Разработка редуцированных математических моделей электромеханических процессов для робастного управления частотой и активной мощностью энергообъединения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Васильев, Андрей Юрьевич

• Васильев, Андрей Юрьевич
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Васильев, Андрей Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕДУКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Обзор и анализ методов редукции математических моделей

динамических систем

1.2. Анализ исследований по проблеме математического моделирования электромеханических процессов энергообъединений

1.3. Постановки и формулировки задач математического моделирования и робастного управления энергообъединениями

1.4. Выводы

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ОБЪЕДИНЕНИЙ И ИХ АНАЛИЗ

2.1. Структурно инвариантные уравнения электромеханических процессов

2.2. Анализ управляемости и наблюдаемости уравнений электромеханических процессов

2.3. Редуцированные модели и уравнения квазистатического влияния для электромеханических процессов

2.4. Выводы

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ОБЪЕДИНЕНИЯХ

3.1. Математическая формулировка задач синтеза

3.2. Модели замкнутых систем для статических и динамических регуляторов

3.3. Анализ асимптотической устойчивости замкнутых систем управления частотой и перетоками активной мощности

3.4. Выводы

4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ

4.1. Численное представление математических моделей ЭЭО

4.2. Алгоритм распределения весов в многомерной системе

4.3. Исследование замкнутой системы со статическим регулятором

4.4. Исследование замкнутой системы с динамическим регулятором

4.5. Метод построения регулятора по выходу без наблюдателя на основе редуцированной модели

4.6. Выводы

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

БИБЛИОГРАФИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ MATLAB

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка редуцированных математических моделей электромеханических процессов для робастного управления частотой и активной мощностью энергообъединения»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность и степень разработанности темы. Тема диссертационной работы является актуальной в связи с целесообразностью применения редуцированных математических моделей для синтеза робастных управляющих систем на основе аналитических и численных методов оптимального управления.

Методы редукции математических моделей разработаны в работах А.Н. Крылова, J1.A. Мироновского, В.М. Адамяна, Д.З. Арова, М.Г. Крейна, К. Гловера, В.Е. Арнольди, К. Ланцоша, Б.К. Мура и др. Методам и алгоритмам оптимального управления на основе редуцированных моделей посвящены исследования, выполненные Р.И. Габасовым, Ф.М. Кирилловой, В.М. Кунцевичем, A.A. Первозванским, JI.C. Лэсдоном, М. Месаровичем, Я. Такахарой, Д. Мако, В.Г. Гайцгори и др.

Цель и задачи работы. Цель работы заключается в разработке редуцированных математических моделей электроэнергетических объединений (ЭЭО), аналитико-численных методов для анализа и синтеза робастных систем локально оптимального управления при ограничениях на управления и координаты, в частности, для синтеза систем робастной стабилизации и ограничения перетоков активной мощности в классе редуцированных моделей и их исследование с помощью комплекса программ.

Задачи, решенные в работе для достижения цели:

1. Разработка структурно инвариантных редуцированных математических моделей электромеханических процессов ЭЭО для аналитического исследования управляемости, наблюдаемости, статической определимости и синтеза робастного управления.

2. Разработка и исследование математических моделей робастных систем локально оптимального управления ЭЭО, которые синтезированы на основе редуцированных моделей, операторов конечномерной оптимизации при ограничениях на координаты и управления, анализ устойчивости замкнутых

робастных систем ограничения перетоков активной мощности по линиям электропередач.

3. Разработка численных методов повышения точности редуцированных моделей для систем локально оптимального управления и создание комплекса программ для математического моделирования в инструментальной системе МаЛаЬ.

Объектами исследования являются математические модели в виде обыкновенных дифференциальных, разностных и алгебраических уравнений для анализа электромеханических процессов в задачах управления частотой и активной мощностью, включающих регулирование частоты и ограничение перетоков по линиям электропередач ЭЭО.

Методы исследования. В работе использовались теория дифференциальных уравнений, теория редукции математических моделей, теория оптимизации, теория автоматического управления, функциональный анализ.

Научная новизна. Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложены редуцированные математические модели, сформулированные в структурно инвариантной форме в виде линейных дифференциальных уравнений с блочными матрицами, что позволяет исследовать достаточные робастные условия управляемости, наблюдаемости и статической определимости аналитическими методами в условиях высокой размерности векторов состояний, характерной для крупных энергосистем.

2. Разработаны математические модели систем робастного локально оптимального управления с операторами конечномерной оптимизации, определяющими управления в аналитической форме, что позволяет сформулировать условия существования допустимых решений систем локально оптимального управления перетоками активной мощности по линиям энергетических объединений при ограничениях на управления и координаты, а также достаточные условия устойчивости замкнутых систем робастной стабилизации.

3. Разработаны способы редукции уравнений на основе распределения весов в многомерных системах, позволяющие повысить точность редуцированных моделей.

Практическая ценность. Методики математического моделирования систем локально оптимального управления численными и аналитическими методами позволяют исследовать устойчивость робастных замкнутых систем локально оптимального управления для различных классов математических моделей систем ограничения перетоков, а также исследовать потокораспределение активной мощности по линиям ЭЭО с учетом отклонения частоты на основе комплекса программ для моделирования в инструментальной системе Ма1:ЬаЬ.

Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием корректных математических моделей и методов и подтверждением результатов вычислительными экспериментами.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся:

1. Структурно-инвариантные математические редуцированные модели переходных состояний и модели статических режимов ЭЭО в виде «моделей влияния», условия их управляемости, наблюдаемости и статической определимости.

2. Аналитико-численные математические модели систем робастного локально оптимального управления с учетом ограничений на координаты, управления, а также достаточные условия устойчивости систем для статических и динамических законов управления на основе операторов оптимизации.

3. Метод распределения весов многомерной модели в пространстве состояний для повышения точности редуцированных систем на основе аппроксимации по сингулярным числам Ганкеля. Комплекс программ, реализующий полученные в работе результаты.

