Разработка рациональной методики расчета роликовых подшипников для применения в задачах роторной динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Чжан Хао

• Чжан Хао
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Чжан Хао

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

РАСЧЕТА РОЛИКОВЫХ ПОДШИПНИКОВ И ОСНОВНЫЕ

ЗАДАЧИ, РАССМОТРЕННЫЕ В РАБОТЕ

1.1. Конструкция и классификация роликовых подшипников

1.2. Применение роликовых подшипников в технике

1.3. Обзор методов решения контактных задач

1.3.1. Применение теории Герца в контактных задачах

1.3.2. Применение метода конечных элементов в контактных

задачах

1.3.3. Применение метода граничных элементов в контактных

задачах

1.4. Известные методики расчета роликовых подшипников

1.4.1. Методика расчета подшипника из курса деталей машин

1.4.2. Методика Нахатакяна Ф. Г

1.4.3. Методика de Mul J. M

1.4.4. Методика Guo Y

1.5. Различные способы описания больших поворотов

1.6. Численные методы интегрирования нелинейных систем дифференциальных уравнений

1.6.1. Обзор явных методов численного интегрирования

1.6.2. Обзор неявных методов численного интегрирования

Выводы по Главе

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА РОЛИКОВЫХ ПОДШПНИКОВ

2.1. Элементы роликового подшипника и системы координат, используемые в расчете

2.2. Представление ролика набором тонких упругих дисков

2.3. Вычисление вектора сил и матрицы жесткости ролика по его энергии деформации

2.4. Определение центробежной силы и гироскопического

момента в роликовом подшипнике

2.5. Поиск положения равновесия ролика

2.6. Конденсация степеней свободы ролика

2.7. Матрица жесткости и вектор сил подшипника

Выводы по Главе

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ МЕТОДИКИ В ИССЛЕДОВАНИИ УПРУГИХ СВОЙСТВ РОЛИКОВЫХ ПОДШИПНИКОВ

3.1. Исследование упругих реакций и жесткостей

цилиндрического роликового подшипника

3.1.1. Параметры исследуемого подшипника и его численной реализации

3.1.2. Упругие реакции и жесткости при различных перемещениях

и углах поворота колец подшипника

3.1.3. Верификация энергетической методики по результатам известных натурных экспериментов

3.2. Исследование упругих перемещений и жесткостей конического роликового подшипника с учетом центробежной силы и гироскопического момента

3.2.1. Параметры конического роликового подшипника 30208А

3.2.2. Численная реализация и определение инерционной нагрузки

3.2.3. Влияние центробежной силы и гироскопического момента на упругие перемещения и жесткости подшипника при

изменении частоты вращения

3.2.4. Упругие перемещения и жесткости подшипника при

изменении внешних нагрузок

Выводы по Главе

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА РОЛИКОВЫХ ПОДШИПНИКОВ

4.1. Роликовый подшипник типа 12309КМ и испытательная

машина

4.2. Экспериментальное исследование подшипника, не

закрепленного в обойме

4.2.1. Экспериментальное определение упругой характеристики подшипника

4.2.2. Сопоставление результатов эксперимента с расчетами

по энергетической методике

4.2.3. Влияние изгиба колец на результаты эксперимента

4.3. Экспериментальное исследование подшипника при нагружении радиальной силой и поперечным моментом на специальном стенде, предотвращающем изгиб колец

4.3.1. Проектирование оснастки и исследование влияния её деформации на результаты эксперимента

4.3.2. Выполнение эксперимента и обработка результатов

4.3.3. Сопоставление результатов эксперимента с расчетами

по энергетической методике

4.3.4. Упругая характеристика подшипника при большой

радиальной нагрузке

4.4. Возможность корректирования энергетической методики

с учетом изгиба колец

Выводы по Главе

ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ МЕТОДИКИ

В ИМИТАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ РОТОРНОЙ ДИНАМИКИ

5.1. Кинематически точное разделение большого поворота на

осевой и поперечный в задачах роторной динамики

5.1.1. Описание больших поворотов с использованием вектора

Эйлера

5.1.2. Представление полного поворота композицией

продольного и поперечного поворотов

5.1.3. Расчетный пример

5.2. Применение энергетической методики в имитационной

задаче роторной динамики летательных аппаратов

Выводы по Главе

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ЭМРП Энергетическая модель роликового подшипника

ЦРП Цилиндрический роликовый подшипник

КРП Конический роликовый подшипник

КЭ Конечный элемент; конечно элементный(ая)

МКЭ Метод конечных элементов

МГЭ Метод граничных элементов

МНК Метод наименьших квадратов

ИМ Испытательная машина

УФП Устройство фиксации подшипника

ГТД Газотурбинный двигатель

ТВРД Турбовентиляторный двигатель

ТВВД Турбовинтовентиляторный двигатель

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка рациональной методики расчета роликовых подшипников для применения в задачах роторной динамики»

Актуальность проблемы:

Подшипниковые узлы являются важнейшими структурными элементами машин и приборов. При решении задач роторной динамики вращающихся машин большое значение имеет определение их упругих свойств. Последние в настоящее время практически для любых типов подшипников могут быть рассчитаны методом конечных элементов (МКЭ), при использовании которого кольца и тела качения разбиваются на пространственные конечные элементы. Однако такие численные модели малопригодны для решения задач роторной динамики, так как обычно содержат неприемлемо большое число степеней свободы и требуют чрезмерно много вычислительных ресурсов компьютера. Численные эксперименты показывают, что полное решение динамической контактной задачи, включающей в себя полный оборот внутреннего кольца подшипника относительно внешнего, с применением пространственных конечных элементов, может занимать несколько десятков часов. Помимо этого, построение такой модели нетривиально и требует немало времени со стороны расчетчика, который при этом должен прекрасно разбираться в особенностях того или иного КЭ комплекса. В связи с этим следует признать актуальным разработку упрощенной методики расчета роликовых подшипников, в которой количество степеней свободы минимально, а механические явления в области контакта тел качения с кольцами рассматриваются приближенно.

В задачах роторной динамики машин, состоящих из валов, зубчатых передач, подшипников и других вращающихся элементов, для описания больших поворотов применяется не один десяток способов. Наиболее привлекательными для приложений (например, для МКЭ) являются способы, в которых используются минимальное количество кинематических параметров равное трём (3 угла, либо 3 проекции вектора поворота). Но такие способы встречаются со специфической проблемой, которая ограничивает максимальное значение поворота, то есть возникает проблема критических углов.

Эффективное и достаточно простое в реализации решение проблемы критических углов в задачах роторной динамики, предложенное в диссертации, также является актуальным.

Цель диссертационной работы:

Разработка и экспериментальная верификация рациональной методики расчета роликовых подшипников, обладающей высоким быстродействием и точностью, для проектирования сложных динамических систем и механизмов.

Для реализации постановленной цели были решены следующие задачи:

1. Разработана энергетическая модель роликового подшипника (ЭМРП), позволяющая существенно проще, чем альтернативные методики, определять упругие реакции и жесткости подшипника.

2. Применение квазиньютоновского метода позволило преодолеть расходимость итерационного процесса, которая ранее приводила к большим трудностям при решении нелинейных уравнений равновесия ролика между кольцами подшипника методом Ньютона.

3. Исследованы упругие свойства (зависимости, связывающие упругие реакции, жесткости, перемещения и инерционные нагрузки) для роликовых подшипников различной конструкции.

4. Корректность и высокая точность разработанной методики продемонстрирована прямой экспериментальной верификацией в сочетании с МКЭ.

5. Разработан прием кинематически точного разделения большого поворота на осевой и поперечный, который полностью снимает проблему критических углов.

6. Работоспособность и эффективность разработанной методики подтверждена численными расчетами в имитационной задаче роторной динамики на переходных режимах движения ротора.

Методы исследования:

1. Квазиньютоновский метод для решения нелинейных уравнений

равновесия ролика между кольцами подшипника.

2. Известный в МКЭ приём конденсации для исключения степеней свободы роликов при составлении матрицы жесткости подшипника.

3. Метод наименьших квадратов для обработки экспериментальных данных.

4. Метод конечных элементов, реализованный в программном комплексе ANSYS, для контроля предложенной методики и дополнительной проверки в экспериментальных исследованиях.

5. Разработанный с участием автора метод кинематически точного разделения большого поворота на осевой и поперечный, решающий проблему критических углов.

6. Явный метод Рунге-Кутты для численного интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений в задачах роторной динамики.

Научная новизна:

1. Создан новый энергетический подход для определения сил, действующих на ролик со стороны колец и бортиков, а также матриц жесткости ролика и всего подшипника в целом. Характерной особенностью подхода является ранее не применявшийся в данных задачах и легко реализуемый способ вычисления сил и жесткостей через первые и вторые производные энергии деформации.

2. Доказано, что ЭМРП применима для роликовых подшипников любого вида за исключением сферических, так как представленные в диссертации соотношения не зависят от конкретного типа подшипника. В качестве приложения ЭМРП рассчитаны упругие свойства роликовых подшипников различной конструкции в том числе с учетом центробежных сил и гироскопических моментов, действующих на тела качения.

3. Для задач роторной динамики создана новая рациональная методика кинематически точного разделения большого поворота на осевой и поперечный, с использованием которой решена проблема критических углов.

Практическая значимость диссертации:

1. ЭМРП позволяет предсказывать механические явления в роликовых подшипниках уже на этапе проектирования опорных узлов, что повышает достоверность расчета всей роторной системы.

2. ЭМРП намного экономичнее, чем методики, использующие МКЭ, особенно в применении к задачам роторной динамики, что позволяет рациональней использовать вычислительные ресурсы компьютера и весьма существенно сократить время расчета.

3. Использование ЭМРП значительно сокращает объем экспериментальных исследований и ускоряет сроки разработки новых конструкций подшипниковых узлов.

4. Разработанная с участием автора методика разделения большого поворота на осевой и поперечный окажется полезной и при решении задач роторной динамики машин, состоящих из других вращающихся элементов, например, валов и зубчатых передач, в которых поперечный поворот ограничен конструктивными соображениями.

Степень достоверности полученных результатов:

Достоверность результатов подтверждается строгостью использованных математических методов, проверкой разработанных алгоритмов и программ на модельных и тестовых задачах, сопоставлением полученных результатов с результатами натурных экспериментов, МКЭ, а также с известными результатами других авторов, в том числе производителя подшипников компании FAG (Германия).

