доложены и обсуждены: на международных научных сессиях посвященных Дню Радио, г. Москва, 1999 2003 г.г.; на шестой российской научно-технической конференции « ЭМС-2000 » г. Санкт-Петербург, на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета 2000 - 2002 г.г.

Структура и объем диссертация. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Общий объем - 139 страниц, включая библиографию из 84 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Амро Аладдеин Мухаммед

Основные результаты выполненной диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Для конечных смесей введено определение понятия разрешения, получены необходимые и достаточные условия их разрешения. Эти условия сводятся к тому, чтобы семейство функций распределения, из которых состоит смесь, было линейно независимым множеством над полем действительных чисел.

2. Получена и решена численным методом система уравнений правдоподобия для практически важного случая, когда частные плотности распределений моментов прихода сигналов подчиняются нормальному закону. По полученному алгоритму составлена программа на языке С++ и проведены численные расчеты, которые показывают, что приближение полученных оценок к разыгрываемым значениям средних происходит в (2-ой-7-ой) итерациях.

3. Разработана новая методика синтеза допустимой помеховой обстановки с учетом критерия эффективности информационной системы. При этом устанавливаются зависимости между показателями эффективности ИС и мощностью помехи известного вида, затем, задавшись допустимым снижением эффективности при воздействии помех, определяют пороговую мощность для данной помехи.

4. Методика использована для синтеза пороговой мощности шумовой помехи на выходе радиоприемного -' устройства импульсной радиоэлектронной системы, расположенной на подвижном объекте и, предназначенной для приема радиосигналов, передаваемых бинарным кодом.

5. Получены зависимости среднего количества срабатываний порогового устройства приемника и порогового среднеквадратического значения напряжения шума от вероятности правильного решения.

7. Исследованы вероятностные характеристики устройства формирования случайных периодов следования импульсов. При этом, получены формулы для определения одномерной плотности вероятности, математического ожидания и дисперсии периодов следования импульсов на выходе устройства.

123

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена проблеме разрешения классов сигналов, а также синтезу помеховой обстановки, создаваемой непреднамеренными помехами и электромагнитной совместимости.

Решение этих проблем имеет значение для создания самонастраивающихся устройств разрешения повышенной точности, способных работать в пределах одного объема разрешения, синтеза условий ЭМС с учетом критерия эффективности информационной системы, создания оригинальных устройств генерации классов сигналов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Амро Аладдеин Мухаммед, 2003 год

1. Крамер Г. Математические методы статистики. Пер. с англ. М., ИЛ, 1984.

2. IEEE Trans. , 1977, v. ЕМС-79, N3, aug. Special issue on spectrum management. -364 p.

3. Уайт Д. Электромагнитная совместимость радиоэлектронных средств и непреднамеренные помехи: Пер. с англ. Вып. З/Под ред. А. Д. Князева.-М.: Сов радио, 1979. 464 с.

4. Миленький А. В. Классификация сигналов в условиях неопределенности.-М.: Сов. Радио, 1975.- 328 с.

5. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. -М.: Радио и связь, 1982.-624 с.

6. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.-М.: Сов. Радио, 1974.-550 с.

7. Филипов Л. И. Теория передачи дискретных сигналов. — М.: Высшая школа, 1981.- 176 с.

8. Бессонов А. П., Конторович В. Я., Ляндрес В. 3. Проблема ЭМС как задача анализа и синтеза большой системы. -Проблемы ЭМС РЭС различного назначения: 2-е Всесоюзное науч. Тех. Совещание.-М.: НТОРЭС им. А. С. Попова, 1978, -С 4-5.

9. Нечипоренко В. И. Структурный анализ систем.-М.: Сов. Радио, 1977.-216 с.

10. Князев А. Д. О теории ЭМС радиоэлектронных средств.- Проблемы ЭМС РЭС различного назначения. 2-е Всесоюзное науч. тех. совещание,-М.: НТОРЭС им. А. С. Попова, 1978, 3-4 с.

11. Аграновский К.Ю., Златогурский Д.Н., Кисилев В.Г. Радиотехнические системы: Учеб. пос. для вузов.-М: Высшая школа, 1979. -333 с.

