Разработка новых эффективных итерационных методов решения систем алгебраических уравнений обратных задач геофизики на основе метода интегральных представлений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат наук Раевский Дмитрий Николаевич

• Раевский Дмитрий Николаевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Раевский Дмитрий Николаевич

Введение

Актуальность темы исследования

Основные задачи исследования

Научная новизна

Методология и методы исследования

Основные защищаемые положения

Научная и практическая значимость полученных результатов

Достоверность полученных результатов

Личный вклад

Апробации и публикации

Структура и объем работы

Благодарности

Глава 1. Возможности применения метода 8-аппроксимаций при решении геодезических, геоморфологических и геофизических задач

1.1 История и обзор методов интерпретации данных геофизических полей

1.2 Метод линейных интегральных представлений

1.3 Метод Б-аппроксимаций

1.3.1 Б-аппроксимация в локальном варианте

1.3.2 Б-аппроксимация в региональном варианте

1.3.3 Методы решения СЛАУ, возникающих при интерпретации геофизических данных методом Б-аппроксимаций

1.4 Б-аппроксимация рельефа поверхности

1.5 Применение Б-аппроксимации для вычисления уклонения отвесной линии в Атлантике

1.6 Б-аппроксимация при выявлении слабоинтенсивных аномалий для оконтуривания сложнопостроенных ловушек углеводородов

1.6.1 Использование Б-аппроксимации при разведке месторождений нефти и газа

1.6.2 Результаты математического эксперимента

1.7 Рекомендации к применению Б-аппроксимации

1.8 Решение обратных задач геофизики при помощи теории динамических систем

1.8.1 Постановка обратной задачи

1.8.2 Приближение заданного элемента набором базовых цилиндров

1.8.3 Алгоритм нахождения неизвестных функций

1.8.4 Результаты апробации алгоритма на модельном примере

1.9 Выводы к главе

Глава 2. Модификация метода 8-аппроксимаций

2.1 Обоснование модификации метода Б-аппроксимаций

2.2 Постановка модифицированного метода Б-аппроксимаций

2.3 Анализ деформационных функций

2.4 Выбор функционала качества решения

2.5 Неэффективность решения безусловной вариационной задачи

2.6 Линейные трансформации поля на основе модифицированного метода Б-аппроксимаций

2.7 Апробация модифицированного метода Б-аппроксимаций на модельном примере по выявлению контура глубоко залегающего геологического тела

2.8 Выводы к главе

Глава 3. Разработка и совершенствование методов решения систем линейных алгебраических уравнений при интерпретации данных большого объема

3.1 Прямые и итерационные методы решения СЛАУ

3.1.1 Обоснование постановки задачи

3.1.2 Обобщенный метод Лаврентьева

3.1.3 Регуляризованный метод Холецкого

3.1.4 Метод блочного координатного спуска

3.2 Регуляризация итерационного метода Чебышева для решения систем линейных алгебраических уравнений в рамках метода линейных интегральных представлений

3.2.1 Трехслойная итерационная схема решения операторного уравнения с чебышевским набором параметров

3.2.2 Регуляризация итерационного метода Чебышева для решения плохо обусловленных СЛАУ

3.2.3 Выбор минимального собственного значения

3.3 Метод блочного контрастирования для решения СЛАУ больших и сверхбольших размерностей

3.3.1 Методика разбиения области

3.3.2 Автоматический и полуавтоматический режимы работы блочного метода контрастирования

3.4 Выводы к главе

Глава 4. Разработка программного обеспечения решения СЛАУ и построения линейных трансформант поля в рамках модифицированного метода S-аппроксимаций

4.1 Введение

4.2 Формирование матрицы в региональном и локальном вариантах

4.3 Программная реализация регуляризованного итерационного трехслойного метода Чебышева

4.3.1 Последовательный алгоритм

4.3.2 Параллельный алгоритм

4.4 Программная реализация блочного метода контрастирования

4.4.1 Последовательный алгоритм

4.4.2 Параллельный алгоритм

4.5 Тестирование программного обеспечения

4.5.1 Сравнительный анализ регуляризованного итерационного трехслойного метода Чебышева с обобщенным методом Лаврентьева

4.5.2 Выводы к разделу

4.5.3 Использование блочного метода контрастирования при решении СЛАУ

4.5.4 Выводы к разделу

131

4.5.5 Применение параллельных алгоритмов при решении СЛАУ

4.5.6 Выводы к разделу

Глава 5. Применение модифицированного метода 8-аппроксимаций для выявления разломных структур по гравиметрических данным на примере северо-западной части Тихого океана

5.1 Введение

5.2 Анализ компонент полного горизонтального градиента на основе построенной аппроксимационной конструкции северо-западной части Тихого океана

5.3 Характеры поля и компонент полного горизонтального градиента в разломных структурах Тихого океана

5.4 Выявление разломных структур по аномальному гравитационному полю в Филиппинском море

5.5 Выводы к главе

Заключение

Приложение 1. Основные публикации и доклады автора по теме

диссертации

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка новых эффективных итерационных методов решения систем алгебраических уравнений обратных задач геофизики на основе метода интегральных представлений»

Актуальность темы исследования

Современная прикладная геофизика имеет огромное количество разнообразных методов как по изучению и выявлению региональных особенностей изучаемой области и строения литосферы, так и по поиску и эксплуатации месторождений полезных ископаемых. Такое разнообразие методов определяется природой и типом геофизического поля (гравитационное, магнитное, сейсмическое, электрическое и т.д.), а также конкретной геологической задачей, в рамках которой проводится интерпретация.

Методология интерпретации геофизических данных постоянно совершенствуется, и связано это со следующими обстоятельствами:

1) Возрастает объем данных, подлежащих интерпретации.

2) Предъявляются новые требования к теории и методологии интерпретации геофизических данных в связи с постоянным ростом возможностей вычислительной техники. Все чаще используются многопроцессорные вычислительные системы (МВС), в рамках которых для анализа большого объема данных наиболее примечательным для геофизики является техника параллельного программирования.

3) Увеличивается разрешающая способность геологических исследований, так как запасы легко добываемых месторождений, находящихся в верхней коре, почти исчерпаны.

4) Решаются все более сложные геологические задачи, в рамках которых однозначно определить необходимые физико-геологические параметры среды лишь по одному методу представляется невозможным.

5) Появляются новые инженерно-эксплуатационные, экономические и экологические проблемы.

Несмотря на значительные успехи в продвижении использования геофизических методов при решении прикладных геологических, геодезических и других геофизических задач, в большинстве методов используются те или иные идеализации, не соответствующие реальной геофизической практике:

идеализация плоского поля, идеализация задания некоторого элемента в узлах регулярной сетки и т.д. Эта проблема была частично решена с развитием истокообразных аппроксимаций, при которых наблюденное поле приближается линейной комбинацией элементарных источников. Совершенствование и разработка методов истокообразной аппроксимации во многом способствовало благодаря исследованиям М.А. Алексидзе, В.И. Аронова, А. Бьерхаммера, В.М. Гордина, В.Н. Страхова и других отечественных и зарубежных ученых [Bjerhammer, 1963; Аронов, 1963; Алексидзе, 1969; Аронов, 1971; Аронов, Гордин, 1973; Аронов, 1976; Гордин, Михайлов В.О., Михайлов Б.О., 1980]. Основным преимуществом такой методики состоит в том, что построенные аппроксимационные конструкции имеют те же аналитические свойства, что и измеренные поля. Идеи истокообразных аппроксимаций активно развивались по всему миру, так как они позволяли эффективно решать задачи различного интерпретационного характера. Однако проблемы обработки больших массивов данных геофизических полей на произвольном рельефе поверхности наблюдений остаются актуальными до сих пор.

Одним из эффективных методов интерпретации данных геофизических полей является метод линейных интегральных представлений, предложенный В.Н. Страховым. В рамках этого метода полезный сигнал задается в виде интегрального представления функции, гармонической в некоторой области.

Одним из вариантов метода линейных интегральных представлений является метод Б-аппроксимаций, разработанный В.Н. Страховым и И.Э. Степановой, заключающийся в аппроксимации поля суммой простого и двойного слоев, распределенных на некоторой совокупности носителей, залегающих ниже заданного рельефа. Простые аналитические формулы для вычисления элементов матрицы при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и трансформант поля в региональном и локальном вариантах делают алгоритм построения такой аппроксимационной конструкции простым и эффективным.

