Разработка методов решения задач нелокального переноса излучения и спектроскопической диагностики плазмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Сдвиженский Петр Александрович

• Сдвиженский Петр Александрович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Сдвиженский Петр Александрович

Введение

Глава 1. Разработка метода получения автомодельных решений задачи нелокального нестационарного переноса излучения в однородной плазме

1.1. Законы подобия для функции Грина нестационарного уравнения Бибермана-Холстейна в однородной плазме

1.1.1. Функция Грина уравнения Бибермана-Холстейна

1.1.2. Закон подобия для распространяющегося фронта

1.1.3. Законы подобия для асимптотик

1.2. Автомодельность функции Грина нестационарного уравнения Бибермана-Холстейна и ее связь с полетами Леви

1.3. Обобщение законов подобия и автомодельности на широкий класс нестационарных явлений супердиффузии в однородной среде

1.3.1. Метод получения автомодельной функции Грина

1.3.2. Проверка и восстановление автомодельной функции Грина из сравнения с точным решением

Глава 2. Получение аналитических автомодельных решений задачи нелокального стационарного переноса излучения в неоднородной плазме

2.1. Аналитические автомодельные решения для стационарного переноса излучения в спектральных линиях в неоднородном плазменном слое

2.2. Автомодельность уравнения переноса линейчатого излучения как инструмент контроля численных транспортных кодов

2.2.1. Применение к переносу излучения в плазме в линии лайман-а

2.2.2. Сравнение с методом прострельного выхода фотонов

Глава 3. Обратные задачи в спектроскопической диагностике термоядерной плазмы

3.1. Методика расчёта точности томсоновской диагностики немаксвелловской функции распределения электронов плазмы по скоростям (ФРЭС) в токамаках-реакторах

Заключение

Благодарности

Список литературы

Приложение

Результаты расчетов точности томсоновской диагностики центральной плазмы в ИТЭР

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов решения задач нелокального переноса излучения и спектроскопической диагностики плазмы»

Введение

Настоящая работа посвящена разработке методов решения задач нелокального переноса излучения и спектроскопической диагностики плазмы. Актуальность рассмотренных задач обусловлена как их общефизическим интересом, так и практической значимостью в исследованиях лабораторной (прежде всего, термоядерной) и астрофизической плазмы. Основные задачи в общефизическом аспекте работы включают разработку методов решения задач нелокального переноса излучения, в том числе их обобщение на широкий класс явлений нелокального (супердиффузионного) переноса с доминирующей ролью длиннопробежных переносчиков (т.н. полетов Леви). Прикладной аспект работы связан, во-первых, с возможностью использования полученных результатов для тестирования численных кодов и приближенных аналитических методов для переноса излучения в плазме и, во-вторых, с разработкой методов оптимизации спектроскопической (в основном, томсоновской) диагностики термоядерной плазмы.

Исследование процессов супердиффузии (или, эквивалентно, нелокального переноса, или процессов с доминирующим вкладом полетов Леви) является активно развивающейся областью науки, так как оно нацелено на решение актуальных вычислительно-трудоемких задач на стыке физики и математики. Актуальность разработки новых подходов к моделированию нелокального переноса в лабораторной и астрофизической плазме обусловлена известной трудностью решения уравнений переноса, интегральных по пространству и волновым числам переносчиков энергии (фотонов, быстрых частиц и др.). Автомодельность случайных блужданий обычно ассоциируется с тем фактом, что пространственно-временная эволюция переноса от мгновенного точечного источника в однородной среде (т.е. функция Грина) сводится к функции одной переменной. В случае нормальной (или обыкновенной) диффузии, определяемой как броуновское движение, описываемое дифференциальным уравнением фоккер-планковского типа, функция Грина является гауссианом, чей аргумент определяет

закон подобия для распространяющегося фронта г&(/) ~ (В?)1/2, где В - коэффициент диффузии.

В более общем случае, вне рамок броуновского движения, расходимость среднего квадрата расстояния, проходимого переносчиком за заданное время, вызванная медленным, степенным спадом функции распределения смещения переносчиков по длине их свободного пробега (ФРСП), приводит к супердиффузионному переносу (см., напр., [1-4]). В этом случае основной вклад в перенос вносят длиннопробежные переносчики (названные Мандельбротом [5] полетами Леви, см. [1]). В ряде физических задач супердиффузию принято называть нелокальным переносом, который описывается интегральным, по пространственным переменным, уравнением, несводимым к дифференциальному. Это имеет место, например, для уравнения Бибермана-Холстейна [6, 7], которое выводится из пары дифференциальных кинетических уравнений для фотонов и атомов, или ионов, и описывает пространственно-временную эволюцию плотности возбужденных атомов/ионов, вызванную переносом резонансного излучения в спектральных линиях в плазме и газах. Уравнение Бибермана-Холстейна предполагает полное перераспределение по частоте (в пределах спектральной линии) в элементарном акте резонансного рассеяния (т.е. поглощения и последующего излучения) фотона атомом/ионом (см. [8] - в астрофизике, [9-11] -в кинетике низкотемпературной плазмы, [12] - в спектроскопии и радиационных потерях плазмы в установках для управляемого термоядерного синтеза). Потеря памяти об энергии и направлении переносчика возбуждения среды (в данном случае - фотона) во время его захвата атомом/ионом делает процесс марковским. Соответствующее значение В в дифференциальном уравнении, выводимом из интегрального посредством необходимых разложений/упрощений, явно зависит от размера Ь конечной среды и стремится к бесконечности при Ь ® ¥ (см., напр., [10, 12]). Последнее делает саму концепцию диффузионности неприменимой при таком механизме переноса (тем не менее, термин «диффузия» иногда применяется к таким явлениям). Соответствующее значение среднеквадратического смещения первичного возбуждения в бесконечной среде расходится, поэтому закон

распространения фронта должен определяться подходящим для супердиффузии образом [13] (см. также [9, 12]).

Роль длиннопробежных фотонов (т.е. крыльев спектральной линии) была выявлена в [14, 15], что послужило основой для методов прострельного вылета [16], в зарубежной литературе - escape probability methods (см., напр., [17, 18]). В этих методах поглощение линейчатого излучения учитывается как увеличение радиационного времени жизни возбужденного состояния атома, поскольку интегральное уравнение переноса можно приближено свести к алгебраическому.

