Разработка методов динамического анализа многодвигательных машин с упругими передаточными механизмами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.18, кандидат технических наук Терешин, Валерий Алексеевич

• Терешин, Валерий Алексеевич
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Терешин, Валерий Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МНОГОДВИГАТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ С ПРОГРАММНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

1.1. Постановка задачи

1.2. Силы инерции.

1.3. Упругие и диссипативные силы.

1.4. Движущие силы

1.5. Характеристики двигателей. Программное управление.

1.6. Канонический вид уравнений движения многодвигательной машины.

Глава 2. РЕКУРРЕНТНЫЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ МАТРИЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

2.1. Сущность метода

2.2. Основные геометрические соотношения для пары звеньев

2.3. Абсолютные скорости звеньев

2.4. Кинетическая энергия звеньев

2.5. Рекуррентное соотношение для аналогов скоростей функциональных звеньев

2.6. Функция положения. Динамические ошибки исполнительного органа.

2.7. Кинетическая энергия приводов

2.8. Аналоги скоростей роторов

2.9. Кинетическая энергия многодвигательной машины с упругими передаточными механизмами

2.10. Производные от матрицы кинетической энергии многодвигательной машины с упругими перадаточныыи механизмами

Глава 3. ПРИМЕНЕНИЕ РЕКУРРЕНТНОГО МЕТОДА К ИССЛЕДОВАНИЮ

ДИНАМИКИ МНОГОДВИГАТЕЛЬНЫХ МАШИН

3.1. Описание вычислительной программы

3.£. Промышленный робот Р1ЖД

3.3. Промышленный робот М-П.

3.4. Промышленный робот М-10У.ИЗ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов динамического анализа многодвигательных машин с упругими передаточными механизмами»

Возросшая энерговооруженность производства в настоящее время в значительной степени предопределяет рост производительности труда и, прежде всего, за счет механизации и автоматизации производственных процессов. Постоянная их интенсификация приводит к необходимости использования в различных отраслях машиностроения весьма сложных машин.

В "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года" указывается на необходимость ".значительно увеличить масштабы создания, освоения и внедрения в производство новой высокоэффективной техники, обеспечивающей рост производительности труда, снижение материалоемкости и энергоемкости, улучшение качества выпускаемой продукции, повышение ее конкурентоспособности на внешнем рынке. .Обеспечить освоение в короткие сроки серийного производства новых конструкций машин, оборудования, средств автоматизации и приборов, позволяющих использовать в широких масштабах высокопроизводительные, энерго- и материалосберегающие технологии. Существенно увеличить производство систем машин и оборудования, автоматических манипуляторов с программным управлением, позволяющих исключить применение ручного малоквалифицированного и монотонного труда, особенно в тяжелых и вредных для человека условиях" (/4/, стр. 147, 153, 154).

Значительная часть современных машин предназначена для выполнения сложных функциональных задач, например, связанных с обеспечением сложных движений исполнительных органов. Эти задачи, в частности, решаются с помощью многодвигательных машин. Характерной особенностью таких машин является динамическая взаимосвязанность степеней подвижности, особенно при их совместной отработке. К таким машинам предъявляются высокие требования по точности и производительности. Увеличение производительности сопряжено с увеличением нагрузок, что приводит, в свою очередь, к снижению точности, увеличению деформаций. Рост динамических нагрузок неизбежно поднимает вопросы прочности и долговечности. Таким образом, вполне ясна необходимость динамического анализа многодвигательных машин на этапе проектирования, которая усиливается их значительной стоимостью. Из изложенного понятна также важность учета упругости звеньев, в особенности в передаточных механизмах.

До недавнего времени в литературе основное внимание уделялось (кроме ряда классических работ) однодвигательным машинам. В связи с учетом упругости звеньев следует отметить работы Вульфсона И.И. и его последователей (/19/, /20/, /2</» /45/). В этих публикациях рассмотрены малые колебания одно-двигательных машин вблизи установившихся и переходных режимов. Наибольшее внимание в них уделено установившимся режимам, которые описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. В ряде случаев исследователи не ограничивались анализом, а ставили задачи синтеза(/26/, /27/).