Несмотря на достоинства данного метода, ему присущ ряд недостатков, которые хотелось бы устранить: в методе линейных интегральных представлений,

одним из вариантов которого является Б-аппроксимация, невязка между исходным элементом поля и аппроксимированным полем минимизируется в пространстве функций, интегрируемых на носителе эквивалентных масс. Подобная постановка обратной задачи по поиску распределения масс, эквивалентного по внешнему полю, позволяет получить простые аналитические формулы для аппроксимируемого элемента. Но при этом теряется существенная часть информации о геометрии носителя масс: о его гладкости, симметрии, приблизительной локализации.

При построении аппроксимационных конструкций основной вычислительной проблемой после редуцирования задачи к конечномерной является нахождение устойчивого приближенного решения системы линейных алгебраических уравнений, поэтому актуальной задачей также является создание новых итерационных методов решения СЛАУ, позволяющих получать приближенное устойчивое решение систем больших размерностей. Новые итерационные методы решения СЛАУ с применением методов регуляризации позволят получить устойчивые адекватные решения систем больших размерностей, что особенно актуально в настоящее время.

Основные направления исследований в рамках диссертационной работы направлены на решение перечисленных актуальных задач.

Целью работы является совершенствование метода Б-аппроксимаций в рамках метода линейных интегральных представлений, а также разработка новых итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей больших и сверхбольших размерностей.

Основные задачи исследования

1. Модификация метода Б-аппроксимаций, позволяющая учитывать априорную информацию об исследуемом районе с сохранением аналитичности алгоритма.

2. Разработка новых устойчивых итерационных методов решения СЛАУ больших и сверхбольших размерностей, возникающих при решении обратных задач геофизики.

3. Практическое применение разработанных методов при интерпретации больших массивов данных геофизических полей.

Научная новизна

1. Разработан модифицированный метод S-аппроксимаций, включающий дополнительный функционал качества решения, который минимизируется на множестве допустимых решений.

2. Регуляризован трехслойный итерационный метод Чебышева применительно к СЛАУ, возникающим в рамках метода линейных интегральных представлений.

3. Разработан блочный метод контрастирования (БМК) интерпретации данных большого объема, основанного на разбиении исследуемой области на подобласти с наиболее интенсивными аномалиями.

4. Создано программное обеспечение по решению СЛАУ регуляризованным итерационным методом Чебышева и блочным методом контрастирования с применением пакета MPI для распараллеливания вычислений.

5. Продемонстрирована эффективность разработанных методов на модельных примерах с резкими перепадами высот в условиях нерегулярной сети с различным уровнем сигнал/помеха для сравнительного анализа с другими методами решения СЛАУ.

6. Показана эффективность модифицированного метода S-аппроксимаций при построении линейных трансформант поля при интерпретации реальных гравиметрических спутниковых данных в региональном варианте.

Методология и методы исследования

Для решения поставленных задач используется аппроксимационный подход при интерпретации данных аномальных геофизических полей. В рамках аппроксимационного подхода выбран метод S-аппроксимаций, при котором поле аппроксимируется суммой простого и двойного слоев [Страхов, Степанова, 2002а, 2002б].

При разработке итерационных методов используются традиционные хорошо изученные схемы [Самарский, Николаев, 1978; Фадеев, Фадеева, 1963] с их последующей регуляризацией [Тихонов и др., 1990].

Все разработанные методы апробированы на модельных примерах и приведен детальный сравнительный анализ с методами, применявшимися при интерпретации геофизических данных [Страхов, 2004].

Основные защищаемые положения

1. Разработан модифицированный метод Б-аппроксимаций, включающий дополнительный функционал качества решения, который минимизируется на множестве допустимых решений.

2. Разработан регуляризованный трехслойный итерационный метод Чебышева, который позволяет находить качественные устойчивые приближенные решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих в рамках метода линейных интегральных представлений.

3. Разработан блочный метод контрастирования решения систем линейных алгебраических уравнений, который позволяет находить устойчивые приближенные решения систем больших и сверхбольших размерностей.

Научная и практическая значимость полученных результатов

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для интерпретации наземных и спутниковых данных геофизических полей планет. Модифицированный метод Б-аппроксимаций в совокупности с разработанными методами решения СЛАУ позволяет решать широкий спектр задач: поиск сложнопостроенных ловушек углеводородов, приуроченных к аномалиям небольшой интенсивности, разделение полей по глубине, обнаружение региональных крупных структур планеты по картам вертикальных и горизонтальных производных, изучение детального строения коры планеты в целом, аппроксимация рельефа поверхности, и многие другие.

Основным преимуществом разработанных методов является устойчивость и физическая адекватность получаемого решения относительно размерности задачи. Проведенные автором исследования показывают, что модифицированный метод

Б-аппроксимаций может успешно применяться при геологических, геофизических и геоморфологических исследованиях.

Разработанные итерационные методы решения СЛАУ могут быть адаптированы для большинства задач математической физики. Эффективность методов продемонстрирована с помощью сравнительного анализа с другими регуляризованными методами решения СЛАУ.

Автором диссертационной работы продемонстрировано практическое применение разработанных методов по выявлению возможных разломных зон акватории планеты по гравиметрическим данным на примере северо-западной части Тихого океана.

Разработанные методы в настоящее время используются при построении высокоточных цифровых моделей рельефа в научно-исследовательской работе, проводимой ИФЗ РАН в рамках контракта с Минобороны РФ (шифр «Рельеф»).

Достоверность полученных результатов

Для оценки достоверности результатов, был проведен сравнительный анализ с другими методами, хорошо зарекомендовавшими себя при интерпретации данных геофизических полей. Для оценки эффективности разработанного ПО, результаты вычислений сравнивались с результатами решения СЛАУ другими методами при помощи ПО, созданного группой авторов во главе с В.Н. Страховым.

Результаты, представленные в диссертации, прошли рецензирование и были опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.

Личный вклад

Все результаты представленные в диссертационной работе, получены автором самостоятельно или при его непосредственном участии.

Постановка большинства задач формулировалась при совместном обсуждении с д. ф.-м. н. И.Э. Степановой. Автором предложена и описана модификация метода Б-аппроксимаций с элементами теории деформаций для описания функций аннигиляции. Автором разработаны регуляризованный итерационный трехслойный метод Чебышева и блочный метод контрастирования

для решения СЛАУ. Создано и протестировано программное обеспечение, основанное на соответствующих разработанных методах. Автором продемонстрировано практическое применение модифицированного метода Б-аппроксимаций по выявлению геоморфологических особенностей северозападной части Тихого океана.

Апробация и публикации

По теме диссертации опубликованы 5 научных работ в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов докторских и кандидатских диссертаций. Полный список публикаций представлен в приложении 1.

Основные положения работы были представлены на международных семинарах им. Д.Г. Успенского:

1) 41-я сессия, Екатеринбург, ИГФ УРО РАН, 2014.

2) 42-я сессия, Пермь, ГИ УРО РАН, 2015.

3) 43-я сессия, Воронеж, ВГУ, 2016.

Результаты исследований были представлены на Уральских Международных Научных Школах по Геофизике:

1) XV УМНШ, Екатеринбург, ИГФ УРО РАН, 2014.

2) XVI УМНШ, Пермь, ГИ УРО РАН, 2015.

Результаты работы также докладывались и обсуждались на молодежной научно-практической конференции СМУИР 2014, ВНИИГАЗ, Москва; Международной конференции «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы», РУДН, Москва, 2014; IV Международной конференции молодых ученых и специалистов памяти академика А.П. Карпинского, Санкт-Петербург, ВСЕГЕИ, 2015; III школе-семинаре «Гординские чтения», Москва, ИФЗ РАН, 2015; Международном семинаре по обратным и некорректно-поставленным задачам, Москва, МГУ, 2015. Результаты исследований активно обсуждались на научных семинарах ИФЗ РАН и конференции молодых ученых и аспирантов ИФЗ РАН в 2014-2015 годах и на семинаре «Обратные задачи математической физики» в МГУ, 2015.

Полный список конференций представлен в приложении 1.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения; содержит 200 страниц машинописного текста, в том числе 50 рисунков, 40 таблиц и 170 формул (пронумерованные). Список использованной литературы включает 177 наименований.

Все наиболее значимые результаты проведенных исследований отображены в разделах «Выводы».

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д. ф.-м. н. Степановой Инне Эдуардовне за постоянное внимание к исследованиям, совместную постановку задач и помощь в разработке предложенных методов. Автор искренне благодарен за полезные обсуждения сотруднику ИВиС ДВО РАН, к. т.н., В.А. Рашидову. Автор глубоко признателен за критические замечания и консультации сотрудникам ИФЗ РАН д. ф.-м. н., профессору В.О. Михайлову и д. т. н., заведующему отделением гравиинерциальных исследований В.Н. Конешову. Автор искренне благодарен за поддержку при написании диссертационной работы сотруднику ИФЗ РАН д. ф.-м. н. Т.В. Гудковой.

