Разработка методов выбора расположения и порядка установки временных крепежных элементов при математическом моделировании сборки авиационных конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Погарская Татьяна Аркадьевна

• Погарская Татьяна Аркадьевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Погарская Татьяна Аркадьевна

Введение

Глава 1. Постановка задачи

1.1 Контактная задача

1.2 Контактная задача с учетом касательных смещений

1.3 Задача поиска расположения крепежных элементов при моделировании временной сборки

1.4 Задача определения порядка установки крепежных элементов

Глава 2. Методы решения задач поиска наилучшего расположения и порядка крепежных элементов

2.1 Особенности задачи и выбор методов

2.1.1 Комбинаторная оптимизация

2.1.2 Оптимизация черного ящика

2.2 Начальная расстановка крепежных элементов

2.3 Алгоритм имитации отжига

2.4 Метод локальных вариаций (поиск восхождением)

2.5 Метод прямого поиска на адаптивных сетках

2.6 Генетический алгоритм

2.7 Модели для сравнения методов решения задач поиска наилучшего расположения временных крепежных элементов

2.8 Сравнение методов решения задач поиска наилучшего расположения временных крепежных элементов

2.8.1 Оптимизация расстановки по одному зазору

2.8.2 Оптимизации по облаку зазоров

Глава 3. Методы решения задач поиска наилучшего расположения и порядка установки крепежных элементов

3.1 Геодезический алгоритм поиска наилучшего расположения крепежных элементов

3.1.1 Геодезическое расстояние

3.1.2 Вычисление поля давления и ранжирование отверстий

3.1.3 Расстановка заданного числа крепежных элементов

3.1.4 Расстановка минимального размера

3.2 Метод определения порядка установки крепежных элементов

3.4 Модели для верификации метода решения задач поиска порядка установки временных крепежных элементов

Глава 4. Примеры применения разработанных методов

4.1 Поиск наилучшего расположения крепежных элементов

4.2 Определение порядка установки крепежных элементов

4.3 Поиск наилучшего расположения крепежных элементов и определение его порядка установки

Глава 5. Интеграция разработанных методов в программный комплекс для моделирования сборки

5.1 Программный комплекс ЛБИР

5.2 Интеграция геодезического алгоритма и метода порядка в ЛБИР .. 108 Заключение

Список литературы

114

Введение

Актуальность исследования

Во многих областях машиностроения, таких как, например, авиастроение, кораблестроение или автомобильная промышленность, важной составляющей производственного процесса является сборка конструкций с использованием точечных соединений (сварка, клёпочные, болтовые соединения и проч.). При этом к качеству сборки предъявляются достаточно жесткие требования. На данный момент только часть производственных процессов механизирована и автоматизирована, многие этапы выполняются вручную, что увеличивает их трудоемкость и временные затраты. Одним из таких этапов в авиастроении является предварительная сборка, в ходе которой части соединяются временными крепежными элементами для последующего сверления или других операций. В связи с этим, временного крепежа должно быть установлено достаточное количество для обеспечения плотного соединения деталей. При производстве кузовных конструкций машин для соединения отдельных деталей зачастую используется контактная точечная сварка, а сварные точки располагаются равномерно вдоль шва. Такое расположение не всегда является оптимальным для передачи силового потока, воспринимаемого соединением, и зачастую требует более детального исследования и оптимизации [1-5].

В то же время большое влияние на процесс сборки оказывает не только количество и расположение крепежных элементов, но и порядок их установки, поскольку для компенсации возникающих при соединении деформаций может потребоваться корректировка технологического процесса. Как было показано в [6] и [7], очередность сварки швов и, соответственно, последовательность формирования общей конструкции позволяют снизить возникающие деформации при сборке корпусов буровых платформ и танкеров, но при этом соблюсти необходимые требования к форме и размерам. Подобные сложности возникают и в других отраслях машиностроения. Так, например, анализ процесса сборки вагона

показывает значительное влияние способа закрепления его стенки на возникающие в процессе деформации и относительные перемещения собираемых частей [8].

В авиастроении процесс сборки является весьма сложным и включает в себя множественные операции по сверлению, а также временную сборку конструкции путём установки специальных временных крепёжных элементов (крепежей) в отверстия, позиции которых определены заранее, чтобы соединить детали, уменьшить между ними зазор (расстояние по нормали между поверхностями соединяемых деталей) и предотвратить его открытие при последующих операциях [9-10]. В дальнейшем в эти отверстия будут установлены постоянные крепёжные элементы. Сборка может занимать около 40% всего времени производства [11] из-за большого объема выполняемых вручную операций и непрерывного контроля технологического процесса (рисунок 1).

Рисунок 1 - Ручная установка крепежных элементов при сборке самолета,

airbus.com

Предварительная сборка создает основу для обеспечения надежного контакта между соединяемыми деталями. Несмотря на их большой размер, требования к

качеству сборки являются очень строгими, а зазор между соединяемыми поверхностями деталей должен находиться в определённых пределах после установки временного крепежа и в ходе операций сверления. При этом необходимо учитывать, что практически все детали неизбежно деформируются во время производства, транспортировки и установки на сборочной линии, в результате чего до сборки между деталями присутствует некоторый начальный зазор. Из-за вышеперечисленных факторов полный контакт, то есть нулевой зазор, после установки крепежных элементов во всей области соединения не может быть достигнут. Наличие остаточных зазоров между соединяемыми деталями на этапе временной сборки влияет на долговечность конечного продукта. Как отмечается в [9] и [10], этот зазор в дальнейшем может стать причиной вибраций во время сверления новых отверстий, из-за чего возникает их несоосность, а также увеличивается риск попадания стружки между соединяемыми деталями. Всё это может привести к повышенным механическим напряжениям в конструкции самолёта и в дальнейшем вызвать усталостные явления (в частности, развитие трещин), что может послужить причиной развития аварийных ситуаций. Поэтому, с одной стороны, необходимо уменьшить число крепежных элементов для ускорения производства, но, с другой стороны, установить их достаточное количество для сведения начального зазора до установленного технологией уровня.

Уменьшение числа крепежных элементов при временной сборке, а соответственно и числа выполняемых операций, при сохранении высоких стандартов качества, является важным способом оптимизации производственного процесса. Одним из наиболее эффективных путей решения данной задачи является использование математического моделирования на разных стадиях сборочного процесса. Моделирование процесса сборки влечет за собой необходимость проведения серийных расчетов, так как изменение конфигурации расстановки крепежей влечет изменение конечного зазора. В то же время изделия внутри одной серии собираются по одним и тем же шаблонам, что не позволяет учесть индивидуальные особенности каждого элемента, однако качество сборки должно

оставаться наилучшим, поэтому для учета всевозможных вариаций собираемых деталей необходимо использовать статистический анализ.