Интерес к многодвигательным машинам возник в связи с появлением роботов. В последнее время все больше исследователей обращают свое внимание на сложные многодвигательные управляемые машины. С точки зрения динамики машина представляет собой многомассовую систему с наложенными связями, определяющими как характер взаимодействия тел друг с другом, так и с рабочей средой и источником энергии. Большинство работ, посвященных динамике многомассовых систем, излагают различные алгоритмы составления уравнений (/ЗЛ/5/, /8/г/№/, /«/, /10/, /24/, /35/, /мб/, /48/, /55/, /57/). Ряд таких работ непосредственно нацелен на использование вычислительном техники (/7/, /14/, /15/, /16/, /17/, /18/, /22/, /33/, /42/, /АЗ/, /44/, /46/, /40/), на автоматическое составление уравнений движения (/14/> /16/, /31/, /33/, /30/, /44/, /46/) и их решение (/49/, /20/, /#/). Основным отличием этих работ друг от друга является различие в исследуемых объектах, условиях работы, определяемых параметрах. Обсуждаются также возможности тех или иных способов управления в применении к многодвигательным машинам (/б/, /7/, /45/, /47/, /30/, /42/)« Имеется обширный экспериментальный материал, подтверждающий те или иные математические модели, описывающие поведение систем как с дискретным, так и с континуальным распределением упруго-инерционных параметров, учитывающие как статические, так и динамические характеристики двигателей, а также всевозможные нелинейные эффекты (/2/, /53/ и др.)« Чаще всего наиболее состоятельные математические модели сложных машин представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Б связи с принципиальной невозможностью получения их точных решений в квадратурах (кроме некоторых частных случаев) многими авторами предлагаются различные приближенные методы (/19/, стр. 160; /40/, /45/, /56/ и др.). Эти методы обычно допускают ряд последовательных уточнений, быстрая сходимость которых к решению обуславливается "медленностью" изменения коэффициентов уравнений по сравнению с "собственными колебаниями" системы. Первое приближение обычно отыскивают методом "замороженных коэффициентов" (см. /Ю/, стр. 90), иногда пользуются ВКБ - приближением и т.п. (см. /10/, стр. 144).

Б силу большого разнообразия конструкций машин и режимов работы существуют различные динамические модели, достаточно правильно описывающие динамику систем. Следует выделить два основных типа динамических моделей:

1. Континуальная. Упруго-инерционные параметры принимаются распределенными для одного или нескольких звеньев. Математической моделью является система дифференциальных уравнений в частных производных (/И/, /$9/);

2. Дискретная. Для каждого звена либо упругие, либо инерционные параметры приведены (сосредоточены) к некоторым узловым точкам. Математическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (/¿/*/9Л Л8/,

21/* /24/, /35/* /35/, /38/, /44/, /46/, /48/, /50/, /57/).

В настоящее время явно прослеживается тенденция к ужесточению функциональных звеньев машин за счет преимущественного нагружения корпусных деталей, применения сравнительно коротких звеньев с большими поперечными размерами (например, робот К11КА серии 1Р 200).

Современные электродвигатели часто имеют приведенные моменты инерции роторов одного порядка с функциональными звеньями. Ясно, что для таких конструкций низшие собственные частоты упругих колебаний, в основном, определяются податливоетями приводов, которые можно считать сосредоточенными вследствие рассмотрения низших собственных форм. Однако для широкого класса систем, прежде всего имеющих протяженные звенья, единственно приемлимыми являются континуальные динамические модели.

У подъемно-транспортных машин, промышленных роботов и некоторых других в процессе функционирования значительно меняются приведенные инерционные параметры, что приводит к существенным изменениям собственных частот; часто происходит перестраивание собственных форм. Из этого следует вывод о весьма узкой применимости распространенных одностепенных или одномассовых динамических моделей /48/.