Глава 1. Возможности применения метода 8-аппроксимаций при решении геодезических, геоморфологических и геофизических задач

1.1 История и обзор существующих методов интерпретации данных геофизических полей

Основным толчком в продвижении теории и практики интерпретации геофизических полей стали исследования в 20-30е годы XX века, посвященные Курской магнитной аномалии а также исследования других наиболее интенсивных аномалий (Криворожская магнитная аномалия, исследования на Урале и т.д.) [Заборовский, 1932; Заморев, 1939; Гамбурцев, 1960]. В начале XX века производительность измерительной аппаратуры была невысокой, все вычисления проводились вручную, поэтому применение сложной математической теории на практике было невозможным. Все модели заметно упрощались для решения наиболее важных геологических задач. Прежде всего, развивались методы нахождения физико-геологических параметров среды для идеализации плоского поля в узлах регулярной сети.

Во второй половине XX века, под влиянием всевозрастающего объема геофизических съемок по всей стране, заметно стало улучшаться качество измерительной аппаратуры. К тому же, появление первых ЭВМ способствовало применению более трудных вычислений, неудобных или даже невозможных при ручном счете. В итоге, благодаря работам Б.А. Андреева, В.И. Аронова, В.М. Березкина, Е.Г. Булаха, Г.Я. Голиздры, А.К. Маловичко, В.М. Новоселицкого, З.М. Слепака, В.И. Старостенко, В.Н. Страхова, А.В. Цирульского, В.Г. Черниченко и других исследователей, сформировались особые направления в интерпретации геофизических полей: появились такие термины, как «детальная» и «высокоточная» гравиразведка и магниторазведка. Применение новых подходов и методов в теории интерпретации гравитационных аномалий позволило решать новые, принципиально важные задачи. Гравиразведка получила широкое применение при поиске нефтегазоносных структур, связанных с выделением

слабоинтенсивных аномалий, а также при структурно-геологическом изучении строения литосферы Земли.

На рубеже XX-XXI веков значительный прогресс в техническом обеспечении привел к полной автоматизации измерительной аппаратуры. Точность современных наземных и спутниковых наблюдений постоянно возрастает, создаются огромные геоинформационные системы (ГИС) для сбора, всестороннего анализа и графического представления данных. Качественно новый этап в области интерпретации гравиметрических материалов обусловлен созданием большого количества компьютерных технологий по анализу геолого-геофизических данных. Различные подходы для интерпретации данных геофизических полей разработаны благодаря работам В.И. Аронова, П.С. Бабаянца, П.И. Балка, Ю.И. Блоха, Е.Г. Булаха, В.Н. Глазнева, Г.Я. Голиздры, В.М. Гордина, И.А. Керимова, А.И. Кобрунова, В.Н. Конешова, П.С. Мартышко, В.О. Михайлова, А.А. Никитина, В.М. Новоселицкого, С.А. Серкерова, И.Э. Степановой, В.Н. Страхова и многих других ученых.

В рамках теории интерпретации геофизических полей особую роль играет теория некорректно поставленных задач, основные методы решения которых были предложены в работах [Иванов, 1962; Лаврентьев, 1962; Тихонов, 1963]. Как известно, обратные задачи геофизики являются некорректно поставленными, поэтому теории, развитые В.К. Ивановым, М.А. Лаврентьевым и А.Н. Тихоновым, успешно применялись для интерпретации геофизических данных (см., например, [Старостенко и др., 1975; Цирульский, 1975; Оганесян, Старостенко, 1978; Старостенко, 1978; Кобрунов, 1979а, 1979б; Цирульский и др., 1980; Кобрунов, 1981а, 1981б, 1989; Гласко, Степанова, 1991; Zhdanov, 2002]). Особое внимание уделялось проблемам единственности и эквивалентности в обратных задачах магнитометрии и гравиметрии [Новиков, 1938; Страхов, 1967; Прилепко, 1970; Страхов, 1972, 1973; Чередниченко, 1973; Страхов, 1977, 1979а, 1979б, 1980; Цирульский и др., 1980; Цирульский, Пруткин, 1981; Кобрунов, 1983; Страхов и др., 1983, 1984; Маргулис, 1987].

Существует множество различных подходов для интерпретации данных геофизических полей, использующихся и в настоящее время. Широкое распространение получили сферические гармонические анализ (СГА) и синтез (СГС), основанные на разложении геофизического поля в ряд по шаровым функциям (см., например, [Bjerhammer, 1963; Tscherning, 1983; Страхов, 1988; Sneeuw, 1994; Lemoine et al., 1996; Страхов, 1998; Sanso et al., 2003; Bethencourt et al., 2005; Бойков, 2010; Tscherning et al., 2013]). Благодаря спутниковым наблюдениям миссии Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE) последняя модель EGM2008, основанная на спутниковых и наземных наблюдениях, содержит коэффициенты сферического разложения Snm и Спт до степени n=2159 [Pavlis et. al., 2012]. Появилась возможность анализировать временные вариации глобального гравитационного поля Земли с точностью до 1

9 2

мкГал =10" см/с в низкочастотной части спектра (в настоящее время до 80-й сферической гармоники), в том числе связанные с косейсмическими и постсейсмическими событиями [Sun, Okubo, 2004; Михайлов и др., 2005, 2014].

Для интерпретации данных геофизических съемок активно применяется спектральный анализ [Серкеров, 1991; Maus, Dimri, 1996; Страхов, Керимов, 1999; Конешов, Степанова, 2008; Керимов, 2009, 2011;], среди которых наиболее распространенным в последнее время является вейвлет-анализ [Barthelmes et. al, 1995; Утемов, Нургалиев, 2005; Jach et al., 2006; Крайниковский, 2007; Ya Xu et. al., 2009; Palkesh, Goyal et. al., 2014; Болотин, Вязьмин, 2014]. Также применяются монтажный метод [Овчаренко, 1975; Страхов, Лапина, 1976;Балк, 1993; Балк и др., 1993; Балк, Долгаль, 2009; Балк и др.,2010], метод конечных элементов [Kaftan et al., 2005; Currenti et al., 2008; Долгаль и др., 2012], аппроксимация сингулярными источниками [Ballani et al., 1993; Блох, 1999]. Одной из широко применяемых конструкций является истокообразная аппроксимация, основанная на приближении геофизических полей линейными комбинациями элементарных источников (точки, пластины, стержни и т.п.) (см., например, [Bjerhammer, 1963; Аронов, 1963; Страхов, 1963; Dampney, 1969; Алексидзе, 1969; Аронов, Гордин,

1971, 1973; Аронов, 1976; Гордин и др., 1980; Страхов, Керимов, 1999; Долгаль, 2000; Страхов, Степанова, 2002а, 20026; Долгаль и др., 2010]).

Одним из последних направлений, возникших в теории интерпретации потенциальных полей, стала интерпретационная томография, с помощью которой возможно послойное изучение геологической структуры объекта в вертикальном направлении [Ващилов, 1995; Новоселицкий, Простолупов, 1999; Мартышко и др., 2002; Бабаянц и др., 2004; Бычков, 2005].

1.2 Метод линейных интегральных представлений

Одним из эффективных методов интерпретации данных геофизических полей является метод линейных интегральных, предложенный В.Н. Страховым [Страхов, 1990, 1991, 2004]. Суть данного метода состоит в следующем: пусть заданы N значений Ь>1 < i < N некоторого изучаемого внешнего поля, которые можно представить в виде

к S = fi + Sfi,1<i<Nl (1.1)

где Ь представляют собой значения полезного сигнала, а 6 ^ - значения помехи, имитирующие аппаратурно-методическую помеху. Пусть для всех f^,1 < i < N справедливы следующие интегральные представления

^ Г о (12)

ь = и(х®) = ^ ] рг (О (О Лцг {О,

Г=1мг

где - функция, гармоническая в некоторой области, содержащей все а интегралы берутся по связным точечным множествам с заданными мерами на

них представляют собой заданные функции на , а

- искомые функции, . При этом предполагается, что функции и

интегрируемы с квадратом

р^ЦгСО < ° ,1 < Г < Д;

I

мг

| ( (г\0 )2 Лит (О <+ ™ ,1<т<Я ,1<i<N.

