Разработка научных основ и методов прогнозирования термовязкоупругих свойств полимерных материалов текстильной и легкой промышленности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.19.01, доктор наук Рымкевич Павел Павлович

• Рымкевич Павел Павлович
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Рымкевич Павел Павлович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

1.1. Строение и структура полимерных текстильных материалов

1.2. Вязкоупругие процессы в полимерных материалах текстильной и легкой промышленности

1.3. Моделирование вязкоупругих процессов полимерных текстильных материалов в условиях переменной температуры

1.4. Основные положения линейной теории вязкоупругости наследственного типа

1.5. Кинетическая природа деформирования и разрушения

1.6. Основные положения нелинейной теории вязкоупругости наследственного типа

1.7. Термовязкоупругость

1.8. Выводы по главе

Глава 2 КВАНТОВАЯ ДВУХУРОВНЕВАЯ ТЕОРИЯ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

2.1. Конформация полимерных текстильных материалов. Метод активных конформационных элементов

2.2. Определяющее уравнение термовязкоупругости полимерных текстильных материалов с учетом различных конформаций

2.3. Моделирование термовязкоупругости материалов текстильной и легкой промышленности на основе квантовой двухуровневой модели конформационных элементов. Качественный анализ

2.4. Выводы по главе

Глава 3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ НА

ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА

3.1 Кольцо ^ и его свойства

3.2 Некоторые свойства некоммутативного умножения

3.3 Кольцо Яо. Свойства кольца л

3.4 Усреднение физических величин, оператор усреднения и его свойства

3.5 Инвариантность коммутационных соотношений. Замена переменных в кольце л

о

3.6 Выводы по главе

Глава 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ НА

ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА

4.1. Основные положения обобщенной квантовой теории переноса

4.2. Распространение простого одноканального свойства в одномерном случае

4.3. Квазиэнергия. Уравнение одномерного распространения

4.4. Введение в многоканальную теория распространения

4.5. Уравнение эволюции простых систем

4.6. Распространение некоторых физических величин

4.7. Термовязкоупругость с позиции квантовой теории переноса

4.8. Выводы по главе

Глава 5 МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДЕФОРМАЦИОННО-РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ МАТЕРИАЛОВ ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ НА ОСНОВЕ ДВУХУРОВНЕВОЙ МОДЕЛИ

5.1. Прогнозирование процесса ползучести полимерных материалов текстильной и легкой промышленности

5.2. Прогнозирование процесса релаксации напряжения материалов текстильной и легкой промышленности

5.3. Прогнозирование процесса растяжения материалов текстильной и легкой промышленности при постоянной температуре

5.4. Прогнозирование процесса растяжения материалов текстильной и легкой промышленности при переменной температуре

5.5. Выводы по главе

Глава 6 СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ МАТЕРИАЛОВ ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ НА ОСНОВЕ МНОГОУРОВНЕВОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА

6.1. Нелинейная вязкоупругость с различными конформационными элементами и принцип наследственности Больцмана

6.2. Двухбарьерная модель нелинейной термовязкоупругости материалов текстильной и легкой промышленности

6.3. Статистическое распределение активных конформационных элементов (АКЭ) для термореологически простых материалов

6.4. Многобарьерная энергетическая модель и логарифмическая шкала времени

6.5. Выводы по главе

Глава 7 ЗАВИСИМОСТЬ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПОЛИМЕРНЫХ ТЕКСТИЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ ОТ ИХ НАДМОЛЕКУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ

7.1. Модель складчатой структуры

7.2. Кинетические уравнения в моделях складчатой структуры

7.3. Спектр времен релаксации полимерных текстильных материалов в моделях со складчатой структурой

7.4. Определяющее уравнение механического поведения в модели со складчатой структурой

7.5. Определяющее уравнение механического поведения в модели с тремя устойчивыми состояниями

7.6. Выводы по главе

Глава 8 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННО-

РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПОЛИМЕРНЫХ ТЕКСТИЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ С НЕСКОЛЬКИМИ УСТОЙЧИВЫМИ

СОСТОЯНИЯМИ

8.1. Прогнозирование процесса ползучести материалов текстильной и легкой промышленности на основе модели с несколькими устойчивыми состояниями

8.2. Методика расчетного прогнозирования механического поведения полимерных материалов текстильной и легкой промышленности

8.2.1. Алгоритм прогнозирования вязкоупругого поведения полимерных материалов текстильной и легкой промышленности в однобарьерной модели на основе диаграммы

растяжения

8.2.2. Алгоритм прогнозирования вязкоупругого поведения полимерных материалов текстильной и легкой промышленности на основе анализа кривых ползучести

8.3. Примеры прогнозирования вязкоупругого поведения материалов текстильной и легкой промышленности

8.4. Рекомендации по использованию теоретических исследований для прогнозирования термовязкоупругих свойств полимерных материалов текстильной и легкой промышленности

8.5. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка научных основ и методов прогнозирования термовязкоупругих свойств полимерных материалов текстильной и легкой промышленности»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Полимерные материалы в виде волокон, нитей, пленок, а также изделия на их основе, производимые на предприятиях текстильной и легкой промышленности, находят широкое применение во многих отраслях народного хозяйства. Рыночный принцип востребованности волокон и волокнистых материалов базируется на следующей логистической последовательности: изделие определенного функционального назначения ^ текстильный материал (его структура) ^ волокна (необходимый волокнистый состав).

Серьезная конкуренция на рынке материалов текстильной и легкой промышленности ставит перед текстильным материаловедением задачи по исследованию свойств новых и имеющихся материалов, по разработке методов прогнозирования деформационных, восстановительных и релаксационных процессов, по совершенствованию структуры указанных материалов и по проектированию новых полимерных материалов, обладающих требуемыми функционально-эксплуатационными свойствами.

Большой вклад в формирование современных представлений о физических механизмах и закономерностях проявления релаксационных процессов в полимерных материалах внесли А.А. Аскадский, Г.М. Бартенев, В.Е.Гуль, Ю.В. Зеленев, В.А. Каргин. И.И. Перепечко, В.Р. Регель, Г.Л. Слонимский, Т.И. Соголова, А.И. Слуцкер, Ю.С. Уржумцев, Р.Д. Максимов и др. В развитие идей в этом направлении значительный вклад внесли также М Вильямс, Р. Ландел, Г. Лидерман, А. Тобольский, Дж. Ферри, Ф. Джейл и др.