Апробация работы. Основные практические и научные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XIV и XV Всероссийских конференциях «Фундаментальные исследования и инновации в

национальных исследовательских университетах» (май 2010 г. и май 2012 г.), на XVII Международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии и инновации в национальных исследовательских университетах» (февраль 2011 г.).

Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в девяти работах, из которых две являются публикациями в рецензируемых журналах из перечня ВАК.

Диссертация содержит введение, четыре главы, список основных результатов работы, список использованной литературы. Объём диссертации составляет 120 страниц машинописного текста, 20 рисунков. Список литературы состоит из 50 наименований.

Краткое содержание работы по разделам.

Первый раздел содержит обзор исследований по рассматриваемой проблеме и математические постановки задач.

Второй раздел рассмотрены математические модели ЭЭО в общепринятом (полном) динамическом представлении, введены два класса редуцированных моделей - неполные динамические и полные статические модели, анализируются основные свойства полной и неполной динамических моделей - управляемость, наблюдаемость, статическая определимость.

Третий раздел посвящен методам синтеза локально оптимальных дискретных систем, замкнутых статическим и динамическим регуляторами по выходу, на классах полной динамической, неполной динамической и статической моделей, а также анализу их асимптотической устойчивости.

Четвертый раздел содержит вычислительные эксперименты в рамках сформулированных методов, оценки результатов применения разработанных моделей и асимптотической устойчивости, а также вспомогательные методы.

Диссертация завершается описанием основных результатов работы, выводами и библиографией. В конце работы приводится приложение, содержащее код комплекса программ в инструментальной системе Ма1ЬаЬ, используемого для проведения вычислительных экспериментов.

1. ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕДУКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ

РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Цели раздела заключаются в формулировании предмета, задач, методов, обзора истории и текущего состояния вопроса, исследуемого в работе. Подробно рассматриваются существующие и активно используемые на практике методы редукции. Рассмотрены постановки задач исследования робастных моделей и систем робастного управления динамическими объектами, в частности, систем ограничения перетоков активной мощности по линиям электропередач энергетических объединений.

1.1. Обзор и анализ методов редукции математических моделей

динамических систем

В теории автоматического управления не всегда удается создать математическую модель низкого порядка, приемлемую для анализа и синтеза управлений. Явное упрощение модели путем исключения не существенных переменных состояния для выходных характеристик часто не дает нужного порядка, либо сильно сказывается на точности вычислений. Требуется иметь методы сокращения сложности модели на основе ее объективных свойств на основе выявления характеристик модели, оказывающих малое влияние на поведение системы. Решение задач возможно методами теория редукции математических моделей систем без учета их физической сущности.

Для редуцирования системы определяется совокупность инвариантных параметров (инвариантов), которые всегда одинаковы для данной системы и задают ее однозначно. В сохранении инвариантных параметров и выделении из них преобладающих в некотором смысле заключается процедура редукции [4]. Далее рассматриваются общие эффективные методы редукции, несмотря на существование многих специальных методов, например, для ШХ-цепей.

Одним из примеров может послужить метод выборочного устранения узлов [49]. Далее анализируются методы редукции по сингулярным числам Ганкеля.

1. Постановка задачи редукции. Задача редукции - упрощение математической модели системы при сохранении заданной точности моделирования процессов в объектах. Редукция основана на методах редукции «в большом» и методах редукции «в малом». «Редукция в малом» обеспечивает понижение порядка модели системы из п дифференциальных уравнений первого порядка до модели из г уравнений. «Редукция в большом» использует приведение моделей к каноническим формам, блочным структурам, полным системам в разреженные формах, включая нелинейные операции.

Для линейной системы две постановки задачи практически совпадают, но отличаются устранением сложных операций с нелинейностями. Например, приведение к фробениусовой форме, разложение Холецкого и другие методики, уменьшающие число определяющих параметров системы. Далее рассматривается «редукция в малом», т. е. понижение порядка системы, которая называется «редукцией».

Задача редукции линейной модели имеет вид: имеется система (.Ап,Вп,Сп,Оп) и требуется получить редуцированную систему

(Аг,Вг,Сг,Вг), аппроксимирующую исходную систему с заданной точностью

или по критериям точности. Порядок редуцированной модели должен быть меньше порядка исходной модели, а для эффективной процедуры редукции -существенно меньше. Эквивалентная постановка задачи редукции имеется для представления системы передаточной функцией: имеется С/Дб"), где п -

степень знаменателя и требуется ее редуцировать к С/Д^), аппроксимирующей

исходную систему с заданной точностью. К критериям оценки точности относятся количественные характеристики реакций системы и ее качественные свойства: сохранение устойчивости, управляемости и наблюдаемости.

2. Инварианты системы. Важные инварианты делятся на две группы. Первая группа включает инварианты, связанные с числителем и знаменателем

передаточной функции системы (ПФ). Инварианты знаменателя - п коэффициентов а1 характеристического полинома системы

-А) = рп +ап_хрп~х + ... + а]р + а0. (1.1)

Два коэффициента (1.1) - инварианты матрицы А для модели в пространстве состояний: а0 с точностью до знака - определитель А, а а - ее след.

Инварианты знаменателя - корни полинома Я1 - полюса передаточной

функции и собственные числа матрицы А, число которых равно равно п для системы п -го порядка. Следующие п характеристик - параметры числителя. Для строго собственных систем первые коэффициенты числителя равны нулю.

Вторая группа инвариантов характеризуется как входо-выходные инварианты. Для них характерна смешанная зависимость от числителя и знаменателя. Эти инварианты определяются матрицами А, В, С для моделей в пространстве состояний. Инварианты делятся на три группы. Первая группа -модифицированные моменты ПФ как коэффициенты ее разложения Тейлора

Цг(р) = т0+т]р + т2р2 +т2р2 + ... (1.2)

Модифицированные моменты представляются в виде

т1 =-СА~{м)В,1 = 0,1,2... (1.3)

Первые 2п модифицированные момента однозначно описывает систему [4]. Тогда для редукции до г -того порядка ПФ преобразуется так, чтобы сохранить первые г или 2г модифицированных моментов в зависимости от метода.