мг

(1.3)

Далее вводится функционал

V Г (14)

Р (Р) = ^ I '

г=1мг

по которому ставится условно-вариационная задача, из которой определяются функции рг ( :

я

F(р)= X /dßr(f )= min;

r=1 м■

„ d-5)

fi,s - X J Pr ® Q®® dfr (f) = 0 .

r=lMr

Методом множителей Лагранжа [Лаврентьев, Люстерник, 1950] условной вариационной задаче (1.5) ставится в соответствии семейство безусловных

вариационных задач

R N f R \

X J Pr dßr(f) + X Xi ( f,s - X J Prdßr(О ) = min; (16)

r=lMr i=1 \ г=1мг J

В соответствии с правилами вариационного исчисления [Лаврентьев,

Люстерник, 1950] можно легко найти функции ро(а) (f) , являющиеся аппроксимациями функций pr (f) [Страхов, 2004]:

^ гл (1-7)

Pr (f) - p(a\f ) = XliQr (f) = (XQr(f)),

¿=1

где X = (Хг,X2,...,XN), а Qr(f) = ( Q( 1 )(f) ,Q()(f) ,...,Q(f )), скобки в формуле

(1.7) означают скалярное произведение векторов.

После математической постановки аппроксимационной задачи, проблема

нахождения функций p(a\f ) сводится к нахождению числовых параметров системы линейных алгебраических уравнений. По найденным

аппроксимациям /5(а) ( f) можно найти значения функционалов ps, 1 < s < S

Я

(1.8)

Рз =

^ I Рт (ОРг(3\0 Лит (О ■

г=1мг

Эти функционалы представляют собой линейные трансформации потенциального поля (нахождение высших производных поля, аналитические продолжения поля в нижнее и верхнее полупространства и т.д,).

Следует отметить, что при таком подходе, бесконечномерная задача редуцируется к конечномерной, и все дальнейшие интерпретационные задачи решаются в конечномерном пространстве, что играет существенную роль при интерпретации данных аномальных потенциальных полей. В рамках метода линейных интегральных представлений разработаны:

1) Метод Б-аппроксимаций, основанный на фундаментальной формуле теории гармонических функций [Страхов, Степанова, 2002а,2002б,2004; Степанова, 2007].

2) Метод Б-аппроксимаций, позволяющий проводить спектральный анализ гравимагнитных данных [Страхов, Керимов, 1999; Керимов, 2009, 2011].

3) Метод Я-аппроксимаций, основанный на преобразовании Радона [Степанова, 2009а, 2009б].

Метод линейных интегральных представлений предназначен для интерпретации данных, полученных различными геофизическими методами, в частности, гравиметрией и магнитометрией. Поэтому все величины в изначальной математической постановке задачи должны быть обезразмерены. При введении соответствующих безразмерных величин учитываются характерные значения их размерных аналогов, которые зависят от типа конкретной задачи.

Все методы, разработанные в рамках метода линейных интегральных представлений, характеризуются конечномерными конструкциями и адекватны геофизический практике, что играет основополагающую роль при интерпретации данных геофизических полей.

1.3 Метод 8-аппроксимаций

Цели геофизических исследований всегда направлены на решение определенных, конкретных задач, причем основные объемы работ чаще всего проводятся в поисково-разведочных целях. Построение глобальных моделей поля и изучение геофизических полей планеты, континентов или стран необходимо для геологического исследования территории и изучения внутреннего строения Земли. Общие направления в интерпретации геофизических полей условно можно разбить на 3 категории:

1) Построение глобальных моделей поля и изучение геофизических полей планеты, континентов или стран, необходимых для геологического исследования литосферы, мантии и ядра.

2) Региональное геолого-геофизическое изучение территории с масштабом менее 1:50000, основной целью которой является изучение глубинного строения, геотектоническое картирование, выделение наиболее перспективных для дальнейшего изучения областей.

3) Разведочно-поисковые и поисково-оценочные работы масштабами 1:50000 - 1:5000, необходимых для разведки, поиска, предварительной оценки месторождений и выделение залежей полезных ископаемых с оценкой их запасов.

В связи с этим, в рамках аппроксимационного подхода, задачи интерпретации геофизических полей условно можно разбить на два варианта:

1) Локальный вариант, в котором горизонтальные размеры территории по протяженности не превышают одного градуса по долготе или широте. В этом случае можно пренебречь эллиптичностью Земли и рассматривать исследуемую территорию как горизонтальную поверхность. Тогда для построения аппроксимационной конструкции можно выбрать декартову систему координат с вертикальной осью, направленной вверх.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Раевский Дмитрий Николаевич, 2016 год

Список литературы

1. Акимова, Е.Н. О сходимости метода Ньютона при решении обратной задачи гравиметрии. / Е.Н Акимова. // Тезисы докладов международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». -Екатеринбург: УрГУ. - 2008. - с. 112.

2. Акимова, Е.Н. Параллельные алгоритмы решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии на МВС-1000 [электронный ресурс] / Е.Н. Акимова // Нижний Новгород: Вестник ННГУ, 2009. - №4. - с. 181. Режим доступа: http://www.vestnik.unn.ru/ru/nomera?anum=2662.

3. Акимова, Е.Н. Алгоритмы решения структурной задачи гравиметрии в многослойное среде / Е.Н. Акимова, П.С. Мартышко, В.Е. Мисилов // ДАН. - 2013. - т. 453. - №6. - С.1.

4. Акимова, Е.Н. Алгоритмы решения обратных задач гравиметрии о нахождении поверхностей раздела сред на многопроцессорных вычислительных системах [электронный ресурс] / Е.Н. Акимова, В.В. Васин, В.Е. Мисилов // Уфа: Вестник УГАТУ, - 2014. - т. 18. - №2(63) -с. 208. Режим доступа: http://journal.ugatu.ac.ru/index.php/vestnik/article/view/759/808.

5. Алексидзе, М.А. Редукция силы тяжести / М.А. Алексидне. - Тбилиси: «Мецниереба», 1965. - 256 с.

6. Андреев, В.Б. Численные методы: учебное пособие / В.Б. Андреев. - М: Изд-во ВМиК МГУ «МАКС Пресс», 2013. - 336 с.

7. Антонов, А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI: учебное пособие / А.С. Антонов - М.: Изд-во МГУ, 2004. - 71 с.

8. Арнольд, В.И. Теория катастроф / В.И. Арнольд. - 3-е изд., доп. - М.: «Наука», 1990. - 128 с.

9. Аронов, В.И. К вопросу о редуцировании аномалий силы тяжести / В.И. Аронов // Геофизическая разведка. -1963. - вып. 14. - С. 46.

10. Аронов, В.И. Об одном способе интерполяции аномалий и вычислений гравиметрических уклонений отвеса в районе Западных Альп / В.И. Аронов, В.М. Гордин // Геофиз. Бюл. АН СССР. - 1971. - №24. - с. 19.

11. Аронов, В.И. О методах интерполяции геолого-геофизических характеристик на регулярную сеть / В.И. Аронов, В.М. Гордин // ОЦНТИ ВИЭМС, серия «Мат. Метода в исслед. В геологии». - 1973. -№12. - с. 20.

12. Аронов, В.И. Обработка на ЭВМ значений силы тяжести при произвольном рельефе поверхности наблюдений / В.И. Аронов -Москва: «Недра», 1976. - 131 с.

13. Бабаянц, П.С. Интерпретационная томография по данным гравиразведки и магниторазведки в пакете программ «СИГМА-3D» / П.С. Бабаянц, Ю.И. Блох, А.А. Трусов // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Материалы 31 сессии междунар. .семинара им. Д.Г. Успенского, М.:ОИФЗ РАН. - 2004. - с.11.

14. Бабаянц, П.С. Возможности структурно-вещественного картирования по данным магниторазведки и гравиразведки в пакете программ СИГМА-3D / П.С. Бабаянц, Ю.И. Блох, А.А. // Геофизический вестник. - 2004. -№ 3. - С. 11.

15. Бабаянц, П.С. Интерпретация аэрогеофизических данных при поисках месторождений нефти и газа / П.С. Бабаянц, Ю.И. Блох, В.А. Буш, А.А. Трусов // Разведка и охрана недр. - 2006. - № 5. - С. 13.

16. Бакушинский, А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения / А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. - М.: Наука, 1989. -199 с.

17. Балк, П.И. Использование априорной информации о топологических особенностях источников поля при решении обратной задачи в рамках монтажного метода / П.И. Балк // Физика Земли. - 1993. - № 5. - С. 59.

18. Балк, П.И. Сеточные методы решения обратных задач и опыт их применения при прослеживании дифференцированных интрузий по данным гравиразведки / П.И. Балк, А.С. Долгаль, Т.В. Балк // Геология и геофизика. - 1993. - т. 34. - №5. - С. 127.

19. Балк, П.И. Трехмерные монтажные технологии интерпретации гравиметрических данных / П.И. Балк, А.С, Долгаль // Докл. РАН, -

2009. - т. 427. - №3. - с. 380.