Модель Бибермана-Холстейна для переноса резонансного излучения очень широко используется в физике низкотемпературной плазмы [9, 11]. Это включает и периферийную плазму в установках для управляемого термоядерного синтеза. Модель Бибермана-Холстейна применялась при расчетах переноса излучения в лаймановской линии изотопов водорода в диверторе будущих и действующих токамаков, соответственно, ИТЭР и JET, [19], а также в оценках эффектов непрозрачности плазмы при инжекции газа для смягчения последствий срыва тока в токамаках [20]. Подход Бибермана-Холстейна к описанию переноса резонансного излучения оказался полезным для описания других явлений переноса. Этот подход был обобщен в [21] (в развитие [22]) на случай переноса тепла продольными плазменными волнами (электронными бернштейновскими), а в [23-25] (в развитие [26-28]) - поперечными плазменными волнами (электронными циклотронными). В указанных процессах возбуждение среды находится в непрерывном спектре по энергии, а именно, в свободных, плазменных электронах. Возможно применение подхода Бибермана-Холстейна и к описанию переноса при переходах между дискретным и непрерывным спектром энергии излучателей (см. [29] для фоторекомбинационного излучения).

Несмотря на то, что термин «полеты Леви» не использовался в [6-29], основной механизм переноса, рассмотренный в этих статьях, по сути относится именно к этой категории.

Альтернативой уравнению Бибермана-Холстейна, широко применяемому для описания лабораторной плазмы, является часто используемый в астрофизике

подход, при котором упомянутая выше пара дифференциальных кинетических уравнений сводится к интегральному, в пространственных переменных, уравнению для интенсивности излучения (см., напр., [8, 30]). Здесь доминирующая роль длиннопробежных пролетов (т.е. полетов Леви) также осознана, хотя, обычно, и без соответствующего именования.

В настоящее время ситуация в литературе складывается противоречивая. С одной стороны, в статье "A Levy flight for light" [31] утверждается, что «... до настоящего времени не казалось возможным наблюдать и изучать перенос полетами Леви в существующих материалах. Например, экспериментальная работа по диффузии тепла, звука и света обычно ограничивается нормальной, броуновской диффузией.» С другой стороны, роль полетов Леви для света в традиционном переносе излучения в спектральных линиях исследована, например, в [32]. Здесь многократное рассеяние околорезонансного света в горячих атомных парах, характеризующихся допплеровским уширением спектральной линии, экспериментально подтвердило теоретические исследования [33], где было показано, что траектории фотонов в модели Бибермана-Холстейна для переноса резонансного излучения в спектральных линиях с допплеровским, лоренцевским и фойгтовским механизмами уширения содержат полеты Леви.

За последние десятилетия возникла и развилась оригинальная версия супердиффузии, основанная на формализме дробных производных. В настоящее время она вышла далеко за пределы чистой математики и широко применяется во многих приложениях (см., напр., [1, 2, 34]). В рамках этого формализма законы подобия (т.е., самоподобие, автомодельность решений) получаются значительно проще, чем в случае интегральных уравнений, однако получить точное решение не менее затруднительно, чем в формализме интегральных уравнений.

Получение универсальных законов подобия для стационарного и нестационарного уравнений Бибермана-Холстейна и более широкого класса уравнений супердиффузии представляет общефизический и практический интерес. Достичь такой цели возможно, опираясь на доминирующую роль полетов Леви в

нелокальном переносе. В задачах нестационарного переноса типа модели Бибермана-Холстейна такие возможности, как оказывается, далеко не исчерпаны.

В главе 1 будет исследован трехмерный перенос резонансного излучения в модели Бибермана-Холстейна для различных форм спектральной линии (раздел 1.1). Проверку общего автомодельного решения уместно провести посредством сравнения с аналитическими решениями Векленко [13] для функции Грина для допплеровского и лоренцевского контуров спектральной линии, а также с подобными решениями для контуров Фойгта и Хольцмарка (раздел 1.2). Далее мы попытаемся существенно расширить класс задач для переносов полетами Леви и сформулируем основные принципы метода для одномерного (Ш) переноса для модельной функции распределения по длине свободного пробега (ФРСП) с медленно спадающим «хвостом» и протестируем предложенное автомодельное решение путем его сравнения с точным решением для различных показателей степени спада (раздел 1.3). Такое обобщение в наиболее явном виде выделяет основные свойства нелокального переноса и позволяет развить метод описания, подсказанный изучением переноса резонансного излучения в модели Бибермана-Холстейна. Все это представляет интерес для широкого круга задач далеко за пределами физики плазмы.

В следующей главе будет продолжено рассмотрение переноса в модели Бибермана-Холстейна, но основной акцент перенесен с нестационарного переноса в однородной среде на стационарный перенос в неоднородной среде. Для такого класса задач выражение кинетического уравнения через автомодельные переменные позволяет получить точные аналитические решения, которые могут быть использованы для тестирования соответствующих блоков численных транспортных кодов и приближенных аналитических методов для описания явлений переноса. В качестве примера эффективности автомодельных переменных можно привести их использование для решения стационарных кинетических уравнений для столкновений с участием электронов [35] и нейтральных атомов [36] в сильно неоднородной плазме. Здесь автомодельность (или, эквивалентно, самоподобие) решения (т.е. зависимость его от меньшего числа переменных, чем

полное число независимых переменных задачи) реализуется в случае нелокальных (недиффузионных) пространственных корреляций функции распределения, например, для надтепловых электронов [35] и для быстрых нейтралов, образующихся в результате перезарядки [36].