Общие принципы прогнозирования свойств полимерных материалов разрабатывались такими представителями науки, как В.А. Каргин, С.Н. Журков, А.А. Тагер, Г.Л. Слонимский, А.А. Аскадский, Г.Н. Кукин, К.Е. Перепелкин, С.П. Папков, А.Я. Гольдман, В.Т. Томашевский, А.А. Ильюшин, В.А. Пальмов, Ю.Н. Работнов, А.М. Сталевич, В.Г. Тиранов, А.Г. Макаров, А.В. Демидов и др.

Работы этих и других исследователей внесли серьезный вклад в науку о полимерах.

Не все известные на сегодняшний день теории деформирования ориентированных полимеров позволяют с достаточной точностью и достоверностью описывать динамическое напряженно-деформационное поведение указанных материалов. Большинство существующих методов количественного описания динамических деформационных свойств полимерных материалов текстильной и легкой промышленности, основанные на использовании механических моделей или эмпирических соотношений, не могут дать полного представления о механических свойствах материалов в реальных условиях эксплуатации.

В настоящее время теоретической основой построения методов расчетного прогнозирования деформационных процессов считается их кинетическая природа. Методики прогнозирования нагруженных состояний полимерных материалов текстильной и легкой промышленности в области эксплуатационных нагрузок основаны на численном решении интегральных определяющих уравнений типа Больцмана-Вольтерра и достаточно хорошо проработаны в работах А.Г. Макарова, А.В. Демидова, А.М. Сталевича и других. Однако, в настоящее время назрела необходимость разработки универсальной теории прогнозирования термовязкоупругих свойств указанных материалов.

Таким образом, тема диссертационной работы по разработке научных основ прогнозирования термовязкоупругих свойств полимерных материалов текстильной и легкой промышленности является актуальной и обусловлена:

- необходимостью повышения конкурентоспособности полимерных материалов текстильной и легкой промышленности, возможной на основе оптимизации их структуры, непосредственно влияющей на функционально -эксплуатационные свойства этих материалов.

- отсутствием универсальной теории прогнозирования термовязкоупругих процессов любой степени сложности материалов текстильной и легкой промышленности;

-отсутствием универсальных методик моделирования и прогнозирования термовязкоупругих свойств указанных материалов.

Цель работы состоит в разработке универсальной научной теории прогнозирования термовязкоупругих свойств полимерных материалов текстильной и легкой промышленности.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

- разработка научных основ и математических моделей для описания и прогнозирования термовязкоупругих свойств материалов текстильной и легкой промышленности;

- определение условий и границ применимости разрабатываемой теории и математических моделей термовязкоупругих свойств материалов текстильной и легкой промышленности;

- разработка методов определения основных параметров-характеристик математических моделей с учетом экспериментальных данных;

- развитие теории и современных методов математического моделирования и прогнозирования термовязкоупругих свойств материалов текстильной и легкой промышленности;

- физическое обоснование деформационного поведения полимерных текстильных материалов в различных режимах вязкоупругости;

- разработка метода оптимального выбора математической модели в зависимости от поставленных задач по прогнозированию деформационных свойств материалов текстильной и легкой промышленности;

- нахождение аналитических решений для определяющих уравнений вязкоупругости, соответствующих различным моделям;

- определение аналитических зависимостей, связывающих параметры-характеристики различных математических моделей термовязкоупругости между собой.

Решение поставленных перед текстильной и легкой промышленностью задач соответствует "Стратегии развития легкой промышленности России на период до 2015 года", разработанной по поручениям Президента РФ (№ Пр-1369

от 03.07.08) и Правительства РФ (№ ВП-П9-4244 от 15.07.08), а также рекомендованной к продлению на срок до 2020 года новой редакции "Стратегии" (Постановление Правительства РФ от 07.08.15).

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

- на основе квантовой природы процесса деформирования полимерных материалов введено понятие кванта деформации и предложена нелинейная физическая модель, позволяющая объяснять и прогнозировать термовязкоупругое поведение различных материалов текстильной и легкой промышленности;

- обоснован принцип наследственной вязкоупругости и общая структура ядра ползучести для материалов текстильной и легкой промышленности на основе разработанной автором квантовой теории переноса;

- найдены аналитические закономерности между параметрами термовязкоупругости для материалов текстильной и легкой промышленности в определенных режимах деформирования, вытекающие из квантовой теории, позволяющие проверять применимость предложенных моделей;

- получены аналитические решения определяющих уравнений для определенных режимов деформирования материалов текстильной и легкой промышленности, соответствующих различным физическим моделям;

- установлены взаимные связи основных параметров-характеристик предлагаемых квантовых моделей и параметров-характеристик, полученных другими методами математического моделирования вязкоупругих свойств материалов текстильной и легкой промышленности;

- предложены методы определения основных параметров-характеристик моделей термовязкоупругости полимерных материалов текстильной и легкой промышленности, полученные на основе экспериментальных данных;

- на основе квантовой теории переноса предложены новые определяющие уравнения для прогнозирования термовязкоупругих свойств материалов текстильной и легкой промышленности;

- разработаны новые математические методы прогнозирования термовязкоупругого поведения материалов текстильной и легкой

промышленности: метод замены операторов, метод квантовых колец, метод усреднения, позволяющие получать аналитические решения сформулированных выше задач.

Теоретическая значимость работы состоит в развитии теоретических основ прогнозирования термовязкоупругих свойств материалов текстильной и легкой промышленности, где в частности:

- предложены определяющие уравнения, описывающие деформационно-релаксационные свойства полимерных текстильных материалов в широком диапазоне нагрузок и деформаций;

- разработаны методы определения основных параметров физических моделей термовязкоупругости материалов текстильной и легкой промышленности на основе экспериментальных данных;

- предложены критерии выбора математических моделей термовязкоупругих свойств материалов текстильной и легкой промышленности;

- показано, что долговременная ползучесть протекает с постоянной скоростью, экспоненциально зависящей от уровня механического напряжения;

- для предложенных математических моделей термовязкоупругих свойств материалов текстильной и легкой промышленности и определенных режимов деформирования найдены аналитические решения определяющих уравнений;

- физически обоснованы существующие методы прогнозирования деформационно-релаксационных процессов материалов текстильной и легкой промышленности и показаны границы их применимости;

- установлена взаимосвязь между надмолекулярной структурой полимерных текстильных материалов и моделями их термовязкоупругости;

- выявлены особенности термовязкоупругости материалов текстильной и легкой промышленности, позволяющие определить границы применимости той или иной математической модели.

Практическая значимость работы состоит в:

- практических рекомендациях по совершенствованию методик прогнозирования деформационного поведения материалов текстильной и легкой промышленности в различных режимах эксплуатации;

- предложениях по совершенствованию известных методов моделирования и прогнозирования термовязкоупругих свойств материалов текстильной и легкой промышленности.

