Разработка методов и комплекса программ параллельных вычислений для расчёта кусочно-однородных упругих тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кузьмин, Антон Олегович

• Кузьмин, Антон Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузьмин, Антон Олегович

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР ТЕКУЩЕГО СОСТОЯНИЯ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА, АЛГОРИТМА И ПРОГРАММЫ РАСЧЁТА КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

2.1. Математические основы МГЭ

2.2. Реализации МГЭ для кусочно-однородных тел

2.3. Программная реализация

2.3.1. Этапы вычислительного процесса

2.3.2. Блок расчёта входных данных и обеспечения пользовательского интерфейса

2.3.3. Блок формирования матричного уравнения

2.3.4. Блок РЕШЕНИЯ СЛАУ

2.3.5. Блок расчёта тензорных полей

2.3.6. Блок-схемы

2.4. Отладка и контроль результатов работы комплекса

2.5. Выводы по главе

3. РАЗРАБОТКА РЕГУЛЯРИЗУЮЩЕГО АЛГОРИТМА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЕГО ЭФФЕКТИВНОСТИ

3.1. Описание регуляризующего алгоритма

3.1.1. Суть метода регуляризации

3.1.2. Алгоритм минимизации регуляризующего функционала

3.2. Постановка задачи тестирования

3.3. Тестирования регуляризующего алгоритма

3.3.1. Методика тестирования

3.3.2. Задача№1, v = l

3.3.3. Задача №2, v = 0.

3.3.4. Задача№3, v = 0.

3.4. Выводы по главе

4. РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ РАСПРЕДЕЛЁННЫХ

ВЫЧИСЛЕНИЙ

4.1. Общие положения

4.2. Структура программного продукта

4.3. Описание комплекса программ «PHS-L»

4.3.1. Общие сведения

4.3.2. Структура «PHS-L»

4.3.3. В ходные данные

4.4. Описание комплекса программ «DPHS»

4.4.1. Общие сведения

4.4.2. Описание вычислительных алгоритмов

4.4.3. Описание структуры «DPHS»

4.4.4. Описание взаимодействия компонентов «DPHS»

4.5. Практическая значимость

4.6. выводы по главе

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ НДС И РАЗРУШЕНИЯ РИ ПРИ

ИЗНОСЕ И НДС РЕЖУЩЕГО ИНСТРУМЕНТА С ПОКРЫТИЕМ

5.1. Постановка задач исследования инструмента

5.2. Использование в расчётах показателя прочности

5.3. Расчёт инструмента без покрытий и без износа

5.4. Расчёт инструмента с износом

5.5. Инструмент с монопокрытием бмкм

5.5.1. Сравнение диаграмм НС для однородного тела

5.5.2. Исследование напряжённого состояния инструмента с монопокрытием

5.6. Инструмент с композиционным и многокомпонентным покрытием

5.7. Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов и комплекса программ параллельных вычислений для расчёта кусочно-однородных упругих тел»

Современное развитие вычислительных систем может существенно повышать эффективность решения научных и инженерных задач. Новые результаты достигаются при разработке систем и программ, предназначенных для решения задач, предельных по отношению к возможностям вычислительной техники. В этой области наибольший интерес представляют параллельные вычислительные системы и параллельное программирование.

Одной из актуальных вычислительных проблем моделирования является расчёт свойств новых композиционных материалов, а также расчёт изделий и конструкций с малыми и тонкими элементами структуры. В настоящее время значительно расширился и круг практических вопросов, связанных с проведением таких расчётов, что обусловлено расширением областей применения и использования в современных технике и технологиях композиционных, слоистых и наноструктурных материалов. В частности, тонкослоистые конструкции используются при изготовлении эффективных износостойких покрытий, например, на режущих инструментах. Одним из перспективных является подход, основанный на применении теории интегральных уравнений к описанию напряжённо-деформированного состояния таких структур и его численная реализация методом граничных элементов (МГЭ). К преимуществам МГЭ относится необходимость дискретизации только границ исследуемой структуры, что приводит к системам существенно более низкого порядка, чем в других методах, а также эффективность и точность расчёта высокоградиентных полей.

Решение задач при наличии малых и тонких областей обычно сопряжено с появлением вычислительной неустойчивости и потерей точности, когда малым изменениям исходных данных соответствует неадекватное изменение решения. Не исключением является и МГЭ, при использовании которого возможно возникновение неустойчивости, связанной с близостью границ тонких элементов структуры и использованием интегральных уравнений для перемещений. В этих условиях получение удовлетворительного численного решения представляет собой одну из важных задач вычислительного 6 моделирования. Стандартным способом её решения является использование методов усреднения, а также гипотез теории оболочек и пластин. В то же время существует хорошо разработанная теоретическая база методов регуляризации, для которых, однако, требуется построить эффективные, параллели-зуемые и обладающие достаточной универсальностью численные алгоритмы.