Внедрение:

Разработанный пакет программ на основе ЭМРП использован в программном продукте DYNAMICS-R4 для решения задач роторной динамики турбомашин различного назначения, разработанном научно-техническим центром роторной динамики «Альфа-транзит» в России. Кроме того, некоторые результаты диссертации, в частности, методика разделения большого поворота на осевой и поперечный внедрены в учебный процесс кафедры прикладной

механики МГТУ им. Н.Э. Баумана. Апробация работы:

Основные положения настоящей работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Московский ежемесячный семинар молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения имени Ю.Н. Работнова (Москва, 2019 г.);

- XI всероссийская конференция молодых ученых и специалистов «Будущее машиностроения России» (Москва, 2018 г.);

- VII международная конференция «Проблемы механики современных машин» (Улан-Удэ, 2018 г.);

- 32nd International Conference on VIBROENGINEERING (Брно, Чехия, 2018 г.);

- 76-я научно-методическая и научно-исследовательская конференция МАДИ (Москва, 2018 г.);

- XXIX Международная конференция «Машиноведение и инновации. Конференция молодых учёных и студентов» (Москва, 2017 г.);

- Вторая Всероссийская конференция «Механика и математическое моделирование в технике» (Москва, 2017 г.);

- IV международная школа-конференция молодых учёных «Нелинейная динамика машин» School-NDM (Москва, 2017 г.);

- XXVIII Международная конференция «Машиноведение и инновации. Конференция молодых учёных и студентов» (Москва, 2016 г.);

Публикации:

По теме диссертации опубликовано 12 научных работ, в том числе 4 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и 1 работа в изданиях, индексируемых в Scopus.

Структура диссертации и аннотация глав:

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Общий объем составляет 162 страницы, 88 рисунков и 9 таблиц. Список используемой литературы содержит 135 наименований.

В первой главе выполнен обзор работ, посвященных современному состоянию проблемы расчета роликовых подшипников и основным задачам, рассмотренным в диссертации. Приведена конструкция и выполнена классификация роликовых подшипников с обсуждением применения роликовых подшипников в технике. Показано последовательное развитие способов решения контактных задач с использованием теории Герца, МКЭ и МГЭ. Представлены известные методики расчета роликовых подшипников других авторов, в частности, методика из курса деталей машин, методика Ф.Г. Нахатакяна, методика J.M. de Ми1 и методика У Guo. Произведено сопоставление различных способов описания больших поворотов. Кроме того, выполнен анализ различных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений движения в задачах роторной динамики.

Во второй главе разработана энергетическая методика расчета роликового подшипника, в которой подшипник имеет 12 степеней свободы, так как каждое из колец рассматривается как абсолютно жесткое тело, при этом локальные деформации колец от взаимодействия с роликами учтены коэффициентами контактной жесткости. Известный способ разбиения ролика на тонкие диски позволяет вычислить полную энергию деформации как отдельных роликов, так и всего подшипника в целом. Компоненты вектора сил и матрицы жесткости находились через первые и вторые производные энергии деформации. Равновесное положение ролика между кольцами подшипника определялось из нелинейной системы алгебраических уравнений, для решения которой использовался квазиньютоновский метод. По найденным относительным перемещениям роликов и колец далее может быть вычислено распределение контактного давления между роликами и дорожками качения, что важно при анализе долговечности подшипника. Методика расчета вектора сил и матрицы жесткости подшипника может быть использована как для построения нагрузочных характеристик подшипников, так и применяться непосредственно в задачах роторной динамики. При этом следует отметить, что разработанный алгоритм во много раз производительней трехмерных конечно-элементных

подходов, которые могут порождать модели с десятками и сотнями тысяч степеней свободы только для единственного подшипника.

В третьей главе разработанная методика была использована для построения упругих свойств роликовых подшипников различной конструкции. Выполнялось сопоставление результатов, полученных на основе ЭМРП, с численными и экспериментальными результатами других авторов, в частности, специалистов известной подшипниковой компании Германии - FAG. При этом учитывались центробежные силы и гироскопические моменты, действующие на ролики при вращении колец подшипника. Сопоставление показало хорошую точность разработанной методики.

В четвертой главе с целью верификации ЭМРП выполнялись натурные эксперименты на универсальной испытательной машине. Роликовый подшипник типа 12309КМ, закрепленный в специальном устройстве, обеспечивающем фиксацию наружного кольца (для исключения его изгиба), через жесткую штангу нагружался радиальной силой и моментом. Сравнение экспериментальных данных с численными результатами, полученными по ЭМРП, показало их хорошее соответствие. Кроме того, показано экспериментально и подтверждено МКЭ, что отсутствие фиксации одного из колец вызывает его изгиб и в несколько раз снижает жесткость подшипника.

В пятой главе построенная ЭМРП применялась непосредственно в имитационной задаче роторной динамики. Имитация состояла из массивного жесткого ротора, опирающегося на два роликовых подшипника, установленных на подвижном основании. Исследовались переходные процессы, возникающие в системе при движении основания на вираже. Применялось трехмерное описание поворотов. При этом с целью преодоления проблемы критических углов была разработана новая методика кинематически точного разделения большого поворота на осевой (скаляр) и поперечный (вектор Эйлера). Указанное разделение поворотов позволяет обходиться без предположения о постоянстве осевой составляющей угловой скорости ротора и строить решение сразу в глобальной системе координат (без использования понятий относительного и

переносного движения). Были рассчитаны колебания ротора при переходе от поступательного движения основания к движению по окружности (вираж), и найдены зависимости от времени динамических реакций в опорах ротора. Вычислены контактные напряжения.

В приложении вынесены акты внедрения результатов диссертации и тексты компьютерных программ.

Благодарности:

Автор выражает благодарность научному руководителю д.т.н., профессору кафедры «Прикладная механика», доценту Сорокину Ф.Д. за помощь и содействие при написании диссертации; ассистенту кафедры «Прикладная механика» Попову В.В. за помощь и содействие в проведении натурных экспериментов; ведущему инженеру инженерно консультационного центра по роторной динамике «Альфа-транзит» Иванникову В.В. за поддержку и помощь в проверке алгоритмов; д.т.н., профессору кафедры «Основы конструирования машин» Ряховскому О.А. за ценное обсуждение различных аспектов конструирования подшипниковых узлов; старшему преподавателю кафедры «Прикладная механика» Сорокиной А.Г. за неоценимую помощь в учебе и даже в жизни.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАСЧЕТА РОЛИКОВЫХ ПОДШИПНИКОВ И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РАССМОТРЕННЫЕ В РАБОТЕ

Роликовые подшипники являются важнейшими структурными элементами машин и приборов. Отказы в технике очень часто происходят из-за отказов подшипниковых узлов, которые, таким образом, ограничивают долговечность машин и приборов. Даже при достаточно качественном изготовлении деталей роликовых подшипников (колец, роликов, сепаратора) характеристики подшипников могут оказаться неудовлетворительными и произойдет внезапный отказ. При этом под отказом следует понимать не только разрушение рабочих поверхностей, но и выход одной из характеристик роликового подшипника за допускаемые пределы. В то же время для роликовых подшипников специального применения важны и другие характеристики, такие, как жесткость, момент сопротивления вращению и долговечность.

Из сказанного следует, что избежать отказов роликовых подшипников можно только при системном подходе к расчету и проектированию роликовых подшипников, предназначенного для исследования поведения подшипника, начиная с его установки в изделие, в целом. Исходя из назначения машины или прибора, формулируют требования к характеристикам роликовых подшипников: габаритам, массе, долговечности, допускаемому износу, точности вращения, жесткости, моменту сопротивления вращению. Расчет подшипника входит в расчет подшипникового узла как составная часть, причем характеристики подшипника (например, жесткость) являются параметрами роликовых подшипников при расчете, например, собственных частот. Для оптимального выбора параметров роликовых подшипников необходим расчет влияния этих параметров на характеристики.

В диссертации изложены основные этапы расчета роликовых подшипников: расчетные схемы роликовых подшипников, замена реального

роликового подшипника его расчетной схемой, примеры расчетов конкретных подшипников.

1.1. Конструкция и классификация роликовых подшипников

Роликовые подшипники представляют собой обычные подшипники качения, где телами качения выступают не шарики, а специальные удлиненные цилиндры или ролики. Роликовый подшипник состоит из наружного и внутреннего колец, тел качения (роликов) и сепаратора. Применение роликовых подшипников было обусловлено повышением осевой нагрузки, а также стремлением максимально препятствовать прогибу и перекосу вала под нагрузкой.

Роликовые подшипники, как правило, имеют гораздо более жесткие конструкции и обеспечивают большую усталостную выносливость, чем шариковые подшипники сопоставимых размеров. Но обычно они требуют большей осторожности при монтаже, чем в узлах шарикоподшипников.

(а) (б) (в) (г)

Рис. 1.1. Классификация упорных роликоподшипников

В зависимости от формы ролика различают несколько типов роликовых подшипников (Рис. 1.1) [21-23]:

^ подшипник роликовый цилиндрический (Рис. 1.1, а). ^ подшипник роликовый конический (Рис. 1.1, б). ^ подшипник роликовый сферический (Рис. 1.1, в). ^ подшипник роликовый игольчатый (Рис. 1.1, г).

1.2. Применение роликовых подшипников в технике

Применяемые роликовые подшипники в технике представляют собой сложные механические системы. Рассмотрим несколько примеров применения роликовых подшипников в технике [20].

На Рис. 1.2 изображен роликовый подшипник, на который опирается вертикальный преобразователь электрического тока. Радиальные силы, действующие на опоры вертикальных умформеров и электродвигателей, складываются из сил магнитного происхождения и сил, вызванных дисбалансом ротора.

Рис. 1.2. Вертикальный преобразователь электрического тока

На Рис. 1.3 изображена часть двухцилиндрового четырехтактного

г\ с/ с/

тракторного двигателя. В качестве плавающей опоры применен роликовый подшипник без бортиков на наружном кольце, в качестве фиксирующей -роликовый подшипник с приставным бортиком.