Вторая категория определяется как марковские параметры системы. Соответствующее разложение ПФ, опирающееся на отрицательные степени переменной р, описывается следующим образом

]У(р) = И0р~]+к]р~2+к2р~3+... (1.4)

Марковские параметры вычисляются для модели состояний в форме

/?( = С А* В, / — 0,1,2... (1.5)

Аналогично 2п марковских параметров определяют систему.

К третьей группе входо-выходных параметров относятся вычеты системы. Задание ПФ на основе вычетов использует ее разложение со знаменателем и-ой степени на сумму простых функций со знаменателями первой степени. Коэффициенты числителя определяются вычетами системы

о-6)

где Я1 - корни характеристического полинома системы. Приведенная формула

справедлива только для набора действительных некратных корней знаменателя. В противном случае имеет место более сложное разложение. Тогда п вычетов и п корней образуют 2п искомых параметров, задающих систему.

Энергетические инварианты основаны на комбинациях системных матриц, не изменяющихся при преобразовании подобия для модели в пространстве состояний. Такими инвариантами являются собственные числа грамианов управляемости и наблюдаемости, связывающие пары матриц {А,В) и (А,С). Энергетические инварианты - это п сингулярных чисел Ганкеля, полученные из соответствующих грамианов и характеризующих оператор Ганкеля [45].

3. Методы в подпространствах Крылова. Эти методы в подпространствах Крылова (ППК) формируют матрицы проекции, компоненты которых определяются из моментов ПФ на различных частотах и проецирования системы больших размеров на систему малых размеров. Редукция в ППК используют систему дескрипторов с характеристикой дескриптора как неединичной матрицы при производной вектора в уравнениях

Ех = Ах + Ви, у = Сх + Du. (1.7)

В моделях пространства состояний это приводит к появлению дополнительного множителя в уравнениях проекции, которые для методов в ППК имеют вид

х = (WTVylWT AV xr +(WTV)~]WT Ви, (1.8)

4-V-' v-V-'

Ar Br

у = СУх +Ии.

' у ' г ч-1

сг ог

Подпространство Крылова [20] определяется соотношениями

Кд(А,Ь) = зрап{ь, АЬ,..., Ад~'ь], (1.9)

где А - постоянная {п, п) -матрица, Ь - постоянный (и,1) -вектор (стартовый

вектор), и - некоторое положительное целое число. Векторы Ь, АЬ, А2Ь,..., образуют подпространство и называются базовыми векторами. С этим определением две матрицы проекции, определяющие модель сокращенного порядка, описываются следующим образом: V - любой базис ППК

8рап{А-хВ,...ХА~х)си В], (1.10)

IV - любой базис ППК

Кд2(А~т ,А~ТСТ) = зрап{А-тСт ,...,(А~ТГСТ}, (1.11)

где АГТ =(А~Х)Т, а такие, что V к ]¥ имеют ранг д. Далее ППК с

базисом V называется входным, а ППК с базисом }¥ - выходным. Можно отметить, что если некоторое желаемое значение д не может быть достигнуто, то причина этого - подпространства управляемости или наблюдаемости имеют размеры менее д; тогда д должно быть уменьшено. С таким выбором (и

гарантией того, что Аг является неособенной) метод редукции называется

двухсторонним, т. к. в построение участвуют вход и выход системы. Если только одна из этих матриц выбрана заданным образом, а вторая произвольным, но таким, что Аг - неособенная, то метод односторонний.

Выборы V и IV - достаточно простые. Однако вычисления произведений матрица-вектор, включенных в ППК, может быть плохо обусловленным, поэтому разработаны специальные алгоритмы вычисления V и ]¥ . Возникает задача определения подходящих V и УУ. В методах редукции, использующих ППК, ряд параметров связи вход-выход остается неизменным при редукции.

Эти параметры, называемые моментами mi, задаются как отрицательные коэффициенты разложения Тейлора ПФ в окрестности s0 = 0:

G(s) = C(sl - ЛУ] В = -СА~]В-...-С(А~] )м Bs'-...

4 V ' v-V-'

то rn,

В двухсторонних методах совпадают первые 2q моментов исходной и редуцированной ПФ, а в односторонних - только первые q моментов [39].

4. Метод Арнольди. Сокращение вычислений для построения ППК используется классический метод Арнольди [31], определяющий ортонор-мированные векторы как базис заданного ППК. Рассматривается ППК Kq(A],b]), метод Арнольди определяет векторы с нормой единица, ортогона-

7'

льные друг другу V V = / , столбцы V являются базисом для заданного ППК. Поскольку на каждом шаге метода Арнольди z-й столбец V - линейная

комбинация первых i базовых векторов, то доказано, что jvp...,v;j

формируют это пространство, что и первые i базовых векторов заданного ППК.

В односторонних методах в ППК метод Арнольди - общий подход для определения базиса для входного или выходного подпространств Крылова и

вычисления V или W. Используя входное ППК Кд(А~] ,А~]В) и применяя

алгоритм Арнольди, вычисляется матрицу V. Матрица W выбирается такой произвольным образом, что Аг - неособенная матрица ( при подходящем

выборе W — V) [49]. Тогда модель сокращенного порядка определяется уравнениями проекции с совпадающими q моментами. Тогда ПФ сокращенной модели зависит от конкретного выбора W [48].

5. Модифицированный метод Ланцоша. Среди двухсторонних методов Крылова является классический метод Ланцоша [42] и его улучшенная версия в [36], создающие две последовательности базовых векторов, формирующие

ППК Kq(A],b]) и Kq(A^такие, что WTV = /, где столбцы матриц V и

W являются базисами для Кс/(А],Ь1) и К (Af ,cl), соответственно. Алгоритм

13

Ланцоша - численно неустойчивый, и после ряда итераций взаимная ортогональность векторов «теряется». Для устранения этой проблемы используется реортогонализация [32]. Метод Ланцоша сохраняет 2д моментов, т. к. в нем задаются обе матрицы проекции. Поэтому он редуцирует систему точнее одностороннего алгоритм Арнольди при равенстве порядков редукции.

