Разработка нелинейных динамических систем для формирования хаотических колебаний и их синхронизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Кобылкина, Полина Ивановна

• Кобылкина, Полина Ивановна
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кобылкина, Полина Ивановна

Введение.

Глава 1. Нелинейные динамические системы для формирования хаотических колебаний.ц

1.1. Требования к нелинейным динамическим системам, формирующим хаотические колебания.4%

1.2. Нелинейные динамические системы, формирующие непрерывные хаотические колебания.

1.2.1. Общие свойства непрерывных нелинейных динамических систем и методы их анализа.

1.2.2. Анализ нелинейных динамических систем, формирующих непрерывные хаотические колебания.

1.3. Нелинейные динамические системы, формирующие дискретные хаотические колебания.\Н

1.3.1. Общие свойства дискретных нелинейных динамических систем и методы их анализа.4Н

1.3.2. Анализ нелинейных динамических систем, формирующих дискретные хаотические колебания.iW

1.4. Выводы по главе 1./

Глава 2. Синхронизация хаотических колебаний в нелинейных динамических системах на основе хаотического синхронного отклика.!5£

2.1. Декомпозиция нелинейных динамических систем и формирование синхронного хаотического отклика.№

2.2. Анализ устойчивости синхронизации идентичных или почти идентичных нелинейных динамических систем.

2.3. Оценка точности синхронизации.\

2.4. Синхронизация хаотических колебаний в непрерывных нелинейных динамических системах.

2.4.1 Анализ объединенной нелинейной динамической системы на основе системы Чуа.

2.4.2. Анализ объединенной нелинейной динамической системы на основе системы Лоренца.Ш

2.4.3. Анализ объединенной нелинейной динамической системы на основе системы Ресслера./И

2.4.4. Анализ объединенной нелинейной динамической системы на основе системы Чена.

2.4.5. Анализ объединенной нелинейной динамической системы на основе генератора Анищенко - Астахова (генератора с инерционной нелинейностью).

2.4.6. Анализ объединенной нелинейной динамической системы на основе генератора Колпитца.9оЪ

2.4.7. Анализ объединенной нелинейной динамической системы на основе кольцевого генератора с 1,5 степенями свободы.Мб

2.5. Обобщенная синхронизация связанных нелинейных динамических систем непрерывных хаотических колебаний на линейном многообразии.Ш

2.5.1. Понятие и условия обобщенной синхронизации на линейном многообразии.МО

2.5.2. Анализ обобщенной синхронизации связанных хаотических нелинейных динамических систем на линейном многообразии.2Н

2.6. Синхронизация хаотических колебаний в дискретных нелинейных динамических системах.Ш

2.6.1. Объединенная нелинейная динамическая система на основе отображения Хенона.Ш

2.6.2. Объединенная нелинейная динамическая система на основе отображения Лоци.9Л

2.6.3. Объединенная нелинейная динамическая система на основе двумерного гиперхаотического отображения.

2.6.4. Объединенная нелинейная динамическая система на основе одномерного отображения типа «тент».№

2.7. Синхронизация в нелинейных динамических системах, в которых для формирования хаотических колебаний используются системы фазовой автоподстройки.

2.7.1. Схема объединенной нелинейной динамической системы на основе системы фазовой автоподстройки.Ш

2.7.2. Анализ объединенной нелинейной динамической системы на основе неавтономной системы фазовой автоподстройки второго порядка.

2.7.3. Анализ объединенной нелинейной динамической системы на основе неавтономной системы фазовой автоподстройки третьего порядка.2W

2.7.4. Анализ объединенной нелинейной динамической системы на основе дискретных систем фазовой автоподстройки первого и второго порядков.

2.8. Выводы по главе 2.ябб

Глава 3. Синхронизация хаотических колебаний в нелинейных динамических системах с помощью расширенного фильтра Калмана.