Кроме того, практическая значимость полученных результатов подтверждается актами внедрения результатов диссертационной работы и конкретной реализацией разработанных методов прогнозирования термовязкоупругости материалов текстильной и легкой промышленности.

Методология и методы исследования. При проведении теоретических исследований в работе использовался математический аппарат системного анализа экспериментальных данных на основе современных представлений статистической физики и материаловедения полимерных материалов текстильной и легкой промышленности, методы математического моделирования с применением основных положений механики деформируемого твердого тела, теории упругости, теории вязкоупругости, методов дифференциального и интегрального исчисления, методы функционального анализа, операторного исчисления и приближенных вычислений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новая нелинейная квантовая модель, описывающая термовязкоупругое поведение полимерных текстильных материалов.

2. Методы определения основных параметров квантовых моделей термовязкоупругости на основе экспериментальных данных.

3. Метод разделения остаточного (необратимого) компонента деформации на условно-обратимую и истинно необратимую части.

4. Определяющие уравнения для различных нелинейных квантовых моделей термовязкоупругости материалов текстильной и легкой промышленности.

5. Аналитические закономерности, являющиеся следствием решений уравнений квантовой теории термовязкоупругости полимерных материалов текстильной и легкой промышленности.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Диссертация соответствует области исследования: 1 - Строение, свойства и показатели качества натуральных и химических волокон, нитей и полупродуктов прядения, ткачества и отделки, 3 - Строение, свойства и показатели качества сырья, полупродуктов и готовых швейных изделий, 8 - Методы проектирования и прогнозирования свойств и показателей качества материалов и изделий текстильной и легкой промышленности, 9 - Методы оптимизации параметров структуры и свойств материалов и изделий текстильной и легкой промышленности паспорта научной специальности 05.19.01 - Материаловедение производств текстильной и легкой промышленности.

Степень достоверности результатов обеспечивается корректностью постановки научной задачи и её декомпозиции, а также строгостью допущений и ограничений, принятых при поиске решений частных задач исследования. Достоверность результатов подтверждается всесторонним анализом предшествующих научных работ по тематике исследования, привлечением базовых научных дисциплин и апробированного математического аппарата по оцениванию адекватности разработанных моделей термовязкоупругости материалов текстильной и легкой промышленности, непротиворечивостью и совпадением частных результатов диссертации с результатами работ других авторов, согласованностью теоретических положений диссертации с результатами экспериментов, положительным эффектом от внедрения результатов работы.

Апробация результатов. Основные результаты исследований, представленные в 42 докладах, прошли положительную апробацию на 32 международных, всероссийских, общегородских, межвузовских и других научных симпозиумах, конференциях, семинарах, в частности на: IV Всесоюзной научно-технической конференции «Химические волокна: ассортимент, качество, переработка» (Калинин, 1989), Всесоюзной научно-технической конференции

«Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Ленинград, 1990), Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы прочности конструкций» (Ленинград, 1990), Всесоюзном научно-техническом семинаре «Механика и технология полимерных и композиционных материалов и конструкций» (Санкт-Петербург, 1992), 25-ой Еврофизической конференции по макромолекулярной физике «Ориентационные явления в полимерах» (Санкт-Петербург, 1992), Международной конференции «Проблемы механики твердых и деформируемых тел (Санкт -Петербург, 1993), Международном научном конгрессе «Фундаментальные проблемы естествознания (Санкт -Петербург, 1998), XVI Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел» (Санкт -Петербург, 1998), 27-ой и 28-ой Летней международной научной Школе-семинаре «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. Актуальные проблемы механики» (Санкт -Петербург, 1999, 2000), Международной конференции по химическим волокнам «Химволокна - Тверь- 2000» (Тверь, 2000), Международном научном конгрессе «Фундаментальные проблемы естествознания и техники» (Санкт -Петербург, 2000, 2004, 2006), Межвузовской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития сферы сервиса» (Санкт -Петербург, 2001), Всероссийской конференции «Бытовые машины и приборы: подготовка кадров, производство, сервис» (Санкт -Петербург, 2002), 2-ой Всероссийской конференции «Машины, агрегаты и приборы: Бытовое обслуживание и коммунальное хозяйство» (Санкт -Петербург, 2005), 1-ой Всероссийской научно-технической конференции «Строительная теплотехника: Актуальные вопросы нормирования» (Санкт -Петербург, 2008), II Всероссийской научно-технической конференции «Строительная теплофизика и энергоэффективное проектирование ограждающих конструкций зданий» (Санкт -Петербург, 2009), Международной научно-практической конференции «Инновационные процессы в сфере сервиса: проблемы и перспективы» (Санкт -Петербург, 2009, 2010), II Международной научно-практической конференции «Тенденции и инновации современной науки» (Краснодар, 2012), Международной научно-практической конференции

«Естественные и математические науки: Актуальные вопросы и тенденции развития» (Новосибирск, 2013, 2014), 25-ой международной научной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт -Петербург,

2013), 31-ой международной научно-практической конференции «Современная медицина: актуальные вопросы» (Новосибирск, 2014), 2-ой Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы создания и эксплуатации вооружения, военной и специальной техники» (Санкт -Петербург,

2014), Всероссийской научно-методической конференции «Современные проблемы механики и её преподавание в вузе» (Санкт-Петербург, 2014, 2015), XXVI Международной конференции «Математическое и компьютерное моделирование в механике деформируемых сред и конструкций» (Санкт-Петербург, 2015), Всеармейской научно-практической конференции «Инновационная деятельность в Вооружённых Силах Российской Федерации» (Санкт -Петербург, 2016), Международной конференции «Vibroengineermg-2016 / Special Topic: Dynamics of Strong Nonlinear Systems» (Москва, 2016), Объединенном городском семинаре «Механика, материаловедение и технология полимерных и композиционных материалов» НТО им. акад. А.Н. Крылова (Санкт-Петербург, 1991-2007), совместных научных семинарах кафедр сопротивления материалов, материаловедения и физики Санкт-Петербургского государственного университета промышленных технологий и дизайна.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 124 научных труда, из них 2 монографии, 34 статьи в рецензируемых научных изданиях из "Перечня ВАК Министерства образования и науки РФ". Среди указанных публикаций: 13 статей в журналах, цитируемых в международных базах научного цитирования "Scopus" и "Web of Science", 3 патента на изобретения, 6 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ в Российском агентстве по патентам и товарным знакам.