Рис. 1.3. Часть двухцилиндрового четырехтактного тракторного двигателя

На Рис. 1.4 изображены буксовые узлы локомотива. Рама локомотива через рессоры опирается на буксовые узлы трех колесных пар. Чтобы

локомотив мог свободно проходить повороты, средняя колесная пара должна иметь возможность перемещаться в осевом направлении. На первой и третьей осях установлены роликовые подшипники с короткими цилиндрическими роликами и приставными бортиками на наружных кольцах (Рис. 1.4, а). Установленный на средней оси роликовый подшипник (Рис. 1.4, б) допускает перемещение оси в обе стороны. Подшипник состоит из двух внутренних колец с комплектами роликов и широкого наружного кольца.

(а) (б)

Рис. 1.4. Буксовые узлы локомотива

На Рис. 1.5 представлены подшипники промывного барабана. Из-за большого расстояния между подшипниками было бы целесообразно применять самоустанавливающиеся роликовые подшипники. Однако они имели бы слишком большие габариты и чрезмерную долговечность, поэтому применяют цилиндрические роликовые подшипники с закругленным меридианом роликов. Осевая нагрузка воспринимается фасонными кольцами со стороны фиксирующего подшипника.

»ш 1 У У у

// У У У

у У У у'

ж йШНй

Рис. 1.5. Промывной барабан

На Рис. 1.6 показаны подшипники опорного валка стана горячей прокатки. Смазывание осуществляют погружением в ванну с жидким смазочным материалом. Чтобы из подшипников не вытекало масло, а окалина и охлаждающая жидкость не проникали в подшипники, предусмотрено лабиринтное уплотнение.

Рис. 1.6. Стан горячей прокатки

На Рис. 1.7 изображена опора оптического телескопа. Плавающая опора выполнена в виде цилиндрического роликового подшипника. Несмотря на коническую форму вильчатой оси, ее прогиб настолько велик, что может приводить к увеличению трения в двухрядном подшипнике. Поэтому роликовый подшипник снабжен двумя эксцентричными кольцами, которые при монтаже вращают так, чтобы ликвидировать прогиб оси в месте расположения шарикового подшипника. Кроме того, для самоустановки меридиан дорожки внутреннего кольца роликового подшипника имеет форму дуги окружности с большим радиусом.

Рис. 1.7. Опора оптического телескопа

1.3. Обзор методов решения контактных задач

Контактные задачи по своей природе являются нелинейными и требуют для расчета значительных вычислительных ресурсов. Для успешного решения задач контактного взаимодействия необходимо иметь четкое представление о физической природе этого явления. Кроме того, такая задача всегда должна решаться поэтапно. Для контактных задач характерна проблема, которая состоит в том, что зона контакта до решения задачи неизвестна. В зависимости от внешних нагрузок, граничных условий, свойств материалов и других факторов поверхности могут входить в контакт друг с другом и выходить из него внезапно и непредсказуемо.

1.3.1. Применение теории Герца в контактных задачах

При расчете статической нагруженности и упругих свойств роликовых подшипников обычно пользуются решением задачи теории упругости о контакте цилиндров с параллельными осями. Известно, что Г. Герц в 1881 году впервые решивший контактную задачу теории упругости, являющуюся основой при контактных расчетах деталей машин, не получил зависимостей для контактной деформации цилиндров с параллельными осями, ограничившись лишь определением максимального контактного давления и полуширины полоски контакта [1, 2]. В дальнейшем этой проблемой занимались многие российские и зарубежные ученые [3-15, 24, 80-85, 92, 115, 124]. Многие из них [6-13] считали теорию Герца (модель - упругое полупространство) непригодной для определения контактной деформации цилиндров. По их мнению «трудности» заключаются в том, что теория Герца для этого параметра дает логарифмическую бесконечность. Например, автор работы [8] отмечает, что перемещения определенной точки в случае плоской задачи определить с помощью модели упругого полупространства нельзя, их можно определить только относительно произвольно выбранных отсчетных значений. Поэтому, для определения этого параметра они использовали другую модель: решили

принципиально другую задачу - сжатие диска в двух диаметрально расположенных зонах распределенной нагрузкой.

Однако, как показано в работе [14], на основе решения задачи контактной деформации упругого полупространства можно приближенно определить контактную деформацию плит прямоугольного блока толщиной С, а также различных упругих тел, касающихся до деформации по линии, в том числе и круговых цилиндров. Что же касается бесконечно большого сближения двух цилиндров, то оно объясняется том, что Герц и другие, по существу рассматривали не круговые цилиндры, а упругие полупространства (точнее бесконечные параболические цилиндры), ограниченные в окрестности контакта цилиндрическими поверхностями и находили сближения таких тел путем интегрирования местных деформаций в каждом из них от нуля до бесконечности.

Как отмечено выше, при расчете нагруженности и прочности роликовых подшипников обычно пользуются решением так называемой контактной задачи теории упругости о сжатии двух цилиндров по образующей и о сжатии ролика двумя плоскими плитами. Очевидно, что в таких случаях необходимо учитывать деформации всех тел, находящихся в силовом контакте, например, ролика и двух плит. В истории появилось большое количество эмпирических и аналитических приближенных зависимостей зазора-натяга от нагрузки для изучения взаимодействия контакта на основе теории Герца. Например: • Формула Palmgren:

1 -V,2 1 -V, -- +-2

2

0,9

->0,9

I — V I — V I

5 = 3,81

£0

I

0,8

пЕ1 пЕ2 J

где 5 - контактный зазор-натяг; Q - нагрузка; I - длина ролика; Е1;2 - модуль упругости контактирующих дел; у1;2 - коэффициент Пуассона. • Формула Ноерпск

Г 1 / Л „ Л

V

5 = Л 1п

' 1 4 (1 -V2) Q

Кв 2(1^/Л V У

Л=

пе1

где 5 - контактный зазор-натяг; Q - нагрузка; I - длина ролика; t - толщина плита; Е - модуль упругости контактирующих дел; V - коэффициент Пуассона. • Формула Ноирей:

8,

2Q (1 -V2)

лEL

1п

4

О. ^

1

— + 1п 2

4t

У е»еХ-Ае

п

0,3 1,4

8

2Q (1 -V2)

пEL

1п

4

(1 * Ч П 4.

8 = 8+8,

л = 2Q(1 "V2), ^ = ^

1

— + 1п 2

4

г * 8 4

V П

В

-> У г

В

увЕВ>£ ' ' у1ЕВ1^е Ве - В- В + В

где 5 - контактный зазор-натяг; 5е,г - контактный зазор-натяг ролика с внешним и внутренним кольцом; Q - нагрузка; I - длина ролика; t - толщина кольца; Е -модуль упругости контактирующих дел; V - коэффициент Пуассона; у е, у г и Ве, В г - коэффициенты кривизны и диаметры дорожек качения соответственно; Ае, Аг - безразмерные коэффициенты.

Среди них сравнительно простыми и в то же время часто используемыми являются зависимости, полученные Pa1mgren. Для стальных роликовых

5 2

подшипников Е1=Е2=2,06х 105 Н/мм2 и v1= v2=0,3 тогда формула упрощается:

8 = 3,84 х10

-5 Q0'9

I

0,8

(1.1)

где 5 и I должно задаваться в мм, а Q в Н.

1.3.2. Применение метода конечных элементов в контактных задачах

Современные исследования в области решения контактных задач проводятся в основном в вариационной постановке с использованием метода конечных элементов (МКЭ). МКЭ развивается с начала 1960 г., значительный вклад в разработку МКЭ был сделан J. Argyris [25, 26]. В период 1960-1965

году, опубликованы работы, в которых приведены основы вариационных принципов конечных элементов для решения задач изгиба плит, тонких оболочек, массивов. В 1967 г. издана первая монография по МКЭ О.С. Zienkiewicz [27], в которой изложены основы метода и его область применения. Подробные сведения о традиционном варианте МКЭ изложены в классической литературе [28-31, 87]. Большой вклад в развитие МКЭ в РФ внес Постнов В.А. [29].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чжан Хао, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hertz H. On the contact of elastic solids // J. Reine Angew. Math. 1882. Vol. 92. Р. 156-171.

2. Hertz H. On the contact of rigid elastic solids and on hardness // Miscellaneous Papers. London (UK): Macmillan and Co. Ltd, 1896. P. 163183.

3. Беляев Н.М. Труды по теории упругости и пластичности. М.:Гостехтеориздат, 1957. 632 с.

4. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 304 с.

5. Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику контактных взаимодействий. Ростов-на-Дону: Изд-во ЦВВР, 2007. 114 с.

6. Динник А.Н. Удар и сжатие упругих тел. Киев: Изд-во тип. С.В. Кульженко, 1909. 120 с.

7. Динник А.Н. Избранные труды. Киев: АН УССР, 1952. 151 с.

8. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510 с.

9. Развитие теории контактных задач в СССР / Б.Л. Абрамян [и др.]; Под ред. Л.А. Галин. М.: Наука, 1976. 493 с.

10. Ковальский Б.С. Расчет деталей на местное сжатие. Харьков: Изд-во ХВКИУ, 1967. 222 с.

11. Ковальский Б.С. Напряжения на участке местного сжатия при учете сил трения // Известия АН СССР. 1942. № 9. C. 16-19.

12. Ковальский Б.С. Напряжения в зоне местного сжатия. Харьков: Б. И., 1957. 30 с.

13. Ковальский Б.С. Контактная задача в инженерной практике // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1960. № 6. C. 1-97.

14. Нахатакян Ф.Г. Механика контактного сближения упругих тел в задаче Герца // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 5. C.

48-56.

15. Нахатакян Ф.Г. Напряженно-деформированное состояние упругих элементов зубчатых механизмов и сооружений при их линейном и кромочном контакте: дис. ... докт. тех. наук. Москва. 2014. 213 с.

16. Winkler Е. Die lehre von der elasticitaet und festigkeit (1867). Whitefish (USA): Kessinger Publishing, 2010. 424 c.

17. de Mul J.M., Vree J.M., Maas D.A. Equilibrium and associated load distribution in ball and roller bearings loaded in five degrees of freedom while neglecting friction - Part I: General theory and application to ball bearings // Journal of Tribology. 1989. Vol. 111, Is. 1. P. 142-148.

18. de Mul J.M., Vree J.M., Maas D.A. Equilibrium and associated load distribution in ball and roller bearings loaded in five degrees of freedom while neglecting friction - Part II: Application to roller bearings and experimental verification // Journal of Tribology. 1989. Vol. 111, Is. 1. P. 149-155.

19. Tong V.C., Hong S.W. Characteristics of tapered roller bearing subjected to combined radial and moment loads // IJPEMGT. 2014. Vol. 1, Is. 4. P. 323328.