Таким образом, актуальной задачей является разработка алгоритма нахождения положения и порядка установки фиксирующих элементов при сборке авиационных конструкций, который бы позволил проводить серийные расчеты в приемлемое время без потери качества получаемых решений. Степень разработанности проблемы

На сегодняшний день задача нахождения шаблонов установки крепежных элементов рассматривалась во многих работах. Под шаблоном (или расстановкой) понимается размещение некоторого количества крепежных элементов в зоне соединения деталей в часть отверстий (или во все доступные), положения которых определены заранее и не могут быть изменены. Зачастую решается задача оптимизации шаблона, имеющегося на некотором этапе производства - требуется улучшить уже существующий шаблон так, чтобы он удовлетворял заданным технологическим требованиям. В зависимости от области применения и направления исследования, функция цели, а также используемые методы оптимизации могут быть различны. При моделировании сборки с учетом контактного взаимодействия и решения возникающих в ее процессе задач (определение необходимых сил для качественной сборки, анализ допусков и т.д.). в автомобильной промышленности широко используется метод коэффициентов влияния (MIC - Method of Influence Coefficients) и анализ вариаций формы [12-14]. Главный недостаток данной методики заключается в том, что учитывать контактное взаимодействие собираемых частей возможно только в предварительно заданных точках, а не по всей области соединения, что в дальнейшем не позволяет в полной мере анализировать качество сборки.

В ряде работ по оптимизации процесса сборки применяется генетический алгоритм и его модификации. Так, в работе [16] он используется для оптимизации положения временного крепежа с заданным начальными зазорами при сборке прототипа панели фюзеляжа. Целью оптимизации является нахождение шаблонов фиксирующих элементов, сводящих начальные зазоры между деталями до

заданного значения. Отверстия, в которые могут быть установлены крепежные элементы, располагаются группами (по 18, 21 и 23 отверстия), на каждой группе отверстий оптимизация производится отдельно (12 расчетов). В работе [1] авторы используют генетический алгоритм совместно с конечно-элементным анализом для оптимизации положения сварных точек. Точки располагаются на прямой стальной балке, имитирующей лонжерон кузова автомобиля. Целью оптимизации является нахождение минимального необходимого количества точек, обеспечивающего жесткость конструкции не хуже, чем при исходной процедуре сборки с 22мя точками. При этом сварные точки могут располагаться только в преопределённых узлах расчетной сетки. Комбинация генетического алгоритма и алгоритма имитации отжига была использована в работе [17] для нахождения оптимального положения 15 сварных точек при сборке кузова автомобиля с сохранением необходимой жесткости конструкции.

В работе [18] авторы, используя оптимизацию топологии, определяли наилучшее расположение крепежных элементов, а также определяли их минимальное возможное количество, для того, чтобы избежать зон сосредоточения напряжений, но обеспечить необходимое качество. Подобные идеи использовались в [27], где позиции крепежных элементов не были определены заранее; вместо этого авторы рассматривали минимальное допустимое расстояние между соседними элементами. Метод, основанный на использовании матриц коэффициентов влияния, был предложен в [28] для оптимизации расположения креплений при сборке сваркой листовых панелей, что позволило избежать многократных вычислений функции цели, однако механические свойства деталей не принимались во внимание.

Основным недостатком описанных выше методов является их итерационный характер. Поскольку критерием качества полученного шаблона служит какая-либо механическая характеристика (конечный зазор [16], жесткость [1, 17], напряжения [18] и т.д.), любое изменение расположения крепежей влечет за собой необходимость ее вычисления. Это означает, что время работы алгоритма оптимизации увеличивается пропорционально времени вычисления необходимой

механической характеристики. Так, например, для нахождения оптимальной расстановки из 4 элементов по 21 пустому отверстию с помощью генетического алгоритма потребовалось 12 минут на персональном компьютере (частота процессора 3.3 ГГц х4, объем оперативной памяти: 3.41 Гб) [ 16], что накладывает ограничение на количество переменных для оптимизации (число фиксирующих элементов), а также делает невозможным проведение массовых расчетов на множестве реальных измерений (начального состояния системы до сборки). Последнее обстоятельство оказывается существенно важным, поскольку большая часть соединений собирается по одним и тем же шаблонам внутри одной серии производства без адаптации под их индивидуальные особенности. В работе [ 1] оптимальное положение 22х сварных точек было найдено с использованием генетического алгоритма на 25 поколении с популяцией в 40 особей (порядка 1000 вычислений функции цели), что позволяет предположить увеличение обьема и времени вычислений при решении реальных задач, в которых количество крепежей и возможных позиций их размещения исчисляется сотнями.

Цели и задачи исследования

Цель исследования состоит в разработке метода выбора расположения крепежных элементов, а также метода выбора порядка их установки, адаптированных под особенности решаемых задач при сборке авиационных конструкций. В данной работе рассматривается задача оптимизации сборочного процесса с помощью методов математического моделирования - повышение качества соединения и ускорение сборки за счет уменьшения числа и положения временных крепежных элементов.

В ходе работы были поставлены и решены следующие задачи:

1. Постановка задач оптимизации числа, расположения и порядка установки крепежных элементов при сборке авиационных конструкций;

2. Обзор стандартных методов оптимизации для решения поставленных задач;

3. Разработка нового безытерационного метода выбора расположения временных крепежных элементов, основанного на совместном использовании информации о механических свойствах и геометрии соединения;

4. Разработка нового безытерационного метода выбора порядка установки крепежных элементов для известной расстановки, позволяющего наиболее эффективно использовать особенности рассматриваемых задач;

5. Реализация разработанных методов в виде комплекса программ на языке С++ и их интеграция в качестве дополнительной функциональности в существующий программный комплекс «АЗЯР», предназначенный для математического моделирования сборочных процессов;

6. Верификация разработанных методов на модельных задачах;

7. Применение разработанных методов к решению практических задач сборки, в том числе для множества начальных состояний, полученных в результате измерений.

8. Исследование эффективности разработанных методов по сравнению со стандартными методами, используемыми для решения задач оптимизации сборки.

Методологическая и теоретическая основа исследования

Основу настоящей работы преимущественно составили труды зарубежных и российских авторов, как в области численных методов безградиентной оптимизации [19, 20, 21], так и в области решения комбинаторных задач, например,

[22]. Также затронуты вопросы теории решения контактных задач [10], вычислительной геометрии [23] и задач упаковки [24].

Расчётные процедуры реализованы в виде комплекса компьютерных программ на языке программирования С++. В силу специфики работы верификация результатов в основном производится путем сравнения с широко используемыми методами решения подобных задач.

Научная новизна исследования

1. Впервые сформулированы математические постановки задач оптимизации числа, расположения и порядка установки крепежных элементов при сборке авиационных конструкций.

2. Разработан новый безытерационный метод определения положения фиксирующих элементов при сборке авиационных конструкций, позволяющий учитывать механические свойства скрепляемых деталей.

3. Разработан новый безытерационный метод определения порядка установки фиксирующих элементов при сборке.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается решением модельных задач. Эффективность разработанных методов подтверждается сравнительным анализом со стандартными методами решения подобного рода задач. Результаты определения порядка установки крепежных элементов верифицируются путем сравнения с точным решением, полученным с помощью полного перебора всех возможных вариантов.

Теоретическая и практическая значимость работы

В работе впервые сформулированы математические постановки задач оптимизации числа, расположения и порядка установки крепежных элементов при сборке авиационных конструкций, которые могут быть адаптированы и к другим задачам о точечном соединении частей (сварка, болтовое соединение и т.д.).