Среди актуальных вычислительных задач на первый план выходят вопросы параллельных вычислений: исследование и разработка численных методов, допускающих параллелизацию и масштабируемых в зависимости от типа и количества используемых вычислительных узлов для достижения наибольшей эффективности их использования, изучение структурных свойств алгоритмов, построение универсальных интерфейсов привязки алгоритмов к системам поддержки вычислений, построение и архитектура вычислительных систем, использование в вычислениях кластеров. Для повышения значимости создаваемых численных методов и программного обеспечения их реализующего необходим учёт особенностей данных задачи и адаптация, как самих численных алгоритмов, так и системного программного обеспечения для организации расчётов в вычислительной среде и эффективного обмена информацией между её участниками. В настоящее время существует много средств поддержки распараллеливания (MPI, OpenMP, PVM, языки С-DVM, FORTRAN-DVM и т.д.), обеспечивающих переносимость и обмен сообщениями между вычислительными узлами, что, однако, требует жёсткой привязки к таким системам и, кроме того, может не быть оптимальным по быстродействию без учёта особенностей частных задач. Поэтому остаётся актуальным вопрос разработки более специализированного программного обеспечения, учитывающего особенности задачи и обладающего достаточной универсальностью и гибкостью.

Таким образом, представляется актуальной задача разработки реализации метода граничного элемента, позволяющей проводить расчёт тел, изделий и конструкций с тонкими элементами структуры, построение алгоритмов получения устойчивого решения методом регуляризации, а также разработка программного обеспечения распараллеливания расчётов на кластере. 7

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кузьмин, Антон Олегович

5.7. Выводы по главе

1. В данной главе показана возможность широкого применения разработанного алгоритма метода граничных элементов по решению краевых задач напряжённого состояния двумерных изотропных линейно-упругих кусочно-однородных тел к расчёту диаграмм напряжений и исследованию прочности и механизмов разрушения промышленных изделий с покрытиями, что показано на примере режущих инструментов с моно-, композиционными и многокомпонентными покрытиями, а также инструментов после определённого срока непрерывной работы под действием системы контактных усилий и испытывающих износ передней и задней поверхности.

2. Сравнением диаграмм напряжённого состояния инструмента с монопокрытием бмкм, задача расчёта которого обладаёт существенной неустойчивостью, полученными применением разных численным методов (метода квадратного корня и метода сопряжённых градиентов с применением процедуры подбора параметра регуляризации а и без неё) показана важность использования алгоритма регуляризации и процедуры итерационного уточнения решения путём изменения параметра регуляризации в существенно неустойчивых задачах (в случае режущего инструмента с монопокрытием при толщине последнего меньше ЗОмкм).

3. На примере задачи для инструмента с монопокрытием бмкм показана эффективность распараллеливания вычислений на кластере рабочих станций. Приведены результаты замеров при использовании 1, 2, 6 и 12 рабочих станций и показано практически линейное увеличение коэффициента ускорения с ростом числа задействованных процессоров.

145

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время актуальным является вопрос вычислительного моделирования свойств новых композиционных материалов, а также изделий с малыми и тонкими элементами структуры. В данной диссертации представлен один из подходов решения указанной проблемы с использованием варианта непрямого метода граничного элемента для проведения расчётов кусочно-однородных изотропных линейно-упругих тел.

В работе получены следующие новые результаты:

1. Вариант непрямого метода граничных элементов решения плоских краевых задач обобщён на случай кусочно-однородных изотропных линейно-упругих тел.

2. На основе методов регуляризации построен параллельный алгоритм получения устойчивого численного решения систем линейных уравнений метода граничных элементов. Специальное исследование показало, что использование данного алгоритма совместно с методом квадратного корня даёт наилучшие результаты при получении устойчивого и точного решения в задачах с малыми толщинами покрытий и тонкими элементами структуры.

3. Для реализации разработанных алгоритмов создан двухуровневый программный продукт, реализующий операции по осуществлению эффективной организации сбора начальных данных, их верификации и хранения, автоматизации вычислений, графической интерпретации результатов расчётов, а также параллелизацию вычислений на кластере рабочих станций с автоматическим управлением операциями обмена данными между компьютерами (получено свидетельство об официальной регистрации программ №2002610469).

4. Посредством разработанных программ решены некоторые задачи о расчёте режущих инструментов с тонкими покрытиями. Установлено снижение уровня растягивающих напряжений благодаря тонким покрытиям, что способствует повышению запаса прочности и работоспособности инструментов.