Глава 1 МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

1.1 Строение и структура полимерных текстильных материалов

Механические свойства ориентированных полимеров и, в частности, нитей и волокон, обусловлены их структурной организацией. Исследованиям структуры синтетических нитей посвящено большое количество работ. Существенный вклад в развитие представлений о молекулярной организации полимерных волокон внесли исследования С. Н. Журкова, В. А. Каргина, Г. Л. Слонимского, С. Я. Френкеля, Г. М. Бартенева, К. Гесса, П. Флори, Дж. Херла, Р. Хоземана, Ф. К. Джейла и других.

Надмолекулярная организация неориентированных полимеров разнообразна и, в зависимости от типа полимера и условий его получения, может принимать различные морфологические формы: сферолиты, дендриты, пачки, ламеллярные, фибриллярные и другие образования [36, 98, 167, 269].

Для ориентированных полимеров, в том числе волокон, характерным является наличие фибриллярной структуры, образующейся в процессе формования и последующей ориентационной вытяжки [69, 167, 253, 321]. Согласно современным представлениям, изложенным, в частности, в работах [167, 200], полимерная нить состоит из пучка вытянутых вдоль оси волокна агрегатов-фибрилл, которые, в свою очередь, состоят из микрофибрилл диаметром от десятков до сотен ангстрем и длиной десятки микрон [167]. Микрофибриллы состоят из чередующихся аморфных и кристаллических областей, в которых кристаллиты имеют складчатые конформации макроцепей, ориентированных вдоль главной оси фибриллы и направления вытяжки, а аморфные участки представлены разупорядоченным набором цепей, часть из которых соединяет соседние кристаллиты, часть выходит за пределы

микрофибриллы и связывает ее с соседями и часть, возможно, возвращается в тот же кристаллит.

Структура фибриллярных образований в ориентированных аморфных полимерах характеризуется отсутствием дальнего порядка. Тогда как кристаллические области структуры полимеров характеризуются наличием трехмерного (часто, однако, нарушенного) дальнего порядка в расположении звеньев и цепей макромолекул. При образовании кристаллических участков структуры макромолекулы могут частично складываться. Поэтому существует два типа укладки полимерных молекул в кристаллит - кристаллиты на выпрямленных цепях и кристаллиты на складчатых цепях. Число складок зависит от гибкости макромолекул, величин межмолекулярных взаимодействий и условий кристаллизации. При этом в гибкоцепных полимерах число складок сравнительно велико, а макромолекулы жесткоцепных полимеров упаковываются с минимальным образованием складок или даже без них [69, 98, 101, 164, 166]. Аморфные области структуры характеризуются наличием ближнего и отсутствием дальнего порядка в расположении элементарных звеньев отдельных макромолекул и взаимном расположении макромолекул, а их размеры отличаются полидисперсностью. Таким образом, имеются три области: внутрифибриллярные

- кристаллит и аморфная часть и межфибриллярная аморфная область (мезоморфные области). Соседствующие кристаллит и аморфная прослойка составляют большой период микрофибриллы.

Такое строение ориентированного кристаллического полимера объясняет особенности его механических свойств. Так, прочность ориентированного полимера в направлении вытяжки продольная на порядок выше поперечной прочности. Это объясняется тем, что нагрузка в продольном направлении воспринимается большим числом частично выпрямленных цепей, а в поперечном

- редкими проходными цепями, связывающими фибриллы. Слабая связь фибрилл в поперечном направлении объясняет хорошо известные факты расщепления под нагрузкой волокон кристаллического полимера.

Соотношение размеров кристаллических и аморфных областей структуры полимеров характеризуется степенью кристалличности, зависящей от вида и молекулярного строения волокнообразующего полимера, условий получения образцов и некоторых других факторов. Значения степени кристалличности для большинства ориентированных полимеров находятся в пределах от 40 до 75 %, хотя для некоторых полимеров (поливинилхлорид, полиакрилонитрил) они меньше, а для полиэтилена высокой плотности и политетрафторэтилена степень кристалличности достигает 95 %.

Следует отметить, что деление элементов надмолекулярной структуры на кристаллические, межкристаллитные и межфибриллярные аморфные области в определенной мере является условным. Надмолекулярная организация включает также области с промежуточным строением, которые возникают преимущественно на границе кристаллитов. По данным работы [167] объем областей с промежуточной упорядоченностью составляет около 20 %.

1.2 Вязкоупругие процессы в полимерных материалах текстильной и

легкой промышленности

Механические свойства волокон определяются особенностями их структуры на всех уровнях организации и ее изменением при деформировании, включающем как обратимые, так и необратимые процессы. При растяжении волокон происходит изменение фибриллярной структуры: повышение ориентации кристаллитов и макромолекул в аморфных участках, деформация их в осевом направлении.

Ориентация кристаллитов в волокнах обычно достаточно высока и поэтому ее увеличение при растяжении сравнительно невелико. В то же время ориентация макромолекул в аморфных участках при растяжении существенно возрастает [69, 290].

Различия в строении кристаллитов и межкристаллитных аморфных участков определяют существенные различия в характере их деформирования под действием внешней нагрузки. В кристаллических областях нагрузка распределяется достаточно равномерно, и деформирование макроцепей определяется их совместным растяжением. Эти деформации в широком диапазоне нагрузок происходят упруго и при снятии внешней нагрузки полностью обратимы [253, 270].

Деформацию аморфных областей из-за разнодлинности цепей можно разделить на две составляющие: упругое растяжение коротких макромолекул за счет изменения длин связей и изменения валентных углов и деформация более длинных цепей, вызванная движениями свернутых участков макромолекул и протекающая по конформационному механизму. По мере роста нагрузки возрастает средне-молекулярная ориентация и увеличивается число вовлекаемых в процесс деформирования макромолекул [10], что приводит к увеличению модуля и неупругому характеру процесса нагружения.

Таким образом, деформационные свойства волокон определяются главным образом деформируемостью межкристаллитных аморфных областей. Что же касается межфибриллярных аморфных прослоек, то их вклад в общую деформацию изучен мало. До сих пор нет единого мнения относительно доли проходных цепей в аморфных областях. Так что следует признать, что к настоящему времени нет достаточно надежных прямых экспериментальных методов детального изучения аморфных областей и одним из путей решения этих вопросов может быть дальнейшее исследование, моделирование и прогнозирование механических свойств волокон.

Механические свойства синтетических волокон и нитей, как уже отмечалось, определяются строением полимеров, на основе которых они созданы, и особенностями протекающих в них молекулярно-кинетических процессов, зависящих от характера теплового движения [19].