Разработаны и верифицированы методы выбора расположения и порядка установки временных крепежных элементов. Их безытерационная структура позволяет проводить массовые расчеты на полномасштабных моделях реальных соединений, в том числе с учетом исходных данных, полученных при измерениях большого количества типовых соединений. Кроме того, сравнение разработанных методов с наиболее распространёнными типами методов оптимизации (эвристические методы; методы оптимизации черного ящика; алгоритмы, основанные на полном переборе) позволяет прояснить вопрос об их эффективности применительно к рассматриваемым задачам сборки.

Разработанные методы выбора расположения и порядка установки временных крепежных элементов были реализованы в виде компьютерных программ на языке программирования С++ и интегрированы в виде дополнительной функциональности в программный комплекс «ASRP» моделирования сборки, принятый к использованию компанией Airbus SAS. Эти методы составляют его оптимизационное вычислительное ядро и позволяют

определять расположение и порядок установки крепёжных элементов на основе как смоделированных данных, так и реальных измерений.

Положения, выносимые на защиту

1. Математические постановки задач оптимизации числа, расположения и порядка установки крепежных элементов при сборке авиационных конструкций.

2. Новый безытерационный метод поиска расположения крепежных элементов при сборке авиационных конструкций.

3. Новый безытерационный метод определения порядка установки крепежных элементов при сборке авиационных конструкций.

4. Результаты исследования эффективности разработанных методов по сравнению со стандартными методами оптимизации, применимыми к поставленным задачам.

5. Реализация разработанных методов в виде комплекса программ на языке С++ и их добавление в существующий программный комплекс «ASRP» для математического моделирования сборочных процессов в качестве расширяющей функциональности.

Апробация результатов исследования

Результаты работы докладывались на международных и российских конференциях:

- на конференции с международным участием «Неделя Науки СПбПУ 2015», г. Санкт-Петербург, Россия.

- на международной конференции «Суперкомпьютерные дни в России 2018», г. Москва, Россия.

- на международной конференции «2018 Global Smart Industry Conference», г. Челябинск, Россия.

- на конференции с международным учаснием «Неделя Науки СПбПУ 2018», г. Санкт-Петербург, Россия.

- на международной конференции «SAE 2019», г. Бордо, Франция.

- на международной конференции «International Youth conference on Electronics, Telecommunications and Information technologies» 2019, г. Санкт-Петербург, Россия.

- на международной конференции «53rd CIRP Conference on Manufacturing Systems 2020», г. Чикаго, США.

- на международной конференции «Суперкомпьютерные дни в России 2020», г. Москва, Россия.

- на семинарах научно-исследовательской лаборатории «Системной оптимизации» (Systems Optimization Laboratory), 2017 (МакГилл, Канада).

- на семинарах научно-исследовательской лаборатории «Виртуально-имитационного моделирования», 2016-2020 (Санкт-Петербург, Россия).

Работа поддержана грантами Правительства Санкт-Петербурга для аспирантов ВУЗов и академических институтов в 2019 и 2020 годах, субсидией Правительства Санкт-Петербурга молодым ученым в 2020 году. По теме работы опубликовано 11 статей, в том числе 9 в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов выбора расположения и порядка установки временных крепежных элементов при математическом моделировании сборки авиационных конструкций»

Структура работы

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 121 страницу. В тексте содержится 74 рисунка, 7 таблиц. Список литературы включает 70 наименований.

Во введении обозначена актуальность исследования, сформулированы цели и задачи работы, а также положения, выносимые на защиту.

В первой главе впервые сформулированы постановки задач оптимизации числа, расположения и порядка установки крепежных элементов при сборке авиационных конструкций, которые могут быть применены к любым другим

задачам о точечном соединении частей (сварка, болтовое соединение и т.д.). Также в ней приводится описание специальной модели сборки и используемый метод решения контактной задачи для определения в дальнейшем качества рассматриваемых расстановок крепежных элементов.

Вторая глава посвящена описанию основных особенностей поставленных задач, которые накладывают существенные ограничения на выбор методов их решения; обзору основных групп методов их численного решения. Также в данной главе приводится описание моделей соединений авиационных конструкций для дальнейшего анализа методов оптимизации расположения временных крепежных элементов. Производится сравнительный численный анализ выбранных ранее методов на тестовой модели небольшой размерности, по результатам которого осуществляется выбор методов для дальнейшего применения к решению задач на полномасштабных моделях реальных соединений самолетов.

Третья глава описывает предложенную в работе методику решения задач поиска наилучшего расположения крепежных элементов и порядка их установки, которая заключается в разбиении этой задачи на две последовательно решаемые подзадачи - поиск наилучшего шаблона установки временных крепежных элементов и, после того, как положения крепежей оказывается зафиксированы, определения порядка их установки. Для решения первой подзадачи в работе предлагается безытерационный метод определения положения крепежных элементов, называемый далее геодезическим алгоритмом. Он состоит из трех основных частей - вычисления поля давления, которое необходимо приложить для сведения начального зазора между деталями до заданного значения, построения карт геодезических расстояний между возможными положениями установки крепежных элементов и непосредственно процедуры определения тех отверстий, в которые будут установлены крепежные элементы. Кроме того, в данной главе описывается предложенный метод решения задачи определения порядка установки крепежных элементов, основанный на идее априорной оценки каждого крепежного элемента отдельно.

Четвертая глава посвящена примерам работы предлагаемых методов. Приведено несколько примеров работы геодезического алгоритма на моделях различных типов соединений. Полученные шаблоны сравниваются с теми, которые были получены при помощи методов, выбранных в главе 2. Приводятся примеры работы предложенного метода определения порядка установки крепежных элементов. Полученные результаты верифицируются путем сравнения с точным решением, полученным методом полного перебора.

В пятой главе описывается программный комплекс для моделирования сборки механических конструкций и описывается интеграция разработанных методов в качестве его вычислительного оптимизационного ядра.

Глава 1. Постановка задачи

Для решения исследуемой в данной работе задачи оптимизации процесса временной сборки необходимо в первую очередь определить критерий качества получаемых шаблонов и порядков установки крепежей. В авиастроении основной характеристикой предварительного (временного) соединения является результирующий (остаточный) зазор, то есть зазор между соединяемыми деталями конструкции после установки крепежных элементов. Для его нахождения в данной работе рассматривается особый класс задач, контактные задачи, который используется при моделировании сборки и позволяет вычислять напряжённо -деформированное состояние собираемой конструкции и перемещения частей относительно друг друга.

Задача нахождения наилучших шаблонов и порядка установки крепежных элементов, как будет показано в разделе 2.1, является переборной задачей комбинаторной оптимизации и требует проверки множества возможных вариантов для нахождения решения, но, кроме того, для каждого шаблона требуется вычислить остаточный зазор после установки крепежей для определения его качества. При поиске расположений и порядка установки шаблона из 150 элементов среди 300 отверстий, что соответствует требованиям реальных задач, возникает Л30о ~ 5.3 • 10352 вариантов (С300 ~ 9.3 • 1088 без порядка). Поэтому ввиду большой размерности исходная задача оптимизации сборочного процесса будет рассматриваться как две последовательный подзадачи - определения расположения крепежных элементов, а затем определения порядка их установки.