В главе 2 в разделе 2.1 будут приведены результаты обобщения подхода [35, 36] на случай стационарного уравнения Бибермана-Холстейна в неоднородном плоском плазменном слое. Здесь будет исследован случай одномерного переноса для определенного типа подобия пространственных профилей трех характеристик, а именно, плотности невозбужденных атомов, ширины спектральной линии и плотности мощности нерадиационного источника возбуждения атомов. Далее будет изучена возможность аналитического описания профиля плотности возбужденных атомов в терминах параметров подобия упомянутых выше профилей. В главе 2 в разделе 2.2 на примере модельной задачи трехмерного переноса в линии лайман-альфа в плоском слое водородной плазмы оценивается реалистичность накладываемых моделью требований к профилям параметров плазмы, приводится сравнение с известным приближением «прострельного» выхода [14, 16], а также дается краткое обсуждение того, как обнаруженные классы аналитических решений можно использовать для проверки численных кодов для расчета переноса излучения в плазме, включая коды для расчета переноса излучения в основной плазме и для расчетов радиационных потерь за счет излучения примесей.

Третья глава посвящена спектроскопической диагностике плазмы, в основном - томсоновскому рассеянию лазерного излучения, включая приложение разработанного метода к этой диагностике в ИТЭР. При диагностике высокой электронной температуры Те центральной плазмы в токамаках-реакторах (ДЕМО и ИТЭР) с помощью томсоновского рассеяния приходится работать в ограниченном спектральном диапазоне сильно уширенного спектра томсоновского рассеяния и учитывать возможное отклонение функции распределения электронов по скоростям (ФРЭС) от максвелловской в условиях сильного дополнительного нагрева или других источников термодинамической неравновесности в

высокотемпературной плазме. По результатам исследования [37] возможностей повышения точности томсоновской диагностики центральной плазмы были предложены (а) использование нескольких зондирующих длин волн с целью увеличения количества сигналов от различных спектральных каналов и (б) интерпретация данных томсоновской диагностики в рамках модели, предполагающей немаксвелловость ФРЭС электронов в слабо/умеренно надтепловом диапазоне энергий и дополнительно использующей данные других диагностик для более высоких энергий электронов (например, данные недавно предложенной диагностики [38]).

В главе 3 в разделах 3.1-3.2 будет разработана методика расчётов точности томсоновской диагностики немаксвелловской плазмы в токамаках-реакторах. Методика основана на корректном расчёте ошибок определения основных параметров ФРЭС по результатам измерения спектров томсоновского рассеяния с учётом возможных источников ошибок в измерительной системе. Методика использована для анализа преимуществ использования нескольких зондирующих длин волн в томсоновской диагностике максвелловской и немаксвелловской плазмы. Здесь решается обратная задачи для оценки погрешностей восстанавления температуры электронов Те основного теплового (т.е. максвелловского) компонента вплоть до Те ~ 40 кэВ по измерениям спектра в диапазоне видимого и инфракрасного света, ~400—1000 нм, и восстановления параметров умеренной анизотропии по питч-углам у ФРЭС электронов в слабо/умеренно надтепловом диапазоне энергий. Рассматривается конкретный пример системы томсоновской диагностики центральной плазмы в ИТЭР, приводится сравнительный анализ старой и новой методик.

В главе 3 в разделе 3.3 описывается новый алгоритм диагностики основных параметров ФРЭС в условиях ее существенного отклонения от максвелловской. Алгоритм объединяет два ранее разработанных алгоритма определения ФРЭС: (1) по томсоновскому рассеянию [39] (этот алгоритм подробно изложен в разделах 3.1-3.2 главы 3) и (и) по электронному циклотронному (ЭЦ) излучению [38] в спектральном диапазоне, для которого плазма является оптически прозрачной (т.е.

для немалых гармоник основной ЭЦ частоты). Важным примером выхода за рамки предположения о максвелловости ФРЭС при сильном дополнительном нагреве в действующих токамаках является работа [40]. В разделе 3.3 дается анализ возможностей предлагаемой комплексной диагностики достаточно сильного отклонения ФРЭС от максвелловской в случае гипотетического эксперимента, в котором используются технические параметры томсоновской диагностики центральной плазмы в ИТЭР, а также развивается методика анализа точности этой диагностики [41]. Для описания плазмы использованы данные предсказательного моделирования т.н. стационарного сценария разряда в ИТЭР [42].

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в работах [37, 39, 41, 43-50].

Целями диссертационной работы являются:

1) Разработка метода получения универсальных приближенных решений уравнения Бибермана-Холстейна для нестационарного переноса резонансного излучения в плазме и его обобщение на широкий класс явлений нелокального (супердиффузионного) переноса с доминирующей ролью длиннопробежных переносчиков (полетов Леви).

2) Получение аналитических решений стационарного переноса излучения в резонансных линиях в сильно неоднородном плазменном слое.

3) Разработка метода расчёта точности диагностики параметров горячей немаксвелловской электронной плазмы в термоядерных реакторах по томсоновскому рассеянию электронами лазерного излучения и анализ точности «многоцветной» томсоновской диагностики центральной плазмы в токамаке ИТЭР.

Научная новизна

1) Предложен новый метод определения параметров подобия для нестационарного нелокального переноса резонансного излучения в однородной плазме, позволяющий определить законы подобия за фронтом волны возбуждения среды и найти общее приближенное решение во всем интервале -до фронта, на нем и после него.

2) Впервые найдено приближенное автомодельное решение нестационарного уравнения Бибермана-Холстейна в однородной среде для произвольного контура линии излучения/поглощения и предложено его обобщение на широкий класс переносов возмущения среды длиннопробежными переносчиками (полетами Леви) в однородной среде.

3) Впервые получено аналитическое автомодельное решение задачи стационарного переноса излучения в резонансных линиях в сильно неоднородном плазменном слое для широкого класса профилей параметров плазмы.

4) Предложен новый метод расчёта точности томсоновской диагностики плазмы в токамаках-реакторах, позволяющий одновременно учесть широту и асимметрию спектра рассеянного лазерного излучения и типичную неравновесность (немаксвелловость) электронов.

5) Впервые проведен анализ точности «многоцветной» томсоновской диагностики центральной плазмы в ИТЭР с учетом возможной немаксвелловости электронов и источников ошибки в измерительной системе.

Практическая значимость

1) Обобщение нового метода получения приближенных автомодельных решений уравнения Бибермана-Холстейна на широкий класс явлений нелокального (супердиффузионного) переноса с доминирующей ролью полетов Леви открывает возможности приложения метода далеко за пределами физики плазмы.