6. Двухсторонний метод Арнольди. Двухсторонний метод Арнольди вычисляет базисы для проекции и вычисления модели низкого порядка. Этот новый метод - численно устойчивый, более простой в применении и приводит к аналогичным результатам [34]. Сущность метода - последовательное применение одностороннего метода Арнольди к обеим матрицам проекции.

В методе Ланцоша векторы каждого базиса являются ортогональными

т

векторам другого базиса кроме одного из них, V = I, в двухстороннем алго-

т г

ритме Арнольди каждый базис - ортонормированный:

7. Метод Лагерра. В этом методе [40, 41] передаточная функция раскладывается в терминах функций Лагерра, определяемых как

ф" = у]2а ехр{—а^Ьк (2Ш), где а - положительный параметр масшта-

г / ч г / ч ехр(7) с!к \ к \

бирования, а - полином Лагерра Ьк^) =---(ехр(—¿д ).

к\ Ж

Показано [40], что разложение Лагерра для ПФ равно

э + а По и +

Это разложение позволяет применить пространства Крылова. В [41] утверждается, что лучшим выбором а является 2ж/тах, где /тах -

максимальная частота, для которой редуцированная модель должна сходиться. Малые а могут давать плохую обусловленность редуцированной системы.

В данном методе пространство Крылова строится без промежуточной ортогонализации. Методы, основанные на функциях Лагерра, используют прямые проекции системных матриц и поэтому сохраняют устойчивость. Так

1а 00 ( с — гуЛк

Ж*) =-СТ£((«/„ - А)-' (-«/„ - А)?(а/, - АУ В

■ (1.12)

как а - действительное число, то матрицы алгоритма Лагерра - действительные при проекции, что важно для синтеза электрических цепей [39, 41].

7. Методы редукции по Ганкелю. Вторая группа методов редукции соответствует редукции по сингулярным числам Ганкеля. Эти числа удобно применять к крупномасштабным системам, которые достаточно велики, чтобы требовать редукции более чем на 1-2 порядка, однако достаточно малы, чтобы вычислительная сложность методов не превышала аппаратные возможности системы. Такие методы применяются для систем, имеющих от десятков, до сотен переменных состояния либо в качестве второго, более «тонкого» этапа редукции, в котором важна точность и гарантированные оценки. На первом этапе в таком случае используются методы редукции в ППК.

Исходными требованиями к использованию методов служат устойчивость, управляемость и наблюдаемость системы. Первое свойство необходимо в силу того, что неустойчивая система имеет сингулярные числа Ганкеля, равные бесконечности. Второе и третье свойство необходимы для успешной реализации метода и получения грамианов управляемости и наблюдаемости, являющихся решениями двух соответствующих уравнений Ляпунова. Первое требование в некоторых случаях можно обойти, осуществив разбиение на устойчивую и неустойчивую составляющие. Второе и третье требование для начально неуправляемой и ненаблюдаемой системы также можно иногда выполнить, если предварительно привести модель системы к виду «вход-выход», исключающему нежелательные компоненты. Альтернативным вариантом является разложение модели по Р. Калману с выделением управляемой и наблюдаемой части.

8. Усеченная уравновешенная реализация. В англоязычной литературе этот метод называется truncated balanced realization (TBR), что дословно переводится как «усеченная уравновешенная реализация». Процедура уравновешенного сокращения основана на информации по грамиану управляемости Р, который можно получить из решения уравнения Ляпунова

АР + РА' = -ВВ' и грамиана наблюдаемости (), определяемому из

уравнения, парного для уравнения Ляпунова Ат() + QA = —СТС.

При преобразовании подобия модели в пространстве состояний Л —» Г ХАТ, В—>Т 1 В, С —» СТ, сохраняются свойства входа-выхода -передаточная функция, инвариантны, а изменяются только внутренние параметры. Однако грамианы при преобразованиях

Р^Т ]Р(Т изменяются, и потому не являются

инвариантами. Процедура уравновешенного сокращения основана на двух фактах об этих грамианах. Во-первых, собственные числа произведения Р()~

инвариантны. Эти собственные числа, сингулярные числа Ганкеля, содержат полезную информацию о поведении входа-выхода системы. В частности, «малые» собственные числа Р() соответствуют внутренним подсистемам, оказывающим слабый эффект на поведение входа-выхода системы, а потому близким к потере полной наблюдаемости или управляемости. Во-вторых, грамианы преобразуются согласованно. Таким образом, две любые симметричные матрицы можно совместно преобразовать в диагональные соответствующим преобразованием. Можно найти преобразование подобия Т, которое оставляет динамику системы в пространстве состояний неизменной, но

при этом полученные матрицы Р к (¡2 являются одинаковыми и диагональными. Для согласованности можно выстроить преобразование так, что диагональные элементы выстраиваются в порядке убывания. В таких

координатах, с учетом Р — = Е, матрица Е может быть разделена

Е =

Е, О О 12

(1.13)

Здесь X, описывает «сильные» подсистемы, которые будут сохранены, а Х2 -

«слабые», которые будут удалены. Аналогичным разделением преобразованных матриц:

"Д. А 2 Д

А = 11 ,в = 1

_А2] А22 л

с =

Сл С*-,

(1.14)

и сокращением модели до параметров А = Аи, В — 5,, С = С,, реализуется

эффект удаления «слабых» внутренних подсистем.