20. Балк, П.И. Эффективность применения многопроцессорных вычислительных систем с целью оценки достоверности решения обратной задачи гравиметрии / П.И. Балк, А.Г. Деменев, А.С. Долгаль, О.В. Леденцов, А.В. Мичурин // Вестник Пермского Университета, Геология. - 2010. - вып. 1(9). - с. 50.

21. Баренблатт, Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.:Недра, 1972. - 288 с.

22. Березкин, В.М. Применение геофизических методов разведки для прямых поисков месторождений нефти и газа / В.М. Березкин, М.А. Киричек, А.А. Кунарев - М.:Недра, 1978. - 223 с.

23. Блох Ю.И. Сингулярное разложение и конструктивная регуляризация в задачах аппроксимации геофизических полей / Ю.И. Блох // Москва: ОИФЗ РАН. Материалы 1-ой Всероссийской конференции «Геофизика и математика». - 1999. - С. 14.

24. Блох, Ю.И. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий: учебное пособие, версия 1.0 [электронный ресурс] / Ю.И. Блох. - без издательства, 2009. - 232 с. Режим доступа: http://sigma3d.com/pdf/books/blokh-interp.pdf.

25. Богатырев, А.Б. Экстремальные многочлены и римановы поверхности / А.Б. Богатырев - М.:МЦНМО, 2005. - 176 с.

26. Бойков, И.В. О приближенном метода восстановления потенциальный полей. / И.В. Бойков, М.В. Кравченко, В.И. Крючко // Физика Земли. -

2010. - №4. - С. 67.

27. Бойков, И.В. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиразведки: монография / И.В. Бойков, А.И. Бойкова. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2013. - 504 с.

28. Болотин, Ю.В. Локальное многомасштабное оценивание аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии / Ю.В. Болотин, В.С. Вязьмин // Геофизический журнал. - 2014. - т. 15. - №3. - с. 38.

29. Боярский, Э.А. К вычислению уклонений отвесной линии и превышений геоида по гравитационным аномалиям / Э.А. Боярский, Л.А. Афанасьева, В.Н. Конешов, Ю.Е. Рожков // Физика Земли. - 2010. - № 6.

- С. 80.

30. Бычков, С.Г. Современные технологии интерпретации гравиметрических данных при исследованиях на нефть и газ [электронный ресурс] / С.Г. Бычков // Нефтегаз. Дело: электрон. научн. Журнал. - 2005. Режим доступа: http://ogbus.ru/authors/Bychkov/Bychkov_1.pdf.

31. Васильев, Б.И. Геологическое строение и происхождение Тихого Океана / Б.И. Васильев - Владивосток: Дальнаука, 2009. - 560 с.

32. Васин, В.В. О сходимости методов градиентного типа для нелинейных уравнений / В.В. Васин // ДАН. - 1998. - т.359. - №1. - с. 5.

33. Васин, В.В. Метод Левенберга-Марквардта для аппроксимаций решений нерегулярных операторных уравнений / В.В. Васин // Автоматика и телемеханика. - 2012. - №3. - с. 28.

34. Ващилов, Ю.А. Гравиметрическая томография - новое направление изучения твердой оболочки Земли / Ю.А. Ващилов // Докл. РАН. - 1995.

- т. 343. - №4. - С. 532.

35. Воеводин, Вл.В.. Практика суперкомпьютера «Ломоносов» / Вл.В. Воеводин, С.А. Жуматий, С.И. Соболев, А.С. Антонов, П.А, Брызгалов, Д.А. Никитенко, К.С. Стефанов, Вад.В. Воеводин // Открытые системы. Москва: Издательский дом «Открытые системы». - 2012. - N 7. - с. 36.

36. .Гамбурцев, Г.А. К вопросу о природе Курской магнитной и гравитационной аномалии. Притяжение подземными хребтами / Г.А. Гамбурцев // Избр. Труды - Москва: Академиздат. - 1960. - С.72.

37. Гласко, В.Б. К обратной задаче для системы квазилинейных уравнений параболического типа / В.Б. Гласко, И.Э. Степанова // Деп. В ВИНИТИ.

- 1991. - № 1564 -деп.

38. Гордин, В.М. Физические аспекты аппроксимации и фильтрации аномальных полей / В.М, Гордин, Б.О. Михайлов, В.О. Михайлов // Физика Земли. - 1980. - №1. - с. 78.

39. Гурарий, Г.З. Вейвлет-анализ палеомагнитных данных. 3. Вейвлет-анализ основных рядом археомагнитных данных о напряженности геомагнитного поля за последние 7.5 тысяч лет. / Г.З. Гурарий, М.В. Алексютин // Физика Земли. - 2009. - №6. - С. 64.

40. Долгаль, А.С. Истокообразные аппроксимации потенциальных геофизических полей, заданных в узлах нерегулярной сети / А.С. Долгаль // Геология и минеральные ресурсы Центральной Сибирии. -2000. - С. 193.

41. Долгаль, А.С. Алгоритмы истокообразной аппроксимации геопотенциальных полей для данных большой размерности / А.С. Долгаль, А.Ф. Шархимуллин // Вестник Пермского Университета. Геология. - 2010. - вып. 1(9). - с. 63.

42. Долгаль, А.С. Использование метода конечных элементов при интерпретации данных гравиразведки и магниторазведки / А.С. Долгаль, П.И. Балк, А.Г. Деменев, А.В. Мичурин, П.Н. Новикова, В.А. Рашидов, Л.А. Христенко, А.Ф. Шархимуллин - Вестник Краунц. Науки о Земле.

- 2012. - №1. - вып. 19. - с. 108.

43. Дробышев, Н.В. Создание самолета-лаборатории и методики работ для выполнения аэрогравиметрической съемки в арктических условиях / Н.В. Дробышев, В.Н. Конешов, В.В. Клевцов, В.Н. Соловьев, Е.Ю. Лаврентьева // Сейсмические приборы. - 2008. - т.44. - № 3. - с. 5.

44. Дробышев, Н.В. Создание самолёта-лаборатории и методика выполнения аэрогравиметрической съёмки в арктических условиях / Н.В. Дробышев, В.Н. Конешов, И.В. Конешов, В.Н. Соловьёв. // Вестник Пермского университета. Серия «Геология». - 2011. - № 3. - с. 37.

45. Евланов, Ю.Б. Филиппинское море. Геологическое строение, эволюция магматизма и осадконакопления / Ю.Б. Евланов - Владивосток: Дальнаука, 2000. - 92 с.

46. Елесин, А.В. Двухшаговый метод Левенберга-Марквардта с учетом априорной сравнительной информации в задаче идентификации коэффициента фильтрации / А.В. Елесин, А.Ш. Кадырова, П.А. Мазуров // Вычислительные методы и программирование. - 2011 - т. 12 - с. 28.

47. Заморев, А.А. Об определении производных гравитационного потенциала и соотношений между моментами возмущающих масс по производной, заданной на плоскости / А.А. Заморев // Изв. АН СССР., сер. географ. и геофиз. - 1939. - №3 - С.275.

48. Иванов, В.К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала / В.К. Иванов // ДАН СССР. - 1955. -т.105. - №3. - с.409.

49. Иванов, В.К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств / В.К. Иванов // Изв. вузов. Матем. - 1958. - №3. - с.99.

50. Иванов, В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала / В.К. Иванов // Докл. АН СССР. -1962. - т.142. - №5. - с.998.

51. Иванов, В.К. О линейных некорректных задачах / В.К. Иванов // Докл. АН СССР. - 1962. - т. 145. - №2. - с. 270.

52. Кадиров, Ф.А. Гравитационное поле и модели глубинного строения Азербайджана / Ф.А. Кадиров - Баку: «Nafta-Press», 2000. - 112 с.

53. Каштанов, В.А. Локальный нефтепрогноз по данным аэромагнитной съемки / В.А. Каштанов //Геология нефти и газа. - 1988. - №12. - С.7.

54. Керимов, И.А. Использование F-аппроксимации при интерпретации гравиметрических данных. II. Результаты опробирования на материалах гравиметрических и магнитометрических съемок / И.А. Керимов // Физика земли. - 2009. - №5. - с. 77.

55. Керимов, И.А. Метод F-аппроксимаций при решении задач гравиметрии и магнитометрии / И.А. Керимов - Москва: Физматлит, 2011. - 259 с.

56. Кобрунов, А.И. О методе поиска оптимальных решений обратной задачи гравиразведки в классе распределений плотности / А.И. Кобрунов // Геофизические исследования глубинного строения земной коры. - Киев: Наук. думка, 1979.

57. Кобрунов, А.И. Об одном подходе к решению обратной задачи гравиметрии в плотностных границах / А.И. Кобрунов // Разведка и разработка нефтяных и газовых месторождений. - 1979. - вып.16. - С.29.

