Разработка методов и алгоритмов исследования робастной абсолютной устойчивости импульсных систем управления с монотонными нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Мафура Габриел Мвасару

• Мафура Габриел Мвасару
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Мафура Габриел Мвасару

Оглавление

Введение

Глава 1. Анализ математических моделей и программное обеспечение, используемое для исследования устойчивости систем управления

1.1. Математические модели неопределенностей в системах управления

1.1.1. Причины возникновения неопределенностей в системах управления

1.1.2. Параметрическая неопределенность

1.1.3. Непараметрическая неопределенность

1.1.4. Нестационарная неопределенность

1.1.5. Нелинейная неопределенность

1.1.6. Параметр Попова

1.1.7. Влияние неопределенностей на области устойчивости систем управления

1.2. Типовые нелинейности в системах управления

1.3. Особенности применения ^^ преобразования для исследования робастной устойчивости НИСУ

1.4. Программные комплексы для реализации исследования систем управления с интервальными параметрами

1.4.1. Программные комплексы для исследования систем управления

1.4.2. Программные комплексы для символьных вычислений

1.5. Методы исследования НИСУ при наличии неопределенностей

Выводы к главе 1

Глава 2. Математическое описание задач исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями

2.1. Математическая модель исследования НИСУ с монотонными нелинейностями

2.1.1. Математическая модель исследования НИСУ

2.1.2. Параметр Попова и особенности его применения

2.2. Алгебраический метод получения полиномиального выражения критерия абсолютной устойчивости НИСУ в символьном виде

2.2.1. Математический аппарат получения полиномиальных выражений произвольных степеней

2.2.2. Алгоритм получения символьных коэффициентов полиномиального выражения

2.3. Интервальные полиномы и их применение для исследования НИСУ

2.3.1. Подход Харитонова для исследования интервального полинома

2.3.2. Алгоритм расчета интервальных значений коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции

2.4. Аналитический метод исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ

2.5. Графоаналитический метод исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ

2.5.1. Математический аппарат графоаналитического метода исследования робастной абсолютной устойчивости

2.5.2. Алгоритм анализа абсолютной устойчивости НИСУ на основе графоаналитического метода

2.5.3. Алгоритм анализа робастной абсолютной устойчивости НИСУ на основе графоаналитического метода

2.6. Графический метод исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ

2.6.1. Математический аппарат графического метода исследования абсолютной устойчивости

2.6.2. Алгоритм анализа абсолютной устойчивости НИСУ на основе графического метода

2.6.3. Алгоритм анализа робастной абсолютной устойчивости НИСУ на основе графического метода

2.7. Синтез последовательного корректирующего устройства

2.7.1. Общий подход для синтеза последовательного корректирующего устройства НИСУ

2.7.2. Алгоритм синтеза последовательного корректирующего устройства НИСУ на основе графического метода

Выводы к главе 2

Глава 3. Применение разработанных методов для исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями

3.1. Применение графоаналитического метода для исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями

3.2. Влияние параметра Попова на области робастной абсолютной устойчивости

3.3. Реализация графического метода в программном комплексе «Годограф Цыпкина»

3.4. Применение графического метода для построения семейства модифицированных амплитудно-фазовых характеристик импульсной системы

3.5. Сравнительная оценка разработанных методов исследования НИСУ

Выводы к главе 3

Глава 4. Применение разработанных методов для исследования промышленных объектов

4.1. Исследование системы регулирования температуры сушильного шкафа

4.2. Исследование системы регулирования температуры внутри помещения

4.3. Исследование системы автоматического управления прижимом вальцов окорочного станка

4.4. Исследование радиолокационной системы сопровождения воздушных объектов

Выводы к главе 4

Заключение

Список использованных источников

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов и алгоритмов исследования робастной абсолютной устойчивости импульсных систем управления с монотонными нелинейностями»

Введение.

Актуальность проблемы. Современные системы автоматического управления содержат различного рода неопределенности в динамических характеристиках объекта, что приводит к математической модели неадекватно соответствующей исследуемому реальному объекту. Для учета сопутствующих нелинейностей, и ряда других факторов в разработанной математической модели нелинейной импульсной системы управления (НИСУ), необходимо применять специальные приемы исследования, которые учитывали бы не только структурные особенности НИСУ, но и устойчивость модели по отношению к неопределенностям (робастность). Неопределенность трактуется как неполнота или недостоверность информации об условиях реализации решения, наличия фактора случайности или противодействия. Неопределенности могут быть вызваны экзогенными (определяемыми внешними воздействиями) или эндогенными факторами (определяемыми внутренними изменениями), которые могут существенно ухудшить точность СУ и даже привести систему к потере работоспособности.

Кроме того, в подавляющем большинстве случаев при исследовании нелинейных систем управления рассматриваются, как правило, идеализированные нелинейные элементы, в отличие от которых реальные элементы имеют неразрывные статические характеристики, принадлежащие к более узкому классу монотонных функций, учет которых позволит расширить области устойчивости и, как следствие, улучшить качественные показатели работы системы.

Поэтому особый интерес представляет применение робастного подхода, который к настоящему времени широко используется в исследованиях различных САУ. Вопросам робастной устойчивости систем в последнее время уделяется большое внимание. Это объясняется тем, что устойчивость является основополагающим свойством систем автоматического управления.

В разработку теории анализа и синтеза НИСУ большой вклад внесли работы отечественных и зарубежных ученых, таких как Я.З. Цыпкина, В.А. Бесекерского, А.А. Колесникова, В.М. Шамрикова, а также Э. Джури, Р. Изермана, Ю. Ту, Д. Шильяка. Значительный вклад в разработку теории робастных систем управления внесли Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, В.А. Подчукаев, А.Х. Гелиг, Г Е Веселов, А.Р. Гайдук, М.И. Першин, А.П. Попов, А.Б. Чернышев и другие ученые.

Различные решенные задачи на основе робастной теории устойчивости были опубликованы в работах многих ученых (Е.В. Никульчев, П.С. Щербаков, Е.И. Веремей, B.A. Francis, J.C. Doyle, K. Glover, M. Abid, A. G. Aissaoui, J. Ackermann, S.P. Bhattacharyya, B. R. Barmish, T. Emami, S. Faedo, R. Matusü, J. M. Watkins и др.).