20. Галахов М.А., Бурмистров А.Н. Расчет подшипниковых узлов. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

21. Черменский О.Н., Федотов Н.Н. Подшипники качения: Справочник-каталог. М.: Машиностроение, 2003. 576 с.

22. Перель Л.Я. Подшипники качения: Расчет, проектирование и обслуживание опор: Справочник. М.: Машиностроение, 1983. 543 с.

23. Бейзельман Р.Д., Цыпкин Б.В., Перель Л.Я. Подшипники качения: Справочник. М.: Машиностроение, 1975. 572 с.

24. Palmgren A. Ball and roller bearing engineering (3rd edition). Philadelphia (USA): S.H. Burbank and company Inc., 1959. 50 p.

25. Argyris J. H., An excursion into large rotations // Comp. Meths. Appl. Mech. Engrg. 1982. Vol. 32. P. 85-155.

26. Argyris J. H., Kelsey S. Energy Theorems and Structural Analysis. London (UK): Butterworth, 1960. 85 p.

27. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. Finite element method: its basis and fundamental (7th edition). London (UK): Butterworth, 2013. 756 p.

28. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций. М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2004. 248 с.

29. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. 344 с.

30. Friswell M.I., Mottershead J.E. Finite element model updating in structural dynamics. Dordrecht (Netherlands): Kluwer Academic Publishers, 1995. 292 p.

31. Hughes T.J.R. The finite element method. Linear static and dynamic finite element analysis. New York (USA): Dover Publications Inc., 2000. 672 p.

32. Лукьянова А.Н. Моделирование контактной задачи с помощью программы ANSYS: учеб. -метод. пособие. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2010. 52 с.

33. Лукьянова А.Н. Моделирование контактного взаимодействия деталей: учеб. пособие. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2012. 87 с.

34. Алейников С.М., Вахтин А.А. Генерация гранично-элементных сеток для расчета оснований и фундаментов мостовых опор в пространственной постановке // Научный вестник воронежского государственного архитектурно строительного университета. Серия: дорожно-транспортное строительство. 2004. Вып. 2. С. 3-11.

35. Вахтин А.А. Интерактивные методы построения пространственной гранично-элементной сетки // Вестник воронежского государственного университет. 2006. № 4. С. 114-118.

36. Алейников С.М., Вахтин А.А. Гранично-элементная дискретизация плоских областей в пространстве // Мат. рег. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. Воронеж: ВГУ,

2004. Вып. 4. С. 6-9.

37. Алейников С.М., Вахтин А.А., Тюкачев Н.А. Алгоритмы построения пространственных гранично-элементных сеток // Мат. рег. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. Воронеж: ВГУ, 2004. Вып. 4. С. 9-11.

38. Алейников С.М., Вахтин А.А., Тюкачев Н.А. Пространственные гранично элементные сетки в контактных задачах теории упругости // Тр. Всероссийской конф. Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления. М.: ВЦ РАН, 2004. Т. 2. С. 61-72.

39. Баранов Л.В. Актуальные вопросы технологии современных САПР // Тр. всероссийской конф. Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления. М.: ВЦ РАН, 2004. Т. 2. С.131-142.

40. Опыт взаимодействия сеточного генератора с САПР / Л.В. Баранов [и др.] // Тр. всероссийской конф. Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления. М.: ВЦ РАН, 2004. Т. 2. С. 143-153.

41. Донченко М., Рябенький М. Особенности использования программных средств для модификации AutoCAD // CAD master. 2004. № 5. С. 10-15.

42. Вахтин А.А. Автоматизация построения гранично-элементных сеток для решения статических задач теории упругости // Мат. междун. науч. конф. образование, наука, производство и управление в XXI веке. Старый Оскол: СОТИ, 2004. Т. I. С. 274-278.

43. Вахтин А.А. Алгоритмы автоматического моделирования многогранников // Межвузовский сб. науч. тр. Математическое обеспечение ЭВМ. Воронеж: ВГУ, 2002. Вып. 4. С. 27-31.

44. Вахтин А.А. Генерация гранично-элементной сетки на поверхностях осесимметричных конструкций // Мат. рег. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. Воронеж: ВГУ,

2004. Вып. 4. С. 48-52.

45. Вахтин А.А. Генерация пространственных гранично-элементных сеток для фундаментных конструкций блочного типа // Тр. междун. конф. молодых ученых и студентов Актуальные проблемы современной науки. Ч. 17: Естественные науки. Информатика, вычислительная техника и управление. Самара: Поволжская молодежная академия наук, 2003. Вып. 4. С. 11-13.

46. Гардан И., Люка М. Машинная графика и автоматизация конструирования (Пер. с франц.). М.: Мир, 1987. 272 с.

47. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. 208 с.

48. Препапа Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение (Пер. с англ.). М.: Мир, 1989. 478 с.

49. Зуев С., Полещук Н. САПР на базе AutoCAD - как это делается. СПб.: БХВ, 2004. 1168 с.

50. Ковнеристов Г.Б. Интегральные уравнения контактной задачи теории упругости для заглубленных штампов // Сб. научн. тр. Киев: Киевский инж.-строит. ин-т, 1962. Вып. 20. С. 200-213.

51. Погорелов В. AutoCAD: трехмерное моделирование и дизайн. СПб.: БХВ, 2003. 288 с.

52. Потемкин А. Трехмерное твердотельное моделирование. М.: КомпьютерПресс, 2002. 296 с.

53. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. М.: АСВ, 2000. 754 с.

54. Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++ (Пер. с англ.). М.: БИНОМ, 1997. 304 с.

55. Райан Д. Инженерная графика в САПР (Пер. с англ.). М.: Мир, 1989. 391 с.

56. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики

(Пер. с англ.). М.: Мир, 2001. 604 с.

57. Механика грунтов, основания и фундаменты / В.Г. Березанцев [и др.]; Под ред. В.Г. Березанцева. М.: ТРАНСЖЕЛДОРИЗДАТ, 1961. 340 с.

58. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов (Пер. с англ.). М.: Мир, 1987. 524 с.

59. Ломазов В.А. Задача диагностики упругих полуограниченных тел // Прикладная математика и механика. 1989. Т. 53, Вып. 5. С. 766-772.

60. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

61. Guo Y., Parker R.D. Stiffness matrix calculation of rolling element bearings using a finite element/contact mechanics model // Mechanism & Machine Theory. 2012. Vol. 51, Is. 5. P. 32-45.

62. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с.

63. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука, 1977. С. 296-303.

64. Davidon W.C. Variable metric methods for minimization // SIAM Journal on Optimization. 1991. Vol. 1, Is 1. P. 1-17.

65. Fletcher R., Powell M.J.D. A rapidly convergent descent method for minimization // Comput. J. 1963. Vol. 6, Is 2. P.163-168.

66. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992. 280 с.

67. Сорокин Ф.Д. Особенности рационального способа описания больших поворотов в задачах нелинейной динамики роторных машин // III Международная Школа-конференция Нелинейная динамика машин (School-NDM 2016). М.: ИМАШ РАН, 2016, С. 89-93.

68. Felippa C.A. A Systematic Approach to the Element-Independent Corotational Dynamics of Finite Elements. Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures. Boulder (USA): University of Colorado, 2000. 42 p.

69. Felippa C.A., Haugen B. A Unified Formulation of Small-Strain

Corotational Finite Elements: I. Theory // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2005. Vol. 194. P. 2285-2335.

70. Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. СПб.: Нестор, 2001. 276 с.

71. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики (Изд. 2-е, перераб.). М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. 320 с.

72. Светлицкий В.А. Механика стержней: Ч. 1. М.: Высшая школа, 1987. 320 с.

73. Geradin M., Cardona A. Flexible multibody dynamics. A finite element approach. Chichester (UK): John Wiley&Sons, 2001. 340 p.

74. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations (3rd Edition). Chichester (UK): John Wiley&Sons, 2016. 538 p.

75. Ferziger J.H., Numerical Methods for Engineering Applications (2nd Edition). Chichester (UK): John Wiley&Sons, 1998. 400 p.

76. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 448 с.

77. Лукашевич А.А. Современные численные методы строительной механики: Учебное пособие. Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2003. 135 с.

78. Даутов Р.З. Практикум по курсу численные методы. Решение задачи Коши для системы ОДУ. Казань: КФУ, 2014. 100 с.

79. Harris T.A. Rolling bearing analysis (5th edition). Florida (USA): CRC Press, 2006. 760 p.

80. Hoeprich M.R., Zantopulos H. Line contact deformation: a cylinder between two flat plates // Journal of Tribology. 1981. Vol. 103, Is. 1. P. 21-25.

81. Houpert L. An engineering approach to Hertzian contact elasticity: Part I // Journal of Tribology. 2001. Vol. 123, Is. 3. P. 582-588.

82. Houpert L. An engineering approach to Hertzian contact elasticity: Part II // Journal of Tribology. 2001. Vol. 123, Is. 3. P. 589-594.

83. Bourdon A., Rigal J.F., Play D. Static rolling bearing models in a C.A.D.

Environment for the study of complex mechanisms: Part I - rolling bearing model // Journal of Tribology. 1999. Vol. 121. P. 205-214.

84. Дегтярев С.А., Кутаков М.Н., Попов В.В. Учет контактных взаимодействий при моделировании жесткостных свойств роликовых подшипников // Вестник московского авиационного института. 2015. Т. 22, № 2. С. 137-141.

85. Antoine J.F., Visa C., Sauvey C. Approximate analytical model for Hertzian elliptical contact problems // Journal of Tribology. 2016. Vol. 128, Is. 3. P. 660-664.

86. Bremer H. Elastic multibody dynamics: a direct Ritz approach. Dordrecht (Netherlands): Springer, 2008. 464 р.

87. Трушин С.И. Метод конечных элементов. Теория и задачи: Учебное пособие. М.: Изд-во АСВ, 2008. 256 с.

88. Houpert L. An enhanced study of the load-displacement relationships for rolling element bearings // Journal of Tribology. 2014. Vol. 136, Is. 1. P. 011105-011116.

89. Houpert L. A uniform analytical approach for ball and roller bearings calculations // Journal of Tribology. 1997. Vol. 119, Is. 4. P. 851-858.

90. Cheng W. Experimental and numerical study of multibody contact system with roller bearing Part II: Semi-finite element analysis and optimal design of housing // Tribology Transactions. 1996. Vol. 39, Is. 1. P. 166-172.