58. Кобрунов, А.И. О решении обратной гравиметрии оптимал. в пространствах С и L1 / А.И. Кобрунов // ДАН УССР - 1981. - № 11. -сер. Б. - С. 13.

59. Кобрунов, А.И. Об одном эвристическом алгоритме решения обратной задачи гравиметрии в классе плотностных границ / Кобрунов А.И., Денисюк Р.П. // Разведка и разработка нефтяных и газовых месторождений. - 1981. - вып.18. - С. 33.

60. Кобрунов, А.И. Разрешимость и эквивалентность в обратной задаче гравиразведки для нескольких плотностных границ / Кобрунов А.И. // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1983. - №5. - С. 67.

61. Кобрунов, А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложно-построенных сред: Учебное пособие / А.И. Кобрунов. - Киев, 1989. -100 с.

62. Конешов, В.Н. Аналитические аппроксимации глубин арктического бассейна и их спектральный анализ / В.Н. Конешов, И.Э. Степанова // Физика Земли, 2008. - №5. - с. 34.

63. Конешов, В.Н. Апробация методики расчета уклона отвесной линии на основе S- и R-аппроксимаций в Атлантике / В.Н. Конешов, Э.А. Боярский, И.Э. Степанова, Л.В. Афанасьева, Д.Н. Раевский // Физика Земли. - 2015. - №1. - с. 128.

64. Кошляков, Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. -М.:Физматгиз, 1962. - 767 с.

65. Крайниковский, С.С. Вейвлет-обработка данных в геофизических исследованиях скажин: в сб. «Методы и инструменты конструирования программ» под общ. ред. Касьянова В.Н. [электронный ресурс] / С.С. Крайниковский. - Новосибирск: ИСИ СО РАН, 2007 - с. 135. Режим доступа: www.iis.nsk.su/files/articles/sbor_kas_15_krainikovskii_1.pdf.

66. Лаврентьев, М.А. Курс вариационного исчисления: учебное пособие для студентов - 2е изд./ М.А. Лаврентьев, Л.А. Люстерник. - М.Л.: Гостоптехиздат, 1950. - 296 с.

67. Лаврентьев, М.А. О некоторых некорректных задачах математической физики / М.А. Лаврентьев. - Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. -92 с.

68. Маргулис, А.С. Вопросы эквивалентности и единственности в обратных задачах гравиметрии / А.С. Маргулис // Тр. Ин-та геофизики УНЦ АН СССР, 1987.

69. Мартышко, П.С. Технология разделения источников гравитационного поля по глубине / П.С. Мартышко, И.Л. Пруткин // Геофизический журнал. - 2003. - т. 25. - №3. - с. 159.

70. Мартышко, П.С. Построение региональных геофизических моделей на основе комплексной интерпретации гравитационных и сейсмических данных / П.С. Мартышко, И.В. Ладовский, А.Г. Цидаев // Физика Земли. - 2010. - №11. - с. 23.

71. Миронов, В.С. Курс гравиразведки: 2-е изд., перераб. И доп. / Миронов, В.С. - Л.: Недра, 1980. - 543 с.

72. Михайлов, В.О. Исследование возможности обнаружения и изучения вариаций силы тяжести геодинамического происхождения по современным спутниковым гравиметрическим данным / В.О. Михайлов, С.А. Тихоцкий, М. Диаман, И. Пане // Физика Земли. - 2005. - №3. - с. 18.

73. Михайлов, В.О. Сравнительный анализ временных вариаций глобального гравитационного поля по данным спутников ГРЕЙС в областях трех недавних гигантских землетрясений / В.О. Михайлов, Isabelle Panet, Michael Hayn, Е.П. Тимошкина, Sylvain Bonvalot, В. Ляховский, Michel Diament, Olivier deViron // Физика Земли. - 2014. -№2. - с. 29.

74. Новиков, П.С. О единственности решения обратной задачи потенциала / П.С. Новиков // Докл. АН СССР. - 1938. - Т.18. - №3. - С.165.

75. Новоселицкий, В.М. Векторная обработка гравиметрических наблюдений с целью обнаружения и локализации источников аномалий / В.М. Новоселицкий, Г.В. Простолупов // Москва: ОИФЗ РАН. Материалы 1-ой Всероссийской конференции «Геофизика и математика». - 1999 - С.104.

76. Овчаренко, А. В. Подбор сечения двухмерного тела по гравитационному полю / А.В. Овчаренко // Вопросы нефтяной и рудной геофизики. -Алма-Ата: Изд-во Казахского политехн. ин-та. - 1975. - Вып. 2. - с. 71.

77. Оганесян, С.М. Параметрический функционал А.Н. Тихонова и итерационные методы решения некорректных задач геофизики / С.М. Оганесян, В.И. Старостенко // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1978. -№ 1. - С.63.

78. Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: учебное пособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова - 2-е изд., исправл. - М.: «Высшая школа», 2005. - 544 с.

79. Пеллинен, Л.П. О вычислении уклонений отвеса и высот квазигеоида в горах / Л.П. Пеллинен // ЦНИИГАиК. - 1969. - вып. 176. - с. 99.

80. Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт. -М.: Мир, 1980. - 607 с.

81. Прилепко, А.И. О единственности определения формы и плотности тела в обратных задачах теории потенциала / А.И. Прилепко // Докл. АН СССР. - 1970. - Т.193. - №2. - С.37.

82. Простолупов, Г.В. Об интерпретации гравитационного и магнитного полей на основе трансформации горизонтальных градиентов в системе «VECTOR» / Г.В. Простолупов, В.М. Новоселицкий, В.Н. Конешов, Г.П. Щербинина // Физика Земли. - 2006. - №6. - с. 90.

83. Пущаровский, Ю.М. Строение дна северо-запада Тихого океана (геофизика, магматизм, тектоника) / Ю.М. Пущаровский. - М.:Наука, 1984. - 232 с.

84. Пущаровский, Ю.М. Тектоническое развитие Земли: Тихий океан и его обрамление (тр. ГИК, вып. 473) / Ю.М. Пущаровский, Е.Н. Меланхолин.

- М.:Наука, 1992. - 263 с.

85. Пущаровский, Ю.М. Разломные структуры в океанах / Пущаровский Ю.М. // Соросовский образовательный журнал. - 2001. - том 7. - №8. -с. 51.

86. Раевский, Д.Н. О решении обратных задач гравиметрии с помощью модифицированного метода S-аппроксимаций / Д.Н. Раевский, И.Э. Степанова // Физика Земли. - 2015. - №2. - с. 44.

87. Раевский, Д.Н. Модифицированный метод S-аппроксимаций. Региональный вариант / Д.Н. Раевский, И.Э. Степанова // Физика Земли.

- 2015. - №2. - с. 55.

88. Родников, А.Г. Геотраверс Северо-Китайская равнина - Филиппинское море - Магеллановы горы / А.Г. Родников, Л.П. Забаринская, В.А. Рашидов, М.В. Родкин, Н.А. Сергеева // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле. - 2007. - №1. - вып. №9. - с. 79.

89. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: «Наука», 1978. - 592 с.

90. Серкеров, С.А. Спектральный анализ в гравиразведке и магниторазведке / С.А. Серкеров. - Москва: «Недра», 1991. - 279 с.

91. Слепак, З.М. Применение гравиметрии при поиске нефтеперспективных структур / З.М. Слепак. - М.: Недра, 1989. - 200 с.

92. Старостенко, В.И. Об интерпретации гравитационного поля методом подбора / В.И. Старостенко, В.А. Дядюра, А.Н. Заворотько // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1975. - №4. - С.78.

93. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии / В.И. Старостенко. - Киев: Наук. думка, 1978. - 227 с.

94. Степанова, И.Э. Об интегральном уравнении обратной трехмерной задачи потенциала / И.Э. Степанова // Математическое моделирование. -1997. - Т. 9. - № 4. - с. 77.

95. Степанова, И.Э. О методах учета топографии земной поверхности при интерпретации гравиметрических данных / И.Э. Степанова// Физика Земли. - 2007. - С. 26.

96. Степанова, И.Э. Апробация методики S-аппроксимаций на материалах детальной гравиметрической и магнитометрических съемок / И.Э. Степанова // Геофизический журнал. - 2007. - Т.28. - № 1. - С.97.

97. Степанова, И.Э. Метод R-аппроксимаций при интерпретации данных детальной гравиметрической и магнитометрической съемок / И.Э. Степанова // Физика Земли. - 2009. - № 4. - С. 17.

98. Степанова, И.Э. Метод R-аппроксимаций при интерпретации данных гравимагниторазведки / И.Э. Степанова // Геофизический журнал. -2009. - Т. 31. - № 3. - С. 53.