2) Предложенный метод расчёта точности томсоновской диагностики плазмы в токамаках-реакторах позволил показать преимущества «многоцветной» томсоновской диагностики центральной плазмы в токамаке ИТЭР. Разработанный метод и программы используются при текущей разработке и оптимизации этой диагностики в ИТЭР.

3) Полученные аналитические решения задачи переноса излучения в резонансных линиях в сильно неоднородном плазменном слое можно использовать для

тестирования численных транспортных кодов и аналитических приближений для описания переноса линейчатого излучения в периферийной плазме.

Положения, выносимые на защиту

1) Метод определения параметров подобия для нестационарного нелокального переноса резонансного излучения в однородной плазме.

2) Автомодельное решение нестационарного уравнения Бибермана-Холстейна и его обобщение на широкий класс переносов полетами Леви в однородной среде.

3) Аналитическое автомодельное решение задачи стационарного переноса резонансного излучения в сильно неоднородном плазменном слое.

4) Метод расчёта точности томсоновской диагностики немаксвелловской плазмы в токамаках-реакторах.

5) Обоснование преимуществ «многоцветной» томсоновской диагностики центральной плазмы в ИТЭР.

Апробация работы и публикации

Основные результаты работы доложены на научных семинарах в НИЦ «Курчатовский институт» в Отделе теории плазмы Блока термоядерных исследований Курчатовского ядерно-технологического комплекса; на Курчатовских молодежных научных школах 2012, 2013, 2014, 2015 гг.; на следующих конференциях: Международная конференция МАГАТЭ по термоядерной энергии (IAEA FEC-25, г. Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.; IAEA FEC-26, г. Киото, Япония, 2016 г.), Международная конференция по диагностике термоядерных реакторов (International conference on fusion reactor diagnostics, г. Варенна, Италия, 2013 г.), Международные конференции европейского физического общества по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (EPS-41, г. Берлин, Германия, 2014 г.; EPS-42, г. Лиссабон, Португалия, 2015 г; EPS-43, г. Левен, Бельгия, 2016 г.), Международные (Звенигородские) конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (2014, 2015, 2016 гг.), Международное совещание по теории периферийной плазмы в

термоядерных установках (15th International Workshop on Plasma Edge Theory in Fusion Devices, г. Нара, Япония, 2015 г.).

По результатам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ, включая 7 статей в журналах из списка ВАК, среди которых есть 3 журнальные статьи и 2 конференционных доклада, проиндексированные в базе данных Web of Science, и 6 журнальных статей и докладов, проиндексированных в базе данных SCOPUS.

Личный вклад автора

Постановка задач и интерпретация полученных результатов предложены автором совместно с научным руководителем и соавторами опубликованных работ. Автором проделано подавляющее большинство аналитических и численных расчетов в диссертационной работе.

Глава 1. Разработка метода получения автомодельных решений задачи нелокального нестационарного переноса излучения в однородной плазме

Автомодельность случайных блужданий выражается тем фактом, что пространственно-временная эволюция переноса от мгновенного точечного источника в однородной среде (т.е. функция Грина) является функцией только одной переменной. В случае обычной диффузии, определяемой как броуновское движение, описываемое дифференциальным уравнением фоккер-планковского типа, функция Грина является гауссианом, чей аргумент определяет закон подобия для распространяющегося фронта

~ (О01/2, (1.1)

где О - коэффициент диффузии.

В более общем случае, вне рамок модели броуновского движения, расходимость среднеквадратического смещения, вызванная медленно спадающей, степенной функцией распределения смещения переносчиков по длине их свободного пробега (ФРСП), приводит к супердиффузионному переносу (см., напр., [1-4]). В этом случае основной вклад в перенос вносят длиннопробежные переносчики (названные Мандельбротом [5] полетами Леви, см. [1]). В литературе принято следующее определение супердиффузии: закон движения возмущения от мгновенного точечного источника имеет вид

¥ (?)а, а >1/2. (1.2)

В ряде физических задач явления супердиффузии обычно называют нелокальным переносом, который описывается интегральным, по пространственным переменным, уравнением, несводимым к дифференциальному.

Последнее относится и к уравнению Бибермана-Холстейна (Б-Х) [6, 7], которое выводится из пары дифференциальных кинетических уравнений для фотонов и атомов, или ионов, и описывает пространственно-временную эволюцию плотности возбужденных атомов/ионов, вызванную переносом резонансного излучения в спектральных линиях в плазме и газах. Уравнение Б-Х предполагает

полное перераспределение по частоте (в пределах спектральной линии) в элементарном акте резонансного рассеяния (т.е. поглощения и последующего излучения) фотона атомом/ионом (см. [8] - в астрофизике, [9-11] - в кинетике низкотемпературной плазмы, [12] - в спектроскопии и радиационных потерях плазмы термоядерных установок).

1.1. Законы подобия для функции Грина нестационарного уравнения Бибермана-Холстейна в однородной плазме

1.1.1. Функция Грина уравнения Бибермана-Холстейна

Уравнение Бибермана-Холстейна для переноса излучения в однородной среде двухуровневых атомов/ионов получается из системы уравнений для пространственной плотности возбужденных атомов, Дг, х), и спектральной интенсивности резонансного излучения. Эта система сводится к одному уравнению для ^(г, х), которое является интегральным уравнением, несводимым к дифференциальному уравнению диффузионного типа:

=11в(\г - г^(грг)йУх - Г1 + о)F(г,г) + q(г,X), (1.3)

Эх тJ т

V V* У

где т - время жизни возбужденного атомного состояния относительно спонтанного радиационного распада; о - обратное время столкновительного тушения возбуждения; q - нерадиационный источник возбуждения атомов, т.е. отличный от возбуждения за счет поглощения резонансного фотона (напр., источник столкновительного возбуждения, описываемый как число таких актов в единицу времени в единице объема). Ядро G определяется (нормированным по частоте фотона) контуром спектральной линии испускаемого излучения, ею, и коэффициентом поглощения, &ю (он имеет размерность обратной длины). В однородной среде G зависит от расстояния между точками испускания и поглощения фотона (функция Г(|г - г'|) часто называется функционалом Холстейна):