В диссертации излагается методика динамического анализа при условии, что известно некоторое программное (требуемое) движение машины, определено программное управление, которое должно обеспечить это движение. Предполагается, что управление строится из рассмотрения машины с жесткими звеньями и динамическими характеристиками двигателей. В силу возможной нежесткости механической части машинного агрегата в нем могут возникнуть ошибки позиционирования. Обычно достаточно обоснованным является предположение о малости динамических ошибок (отклонений реального движения от программного). Это обеспечивается тем, что на стадии проектирования разработчики, используя те или иные методы, расчеты, более или менее правильно определяют конструкционные параметры системы. Малость динамических ошибок по сравнению с программными перемещениями обеспечивает правомочность линейной математической модели. Для целого ряда систем, в силу сравнительно невысоких требований к их точностным и скоростным характеристикам, вполне оправдано пренебрежение податливостями механизмов и принятие идеальных характеристик двигателей (см. /10/, стр.8). Однако, в настоящее время к машинам часто предъявляются настолько жесткие требования, что неучет динамических ошибок существенно искажает представление о характере происходящих процессов, что влечет за собой качеств венно неверные выводы и рекомендации по совершенствованию конструкций.

Ряд многодвигательных машин, и в особенности промышленные роботы, отличается от большинства машинных агрегатов значительным изменением приведенных инерционных параметров. Обычно в машинных агрегатах за цикл приведенные моменты инерции колеблются в пределах 5$, в то время как в манипуляторах эти величины иногда меняются в десять и более раз. Использование новых типов двигателей (высокомоментных, с пустотелым якорем) и редукторов (волновых) обеспечивает возможность нормальной работы машин в тяжелых динамических режимах. Все сказанное свидетельствует о том, что для проведения полного динамического анализа необходимо исследовать усложненную динамическую модель.

Преследуя некоторую универсальностью в то же время избегая излишней усложненности, в диссертации исследуется упругая дискретная многомассовая динамическая модель многодвигательной машины, механизмы которой образуют пространственную кинематическую цепь. Вообще говоря, звенья механизмов могут быть описаны и как континуальные распределения с разумным ограничением спектров (/30/, стр. 74).

Разработанная методика ориентирована на разомкнутые кинематические цепи с графами типа "дерево" (/10/, стр. 196). Основное внимание уделено механизмам специального вида, показанным на рис,4 , (см. /54/, стр. 6, 27, 28; /<0/, стр. II).

В силу высокой жесткости функциональных звеньев рассматриваемого класса многодвигательных машин в работе учтены податливости только упругих элементов приводов. Динамические модели приводов соответствуют двухмассовым колебательным системам с параметрами, отнесенными к функциональным звеньям (см., например, /26/).

Математическим описанием двигателей являются их линейные динамические характеристики (/9/, стр. 59; /28/, стр. 25, 40 и др.).

Широко известно, что само составление математической модели многомассовой системы сопряжено со значительными трудностями чисто технического характера. Например, при написании уравнений движения в форме уравнений Лагранжа эти трудности начинаются сразу при составлении кинетической энергии механизмов, затем они продолжаются при определении функции Эйлера (/44/, стр.32 ) и их дальнейшей линеаризации относительно малых величин (/Л/,

54/).

Одной из задач, решенных в диссертационной работе, является разработка методики, позволяющей передать преодоление всех этих трудностей вычислительной машине, создана вычислительная программа, позволяющая автоматизировать процесс получения точных (в рамках динамической модели) значений коэффициентов уравнений движения многомассовых систем (см. /54/) и находить их решение пошагово-алгоритмическим приемом на ЭВМ (см. /53/, приложение). Программа не конкретизирует особенностей системы управления и предполагает реализованными номинальные значения либо движущих сил, либо координат выходных звеньев двигателей. В конечном счете она позволяет провести почный динамический анализ как проектируемых, так и существующих машин с контурным управлением.

Программа дает также возможность выявить предельные режимы работы, наиболее уязвимые места в конструкции, характер зависимости динамических ошибок от производительности. Исследуя результаты счета, удается понять возможности управления, оценить степень его сложности.