К молекулярно-кинетическим процессам относится широкий круг явлений: диффузия, самодиффузия, кристаллизация, плавление, испарение, растворение,

стеклование, размягчение, деформируемость, разрушение, механические и диэлектрические потери, вязкое течение и многие другие. Только часть этих процессов представляет собой релаксационные явления, столь характерные для полимеров. К ним относятся все вязкоупругие свойства (процесс релаксации механических напряжений, механические потери при многократных деформациях, вязкое течение), а также процессы структурного и механического стеклования.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Рымкевич Павел Павлович, 2018 год

- — -

^ (У | Ах | £) = - — 1п (Л, х|х ±Ах,£) 5=о (4.38)

/ (у | Ах | £) = - — 1п Я^х | х ± Ах,£)1=о

0

да

Смысл каждого из них очевиден. Например, ^ (у\Ах\£) - среднее время

—

прохождения в направлении оси Ох слоя (х;х + Ах), если свойство «падает» на этот слой на канал ц в момент времени /, а выход осуществляется на канале £.

Введем понятие средней скорости прохождения свойством м слоя Ах на канале £:

\ое/ АХ

—

Дадим определение понятия скорости свойства M на канале £ . Скоростью свойства M в точке x в момент времени t в направлении оси Ox (против оси Ox) на канале £ будем называть предел средней скорости, если он существует, при толщине слоя Ax — 0,

Def Ax Ax c^ (t, x, £) = lim--= - lim

0 t, (£|Ax|£) Л 5=o(£, x| x + Ax,£)

^ '0 (£Axl£) Л s=0

Или в виде:

c-(t, x,£) = S— (£| t, x|£)

S=0

Скорость свойства м на канале £ есть характеристика не только самого свойства, но и среды в данном базисе. Таким образом, у сложного свойства может иметься несколько скоростей (например, скорость звука в твердых телах). Понятие скорости свойства м на канале £ легко обобщается и на непрерывное распределение каналов. Аналогично с п. 4.2 можно ввести и понятие «ускорения» свойства м на канале £. Учитывая нестационарный принцип, можно утверждать, что все выражения для одноканального случая справедливы и для многоканального (например, выражения (4.21) и (4.24)) с учетом некоммутативности умножения. Уравнения одномерного распространения (4.28) в этом случае примут вид:

— —г

— —г

ф^ (х, Л

с^ (х, г, Л)

—

+ — ф (х, г, Л)]+ф^ (г, х, п) о ©^ (У | г, х | Л) - Ф^ (х, г, у) о ^ (у | г, х | Л) = о

—х

(4.40)

ф^ (х, г, Л) ^

с^ (х, г, Л)

+ — [Ф^ (х, г, Л)]+ф^ (г, х, п) о ©^ (у | г, х | Л) - Ф^ (х, г, у) о ^ (у | г, х | Л) = о

—х

Таким образом, уравнения (4.40) и уравнения (4.28) имеют один и тот же вид с той лишь разницей, что вместо обычного умножения рассматривается умножение в смысле «о». Использование данного метода и метода диаграмм позволяет расширить классическую теорию переноса [7, 61, 86, 87, 100].

Заметим, что в теории термовязкоупругости реологически сложных материалов, к которым можно отнести материалы текстильной и легкой промышленности, изложенный выше метод приводит к многотемпературным моделям. Уравнения (4.40) представляют собой уравнения теплопереноса для механических моделей с внутренней структурой [112, 92, 93].

Вернемся к понятию взаимодействия свойств. Как указывалось выше, описание взаимодействия свойств можно вести двояко. Пусть имеются два взаимодействующих свойства М (с N каналами распространения) и М2 (с N каналами распространения).

Первый подход будет заключаться в том, что можно рассмотреть свойство м (М = М ® М) с N = N + N каналами распространения. При этом квазигамильтониан целесообразно представить в виде:

Н =

Н Н

2 /

(4.41)

сохранив уравнения распространения для N каналов. Причем, Н относится к первому свойству, а Н2 - ко второму. Матрицы Н и Н' (число элементов N х N в каждой) описывают взаимодействие свойств Н и Я2. Если матрицы Н и Н состоят только из нулевых элементов, то будем говорить, что свойства М и М2 не взаимодействуют. Взаимодействие будем называть слабым, если элементы

матриц Н' и И" малы. Малость элементов будем определять применимостью математической теории возмущений к данному объекту. Из вышесказанного следует, что любое N -канальное свойство можно рассматривать как N одноканальных (простых) взаимодействующих свойств. Таким образом, простое комплексное свойство можно рассматривать как два простых действительных свойства, взаимодействующих друг с другом. При этом, по мере распространения, действительная часть превращается в мнимую и наоборот. В стационарном состоянии явно виден обменный характер взаимодействия.

Второй подход - полевой. Некоторые характеристики свойства Мх определяют токи свойства М. Эти токи определяют поле ^, т.е. свойство с источниками (см. уравнения Максвелла для свойств). Промежуточное свойство I определяет локальные характеристики среды для второго свойства М2 и, тем самым, воздействует на него и наоборот. Причем для свойства I справедливы такие же по виду уравнения распространения, но с источниками.

Кратко остановимся на описании распространения простого свойства в трехмерном пространстве. Выберем в данной точке пространства некоторое направление, характеризуемое единичным вектором ерв, где р,в, например, суть

углы Эйлера. Уравнения (4.40) в этом случае примут вид:

А дt

Ф^ (р, 0)

^ (р, 0)

± ■ УФ_ (р, 0) + Ф_ (~, 0) о 0^ (р, 01 р, 0) -

(4.42)

Ф_> (р, 0) о а^ (р, 0| р, 0) = 0.

л

2л ~2

Здесь Ф(р,0)о0(р,0| р,0) = | |ф(р,0)0(р,0| р,0)СрС0

о _ л 2

В данном случае переменные р и в являются характеристиками свойства. В частном случае, если показатели среды можно представить в виде:

(р, 0) = + Аа^е

^ . (р,0).

ж- ©) = ж- + Ах- ),

где ^, х, Ла^, Лж_> и с могут зависеть от координат и времени и не

^ ^ ^ ^

зависят от угла ориентации, то уравнение (4.42) для простого скалярного свойства можно представить в виде (4.30).

В общем случае, пусть эволюция изучаемого аддитивного свойства м описывается зависимостью плотности свойства п(г, х,£). Под плотностью свойства м понимается количественная характеристика свойства в единичном объеме

пространства действительных непрерывных переменных хх, х2....., образующих

базис линейного векторного пространства в зависимости от переменных г и £: г = , ¿2.... ^} - элементы ь -мерного векторного пространства, описывающие

эволюцию данного свойства, например, текущее время г,£ = .....} - набор

переменных, описывающих структуру свойства, например, цвет свойства,

направление распространения вдоль заданной оси (—) и т. д.