В первой части данной главы приводятся постановки решаемых контактных задач, во второй части формулируются несколько вариантов задач оптимизации определения положения и порядка крепежных элементов.

1.1 Контактная задача

Во время сборки самолета необходимо контролировать как зазоры между соединяемыми деталями, так и напряжения в них. С одной стороны, начальный

зазор между деталями должен быть сведен полностью, а с другой стороны, необходимо избегать трещин и расслоения деталей, преимущественно изготовленных из композитных материалов, которые могут возникнуть из-за напряжений от установленных фиксирующих элементов. Исходя из этого, при поиске шаблона крепежных элементов необходимо определять, как зазор между деталями после их установки, так и возникающие напряжения.

В данной работе рассматривается особый класс контактных задач [29], используемый для моделирования процесса соединения деталей. Эти контактные задачи имеют следующие характерные особенности:

• Зона возникновения контакта известна заранее (далее -зона стыка);

• Касательные перемещения пренебрежимо малы вследствие установки крепёжных элементов по сравнению с нормальными, что дает возможность рассматривать модель контакта "узел в узел";

• Задача является стационарной;

• Ввиду небольших касательных смещений, трение можно исключить из рассмотрения;

• Напряженно-деформированное состояние каждой собираемой части описывается линейной теорией упругости.

Математически такая контактная задача формулируется как задача поиска минимума энергии квадратичного функционала при наличии линейных ограничений. Как было показано в [29], используя стандартный метод конечных элементов (МКЭ), задача может быть переформулирована как дискретная вариационная в виде:

min (~хТК • х — FTx), (1)

xesh\ 2 j

где x - вектор перемещений узлов конечных элементов всех частей сборки, K -

матрица жесткости системы конечных элементов, F - вектор приложенных сил, Sh

- допустимое множество перемещений.

Крепежные элементы

Рисунок 2 - Схема соединения частей центроплана (слева) и зона стыка крыла и

фюзеляжа, выделенная цветом (справа)

В ряде работ [10, 29] авторами был предложен подход, позволяющий существенно уменьшить размерность решаемой задачи и выполнять расчеты в пределах зоны стыка (рисунок 2) за счет исключения из рассмотрения узлов, не входящих в эту зону, но с учетом их влияния на узлы в зоне контакта. Этот подход, во-первых, позволяет намного быстрее пересчитывать решение при изменениях таких параметров задачи как начальный зазор, расположение крепежных элементов или приложенные нагрузки, а, во-вторых, не требует использования времязатратных процедур поиска зоны контактного взаимодействия. Далее опишем основные идеи данной методики.

Рисунок 3 -Конечно-элементная модель соединения крыла и фюзеляжа

Из множества всех конечно-элементных узлов рассматриваемых деталей выбирается подмножество узлов, лежащих в зоне стыка (далее - вычислительные узлы, рисунок 3). Таким образом вектор перемещения узлов конечных элементов

всех частей сборки х Е может быть представлен как х =

гu Л

V UR J

, где u - вектор

перемещений вычислительных узлов, ограниченных условиями непроникновения деталей, ык - вектор остальных, неограниченных, перемещений. Подобным

образом может быть представлен и вектор приложенных сил ¥ =

fF \

1 с

F

V1R J

, где Fe -

вектор сил, приложенных в расчетных узлах, ¥ - вектор сил, приложенных в остальных узлах. Тогда матрица жесткости системы конечных элементов К может

быть записана в блочном виде: K

KCC KCR V KCR KRR J

Редуцированная матрица жесткости Кс вычисляется как дополнение Шура матрицы Krr и оказывается связанной с глобальной конечно-элементной матрицей жесткости K по формуле KC = KCC - KCR ■ KrR ■ KTCR. Тогда согласно [10] исходная задача (1 ) может быть приведена к эквивалентному виду, более удобному для вычисления вектора перемещений:

min (—иТКси — F£u\ ua\2 '

иеиА ^ ) (2)

иА = [и\ дгез = д - Ати>0} где иА - допустимое множество, определяемое условием непроникновения, дгеБ -вектор результирующего зазора, ^ - вектор приложенных нормальных сил в зоне стыка (например, от крепежных элементов или сварки); Кс - редуцированная матрица жесткости; А - линейный оператор, определяющий нормальное направление к контактной поверхности, д - начальный зазор в зоне стыка, который представляет собой начальное расстояние по нормали между узлами, которые могут прийти к контактному взаимодействию.

На основе квадратичной задачи программирования (2) может быть сформулирована специальная модель сборки, состоящая из следующих элементов:

- вычислительные узлы в зоне стыка;

- Матрицы А и Кс, описывающие общую топологию соединения, крепление деталей и их механические свойства;

- Позиции отверстий для установки временных крепежных элементов в зоне стыка Н = {hi}i=lnh, где nh - их общее число. Используются для интерполяции нагрузок от крепежных элементов (болтов, заклепок, дрелей и так далее) на вычислительные узлы.

- Расположение крепежных элементов, установленных в отверстиях (расстановка или шаблон). Описывается набором занятых отверстий Н° = {h°}._in где п^ - общее количество установленных крепежных

элементов. В дальнейшем эти данные используются для построения вектора Fc прикладываемых сил в зоне стыка.

- Вектор начального зазора д. Начальный зазор между частями в большинстве случаев определяется как случайное поле. Множество таких начальных зазоров будем называть облаком и обозначать G = [gj<}k=1,ng, где пд -

количество зазоров в облаке. Начальные зазоры моделируются на основе статистического анализа доступных измерений и допусков или как анизотропные реализации случайных полей с заданными характеристиками амплитуды и коэффициента шероховатости [26].

Вектор результирующего зазора gres = {gres}i=1¡nu между частями после установки крепежных элементов (рисунок 4) вычисляется на основе решения задачи (2):

gres = -ATU + д. (3)

Вектор результирующего зазора gres = gres(g,H°) является неотрицательной функцией начального зазора д и расстановки крепежных элементов Н° (условие непроникновения Ат - и < д).

Рисунок 4 - Схематичное изображение начального зазора д между двумя частями

ТРЯ

и результирующего зазора д после установки двух крепежных элементов

(черные точки)

1.2 Контактная задача с учетом касательных смещений

Процесс сборки частей планера самолета включает в себя в том числе сверление отверстий в деталях, закрепленных на сборочной стойке. Отверстия просверливаются в определённом порядке и сразу после сверления в них устанавливаются временные крепежные элементы. Это означает, что относительные касательные смещения деталей, которые имели место во время сверления, будут зафиксированы (рисунок 5) при установке крепежного элемента в только что просверленное отверстие. Данный эффект не всегда является значительным, однако, для достаточно гибких деталей с высокой кривизной (например, панели фюзеляжа) он оказывается очень важным. Чтобы учесть порядок установки крепежных элементов, необходимо моделировать их установку последовательно - одного за другим. Для этого необходимо дополнить вектор перемещений и касательными компонентами, а допустимое множество иА (формула (2)) дополнительными ограничениями после установки каждого крепежного элемента. Эти ограничения делают решение зависим от порядка установки и не позволяют изменить конфигурацию шаблона без пересчета с самого первого установленного элемента.