12. Барченков С.А. Проблема ЭМС радиоэлектронной аппаратуры //

13. Морской сборник. 1968. - № 12. - С.78-81.

14. Взаимные радиопомехи и ЭМС радиоаппаратуры // Радиоэлектроника за рубежом. 1966. - Вып.21 - 22. - С.З - 124

15. ГОСТ 23611-79. Совместимость радиоэлектронных средств. Термины и определения. М.: Госкомитет СССР по стандартам, 1979.

16. Иванов В.А., Ильницкий Л.Я., Фузик М.И. Электромагнитная совместимость радиоэлектронных средств. -Киев: Техника, 1983. 118 с.

17. Калашников Н.И. Основы расчета ЭМС систем связи через ИСЗ с другими радиослужбами: Учеб.пос. М.: Связь, 1970. - 160 с.

18. Князев А.Д. Элементы теории и практики обеспечения электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств. М.: Радио и связь, 1984.-336 с.

19. Князев А.Д., Пчелкин В.Ф. Проблемы обеспечения совместной работы радиоэлектронной аппаратуры. М.: Сов.радио, 1971. - 200 с.

20. Миленький А.В. Классификация сигналов в условиях неопределенности. М.: Сов.радио, 1975. - 328 с.

21. Патрик Э. А. Основы теории распознавания образов: Пер. с англ./ Под ред. Б. Р. Левина.-М.: Сов. радио, 1980.- 408 с.

22. Yakowitz S. and Spragins J. On the Identifiability of Finite Mixtures. Ann. Math. Statistics, vol. 39, № 1, 1968, p. 209-214.

23. Teicher H. Identifiability of Finite Mixtures. Ann. Math. Statistics, vol. 34, Dec. 1963, p. 1265-1269.

24. Ибатуллин Э. А., Амро A. M. Необходимое и достаточное условия разрешения классов сигналов// Тез. докл. 55-ой науч. сессии, поев. Дню Радио.-М., 2000.-С.251-252.

25. Ибатуллин Э.А. Принятие решений в сопряженных информационных системах. Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1986. -136 с.

26. Ибатуллин Э. А., Фирсаков Б. Г., Амро А. М. Разрешение классов сигналов на основе метода максимального правдоподобия // Тез. докл. 54-ой науч. сессии, поев. Дню Радио. М.,1999.- С.212.I125

27. Ибатуллин Э. А., Амро А. М. Оптимальный алгоритм разрешения классов сигналов (помех) // Сб. док. 6-ой Российской научно-технической конференции «ЭМС-2000» . Санкт-Петербург, 2000 г.-С.218-222.

28. Ибатуллин Э. А., Амро А. М. Условия и оптимальный алгоритм разрешения классов сигналов.- Сб. Прием и обраб. инф. в сложных информационных системах// Изд-во Казан, ун-та, 2001 г. Вып. 20. -С. 10-19.

29. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. Изд-е 2-е.-М. : Физматгиз, 1963.-659 с.

30. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. М.: Статистика, 1974. - 240 с.

31. Апорович А.Ф. Статистическая теория электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств / Под ред. В.Я. Аверьянова. -Минск: Наука и техника, 1984. 215 с.

32. Боровков А.А. Математическая статистика: Учеб. пос. для вузов. -М.: Наука, 1984.-472 с.

33. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. Изд.З-е. М.: Сов.радио, 1977. - 608 с.

34. Кассам С.А., Пур Г.В. Робастные методы обработки сигналов: Обзор / Пер. с англ. // ТИИЭР. 1985. - Т.73, № 3. -С.54 - 110.

35. Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации. М.: Сов. радио, 1974. - 432 с.

36. Кузьмин С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. М.: Радио и связь, 1986. - 352 с.

37. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фонепомех. М.: Сов. радио, 1978. - 296 с.

38. Кунченко Ю.П. Нелинейная оценка параметров негауссовских радиофизических сигналов. Киев: Вища школа, 1987. -191 с.

39. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В 3-х кн. М.: Сов.радио. Кн.1 - 1966, Кн.2 - 1968, Кн.З - 1976. Кн.1 - 728 с. Кн.2-504 с. Кн.З-288 с.

40. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т.2: Пер. с англ. / Под ред. Б.Р.Левина. М.: Сов. радио, 1962.- 832 с.

41. Теоретические основы радиолокации / Под ред. Я.Д. Ширмана. — М.: Сов. радио, 1970. 560 с.

42. Теория и методы оценки электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств / Под ред. Ю.А.Феоктистова. М.: Радио и связь, 1988.-216 с.

43. Теория обнаружения сигналов / Под ред. П.А.Бакута. М.: Радио и связь, 1983.-400 с.

44. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника: Учеб. пос.-М.: Сов. радио, 1966. 680 с.

45. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

46. Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. М.: Радио и связь, 1986. - 264 с.

47. Чабдаров Ш.М., Сафиуллин Н.З., Феоктистов А.Ю. Основы статистической теории радиосвязи. -Казань: Ротапринт КАИ, 1983. 88 с.

48. Ибатуллин Э. А. Выбор и методика использования критерия ЭМС // Тез. докл. Всесоюзн. симп. "Проблемы ЭМС техн. средств", 17-19 дек. 1991 г.- Суздаль, 1991.-С. 10-11

49. Шинаков Ю.С. Совместное обнаружение и разрешение неизвестного числа сигналов // Радиотехника и электроника. -1985.- Т. 3, № 6. С.1131 -1138.

50. Ибатуллин Э.А. Синтез условий ЭМС с учетом критерияэффективности РЭС// Тр. международ, конф. EMCS-93, 1-3 дек. 1993 г.Минск, 1993.- С. 24-28.

51. Ибатуллин Э. А., Амро А. М. Синтез допустимой помеховой обстановки с учетом критерия эффективности информационной системы // Тр. 56-ой науч. сессии, поев. Дню Радио.- М.,2001.Том 1-С.129-131.

52. Ибатуллин Э. А., Хуснутдинова P. X. Амро А. М. Методика синтеза пороговой мощности шумовой помехи для импульсной радиоэлектронной системы.- Сб. Прием и обраб. инф. в сложных информационных системах.// Изд-во Казан, ун-та, 2003 г. Вып. 21. -С. 39-51.

53. Ибатуллин Э. А., Хуснутдинова P. X. Амро А. М. Синтез пороговой мощности шумовой помехи для импульсной радиоэлектронной системы // Докл. 57-ой науч. сессии, поев. Дню Радио.- М., 2002 г.Том 2-С. 104-106.

54. Ибатуллин Э. А., Хуснутдинова P. X. Амро А. М. Синтез пороговой мощности шумовой помехи для импульсной радиоэлектронной системы.-Сб. Прием и обраб. инф. в сложных информационных системах// Изд-во Казан, ун-та, 2003 г. Вып. 21. -С. 52-61.

55. Ибатуллин Э. А., Хуснутдинова P. X. Амро А. М. Методика синтеза пороговой мощности помех для импульсной радиоэлектронной системы // Радиотехника — 2003 г. (в печати )

56. Ибатуллин Э.А. Электромагнитная совместимость и помехоустойчивость информационных систем.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1989.- 152 с.

57. Тихонов В. И. О выборах флуктуаций и их коррелированности .-Электросвязь.-195 7.- № 6.

58. Ибатуллин Э.А., Нежметдинов Т.К. Среднее значение количества срабатываний порогового устройства приемника от шумов.- Прием и обработка информации в сложных информационных системах //Изд-во Казан, ун-та, 1980. Вып. 10.-С. 18-22.

59. Бакут П.А., Жулина Ю.В., Иванчук Н.А. Обнаружение движущихся объектов / Под ред. П.А. Бакута. М.: Сов. радио, 1980. - 288 с.

60. Ибатуллин Э.А. К проблеме электромагнитной совместимостирадиоэлектронных систем. Прием и обработка информации в сложных информационных системах // Изд-во Казан, ун-та, 1981.-Вып. 11.- С.76-80.

61. Ибатуллин Э.А. Оценка воздействия шумов на обработку информации в импульсных радиосистемах. Прием и обработка информации в сложных информационных системах // Изд-во Казан, ун-та, 1983. Вып. 13, ч.1. - С.54-59.