В данной работе ограничимся рассмотрением линейного случая. Примем, что состояние свойства при г = 1 полностью определяет его состояние при всех остальных значениях г. Будем представлять п(1, х,£) в виде:

п( 1,х,£) = | п(1,х,7) о 0(1,х- 1,х - х,£)¿Уц (4.43)

(V)

Здесь 0( 1,х,у\т,г,£) играет роль матрицы плотности в физике [117] и описывает переход «свойства» из одного состояния в другое, знак «0» означает суммирование по дискретным и интегрирование по непрерывным значениям параметра 7, т = 1 -1, г = х - х - векторы переноса.

Примем, что все значения хи принадлежат всей числовой оси. Рассмотрим Фурье-образ О, а именно:

N

С Л '

G (г, х,7\т, к,£) = I ...I е "=1 G(t, х,7\т, т,£) йтх ..йт^

V —ад J

N

—ад»'

Тогда G можно представить в виде:

G(^x,v|т + Ат,k,4) = G(t,x,v|т,k,4)о АG(t + г,х, 41 Ат,k,4) (4.44)

Выражение (4.41) представляет по сути уравнения Колмогорова-Смолуховского-Чепмена для данного случая. Знак А понимается в смысле (3.27) только по всем N - переменным.

Учитывая, что О(г,х,у|0,k,4) = - единица соответствующего кольца, и обозначая

д -

И (г, х к ,4) = — О (г, х, у| т, к ,4)

дт„

г=0, получим: Ат = йТт

д — —

— а (t, х, 41 т, k,4) = О (t, Л, 41 т, k, 4) о АНп ^ + т, x, 41 k, 4) (4.45)

дтп

Ат = т т ^ 0

д — — д — -О ^,x,4| т,к,4) = Н ^,х,^| к,4) о АО (^х,^| т,к,4) +-О ^,х,^| т,к,4).

дтп —п

Отсюда для О имеем следующее уравнение:

д

ди

О ^ т) = О (t, т) о АНп^ + т) - Нп ^) о АО т). (4.46)

Выражения Ии (г,х,^, к,4) строятся для каждой модели свойства и зависят как от структуры свойства, так и от вида модели.

4.5 Уравнение эволюции простых систем

Физические процессы в окружающем мире описываются набором характеристик, которым можно придать некоторые числовые значения. Под процессом будем понимать упорядоченную последовательность событий, характеризуемую набором определенных числовых величин. Человеческое

сознание (наблюдатель) способно лишь устанавливать причинно-следственные связи между различными явлениями (по крайней мере, Так принято считать). Частично упорядоченное множество причинно-следственных связей и определяет такое понятие как время. Рассмотрим систему, состояние которой будем описывать набором обобщенных координат д... ^ - действительных чисел. Кроме того, система может характеризоваться совокупностью дискретных параметров, которым взаимооднозначно будем приписывать некоторое натуральное число, называемое каналом распространения. Такие системы будем называть простыми.

Пусть в момент времени г система находится в одном из возможных состояний 7 и обобщенными координатами 4 = {д...} - вектор в соответствующем конфигурационном пространстве. Введем матрицу перехода Л7£ (г,д ...дм | т \\...\) = Л£ (г,д|т\в\ которую будем интерпретировать как плотность вероятности перехода системы с канала 7 на канал £ за время т и обобщенные координаты изменяются на величину \. Тогда для матрицы перехода можно написать следующее равенство:

/ \ +ад / ^ \

Л7Д г, 4 |т|\)= I {Л7Д г, 4 т т )л,Д г + тх, 4 + т I т - Т11 т )й о =

-—ад (4.47)

= Л7У( t, 4 Ы ^) 0 ЛУ£( г + ь 4 + ^\т-т\ \ - т).

Здесь и далее по повторяющимся индексам V подразумевается суммирование.

Уравнение (4.47) представляет собой известное уравнение Смолуховского-Колмогорова-Чепмена и означает переход системы из одного состояния в другое через всевозможные промежуточные состояния, согласно известным теоремам сложения и умножения вероятностей. Таким образом, рассматриваемые процессы являются марковскими. Воспользуемся обратным преобразованием Фурье. Имеем:

Л14(г,д\т\Р)= |N1 exp I -Р■в\к114{(,д\т\вО

—да V у

= Л , д т Р )о Л ^ + т1,д\т — г1\ Р).

(4.48)

Если система существует в любой момент времени, то при т = 0

Л14^, 4\0 Р)=д4= I, (4.49)

где I - единичная матрица (единица кольца Я0).

Для малых времен т, при разложении Л по степеням т получим:

Л^, 4 т Р)+1Н пЖ, )т + ■■■.

(4.50)

Матрицу Н ^ (t, д1Р) будем называть квазигамильтонианом системы. Положим в уравнении (4.48) тх = Ст, тогда

Лп^,д|т|Р)= ^ +1НДд|Р)ст

1П

о [л4 (г, д | т | Р)+Лд | т | Р)с1т —Л\ (г, д | т | Р)с1т + 0 (Ст)2 ].

После несложных алгебраических преобразований получим:

~ 14 (,д|т| Р)= 1НЧУ (г,д|Р)о(г,д|т| Р)+Л', 14 (г,д|т| Р).

Положим теперь в уравнении (4.35) т=т т + Ст, тогда

(4.51)

Л, д|т + Ст|Р )=Л , д|т| Р )+Л '^(г, q|т|P|dт + 0 {т2 )) = = Л Д д | т | Р )о Л ^(г + т, д^^Р )=

= ЛДд|т|Р)о ^4+1Н(г + т,д^т) + 0(т2).

1П

Сохраняя слагаемые первой степени по Ст будем иметь: - Ь Л '^(г, д |т|Р) = Л Д д |т|Р)о + т, д | Р).

(4.52)

Уравнения (4.51) и (4.52) для Фурье-образов Л будем называть уравнениями переноса. Выражение для квазигамильтониана н должно строиться из соответствующих моделей в каждом конкретном случае. Если Н ^ (д | Р) не

зависит от времени г явно, то матрицы н и Л коммутируют в кольце Я0. В задачах чаще приходится вводить не длительность процесса, а время начала события г и время окончания события Т = г + т. Так как

Л г (г | Т ) = Л; (г |т)т=т -г-Л Т (г |Т), то справедлива следующая система уравнений переноса:

' А Л (г, д | т | Р )= н 7У(г, д|р )о Л у((г, д|т|Р),

i А Л7т (г, д | т | Р5) = Л 7У (г, д | т | Р)о н^ (т, д | Р). (453)

В случае если н (д | Р) не зависит от времени явно, то решение уравнений (4.53) в операторной форме можно представить в виде:

Л.Мт^У ехр0 -^н^сЦрУ

(4.54)

Вся сложность проблемы будет заключаться в приведении выражения (4.54) к функции.