Современное развитие компьютерных технологий позволяет применять их для анализа и синтеза сложных систем управления, повышая эффективность разработки сложных динамических систем на этапе их проектирования. Существенную помощь при этом оказывают специализированные пакеты прикладных программ, такие как Matlab, Mathcad, Maple и др. Однако эти программные продукты не всегда можно использовать для решения актуальных современных задач, потому что они являются специализированными пакетами с закрытым кодом.

В последнее время рядом ученых (Ю.Г. Карпов, Ю.Б. Колесов, Ю.Б. Сениченков, Ю.В. Шорников) созданы специализированные пакеты прикладных программ, позволяющих проводить исследования объектов из множества областей науки и производства: физические, электрические, химико-технологические, биологические процессы, системы автоматического управления и т.д. Математическое и программное обеспечение среды моделирования унифицировано для практически важных приложений: исследование динамических процессов в системах автоматического

управления, процессов химической кинетики, переходных электромеханических процессов и др.

Вместе с тем анализ отечественных и зарубежных публикаций показал, что отсутствуют методы исследования дискретных систем с монотонными нелинейностями и интервальными параметрами. Поэтому исследование робастной устойчивости НИСУ является актуальной задачей.

Объектом исследования являются робастная абсолютная устойчивость систем, функционирующих в условиях неопределенности технологических параметров и условий внешней среды.

Предмет исследования - методы и алгоритмы для анализа и синтеза нелинейных импульсных систем управления в условиях интервальной неопределенности их параметров.

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов для анализа и синтеза нелинейных импульсных систем управления на основе развития аналитических, графоаналитических и графических методов, обеспечивающих абсолютную и робастную абсолютную устойчивость этих систем.

Основные задачи исследования. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Исследовать причины возникновения неопределенностей в НИСУ и предложить алгоритм расчета интервальных значений коэффициентов числителя и знаменателя её передаточной функции ЛИЧ.

2. Разработать аналитический, графический и модифицировать графоаналитический методы и алгоритмы для анализа и синтеза НИСУ с монотонной нелинейностью и интервальными параметрами передаточной функции ЛИЧ.

3. Разработать алгебраический метод и алгоритм получения полиномиальных выражении с символьными коэффициентами для

исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонной нелинейностью.

4. Применить разработанные методы для исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ промышленных объектов.

Методы исследования опираются на методы системного анализа, классической и современной теории управления, z - и w- преобразования. При выполнение аналитических выкладок использовались пакеты MATHCAD, MAPLE, MAXIMA. Численное моделирование и компьютерные эксперименты проводились в средах MATLAB/SIMULINK, DELPHI и QT.

Достоверность результатов вытекает из математического обоснования предложенных методов и подтверждается соответствием результатов, полученных при проведении компьютерных экспериментов.

Научная новизна результатов исследования заключается в следующем:

1. Исследованы возможные причины появления неопределенностей в НИСУ и предложен алгоритм получения экспериментальным путем интервальных значений коэффициентов числителя и знаменателя ЛИЧ, позволяющий осуществить его реализацию для нескольких параметров, изменяющихся одновременно.

2. На основе исследованной математической модели разработан аналитический метод и программно реализован алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями. Метод отличаются от известных использованием w - преобразования, сведением критерия абсолютной устойчивости положения равновесия импульсной системы с монотонной нелинейной характеристикой к полиномиальному виду, что позволяет получить харитоновские полиномы, численные значения корней которых свидетельствует о робастной устойчивости или неустойчивости исследуемой системы.

3. Разработан алгебраический метод и программно реализован алгоритм получения символьных коэффициентов полиномиального уравнения из критерия абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями, отличающийся от известных возможностью вариации величины сектора, в котором расположен нелинейный элемент, а также вариацией параметра Попова. Впервые получены полиномиальные виды критериальных выражений с символьными коэффициентами. Предложенный метод позволяет проводить исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ высокой размерности.

4. Модифицирован графоаналитический метод и программно реализован алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями и интервальными параметрами. Метод отличаются от известных использованием модифицированного метода корневого годографа и позволяет варьировать несколько параметров и получать области робастной устойчивости. Впервые получены области робастной абсолютной устойчивости НИСУ для различных значений параметра Попова.

5. Разработан графический метод и программно реализован алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями и интервальными параметрами, обеспечивающий вывод модифицированных амплитудно-фазовых характеристик системы с интервальными коэффициентами и отображение их относительно прямой Попова, отличающийся от известного по структуре и количеству выведенных на комплексную плоскость амплитудно-фазовых характеристик ЛИЧ. Впервые получены совместные графические отображения семейства модифицированных амплитудно-фазовых характеристик системы относительно прямой Попова.

Практическая ценность исследования заключается в прикладном

характере предложенных методов и алгоритмов.

Практическую значимость представляют следующие полученные результаты:

- разработано программное обеспечение, реализующее графоаналитический метод исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ на основе использования модифицированного корневого годографа, обеспечивающего построение на комплексной плоскости областей робастной абсолютной устойчивости для различных значений параметра Попова;

- разработано программное обеспечение, реализующее графический метод исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ и обеспечивающий вывод семейства модифицированных амплитудно-фазовых характеристик исследуемой системы и прямой Попова на комплексную плоскость;

- разработано программное обеспечение, реализующее алгоритм получения символьных коэффициентов критериального выражения, позволяющее реализовать исследование НИСУ высокой размерности.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Предложен алгоритм расчета интервальных значений коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции ЛИЧ, учитывающий причинно-следственную связь влияния условий эксплуатации на параметры системы управления, с целью исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ (Соответствует области исследования 4 паспорта специальности - Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации).

2. Предложен алгебраический метод и алгоритм получения в символьном

виде коэффициентов критериального выражения абсолютной

устойчивости НИСУ, позволяющий без промежуточных вычислений

определять численные значения коэффициентов, с целью проведения

11

анализа и синтеза исследуемых систем. (Соответствует области исследования 4 паспорта специальности - Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации).

3. Предложен аналитический метод и алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ, обеспечивающий вычисление корней харитоновских полиномов с целью проведения анализа системы с монотонной нелинейной характеристикой, которая соответствует характеристике реального нелинейного элемента (Соответствует области исследования 4 паспорта специальности -Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации).

4. Предложен графоаналитический метод и алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонной нелинейной характеристикой и интервальными значениями коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции ЛИЧ, отличающийся выводом корней полученных полиномов на комплексную плоскость, что позволяет отобразить области робастной абсолютной устойчивости исследуемой системы для заданного значения параметра Попова (Соответствует области исследования 12 паспорта специальности - Визуализация, трансформация и анализ информации на основе компьютерных методов обработки информации, а также области исследования 4 паспорта специальности - Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации).