3.1. Синхронизация хаотических колебаний в ведущей и ведомой системах с помощью методов оптимальной нелинейной фильтрации.26+

3.1.1. Алгоритм работы расширенного фильтра Калмана ведомой системы.2sl

3.1.2. Численный анализ синхронизации хаотических колебаний в объединенной нелинейной динамической системе с помощью расширенного фильтра Калмана.ЯО

3.2. Демодуляция хаотических колебаний с помощью расширенного фильтра Калмана.Ш

3.2.1. Воздействие гармонических и частотно-модулированных колебаний на хаотические колебания ведущей системы.2Ю

3.2.2. Воспроизведение в ведомой системе гармонических и частотно-модулированных колебаний с помощью методов оптимальной нелинейной фильтрации.ЦП

3.3. Выводы по главе 3.щ

Глава 4. Восстановление управляющих параметров нелинейных динамических систем с использованием методов реконструкции динамических систем.

4.1. Применение методов реконструкции динамических систем для восстановления управляющих параметров.Зоб

4.1.1 .Непрерывные системы.

4.1.2.Дискретные системы.3св

4.2. Алгоритмы формирования временных рядов и восстановление управляющих параметров.

4.2.1. Непрерывные системы.НО

4.2.2. Дискретные системы.

4.3. Выводы по главе 4.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка нелинейных динамических систем для формирования хаотических колебаний и их синхронизации»

Актуальность темы. Предметом исследования диссертационной работы являются нелинейные динамические системы (НДС), в которых осуществляется формирование хаотических колебаний, их синхронизация и обработка.

Хаотические колебания (динамический хаос) - детерминированные сложные непериодические колебания, возникающие в НДС. Изучение фундаментальных свойств динамического хаоса породило интерес, связанный с возможностью построения технических систем, в частности систем обработки информации, в которых использовались бы хаотические колебания. Таким системам обработки информации присуща высокая чувствительность, поскольку управление хаотическими режимами обеспечивается с помощью малых изменений параметров систем. К числу достоинств этих систем обработки информации следует отнести возможность их реализации с помощью относительно простых НДС.

Во многих исследовательских центрах, как в России, так и за рубежом в течение последних 15.20 лет ведутся интенсивные исследования методов формирования хаотических колебаний, их синхронизации и обработки информации с их использованием.

Лидирующее положение в отечественной науке в области использования хаотических колебаний занимают, прежде всего, ИРЭ РАН (Залогин Н.Н., Кислов В.В., Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О.), Саратовский государственный университет (Анищенко B.C., Астахов В.В., Безручко Б.П. и др.), Нижегородский государственный университет (В.Д. Шалфеев, В.Н. Белых, Матросов В.В., Шильников Л.П. и др.), Московский энергетический институт (технический университет) (Кулешов В.Н., Капранов М.В., Уда-лов Н.Н., Томашевский А.И. и др.), МГТУ им. Н.Э. Баумана (Шахтарин Б.И., Сидоркина Ю.А. и др.), ИКСИ академии ФСБ России (Сизых В.В., Тратас Ю.Г., Голубев С.В. и др.).

За рубежом проблемами практического использования хаотических колебаний занимаются во многих странах. Пионерские работы были выполнены в 1990-х годах в США Л. Чуа (L. Chua), Л. Пекора (L. Ресога) и Т. Кэрроллом (Т. Carrol), в Швейцарии - М. Хаслером (М. Hasler), в Японии -Т. Эндо (Т. Endo). Важные результаты получили также М. Кеннеди (М.Р. Kennedy), Г. Колумбан (G. Kolumban), А. Оппенгейм (A. Oppenheim), Г. Чен (G. Chen).

Трудами перечисленных ученых была теоретически обоснована и экспериментально подтверждена принципиальная возможность использования хаотических колебаний в объединенных НДС (системах обработки информации), состоящих из управляющей (задающей или ведущей) системы и управляемой (исполнительной или ведомой) системы. Тем не менее, многие проблемные вопросы остаются не решенными. В частности, нет ясности в вопросе о том, какие НДС могут быть использованы в системах обработки информации. Необходимы систематические исследования влияния различных возмущающих факторов на качество синхронизации хаотических колебаний и точность обработки информации при использовании различных НДС и способов их синхронизации.

Из перечисленного ясно, что для дальнейшего прогресса в разработке объединенных НДС, в которых осуществляется обработка информации, актуальными являются: 1) исследование формирования хаотических колебаний непрерывных и дискретных НДС, их классификация и сравнительный анализ с точки зрения возможности их использования в системах обработки информации; 2) исследование способов и точности синхронизации колебаний в объединенной НДС, состоящей из управляющей и управляемой систем с учетом возмущающих факторов - расстройки параметров систем и шумов; 3) исследование обработки информации в управляемой НДС в зависимости от способов синхронизации и интенсивности возмущающих факторов. Решение перечисленных задач составляет содержание настоящей диссертационной работы.