Достоверность расчетов увеличена введением в программу динамических характеристик двигателей. Удобство пользования программой и сравнительно небольшое время счета позволяют оптимизировать конструкцию машины и режима работы через многократный анализ.

По существу, созданная вычислительная программа является моделью механической части рассматриваемого класса машины. Существует возможность использования ее как составной части более полной программы, учитывающей характеристики обратных связей системы управления, внешние воздействия, присоединения к другим машинам и т.п. Данная вычислительная программа имеет существенное значение для создания системы автоматического проектирования (САПР) механических частей роботов и некоторых других машин. Следует отметить, что наличие такой модели нацеливает конструктора на согласование механической части машины с возможностями системы управления. Так, например, весьма желательно, чтобы в соединениях были выбраны зазоры, а низшая собственная частота конструкции по возможности была увеличена. Кроме того^ следует помнить, что в управляемой машине увеличение степеней подвижности часто приводит не к уменьшению точности, как это может показаться на первый взгляд, а к значительному ее увеличению (/30/, /60/, стр. 104).

Работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе определен класс исследуемых многодвигательных машин; указан круг решаемых вопросов; обоснованы основные допущения; приведена постановка задачи; разработаны новые, более полные динамическая и математическая модели сложной механической системы с пространственной кинематической цепью, описывающие ее малые колебания около программного движения. Эти модели применимы как для обычных машин, так и для медленно движущихся роботов, они учитывают инерционные параметры звеньев, упруго-диссипативные свойства передаточных механизмов и динамические характеристики двигателей. При составлении уравнений движения использовано представление матрицы кинетической энергии в форме матрично-векторного ряда в окрестности программного движения по степеням динамических ошибок и упругих деформаций.

В заключении главы проведен сравнительный анализ с различными широко используемыми постановками задачи и обоснована целесообразность принятой б диссертации. Показано, что ряд линейных слагаемых, не учитывавшихся до настоящего времени, определяющим образом влияет на характер решения.

В связи со значительными трудностями технического плана указано на необходимость создания вычислительной программы, позволяющей автоматически находить численные значения коэффициентов уравнений движения.

Вторая глава посвящена разработке рекуррентного метода составления коэффициентов уравнений движения многодвигательных машин с кинематической цепью специального вида. Этот метод без использования численного дифференцирования обеспечивает определение в любой момент времени указанных коэффициентов с абсолютной точностью в рамках принятой динамической модели. В главе получены все аналитические зависимости, необходимые для создания универсальной вычислительной программы, реализующей рекуррентный метод, и позволяющей проводить полный динамический анализ сложных управляемых механических систем. Указано, что метод может быть распространен на механизмы с цространствен-ными древовидными кинематическими цепями, а также возможно его использование в системах с существенно распределенными параметрами.

Третья глава содержит материал, иллюстрирующий возможности созданного рекуррентного метода. На основе реализующей его вычислительной программы проведен полный динамический анализ разрабатываемых промышленных роботов М-11, М-ЮУ и робота Р1МА-560 в переходных режимах. Определены динамические ошибки, упругие деформации и нагрузки в приводах, программные значения движущих сил и добавки к ним, появившиеся вследствие нежесткости механизмов; оценены длительности переходных процессов; сделаны выводы о допустимых режимах работы; определены точности позиционирования и их связь с производительностью роботов.

Основываясь на более полных уравнениях движения, программа может быть использована для выявления применимости различных методов при исследовании тех или иных машин в разных режимах работы. Являясь по существу моделью механической части многодвигательной машины, вычислительная программа позволяет оценить степень взаимовлияния приводов, учесть систему управления с обратными связями и так далее. Программа обеспечивает создание системы автоматического проектирования (САПР) широкого класса машин, в том числе - промышленных роботов.

В заключении приведены основные результаты исследования, выводы и рекомендации.