Один из важных аспектов методов уравновешенного сокращения - это доступность вычисления границ ошибки. Если ст. - это / -е число на диагонали

матрицы X, а числа ст. расположены по порядку <7, > <72 > ... > СГд,, то ошибка передаточной функции сокращенной модели д -го порядка будет ограничена:

^ СО

£=<7+1

А'

(1.15)

Грамиан наблюдаемости () связан с Ь2 -нормой выхода для свободного

движения системы = 0,\/t> 0) из начального состояния х0 при = 0:

00

*обхо =\уТ(*)у(*)Ж, х(0) = х0, м(0 = о, \/Г>0. (1.16)

о

Грамиан управляемости Р связан с минимальной Ь2 -нормой входа среди всех возможных входов, обеспечивающих системе состояние х0 для = 0:

ХдР 'х0 = юГ

и

| и(/) | х(0) = х0

(1.17)

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Васильев, Андрей Юрьевич

4.6. Выводы

1. Определены численные представления рассматриваемых в работе полной динамической, неполной динамической в физических координатах и неполной динамической в абстрактных координатах, а также полной статической моделей.

2. Подтверждены вычислительными экспериментами аналитические выводы о свойствах управляемости, наблюдаемости и статической определимости системы. Показано выполнение свойства устойчивости системы, требуемое для построения локально оптимального управления.

3. Разработан метод распределения весов входных и выходных сигналов, повышающих точность алгоритма редукции в абстрактных координатах в случае рассмотрения систем с многими входами и выходами, вычислительными экспериментами подтверждена его работоспособность.

4. Разработан вспомогательный метод синтеза регуляторов по выходу на основе процедуры редукции математической модели и синтеза регулятора по координатам состояния, вычислительными экспериментами подтверждена его работоспособность.

5. Подтверждены вычислительными экспериментами аналитические построения систем, замкнутых локально оптимальными статическими и динамическими регуляторами на основе классов редуцированных моделей, подтверждена устойчивость полученных замкнутых систем. По результатам вычислительных экспериментов установлена работоспособность регулирующих устройств и корректность используемых уравнений синтезы управлений.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В диссертации получены основные результаты:

1. Разработанные и исследованные структурно инвариантные редуцированные математические модели ЭЭО определяют достаточный класс робастности для синтеза локально оптимальных систем ограничения перетоков активной мощности, что позволяет гарантировать управляемость, наблюдаемость и статическую определимость моделей.

2. Разработанные модели систем локально оптимального управления для статических и динамических регуляторов на основе операторов оптимизации позволяют выполнить синтез с учетом ограничений на координаты и управления, включающий достаточные условия устойчивости (в частности, асимптотической устойчивости) в классе предлагаемых редуцированных моделей ЭЭО.

3. Разработан комплекс программ в инструментальной системе Ма^аЬ, реализующий разработанные модели для анализа и синтеза, включающие редуцированные модели, операторы оптимизации управлений и методики исследования.

4. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие корректность результатов моделирования на основе предложенных моделей и методов для систем ограничения перетоков на основе средств разработанного программного комплекса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Васильев, Андрей Юрьевич, 2013 год

БИБЛИОГРАФИЯ

Русскоязычные источники:

1. Адамян В. М., Аров Д. 3., Крейн М. Г. Аналитические свойства пар Шмидта ганкелева оператора и обобщенная задача Шура-Такаги. Матем. сб., 86(128): 1(9) (1971), с. 34-75.

2. Андерсон П., Фуад А. Управление энергосистемами и устойчивость. Перевод с английского. - М.: Энергия, 1980. - 568 с.

3. Антончик B.C. Методы стабилизации программных движений. - СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского ун-та, 1998. - 208 с.

4. Балберин В.В., Мироновский Л.А., Петровский А.Б. Понижение порядка моделей: учебное пособие. - Л.: ЛИАП, 1989. - 43 с.

5. Васильев А.Ю., Козлов В.Н. Управляемость и наблюдаемость энергообъединений для синтеза системы ограничения перетоков активной мощности по линиям. Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Наука и образование, 2(171), 2013. - (в печати).

6. Васильев А.Ю., Козлов В.Н., Куприянов В.Е. Методы редукции динамических систем (с приложениями в энергетике) / под ред. В.Н. Козлова - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2011. - 109 с.

7. Васильев, А.Ю. Редукция многомерных систем на основе распределения весов входных и выходных сигналов. Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, 2(120), 2011.-С. 118-123.

8. Васильев, А.Ю., Куприянов В.Е. Синтез регуляторов по выходу для линейных объектов. Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, 6.1(138), 2011. - С. 170172.

9. Васильев А.Ю. Условия асимптотической устойчивости систем стабилизации с операторами допустимых решений и оптимизации // в кн. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. 2012. - с. 74-78.

10. Веников В.А., Жуков J1.A. Переходные процессы в электрических системах. - М.: Госэнергоиздат, 1953. - 233 с.

11. Воропай Н.И. Упрощение математических моделей динамики электроэнергетических систем. - Новосибирск: Наука, 1981.- 112с.

12. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1971. - 507 с.

13. Егупов Н.Д. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 742 с.

14. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. 2012. 175 с.

15. Козлов В.Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений: учебное пособие. - Москва: Проспект, 2010. - 173 с.

16. Козлов В.Н. Управление энергетическими системами. Часть 2: Электромеханические процессы / под. ред. Ю.С. Васильева. СПб.: изд-во СПбГТУ, 2011.-480 с.

17. Козлов В.Н. Функциональный анализ (с приложениями в энергетике). -СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2011. - 400 с.

18. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Заборовский В.С. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления. - JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1989.-223 с.

19. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть 1: Теория автоматического управления: Учеб. Пособие / Под ред. В.Н. Козлова. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - 316 с.

20. Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем. ИАН, Отд. мат. и ест. наук. (7), 1931, с. 491-539.

21. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. - М.: «Наука», 1977. - 400 с.

22. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А.А. Устойчивость движения: метод сравнения. - Киев: Наук, думка, 1991. - 248 с.

23. Лэсдон Л. Оптимизация больших систем. - М.: Наука, 1975. - 432 с.

24. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. - М.: Мир, 1973. - 344 с.

25. Мироновский Л. А. Линейные системы с кратными сингулярными числами. Автомат, и телемех., 2009, № 1, 51-73.