Цель диссертации состоит в том, чтобы путем последовательного комплексного анализа основных этапов работы систем обработки информации: формирования хаотических колебаний, их синхронизации и обработки информации при воздействии возмущающих факторов определить количественные характеристики синхронизации и обработки информации и с их помощью ответить на вопрос - возможна ли практическая реализация обсуждаемых систем обработки информации с приемлемыми показателями качества.

Основные задачи, решение которых составляет содержание диссертационной работы, продиктованы логикой построения рассматриваемых объединенных НДС. Их можно разделить на три группы: 1) исследование хаотической динамики непрерывных и дискретных НДС, их классификация и сравнительный анализ; 2) исследование методов и точности синхронизации хаотических колебаний в управляющей и управляемой НДС с учетом возмущающих факторов: расстройки параметров систем и шумов; 3) исследование качества демодуляции в непрерывных и дискретных управляемых НДС в зависимости от способов синхронизации и интенсивности возмущающих факторов.

Методы исследования. Решение поставленных выше задач осуществлялось с использованием методов теории нелинейных динамических систем, теории колебаний, теории автоматического управления, в том числе и статистической (в частности, методов статистической теории оптимальной нелинейной фильтрации), теории обработки сигналов, теории информации, теории глобальной реконструкции динамических систем, математической статистики.

Научная новизна:

1. Получены условия реализации хаотических режимов в непрерывных и дискретных НДС с нелинейными, кусочно-линейными и разрывными характеристиками нелинейных элементов, НДС с запаздывающей обратной связью, кольцевых непрерывных и дискретных системах фазовой автоподстройки (ФАП) и определены характеристики возникающих в них хаотических колебаний.

2. Предложены перспективные для синтеза систем обработки информации НДС с широким диапазоном управляющих параметров, при которых реализуются режимы хаотических колебаний с равномерной спектральной плотностью.

3. Разработаны математические модели синхронизации хаотических колебаний и обработки информации в НДС, состоящих из управляющей (ведущей) и управляемой (ведомой) систем. Путем численного анализа этих моделей определены показатели точности синхронизации и демодуляции с учетом возмущающих воздействий для следующих способов синхронизации управляющей и управляемой НДС: хаотическая самосинхронизация, осуществляемая путем декомпозиции колебательных систем; синхронизация и демодуляция с использованием методов нелинейной оптимальной фильтрации с помощью расширенного фильтра Калмана (РФК); синхронизация и демодуляция с использованием опорных хаотических колебаний.

4. Разработаны математические модели и эффективные численные алгоритмы обработки информации, основанные на методе глобальной реконструкции динамических систем. Определены показатели качества обработки информации с учетом воздействия возмущающих факторов для НДС Дуф-финга, Ресслера, Лоци и Хенона.

5. Подтверждена возможность практической реализации систем обработки информации, построенных на основе объединенных НДС, выбранных в результате сравнительного анализа характеристик формируемых ими хаотических колебаний, показателей качества синхронизации и обработки информации.

Практическая значимость работы:

1. Систематизированы методы исследования НДС, используемых для формирования хаотических колебаний.

2. Разработан метод комплексного исследования объединенных НДС, включающий в себя анализ формирования хаотических колебаний, их синхронизации и демодуляции при воздействии возмущающих факторов, позволяющий определить количественные характеристики качества синхронизации и демодуляции в зависимости от интенсивности возмущающих факторов.

3. Разработанные в диссертации модели и численные алгоритмы, а также полученные с их помощью результаты позволяют решать задачи формирования, синхронизации хаотических колебаний и их демодуляции.

4. Разработанная методология исследования хаотических колебаний, возникающих в НДС, полученные при выполнении диссертации результаты внедрены в учебный процесс кафедры СМ5 МГТУ им. Н.Э. Баумана «Автономные информационные и управляющие системы» и в Институте криптографии связи и информатики академии ФСБ России, что подтверждено актами о внедрении. С их использованием читаются лекции, выполняются научно-исследовательские работы студентов, проводятся практические занятия и лабораторные работы, подготовлено учебное пособие «Генераторы хаотических колебаний».