91. Cavallaro G., Ne'lias D., Bon F. Analysis of high-speed inter-shaft cylindrical roller bearing with flexible rings // Tribology Transactions. 2005. Vol. 48, Is. 2. P. 154-164.

92. de Mul J.M., Van E.H. The line contact between two cylinders - some experiments and theoretical predictions // Journal of Tribology. 1988. Vol. 110, Is. 2. P. 285-291.

93. Leblanc A., Nelias D., Defaye C. Nonlinear dynamic analysis of cylindrical roller bearing with flexible rings // Journal of Sound & Vibration. 2009. Vol. 325, Is. 1. P. 145-160.

94. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. М.: Нолидж, 2001. 1296 с.

95. Гладких Б.А. Метод оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики. Томск: Изд-во НТЛ, 2011. 264 с.

96. Schaeffler Technologies. "BEARINX-Online Shaft Calculation". URL: http://www. schaeffler. de/content. schaeffler. de/en/products_services/inafagpr oducts/calculating/bearinxonline/bearinx_onlinejsp (дата обращения 10.12.2018 г.)

97. Yongjun W. Rolling element inertia forces and moments in rolling bearing // Journal of Luoyang institute of technology. 1992. Vol. 13, Is. 4. P. 31-37.

98. Челомей В.Н. Вибрации в технике. Том 3: Колебания машин, конструкций и их элементов. М.: Машиностроение, 1980. 544 с.

99. Попов В.В., Сорокин Ф.Д., Иванников В.В. Разработка конечного элемента гибкого стержня с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для моделирования больших перемещений элементов конструкций летательных аппаратов // Труды МАИ. ЭЛ № ФС 77-69492. 2017. №. 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76832 (дата обращения 14.02.2019 г.)

100. Жилин П.А. Рациональная механика сплошных сред: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. 584 с.

101. Rankin C.C., Brogan F.A. An element independent corotational procedure for the treatment of large rotation // Journal of Pressure Vessel Technology. 1986. Vol. 108, Is. 2. P. 165-174.

102. Crisfield M.A. Nonlinear finite element analysis of solid and structures (2nd edition). Chichester (UK): John Wiley&Sons, 2012. 544 p.

103. Елисеев В.В., Зиновьева Т.В. Механика тонкостенных конструкций. Теория стержней. СПб.: Изд-во Политехн. Ун-та, 2008. 95 с.

104. Силаев Б.М., Даниленко П.А. Комбинированная модель расчета долговечности высокоскоростных подшипников качения двигателей летательных аппаратов // Известия высших учебных заведений.

Авиационная техника. 2016. № 4. C. 111-116.

105. Jones A.B., Harris T.A. Analysis of a Rolling-Element Idler Gear Bearing Having a Deformable Outer-Race Structure // Journal of Basic Engineering. 1963. Vol. 85, Is. 2. P. 273-278.

106. Filetti E.G., Rumbarger J.H. A General Method for Predicting the Influence of Structural Support Upon Rolling Element Bearing Performance // Journal of Lubrication Technology. 1970. Vol. 92, Is. 1. P. 121-127.

107. Балякин В.Б., Жильников Е.П., Самсонов В.Н. Теория и проектирование опор роторов авиационных ГТД. Самара: Изд-во СГАУ, 2007. 253 с.

108. Liu J.Y., Chiu Y.P. Analysis of a Thin Elastic Ring Under Arbitrary Loading // Journal of Engineering for Industry. 1974. Vol. 96, Is. 3. P. 870-876.

109. Горяинов В.Б., Павлов И.В., Цветкова Г.М. Математическая статистика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 424 с.

110. Freedman D.A. Statistical models: theory and practice. Cambridge (UK): University Press, 2005. 414 p.

111. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров. М.: Машиностроение, 2004. 512 с.

112. Басов К.А. ANSYS в примерах и задачах. М.: Компьютер Пресс, 2002. 224 с.

113. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин: Справочник. М.: Машиностроение, 1993. 640 с.

114. Andreason S. Load Distribution in a Taper Roller Bearing Arrangement Considering Misalignment // Tribology. 1973. Vol. 6, Is. 3. P. 84-92.

115. Сорокин Ф.Д., Чжан Х. Сопоставительный анализ различных соотношений, применяемых при расчете контактной жесткости в роликовом подшипнике // XXVIII Международная инновационно-ориентированная конференция молодых ученых и студентов: сборник трудов конференции. М.: Изд-во ИМАШ РАН, 2017. С. 127-129.

116. Сорокин Ф.Д., Чжан Х. Использование уравнений динамики для

определения равновесного положения ролика между кольцами подшипника // IV Международная школа-конференция молодых учёных «Нелинейная динамика машин» School-NDM: сборник трудов. М.: Изд-во ИМАШ РАН, 2017. С. 406-412.

117. Сорокин Ф.Д., Чжан Х. Расчет матрицы жесткости роликового подшипника на основе энергетического подхода // II всероссийская научно-техническая конференция «Механика и математическое моделирование в технике»: сборник трудов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. С. 228-232.

118. Чжан Х., Сорокин Ф.Д. Применение квазиньютоновского метода в энергетической модели конического подшипника // XXIX Международная конференция «Машиноведение и инновации. Конференция молодых ученых и студентов»: материалы конференции. М.: Изд-во ИМАШ РАН, 2018. С. 181-184.

119. Сорокин Ф.Д., Чжан Х. Расчет относительных перемещений колец конического подшипника с учетом инерционных сил и гироскопических моментов // Автомобиль. Дорога. Инфраструктура. 2018. № 2(16). URL: https://www.adi-madi.ru/madi/article/view/559 (дата обращения 14.02.2019 г.)

120. Sorokin F.D., Zhang H. A method for describing large rotations with a combination of axial and transverse Euler vectors // Vibroengineering PROCEDIA. 2018. Vol. 18. P. 201-206.

121. Сорокин Ф.Д., Чжан Х. О рациональном способе описания больших поворотов в задачах роторной динамики машин комбинацией продольного и поперечного векторов // Проблемы механики современных машин: материалы VII международной научной конференции. Улан-Удэ: Изд-во ВСГУТУ, 2018. Т. 1. C. 309-312.

122. Чжан Х., Сорокин Ф.Д. Исследование динамики массивного ротора с использованием энергетической модели роликового подшипника // Одиннадцатая Всероссийская конференция молодых ученых и

специалистов «Будущее машиностроения России»: сборник докладов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018. С. 706-709.

123. Сорокин Ф.Д., Чжан Х., Иванников В.В. Разработка энергетической модели роликового подшипника // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2018. № 3. С. 14-23.

124. Сорокин Ф.Д., Чжан Х. Анализ контактного взаимодействия цилиндрического ролика с кольцами подшипника на основании конечно-элементного моделирования // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2018. № 11. С. 4-13.

125. Сорокин Ф.Д., Чжан Х. Кинематически точное разделение большого поворота на осевой и поперечный в задачах роторной динамики // Инженерный журнал: наука и инновации. ЭЛ № ФС 77-53688. 2018. Вып. 10. URL: http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2018-10-1815 (дата обращения 14.02.2019 г.)

126. Экспериментальная верификация энергетической модели роликового подшипника для моделирования опорных узлов авиационных двигателей. Часть 1. Нагружение подшипника радиальной силой и поперечным моментом на специальном стенде, предотвращающем изгиб колец / Ф.Д. Сорокин [и др.] // Труды МАИ. ЭЛ № ФС 77-69492. 2018. №. 103. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=100582 (дата обращения 14.02.2019 г.)

127. Динамика ротора в подшипниках качения / М.К. Леонтьев [и др.] // Вибрация машин: измерение, снижение, зашита. 2007. № 1. С. 45-50.

128. Леонтьев М.К., Снеткова Е.И., Дегтярев С.А. Динамика неуравновешенного ротора на роликовом подшипнике // Вестник московского авиационного института. 2013. Т. 20, № 1. С. 95-105.

129. Учет контактных взаимодействий при моделировании жесткостных свойств роликовых подшипников / М.К. Леонтьев [и др.] // Вестник московского авиационного института. 2015. Т. 22, № 2. С. 137-141.

130. Анализ динамических характеристик подшипников качения в опорах

роторов / М.К. Леонтьев [и др.] // Вестник рыбинской государственной авиационной технологической академии им. П.А. Соловьева. 2012. № 2. С. 94-102.

131. Леонтьев М.К., Снеткова Е.И. Нелинейные модели подшипников качения в роторной динамике // Вестник московского авиационного института. 2012. Т. 19, № 2. С. 134-145.

132. Леонтьев М.К., Терешко А.Г. Исследование характеристик упругих колец в опорах роторов газотурбинных двигателей // Вестник московского авиационного института. 2011. Т. 18, № 3. С. 135-146.

133. Леонтьев М.К., Терешко А.Г. Исследование влияния характеристик упругих элементов опор роторов на динамику ГТД // Вестник самарского государственного аэрокосмического университета. 2012. № 3-1. С. 173-180.

134. Кутаков М.Н., Дегтярев С.А., Леонтьев М.К. Математические модели гидродинамических демпферов в задачах роторной динамики газотурбинных двигателей // Вестник самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2017. Т. 16, № 1. С. 115-128.

135. Моделирование и анализ динамических характеристик турбонасосных агрегатов со щелевыми уплотнениями / М.К. Леонтьев [и др.] // Труды МАИ. ЭЛ № ФС 77-69492. 2013. №. 69. URL: http://tmdymai.ru/pubHshed.php?ID=43231 (дата обращения 14.02.2019 г.)

ПРИЛОЖЕНИЕ

В приложении представлена программа ЭМРП с составляющими процедурами на языке пакета МаЙаЬ. На Рис. П.1 показано обозначение роликового подшипника, используемое в программе. В Таблице 9 даётся расшифровка обозначений.

Рис. П.1. обозначение роликового подшипника

Таблица 9.

Исходные данные для роликового подшипника

п Количество слайсов.

N Количество роликов.

а1р Угол наклона ролика.

гго11 Радиус узла ролика.

Осевая координата слайса ролика, к = 1, 2, ... , п.

Ьп Радиус точек контакта ролика, к = 1, 2, ... , п.

Ье№е^ Ьetrik Наклон нормали поверхности ролика, к = 1, 2, ... , п.

delrek, delrik Исходный зазор ролика, к = 1, 2, ... , п.