26. Первозванский А.А., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. - М.: Наука, 1979. - 342 с.

27. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303с.

28. Стернинсон Л.Д. Переходные процессы при регулировании частоты и мощности в энергосистемах. - М.: Энергия, 1975.-216с.

29. Щедрин Н.Н. Упрощение электрических систем при моделировании. - М.-Л.: Энергия, 1966.-160 с.

Источники на иностранных языках:

30. Antoulas А.С. Approximation of large-scale dynamical systems. SIAM, 2005.

31. Arnoldi W.E. The Principle of Minimized Iterations in Solution of the Matrix Eigenvalue Problem. Quarrt. Appl. Math., 9:17-29, 1951.

32. Boley D.L. Krylov space methods on state-space control models. Circuits Syst. Signal Process, 13:733-758, 1994.

33. Chen Y. Model order reduction for nonlinear systems. PhD thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1999.

34. Cullum J., Zhang T. Two-sided Arnoldi and Nonsymmetric Lanczos Algorithms. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 24(2):303-319, 2002.

35. Dahleh M., Dahleh M.A., Verghese G. Lectures on dynamic systems and control. - Department of Electrical Engineering and Computer Science, Massachusetts Institute of Technology, 2003. - 382 c.

36. Freund R.W. Passive Reduced-Order Modeling via Krylov Subspace Methods. Numerical Analysis Manuscript, (00-3-02), March 2000.

37. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their Loo-error bounds. International Journal of Control, 1984.

38. Grimme E.J. Krylov Projection Methods for Model Reduction. PhD thesis, Dep. of Electrical Engineering, University of Illinois at Urbana Champaign, 1997.

39. Heres P.J. Robust and efficient Krylov subspace methods for Model Order Reduction. PhD Thesis, TU Eindhoven, The Netherlands, 2005.

40. Knockaert L., Zutter D. Passive Reduced Order Multiport Modeling: The Pad'e-Arnoldi-SVD Connection. Int. J. Electron. Commun. (AEU), 53:254-260, 1999.

41. Knockaert L., Zutter D. Laguerre-SVD Reduced-Order Modelling. IEEE Trans. Microwave Theory and Techn., 48(9):1469-1475, September 2000.

42. Lanczos C. An Iteration Method for the Solution of the Eigenvalue Problem of Linear Differential and Integral Operators. J. Res. Nat. Bureau Stan., 45:255282, 1950.

43. Liu Y., Anderson B.D.O. Singular perturbation approximation of balanced systems. International Journal of Control, 1989.

44. Moore B.C. Principal component analysis in linear systems: controllability, observability, and model reduction. IEEE Transactions on Automatic Control, 1981.

45. Peller V.V. Hankel operators and their applications. Springer, New York, 2003.

46. Phillips J.R. Projection frameworks for model reduction of weakly nonlinear systems. DAC, p. 184-189, New York, USA, 2000.

47. Rewienski M., White J. A trajectory piece-wise linear approach to model-order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices. Proceedings of the International Conference on Computer-Aided Design, p.252-257, 2001.

48. Salimbahrami B., Lohmann B. Krylov Subspace Methods in Linear Model Order Reduction: Introduction and Invariance Properties. Scientific report, 2002.

49. Schilders W.H.A., Vorst H.A., Rommes J. Model Order Reduction: Theory, Research Aspects and Applications, Mathematics in Industry series, volume 13, Springer, Berlin, 2008.

50. Youla D.C. On the factorization of rational matrices. IRE Transactions on Information Theory, 1961.

ПРИЛОЖЕНИЕ. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ МАТЬАВ

% Основной скрипт построения

о.___________________________

о----------------------------

% Построение непрерывной модели

п=6; %Число ЭС

р=5; %Число ЛЭП

Е=еуе(п);

0=гегоБ(п);

% Та с крышкой

Та1=[0.02 0.017 0.02 0.02 0.02 0.02]; Та=с!1ад (Та1. л2 ) ; Т а=л_пу (Та);

% Ту

Ту1=[0.027 0.025 0.025 0.025 0.025 0.025]; Ту=сИад (Ту1) ;

% Тп с крышкой

Тп1=[1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5]; Тп=с11ад (Тпл.) ; Т п=шу (Тп) ;

% Тс с крышкой ТС1=[1 11111]; Тс=сЛад (Тел.) ; Т с—1пV(Тс);

% Кс

кс1=[1 11111]; Кс=с11ад (кс!) ;

% Котеда

км!=[0.017 0.032 0.016 0.032 0.017 0.016]; К\л?=сИад ( -кы! ) ;

% Кп

кп1=[1 11111]; Кп=сИад (кп1) ;

% И-ро

г13=0.02;г31=-г13;

г23=0.04;г32=-г23;

г34=0.04 ;г4 3=-г34 ;

г45=0.03;г54=-г45;

г5 6=0.04;г65=-г5 6;

И=[г13 0 -г13 0 0 0;

0 г23 -г23 0 0 0;

-г31 -г32 г32+г31+г34 -г34 0 0;

0 0 -г43 г4 3+г4 5 -г45 0;

0 0 0 -г54 г54+г56 -г56;

0 0 0 0 -г65 г65];

% К1 и К2: ПИ-регулятор к11= [-0.7 -0.7 -0.7 -0.7 -0.7 -0.7]; к21=[-0.9 -0.9 -0.9 -0.9 -0.9 -0.9]; К1=с11ад (кИ) ;

K2=diag(k2i);

Azl =[О E 0 0;

-T_a*R -T_a*Ty T_a 0; О T_n*Kw -T_n T_n*Kn; Т_с*К1 T_c*K2 О -T_c];

Bu=[0; 0; 0; T_c*Kc]; Bm=[0; -T_a; 0; 0];

% Уравнения э=сФ (6) определяют % Какая-то херь в связях С0=[0.02 0 -0.02 0 0 0; %1-3 О 0.04 -0.04 О 0 0; %2-3 О 0 0.04 -0.04 0 0; %3-4 ООО 0.03 -0.03 0; %4-5 О О О 0 0.04 -0.04;]; %5-6 С1=С0*[eye(п) ООО];

D1 = zeros(5,6);

о___________________________

о---------------------------

перетоки по ЛЭП.