5. Предложен графический метод и алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонной нелинейной характеристикой и интервальными значениями коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции ЛИЧ, отличающийся

выводом семейства модифицированных амплитудно-фазовых характеристик ЛИЧ системы и отображением их на комплексной плоскости относительно прямой Попова (Соответствует области исследования 12 паспорта специальности - Визуализация, трансформация и анализ информации на основе компьютерных методов обработки информации, а также области исследования 4 паспорта специальности - Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации).

Реализация и внедрение результатов работы.

Результаты диссертационной работы используются в ООО «ДВ.ком» для настройки систем регулирования температуры административных зданиях и промышленных объектов.

Методические разработки были также использованы в учебном процессе кафедры вычислительные системы и информационная безопасность (ДГТУ) при чтении лекций и проведения практических занятий по дисциплинам «Автоматизация управления» и «Теория автоматического управления».

Акты об использовании прилагаются. Апробация работы. Основные научные и практические результаты докладывались и обсуждались на:

Научно- практической конференции «Информационные технологии в экономических исследованиях» (Ростов н/Д), 2013год.

Международных научно-технических конференциях Компьютерное моделирование КОМОД (Санкт-Петербург), 2013-2016 годы.

International Conference on Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (MMAS'14) (Санкт-Петербург), 2014 год.

Всероссийской конференции с международным участием «Индустриальные информационные системы» - ИИС-2015 (Новосибирск), 2015 год,

Международном конгрессе по интеллектуальным системам и информационным технологиям IS&IT16 (Дивноморск, 2016).

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 15 работ, в том числе: 6 статей в изданиях входящих в «Перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации», утвержденных ВАК, 1 статья зарегистрирована в международной базе Scopus, 8 публикаций в материалах международных и российских конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы из 125 наименований. Основное содержание диссертации имеет объем 132 страниц, содержит 59 рисунков и 13 таблиц. В приложениях приведены тексты программ и акты об использовании.

Первая глава посвящена рассмотрению математической модели неопределенностей в системах управления и причин их появления, проведен анализ их возникновения. Описаны математические модели известных видов неопределенностей, в число которых включена такая малоисследованная неопределенность, как параметр Попова. Рассмотрены типовые нелинейности систем управления. Описаны известные программные комплексы для исследования САУ. Приведены известные методы исследования НИСУ при наличии неопределенностей.

В результате проведенного анализа современного состояния проблемы поставлены задачи для исследования НИСУ с монотонными нелинейностями и интервальными параметрами.

Вторая глава посвящена особенностям применения интервальных значений полиномов для исследования НИСУ. рассмотрена математическая модель исследования абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями, которая является абсолютно устойчивой по отношению ко входу. Получен критерий абсолютной устойчивости, который представлен через коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции в виде критериального уравнения с символьными коэффициентами.

Проверка строгой положительности этого критериального выражения может быть осуществлена аналитическим, графоаналитическим либо графическим методами. При использовании аналитического способа требуется проводить отыскание корней соответствующего критериального выражения. Применение графоаналитического способа, например модифицированного метода корневого годографа, предпочтительнее аналитического, так как обеспечивается вывод полученных траекторий корней на комплексную плоскость, что обеспечивает большую информативность. При этом отсутствие ветвей корневого годографа, лежащих на вещественной оси, свидетельствует об абсолютной устойчивости исследуемой системы. Графический метод позволяет провести визуальную оценку абсолютной устойчивости исследуемой системы, рассматривая взаимное расположение амплитудно - фазовой характеристики относительно прямой Попова. В главе рассмотрены особенности применения параметра Попова для исследования НИСУ, а также приводятся алгоритмы исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями. Приводится алгоритм синтеза последовательного корректирующего устройства.

В третьей главе рассмотрены примеры применения разработанных методов с использованием компьютерного моделирования различных объектов управления.

Проводится анализ абсолютной и робастной абсолютной устойчивости на основе

- аналитического подхода (проверка корней четырех харитоновских полиномов). Для нахождения корней используются разработанный комплекс «Устойчивость»;

- графоаналитического метода (применение модифицированного метода корневого годографа). Для построения корневых годографов используются программные комплексы MatLab/Simulink и разработанный комплекс «Устойчивость»;

- графического метода (построение модифицированных амплитудно-фазовых характеристик). Для построения амплитудно-фазовых характеристик используется разработанный комплекс «Годограф Цыпкина».

Проведена сравнительная оценка предложенных методов.

В четвертой главе рассматривается применение разработанных методов для анализа и синтеза НИСУ различного назначения, имеющие интервальные коэффициенты передаточной функции ЛИЧ и сопутствующие нелинейности. Исследованы следующие промышленные системы:

а) регулирования температуры сушильного шкафа;

б) регулирования температуры внутри помещения;

в) управления прижимом вальцов окорочного станка;

г) радиолокационного сопровождения воздушных объектов.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы. В приложении приведены фрагменты кода программ, реализующие на ЭВМ разработанные алгоритмы, а также акты об использовании результатов диссертационной работы.

Глава 1. Анализ математических моделей и программное обеспечение, используемое для исследования устойчивости систем управления

В настоящее время в центре внимания специалистов теории автоматического управления находятся проблемы исследования динамических свойств не полностью определенных объектов. Неопределённость в модели объекта является одной из причин не всегда удачного внедрения разработанных систем управления для практического использования. Поэтому исследование роли неопределённости и поиск её преодоления в системах управления является актуальной задачей.

1.1. Математические модели неопределенностей в системах управления

Разработка математической модели функционирования сложных систем и ее анализ, как правило, сталкиваются с необходимостью учета тех типов неопределенностей, которые имеют место при описании систем. Выбор соответствующего математического аппарата для анализа определяется наличием информации о системе и зависят от источника получения информации.

1.1.1. Причины возникновения неопределенностей в системах управления

Проблема неопределенности, возникающая на всех этапах жизни систем управления (СУ) начиная от момента её проектирования и заканчивая этапом эксплуатации, предполагает различные неучтенные факторы, влияющие на условия функционирования данной системы. Известное определение неопределенности описывает её как признак, имеющий несформированность величинных характеристик, в которых отсутствуют точные значения. Появление неопределенности может быть обусловлено несколькими причинами, среди которых можно назвать незнание истинных значений параметров объекта управления, их непредсказуемое изменение во времени или

наличие неконтролируемых возмущений, осуществляющих воздействие на систему управления.