Сге, Сп Контактная жёсткость ролика.

т Осевая координата точек контакта фланга, т = 1, 2, 3, 4.

Ь/т Радиус точек контакта фланга, т = 1, 2, 3, 4.

Ьetfm Наклон нормали поверхности фланга, т = 1, 2, 3, 4.

de~^fm Исходный зазор фланга, т = 1, 2, 3, 4.

С/т Контактная жёсткость фланга, т = 1, 2, 3, 4.

Массивы для описания контактов (слайсы+фланги)

% Для контакта ролика с внешним кольцом se=[sf1,sr1, sr2,...srk,..., srn, sff2]; be=[bf1, br1, br2,. brk,brn, bf2]; re=rroll+se*sin(alp)+be*cos(alp); ze=se*cos(alp)-be*sin(alp);

bete=[betf1+alp, betre1+alp, betre2+alp,..., betrek+alp,..., betren+alp, betf2+alp]; dele=[delf1, delre1, delre2,..., delrek,..., delren, delf2]; Ce=[Cf1, Cre1*As1, Cre2*As2,..., Crek*Ask,..., Cren*Asn, Cf2];

% Для контакта ролика с внутренним кольцом si=[sf3,sr1, sr2,...srk,..., srn, sf4]; bi=[bf3, br1, br2,.brk,brn, bf4]; ri=rroll+si *sin(alp)-bi *cos(alp); zi=si*cos(alp)+bi *sin(alp);

beti=[betf3+alp, betri1+alp, betri2+alp,..., betrik+alp,..., betrin+alp, betf4+alp]; deli=[delf3, delri1, delri2,..., delrik,..., delrin, delf4]; Ci=[Cf3, Cri1*As1, Cri2*As2,..., Crik*Ask,..., Crin*Asn, Cf4];

% Показатель контактной степени nC=[3/2,linspace(10/9,10/9,n),3/2];

Процедура определения контактных зазоров - «Qdelta».

function [deltae, deltai]=Qdelta(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,ur,vr,thetar)

% Получение массива зазора контакта ролика с внешним кольцом deltae=-dele-cos(bete).*(ze+cos(thetae)*(ue-ur)-ze.*cos(thetae-thetar)-re.* sin(thetae-thetar)+sin(thetae)*(ve-vr))-sin(bete).*(re-re.*cos(thetae-thetar)+cos(thetae)*(ve-vr)-sin(thetae)*(ue-ur)+ze.*sin(thetae-thetar)); for i=1:length(deltae) if deltae(i)<0 deltae(i)=0; end end

% Получение массива зазора контакта ролика с внутренним кольцом deltai=-deli-cos(beti).*(zi+cos(thetai)*(ui-ur)-zi*cos(thetai-thetar)-ri*sin(thetai-thetar)+sin(thetai)*(vi-vr))- sin(beti).*(ri-ri*cos(thetai-thetar)+cos(thetai)*(vi-vr)-sin(thetai)*(ui-ur)+zi *sin(thetai-thetar)); for i=1:length(deltai) if deltai(i)<0 deltai(i)=0; end end

end

Процедура определения энергии деформации контакта - «QU».

function U=QU(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,ur,vr,thetar)

% Получение массива зазоров с использованием процедуры «Qdelta» [deltae, deltai]=Qdelta(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,ur,vr,thetar) % Получение энергии деформации контакта U=sum(Ce./(nC+1).*(deltae).A(nC+1)+Ci./(nC+1).*(deltai).A(nC+1)); end

Процедура определения контактных сил в локальной СК - «QP».

function [P]=QP(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,ur,vr,thetar,F) % F - вектор инерционной нагрузки

% Получение массива зазоров с использованием процедуры «Qdelta» [deltae, deltai]=Qdelta(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,ur,vr,thetar)

% Получение вектора контактных сил с внешним кольцом Ae1=cos(bete)*cos(thetae) - sin(bete)*sin(thetae); Ae2=cos(bete)*sin(thetae) + sin(bete)*cos(thetae);

Ae3=sin(bete).*(ze*cos(thetae - thetar) + re*sin(thetae - thetar)) - cos(bete).*(re*cos(thetae - thetar) - ze*sin(thetae - thetar));

Qep=Ce.*(deltae)A(nC);

pe1=-Qep.*Ae1; pe2=-Qep.*Ae2; pe3=-Qep.*Ae3;

Pe=[sum(pe 1);sum(pe2); sum(pe3)];

% Получение вектора контактных сил с внутренним кольцом Ai1=cos(beti)*cos(thetai) - sin(beti)*sin(thetai); Ai2=cos(beti)*sin(thetai) + sin(beti)*cos(thetai);

Ai3=sin(beti).*(zi*cos(thetai - thetar) + ri*sin(thetai - thetar)) - cos(beti).*(ri*cos(thetai - thetar) -zi*sin(thetai - thetar));

Qip=Ci.*(deltai)A(nC);

pi1=-Qip.*Ai1; pi2=-Qip.*Ai2; pi3=-Qip.*Ai3;

Pi=[sum(pi1);sum(pi2);sum(pi3)];

%Получение равнодействующей, которая действует на ролик.

P=Pe+Pi+F;

end

Процедура определения матрицы жесткости в локальной СК - «QK».

function [K]=QK(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,ur,vr,thetar)

% Получение массива зазоров с использованием процедуры «Qdelta» [deltae, deltai]=Qdelta(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,ur,vr,thetar)

% Получение матрицы жесткости с внешним кольцом Ae1=cos(bete)*cos(thetae) - sm(bete)*sm(thetae); Ae2=cos(bete)*sm(thetae) + sm(bete)*cos(thetae);

Ae3=sm(bete).*(ze*cos(thetae - thetar) + re*sm(thetae - thetar)) - cos(bete).*(re*cos(thetae - thetar)

- ze*sm(thetae - thetar));

Ве11=0;Ве12=0;Ве13=0; Ве21=0;Ве22=0;Ве23=0; Ве31=0;Ве32=0;

Ве33=- cos(bete).*(ze*cos(thetae - thetar) + re*sm(thetae - thetar)) - sm(bete).*(re*cos(thetae -thetar) - ze*sm(thetae - thetar));

Qek=Ce.*(deltae).л(nC-1);

ке 11=(пС .*Ae1.*Ae1+Be11.*deltae).*Qek; ке 12=(пС .*Ae1.*Ae2+Be12.*deltae).*Qek; ke13=(nC.*Ae1.*Ae3+Be13.*deltae).*Qek; ке21=(пС .*Ae2.*Ae1+Be21.*deltae).*Qek;

ke22=(nC.*Ae2.*Ae2+Be22.*deltae).*Qek; ke23=(nC.*Ae2.*Ae3+Be23.*deltae).*Qek; ке31=(пС .*Ae3.*Ae1+Be31.*deltae).*Qek; ke32=(nC.*Ae3.*Ae2+Be32.*deltae).*Qek; ke33=(nC.*Ae3.*Ae3+Be33.*deltae).*Qek;

Ke=[sum(ke 11)^ит(ке 12),sum(ke 13); sum(ke21), sum(ke22),sum(ke23);sum(ke31),sum(ke32),sum (ке33)];

% Получение матрицы жесткости с внутренним кольцом Ai1=cos(beti)*cos(thetai) - sin(beti)*sin(thetai); Ai2=cos(beti)*sin(thetai) + sin(beti)*cos(thetai);

Ai3=sin(beti).*(zi*cos(thetai - thetar) + ri*sin(thetai - thetar)) - cos(beti).*(ri*cos(thetai - thetar) -zi*sin(thetai - thetar));

Bi11=0;Bi12=0;Bi13=0; Bi21=0;Bi22=0;Bi23=0; Bi31=0;Bi32=0;

Bi33=- cos(beti).*(zi*cos(thetai - thetar) + ri*sin(thetai - thetar)) - sin(beti).*(ri*cos(thetai - thetar)

- zi*sin(thetai - thetar));

Qik=Ci.*(deltai).л(nC-1);

Ы11=(пС.*Л11.*Л11+В111.*deltai).*Qik; Ы12=(пС .*Ai1.*Ai2+Bi 12.*deltai).*Qik; к113=(nC.*Ai 1.*Ai3+Bi 13.*deltai).*Qik; ki21=(nC .*Ai2.*Ai1+Bi21.*deltai).*Qik; ki22=(nC.*Ai2.*Ai2+Bi22.*deltai).*Qik; ki23=(nC.*Ai2.*Ai3+Bi23.*deltai).*Qik; ki31=(nC.*Ai3.*Ai1+Bi31.*deltai).*Qik; ki32=(nC.*Ai3.*Ai2+Bi32.*deltai).*Qik; ki33=(nC.*Ai3.*Ai3+Bi33.*deltai).*Qik;

Ki=[sum(ki11),sum(ki12),sum(ki13);sum(ki21),sum(ki22),sum(ki23);sum(ki31),sum(ki32),sum(ki3 3)];

%Получение целой матрицы жесткости ролика.

K=Ke+Ki;

end

Процедура квазиньютоновского метода BFGS при критерии линейного поиска Armijo - «BFGS».

function [X, K]=BFGS(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,F) % X - положение ролика в равновесии

% Коэффициенты в методе BFGS

kmax=100;

rho=0.5;

epsilon=1e-2;

% Процесс итерации для определения положения ролика в равновесии while(1)

k=0;

X0=[(ue-ui)/2;(ve-vi)/2;(thetae-thetai)/2]+(rand(3,1)*2-1).*[ue-ui;ve-vi;thetae-thetai]; sigma=0.5;

% Определение начальной матрицы [B0]-1 Bk=QK(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,X0(1),X0(2),X0(3)); if rank(Bk)==0 X=[0;0;0]; return end

if rank(Bk)==1||rank(Bk)==2||rank(Bk)==3 Bk=eye(3)*max(max(Bk)); Bkn=BkA-1; end

% Поиск положения равновесия ролика при критерии Armijo while (k<kmax)

gk=-QP(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,X0(1),X0(2),X0(3),F); dk=-Bkn*gk;

if (norm(gk)<epsilon) X=X0; break; end

m=0; mk=0;

while(m<30)

X1=X0+rhoAm*dk;

Unew=QU(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,X1(1),X1(2),X1(3)); Uold=QU(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,X0(1),X0(2),X0(3));

if(Unew<Uold+sigma*rhoAm*gk'*dk)

mk=m; break; end

m=m+1; end

X=X0+rhoAmk*dk; sk=X-X0;

yk=-QP(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,X(1),X(2),X(3),F)-gk;

if(yk'*sk>0)

%Bk=Bk-((Bk*sk)*sk'*Bk)/(sk'*Bk*sk)+(yk*yk')/(yk' *sk); Bkn=(eye(3)-(sk*yk')/(yk' *sk))*Bkn*(eye(3)-(yk*sk')/(yk' *sk))+(sk*sk')/(yk' *sk); end

k=k+1; X0=X; end

if k<kmax

return end

end

K=Bkn; end

Процедура ЭМРП для получения вектора сил и матрицы жесткости при заданных перемещениях и углах поворотов колец - «ZCND».