в(г )

1

^Т (| г - г'|)

—, Т (|г - г'|) = | е® ехр (-к® |г - г\) ^

(1.4)

г - г

4рг - г'|2 d |] _

Пусть в начальный момент времени г = г0 в пространстве находился только один возбужденный атом, расположенный в точке г = г0. Далее всюду будем полагать, что г0 = 0, г0 = 0. Для однородной бесконечной среды в силу симметрии задачи Г(г, г) = Г(г, г), где г - модуль вектора г. Решение уравнения (1.3) в бесконечной однородной среде с начальным условием Г(г, г = 0) = 5(г) (или, эквивалентно, д(г, г) = 5(г) 5(0) было получено в [13] с помощью преобразования Фурье, примененного к уравнению (1.3). Это решение имеет вид

Г (г, г)

-в

-г{Ут+а)

э

(р)

р) г

эг

¥ I

-1рг

ехр(р Н -1

dp + 2жд( г)

(1.5)

где

1 ¥

3 (р ) = - I ею^аг^-^®. Р 0 к®

(1.6)

Соотношение (1.5) дает полное решение поставленной задачи при произвольной форме спектральной линии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сдвиженский Петр Александрович, 2018 год

Список литературы

1. Shlesinger M., Zaslavsky G. M., Frisch U. (Eds.) // Levy Flights and Related Topics in Physics, New York: Springer-Verlag, 1995.

2. Dubkov A.A., Spagnolo B., Uchaikin V.V. Levy flight superdiffusion: an introduction // Int. J. Bifurcation Chaos, 2008, v. 18, p. 2649, DOI: 10.1142/S0218127408021877.

3. Klafter J., Sokolov I. M. Anomalous diffusion spreads its wings // Physics World, 2005, v. 18, p. 29.

4. Eliazar I. I., Shlesinger M. F. Fractional motions // Phys. Rep., 2013, v. 527, 10129

5. Mandelbrot B.B. // The Fractal Geometry of Nature, New York: W. H. Freeman, 1982.

6. Биберман Л.М. К теории диффузии резонансного излучения // ЖЭТФ, 1947, т. 17, с. 416.

7. Holstein T. Imprisonment of Resonance Radiation in Gases // Phys. Rev., 1947, v. 72, № 12, p. 1212.

8. Иванов В.В. // Перенос излучения и спектры небесных тел, М.: Наука, 1969.

9. Биберман Л.М., Воробьев В.С., Якубов И.Т. // Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. М.: Наука, 1982.

10. Коган В.И., Запирание излучения в плазме // Энциклопедия низкотемпературной плазмы, под ред. В.Е. Фортова. М., «Наука», 2000, Вводный том 1, c.481.

11. Старостин А.Н. Перенос резонансного излучения. Там же, c.471.

12. Абрамов В.А., Коган В.И., Лисица В.С. Перенос излучения в плазме // Вопросы теории плазмы, под ред. М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева, М.: Энергоатомиздат, Вып.12, 1982, с. 114.

13. Векленко Б.А. О функции Грина уравнения диффузии резонансного излучения // ЖЭТФ, 1959, т. 36, с. 204.

14. Биберман Л.М., ДАН, 1948, 49, с. 659.

15. Коган В.И. Радиационные процессы в неполностью ионизованной плазме // In: A Survey of Phenomena in Ionized Gases (Invited Papers), (Proc. ICPIG'67), IAEA, Vienna, 1968, p.583.

16. Напартович А.П. О методе тэф в теории переноса излучения // Теплофизика высоких температур, 1971, 9, с. 26.

17. Kalkofen W. // In: Methods in Radiative Transfer (Kalkofen W., Ed.), Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1984, chapter 1.

18. Rybicki G. // Escape probability methods. In: Methods in Radiative Transfer (Kalkofen W., Ed.), Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1984.

19. Kotov V., Reiter D., Kukushkin A.S. // Numerical study of the ITER divertor plasma with B2-EIRENE code package, Report Jül-4257, 2007 (Forschungszentrum Julich, Julich, 2007).

20. Lukash V.E., Mineev A.B., Morozov D.Kh. Influence of plasma opacity on current decay after disruptions in tokamaks // Nucl. Fusion, 2007, v. 47, pp. 1476-1484.

21. Kukushkin A.B., Lisitsa V.S., Saveliev Yu.A. Nonlocal transport of thermal perturbations in a plasma // JETP Lett., 1987, v. 46, p. 448.

22. Rosenbluth M.N., Liu C.S. Cross-field energy transport by plasma waves // Phys. Fluids, 1976, v. 19, p. 815.

23. Kukushkin A.B. Analytic description of energy loss by a bounded inhomogeneous hot plasma due to the emission of electromagnetic waves // JETP Lett., 1992, v. 56, p. 487.

24. Kukushkin A.B. // Proc. 14th IAEA Conf. on Plasma Phys. Contr. Fusion (Wuerzburg, 1992), Vienna: IAEA, 1993, v.2, p.35.

25. Kukushkin A.B. // AIP Conference Proceedings vol. 299, Dense Z-pinches 3rd Int. Conf. (London, 1993), Eds. M. Haines and A. Knight, New York: AIP Press, 1994, p.519.

26. Tamor S. Calculation of Energy Transport by Cyclotron Radiation in Fusion Plasmas // Fusion Technol., 1983, v. 3, p. 293.

27. Tamor S. Synchrotron radiation loss from hot plasma // Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res., 1988, A271, p. 37.

28. Tamor S. A Simple Fast Routine for Computation of Energy Transport by Synchrotron Radiation in Tokamaks and Similar Geometries, SAI-023-81-189 LJ0LAPS-72, Science Applications (1981).

29. Биберман Л.М., Воробьев В.С., Лагарьков А.Н. Перенос излучения в ионизационном континууме // Оптика и спектроскопия, 1965, т. 19, с. 326.