Рисунок 5 - Относительные касательные смещения при установке крепежного

элемента

1.3 Задача поиска расположения крепежных элементов при моделировании

временной сборки

При осуществлении временной сборки авиационных конструкций необходимо выбрать из существующего множества возможных позиций для установки те, занятие которых обеспечит достижение заданной цели на том или ином этапе производства. В основном требования предъявляются к величине остаточного зазора после установки крепежных элементов. Разработка наиболее приемлемых шаблонов по количеству крепёжных элементов и обеспечиваемому качеству соединения на этапе временной сборки является основополагающей задачей оптимизации всего сборочного процесса. Это связано с тем, что сборочные операции установки крепежных элементов занимают порядка 35% времени от всего времени производства самолета [30].

Соответственно, задача поиска шаблона установки фиксирующих элементов может быть сформулирована по-разному в зависимости от целей дальнейшего использования результатов, однако в любом случае в процессе решения задачи необходимо определить положения фиксирующих элементов, которые обеспечат

достаточное качество соединения (то есть сведут начальный зазор между деталями до заданного диапазона значений). Рассмотрим несколько возможных формулировок данной задачи.

Задача 1. Минимизация максимального значения зазора. Для заданного числа крепежных элементов с заданными силами определить их расположение в предварительно заданных отверстиях так, чтобы оно обеспечивало минимальное значение максимального зазора в вычислительных узлах зоны стыка для всех начальных зазоров из облака.

Величина максимального зазора дтах для некоторой расстановки Н0 и облака начальных зазоров С может быть вычислена как

дг^х(Н°) = шах (шах дГ(дк>Н0)). (4)

Тогда задача оптимизации формулируется следующим образом: требуется найти такую расстановку Н° из п* крепежных элементов

Н° = агдношиц (3Гтах(Н°)). (5)

Задача 2. Минимизация вероятности дефекта. Для заданного числа крепежных элементов с заданными силами определить их расположение в предварительно заданных отверстиях так, чтобы оно обеспечивало минимальную вероятность дефекта в зоне стыка для всех начальных зазоров из облака.

Будем называть вычислительный узел "дефектным", если в нем значение результирующего зазора, вычисляемое для заданной расстановки крепежей Н0 и начального зазора д, превосходит некоторое заданное значение д* (рисунок 6).

Рисунок 6 - Результирующий зазор дгеБ после установки крепежа не превосходит

значение д*

Вероятность дефекта Рй определяется как отношение количества дефектных узлов к общему количеству узлов

0 0(дГ(д,#°)-д*)

РЖ,д) =

(6)

п

и

где в(х) = (0 '^ < 0 - ступенчатая функция Хевисайда. В случае оптимизации по облаку начальных зазоров О, выражение (6) примет вид:

пдпи

Тогда задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом: найти такую расстановку Н° из п* крепежных элементов, что

н° = а^н„^„^п,(рч(н0)> (8)

Задача 3. Поиск расстановки с минимальным числом элементов. Требуется определить шаблон установки крепежей Н° минимального размера,

обеспечивающий значение результирующего зазора во всех вычислительных узлах не более некоторого значения д*

nf(H0) = min (nf). (9)

*J H0,\H0\=nf

Несмотря на то, что основная цель всех трех постановок задачи заключается в нахождении шаблонов установки крепежных элементов, способных свести начальный зазор до некоторого допустимого значения, выбор функции цели оказывает значительное влияние на результаты, что будет продемонстрировано разделе 2.4.1.

1.4 Задача определения порядка установки крепежных элементов

В практике сборки самолетов очень важно правильно выбрать порядок установки временного крепления. Временные крепежные элементы устанавливаются сразу после просверливания отверстий и фиксируют относительные касательные смещения деталей, возникающие при сверлении, что делает процесс зависимым от порядка. Неправильный порядок установки крепежных элементов может привести к возникновению изгибов деталей и критическому увеличению зазора между деталями после установки крепежных элементов. Таким образом, необходимо моделировать установку каждого крепежа поочередно. Данное обстоятельство существенно усложняет моделирование процесса сборки и становится оправданным только в том случае, если эффект значительный, например, для достаточно гибких деталей и панелей с большой кривизной (например, панелей фюзеляжа).

Задача 4. Поиск порядка установки крепежных элементов, обеспечивающего минимально возможное значение максимального зазора. Для заданного шаблона Н0 из п^ крепежных элементов требуется определить порядок их установки, обеспечивающий минимально возможное значение максимального

результирующего зазора. Шаблон Н° описывается пронумерованным набором занятых отверстий, в которые будут установлены крепежные элементы Н0 = . Будем называть порядком установки последовательность номеров

отверстий, согласно которой устанавливается крепеж. Для шаблона из п элементов число таких последовательностей составляет п^!. Обозначим за /п множество всевозможных порядков установки крепежей в шаблоне:

^ _ }]=1,п/! _ { {кк }к=1,п/ }]=1,п/! _

Рассмотрим один из возможных порядков установки лу для некоторой расстановки крепежных элементов Н° = . При учете порядка установки

для расчета результирующего зазора после установки всех крепежей необходимо решить последовательно п/ контактных задач с расстановками из 1, 2, 3, ..., п/ крепежных элементов, устанавливаемых последовательно. После установки первого крепёжного элемента Лу и решения контактной задачи (2) с начальным зазором д и вектором приложенных сил , соответствующему нагрузке от крепёжного элемента лу1, результирующий зазор дге5(д,л1) будет выступать в качестве начального зазора для новой контактной задачи вида (2) при установке следующего крепёжного элемента л2, но с измененными параметрами:

тт — ^и), (11)

допустимое множество должно быть расширено дополнительным ограничением д1 — Лтит = 0 на относительные касательные перемещения в узле, соответствующем отверстию, в которое только что был установлен крепёжный элемент.

Щ = (и: дге5 = дге5 (д, ( л/)) — = д1 — > о}. (12)

Вектор F2C соответствует нагрузкам от первых двух установленных крепежных элементов.

Предположим, что был установлен п^ — 1 крепежный элемент. Тогда величина максимального зазора дтах для некоторого порядка Uj установки п элементов и начального зазора д может быть вычислена по следующей формуле

g^Uu) = ™™ дГ (gnf-\ (uf, uf.....ujf)), (13)

где gnf-1 - вектор результирующего зазора после установки п — 1 крепежного элемента. В случае облака начальных зазоров эта задача должна быть решена для каждого его элемента и соотношение (13) примет вид

gmix(Uj,G) = gl™ ffl 1 (uf, uf2, ■■■, ufnf))) (14)

Тогда задача поиска порядка установки элементов шаблона может быть сформулирована следующим образом: найти порядок установки и* крепежных элементов шаблона Н0, который обеспечивает минимальное значение величины максимального результирующего зазора для облака G

и* = arg min (gmax(uj,G)\ (15)

£Jn f

Стоит отметить, что задачи 1-4 могут быть обобщены к другим задачам о точечном соединении частей (сварка, болтовое соединение и т.д.).

Глава 2. Методы решения задач поиска наилучшего расположения и порядка

крепежных элементов

В этой главе обсуждаются основные особенности поставленных в предыдущей главе задач оптимизации, рассматриваются методы, наиболее часто используемые для решения задач подобного вида. Производится численный сравнительный анализ выбранных методов на примере модели сборки крыла и фюзеляжа. Результаты, представленные в данной главе, были опубликованы в работе [15].