% U - энергия роликового подшипника; PA - вектор сил роликового подшипника в глобальной СК. КА - полная матрица жесткости роликового подшипника в глобальной СК; F - вектор инерционной нагрузки

function[U,PA,KA]=ZCND(dxe,dye,dze,gamxe,gamye,gamze,dxi,dyi,dzi,gamxi,gamyi,gamzi,F)

Y=zeros(9,N); % Перемещения и углы поворотов колец и каждого ролика в локальной СК P=zeros(6,N); % Вектор сил каждого ролика в локальной СК K=zeros(6,6,N); % Матрица жесткости каждого ролика в локальной СК FP=zeros(12,N); % Вектор сил каждого ролика в глобальной СК FK=zeros(12,12,N); % Матрица жесткости каждого ролика в глобальной СК PA=zeros(12,1); % Вектор сил роликового подшипника в глобальной СК KA=zeros(12,12); % Матрица жесткости роликового подшипника в глобальной СК U=0; % Энергия роликового подшипника

for k=1:N

phi=2*pi/N*(k-1);

% Перевод перемещений и углов поворотов колец из глобальной СК в логальную

ue=dze;

ve=dxe*sin(phi)+dye*cos(phi);

thetae=-gamxe*cos(phi)+gamye*sin(phi)+gamze*0;

ui=dzi;

vi=dxi *sin(phi)+dyi * cos(phi);

thetai=-gamxi *cos(phi)+gamyi *sin(phi)+gamzi *0;

% Исходное положение ролика

ur=(ue+ui)/2;

vr=(ve+vi)/2;

thetar=(thetae+thetai)/2;

% Получение положения равновесия ролика с помощью процедуры «BFGS»

[X, Kn]=BFGS(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,F);

ur=X(1);

vr=X(2);

thetar=X(3);

% Получение массива зазоров с использованием процедуры «Qdelta» [deltae, deltai]=Qdelta(ue,ve,thetae,ui,vi,thetai,ur,vr,thetar)

% Проверка наличия ли контакта

if ur==0 && vr==0 && thetar==0

ZP=zeros(6,1);

ZK=zeros(6,6);

else

% Получение расширенного вектора усилий P размерности 9*1 и расширенной матрицы

жесткости [K] размерности 9*9

AE1 =sin(bete)*sin(thetae) - cos(bete)*cos(thetae);

AE2 =- cos(bete)*sin(thetae) - sin(bete)*cos(thetae);

AE3 =cos(bete).*(re*cos(thetae - thetar) - cos(thetae)*(ve - vr) + sin(thetae)*(ue - ur) -

ze*sin(thetae - thetar)) + sin(bete).*(cos(thetae)*(ue - ur) - ze*cos(thetae - thetar) - re*sin(thetae -

thetar) + sin(thetae)*(ve - vr));

AE4 =0;

AE5 =0;

AE6 =0;

AE7 =cos(bete)*cos(thetae) - sin(bete)*sin(thetae); AE8 =cos(bete)*sin(thetae) + sin(bete)*cos(thetae);

AE9 =sin(bete).*(ze*cos(thetae - thetar) + re*sin(thetae - thetar)) - cos(bete).*(re*cos(thetae -thetar) - ze*sin(thetae - thetar));

KE11 =0;KE12 =0;KE13 =cos(bete)*sin(thetae) + sin(bete)*cos(thetae); KE14 =0;KE15 =0;KE16 =0; KE17 =0;KE18 =0;KE19 =0;

KE22 =0;KE23 =sin(bete)*sin(thetae) - cos(bete)*cos(thetae);KE24 =0; KE25 =0;KE26 =0;KE27 =0;KE28 =0;KE29 =0;

KE33 =cos(bete).*(cos(thetae)*(ue - ur) - ze*cos(thetae - thetar) - re*sin(thetae - thetar) + sin(thetae)*(ve - vr)) - sin(bete).*(re*cos(thetae - thetar) - cos(thetae)*(ve - vr) + sin(thetae)*(ue -ur) - ze*sin(thetae - thetar)); KE34 =0;KE35 =0;KE36 =0;

KE37 =- cos(bete)*sin(thetae) - sin(bete)*cos(thetae); KE38 =cos(bete)*cos(thetae) - sin(bete)*sin(thetae);

KE39 =cos(bete).*(ze*cos(thetae - thetar) + re*sin(thetae - thetar)) + sin(bete).*(re*cos(thetae -thetar) - ze*sin(thetae - thetar));

KE44 =0;KE45 =0;KE46 =0; KE47 =0;KE48 =0;KE49 =0;

KE55 =0;KE56 =0;KE57 =0; KE58 =0;KE59 =0;

KE66 =0;KE67 =0;KE68 =0; KE69 =0;

KE77 =0;KE78 =0;KE79 =0; KE88 =0;KE89 =0;

KE99 =- cos(bete).*(ze*cos(thetae - thetar) + re*sin(thetae - thetar)) - sin(bete).*(re*cos(thetae -thetar) - ze*sin(thetae - thetar));

AI1 =0; AI2 =0; AI3 =0;

AI4 =sin(beti)*sin(thetai) - cos(beti)*cos(thetai); AI5 =- cos(beti)*sin(thetai) - sin(beti)*cos(thetai);

AI6 =cos(beti).*(ri*cos(thetai - thetar) - cos(thetai)*(vi - vr) + sin(thetai)*(ui - ur) - zi*sin(thetai -thetar)) + sin(beti).*(cos(thetai)*(ui - ur) - zi*cos(thetai - thetar) - ri*sin(thetai - thetar) + sin(thetai)*(vi - vr));

AI7 =cos(beti)*cos(thetai) - sin(beti)*sin(thetai); AI8 =cos(beti)*sin(thetai) + sin(beti)*cos(thetai);

AI9 =sin(beti).*(zi*cos(thetai - thetar) + ri*sin(thetai - thetar)) - cos(beti).*(ri*cos(thetai - thetar) -zi*sin(thetai - thetar));

KI11 =0;KI12 =0;KI13 =0; KI14 =0;KI15 =0;KI16 =0; KI17 =0;KI18 =0;KI19 =0;

KI22 =0;KI23 =0;KI24 =0; KI25 =0;KI26 =0;KI27 =0; KI28 =0;KI29 =0;

KI33 =0;KI34 =0;KI35 =0; KI36 =0;KI37 =0;KI38 =0; KI39 =0;

KI44 =0;KI45 =0;KI46 =cos(beti)*sin(thetai) + sin(beti)*cos(thetai); KI47 =0;KI48 =0;KI49 =0;

KI55 =0;KI56 =sin(beti)*sin(thetai) - cos(beti)*cos(thetai);KI57 =0; KI58 =0;KI59 =0;

KI66 =cos(beti).*(cos(thetai)*(ui - ur) - zi*cos(thetai - thetar) - ri*sin(thetai - thetar) + sin(thetai)*(vi - vr)) - sin(beti).*(ri*cos(thetai - thetar) - cos(thetai)*(vi - vr) + sin(thetai)*(ui - ur) -zi*sin(thetai - thetar));

KI67 =- cos(beti)*sin(thetai) - sin(beti)*cos(thetai); KI68 =cos(beti)*cos(thetai) - sin(beti)*sin(thetai);

KI69 =cos(beti).*(zi*cos(thetai - thetar) + ri*sin(thetai - thetar)) + sin(beti).*(ri*cos(thetai - thetar) - zi*sin(thetai - thetar));

KI77 =0;KI78 =0;KI79 =0;

KI88 =0;KI89 =0;

KI99 =- cos(beti).*(zi*cos(thetai - zi*sin(thetai - thetar));

thetar) + ri*sin(thetai - thetar)) - sin(beti).*(ri*cos(thetai - thetar)

Qep=Ce.*(deltae)*(nC); Qek=Ce.*(deltae^(nC-1); Qip=Ci.*(deltai)^(nC); Qik=Ci.*(deltai)^(nC-1);

P1=-Qep P2=-Qep P3=-Qep P4=-Qep P5=-Qep P6=-Qep P7=-Qep P8=-Qep P9=-Qep

*AE1-*AE2-*AE3-*AE4-*AE5-*AE6-*AE7-*AE8-*AE9-

Qip.*AI1 Qip.*AI2 Qip.*AI3 Qip.*AI4 Qip.*AI5 Qip.*AI6 Qip.*AI7 Qip.*AI8 Qip.*AI9;

K11= K12= K13= K14= K15= K16= K17= K18= K19=

K22= K23= K24= K25= K26= K27= K28= K29=

K33= K34= K35=

nC.*AE1 nC.*AE1 nC.*AE1 nC.*AE1 nC.*AE1 nC.*AE1 nC.*AE1 nC.*AE1 nC.*AE1

.*AE1+KE11. *AE2+KE12. *AE3+KE13. .*AE4+KE14. *AE5+KE15. .*AE6+KE16. .*AE7+KE17. .*AE8+KE18. .*AE9+KE19.

nC.*AE2. nC.*AE2. nC.*AE2. nC.*AE2. nC.*AE2. nC.*AE2. nC.*AE2. nC.*AE2.

*AE2+KE22. *AE3+KE23. *AE4+KE24. *AE5+KE25. *AE6+KE26. *AE7+KE27. *AE8+KE28. *AE9+KE29.