30. Mihalas D. // Stellar Atmospheres, San Francisco: W. H. Freeman & Company, 1970, 399 pp.

31. Barthelemy P., Bertolotti J., Wiersma D. S. A Levy flight for light // Nature (London) 2008, v. 453, p. 495.

32. Mercadier N., Chevrollier M., Guerin W., Kaiser R. Microscopic characterization of Levy flights of light in atomic vapors // Phys. Rev. A, 2013, v. 87, p. 063837.

33. Pereira E., Martinho J., Berberan-Santos M. Photon trajectories in incoherent atomic radiation trapping as Levy flights // Phys. Rev. Lett., 2004, v. 93, p. 120201.

34. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН, 2003, т. 173, с. 847-876.

35. Krasheninnikov S.I. Superthermal particles and electron thermal conductivity // Sov. Phys. JETP, 1988, 67, p. 2483.

36. Helander P., Krasheninnikov S.I. Kinetic theory in self-similar variables for neutral atoms in plasma // Phys. Plasmas, 1996, 3, p. 226.

37. Mukhin E.E., Kurskiev G.S., Tolstyakov S.Yu., Kukushkin A.B., Andrew P., Bukreev I.M., Chernakov P.V., Kochergin M.M., Koval A.N., Litvinov A.E., Masyukevich S.V., Razdobarin A.G., Semenov V. V., Sdvizhenskii P.A. Thomson scattering for core plasma on DEMO // Proc. Int. Conf. "Fusion Reactor Diagnostics", Varenna, Italy, 2013, AIP Conf. Proceedings, 2014, 1612, 69-72, doi: 10.1063/1.4894026 http://dx.doi.org/10.1063/L4894026

38. Minashin P.V., Kukushkin A.B. Spectroscopic Diagnostics of Non-Thermal Electrons with High-Number-Harmonic EC Radiation in Fusion-Reactor Plasmas // International Review of Atomic and Molecular Physics (IRAMP), 2013, v. 4, issue 2, pp. 93-104.

39. Kurskiev G.S., Sdvizhenskii P.A., Kukushkin A.B., Mukhin E.E., Bassan M. Opportunities for Accuracy Enhancement of Core Plasma Thomson Scattering Diagnostics in Tokamak Reactors // Proc. 41st EPS Conference on Plasma Physics, Berlin, Germany, 23 - 27 June 2014, ECA, v. 38F P5.009, http://ocs.ciemat.es/EPS2014PAP/pdf/P5.009.pdf

40. Zhuang G., et al. Influence of non-Maxwellian velocity distributions during ECRH and ECCD on electron temperature measurements by Thomson scattering // Plasma Physics Control. Fusion, 2005, v. 47, pp. 1539-1558.

41. Kurskiev G.S., Sdvizhenskii P.A., Bassan M., Andrew P., Bazhenov A.N., Bukreev I.M., Chernakov P.V., Kochergin M.M., Kukushkin A.B., Kukushkin A.S., Masyukevich S.V., Mukhin E.E., Razdobarin A.G., Samsonov D.S., Semenov V.V., Tolstyakov S.Yu., Kajita S. A study of core Thomson scattering measurements in ITER using a multi-laser approach // Nucl. Fusion, 2015, v. 55, 053024.

42. Polevoi A.R., et al. Assessment of Operational Space for Long-pulse Scenarios in ITER // Proc. 37th EPS Conference on Plasma Physics, Dublin, Ireland, 21 - 25 June 2010, ECA, v. 34A, P2.187.

43. Kukushkin A.B., Sdvizhenskii P.A. Scaling Laws for Non-Stationary BibermanHolstein Radiative Transfer // Proc. 41st EPS Conference on Plasma Physics, Berlin, Germany, 23 - 27 June 2014, ECA, v. 38F P4.133, http://ocs.ciemat.es/EPS2014PAP/pdf/P4.133.pdf

44. Kukushkin A.B., Sdvizhenskii P.A. Automodel solutions for Levy flight-based transport on a uniform background // J. Phys. A: Math. Theor., 2016, v. 49, p. 255002 (13 pp) http://dx.doi.org/10.1088/1751-8113/49/25/255002.

45. Kukushkin A.B., Sdvizhenskii P.A., Voloshinov V.V., Tarasov A.S. Scaling laws of Biberman-Holstein equation Green function and implications for superdiffusion transport algorithms // International Review of Atomic and Molecular Physics (IRAMP), 2015, v. 6, issue 1, pp. 31-41.

46. Sdvizhenskii P.A., Krasheninnikov S.I., Kukushkin A.B. A model of self-similar radiative transfer in resonance lines for testing the edge plasma codes //

Contributions to Plasma Physics, 2016, v. 56, issue 6-8, pp. 669-674, DOI 10.1002/ctpp .201610058.

47. Sdvizhenskii P.A., Krasheninnikov S.I., Kukushkin A.B. Resonance line radiation flux in a plasma slab: self-similar radiative transfer model // Proc. 43rd EPS Conference on Plasma Phys., Leuven, Belgium, 4-8 July 2016, Europhysics Conference Abstracts, ECA vol. 40, P2.026, http://ocs.ciemat.es/EPS2016PAP/pdf/P2.026.pdf

48. Сдвиженский П.А., Кукушкин А.Б., Курскиев Г.С., Мухин Е.Е., Бассан М. Методика расчёта точности томсоновской диагностики немаксвелловской плазмы в токамаках-реакторах // Вопросы атомной науки и техники. Серия Термоядерный синтез, 2014, т. 37, вып. 4, 38-47, http://vant.iterru.ru/vant 2014 3/4.pdf.

49. Sdvizhenskii P.A., Kukushkin A.B., Kurskiev G.S., Mukhin E.E. and Bassan M. Analysis of measurement errors for Thomson diagnostics of non-Maxwellian plasmas in tokamak reactors // J. Phys.: Conf. Ser., 2016, v. 666, paper 012006 (4 pp), http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/666/1/012006

50. Sdvizhenskii P.A., Minashin P.V., Kukushkin A.B., Kurskiev G.S., Mukhin E.E. Complex Diagnostics of Electron Velocity Distribution with Thomson Scattering and Electron Cyclotron Emission in Tokamaks // Proc. 42nd EPS Conference on Plasma Physics, Lisbon, Portugal, 22 - 26 June 2015, ECA, v. 39E, Р5.181, http://ocs. ciemat. es/EPS2015PAP/pdf/P5. 181 .pdf.