В исторической ретроспективе можно выделить ключевые этапы, которые отражают определенные вехи в развитии теории для исследования СУ с неопределенностями, среди которых можно выделить следующие:

1. Предложена одна из первых моделей неопределенности (нелинейная), отраженная в работах А.И. Лурье [38], М.А. Айзермана [1], Ф.Р. Гантмахера [1].

2. Предложены И. Горовицем [19] и А.М. Мейлахсом [51] модели линейных систем с параметрической неопределенностью.

3. Осуществлен анализ неопределенности, связанных с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений А.Б. Куржанским [37] и Ф. Л. Черноусько[103].

4. Разработаны вероятностный подход к исследованию робастности [76], а также модели частотной неопределенности [17,18,74], интенсивно изучаемые еще с 80 -х годов.

5. Впервые рассмотрена задача об устойчивости интервального семейства полиномов, обосновавшего достаточные условия робастной устойчивости, используя интервальный аналог алгоритма Рауса. [26, 69]

6. Затронута Л. Заде и Ч. Дезоером [27] проблема робастной устойчивости линейных систем.

7. Опубликована работа В.Л. Харитонова [89,90], сформулировавшего критерий устойчивости интервального семейства полиномов.

8. Осуществлено доказательство реберной теоремы, A.C. Барлетом, С.В. Холотом и Х. Лиином [111].

9. Опубликован графический критерий робастной устойчивости полиномов, доказанный Б.Т.Поляком и Я.З.Цыпкиным [70-72].

Для исследования нелинейных и нестационарных систем управления с неопределенностями, разработаны методы адаптивного [112, 114-115],

робастного управления, нечеткой логики или нейросетевых регуляторов [58, 111]. В последнее время широкое распространение получили методы исследования робастной устойчивости динамических объектов [42, 77, 78, 33], что позволяет, на этапе проектирования, определить, является ли устойчивым весь класс рассматриваемых систем.

Среди причин возникновения неопределенностей, которые приводят к нарушению условий эксплуатации объектов управления и возникновения интервальных коэффициентов в математической модели можно назвать следующие [43]:

1. Неточность моделей, возникающих из-за линеаризации, дискретизации, погрешностей при выводе уравнений ввиду большой сложности исследуемого или проектируемого объекта.

2. Недостаточная степень учета особенности эксплуатации САУ и проявляющиеся при этом изменения отдельных параметров.

3. Ошибки, возникающие в различного рода датчиках, приводящие к погрешностям и задержкам прохождения сигналов

4. Различные непредвиденные воздействия на САУ.

Обычно при исследовании САУ рассматриваются непараметрическая неопределенность, вызванная неполнотой знания аналитической структуры уравнений модели объекта, и параметрическая неопределенность, обусловленная неточным знанием значений некоторых параметров СУ. Параметрическая неопределенность является наиболее хорошо изученной и для неё разработаны большое количество методов исследования СУ[117, 118], причем данная неопределенность как раз позволяет получить интервальные значения в коэффициентах числителя и знаменателя передаточной функции при составлении математической модели.

Кроме того, при моделировании возникают ошибки, которые содержат:

• ошибки модели;

• ошибки численного метода;

• ошибки в исходных данных.

Известно процентное соотношение, приведенных ошибок, которое проявляется из-за неточности модели и составляет 14-15%, из-за неточности численного метода - 2-3% и из-за неточности исходных данных - 82-84%.

Так как, неточности исходных данных составляют подавляющее большинство неопределенности, то необходимо для исследования робастной устойчивости САУ с таким видом неопределенности, использовать интервальные методы.

В практике управления системами различного назначения (экономическими, финансовыми, техническими и др.) неизбежно приходится сталкиваться с различными затруднениями, вызванными так называемой неопределенностью. Неопределенность трактуется как неполнота или недостоверность информации об условиях реализации решения, наличия фактора случайности или противодействия.

Неопределенности могут быть вызваны экзогенными (определяемыми внешними воздействиями) или эндогенными факторами (определяемыми внутренними изменениями).

К эндогенным факторам можно отнести [44]:

• параметрические;

• структурные;

• координатные;

• др. неопределенности.

Перечисленные неопределённости могут существенно ухудшить точность СУ и даже привести системы к потере работоспособности.

В теории управления выделено несколько основных типов неопределенностей. Рассмотрим эти неопределенности.

1.1.2. Параметрическая неопределенность

Для такой неопределенности, поскольку она является наиболее простым и хорошо изученным типом в теории управления, разработано большое количество методов синтеза законов управления, которые основаны на алгоритмах адаптивной настройки [100].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мафура Габриел Мвасару, 2017 год

Список использованных источников

1. Айзерман, М.А. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. / М.А. Айзерман, Ф.Р. Гантмахер. - М.: АН СССР, 1963. - 140 c.

2. Андронов, А.А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, [и др.] - М.: Наука, 1966. - 560 с.

3. Арбиб, М. Очерки по математической теории систем / М. Арбиб, Р. Калман, Ф. Фалб. - М.: Мир, 1971. - 400 c.

4. Ащепков, Л.Т. Стабилизация наблюдаемой линейной системы управления с постоянными интервальными коэффициентами / Л.Т.Ащепков, Д.В Давыдов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2002. - № 2. - C.11-17.

5. Баландин, Д. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств / Д. Баландин, М. Коган - М.: Физматлит, 2016. - 281 с.

6. Бесекерский, В.А. Робастные системы автоматического управления / В.А. Бесекерский, А.В. Небылов. - М.: Наука, 1981. - 240 с.

7. Бесекерский, В.А. Цифровые автоматические системы/ В.А. Бесекерский. -М.: Наука, 1976. - 576 с.

8. Ботов, М. И. Введение в теорию радиолокационных систем: монография / М. И. Ботов, В. А. Вяхирев, В. В. Девотчак ; ред. М. И. Ботов. - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2012. - 394 с.

9. Браганец, С.А. Система адаптивного управления и диагностики сервомоторов направляющего аппарата гидроагрегата с поворотно-лопастной турбиной / С.А. Браганец, А.С. Гольцов, А.В. Савчиц //Волгоградский государственный технический университет. - 2013. - №3(26). -С 80-83.

10. Веселов, Г. Е. Синергетическая система управления тяговым электроприводом / Г. Е. Веселов, А.Н. Попов, И. А. Радионов // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2012. - №5. - С.42-47.

11. Воронов, А.А. Основы теории автоматического управления / А.А. Воронов, - М.: Наука, 1965. - 365 c.