Заключение диссертации по теме «Теория механизмов и машин», Терешин, Валерий Алексеевич

- 132 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе впервые получены общие уравнения движения широкого класса многодвигательных машин вблизи программного движения в линейной форме с переменными коэффициентами. При этом учтены как неидеальность характеристик двигателей, так и упругость звеньев передаточных механизмов.

2. Разработана методика рекуррентного определения коэффициентов этих уравнений, применение которой наиболее целесообразно в случае сложных механических систем со многими степенями подвижности. Численные значения коэффициентов уравнений для любого момента времени отыскиваются с абсолютной точностью в рамках принятой математической модели.

3. Впервые создана вычислительная программа, позволяющая проводить полный динамический анализ различных управляемых многодвигательных машин как в установившихся, так и в переходных режимах. Программа предусматривает возможность учета системы управления с обратными связями.

4. Указанная вычислительная программа является универсальной уточненной моделью многодвигательных машин и позволяет проводить синтез механических систем и систем управления ими через многократный анализ. Использование рекуррентного метода существенно уменьшило время счета. Программа обеспечивает создание системы автоматического проектирования (САПР) широкого класса машин, в том числе промышленных роботов, без каких-либо ограничений на количество степеней подвижности или конфигурацию звеньев.

5. Для ряда машин проведен анализ динамических ошибок и, в частности, оценены точность позиционирования нескольких промышленных роботов. Исследованы зависимости динамических нагрузок от характера программного движения.

6. На основе этого анализа даны обоснованные рекомендации о допустимых режимах работы отечественных промышленных роботов M-II, М-ЮУ и робота PUMA -560.

7. Разработаны рекомендации по выбору времени позиционирования при заданных допустимых динамических ошибках. Показано, что возрастание скорости программного движения приводит к существенному увеличению времени затухания колебательных процессов. Для ряда многодвигательных машин оценено максимальное быстродействие.

8. Созданная вычислительная программа позволяет определять динамические ошибки, упругие деформации и динамические нагрузки в приводах, программные значения движущих сил и добавки к ним, появившиеся вследствие нежесткости механизмов, длительности переходных процессов, сигналы в системе управления.

9. Выполненная работа была апробирована на трех Всесоюзных совещаниях, нескольких конференциях и заседаниях, получила положительные отзывы на ряде предприятий. Основные результаты диссертации изложены в семи публикациях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Терешин, Валерий Алексеевич, 1984 год

1. Материалы ХХУ1 съезда КПСС. - М.: Политиздат, 1981. - 223 с.

2. Ананьева Е.Г., Добрынин С.А., Фельдман М.С. Определение динамических характеристик робота-манипулятора с помощью ЭЦВМ. В кн.: Исследование динамических систем на ЭВМ. М., 1982, с.70-79.

3. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. 3-е изд.-М.: Наука, 1975. - 639 е., ил.

4. Байгученков Ж.Ж., Джолдасбеков С.У. Дифференциальные уравнения движения плоских рычажных механизмов высоких классов со многими степенями свободы. В кн.: Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1980, të 5, с.59-61.

5. Белянин П.Н. Промышленные роботы. М.: Машиностроение, 1975. - 398 е., ил.

6. Бурдаков С.Ф., Первозванский A.A. Динамический расчет электромеханических следящих приводов промышленных роботов: Учеб. пособие. Л.: ЛПИ, 1982. - 72 е., ил.

7. Бутырин С.А., Елисеев C.B. Управление манипулятором с учетом динамики исполнительного органа. В кн.: Управляемые механические системы. Иркутск, 1980, с.32-46.

8. Вейц В.Л. Динамика машинных агрегатов. Л.: Машиностроение, 1969. - 368 е., ил.

9. Вейц В.Л., Кочура А.Е., Федотов А.И. Колебательные системы машинных агрегатов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1979. -256 е., ил.

10. Вейц В.Л., Коловский М.З., Кочура А.Е. Динамика управляемых машинных агрегатов. М.: Наука, 1984. - 352 е., ил.