51. Subashiev A.V., Semyonov O., Chen Z., Luryi S. Temperature controlled Levy flights of minority carriers in photoexcited bulk n-InP // Phys. Lett. A, 2014, v. 378 pp. 266-269.

52. Luryi S., Semyonov O., Subashiev A.V., Chen Z. Direct observation of Levy flights of holes in bulk n-doped InP // Phys. Rev. B, 2012, v. 86, 201201(R)

53. Kukushkin A.B. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer (JQSRT), 1993, v. 50, pp. 541-549.

54. Reiter D., Baelmans M., Boerner P. The EIRENE and B2-EIRENE Codes // Fusion Sci. Technol., 2005, v. 47, pp. 172-186.

55. Braams B.J., PhD thesis (Rijksuniversitet, Utrecht, 1986).

56. Coster D.P., et al. Further developments of the edge transport simulation package, SOLPS // Proc. 19th Int. Conf. on Fusion Energy (Vienna: IAEA), Lyon, France, 14-19 October 2002, TH-P2-13.

57. Kukushkin A.S., Pacher H.D., Loarte A., Komarov V., Kotov V., Merola M., Pacher G.W., Reiter D. Analysis of performance of the optimized divertor in ITER // Nucl. Fusion, 2009, v. 49, 075008.

58. Huber A., et al. Modelling JET divertor physics with the EDGE2D code // Proc. 32nd EPS Conference on Plasma Physics, Tarragona, Spain, 27 June - 1 July 2005, ECA, v. 29C, Р-2.112.

59. Lisgo S., et al. Re-construction of detached divertor plasma conditions in DIII-D using spectroscopic and probe data // J. Nucl. Mater., 2005, v. 337-339, p. 256.

60. Lisgo S.W., et al. Design assessment of ITER port plug plasma facing material options // J. Nucl. Mater., 2011, v. 415, p. S965.

61. Stangeby P.C., et al. Interpretive modeling of simple-as-possible-plasma discharges on DIII-D using the OEDGE code // J. Nucl. Mater., 2003, v. 313-316, p. 883.

62. Lore J.D., et al. Implementation of the 3D edge plasma code EMC3-EIRENE on NSTX // Nucl. Fusion, 2012, v. 52, 054012.

63. Вайнштейн Л.А., Собельман И.И., Юков Е.А. // Возбуждение атомов и уширение спектральных линий, М.: Наука, 1979.

64. Donné A.J.H., Costley A.E., Morris A.W. Diagnostics for plasma control on DEMO: challenges of implementation // Nucl. Fusion, 2012, v. 52, 074015.

65. Donné A.J.H., et al. ITER Physics Basis, Chapter 7: Diagnostics // Nucl. Fusion, 2007, v. 47, S337.

66. Кукушкин А.Б., Ленева А.Е., Пергамент В.И. Особенности измерения температуры горячей плазмы по спектру некогерентного рассеяния лазерного излучения // Вопросы атомной науки и техники. Серия Термоядерный синтез, 1983, № 2 (12), с. 88—96.

67. Кукушкин А.Б. Некогерентное рассеяние света конечным объемом релятивистской плазмы // Физика плазмы, 1981, т. 7, с. 110-118.

68. Кукушкин А.Б., Коган В.И. К теории поляризационных эффектов в некогерентном рассеянии излучения релятивистскими электронами // Физика плазмы, 1981, т. 7, с. 1220-1225.

69. Шеффилд Дж. // Рассеяние электромагнитного излучения в плазме. М.: Атомиздат, 1978. Главы 3 и 9.

70. Pechacek R.E., Trivelpiece A.W. Electromagnetic Wave Scattering from a High-Temperature Plasma // Phys. Fluids., 1967, v. 10, 1688.

71. Журавлев В.А., Петров Г.Д. Рассеяние света на электронах высокотемпературной плазмы // Оптика и спектроскопия, 1972, т. 33, с. 36.

72. Sheffield J., Froula D., Glenzer S.H., Neville C.L., Jr., Plasma Scattering of Electromagnetic Radiation, 2nd Edition, Academic Press, 2010, 520 pp.

73. Prunty S.L. A primer on the theory of Thomson scattering for high-temperature fusion plasmas // Phys. Scr., 2014, v. 89, 128001.

74. Beausang K.V., Prunty S.L., et al. Detecting non-Maxwellian electron velocity distributions at JET by high resolution Thomson scattering // Rev. Sci. Instrum., 2011, v. 82, 033514.

75. Harvey R.W., McCoy M.G. The CQL3D Code // In: Proc. IAEA TCM/Advances in Simulation and Modelling of Thermonuclear Plasmas. Montreal, 1992. — Vienna: IAEA, 1992, p. 498.

76. Guasp J., Castejon F., Pastor I., Alvarez-Estrada R. A new numerical technique for the inverse problem in Thomson scattering and its application to experimental and synthetic spectra // Fusion Sci. Technol., 2017, v. 72, pp. 99-119.

77. Pastor I., Guasp J., Alvarez-Estrada R.F., Castejon F. Numerical computation of Thomson scattering spectra for non-Maxwellian or anisotropic electron distribution functions, Nucl. Fusion, 2012, v. 52, 123013 (15pp), doi:10.1088/0029-5515/52/12/123013.

78. Kuznetsova L.K., Cherepanov K.V., Kukushkin A.B., Westerhof E. Formation of superthermal electrons under ECRH/ECCD in ITER-like tokamak // In: Proc. 14th Joint Workshop on Electron Cyclotron Emission and Electron Cyclotron Resonance

Heating. Ed. by F. Lasaros. Santorini Island, Greece, May 9—12, 2006, p. 379— 384.

79. Kukushkin A.B., Cherepanov K.V., Kuznetsova L.K., Westerhof E. Influence of ECCD/ECRH-produced superthermal electrons on transport of plasma's electron cyclotron radiation in tokamak-reactor // In: Proc. 14th Joint Workshop on Electron Cyclotron Emission and Electron Cyclotron Resonance Heating. Ed. by F. Lasaros. Santorini Island, Greece, May 9—12, 2006, p. 374—378.