12. Гайворонский, С.А. Синтез линейных робастных регуляторов интервальных

131

систем с использованием программного обеспечения MDSLS / С.А. Гайворонский, Т.А. Езангина // Вестник Вгу, Серия: Системный Анализ И Информационные Технологии. - 2012. - № 5 (3). - а 29-34.

13. Гайворонский, С.А. Методика выбора параметров ПИ-регулятора для интервальной системы автоматического управления / С.А. Гайворонский, Т.А. Езангина // Вестник науки Сибири. - 2012. - № 3 (4). - С.142-147.

14. Гайворонский, С.А. Условия локализации корней интервального полинома в заданном секторе / С.А. Гайворонский, С.В. Замятин // Всероссийское (с международным участием) совещание по интервальному анализу и его приложениям г. Санкт-Петербург. - 2006. С. 38-41.

15. Гайдук, А.Р. Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в МАТЬАВ: учебное пособие / А.Р. Гайдук, В.Е. Беляев, Т.А Пьяченко. - СПБ.: Лань, 2011. - 164 с.

16. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1967. - 575 с.

17. Гелиг, А.Х. Робастная устойчивость нелинейных импульсных систем / А.Х. Гелиг// Автоматика и Телемеханика. -1996. - № 12. - С. 78-83.

18. Гелиг, А.Х. Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия. / А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

19. Горовиц, И. Синтез систем с обратной связью / И. Горовиц. - М.: Советское радио, 1970. - 600 с.

20. Грушун, А.И. Алгебраический метод построения областей устойчивости линейных систем управления по одному параметру / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Оптимизация производственных процессов. - 2000. - № 3. - С. 171-173.

21. Демиденко, Г.В. О робастной устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений нейтрального типа с периодическими коэффициентами / Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2015. - № 4 (18). - С. 18-29.

22. Дидук, Г.А. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем автоматического

управления / Г.А. Дидук, А.С. Коновалов, И.А. Орурк. - М.: Физматлит, 1984. -344 c.

23. Домбровский, В.В. Управление с прогнозирующей моделью системами со случайными зависимыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля / В.В. Домбровский, Д.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 12. - C. 71-85.

24. Достовалов, Д.Н. Спецификация и интерпретация моделей переходных процессов в системах электроэнергетики: дис. ...канд. тех. Наук: 05.13.11/ Достовалов Дмитрий Николаевич. -Новосибирск, 2014. - 155 с.

25. Дугарова, И.В. Обеспечение устойчивости системы с неопределенными параметрами / И.В. Дугарова, Е.М. Смагина // Автоматика и Телемеханика. - 1990. - № 2. - C. 176-181.

26. Ефимов, Д. Робастное и адаптивное управление нелинейными колебаниями / Д. Ефимов. - СПБ.: Наука, 2005. - 314 c.

27. Заде, Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. / Л. Заде, Ч. Дезоер. - М.: Наука, 1970. - 704 c.

28. Калмыков, С.А. Методы интервального анализа / С.А. Калмыков, Ю.И. Шокин, З.. Юлдашев. - Новосибирск: Наука, 1986. - 222 c.

29. Кирин Ю. П., Построение интервальной модели динамики процессов производства губчатого титана / Ю.П. Кирин, Кирьянов В.В. //Вестник Череповецкого государственного университета. - 2016. - №. 2. -С 7 - 10.

30. Кирсанов, М.Н. Практика программирования в системе Maple / М.Н. Кирсанов. - М.: Издательский дом МЭИ. 2011. - 208 с.

31. Князева, Е.Н. Синергетика и принципы коэволюции сложных систем / Е.Н. Князева, С.П. Курдюмов // Категории. - 1997. - № 3. - C. 37-49.

32. Козлов, О.С. Синтез простых робастных регуляторов / О.С. Козлов, Л.М. Скворцов // Автоматика и телемеханика. - 2015. - № 9. - C. 102-114.

33. Колесников, А.А. Синергетические методы управления сложными системами. Теория системного синтеза / А.А. Колесников [и.др.] - М.:УРСС, 2006.

- 242 с.

34. Колесников, А.А. Синергетические методы управления сложными системами. Энергетические системы/ А.А. Колесников, Г.Е. Веселов, А.Н. Попов.

- М.: УРСС, 2006. - 248 с.

35. Крушель, Е.Г. Методика и программный комплекс для выбора законов управления и настройки параметров цифровых регуляторов / Е.Г. Крушель, А.Э. Панфилов, Н.А. Панфилова // Современные проблемы науки и образования. -2009. - № 5.

36. Кузнецов, А.Ю. Программный комплекс для исследования устойчивости нелинейных динамических систем / А.Ю. Кузнецов// Программные продукты и системы. - 2012. - № 1. - С. 14-18.

37. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А.Б. Куржанский. - М.: Наука, 1977. - 392 с.

38. Лурье, А.И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования / А.И. Лурье, А.И. Чекмарев. - М.: Гостехиздат, 1951. - 216 с.

39. Мазко, А.Г. Робастная устойчивость и оценка функционала качества нелинейных систем управления / А.Г. Мазко // Автоматика и телемеханика. - 2015.

- № 2. - С. 73-88.

40. Майлыбаев, А.А. Многопараметрические задачи устойчивости. Теория и приложения в механике / А. А. Майлыбаев, А. П. Сейранян . - М. : Физматлит, 2009 . - 400 с.

41. Мандель, А.С. Управление многономенклатурными запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Ч. I. Нормативная модель / А.С. Мандель // Проблемы управления. - 2011. - № 6. - С. 47-51.

42. Мафура Г.М. Математические модели неопределенностей систем управления и методы, используемые для их исследования/ Н.А. Целигоров, Г.М. Мафура, Е.Н. Целигорова// «Инженерный вестник Дона», 2012, Т.23, №4-2 (23). С.48 - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/ п4р2у2012/1277 (доступ свободный).

43. Мафура Г.М. Причины возникновения интервальных значений в

математических моделях исследования робастной устойчивости систем управления/ Н.А. Целигоров, Г.М. Мафура// «Инженерный вестник Дона», 2012, Т.22, №4-1 (22). С.95 - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/ n4p2y2012/1340 (доступ свободный).

44. Мафура Г.М. Подход к исследованию робастной абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем управления с монотонными характеристиками/ Н.А. Целигоров, Г.М. Мафура// Известия вузов. Электромеханика. 2013, №5. С.44-48.