11. Вернигор В.Н. Исследование колебаний руки манипулятора как системы с-распределенными параметрами. Изв. вузов. Машиностроение, 1981, № 6, с.62-64.

12. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. /Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1978. -.-Т.1. Колебания линейных систем /Под ред. В.В.Болотина. 1978. 352 е., ил.

13. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел /Пер. с англ. под ред. В.В.Румянцева. М.: Мир, 1980. - 292 е., ил.

14. Воскресенский В.В., Дорофеева Л.Г., Кабанов А.Н. Моделирование механических систем промышленных роботов на ЦВМ. Машиноведение, 1982, № 4, с.38-43.

15. Вукобратович М., Стокич Д. Синтез управления программным движением автоматических манипуляторов. Машиноведение, 1981, № 3, с.50-54.

16. Вукобратович М., Потконяк В. Численный метод моделирования динамики манипулятора с упругими свойствами. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1981, № 5, с.131-141.

17. Вукобратович М., Стокич Д. Синтез управления возмущенным движением автоматических манипуляторов. Машиноведение, 1982,1. I, с.9-14.

18. Вукобратович М., Кирчански Н. Машинный метод линеаризации динамических модулей активных пространственных механизмов.-Машиноведение, 1982, N9 6, с.3-11.

19. Вульфсон И.И. Динамические расчеты цикловых механизмов. -Л.: Машиностроение, 1976. 328 е., ил.

20. Вульфсон И.И., Хорунжин В.С. Исследование вибрационных искажений кинематических характеристик пространственных криво-шипно-коромысловых механизмов. В кн.: Механика машин. М., 1981, вып.58, с.10-17.

21. Вульфсон И.И. Континуальная динамическая модель многоконтурной системы механизмов. Машиноведение, 1982, № 4, с.14-20.

22. Елисеев С.В., Бутырин С.А., Рудых Г.А. Учет динамическихфакторов в задачах управления манипуляторами. Машиноведение, 1983, № 3, С.38-44.

23. Игнатьев М.Б., Кулаков Ф.М., Покровский A.M. Алгоритмы управления роботами-манипуляторами. Л.: Машиностроение, 1977. -247 е., ил.

24. Кожевников С.Н. Динамика машин с упругими звеньями. Киев: АН УССР, 1961. - 160 е., ил.

25. Козлов Б.Б., Макарычев Б.П., Тимофеев A.B., Юревич Е.И. Динамика управления роботами. М.: Наука, 1984. - 336 е., ил.

26. Коловский М.З., Терешин В.А. Оптимальное управление движением машинного агрегата с упругим передаточным механизмом. В кн.: Управляемые механические системы. Иркутск, 1980, с.20-30.

27. Коловский М.З. Об оптимальном управлении установившимися движением машинного агрегата. Машиноведение, 1980, № I, с, 10-16.28. коловский М.З. Динамика машин: Учеб. пособие. Л.: ЛПИ, 1980.80 е., ил.

28. Коловский М.З., Маслов В.И. Элементы теории роботов и манипуляторов: Учеб. пособие. Л.: ЛПИ, 1981. - 61 е., ил.

29. Коловский М.З., Суханов A.A., Терешин В.А. Динамика управляемого упругого робота. Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1982,382, с.72-76.

30. Коловский М.З., Терешин В.А. Об определении динамических ошибок многодвигательных машин. Л., 1983. - 26 с. - Рукопись представлена Ленингр. политехи, ин-том. Деп. в ВИНИТИ 14 нояб. 1983, № 6054-83.

31. Корн Г., КОРН Т. Справочник пр математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. М.: Наука, 1968. - 720 с.

32. Кулешов B.C., Лакота H.A. Динамика систем управления манипуляторами. М.: Энергия,1971. - 304 е., ил.

33. Лакота H.A., Рахманов Е.Б., Шведов В.Н. Управление упругим манипулятором на траектории. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1980, № 2, с.53-59.

34. Лилов Л. О динамике одноконтурной манипуляционной системы. -В кн.: Теоретична и прилокна механика. София, 1981, ХП, № 3, с. 26-33.

35. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. -824 е., ил.

36. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. Пакет научных подпрограмм. Пер. с англ. Под ред. Н.С.Жаврид, М.Л.Петрошч. Вып.2, ч.2. -Минск, 1973. 272 с.

37. Мелентьев Ю.И., Телегин А.И. Методические разработки по курсу "Динамика манипуляционных систем роботов", раздел "Вывод уравнений динамики систем тел" для студентов специальности 0510.-Магнитогорск: МШИ, 1983. 36 е., ил,

38. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М.: Наука, 1964. - 431 е., ил.

39. Морошкин Г.Ф. Уравнения динамики простых систем с интегрируемыми соединениями. М.: Наука, 1981. - 116 с.

40. Овакимов А.Г. Решение некоторых задач динамики копирующего манипулятора. Машиноведение, 1982, № I, с.15-22.

41. Овакимов А.Г. Якобиева матрица системы "манипулятор-несвободный объект", кинематический метод ее определения и приложение к динамическому анализу этой системы. Машиноведение, 1983, fe 3, с.45-52.

42. Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Зуева Е.Ю., Мирер С.А., Садов Ю.А., Шнейдер А.Ю., Яковлев Н.И. Моделирование на ЭВМ управления роботом-манипулятором. М.: ИПМ АН СССР, 1974. - 41 е., ил.

43. Попов Е.П., Верещагин А.Ф., Зенкевич С.Л. Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. М.: Наука, 1978. - 398 е., ил.

44. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Сениченков Ю.Б., Воскобойников С.П. Алгоритмы и программы интегрирования дифференциальных уравнений: Учеб. пособие. Л.: ЛПИ, 1982. - 89 с.

45. Рахманов Е.В., Стрелков А.Н., Шведов В.Н. Разработка математической модели упругого манипулятора на подвижном основании. Изв. АН CGCP. Техн. кибернет., 1981, № 4, с.109-114.

46. Рос. Роботы. Состояние вопроса с точки зрения теории механизмов. В кн.: Конструирование и технология машиностроения. М., Мир, 1983, т.105, fe I, с.144-146.

47. Садов Ю.А., Зуева Е.Ю. Система моделирования на ЭВМ робота-манипулятора. Общее описание. М.: ИПМ АН СССР, 1977. - 47 е., ил.

48. Сипра, Уикер мл. О динамическом моделировании больших нелинейных механических систем. В кн.: Конструирование и технология машиностроения. М.: Мир, 1981, т.103, № 4, с.114-133.

49. Смольников Б.А. Векторно-матричный аппарат в кинематике составного тела. Тр. Ленингр. политехн. ин-та, 1982, № 386, с. 24-29.

50. Сунада, Дубовски. Об исследовании динамики и характеристик промышленных роботов-манипуляторов с упругими звеньями. В кн.: Конструирование и технология машиностроения. М.; Мир, 1983, т.105, № I, C.I6I-I72.

51. Терешин В.А. Рекуррентный метод составления дифференциальныхуравнений движения робота. Л., 1983. - 44 с. - Рукопись представлена Ленингр. политехи, ин-том. Деп. в ВИНИТИ 25 янв. 1984, № 461-84.

52. Уикер. Динамика пространственных механизмов. В кн.: Конструирование и технология машиностроения. М.: Мир, 1969, т.91, № I, с.264-278.

53. Черноусько Ф.Л. Динамика управляемых движений упругого манипулятора. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1981, № 5, с. 142-152.

54. KogtvnUov S.N., AatoniouK E.I. Dynamics of rneclmnisms of a mia6Ce stmtuie.- Pwc.sth Wovtd Cong?. <rneo?. Mach, and Riech., Moatseae, \979, MJ, p. 574-576.

55. Tmcnetifoodt A. Bevve^angsve^ietea und Regelung ШгшШ (Mmötpvt system nut Anwendung auf 1пйи$Ыт6оШ. - FoztscWt - Berichte Ш-Z, Di/ss4980, R8, \19 S., Ш.