80. Cherepanov K.V., Kukushkin A.B., Kuznetsova L.K., Westerhof E. EC Radiation Transport in Fusion Reactor-Grade Tokamaks: Parameterization of Power Loss Density Profile, Non-Thermal Profile Effects under ECCD/ECRH conditions // In: Proc. 21nd IAEA Fusion Energy Conf. Chengdu, China, 2006, IT/P1-8, http://www-pub.iaea.org/MTCD/Meetings/FEC2006/it p1-8.pdf.

81. Cherepanov K.V., Kukushkin A.B., Kuznetsova L.K., Westerhof E. ECR transport in hot tokamak plasmas with ECCD/ECRH-produced superthermal electrons // Strong microwaves in plasmas. Ed. by A.G. Litvak. - In: Procs. 6th Intern. Workshop. Nizhny Novgorod, July 25 — August 1, 2005, 2006, v. 2, p. 533—538.

82. Westerhof E., Peeters A.G., Schippers W.L. RELAX: A computer code for the study of collisional and wave driven relaxation of the electron distribution function in toroidal geometry, Tech. Rep. Rijnhuizen Report RR 92-211, 1992.

83. Kukushkin A.B., Neverov V.S., Alekseev A.G., Lisgo S.W., Kukushkin A.S. Synthetic H-alpha diagnostics for ITER: inverse problems and error estimations for strong non-maxwellian effects and intense divertor stray light // Fusion Sci. Technol., 2016, v. 69, pp. 628-642.

84. Bassan M. // Core Thomson scattering status update, 25th ITPA Meeting, 2013.

85. Kajita S., Kukushkin A.S., et al. Private Communications, 2014.

Приложение

Результаты расчетов точности томсоновской диагностики центральной плазмы в ИТЭР

Ниже приведены дополнительные таблицы П1-П6 с результатами расчетов для набора входных параметров и постановки обратной задачи, описанных в разделе 3.2.

Т а б л и ц а П1. Результаты оценок погрешностей измерений Те (В = Те) для случая с предполагаемой ФРЭС в виде (3.5), (3.6)

Параметр 2 лазера, 1064 нм 2 лазера, 1320 нм 2 лазера, 1064, 1320 нм 3 лазера, 1064 нм 3 лазера, 1320 нм 3 лазера, 946, 1064, 1320 нм

^аББитаЗ кэВ 40 40 40 40 40 40

<В>, кэВ 38 39,3 39 38 39,4 39,3

АВ, кэВ 3 1,7 2 4 1,7 1,7

Е1Т(Ва88итеЗ) % ' 19 11 12 21 11 10

8В, кэВ 3 1,8 2 4 1,8 1,9

Т а б л и ц а П2. То же, что и в табл. П1, для Те\\ (В = Те\\)

Параметр 2 лазера, 1064 нм 2 лазера, 1320 нм 2 лазера, 1064, 1320 нм 3 лазера, 1064 нм 3 лазера, 1320 нм 3 лазера, 946, 1064, 1320 нм

ВаББитеЗ кэВ 60 60 60 60 60 60

<В>, кэВ 58 58 58 54 59 57

АВ, кэВ 11 10 10 14 9 11

Е1Т(Ва88итеЗ) % ' 46 41 43 61 39 47

8В, кэВ 11 10 10 15 9 11

Т а б л и ц а ПЗ. То же, что и в табл. П1, для Tei (В = Tei)

Параметр 2 лазера, 10б4 нм 2 лазера, 1320 нм 2 лазера, 10б4, 1320 нм 3 лазера, 10б4 нм 3 лазера, 1320 нм 3 лазера, 94б, 10б4, 1320 нм

Bassumed кэВ 50 50 50 50 50 50

<B>, кэВ 53 52 52 5l 51 52

AB, кэВ 15 10 12 18 10 12

Err(Bassumed) % ' ll 53 бЗ 9l 50 бЗ

SB, кэВ 15 11 12 19 10 13

Т а б л и ц а П4. То же, что и в табл. П1, для ne (В = ne)

Параметр 2 лазера, 10б4 нм 2 лазера, 1320 нм 2 лазера, 10б4, 1320 нм 3 лазера, 10б4 нм 3 лазера, 1320 нм 3 лазера, 94б, 10б4, 1320 нм

Bassumed 1019 м-3 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00

<B>, 1019 м-3 3,02 3,01 3,01 3,01 3,01 3,01

AB, 1019 м-3 0,05 0,04 0,04 0,0б 0,04 0,04

Err(Bassumed) % ' 5 4 4 5 4 4

SB, 1019 м-3 0,0б 0,04 0,05 0,0б 0,04 0,05

Т а б л и ц а П5. То же, что и в табл. П1, для öHot (В = öHot)

Параметр 2 лазера, 10б4 нм 2 лазера, 1320 нм 2 лазера, 10б4, 1320 нм 3 лазера, 10б4 нм 3 лазера, 1320 нм 3 лазера, 94б, 10б4, 1320 нм

Bassumed 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10

<B> 0,21 0,14 0,15 0,21 0,13 0,15

AB 0,19 0,09 0,13 0,19 0,10 0,13

Err(Bassumed) % ' 550 240 340 540 270 3б0

SB 0,22 0,10 0,14 0,21 0,11 0,14

Т а б л и ц а Пб. То же, что и в табл. П1, для Тэф (В = Тэф)

Параметр 2 лазера, 10б4 нм 2 лазера, 1320 нм 2 лазера, 10б4, 1320 нм 3 лазера, 10б4 нм 3 лазера, 1320 нм 3 лазера, 94б, 10б4, 1320 нм

Bassumed кэВ 41,2 41,2 41,2 41,2 41,2 41,2

<B>, кэВ 42,б 41,8 42,0 43 41,8 42,0

AB, кэВ 1,9 1,0 1,3 2 1,1 1,4

Err(Bassumed) % ' 14 7 10 1б 8 10

SB, кэВ 2 1,2 1,б 3 1,3 1,б