62. Ибатуллин Э.А. Вопросы синтеза ЭМС бортовых РЭС в части радиоприемных устройств // Тез. докл. Всесоюзн. научн. техн. семинара "Проблемы ЭМС в радиоприемных устройствах", 19-20 ноября 1984 г. М., 1984.-С.4.

63. Ибатуллин Э.А. Синтез пороговых мощностей импульсных помех от нескольких источников // Тез. докл. Всесоюзн. науч.-техн. школы спец-ов на ВДНХ "ЭМС в современной радиоэлектронике", 19 20 февр. 1985 г. -М., 1985.-С.8.

64. Ибатуллин Э.А. Расчет пороговых мощностей помех на выходе радиоприемного устройства / Ред. журн. "Радиотехника". М. 1986. - 19 с. -Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ЦНТИ "Информ-связь", 13.02.1986, № 793 - св.

65. Кузьмин С.З. Цифровая обработка радиолокационной информации. -М.: Сов. радио, 1967. 400 с.

66. Оганов Т.А. Помехоустойчивость инвариантного приема импульсных сигналов. М.: Радио и связь, 1984. - 176 с.

67. Петровский В.И., Седельников Ю.Е. Электромагнитная совместимость радиоэлектронных средств: Учеб. пос. для вузов. М.: Радио и связь, 1986. -216с.

68. Помехозащищенность радиосистем со сложными сигналами / Под ред. Г.И.Тузова. М.: Радио и связь, 1985. - 264 с.

69. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов.радио, 1977. - 432 с.

70. Седельников Ю.Е. Основы теории электромагнитной совместимости:

71. Конспект лекций. Казань: Ротапринт КАИ, 1979.- 52 с.

72. Седов В.В., Пантелеев A.M. ЭМС как часть общей задачи синтеза радиоэлектронного комплекса // Тр. Московск. энергетич. ин-та. 1974. -Вып. 190.-С. 120-123.

73. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов.радио, 1978. - 320 с.

74. Харкевич А.А. Борьба с помехами. М.: Физматгиз, 1963. - 276 с. Электромагнитная совместимость радиоэлектронных средств и систем //

75. Под ред. Н. М. Царькова. М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.

76. Ибатуллин Э. А. Методы разрешения классов стохастических сигналов//Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника.-1995 .-Т.З 8, №1.-С. 13-26.

77. Ибатуллин Э. А. Разрешение классов гамма распределенных сигналов //Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника. -2000.-Т. 43, №3.-С. 33-37.

78. А. С. № 365817 СССР, кл. Н 03 К 3/82, 1971.

79. А. С. № 279167 СССР, кл. G06 F 1/02, 1969.

80. А. С. 942010 СССР, МКИ3 G06 F 7/58. Устройство для формирования случайных периодов следования импульсов/ Э. А. Ибатуллин, В. С. Бухмин.-Опубл. в Б. И., 1982, №25.

81. А. С. 1278841 СССР, МКИ3 G06 F 7/58. Устройство для формирования случайных периодов следования импульсов/ Э. А. Ибатуллин, В. Ф. Безруков, В. С. Бухмин.- Опубл. в Б. И., 1986, № 47.

82. А. С. 1359891 СССР, МКИ3 НОЗ К 3/84. Генератор случайных временных интервалов/ Э. А. Ибатуллин, В. Ф. Безруков, В. С. Бухмин.-Опубл. в Б. И., 1987, №46.

83. Ибатуллин Э. А., Бухмин В. С. Определение вероятностных характеристик генератора случайной последовательности.- Межвузовский сб. Методы и средства статистического моделирования // Казан, авиац. ин-т, 1987.- С. 12-17.

84. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. -М.: Физматгиз, 1961.

85. Дьяконов В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке БЕЙСИК для ПЭВМ.-М.: Наука, 1989.-240 с. .

86. Ибатуллин Э. А., Амро А. М., Хуснутдинова P. X. Генератор класса импульсных сигналов. Прием и обраб. инф. в сложных информационных системах// Изд-во КГУ, 2003. Вып. 21.-С. 62-71.