2.1 Особенности задачи и выбор методов

Исследуемые задачи обладают следующими особенностями:

1. крепежи могут быть поставлены только в уже просверленные отверстия, т.е. их потенциальные позиции предопределены заранее, и отверстие может быть либо свободно, либо занято. Эта особенность позволяет отнести задачу к задачам комбинаторной оптимизации;

2. функции цели (задачи 1-4 из разделов 1.3-1.4) зависят неявным образом от аргументов, что позволяет отнести их к типу «черный ящик».

3. необходимость решения времязатратной контактной задачи после каждого изменения конфигурации крепежных элементов.

Перечисленные особенности накладывают существенные ограничения на выбор методов решения рассматриваемых задач, например, не позволяют использовать методы, основанные на вычислении производных. Далее опишем их более подробно.

2.1.1 Комбинаторная оптимизация

Согласно [22, 31], задачи определения числа и предъявления самих элементов конечного множества, обладающего некоторым свойством (или совокупностью), относятся к основным задачам комбинаторики. Как указано в [22], комбинаторная задача называется переборной, если в ней требуется найти один некоторый элемент из ее множества решений. Задача перечисления, соответствующая некоторой переборной задаче, заключается в определении мощности множества решений данной переборной задачи. Если задача позволяет ввести функцию величины на множестве решений и, тем самым, произвести упорядочение этого множества, то обычно можно сформулировать задачу комбинаторной оптимизации: определить подмножество решений исходной задачи, для которого функция величины максимальна (минимальна), а также определить соответствующий максимум (минимум).

Таким образом, первая особенность означает, что все задачи 1-4, описанные в параграфе, относятся к комбинаторным, поскольку поиск решения осуществляется среди предопределенного конечного множества отверстий. В то же время, в задаче 3 (поиск минимального числа и положения фиксирующих элементов) можно отдельно выделить задачу перечисления. Действительно, для определения шаблона установки крепежей минимального размера с определенным свойством (после установки зазор не более определенного значения), требуется сначала найти все расстановки, обладающие этим свойством, после чего выбрать одну.

Первая и вторая особенности накладывают существенные ограничения на выбор методов. В реальных задачах число отверстий исчисляется сотнями, а количество крепежей, которые требуется установить, обычно соответствует половине общего числа отверстий [32-33], перебор всех возможных вариантов с решением контактной задачи для каждого из них не представляется возможным: в случае поиска наилучшей расстановки фиксированного размера необходимо

проверить все возможные сочетаний без повторений (в случае, когда порядок установки не учитывается) из п^ по п^, то есть перебор С™^ = ^ ¡^^^ ), вариантов

(при п^ « 300 и п « 150 число вариантов составит порядка 9.3-1088);в случае определения порядка установки для шаблона из п элементов, потребуется проверить п^! вариантов. Несмотря на это, встречаются работы, как например [34], где в случае небольшой размерности решаемой задачи используют метод перебора, так как он гарантирует нахождение наилучшего решения.

Если предположить, что зона стыка рассматриваемого соединения настолько велика, что пустые отверстия располагаются так далеко друг от друга, что установка нового крепежа не вызывает деформации детали в области возможной установки других крепежей, то задача о рюкзаке [22] может быть сведена к задаче 1: заданы конечное множество и, положительные целые числа В и К а также размеры я (и) и стоимость ^(и) для каждого элемента и£ У. Требуется определить такое подмножество У' с V, что £иеи'5(и) < В и У' = агд тах£иби* р(и). Это

наблюдение позволяет полагать, что исходная задача окажется заведомо труднее, поскольку ситуация, в которой установленные крепежные элементы не оказывают влияние друг на друга, является нехарактерной для сборки авиационных конструкций.

Основная сложность описанных задач оптимизации заключается как раз в том, что нельзя оценить каждый фиксирующий элемент отдельно, поскольку установка нового крепежного элемента существенно влияет на положение всей зоны стыка и классифицировать установленные крепежи в рассматриваемой зоне стыка можно только в совокупности.

Про задачу о рюкзаке известно, что она является №-полной, то есть не может быть решена за полиномиальное время. Большинство методов решения подобных задач можно разделить на группы:

1. методы Монте-Карло,

2. эвристические методы,

3. методы локального поиска.

Среди первой группы методов можно выделить широко используемый алгоритм имитации отжига, (который также относится и к эвристическим методам, и к методам локального поиска). Работа [19] (из 16 статей) посвящена различным вариантам применения данного алгоритма для решения задач комбинаторной оптимизации из различных областей, в том числе №-трудных задач (квадратичная задача о назначениях, задача разбиения множества чисел, задача о коммивояжере), задач распознавания изображений, задач размещения. В работе [ 35] рассматривается задача, похожая по структуре на описанные выше задачи 1-3. В центре исследования находится оптимизационная задача поиска расположения сирен, оповещающих гражданское население, с нелинейной функцией цели для увеличения числа оповещенных людей при ограниченных финансовых затратах, решаемая алгоритмом имитации отжига. Статья [36] посвящена поиску алгоритмом имитации отжига оптимального положения ветряных турбин, которые, аналогично задаче позиционирования крепежа, перемещаются одна за другой в некотором определенном радиусе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Погарская Татьяна Аркадьевна, 2021 год

Список литературы

1. Вдовин Д.С. Оптимизация расположения сварных точек на кузовных конструкциях несущих систем колесных машин с использованием генетического алгоритма // Известия ВУЗов Машиностроение - 2007 -T. 4 - С 34-40.

2. Shelley Xie L. Clamping and welding sequence optimization for minimizing cycle time and assembly deformation / Shelley Xie L., Hsieh C. // International Journal of Materials and Product Technology - 2002. - V. 17 - № 5-6 - P.389-399.

3. Liao Y.G. Optimal design of weld pattern in sheet metal assembly based on a genetic algorithm / Liao Y.G. // International Journal of Advanced Manufacturing Technology -2005. - V. 26 - № 5-6 - P.512-516.

4. Puchner K. Spot weld optimization regarding stiffness and fatigue using standard software / Puchner K., Dannbauer H., Meise M. // SAE Technical Papers - 2006.

5. Bhatti Q.I. Robust optimization and quality control in spot welded structures / Bhatti Q.I., Ouisse M., Cogan S. // Conference Proceedings of the Society for Experimental Mechanics Series - 2011. - V. 2 - P.297-309.

6. Горбач В. Д. Отработка технологии изготовления сложных пространственных конструкций корпусов судов и кораблей на основе математического моделирования и расчетной оценки сварочных деформаций с использованием метода конечных элементов / Михайлов В. С., Попов А. Е., Куликов В. П., Зеленин М. Н., Антонова Н. П. // Морской ввестник - 2009. - Т. 30 - № 31. - С. 106-110.

7. Faiq M. Welding sequence optimization for the fabrication of Box Girder / Faiq M., Mufti R.A. // ICET 2016 - 2016 International Conference on Emerging Technologies -2017.