(5x6: 5 линий, 6 станций)

% Перевод в дискретный вид

shag=0.1;

H=expm(Azl*shag);

Fu=(H-eye(24))*inv(Azl)*Bu;

Fm=(H-eye(24))*inv(Azl)*Bm;

Cd=Cl;

Dd=Dl;

о__________________________

о--------------------------

% Две полные квазистатические модели Quazi_control = -С1*(inv(Azi))*Bu; Quazi^disturb = -CI*(inv(Azi))*Bm;

о_____________________________

о----------------------------

% Преобразование наименований

% Полная динамическая дискретная система

А = Н;

В = Fu

С = Cd

D = Dd

Bmu

о,

О

% Сокращенная динамическая дискретная система

All = А(1:12, 1:12); А12 = А(1:12, 13:24); А21 = А(13:24, 1:12); А22 = А(13:2 4, 13:24); В1 = В(1:12, : ) ; В2 = В(13:24, : ) ; Bml = Bmu(1:12, :); Вт2 = Bmu(13:24, :);

CI = C(:, 1:12); C2 = С(:, 13:24);

Ar = (All + A12*inv(eye(12) - A22)*A21); Br = (A12*inv(eye(12) - A22)*B2 + Bl); Вгш = (A12*inv(eye(12) - A22)*Bm2 + Bml); Cr = (CI + C2*mv(eye(12) - A22)*A21); Dr = (C2*mv(eye (12) - A22)*B2);

о________________________________

о--------------------------------

% Дополнительные параметры для тестирования

gamma1=1; gamma2 = 1; gamma3 = 1; г = 1;

el = [0*ones(1,24) -0.01*ones(1,6)]'; c2 = [zeros (1,12) -0.01*ones (1,6)] ' ; сЗ = [-0.01*ones (1,6)]';

Fl = [C*eye(24) -C*B]; F2 = [Cr*eye(12) -Cr*Br]; F3 = Quazi_control;

o. o

% Построение П-регулятора по полной системе

о о

for и = 1:1:10 mu val = 10*ii;

gamma 1 = -50*n;

xl(1, :) = l*ones (1,24);

x2 (1, : ) = Pones (1, 24) ;

for i = 1:1:301 t(i) = x-1; mu(i,1:6) =

-0. Pones (1, 6) ;

G = zero_zone(C*xl(i, :) ',0 . 01,-0 . 01);

ul¡i, :) = gammal*oper_pro]_true2(Fl, G, el, r);

xl(í+l,:) = (A*xl(i,:)' + B*ul(i,:)' + Bmu*mu(i,:)')';

x2 (í + l, : ) = (A*x2(i,:)' + Bmu*mu(i,:)')';

yl(i, :) = C*xl(i, : ) ' ;

У2(i, : ) = C*x2 (i, : ) ' ;

end

mu_x(n) = norm (mu ( : , 1) ) ; mu_x(n) = abs(gammal); mu_y (n) = norm (ul ( : , 1) ) ;

end

plot(t,yl(:,1), 'к',t,y2(:,1), ' к- . ' ) plot(t,ul(:,1) )

plot(mu_x, mu_y, 'Marker', ' .', 'MarkerSize 1,10) grid

% Построение П-регулятора по сокращенной системе

123

xl(1, :) = ones (1,24) ; x2(1, :) = ones (1,24) ; x3(1, :) = ones(1,12);

gamma2 = -2 900; for l = 1:1:301 t(i) = i-l;

mu (i,l:6) = -0 . Pones (1, 6) ;

G = zero_zone(Cr*x3(l,:)',0.01,-0.01); ul(i,:) = gamma2*oper pro] true2(F2, G, c2, r) ;

x3(l+l,:) = (Ar*x3(l,:)' + Br*ul(i,:)' + Brm*mu(l,:)')'; x2(l+l, : ) = (A*x2(i, :) ' + B*ul(i,:)' + Bmu*mu(l,:)')'; xl(l+l,:) = (A*xl(l,:)' + Bmu*mu(i,:)')';

y2(i, : ) = C*x2 (i, : ) ' ; yl(i, :) = C*xl (l, :)'; y3(l, :) = Cr*x3(i, : ) ' ;

end

plot(t,yl(:,l),t,y2(:,l))

plot(t,ul ( : , 1) )

grid

% Построение П-регулятора no статической системе

gamma3 = 2.4;

x4(1,:) = ones(1,24);

xl(1, :) = ones (1,24) ;

for l = 1:1:301 t(i) = i-l;

mu(i,l:6) = -0 . Pones (1, 6) ;

G = zero_zone(C*x4(i,:)', 0.01, -0.01); u4(i,:) = gamma3'roper_pro]_true 1 (F3, G, c3, r) ;

x4 (l + l, : ) = (A*x4(i, :) ' + B*u4(i,:)' + Bmu*mu(l,:)')'; xl (l + l, :) = (A*xl(l, :) ' + Bmu*mu(l,:)')';

У4 (l, :) = C*x4 (i, : ) ' ; yl(i, :) = C*xl (i, : ) ' ;

end

plot(t,yl(:,1),'k-.',t,y4(:,1),'k')

plot(t,u4(:,1))

grid

% Построение ПИ-регулятора по полной системе

xl(1, :) = ones (1,24); х5(1,:) = ones(1,24); u5(l,:) = zeros(l,6);

gamma1 = 50;

for l = 1:1:301 t(i) = i-l;

mu(l,1:6)

= -0.l*ones(1,6);