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

I. Модели, алгоритмы и результаты численного анализа процессов формирования непрерывных и дискретных хаотических колебаний в динамических системах с нелинейными, кусочно-линейными и разрывными характеристиками нелинейных элементов, НДС с запаздывающей обратной связью, непрерывных и дискретных систем ФАП.

2. Математические модели и алгоритмы демодуляции колебаний (с учетом расстройки управляющих параметров и воздействия шумов) в НДС, состоящих из управляющей (ведущей) и управляемой (ведомой) систем, в качестве которых используются различные непрерывные и дискретные НДС, формирующие хаотические колебания.

3. Математические модели, алгоритмы и результаты численного анализа процессов синхронизации колебаний в объединенных НДС, состоящих из управляющей и управляемой систем, при следующих способах синхронизации: хаотическая самосинхронизация, синхронизация с использованием методов нелинейной оптимальной фильтрации (расширенный фильтр Калмана), синхронизация с использованием опорных хаотических колебаний с учетом влияния возмущающих факторов.

4. Результаты исследования качества обработки информации в управляемой системе при использовании различных способов синхронизации хаотических колебаний с учетом влияния возмущающих факторов.

5. Математические модели и алгоритмы демодуляции, основанные на методе глобальной реконструкции динамических систем, при известной структуре НДС при воздействии шумов.

Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных результатов определяется корректностью используемого математического аппарата, основанного на методах теории нелинейных колебаний и теории автоматического управления. Правильность функционирования разработанных в диссертации алгоритмов и программ проверялась на классических НДС Лоренца, Ресслера, Чуа. Согласованность опубликованных для этих НДС характеристик с результатами, полученными с помощью разработанных алгоритмов и машинных экспериментов, позволяет сделать вывод о правильности разработанных автором алгоритмов и программ и полученных с их помощью результатов.

Внедрение результатов работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются составной частью ряда НИР, проводимых кафедрой СМ5 МГТУ им. Н.Э. Баумана и Институтом криптографии связи и информатики академии ФСБ России. Кроме этого результаты работы также внедрены в учебный процесс на кафедре СМ5 МГТУ им. Н.Э. Баумана «Автономные информационные и управляющие системы и в Институте криптографии связи и информатики академии ФСБ России, что подтверждено актами о внедрении.

Апробация диссертации. Полученные научные результаты докладывались и обсуждались на LIX и LXI научных сессиях Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С. Попова (НТОРЭС им. А.С. Попова), посвященных Дню радио ( 16 - 17 мая, 2004 и 2006 г., Москва); научно-техническом семинаре «Синхронизация, формирование и обработка сигналов» (3-5 июля 2003 г., Ярославль); на XXX научно-технической конференции МГТУ им. Н.Э. Баумана, посвященной 65-летию факультета «Специальное машиностроение» и памяти профессора Н.А. Лакоты (2003 г.); на научных семинарах кафедры СМ5 «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им. Н.Э. Баумана (апрель 2003 - 2006 г.) и общеуниверситетской научно-технической конференции (2003, 2004, 2005 г., Москва); на международной конференции «Схемы и системы связи» (30 июня - 2 июля 2004 г., Москва); на XXIX и XXX академических чтениях по космонавтике (январь 2005 и 2006 г., Москва); на международной научно-образовательной конференции-выставке «Научно-техническое творчество и моделизм в XXI веке», посвященной 175-летию основания МГТУ им. Н.Э. Баумана (18-22 сентября 2004 г., Москва).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в 2 отчетах по НИР, опубликованы в 5 статьях и представлены в 6 тезисах докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и изложена на &0 страницах, включает^? рисунков. Список литературы содержит Т-З наименования и занимает S страниц.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кобылкина, Полина Ивановна

выводы

В результате выполнения диссертационной работы осуществлен комплексный анализ основных этапов разработки НДС: формирования хаотических колебаний, их синхронизации и демодуляции с учетом воздействия возмущающих факторов. Для этого:

1. Разработаны модели и алгоритмы численного моделирования непрерывных и дискретных НДС с нелинейными, кусочно-линейными и разрывными характеристиками нелинейных элементов, НДС с запаздывающей обратной связью и систем ФАП. Получены условия реализации хаотических режимов в этих системах и исследована их нелинейная динамика: построены реализации, аттракторы и бифуркационные диаграммы, определены показатели Ляпунова, спектр, автокорреляционные функции. Предложены НДС, перспективные для синтеза исследуемых систем обработки информации и имеющие широкий диапазон управляющих параметров, при которых реализуются режимы хаотических колебаний с равномерной спектральной плотностью. К таким НДС относятся системы Чена, Анищенко-Астахова, Лоци и системы ФАП, формирующие хаотические колебания.