8. Кудаев С.П. Моделирование процесса сварки боковой стенки вагона зерновоза в среде SolidWorks Simulation / Кудаев С.П., Чугунов М.В., Фоминов А.Г., Борискин С.И., Курганов В.В., Кармишин А.М. // Вестник Мордовского университета. -2015. - Т. 25 - № 1 - С. 96-100.

9. Yang D. Evaluation of residual clearance after pre-joining and pre-joining scheme optimization in aircraft panel assembly / Yang D., Qu, W,. Ke, Y. // Assembly Automation. - 2016 - Vol. 36. - p.376-387;

10. Petukhova M. V. Numerical approach for airframe assembly simulation / Petukhova M. V., Lupuleac S. V., Shinder Y.K., Smirnov A.B., Yakunin S.A., Bretagnol B. // Journal of Mathematics in Industry - 2014. - T. 4 - № 1 - P. 1-12.

11. Muelaner J.E. Large Scale Metrology In Aerospace Assembly // Muelaner J.E., Maropoulos, P. // Proceedings of 5th International Conference on Digital Enterprise Technology, Nantes, France, October, 22-24 - 2008;

12. Wärmefjord K. Tolerance simulation of compliant sheet metal assemblies using automatic node-based contact detection / Wärmefjord K., Lindkvist L., Söderberg R. // ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Proceedings -2009. - V. 14 - P.35-44.

13. Lorin S. Efficient Compliant Variation Simulation of Spot-Welded Assemblies / Lorin S., Lindau B., Lindkvist L., Söderberg R. // Journal of Computing and Information Science in Engineering - 2019. - V. 19 - № 1.

14. Lorin S. Efficient variation simulation of spot-welded assemblies / Lorin S., Lindau B., Tabar R.S., Lindkvist L., Wärmefjord K., Söderberg R. // ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Proceedings (IMECE) - 2018. - V. 2.

15. Lupuleac S. Optimization of fastener pattern in airframe assembly / Lupuleac S., Pogarskaia T., Churilova M., Kokkolaras M., Bonhomme E. // Assembly Automation -2020. - V. 40 - № 5.

16. Yang D. Evaluation of residual clearance after pre-joining and pre-joining scheme optimization in aircraft panel assembly / Yang D., Qu W., Ke Y. // Assembly Automation - 2016. - V. 36 - № 4 - P.376-387.

17. Hasegawa H. The optimisation of spot-weld positions for vehicle design by using hybrid meta-heuristics / Hasegawa H., Sasaki H., Uehara H., Kawamo K. // International Journal of Vehicle Design - 2007. - V. 43 - № 1-4 - P.151-172.

18. Chickermance H. Optimal fastener pattern design considering bearing loads / Chickermance H., Gea H.C., Yang R.J., Chuang C.H. // Structural Optimization - 1999.

- V. 17 - № 2-3 - P.140-146.

19. Applied simulated annealing. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems / editor Rene V.V. Vidal - Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1993 - ISBN 978-3-642-46787-5

20. Audet C. Introduction: Tools and Challenges in Derivative-Free and Blackbox Optimization / C. Audet, W. Hare - Springer Nature, 2017.- 3-14c.

21. Stuart J. R. Artificial Intelligence: A Modern Approach, 3rd Edition / Stuart J. R. and Peter N. -USA: Pearson Education, 2010 - ISBN 9780136042594

22. Гэри М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи / Гэри М., Джонсон Д. - Москва: Мир, 1982. - 419 с.

23. Spira, A., Kimmel, R.: An efficient solution to the eikonal equation. Interfaces Free Boundaries 6(3) (2004) 315-327

24. Ласло Т. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве// М., Физматгиз, 1958. 364 с.

25. Xiang Y. Optimal crashworthiness design of a spot-welded thin-walled hat section / Xiang Y., Wang Q., Fan Z., Fang H. // Finite Elements in Analysis and Design - 2006. -V. 42 - № 10 - P.846-855.

26. Lupuleac S. Simulation of the Wing-to-Fuselage Assembly Process / Lupuleac S., Zaitseva N., Stefanova M., Berezin S., Shinder J., Petukhova M., Bonhomme E. // Journal of Manufacturing Science and Engineering, Transactions of the ASME - 2019. - V. 141

- № 6.

27. Oinonen A. Pattern optimization of eccentrically loaded multi-fastener joints / Oinonen A., Tanskanen P., Bjork T., Marquis G. // Structural and Multidisciplinary Optimization - 2010. - V. 40 - № 1-6 - P.597-609.

28. Cai W. Fixture optimization for sheet panel assembly considering welding gun variations // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science - 2008. - V. 222 - № 2 - P.235-246.

29. Петухова, Маргарита Владимировна. Разработка алгоритмов решения одного класса контактных задач: диссертация кандидата технических наук : 05.13.18 / Петухова Маргарита Владимировна; [Место защиты: Ин-т систем. анализа РАН].-Москва, 2013.- 119 с.

30. Гусева, Р. И. Особенности технологии сборки планера самолета: учеб. пособие / Р. И. Гусева. - Комсомольск-на-Амуре : ФГБОУ ВПО «КнАГТУ», 2013. - 133 с.

31. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. - Пер. с франц. - Москва: Наука, 1975. - 480 с.

32. Zaitseva, N. Simulation of Aircraft Assembly via ASRP Software / N. Zaitseva, T. Pogarskaia, O. Minevich, J. Shinder, E. Bonhomme // SAE Technical Papers. - 2019. -P. 2019-01-1887.

33. Pogarskaia T. Simulation and optimization of aircraft assembly process using supercomputer technologies / Pogarskaia T., Churilova M., Petukhova M., Petukhov E. // Communications in Computer and Information Science - 2019. - V. 965.

34. Zong X. Optimization of welding process for box-Type structural parts with complex spatial orientation / Zong X., Fang Y., Huang S., Wang C. // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science - 2019. - V. 218 - № 1 - P.012048.

35. Hansen T.D. Location of Civil Defence Sirens. / Vidal R.V.V. (eds) // Applied Simulated Annealing. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems - V. 396 - Springer, Berlin, Heidelberg, 1993

36. Luckehe, D. Simulated annealing with parameter tuning for wind turbine placement optimization / Luckehe, D., Kramer, O. & Weisensee, M. // in Proceedings of the LWA Workshops LWA 2015 Workshops: KDML, FGWM, IR, and FGDB, Trier, P. 108-119

37. Arabi B.H. Solving NP-complete problems using Genetic Algorithms / Arabi B.H. // Proceedings - 2016 UKSim-AMSS 18th International Conference on Computer Modelling and Simulation, UKSim 2016 - 2016. - P.43-48.

38. Diveev A.I. Variational Genetic Algorithm for NP-hard Scheduling Problem Solution / Diveev A.I., Bobr O. V. // Procedia Computer Science - 2017. - V. 103 - P.52-58.

39. Liel O. A rapid convergent genetic algorithm for NP-hard problems / Liel O., Thirer N.S. // Artificial Intelligence and Machine Learning for Multi-Domain Operations Applications - 2019. - V. 11006 - P.39

40. Razip H. Combining approximation algorithm with genetic algorithm at the initial population for NP-complete problem / Razip H., Zakaria M.N. // IEEE Student Conference on Research and Development: Inspiring Technology for Humanity, SCOReD 2017 - Proceedings - 2018. - V. 2018- Janua - P.98-103.