99. Степанова, И.Э. Аппроксимация рельефа и расчет топопоправок в рамках метода линейных интегральных представлений / И.Э. Степанова // Геофизический журнал. - 2011. - т. 33. - № 3. - С. 128.

100. Степанова, И.Э. О применении методов теории динамических систем к решению нелинейных обратных задач геофизики / И.Э. Степанова // Физика Земли. - 2013. - № 2. - с. 1.

101. Степанова, И.Э. О решении обратных задач геофизики с помощью методов теории динамических систем / И.Э. Степанова, Д.Н. Раевский // Геофизический журнал. - 2014. - т. 36. - №3. - с. 118.

102. Страхов, В.Н. Об одном численном методе решения линейных интегральных уравнений типа свертки / В.Н. Страхов // Докл. АН СССР. - 1963. - т. 151. - №3. - с. 533.

103. Страхов, В.Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки. I. / В.Н. Страхов // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1967. - №4. - С.36.

104. Страхов, В.Н. К теории структурной гравиметрии / В.Н. Страхов // Прикладн. Геофизика. - 1972. - вып. 68. - с.119.

105. Страхов, В.Н. Некоторые примеры эквивалентности и слабой единственности в плоской обратной задаче потенциала / В.Н. Страхов // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1973. - № 5. - С.39.

106. Страхов, В.Н. Монтажный метод решения обратной задачи гравиметрии / В.Н. Страхов, М.И. Лапина // Докл. АН СССР. - 1976. - т. 227. - №2. -с. 344.

107. Страхов, В.Н. О подходе к решению обратных задач гравиметрии, основанном на теории эквивалентных перераспределенных масс / В.Н. Страхов // Докл. АН СССР. - 1977. - Т.236. - № 3. - С.571.

108. Страхов, В.Н. К теории интерпретации двухмерных гравитационных аномалий от масс, распределенных по неограниченным областям / В.Н. Страхов // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 248. - № 8. - С. 1086.

109. Страхов, В.Н. Нерешенные проблемы математической теории плоской задачи гравиметрии и магнитометрии / В.Н. Страхов // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1979. - № 8. - С.3.

110. Страхов, В.Н. К теории плоской задачи гравиметрии в случае источников постоянной плотности в бесконечных областях / В.Н. Страхов // Доклады АН УССР. - 1980. - сер.Б. - № 5. - с. 40.

111. Страхов, В.Н. К проблеме единственности в плоских обратных задачах гравиметрии и магнитометрии / В.Н. Страхов, М.А. Бродский // Докл. АН СССР. - 1983. - Т.273. - №5. - С.1097.

112. Страхов, В.Н. О единственности решения плоской обратной задачи потенциала для многоугольников. В сб. «Некорректные задачи математической физики и анализа» / В.Н. Страхов, М.А. Бродский. -Новосибирск: Наука, 1984. - С.128.

113. Страхов, В.Н. Методы синтеза рядов по шаровым функциям, представляющих элементы потенциальных геофизических полей / В.Н. Страхов, А.Б. Ефимов, М.М. Хохрякова // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1988 - №5 - с. 41.

114. Страхов, В.Н. Вариационные методы в теории линейных трансформаций гравитационных и магнитных аномалий / В.Н. Страхов // Докл. АН СССР. - 1990. - т.312. - №1. - с. 63.

115. Страхов, В.Н. Решение линейных задач гравиметрии и магнитометрии вариационным и структурно-параметрическими методами при мультипликативно-аддитивных помехах в экспериментальной информации / В.Н. Страхов // Докл. АН СССР. - 1991. - т. 319. - №6. - с. 1361.

116. Страхов, В.Н. Линейные аппроксимации элементов аномальных гравитационных и магнитных полей Земли / В.Н. Страхов, У. Шефер,

A.В. Страхов // Тезисы докладов Международной конференции « Обратные задачи математической физики». Новосибирск: Ин-т математики. - 1998. - С. 67.

117. Страхов, В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий). Ч. III /

B.Н. Страхов // Электр. науч.-инф. журн. "Вестник ОГГГГН РАН". -1998. - № 1(3). - С.100.

118. Страхов, В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего) / В.Н. Страхов. - М.: ОИФЗ РАН, 1999. - 78 с.

119. Страхов, В.Н. Аппроксимационная реализация спектрального анализа в гравиметрии и магнитометрии / В.Н. Страхов, И.А. Керимов // Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных полей: сб. науч. тр., М.:ОИФЗ РАН. - 1999. - С. 183.

120. Страхов, В.Н., Аппроксимационный подход к решению некоторых классических задач гравиметрии и магнитометрии / В.Н, Страхова, И.Э. Степанова // Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий: сб. науч. тр., М.:ОИФЗ РАН. -1999. - С. 258.

121. Страхов, В.Н. Метод S-аппроксимаций и его использование при решении задач гравиметрии (локальный вариант) / В.Н, Страхов, И.Э. Степанова // Физика Земли. - 2002. - №2. - с.3.

122. Страхов, В.Н. Метод S-аппроксимаций и его использование при решении задач гравиметрии (региональный вариант) / В.Н, Страхов, И.Э. Степанова // Физика Земли. - 2002. - №7. - с.3.

123. Страхов, В.Н. Актуальные проблемы геофизики и геоинформатики - сб. науч. тр. / В.Н. Страхов и др. - М.:ИФЗ РАН, 2004. - 138 с.

124. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А.Н. Тихонов // ДАН СССР. - 1963. - Т. 153 - №1 - с. 49.

125. Тихонов, А.Н. Методы решений некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин - М.: Наука, 1986. - 288 с.

126. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач / А.Н, Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола - М.: Наука, 1990. - 230 с.

127. Трошков, Г.А. Представление векторных геофизических потенциальных полей в комплексном трехмерном пространстве / Г.А. Трошков // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1988. - № 9. - С.49.

128. Тяпкин, К.Ф. Изучение разломных и складчатых структур геолого-геофизическими методами / К.Ф. Тяпкин, Г.Г. Кивелюк - М: Недра, 1982. - 238 с.

129. Уилкинсон, Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных чисел / Дж. Х. Уилкинсон. - М: Наука, 1970. - 564 с.

130. Утемов, Э.В. Естественные вейвлет-преобразования гравиметрических данных: теория и приложения / Э.В. Утемов, Д.К. Нургалиев // Физика Земли. - 2005. -№4. - С. 88.

131. Утемов, Э.В. Гравиразведка: учебно-методическое пособие / Э.В. Утемов

- Казань: Казанский Государственный университет, 2009. - 26 с.

132. Фадеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фадеев, В.Н. Фадеева. - М.: Физматгиз, 1963. - 734 с.

133. Цирульский, А.В. О редукции потенциальных геофизических полей на внешнюю плоскость / А.В. Цирульский //Изв. АН СССР. Физика Земли.

- 1975. - № 7. - С. 43.

134. Цирульский, А.В. Метод интерпретации гравитационных и магнитных аномалий с построением эквивалентных семейств решений / А.В. Цирульский, Ф.И. Никонова, Н.В. Федорова. - Свердловск: Изд. Ин-та геофизики АН СССР, 1980. - 135 с.

135. Цирульский, А.В. О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалов / А.В. Цирульский, И.Л. Пруткин // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1981. - № 11. - С. 45.

136. Чередниченко, В.Г. Обратные задачи логарифмического потенциала аналитической плотностью / В.Г. Чередниченко // Дифференц. уравнения. - 1973. - Т.9. - № 2. - С.333.

137. Чередниченко, В.Г. Обратная задача для потенциала слоистых сред двухмерном случае / В.Г. Чередниченко // Дифференц. уравнения. -1978. - Т.14. - № 1. - С.140.

138. Шимбирев, Б.П. Теория фигуры Земли / Б.П. Шимбирев. - М.: Недра.

1975. - 431 с.

139. Ягола, А.Г. Обратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике / А.Г. Ягола, Ван Янфей, И.Э. Степанова, В.Н. Титаренко -Москва: Бином. Лаборатория знаний, 2014. - 214 с.

140. Auzinger, W. Iterative solution of large linear systems: lecture notes [Digital resource]: / W. Auzinger - digital text. - Wien, 2011. - access mode: http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/teaching/101.403/SS2012/downloads/it er.pdf.

141. Ballani, L. Global base functions for the mass density in the interior of a massive body (Earth) / L. Ballani, J. Engels, J.W. Grafarend // Manuscripta Geodaetica. - 1993. - V. 18. - P. 99.

142. Balmino, G. Non-singular Formulation of the Gravity Vector and Gravity Gradient Tensor in Spherical Harmonics / G. Balmino, J.P. Barriot, N. Vales // Manuscripta geodaetica - 1990. -V.5. - p. 11.