2. Разработаны математические модели и алгоритмы численного анализа процессов синхронизации и демодуляции хаотических колебаний в объединенных НДС, состоящих из ведущей и ведомой систем.

Для различных НДС и вариантов синхронизации: 1) с помощью хаотической самосинхронизации, 2) с использованием методов нелинейной оптимальной фильтрации (оптимальный фильтр - РФК), 3) с использованием опорных хаотических колебаний, выполнено исследование качества синхронизации и демодуляции с учетом влияния возмущающих факторов. Сравнительный анализ исследованных вариантов построения объединенных НДС позволяет охарактеризовать их следующим образом: 1) вариант хаотического синхронного отклика наиболее прост для практической реализации, но требует идентичных управляющей и управляемой НДС; 2) использование РФК в качестве синхронизатора, хотя и перспективно в плане развития современных методов обработки информации, но также требует прецизионных идентичных НДС и значительно сложнее для практической реализации; 3) применение опорного сигнала позволяет обеспечить надежную синхронизацию управляющей и управляемой систем, но требует дополнительной связи между ними.

3. Показано, что наименьшей чувствительностью режима синхронизации к расстройке параметров характеризуется системы Чена и Анищенко - Астахова - при расстройке параметров до 10% наблюдается удовлетворительный синхронизм колебаний (rji < 2%) и достаточно высокое качество обработки информации (г|2 > 15 дБ). Среди дискретных систем повышенной помехоустойчивостью обладает НДС Лоци - удовлетворительный синхронизм колебаний (г| ] < 2%) и достаточно высокое качество воспроизведения информации (г|2 > 10 дБ) наблюдается вплоть до СКО шума а = 0,12 (ОСШ = 4,5 дБ).

4. На основе методов глобальной реконструкции динамических систем для нелинейных динамических систем Дуффинга, Ресслера, Хенона и Лоци с учетом возмущающих факторов разработаны алгоритмы восстановления управляющих параметров путем математической обработки временных рядов хаотических колебаний. Показано, что при использовании процедуры сглаживания удовлетворительное качество воспроизведения информации обеспечивается при уровне шумов в обрабатываемом временном ряде до 30 дБ. При таком способе обработки информации отпадает необходимость в использовании управляемой прецизионной НДС, идентичной управляющей, что является преимуществом рассматриваемого способа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации подтверждена возможность практической реализации систем обработки информации, построенных на основе объединенных НДС, выбранных в результате сравнительного анализа характеристик формируемых ими хаотических колебаний, показателей качества синхронизации и обработки информации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кобылкина, Полина Ивановна, 2007 год

1. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная электроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997. -№10 - С. 4 - 19.

2. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002. - 252 с.

3. Залогин Н.Н., Кислов В.В. Широкополосные хаотические сигналы в радиотехнических и информационных системах. М.: Радиотехника, 2006.-208 с.

4. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Владивасова и др. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 544 с.

5. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. - 312 с.

6. Лоскутов АЛО., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учебное руководство Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1990. - 272 с.

7. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2004. - 320 с.

8. Гугенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

9. Мун Ф. Хаотические колебания: вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - 311 с.

10. Исследование режимов генераторов хаоса / Б.И. Шахтарин, П.И. Кобылкина, Ю.А. Сидоркина и др. // Радиотехника и электроника. -2003. Т. 48, №12. - С. 1471 - 1483.

11. Чуа JI.O. Хаотические системы (тематический выпуск) // ТИИЭР. -1987.-Т. 34, №8.-С. 5-43.

12. Мацумото Т. Хаос в электронных системах // ТИИЭР. 1987. - Т. 34, №8.-С. 44-55.

13. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. - 280 с.

14. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987-424с.

15. Inaba N. Chaos via Torus Breakdown in the Forced Van der Pol Oscillator // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Fundamental Theory and Applications.- 1991.-Vol. 38,No.6.-P. 112-118.

16. Yamaguchi K., Shibayama H. Bifurcation Phenomena and Chaotic Oscillations in a System Described by the Duffing Van der Pol's Eguation // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Fundamental Theoiy and Applications. - 1990.-Vol. 37, No.4.-P. 146-151.

17. Wen Bo Liu, Chen G. Control and synchronization of a 4-scroIl chaotic system // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Fundamental Theory and Applications. 1990. -Vol. 37, No.4. - P. 74 - 79.

18. Generation of N-scrolI Chaos Using Nonlinear Transconductors / K.N. Salama, S. Ogoguz, A.S. Elwakil // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Fundamental Theory and Applications. 1999. - Vol. 46, No.2. -P. 191-195.

19. Kennedy M.P. Chaos in the Colpitts Oscillator // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Fundamental Theory and Applications. 1994. -Vol. 41,No.ll.-P. 115-126.

20. Kennedy M.P. On the Relationship Between the Chaotic Colpitts Oscillator and Chua's Oscillator // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Fundamental Theory and Applications. 1995. - Vol. 42, No.6. - P. 134 — 142.

21. Томашевский А.И. Формирование хаотических колебаний в усилительных трактах с фазовым управлением: Дисс. . канд. техн. наук.-М,-2003.- 174 с.

22. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Справочное руководство: Пер. с нем. М.: Мир, 1982. - 512 с.

23. Elwakil A.S., Kennedy M.P. High frequency Wien-type chaotic oscillator // Electronic Letters. 1998. - Vol. 34, No. 12. - P. 20 - 22.

24. Elwakil A.S. Nonautonomous pulse-driven chaotic oscillator based on Chua's circuit // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Fundamental Theory and Applications. 2003. - Vol. 50, No.6. - P. 136 - 139.

25. Elwakil A.S., Ozoguz S. Chaos in pulse-excited resonator with self feedback // Electronic letters. 2003. - Vol. 39, No.5. - P. 68 - 72.

26. Ozoguz S., Elwakil A.S. On the realization of circuit-independent nonautonomous pulse-excited chaotic oscillator circuits // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Express briefs. 2004. - Vol. 51, No. 10.-P. 84-87.

27. Radwan A.G., Abdel-Latif El-Sedeek, Soliman A.M. MOS Realization of the Double-Scroll-Like Chaotic Equation // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Fundamental theory and applications. 2003. - Vol. 50, No.2. -P. 183 - 187.

28. Чернобаев В.Г. Генераторы хаотических колебаний на основе систем фазовой синхронизации: Дис. .канд. техн. наук. М. - 2001. - 183 с.

29. Шахтарин Б.И., Голубев С.В. Хаос в системе фазовой автоподстройки частоты третьего порядка // Радиотехника и электроника. 2002. -Т.47, №3. - С. 358 - 361.

30. Капранов М.В., Снедкова В.К., Удалов Н.Н. Радиотехнические системы с частотным и фазовым управлением: Конспект лекций / Под ред. М.В. Капранова. М.: Издательство МЭИ, 1998. - 48 с.

31. Капранов М.В. Элементы теории систем фазовой синхронизации: учебное пособие по курсу «Теория колебаний». М.: Издательство МЭИ, 2006.-208 с.

32. Шахтарин Б.И. Анализ кусочно-линейных систем с фазовым регулированием. -М.: Машиностроение, 1991. 192 с.

33. Матросов В.В. Нелинейная динамика генераторов с фазовым и частотным управлением процессы возбуждения и синхронизации сложных автомодуляционных колебаний: Дис. .докт. физ. -мат. наук. - Нижний Новгород. - 2006. - 412 с.

34. Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. -М.: Радио и связь, 1998.-488 с.

35. Рукавица К.А. Хаотическая динамика систем синхронизации: Дис. . канд. техн. наук. Москва. - 2001. - 144 с.

36. Кобылкина П.И., Сидоркина Ю.А., Морозова В.Д. Источники хаотических колебаний с дискретным временем // Научный Вестник МГТУ ГА. Радиофизика и радиотехника. 2003. - №62. - С. 140 - 147.

37. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1984.-528 с.

38. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдиториал УРСС, 2001.-325 с.

39. Хаос в схемах на переключаемых конденсаторах. Дискретные отображения / А. Родригес-Васкес, X. Хуэртас, Л. Чуа и др. // ТИИЭР,-1987. Т. 32, №8. -С. 78-89.

40. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. «Радиотехника». 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 2000.-462 с.

41. Радиотехника: Энциклопедия /Под ред. Ю.Л. Мазора, Е.А. Мачусского, В.И. Правды. М.: Издательский дом Додэка-ХХ1, 2002. -944 с.

42. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике: Цикл лекций. -Москва: Радио и связь, 2000. 584 с.

43. Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. Примеры и задачи: Учебное пособие для вузов / Под ред. В.В. Сизых. -М.: Радио и связь, 2004. (Т. 1) 408 с.

44. Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. Примеры и задачи. Оптимальная фильтрация, экстраполяция и моделирование: Учебное пособие для вузов / Под ред. В.В. Сизых. -М.: Радио и связь, 2004. (Т. 3) 408 с.

45. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.

46. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. - 368 с.

47. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2002. -265 с.

48. Морозов А.Г. Использование цифровых хаотических последовательностей для передачи информации: Дис. .канд. техн. наук.-М.-2001.-160 с.

49. Тратас Ю.Г. Применение методов статистической теории связи к задачам приема хаотических колебаний // Успехи современной радиоэлектроники. 1998.- №11.-С. 57-80.

50. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных отображениях // Проблемы нелинейной динамики. Детерминированный хаос. Изв. Вузов. 2002. - Т. 10, №5. - С. 27 - 35.

51. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. -М.: Радио и связь, 1999 г. 496 с.

52. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. М: Сов. радио, 1978.-600 с.

53. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems // Physical review letters. 1990. - Vol. 64, No 8. - P. 44 - 47.

54. Sobiski D. J., Thorp J. S. PDMA-1: Chaotic Communication via the Extended Kalman Filter // IEEE Transactions on Circuitsand Systems. Fundamental Theory and Applications. 1998. - Vol. 45, No. 2. - P.98 -105.

55. Sobiski D. J., Thorp J. S. PDMA-2: The Feedback Kalman Filter and Simultaneous Multiple Access of a Single Channel // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Fundamental Theory and Applications. 1998. - Vol. 45, No. 2.- P. 105-112.

56. Вентцель E.C. Теория вероятностей. M.: Гос. изд.-во физ.-мат. лит., 1962.-565 с.

57. Cincotti S., Teglio A. Generalized synchronization on linear manifold in coupled non-linear systems // IEEE Transactions on Circuitsand Systems. Fundamental Theoiy and Applications. 2002. Vol. 49, No.3. - P. 81 -85.

58. Хаслер M. Достижения в области передачи информации с использованием хаоса // Успехи современной радиоэлектроники. -1998. — №11. — С. 3 14.

59. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление / В.Д. Шалфеев, Г.В. Осипов, А.К. Козлов, А.Р. Волковский // Успехи современной радиоэлектроники. - 1997.-№10.-С. 27-49.

60. Шахтарин Б.И., Кобылкина П.И., Сидоркина Ю.А. Хаос в системе фазовой автоподстройки частоты третьего порядка // Проектирование систем: Тезисы докладов XXX научно-технической конференции. -М, 2003.-С. 21-25.

61. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. Москва: Радио и связь, 1991. -608 с.

62. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. -М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

63. Carroll T.L. Communicating with use of filtered, synchronized, chaotic signals // IEEE Transactions on Circuits and Systems: Fundamental Theory and Application. 1995. - Vol. 45, No. 3. - P. 105 - 110.

64. Шахтарин Б.И., Кобылкина П.И. Восстановление управляющих параметров хаотических генераторов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия Приборостроение. 2005. - №3. - С. 87 - 104.

65. Шахтарин Б.И., Кобылкина П.И. Алгоритмы извлечения информации из хаотических сигналов, основанные на обработке временных рядов

66. Научный Вестник МГТУ ГА. Радиофизика и радиотехника. 2005. -№93.-С. 61-73.

67. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1966.-664 с.