*deltae *deltae *deltae *deltae *deltae *deltae *deltae *deltae *deltae

*deltae *deltae *deltae *deltae *deltae *deltae *deltae *deltae

nC.*AE3.*AE3 +KE33.*deltae nC.*AE3.*AE4+KE34.*deltae nC.*AE3.*AE5 +KE35.*deltae

*Qek+(nC.*AI1 *Qek+(nC.*AI1 *Qek+(nC.*AI1 *Qek+(nC.*AI1 *Qek+(nC.*AI1 *Qek+(nC.*AI1 *Qek+(nC.*AI1 *Qek+(nC.*AI1 *Qek+(nC.*AI1

,*AI1+KI11. *AI2+KI12 .*AI3+KI13 ,*AI4+KI14. *AI5+KI15 ,*AI6+KI16. ,*AI7+KI17. .*AI8+KI18 *AI9+KI19

*Qek+(nC. *Qek+(nC. *Qek+(nC. *Qek+(nC. *Qek+(nC. *Qek+(nC. *Qek+(nC. *Qek+(nC.

*AI2.*AI2+KI22 *AI2.*AI3+KI23 *AI2.*AI4+KI24 *AI2.*AI5+KI25 *AI2.*AI6+KI26 *AI2.*AI7+KI27. *AI2.*AI8+KI28 *AI2.*AI9+KI29

*deltai *deltai *deltai *deltai *deltai *deltai *deltai *deltai *deltai

*deltai *deltai *deltai *deltai *deltai *deltai *deltai *deltai

* Qek+(nC .*AI3.*AI3+KI33.*deltai

* Qek+(nC .*AI3.*AI4+KI34.*deltai

* Qek+(nC .*AI3.*AI5+KI35.*deltai

*Qik *Qik *Qik *Qik *Qik *Qik *Qik *Qik *Qik

*Qik *Qik *Qik *Qik *Qik *Qik *Qik *Qik,

*Qik; *Qik; *Qik;

K36=(nC.*AE3.*AE6+KE36.*deltae) .* Qek+(nC .*AI3.*AI6+KI36.*deltai).*Qik; K37=(nC.*AE3.*AE7+KE37.*deltae) .* Qek+(nC .*AI3.*AI7+KI37.*deltai).*Qik; K38=(nC.*AE3.*AE8+KE38.*deltae).*Qek+(nC.*AI3.*AI8+KI38.*deltai).*Qik; K39=(nC.*AE3.*AE9+KE39.*deltae) .* Qek+(nC .*AI3.*AI9+KI39.*deltai).*Qik;

K44=(nC.*AE4.*AE4+KE44.*deltae) .* Qek+(nC .*AI4.*AI4+KI44.*deltai).*Qik; K45=(nC.*AE4.*AE5 +KE45.*deltae) .* Qek+(nC .*AI4.*AI5+KI45.*deltai).*Qik; K46=(nC.*AE4.*AE6+KE46.*deltae).*Qek+(nC.*AI4.*AI6+KI46.*deltai).*Qik; K47=(nC.*AE4.*AE7+KE47.*deltae).*Qek+(nC.*AI4.*AI7+KI47.*deltai).*Qik; K48=(nC.*AE4.*AE8+KE48.*deltae).*Qek+(nC.*AI4.*AI8+KI48.*deltai).*Qik; K49=(nC.*AE4.*AE9+KE49.*deltae).*Qek+(nC.*AI4.*AI9+KI49.*deltai).*Qik;

K55=(nC.*AE5.*AE5+KE55.*deltae).*Qek+(nC.*AI5.*AI5+KI55.*deltai).*Qik; K56=(nC.*AE5.*AE6+KE56.*deltae).*Qek+(nC.*AI5.*AI6+KI56.*deltai).*Qik; K57=(nC.*AE5.*AE7+KE57.*deltae).*Qek+(nC.*AI5.*AI7+KI57.*deltai).*Qik; K58=(nC .*AE5.*AE8 +KE58.*deltae) .* Qek+(nC .*AI5.*AI8+KI58.*deltai).*Qik; K59=(nC.*AE5.*AE9+KE59.*deltae).*Qek+(nC.*AI5.*AI9+KI59.*deltai).*Qik;

K66=(nC.*AE6.*AE6+KE66.*deltae).*Qek+(nC.*AI6.*AI6+KI66.*deltai).*Qik; K67=(nC.*AE6.*AE7+KE67.*deltae).*Qek+(nC.*AI6.*AI7+KI67.*deltai).*Qik; K68=(nC.*AE6.*AE8+KE68.*deltae).*Qek+(nC.*AI6.*AI8+KI68.*deltai).*Qik; K69=(nC.*AE6.*AE9+KE69.*deltae).*Qek+(nC.*AI6.*AI9+KI69.*deltai).*Qik;

K77=(nC.*AE7.*AE7+KE77.*deltae).*Qek+(nC.*AI7.*AI7+KI77.*deltai).*Qik; K78=(nC.*AE7.*AE8+KE78.*deltae).*Qek+(nC.*AI7.*AI8+KI78.*deltai).*Qik; K79=(nC.*AE7.*AE9+KE79.*deltae).*Qek+(nC.*AI7.*AI9+KI79.*deltai).*Qik;

K88=(nC.*AE8.*AE8+KE88.*deltae).*Qek+(nC.*AI8.*AI8+KI88.*deltai).*Qik; K89=(nC.*AE8.*AE9+KE89.*deltae).*Qek+(nC.*AI8.*AI9+KI89.*deltai).*Qik;

K99=(nC.*AE9.*AE9+KE99.*deltae).*Qek+(nC.*AI9.*AI9+KI99.*deltai).*Qik;

K1=

[sum(K11),sum(K12),sum(K13),sum(K14),sum(K15),sum(K16),sum(K17),sum(K18),sum(K19) sum(K12),sum(K22),sum(K23),sum(K24),sum(K25),sum(K26),sum(K27),sum(K28),sum(K29) sum(K13),sum(K23),sum(K33),sum(K34),sum(K35),sum(K36),sum(K37),sum(K38),sum(K39) sum(K14),sum(K24),sum(K34),sum(K44),sum(K45),sum(K46),sum(K47),sum(K48),sum(K49) sum(K15),sum(K25),sum(K35),sum(K45),sum(K55),sum(K56),sum(K57),sum(K58),sum(K59) sum(K16),sum(K26),sum(K36),sum(K46),sum(K56),sum(K66),sum(K67),sum(K68),sum(K69) sum(K17),sum(K27),sum(K37),sum(K47),sum(K57),sum(K67),sum(K77),sum(K78),sum(K79) sum(K18),sum(K28),sum(K38),sum(K48),sum(K58),sum(K68),sum(K78),sum(K88),sum(K89) sum(K 19),sum(K29),sum(K39),sum(K49),sum(K59),sum(K69),sum(K79),sum(K89),sum(K99)];

Proll=[sum(P7);sum(P8);sum(P9)]; % Вектор сил ролика ZP=[sum(P1);sum(P2);sum(P3);sum(P4);sum(P5);sum(P6)]; ZK=K 1(1:6,1:6)-K 1(1:6,7:9)*Kn*K1(7:9,1:6); % Конденсация

% Энергия деформации роликового подшипника

U=U+sum(Ce./(nC+1).*(deltae).A(nC+1)+Ci./(nC+1).*(deltai).A(nC+1));

end

% Получение перемещений и углов поворотов колец и каждого ролика в локальной СК

Y1=[ue;ve;thetae;ur;vr;thetar;ui;vi;thetai]; for i=1:9

Y(i,k)=Y1(i); end

% Получение вектора сил и матрицы жесткости каждого ролика в локальной СК for i=1:6 P(i,k)=ZP(i); for j=1:6

K(i,j,k)=ZK(i,j); end end

% Матрица перехода MT=[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

sin(phi) cos(phi) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -cos(phi) sin(phi) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin(phi) cos(phi) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -cos(phi) sin(phi) 0];

% Получение вектора сил и матрицы жесткости каждого ролика в глобальной СК

FP(:,k)=MT'*P(:,k);

FK(:,:,k)=MT'*K(:,:,k)*MT;

% Получение вектора сил и матрицы жесткости роликового подшипника в глобальной СК

PA=PA+FP(:,k);

KA=KA+FK( :,:,k);

end

end

Процедура ЭМРП для получения перемещений и углов поворотов колец при заданных нагрузках - «NDZC».

% Допустим, что наружное кольцо закреплено, а нагрузка действует на внутреннее кольцо. Yi=[dxi,dyi,dzi,gamxi,gamyi] - перемещения и углы поворотов внутреннего кольца; P -вектор нагрузки; F - вектор инерционной нагрузки function [Yi]=NDZC(P,F)

% Заданные начальные перемещения и углы поворотов внутреннего кольца Y0=[Y0(1),Y0(2),Y0(3),Y0(4),Y0(5)];

% Процесс итерации

g=100;

while (g>10)

[U,PA,KA]=ZCND(0,0,0,0,0,0,Y0(1),Y0(2),Y0(3),Y0(4),Y0(5),0,F);

KZ=KA(7:11,7:11);

PZ=PA(7:11);

D=PZ+P;

detY=KZ\D; Y0=Y0+detY;

% Обеспечение точности расчета

if (D(1)A2+D(3)A2+D(5)A2)A0.5<10 && (D(2)A2+D(4)A2)A0.5<10 g=1; end

end

Yi=Y0; end

Акты внедрения

«УТВЕРЖДАЮ» Первый проректор -

учебной работе ). Баумана

. Падалкии ^ 2018 г.

АКТ

о внедрении результатов кандидатской диссертации аспиранта кафедры РК-5 Чжан Хао, посвященной разработке рациональной методики расчета роликовых подшипников роторных машин, в учебный процесс МГТУ им.

Н.Э. Баумана

Настоящим актом подтверждаем, что в учебный процесс кафедры «Прикладная механика» внедрены результаты кандидатской диссертации Чжан Хао: метод, алгоритм и программное обеспечение для расчёта упругих характеристик роликового подшипника, предназначенные для применения в задачах роторной динамики.

Материалы диссертационной работы Чжан Хао используются в рамках дисциплин «Математическое моделирование динамических систем», «Нелинейная динамика» и «Тензорная алгебра в механике стержней, пластин и оболочек», а также при выполнении научно-исследовательских, курсовых и квалификационных работ бакалаврами и магистрами кафедры РК-5.

Руководитель

Научно-учебного комплекса «Робототехника и комплексная автоматизация» д.т.н., профессор

ГА. Тимофеев

Заместитель заведующего кафедрой прикладной механики МГТУ им. Н.Э. Баумана к.т.н., доцент

С.В.Зарубин

Отзыв научного руководителя

о диссертации Чжан Хао «Разработка рациональной методики расчета роликовых подшипников для применения в задачах роторной динамики»