Система уравнений (4.53) или выражение (4.54) позволит описывать Фурье-образы распределения Л на языке кольца Я0. Для получения дифференциальных соотношений необходимо в уравнениях (4.53) перейти к оригиналам. Для простоты рассмотрим случай с одной переменной х, т.е. л = л(х, г| т | тх) = л(х|тх)

Л (х1| Рх )= |л(х | тх )ехР

-ад

Уравнение (4.53) в этом случае имеет вид:

Рхтх

А

Лтх

+ад

~ ~ ад (- г а )п

'Алт (х|рх)=л(х|рх)он(х|рх) = ^—Д-

п=о п!

нх)(х, Рх )Лрх (х | Рх ) =

нхп )(х1| Рх )л(х|Гх )• ехр

1 п=0 п!

-ад +ад

А

Рхгх

/1

V А У

• Г"хЛгх

= |н (х + Гх | Рх )-Л(х | Гх ^ ехР

А

Рх Гх

х

Л г

х

Перейдем к новой переменной г = х + гх и л (х | г) описывает переход из точки

в точку 2 за время т . Тогда

-АЛт (х|Рх)= |н(г1|Рх)л(х|г)ехР

+ад

Iн (г1| Рх )л(х | г)ехР

-Рх (г - х)

А

Л г =

ехр

А

х Р

А

Рх г

Л г.

Учитывая, что Л (х | рх ) ехр

х р

х

^ Л (х 12), получим

+ад

- А Лт(х | Рх )= |н (гАРх)л(х|г) ехР

А

Рхг

Л г

= 1

ехр

А

Рх г

Л г

н

Л 2 Л . ' г | - А Ог |^Л(х | г)

Таким образом, для случая одной переменной имеем следующее уравнение:

(4.55)

— ( 1 2 Л _

г А л;( г, х | т | г) = н т, г | г А ^ ^Л( г, х | т | г)

V У

Здесь = — и согласно [172] номера под некоммутационными величинами

обозначают порядок их следования справа налево.

В общем случае с учетом того, что [Оп; гк \ = 8пк, 5 = д + в и &

д

п Л

д гп

выражение (4.55) легко обобщается на случай многих переменных. Окончательно имеем:

ад

х

+ад

-ад

А

ад

ад

г

' ( 1 2 Л

- % Л 41 (г, д|Т|г) = Щу Т, д | - % 4 ЛЛ г, д|Т|*). (4.56)

У

Уравнение (4.56) описывает эволюцию простых систем во времени при заданных начальных и граничных условиях. ЛТ - транспонированная матрица л

ЛцДг, д |Т 12\__г = 5(2 — д). (4.57)

Для построения уравнения (4.56) можно предложить очень простую схему.

1. Строится физическая модель системы («правила игры») и рассматриваются возможные перемещения.

2. Используя обратное преобразование Фурье, определяется транспонированный квазигамильтониан этой системы.

д

3.Заменой рп на - %-строим уравнение эволюции (4.56).

д 2п

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Движение классической частицы при наличии поля случайных

сил.

Задача движения частицы при наличии случайных сил рассматривается в статистической физике [115, 117]. Подобного рода задачи тем интересны, что одним из выводов физики XX века следует признать следующий: «В Природе не существует абсолютно гладких кривых» (как и поверхностей!). Чем более точно производятся измерения, тем в большей степени зависимость измеряемой величины, например от времени, становится менее гладкой.

Пусть материальная точка массой т находится в поле регулярной силы Р (г, V). Предложим следующую модель («правило игры»). Кроме регулярной силы (приходящего и уходящего тока импульса) частица может получать импульс р, распределенный по нормальному закону с дисперсией а2. Нормальный закон распределения можно обосновать законом больших чисел. Действие случайной силы подчиняется экспоненциальному закону распределения со средним временем т0 = 1/Я (как закон радиоактивного распада). Следует ожидать, что это

достаточно типичная картина для случайных сил. Введем функцию распределения л(г0 Я,р0 |г|Д д). Здесь Я и р0- координаты и импульс частицы в момент времени г0 соответственно; р = г — Я - вектор перемещения за время т ; д = р — ро - изменение импульса за это же время. В силу условия нормировки

И ////Л(г0,Яр0|т|g,р)Лрх ЛРуЛРхЛдх ЛдуСд2 =1

—да

Для малого промежутка времени т выражение для л(г0 |т) имеет вид:

л(t0, Я ро|т| q, р)=5

V т У

I - — \2 1

+ ехр [— Я т

]5(д — Р т)

Гр — Р01т

V т У

(1 — ехр [— Я т])—1==— ехр д/2^ а

(д—Р т)2

2а2

(4.58)

Применим к обеим частям равенства (4.58) обратное преобразование Фурье. Имеем:

Л (tо, Я, р0|т| р,и )= / Л1Т///л(г0' Я р0|т| Р, д)ехР - р — ид)

= ехр

= 1 +

- р0 Я % т

- р0 $ % т

(1 — ехр \Ят] ехр

— и Я т %

+ Я ехр

а2 2 и

2%

2

+—Яи—Я %

ехр

т.

а2 2 и

ЛУдЛУр =

2%

2

+ ехр [— Я т]ехр

— и Я т %

= (4.59)

Таким образом, квазигамильтониан н , согласно (4.50), имеет вид:

Н = +1Рй + Я

т % %

ехэ

2(2. 2 , 2 а (их + и у + иг,

2 %

2

— 1

(4.60)

В соответствии с уравнением (4.56) будем иметь:

- % Л'т (г, Я, р01Т |-, р )=— р УЛ(г, Я, р0\Т\г, р)—(V РР (г, р))

х Л (г, Я, р01Т | -, р)+Я

2

ехр а, О 2 %2 Р — 1

•Л (г, Я, р01Т |-, р )=

(4.61)

г

0

Уравнение (4.61) описывает плотность вероятности обнаружения частицы в момент времени т в точке с координатами Г и импульсом р в рамках сделанных допущений, если в момент времени г она находилась в точке с координатами Я и имела импульс р0.

Пример 2. Рассмотрим распространение объекта (частицы) в трехмерном евклидовом пространстве, состояние которого в момент времени г будет описываться его декартовыми координатами х = {с1, х2, х3}.