143. Barthelmes, F. On the Application of Wavelets in Geodesy [digital resource] / F. Barthelmes, L. Ballani, R. Klees // Geodetic theory today: Third Hotine-Marussi Symposium on mathematical geodes: ed. By F. Sanso, 1995. - №114. - p. 394. - access mode: http://download.springer.com/static/pdf/28.

144. Bethencourt, A. Using personal computers in spherical harmonic synthesis of high degree earth geopotential models / A. Bethencourt, J. Wang, C. Rizos, A.H.W. Kearsley // Dynamic Planet. - 2005. - p. 125.

145. Bird, P. An updated digital model for plate boundaries / P. Bird [digital resource] // Geochemistry, Geophysics, Geosystems, 2003. - V.4. - № 3. -doi: 10.1029/2001GC000252. - access mode: http://peterbird.name/publications/2003_PB2002/2001GC000252.pdf.

146. Bjerhammer, A. A new theory of gravimetric geodesy / A. Bjerhammer. -Technical Report, Div. Geodesy. Stockholm: Royal Institute of Technology, 1963.

147. Currenti, G. Finite element modeling of ground deformation and gravity field at Mt. Etna / G. Currenti, C. Del Negro, G. Ganci // Annals of Geophysics. -2008. - V.51. - №1. - p. 105.

148. Dampney, C.N.G. The equivalent source technique / C.N.G. Dampney // Geophysics, 1969. - V.34. - p. 39.

149. Edwards, D.J. Interpretation of gravity and magnetic data using the gorizontal-gradient vector method in the Western Canada Basin / D.J. Edwards, Lyatsky H.V., Brown R.J. // First Break. - 1996. - V.14. - №6. - p. 231.

150. Gutknecht, Martin H. The Chebyshev iteration revisited / Martin H. Gutknecht, Stefan Rollin // Parallel computing. - 2002. - № 28. - p.263.

151. Jach, A. Wavelet-based index of magnetic storm activity / A. Jach, P. Kokoszka, J. Sojka, L. Zhu // Journal of Geophysical Research - Space Physics. - 2006. - V.111. - doi:10.1029/2006JA011635.

152. Kaftan, I. Application of the finite element method to gravity data case study: Western Turkey / I. Kaftan, M. Salk, S. Coskun // Journal of Geodymanics. -2005. - V. 39. - №5. - p. 431.

153. Lemoine, F.G. The development of the NASA GSFC and DMA Joint Geopotential Model / F.G. Lemoine et. al. // International Symposium on Gravity Geoid and Marine Geodesy, University of Tokyo, 1996.

154. Maus, S. Depth estimation from the scaling power spectrum of potential fields // S. Maus, V. Dimri, // Geophys. J. Int. - 1996. - V.124. - p. 113.

155. Martelet, G. Characterization of geological boundaries using 1-D wavelet transform on gravity data: Theory and application to the Himalayas / G. Marteler, P. Sailhac, F. Moreau, M. Diament // Geophysics. - 2001. - V. 66. - p. 1116.

156. Moreau, F. Wavelet analysis of Potential fields / F. Moreau, D. Gibert, M. Holshcneider, G. Saracco // Inverse Problems. - 1997. - V.23. - p. 165.

157. Moreau, F. Identification of sources of potential fields with continuous wavelet transform: Basic theory / F. Moreau, D. Gibert, M. Holshcneider, G. Saracco // J. Geophysical Res. - 1999. - V.104. - p. 5003.

158. Müller, R.D. Age, spreading rates and spreading symmetry of the world's oceans crust / R.D. Müller, M. Sdrolias, C. Gaina, W.R. Roest [digital resource] // Geochemistry, Geophysics, Geosystems, 2008. - V.9. - № 4. -doi: 10.1029/2007GC001743. - access mode: http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10/1029/2007GC001743/epdf.

159. Palkesh, Goyal. Application of the continuous wavelet transform of gravity and magnetic data to estimate sub-basalt sediment thickness / Palkesh Goyal, V.M. Tiwari // Geophysical Prospecting. - 2014. - V.62. - №1 - p. 148.

160. Pavlis, N.K. The development and evaluation of the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008) / N.K. Pavlis, S.A. Holmes, S.C. Kenyon, J.K. Factor // J. Geophys. Res. - 2012. - V.117. - p. 1.

161. Sailhac, P. Identification of sources of potential fields with the continuous wavelet transform: Complex wavelets and application to aeromagnetic profiles in French Guiana / P. Sailhac, D. Galdeno, F. Moreau // J. Geophysical Res. - 2000. - V. 105. - №19. - p. 455.

162. Sandwell, D. T., McAdoo, D.C. Marine Gravity of the Southern Ocean and Antarctic Margin from Geosat / D.T. Sandwell, D.C. McAdoo // J. Geophys. Res. - 1988. - V.93. - p. 10389.

163. Sandwell, D. T., Smith, W.H.F. Marine Gravity from Geosat and ERS-1 Altimetry / D.T. Sandwell, W.H.F. Smith // J. Geophys. Res. - 1997. - V.102. - p. 10039.

164. Sandwell, D. T. Towards 1 mGal Global Marine Gravity from CryoSat-2, Envisat, and Jason-1/ D.T. Sandwell, E. Garcia, K. Soofi, P. Wessel, W. H. F. Smith // The Leading Edge. - 2013. - V.32. - №8. - p. 892. - doi: 10.1190/tle32080892.1.

165. Sandwell, D.T. New global marine gravity model from CryoSat-2 and Jason-1 reveals buried tectonic structure / D.T. Sandwell, R.D. Müller, W. H. F.

Smith, E. Garcia, R. Francis // Science. - 2014. - V. 346. - №6205. - p. 65. -doi: 10.1126/science.1258213.

166. Sanso, F. Fast spherical collocation theory and examples / F. Sanso, C.C. Tscherning // Journal of Geodesy. - 2003 - V. 77. - p. 101.

167. Singh, A.P. Crustal structure and domain tectonics of the Dharwar Craton (India): insight from new gravity data / A.P. Singh, D.C. Mishra, S.B. Gupta, M.R.K.P. Rao // J. Asian Earth Sciences. - 2004. V.23. - p. 141.

168. Sneeuw, N. Global spherical harmonic analysis by least-squares and numerical quadrature methods in historical perspective / N. Sneeuw // Geophys. J. Int. - 1994. - V. 18. - №3. - p. 707.

169. Sun, W. Coseismic deformations detectable by satellite gravity missions: a case study of Alaska (1964, 2002) and Hokkaido (2003) earthquakes in the spectral domain [digital resourse] / W. Sun, S. Okubo // J. Geophys. Res. -2004. - V.109. - doi: 10.1029/2003JB002554. - access mode: http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/2003JB002554/pdf.

170. Taylor, B. The West Philippine Basin and the initiation of subduction, revisited [digital resourse] / B. Taylor, A.M. Goodliffe // Geophys. Res. Lett. - 2004. - V.31. - doi: 10.1029/2004GL020136. - access mode: http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/2004GL020136/full.

171. Tscherning, C.C. Comparison of methods for computing gravimetric quantaties from high degree spherical harmonic expansions / C.C. Tscherning, R.H. Rapp, C.C. Goad // Manuscripta geodaetica. - 1983. - V.8. - p. 246.

172. Tscherning, C.C. Multi-processing least squares collocation: Applications to gravity field analysis / C.C. Tscherning, E. Kaas, B. Sorensen, M. Veicherts // Journal of Geodetic Science. - 2013. - V.3. - №3. - p. 219.

173. Wathen, Adnrew J. Chebyshev semi-iteration in preconditioning: Report no. 08/14 [Digital resource] / Andrew J. Wathen, Tyrone Rees - digital text. -Oxford: Oxford University Computing Laboratory, 2008. - access mode: http://core.ac.uk/download/pdf/1633642.pdf.

174. Wiegmann, P.B., Zabrodin, A. Conformal maps and integrable hierarchies / P.B. Wiegmann, A. Zabrodin // Comm. Math. Phys. - 2000. - vol. 213. - p. 523.

175. Ya Xu. Regional gravity anomaly separation using wavelet transform and spectrum analysis / Ya Xu, Tianyao Hao, Zhiwei Li, Qiuliang Duan, Lili Zhang // Geophys. Eng. - 2009. - V.6. - p. 279.

176. Zhdanov, M. S. Geophysical Inverse Theory and Regularization Problems / M.S. Zhdanov - N.Y.: Elseiver, 2002. - 610 p.

177. Zunze, H. Two-dimensional wavelet transform and multiscale analysis of the gravity field of China / H. Zunze Y. Wenca // Chinese J. Geophysics. - 1997. - v. 40 - p. 85.