41. Du K.L. Search and optimization by metaheuristics: Techniques and algorithms inspired by nature / K. L. Du, M. N. S. Swamy - Springer International Publishing, 2016.-1-434c.

42. Geman S. Stochastic Relaxation, Gibbs Distributions, and the Bayesian Restoration of Images / Geman S., Geman D. // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence - 1984. - V. PAMI-6 - № 6 - P.721-741.

43. Haouari M. A probabilistic greedy search algorithm for combinatorial optimisation with application to the set covering problem / Haouari M., Chaouachi J.S. // Journal of the Operational Research Society - 2002. - V. 53 - № 7 - P.792-799.99

44. Potebnia A. Representation of the greedy algorithms applicability for solving the combinatorial optimization problems based on the hypergraph mathematical structure / Potebnia A. // 2017 14th International Conference The Experience of Designing and Application of CAD Systems in Microelectronics, CADSM 2017 - Proceedings - 2017. - P.328-332.

45. Zheng Y. A simple greedy algorithm for a class of shuttle transportation problems / Zheng Y., Xu C., Xue J. // Optimization Letters - 2009. - V. 3 - № 4 - P.491-497.

46. Вахнин А. В. Новый метод группировки переменных для задач параметрической оптимизации большой размерности / Вахнин А. В., Сопов Е. А. // Сибирский журнал науки и технологий, 2018. - V. 19 - № 3 - С. 386-395.

47. Сопов Е.А., Самоконфигурируемый ансамбль генетических алгоритмов для решения задач мультимодальной оптимизации / Сопов Е.А., Аплеснин С.С. // Сибирский журнал науки и технологий, 2015. - Т.4.

48. Pardalos P.M.Mathematics without boundaries: Surveys in interdisciplinary research / P. M. Pardalos, T. M. Rassias - Springer New York, 2014.- 1-648c.

49. Isebor O.J. A derivative-free methodology with local and global search for the constrained joint optimization of well locations and controls / Isebor O.J., Durlofsky L.J., Echeverría Ciaurri D. // Computational Geosciences - 2014. - V. 18 - № 3-4 - P.463-482.

50. Ahmad M. Joint user selection, mode assignment, and power allocation in cognitive radio- assisted D2D networks / Ahmad M., Naeem M., Iqbal M., Ejaz W., Anpalagan A. // IET Communications - 2018. - V. 12 - № 10 - P.1207-1214.

51. Orakzai F.A. Energy efficient joint radio resource management in D2D assisted cellular communication / Orakzai F.A., Iqbal M., Naeem M., Ahmad A. // Telecommunication Systems - 2018. - V. 69 - № 4 - P.505-517.

52. Müller J. SO-MI: A surrogate model algorithm for computationally expensive nonlinear mixed-integer black-box global optimization problems / Müller J., Shoemaker C.A., Piché R. // Computers and Operations Research - 2013. - V. 40 - № 5 - P.1383-1400.

53. Judson R.S. Do intelligent configuration search techniques outperform random search for large molecules? / Judson R.S., Colvin M.E., Meza J.C., Huffer A., Gutierrez D. // International Journal of Quantum Chemistry - 1992. - V. 44 - № 2 - P.277-290.

54. Jarugumilli K.P. A Nonlinear Knapsack Problem Arising inLocation Problems with Lead Time and Safety Stock Considerations. / Jarugumilli K.P. - 2012.

55. Dantas B.D.A. A Parallelization of a Simulated Annealing Approach for 0-1 Multidimensional Knapsack Problem Using GPGPU / Dantas B.D.A., Caceres E.N. // Proceedings - Symposium on Computer Architecture and High Performance Computing - 2016. - P.134-140.

56. Audet C. Mesh adaptive direct search algorithms for constrained optimization / Audet C., Dennis J.E. // SIAM Journal on Optimization - 2007. - V. 17 - № 1 - P.188-217.

57. Abramson M.A. Mesh adaptive direct search algorithms for mixed variable optimization / Abramson M.A., Audet C., Chrissis J.W., Walston J.G. // Optimization Letters - 2009. - V. 3 - № 1 - P.35-47.

58. Audet C. Robust optimization of noisy blackbox problems using the Mesh Adaptive Direct Search algorithm / Audet C., Ihaddadene A., Digabel S. Le, Tribes C. // Optimization Letters - 2018. - V. 12 - № 4 - P.675-689.

59. Audet C. Order-based error for managing ensembles of surrogates in mesh adaptive direct search / Audet C., Kokkolaras M., Digabel S. Le, Talgorn B. // Journal of Global Optimization - 2018. - V. 70 - № 3 - P.645-675.

60. Charles Audet and J. E. Dennis, Jr., A Progressive Barrier for Derivative-Free Nonlinear Programming, SIAM Journal on Optimization 2009 20:1, 445-472

61. Reeves C. R. Using Genetic Algorithms with Small Populations // In Proceedings of the 5th International Conference on Genetic Algorithms - Morgan Kaufmann Publishers Inc., 1993 - P. 92-99.

62. Popov N.P. Geodesic distance numerical computation on compliant mechanical parts in the aircraft industry / Popov N.P., Pogarskaia T.A. // Journal of Physics: Conference Series - 2019. - V. 1326 - № 1 - P.012026.

63. Pogarskaia T. Novel approach to optimization of fastener pattern for airframe assembly process / Pogarskaia T., Lupuleac S., Bonhomme E. // Procedia CIRP - 2020. - V. 93 - P.1151-1157.

64. Pogarskaia T. Application of a Novel Approach Based on Geodesic Distance and Pressure Distribution to Optimization of Automated Airframe Assembly Process / Pogarskaia T., Churilova M., Bonhomme E. // Communications in Computer and Information Science - 2020. - V. 1331 - P.162-173.

65. Hamza A. Ben Geodesic matching of triangulated surfaces / Hamza A. Ben, Krim H. // IEEE Transactions on Image Processing - 2006. - V. 15 - № 8 - P.2249-2258.

66. Prados E. Control theory and fast marching techniques for brain connectivity mapping / Prados E., Lenglet C., Pons J.P., Wotawa N., Deriche R., Faugeras O., Soatto S. // Proceedings of the IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition - 2006. - V. 1 - P.1076-1083.

67. G. Peyre, L.D. Cohen, Advances in Computational Vision and Medical Image Processing - Springer Netherlands, 2009 - V.13 - №29.

68. Baklanov S. Newton projection method as applied to assembly simulation / Baklanov S., Stefanova M., Lupuleac S. // Optimization Methods and Software - 2020.

69. Lupuleac S. Optimization of Automated Airframe Assembly Process on Example of A350 S19 Splice Joint / Lupuleac S., Shinder J., Churilova M., Zaitseva N., Khashba V., Bonhomme E., Montero-Sanjuan P. // SAE Technical Papers - 2019. - V. 2019- Septe - № September.

70. Lupuleac S. Software Complex for Simulation of Riveting Process: Concept and Applications / S. Lupuleac, M. Petukhova, J. Shinder, A. Smirnov, M. Stefanova, N. Zaitseva, T. Pogarskaia, E. Bonhomme // SAE Technical Papers - 2016. - V. 2016-Octob - № October.