45. Мафура Г.М. Метод исследования робастной абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем управления/ Н.А. Целигоров, Г.М. Мафура// Известия высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Серия: Технические науки. №6 (175), 2013. С.12-14.

46. Мафура Г.М. Применение информационных технологий для учета неопределённостей в системах управления различного назначения. Информационные технологии в экономических исследованиях: Сборник статей научно-практической конференции 2013г. - Ростов н/Д: ДГТУ, 2013. С. 35-39.

47. Мафура Г.М. Применение моделирующего комплекса «Устойчивость» для исследования нелинейных импульсных систем управления с неопределённостями/ Н.А. Целигоров, Г.М. Мафура// Компьютерное моделирование 2013 Труды междун. конф. 3-5 июля 2013, СПбГПУ, Санкт-Петербург. С. 163-168.

48. Мафура Г.М. Исследование робастной абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем управления на основе применения графического подхода/ Н.А. Целигоров, Г.М. Мафура, Е.Н. Целигорова// «Индустриальные информационные системы» - ИИС-2015. Всероссийская конференция с международным участием (Новосибирск, 20 - 24 сентября 2015 г.): Сборник тезисов докладов / Новосибирск, КТИ ВТ СО РАН, 2015. 56 с.

49. Мафура Г.М. Графический метод исследования нелинейных импульсных систем с неопределённостями и монотонной нелинейной характеристикой// Н.А. Целигоров, Г.М. Мафура, Е.Н. Целигорова // Компьютерное моделирование - 2016

Труды национ. науч.-техн. конф. 5-6 июля 2016, СПбГПУ, Санкт-Петербург. С.91-99.

50. Мафура Г.М. Графические способы отображения робастной абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем управления c монотонной характеристикой нелинейного элемента/ Н.А. Целигоров, Г.М. Мафура, Е.Н. Целигорова// Труды Конгресса по интеллектуальным системам и информационным технологиям «IS&IT'16». - Таганрог: Издательство ЮФУ, 2016.

- т.2, С.118-124.

51. Мейлахс, А.М. О существовании функции Ляпунова для параметрических возмущенных линейных систем / А.М. Мейлахс // Сложные системы управления, -Kiev: ИК АН УССР, - 1980. - С.11-15.

52. Мирошник, И.В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами / И.В. Мирошник. - СПб.: Наука, 2000. - 549 c.

53. Мур, Р. Радиолокационное определение параметров ветра над морем / Р. Мур, А.К. Фэн // Тр. ин-та инж. по электротехн. и радиоэлектр. - 1979. - № 11 (67).

- C. 40-63.

54. Муттер, В.М. Абсолютная устойчивость нелинейных систем судовой автоматики / В.М. Муттер. - Леннинград: Судостроение, 1973. - 167 с.

55. Муттер, В.М. Аналого-цифровые автоматические системы: Проектирование и расчет / В.М. Муттер. - Леннинград: Машиностроение, 1981. - 199 с.

56. Неймарк, Ю.И. Робастная устойчивость линейных систем/ Ю.И. Неймарк// Автоматика и телемеханика. - 1991. - С. 578-580.

57. Никифоров, В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений / В.О. Никифоров. - СПб.: Наука, 2003. - 282 с.

58. Новиков, Е.А. Адекватность численных экспериментов при имитационном моделировании динамических систем / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Имитационное моделирование. Теория и практика. ИММОД - 2005: сб. докл. (2). -C. 251-255.

59. Параев, Ю.И. Понятие обобщенной передаточной матрицы и условие

инвариантности линейной многосвязной системы / Ю.И. Параев, Е.А. Перепелкин // Известия РАН. Теория и системы управления. -1995. (6). - С 66-69.

60. Першин, И.М. Анализ устойчивости линейных систем с распределёнными параметрами / И.М. Першин, [и др.] // Мехатроника, автоматизация, управление. -2013. - № 9. - С 2-5.

61. Першин, И.М. Апроксимационные модели передаточной функций распраделенных объектов / И.М. Першин, Г.Е. Веселов, М.И. Першин // - 2015. -№ 7. - С. 126-136.

62. Першин, И.М. Экспонециальная устойчивость линейнных систем с распределенными параметрами / И.М. Першин, [и др.] // Известия высших учебных заведений, приборостоение. - 2015. - № 9(58). - С. 720-724.

63. Першин, И.М. Проектирование регуляторов с переменной структурой для дискретных систем с изменяющимися параметрами / И.М. Першин, [и др.] // Перспективы развития науки и образования, сборник научных трудов по материаллам маждународной научно-практической конференция. - 2014. -Пятигорск. - С. 30 - 33.

64. Першин, И.М. Частотный аналдиз и синтез систем с распределенными параметрами: монография / И.М. Першин, А.А. Ляшенко. - Пятигорск: Институт информационных систем и технологий. - 2012. - 226 с.

65. Першин, И.М. Системы с распределенными параметрами. Анализ и синтез / И.М. Першин, А.В. Малков. - М.: Научный мир. - 2012. - 532 с.

66. Побединский, В.В. Роторные окорочные станки с автоматически управляемым пневмогидроприводом : диссертация ... доктора технических наук : 05.21.01 / Побединский Владимир Викторович; [Место защиты: Ур. гос. лесотехн. ун-т]

67. Побединский, В.В. Синтез САУ окорочного станка методом частотной идентификации объекта управления / В.В. Побединский, А.В. Берстенев, А.И. Попов // Аграрн. Науч. ур. - № 1. -2015. - С.45-48.

68. Поляк, Б.Т. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности

линейных систем / Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин // Автоматика и телемеханика. - 1990. - № 9. - С. 45-54.

69. Поляк, Б.Т. Цыпкин Я.З. Устойчивость и робастная устойчивость однотипных систем / Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин // Автоматика и телемеханика. -1996. - № 11. - С. 91-104.

70. Поляк, Б.Т. Сверхустойчивые линейные системы управления. II. Синтез / Б.Т. Поляк, П.С.Щербаков // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 11. - С. 56-75.

71. Попов, А.Н. Нелениное робастное управление возбуждением синхроного генератора: синергетическая система с переменной структурой / А.А. Кузьменко, А.Н. Попов, Н.А. Родионов // Информатика и система управления. - 2014. - №. 4. -С. 130-139.

72. Попов, А.Н. Теоретические основы синтеза энергосберегающих регуляторов электомеханических систем / А.Н. Попов // Современная наука и инновации. -2016. - №.4. - С. 20-28.