G = zero_zone(C*xl(i,:)',0.01,-0.01);

x5(l+l, :) = (A*x5(i,:) ' + B*u5(i,:)' + Bmu*mu(i,:)')'; xl(l + l, : ) = (A*xl(l, :) ' + Bmu*mu(l, :) ') ';

u5(i + l,:) = u5(i,:)' + gammal*oper_proj_true2(F1, G, cl, r) ; y5(l, :) = C*x5(l, :) '; yl(i, :) = C*xl (i, : ) ' ;

end

plot(t, yl ( : , 1) , t, y5 ( : , 1) ) u5 = u5(1:301,:); plot(t,u5(:,1)) grid

% Построение ПИ-регулятора по сокращенной системе

xl(1,:) = ones(1,24)

хб(1, :) = ones (1,24)

х7(1, : ) = ones(1,12)

u7(1, :) = zeros(1,6)

gamma2 = -27 00;

for l = 1:1:301 t(i) = l-l; mu(l,1:6) =

-0.l*ones(1,6);

G = zero zone(Cr*x7(i,:)',0.01,-0.01);

x7 (l+l, : ) = (Ar*x7(i, :) 1 + Br*u7(i,:)' + Brm*mu(l,:)')';

хб (l+l, : ) = (A*x6(l, :) ' + B*u7(i,:)' + Bmu*mu(l,:)')';

xl (l + l, : ) = (A*xl(l, :) ' + Bmu*mu(l,:)')';

u7 (l + l, : ) = u7(l,:)' + gamma2*oper_pro]_true2(F2, G, c2, r);

y6(i,:) = C*x6(i,:)';

yl (l, :) = C*xl (l, : ) ' ;

end

plot (t, yl ( : , 1) , t,y6( : , 1) ) u7 = u7(1:301, :) ; plot(t,u7(:,1)) grid

% Построение ПИ-регулятора по статической системе

х8(1, :) = ones(1,24); xl(1,:) = ones(1,24); u8(l,:) = zeros(1,6); gamma3 = -0.4;

for l = 1:1:301 t(i) = i-l;

mu(l,1:б) = -0.1*ones(1,6);

G = zero_zone(C*x8(l,:)', 0.01, -0.01);

x8 (l + l, :) = (A*x8(i,:)' + B*u8(i,:)' + Bmu*mu(l,:)')'; xl (l+l, :) = (A*xl(i, :) ' + Bmu*mu(i,:)')';

u8(i+l,:) = u8(i,:)' + gamma3*oper_pro]_truel(F3, G, c3, r); y8(l,:) = C*x8(l,:)';

yl(i, :) = C*xl(i, :) ■;

end

plot(t,yl(:,l),t,y8(:,l) ) u8 = u8(1: 301, :); plot ( t,u8 (:,1)) grid

% Функция, доставляющая значение зоны нечувствительности function у = zero_zone(x, s_plus, s_minus)

у = X + 0.5*(abs(x - s_plus) - abs(x - s_mmus) - s_plus - s_mmus);

% Первая из используемых функций оператора проецирования function у = oper_pro]_true(F, G, H, г)

[p,q] = size(F); if q > p

T = [zeros(q-p, p) eye(q-p)];

else

T = eye(p);

end

P_wave = (eye(q) - F'*inv(F*F')*F);

Pa = F'*inv(F*F*);

alfa = гЛ2 - G'*inv(F*F')*G;

ro = H'* P_wave*H;

sigma = sqrt(abs(ro/alfa));

if (alfa) > 0

ymin = Pa*G + P_wave*H*sqrt(abs(alfa/ro));

else

ymm = Pa*G;

end

if (alfa) > 0

ушах = Pa*G - P_wave*H*sqrt(abs(alfa/ro));

else

ymax = Pa*G;

end

tetaO = (1 - sigma)/2;

teta_opt = (abs(tetaO) - abs(tetaO - 1) + 1)/2; if teta_opt <= 1 && teta^opt >= 0

yl = (1 - teta^opt)*ymin + teta_opt*ymax; y2 = T*yl;

У = y2;

else

'Error'

y = zeros(6,1);

end

% Вторая из используемых функций оператора проецирования function у = oper_pro]_truel(F,G,H,г)

T = [eye(6)];

P_wave = (eye (6) - F' *mv (F*F' ) *F) ; Pa = F' *mv ( F*F 1 ) ;

alfa = гл2 - G ' *mv ( F*F ' ) *G;

ro = H'*P_wave*H;

sigma = sqrt(abs(ro/alfa));

if (alfa) > 0

ymm = Pa*G + P_wave*H*sqrt (abs (alfa/ro) ) ;

else

ymm = Pa*G;

end

if (alfa) > 0

ymax = Pa*G - P_wave*H*sqrt(abs(alfa/ro)) ;

else

ymax = Pa*G;

end

tetaO = (1 - sigma)/2;

teta_opt = (abs(tetaO) - abs(tetaO - 1) + 1)/2; if teta_opt <= 1 && teta_opt >= 0

yl = (1 - teta_opt) *ymm + teta_opt*ymax; y 2 = T * y 1 ; У = У2;

else

'Error'

y = zeros(б,1);

end

% Третья из используемых функций оператора проецирования function у = oper_pro3_true2(F,G,H,г)

T = [zeros(6, 24) еуе(б)];

P_wave = ( eye (30 ) - F ' *mv ( F* F ' ) * F) ;

Pa = F ' *mv ( F*F ' ) ;

alfa = гЛ2 - G'*inv(F*F')*G;

ro = H'*P_wave*H;

sigma = sqrt(abs(ro/alfa)) ;

if (alfa) > 0

ymm = T*Pa*G + T*P_wave*H*sqrt (abs (alfa/ro) ) ;

else

ymm = T*Pa*G;

end

if (alfa) > 0

ymax = T*Pa*G - T*P_wave*H*sqrt(abs(alfa/ro)) ;

else

ymax = T * Pa * G;

end

tetaO = (1 - sigma)/2;

teta_opt = (abs(tetaO) - abs(tetaO - 1) + l)/2; if teta_opt <= 1 && teta_opt >= 0

yl = (1 - teta^opt) *ymm + teta_opt*ymax;

y = yl;

else

'Error 1

y = zeros ( б,1);

(Q