146

По теме диссертации опубликовано 18 научных работах, получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ, ещё одно находится в стадии рассмотрения:

1. Олейников А.И., Кузьмин А.О. Расчёт напряжённого состояния и оценка прочности режущего инструмента с тонким покрытием // Проблемы прочности. - 2003. - №1.

2. Кузьмин А.О., Олейников А.И. Параллельная реализация метода граничного элемента по расчёту тел с тонкими покрытиями на кластере рабочих станций // Информатика и системы управления. - 2002. - №1. - С. 24-38.

3. Олейников А.И., Кузьмин А.О. Расчёт упругих тел с тонкими слоями и покрытиями на кластере рабочих станций // Второй международных научно-технический семинар «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах». - Нижний Новгород, 2002г. - С. 224231.

4. Олейников А.И., Кузьмин А.О. Расчёт упругих тел на кластере рабочих станций // Вторая межрегиональная школа-семинар «Распределённые и кластерные вычисления»: Сб. материалов. - Красноярск, ИВМ СО РАН, 2002.-С. 17-22.

5. Олейников А.И., Кузьмин А.О. Параллельная реализация метода граничного элемента по расчёту тел с тонкими покрытиями на кластере рабочих станций // Современные проблемы механики и прикладной математики: Тезисы докладов школы. - Воронеж, Воронежский государственный университет, 2002. - С. 85-96.

6. Олейников А.И., Кузьмин А.О. Метод граничного элемента расчёта напряжённого состояния кусочно-однородных тел на кластере рабочих станций // Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании: Труды международной конференции. - Алма-Ата. - 2002. - С. 55-60.

7. Марьин С.Б., Кузьмин А.О. Связь напряжённого состояния режущего инструмента с его износом // Станки и инструменты. - 2002. №6. - С. 33-34.

8. Марьин С.Б., Кузьмин А.О. Влияние износа на напряжённое состояние режущего инструмента // Современные проблемы механики и физикохи

147 мии процессор резания, абразивной обработки и поверхностного пластического деформирования: Материалы международной научной конференции. - Киев. - 2002. - С. 46-49.

9. Олейников А.И., Кузьмин А.О. Компьютерная система прочностного анализа изделий с покрытиями // Современные технологии в машиностроении: Сборник материалов V Всероссийской научно-практической конференции. Ч. 1. - Пенза, 2002. - С. 82-84.

10.А.И. Олейников, А.О. Кузьмин Алгоритм метода граничного элемента для тел с тонкими слоями и покрытиями // Сборник тезисов докладов международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» - Электрон, дан. -Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2001. - Режим доступа: http://www.ict.nsc.ru/ws/NikNik/, свободный.

П.Олейников А.И., Кузьмин А.О. Регуляризация расчёта напряжённого состояния кусочно-однородных упругих материалов // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-14: Сборник трудов 14 международной научной конференции. Т.2. - Смоленск, 2001. - С. 123-124.

12.Олейников А.И., Могильников Е.В., Кузьмин А.О., Магола А.С., Мазепин А.Д. Модели гетерогенно-сопротивляющихся сред и вариационные методы в технологиях механообработки // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-14: Сборник трудов 14 международной научной конференции. Т.1. - Смоленск, 2001. - С. 5-8.

13.Олейников А.И., Кабалдин Ю.Г., Мазепин А. Д., Кузьмин А.О. Моделирование напряжённого состояния режущего инструмента при износе // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-14: Сб. трудов Международ, науч. конф. в 6-и т. Т.6. Секции 10, 11, 12. (Смоленский филиал Московского энергетического инс-та (техн. ун-та)). Смоленск, 2001. - С. 45-47.

Н.Олейников А.И., Кузьмин А.О. Регуляризованные решения и параллельные вычисления в комплексе программ расчёта тел с покрытиями // Меж-дунар. конф. «Мат. Моделирование в механике деформируемых тел. Me

148 тоды гранич. и конеч. элементов», Санкт-Петербург: Тез. докл. - СПб., 2001.-С. 56-57.

15.Олейников А.И., Кузьмин А.О. Применение численного метода граничных элементов к решению кусочно-однородных задач линейной теории упругости // Синергетика. Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях: Материалы международной научной конференции (г. Комсомольск-на-Амуре 21-26 сент. 2000г.). - Комсомольск-на-Амуре: Комсо-мольский-на-Амуре гос. техн. ун-т. - 2000. - С. 122-125.