73. Попов, В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования / Попов В.М. // Автоматика и телемеханика. -1961. - № 8 (22). - С. 961-979.

74. Римский, Г.В. Основы общей теории корневых траекторий систем автоматического управления/ Римский Г.В. - Минск: Наука и техника, 1972. - 328 с.

75. Ромм, Я.Е. Компьютерный метод варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации функций и решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Я.Е. Ромм, Г. А. Джанунц // Кибернетика и системный анализ. - 2013. - № 3. - С. 95-112.

76. Серков, В.И. Аналитические условия абсолютной устойчивости и корневой чувствительности нелинейных импульсных автоматических систем / В.И. Серков, Н.А. Целигоров // Теория инвариантности и её применение. - 1979. - С. 32-43.

77. Смагина, Е.М. Вопросы анализа многомерных объектов с использованием понятия нуля системы / Е.М. Смагина. - Томск: Изд-во ТГУ. 1990. - 159 с.

78. Смагина, Е.М. Слежение за полиномиальным сигналом в интервальной динамической системе / Е.М. Смагииа, А.Н. Моисеев // Вычислительные технологии. -1998. - № 1 (3). - C. 67-74.

79. Солодовников, В.В. Микропроцессорные автоматические системы регулирования. Основы теории и элементы: Учеб. пособие / В.В. Солодовников, [и др.], под ред. В.В. Солодовников, - Москва: Высш. шк., 1991. - 255 c.

80. Стахин, Н.А. Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima. (ПО для решения задач аналитических (символьных) вычислений): учебное пособие / Н.А. Стахин. - Москва:Литр, 2008. - 86 c.

81. Суздаль, В.С., Синтез ПИД регулятора для многомерного процесса выращивания монокристаллов / В.С. Суздаль, А.В. Соболев, И.И. Тавровский . -Харков:НТУ «ХПИ», 2016. - 216 с.

82. Суходоев, М.С. Корневой анализ и синтез систем с интервальными параметрами на основе вершинных характеристических полиномов: диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук: спец. 05.13. 01 / Суходев Михайл Сергеевич. - Томск, 2008. - 131 с.

83. Удерман, Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем / Э.Г. Удерман. - М.:Наука,1972. 448 с.

84. Филипс, Ч. Системы управления с обратной связью/ Филипс Ч., Харбор Р.// М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 616с.

85. Фомичев, В. Математические методы теории управления. Проблемы устойчивости, управляемости и наблюдаемости / В. Фомичев, [и др.]. -М.:Физматлит, 2013. - 199 с.

86. Фрадков, А.Л. Адаптивное управление в сложных системах / А.Л. Фрадков. -М.: Наука, 1990. - 296 с.

87. Хансен, Э. Глобальная оптимизация с помощью методов интервального анализа : пер. с англ. / Э. Хансен, Дж. У. Уолстер. - Москва Ижевск: Регуляр. и хаот. динамика, Ин-т компьютер. исслед., 2012. - 512 с.

88. Ханнанова В. Н. Математическая модель системы регулирования

температуры внутри помещения / В. Н. Ханнанова // Вестник Казанского технологического университета. - 2013. - №18 - С.309-313.

89. Харитонов, В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений / В.Л. Харитонов // Дифференц. уравнения. - 1978. -№ 11 (14). - С. 2086-2088.

90. Харитонов, В.Л. Устойчивость вложенных семейств полиномов / В.Л. Харитонов // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 11. - С. 169-178.

91. Хлебалин, Интервальный вариант метода модального управления / Н.А. Хлебалин, Ю.И. Шокин. - Новосибирск: Наука, 1991. 293 с.

92. Хьюбер, П.Д. Робастность в статистике/Пер. с англ. ИА Маховой и ВИ Хохлова; Под ред. ИГ Журбенко. - М.:Мир, 1984. - 304 с.

93. Целигоров, Н.А. Применение модифицированного метода корневого годографа для исследования робастной абсолютной устойчивости многомерных систем управления / Н.А. Целигоров, Целигорова Е.Н. // Идентификация систем и задачи управления. Труды VI Международной конференции SICPRO '07. 29 января - 1 февраля 2007 г. Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН. - СD-ROM, - № 13034.

94. Целигоров, Н.А. Алгебраические аспекты исследования робастной абсолютной устойчивости многомерных систем управления / Н.А. Целигоров, Е.Н. Целигорова // Материалы Четвертой научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. - С. 348357.

95. Целигоров, Николай Алексанрович. Теоретические основы и практическое применение метовод исследование робастной абсолютной устойчивости многомерных нелинейных импульсных автоматических систем: диссертация ... доктора технических наук : 05.13.01 / Целигорова, Николай Алексанрович; [Место защиты: ДГТУ].- Ростов-на-Дону, 1999.- 202 с.: ил. РГБ ОД, 71 00-5/528-Х.

96. Целигорова, Елена Николаевна. Разработка методов и алгоритмов для анализа и синтеза нелинейных импульсных систем управления с интервальными

параметрами : диссертация ... кандидата технических наук : 05.13.01 / Целигорова Елена Николаевна; [Место защиты: Юж. федер. ун-т].- Ростов-на-Дону, 2011.- 158 с.: ил. РГБ ОД, 61 12-5/1850.

97. Цыганов, А.В. Некоторые системы символьных вычислений с открытым кодом [Электронный ресурс]/ Цыганов А.В. // - СПБ.: СПбГУ. Режим доступа: http: //cph. phys. spbu.ru/mandriva/opensource_math. htm.

98. Цыкунов, А. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу / А. М. Цыкунов. - Москва: Физматлит, 2009. 268 с.

99. Цыпкин, Я.З. Робастно устойчивые нелинейные дискретные системы управления / Цыпкин Я.З.// Изв. РАН. Техн. кибернетика. - 1992. - № 6. - C. 18-29.

100. Цыпкин, Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости линейных дискретных систем / Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк // Автоматика. - 1990. - № 4. - C. 3-9.

101. Цыпкин, Я.З. Теория нелинейных импульсных систем / Я.З. Цыпкин, Ю.С.Попков. - М.: Наука, Гл. ред. физ-мат литературы, 1973. - 416 с.

102. Чернышев, А.Б. Устойчивость распределенных систем с дискретными управляющими воздействиями / А.Б. Чернышев, Ю.В. Ильюшин // Известия ЮФУ. Технические науки. 2010. №12 С.166-171.