Примем следующую модель: частица распространяется с постоянной скоростью с; направление распространения в момент времени г будет характеризоваться единичным вектором скорости V; вектор скорости V может поворачиваться в пространстве с угловой скоростью С (х, г); кроме того возможен процесс рассеивания, описываемый распределением А (г, х, V |в), где в = и - V -изменение единичного вектора скорости рассеивания частицы в момент времени г с координатами х; введем еще показатель поглощения ж (х, г, V). Для малого промежутка времени, согласно сделанным допущениям, выражение для Л(г,т) примет вид:

Л (г, х,Г | т | Г5, в) = [1 - с (а + ж )т] 8 (Г - сут)^8[в-3 х г5 с Л т + ст А (г, х, V51 в) 8 (г),

(4.62)

+ад ( Г\

где а (г, х, Г) = 1А (г, х, Г |в) Л вх Л ву Л в2 - интегральный показатель рассеяния,

-ад

Г = Г - х - вектор перемещения.

Соотношение (4.62) можно интерпретировать следующим образом: если изучаемое аддитивное свойство (частица) не рассеивается за время т (эта доля равна: [1 - с (а + ж)т]), то оно переместится на расстояние Г = сгт, при этом его скорость изменилась на вектор сохгсЛт; если же произошел акт рассеивания с долей рассеяния Ас т, то с точностью до малых высшего порядка малости получим второе слагаемое в выражении (4.62).

Применим к обеим частям равенства (4.62) обратное преобразование Фурье. Имеем:

Л(*, х, V |т|р,к) = Ц х, V| т| Г,0)ехр -(р• Г + к •<?)

—да

= [1 — с (а (х, V, г) + ж (х, V, /))т]ехр

^ (р • V + кг •(¿3 х V) ст)

(4.63)

+ с

+да / г\

т | Ц Л (/, х, 3 |в)ехр

— к в Й

^ О

в ■

Таким образом, квазигамильтониан н примет вид:

1Н (/, х, V | р, к) = — [у • р + кГ • (р х V)]— [а (х, V, г) + ж (х, V3, г)] + с Й

f | Ц Л (/, х, V |в)ехр

7 — — -к •в Й

(4.64)

^ О,

В соответствии с уравнением (4.56) будем иметь:

— Л'т (¿, х, V | Т |г, и ) = —-г? Л (г, х, V3 |Т |г, и) — с

— 7 [а(Т, £, и)+ ж (Т, 2, и)]^Л(г, х, V | Т| 2, и) — 7 Vи [¿(Т, 2, и)х и •Л(г, х, V ^ | г, и)]+ (4.65) + 71IIЛ [Т, Г, и — вв}л(г,х, V|Т| Г,т? — в.

—да

Интегрально-дифференциальное уравнение (4.65) описывает распространение простого аддитивного квантового свойства (частицы).

Рассмотрим физический смысл переменной преобразования Фурье р. Определим среднее перемещение аддитивного свойства (г). Для этого

рассмотрим выражение — 7 Й V 1п Л для малых т .

С одной стороны, с учетом (4.50) получаем, что

7 Й Ур 1п Л = УрН • т.

С другой стороны, для малых т , а, следовательно, и малых Г имеем:

—да

—да

IйVр Л(р)=—Iй

+да ЩЛ ехр —да I - -— рг .й . а о г +да Ш -да г л(г ) а о г

+да Шехр -да I гг — рг .п _ л(- ) а о г "" +да Ш -да г л (г) а о г

= (г >■ (4.66)

Таким образом, средняя скорость свойства:

V) = ^ рН ■

Отсюда следует вывод, если принять гамильтониан н (г, д, р) является квадратичной формой от квазиимпульса, то

V

V Рн (г, д, р ) = Р .

т

(4.67)

4.6 Распространение некоторых физических величин

Самыми очевидными применениями теории переноса являются классические явления переноса. Рассмотрим процесс диффузии частиц диффузанта, описывающийся концентрацией п(г, /) в однородной и изотропной среде в отсутствии источников и стоков. Уравнения (4.30) в этом случае примут вид:

дп

д + ^ = 0

1 д] - Аа с (4-68)

• —— + ] = - — сп — — grad п.

2ас д1 а 2а

В состоянии равновесия распределение частиц в классической системе подчиняется распределению Больцмана, т.е.

ПР (г ) = поехР

и (г )"

кБ Т

(4.69)

где и (г3) - потенциальная энергия частицы диффузанта в заданном силовом

поле;

кБТ - термодинамическая температура. Отсюда

Аа=—2 ^

Г ТТ \

и

V кбт У

(4.70)

2 кБТ

для изотермических условий.

Примечание. Если в системе имеется распределение температур, то будет наблюдаться известное явление термодиффузии. Здесь Р (г) - внешняя сила;

Б = С - коэффициент диффузии;

1

2ас

тр = - время релаксации.

В этом случае уравнение (4.68) примет вид:

- з Б -

7 +трЛ =— Dgradn + —— ^ • п. (4.71)

кБТ

Это уравнение вынужденной диффузии с учетом запаздывания (обобщенный закон Фика) [108, 109, 224].

Используя уравнение непрерывности, выражение (4.71) можно переписать в

виде:

д2 п дп р дх2 дх

Р - п -

А • п---Vn---шуР

к Б Т кБТ

(4.72)

В отсутствие внешних сил уравнение (4.72) представляет собой гиперболическое уравнение диффузии (диффузионно-волновое уравнение):

д2 п дп

т дп = п (4.73)

Уравнение подобного типа было, по-видимому, впервые предложено В.А. Фоком [286] для диффузии фотонов. Подробно этот вопрос рассмотрен в [108, 224]. Этим самым снимается известный парадокс о «бесконечной скорости броуновских частиц». Только при гр ^ 0 (с ^ да) уравнение (4.73) переходит в

обычное уравнение диффузии. На наш взгляд, все параболические уравнения математической физики являются приближенными и при более строгом подходе должны быть заменены на гиперболические.

Уравнение (4.73) содержит вторую производную по времени. Следовательно, для его решения необходимо кроме начального условия п (г,0) еще и дополнительное условие п'(=о(г, г). Для выяснения физического смысла этого условия рассмотрим уравнение (4.73) с начальным условием п (г ,0)^ 0. На первый взгляд может показаться, что эту задачу можно свести к задаче с нулевым начальным условием с учетом присутствия источников интенсивностью п(г,0) 8(г). Но при этом автоматически предполагается, что все источники изотропные. Однако, в общем случае, эти источники анизотропные. Таким образом, дополнительное условие п г=о (г, г) является физически необходимым и указывает, каким образом концентрация диффузанта меняется в начальный момент. Если же нас интересует усредненная концентрация по некоторому объему V » Ь3 (где /0 -длина единичного скачка частицы диффузанта), то такие источники, действительно, можно считать изотропными и надобность в дополнительном условии п г=о отпадает.