16.Олейников А.И., Мазепин А.Д., Кузьмин А.О. Влияние износа на напряжённое состояние режущего инструмента // Синергетика. Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях: Материалы международной научной конференции (г. Комсомольск-на-Амуре 21-26 сент. 2000г.). - Комсомольск-на-Амуре: Комсомольский-на-Амуре гос. техн. ун-т. -2000. - С. 87-91.

17.Олейников А.И., Кузьмин А.О. Гранично-элементная модель расчёта напряжённого состояния кусочно-однородных упругих материалов // Вестник Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета: Вып. 2. Сб. 1. Прогрессивные технологии в машиностроении: Ч.З: Сб. научн. тр. / Редкол.: Ю.Г. Кабалдин (отв. ред) и др. - Комсомольск-на-Амуре: Комсомольский-на-Амуре гос. техн. ун-т, 2000. С. 24-26.

18.Олейников А.И., Кузьмин А.О., Минеева Н.В. Пакет МГЭ и двусторонние оценки энергии и мощности при деформировании упругих и пластических сред // Тезисы докладов Десятой юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам, Переславль-Залесский, 7-12 июня 1999г.-М.:МГИУ, 1999.-С. 166-167.

19.Свид. о регистр, программы для ЭВМ. Программа для ЭВМ «Coating» / Олейников А.И., Кузьмин А.О. (Россия) - №2002610469; Заявл. 18.02.2002; Зарегистр. 29.03.2002

149

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузьмин, Антон Олегович, 2002 год

1. Алейников С. М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. - М.: Изд-во Ассоц. Строит. Вузов, 2000. - 754с.

2. Андреев А.Г. и др. Microsoft Windows 2000 Professional. Русская версия / Под общ. Ред. А.Н. Чекмарёва и Д.Б. Вишнякова. СПб.: БХВ - Санкт-Петербург, 2000. - 752с.

3. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. — М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1989. 199с.

4. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 494с.

5. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: издательское объединение «Вища школа», 1978. - 184с.

6. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.-304с.

7. Единая система программной документации: ГОСТ 19.701-90. М.: Изд-во стандартов, 1991.

8. Информационная технология: Комплекс стандартов и руководящих документов на автоматизированные системы: ГОСТ 34.201-89, ГОСТ 34.602-89, РД 50-682-89, РД 50-680-88, ГОСТ 34.601-90, ГОСТ 34.401-90, РД 50-34.698-90,150

9. ГОСТ 34.003-90, Р 50-34.119-90. М.: Комитет стандартизации и метрологии СССР, 1991.- 144 с.

10. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твёрдых тел. Удар. К., Наукова Думка, 1976.

11. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. ч.1, К., Изд-во АН УССР, 1963.

12. Ковнеристов Г.Б. Развитие численного метода потенциала на основе интерполяционных представлений в двумерных задач строительной механики: Автореф. докт. дис. Киев, 1991.

13. Купрадзе В.Д. Метода потенциала в теории упругости. М.: Физмат-гиз, 1963.

14. Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А., Метод функциональных уравнений для приближённого решения некоторых граничных задач. Вычислительная математика и математическая геофизика, 1964, т.4, вып.4.

15. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Динамические задачи теории упругости и термоупругости. В сб.: Современные проблемы математики. М., ВИНИТИ АН СССР, 1975, т.7.

16. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трёхмерные задачи математической теории и термоупругости. М., Наука, 1976.

17. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. - 382с.

18. Линьков A.M. Плоские задачи о статическом нагружении кусочно-однородной среды // Прикл. математики и механика. 1983. Т.47. С.644-657.

19. Линьков A.M., Зубков В.В., Могилевская С.Г. Комплексные интегральные уравнения эффективное средство решения плоских задач. СПб., 1994. (Препринт / Ин-т проблем машиноведения РАН; №118).

20. Ляшенко Б.А., Веремчук B.C., Долгов Н.А., Иванов В.М. Исследование прочностных и деформационных свойств с плазмонапылёнными покрытиями // Проблемы прочности. 1996. - №6. - С. 57-60.151

21. Мак-Кинни Б. Крепкий орешек Visual Basic. Издание второе. /Пер. англ. М.: Издательский отдел «Русская редакция» ТОО «Channel Trading Ltd.», 1998.-632с.

22. Машуков В.И. Прогноз устойчивости выработок в скальном массиве по паспорту прочности и упругому распределению напряжений: Автореферат диссертации на соискание ученой степени д-ра техн.наук:01.02.07:01.02.04. -Новосибирск, 1992. -32 с.

23. Метод граничных интегральных уравнений. Сер. Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 15. М., Мир, 1978.

24. Методы граничных элементов: Пер. с англ./Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. М.: Мир, 1987. - 524с.

25. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: Гостехиздат, 1974.

26. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Физматгиз, 1962.

27. Морозов В.А. О регуляризации некоторых классов экспериментальных задач. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Т. 12, Изд-во Моск. ун-та 1969, с. 24-37.

28. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

29. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., Наука, 1966.

30. Олейников А.И., Кузьмин А.О. Расчёт напряжённого состояния и оценка прочности режущего инструмента с тонким покрытием // Проблемы прочности. 2002. - №6. - С. 52-59.

31. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем: Пер. с .англ. М.: Мир, 1991. - 367с.

32. Остафьев В.А. Расчёт динамической прочности режущего инстру-мента.-М.: Машиностроение,1979.-168с.

33. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука, 1977.

34. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряжённом состоянии. Киев: Наукова думка, 1976. -415с.

35. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Уч. пособие для вузов. -2-еизд., испр. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-712 с.

36. Расчёт напряжений в породных массивах методом граничных интегральных уравнений / А.И. Олейников и др.: Кривой Рог: НИГРИ, 1982. 24с.

37. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. М.: наука, 1983. - 200с.

38. Рихтер Дж. Windows для профессионалов: Программирование для Windows 95 и Windows NT4 на базе Win32 API /Пер. с англ. М.: Издательский отдел «Русская редакция» ТОО «Channel Trading Ltd.», 1997. - 712с.

39. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику: Учеб пособие. 2-е издание, исправл. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. -296с.

40. Саврук М.П. Плоские задачи теории упругости для многосвязной области с отверстиями и трещинами // Физ.-хим. механика материалов. 1980. Т. 16. С.51-56.

41. Свид. о регистр, программы для ЭВМ. Программа для ЭВМ «Coating» / Олейников А.И., Кузьмин А.О. (Россия) №2002610469; Заявл. 18.02.2002; Зарегистр. 29.03.2002153

42. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. К., «Наук, думка», 1978. -228с.

43. Страуструп Б. Язык программирования С++. /Пер. с англ. СПб.: «Невский диалект», 1998. - 991с.

44. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач /Пер. с англ. В.Н. Сидорова; Под ред. В.М. Лиховцева. -М.: Стройиздат, 1987. 160с.

45. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости, перев. с англ. М.: Наука, 1975г.-576с.

46. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: «Наука», 1974.

47. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твёрдого тела. Казань: изд-во Казанского университета, 1986. - 296с.

48. Черносвитов А. Курс MSCD. Visual С++ 6.0 и MFC. СПб.: «Ми-тер», 2000.-538с.

49. Чигрин Ю.Л. Исследование, разработка и получение градиентных инструментальных материалов на основе тугоплавких металлов и их соединений. Автореф. дис. канд. техн. наук. Благовещенск. 1999. 22с.

50. Шерман Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах статической теории упругости. Труда II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М., Изд-во АН СССР, 1962.

51. Фаулер М., Скотт К. UML. Основы. Пер. с англ. - СПб: Символ-Плюс, 2002. - 192с.

52. Altiero N.J., Sikarskie D.L. An integral equation method applied to penetration problems in rock mechanics. In: Boundary-integral equation method: computational applications in applied mechanics. -New York. 1975. pp 152-182.154

53. Banerjee P.K. Integral equation methods for analysis of piece-wise non-homogeneous three-dimensional elastic solids of arbitrary shape. Int. J. Mech. Sci.,1976, v.18, p.293-303

54. Banerjee P.K., Butterfield R. Boundary element methods in geomechan-ics. In: Finite elements in geomechanics. Ed. by G. Gudehus. - London: Wiley,1977.

55. Complex hypersingular BEM in plane elasticity problems // Singular integrals in boundary element methods / Eds. V. Sladek, J. Slader. Southempton: Computational Mechanics Publications, 1998. P.299-364.

56. Crouch S.L., Starfield A.M. Boundary element method in solid mechanics. Boston: George Allen & Unwin, 1983. 328p.

57. Cruse T.A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics //Int. J. Solids Structures. 1969 - v.5. - pp. 1259-1274.

58. Kellog O.D. Foundation of potential theory. Berlin: Springer, 1929; New York: Dover, 1953.

59. Love A.E.H. A treatise on the mathematical theory of elasticity, 4th edn. New York: Dover, 1944. -508p.

60. Microsoft Windows NT Workstation. Версия 4.0. (Практическое пособие). -M.: ЭКОМ, 1997.-288 с.

61. Mikhlin S.G. Approximate solutions of differential and integral equations. -Oxford: PergamonPress, 1965.

62. Rizzo F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics // Q. Appl. Math. 1967. - v.25. - pp.83-95.