103. Черноусько, Ф.Л. Оптимальное управление при случайных возмущениях / Ф.Л. Черноусько, В.Б. Колмановский. - M.: Наука, 1978. - 352 с.

104. Чхартишвили, Г.С. Руководство по практическому применению программного комплекса WINMASS для моделирования динамических систем: методическое пособие по курсу «Моделирование» по направлению «Информатика и вычислительная техника» и специальности «САПР» / Г.С. Чхартишвили, О.Ю. Шаронов // - М.: Изд. Дом МЭИ, 2007. - 32 с.

105. Шейх, Э. Н. Сеньков А.Г. Модель электротехнического обекта и алгоритм управления на основе ПИД-регулятора/ Э.Н. Шейх, Сеньков А.Г. // Системный анализ и прикладная информатика, - 2015. -№ 1, -С. 31-34

106. Шокин, Ю.И. Интервальный анализ / Ю.И. Шокин. - Новосибирск: Наука, 1981. - 112 с.

107. Шорников, Ю.В. Использование инструментального средства ИСМА для моделирования экономических процессов / Ю.В. Шорников, Г.А. Абденова, Р.Н. Заркумова // Сибирская финансовая школа. - 2007. - № 4. - C. 46-50.

108. Ackermann, J. Parameter space design of robust control systems / J. Ackermann // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1980. - № 6 (25). - pp. 1058-1072.

109. Ardjoun, S.A. A robust fuzzy sliding mode control applied to the double fed induction machine / S.A. Ardjoun // International Journal of Circuits, Systems and Signal Processing. - 2011. - № 4 (5). - pp. 1445-1451

110. Barmish, B.R. New tools for robustness of linear systems / B.R. Barmish // {IEEE} Transactions on Automatic Control. - 1994. - № 12 (39). - pp. 2525.

111. Bartlett, A.C. Root locations of an entire polytope of polynomials: It suffices to check the edges / A.C. Bartlett, C.V. Hollot, H. Lin // Mathematics of Control, Signals, and Systems. - 1988. - № 1 (1). - pp. 61-71.

112. Battachatyya, S.P. Robust Control: The Parametric Approach / S.P. Battachatyya, H. Chapellat, L.H. Keel. Prentice Hall PTR, 1995. - 672 p.

113. Doyle J.C. Feedback Control Theory / J.C. Doyle, B.A. Francis, A.R. Tannenbaum, Courier Corporation, - 2013. - 224 p.

114. Emami, T. A unified approach for sensitivity design of PID controllers in the frequency domain / T. Emami, J.M. Watkins // WSEAS Transactions on Systems and Control. - 2009. - № 5 (4). - C. 221-231.

115. Emami, T. Robust performance characterization of PID controllers in the frequency domain / T. Emami, J.M. Watkins // WSEAS transactions on systems and control. 2009. № 5 (4). pp. 232-242.

116. Jenkins, M.A. A three-stage algorithm for real polynomials using quadratic iteration / M.A. Jenkins, J.F. Traub // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1970. № 4 (7). pp. 545-566.

117. Mafura G.M. Using computer modeling to study impulsive systems with uncertainties and monotonic non-linear characteristics/ N.A. Tseligorov, G.M. Mafura// Университетский научный журнал. № 8, 2014. С.124-130.

118. Mafura G.M. Software package for investigation of robust and absolute stability of nonlinear impulsive control systems/ N.A. Tseligorov, G.M. Mafura // Университетский научный журнал. № 17, 2016. С. 53-60.

119. Mafura G.M. The effect of the variation of Popov's parameter on the size of the region of absolute robust stability of a monotonous nonlinear impulsive control system/ N.A. Tseligorov, G.M. Mafura// Proceedings of the 2014 International Conference on Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (MMAS '14), Saint Petersburg State Polytechnic University Saint Petersburg, Russia September 23-25, 2014. С. 75-79.

120. Mafura G.M. Using Information Technology for computer modelling of nonlinear monotonous impulse control system with uncertainties // КОМОД 2014 : труды международной конференции. 2-4 июля 2014 года. - СПб.:, Изд-во Политехн. унта, 2014. С. 52-55.

121. Mafura G.M. The application of a graphical technique to determine the robust stability of a Nonlinear Impulsive Control System/ N.A. Tseligorov, G.M. Mafura, S.S. Maluytin // КОМОД 2015 : труды международной конференции. 1-3 июля 2015 года. - СПб.:, Изд-во Политехн. ун-та, 2015. С. 52-55.

122. Mafura G. M. An Assessment of the Effect of Varying Popov's Parameter on the Region of Robust Absolute Stability of Nonlinear Impulsive Control Systems with Parametric Uncertainty/ N.A. Tseligorov, E.N. Tseligorova, G.M. Mafura // Computational Problems in Science and Engineering, 2015. Volume 343, pp. 141-151.

123. Matusu, R. Robust stabilization of interval plants using Kronecker summation method / R. Matusu// WSEAS Transactions on Systems. - 2010. - pp. 261-265.

124. Matusu, R. Graphical analysis of robust stability for systems with parametric uncertainty: an overview / R. Matusu , R. Prokop // Transactions of the Institute of Measurement and Control. - 2010. - № 2 (33). p. 274-290.

125. Shornikov, Y.V. Instrumental analysis of Heterogenous Hybrid Systems / Y.V. Shornikov // Modeling of artificial Intelligence. - 2015. - Vol. 8(4). - pp. 238-241.

126. Stein, W. Software for Algebra and Geometry Experimentation [Electronic resource] / W. Stein // Url:https://wstein.org/grants/sage-06/project_description.pdf

127. Ypma, T.J. Historical development of the Newton-Raphson method / T.J. Ypma // SIAM review. - 1995. - № 4 (37). - C. 531-551.

128. Zhou, K. Essentials Of Robust Control / K. Zhou, J.C. Doyle, Prentice hall Upper Saddle River, NJ, 1998. 113 p.

129. Программный комплекс для исследования линейных динамических систем [Электронный ресурс]. URL: http://all4study.ru/modelirovanie/programmnyj-kompleks-dlya-issledovaniya-linejnyx-dinamicheskix-sistem.html.

130. SageMath [Электронный ресурс]. URL: http://sagemath.eom/#home.

131. Электронный курс по MathCad [Электронный ресурс]. URL: http://detc.ls.urfu.ru/Assets/aMATH021/soder.htm.

132. MathWorks [Электронный ресурс]. URL: http://www.mathworks.com/.

133. Maplesoft [Электронный ресурс]. URL: http://www.maplesoft.com/.