Разработка методов численного анализа закрытых электромагнитных волноводов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Малых Михаил Дмитриевич

• Малых Михаил Дмитриевич
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Малых Михаил Дмитриевич

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Скалярная модель волновода постоянного сечения

1.1 Простейшая модель волновода

1.2 Функции со значениями в гильбертовых пространствах

1.3 Бесконечномерные системы линейных дифференциальных

уравнений

1.4 Волновод, заполненный неоднородным веществом

1.5 Конечномодовая модель регулярного волновода

1.6 Задача о сопряжении двух регулярных волноводов

1.7 Конечномодовая модель в задаче о дифракции на стыке волноводов

1.8 Дифракция на протяженной неоднородности, помещенной в

волновод

1.8.1 Постановка задачи

1.8.2 Единственность решения и ловушечные моды

1.8.3 Существование решения

1.9 Численные методы решения задачи дифракции на протяженной

неоднородности

1.10 Заключение

Глава 2. Векторная модель закрытого регулярного волновода

2.1 Электромагнитное поле в рамках векторной модели регулярного

волновода

2.2 Нормальные моды волновода

2.3 Переход к непрерывным переменным

2.4 Декомпозиция произвольного поля в волноводе

2.5 Калибровка потенциалов

2.6 Обобщенная запись уравнений Максвелла

2.7 Уравнения Максвелла, записанные относительно потенциалов

2.8 Нормальные моды волновода, заполненного неоднородным

веществом

3

Стр.

2.9 Заключение

Глава 3. Нормальные моды волновода в рамках самосопряженной

модели

3.1 Самосопряженная векторная модель распространения излучения

в волноводе

3.2 Монохроматические поля

3.2.1 ТМ-поля

3.2.2 ТЕ-поля

3.3 Нормальные моды волновода

3.4 Пример: многожильный волновод

3.5 Нормальные моды в рамках скалярной модели

3.6 Нормальные моды в рамках самосопряженной векторной модели

3.7 Дисперсионная кривая для ТМ-мод

3.8 Вычисление мод при заданной частоте

3.9 Высокочастотный предел

3.10 Распространение волн по многожильному волноводу

3.11 Дифракции волны на стыке волноводов

3.12 Сравнение самосопряженной и полной векторной модели

3.13 Заключение

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов численного анализа закрытых электромагнитных волноводов»

Введение

Исследование систем, в которых волна может распространяться в некото-

ром выделенном направлении, именуемых волноводами, имеет давнюю историю,

однако наибольшее значение эти исследования приобрели в связи с развитием

радиофизики и оптоэлектроники. Исследование систем, в которых волна может

распространяться в некотором выделенном направлении, именуемых волново-

дами, имеет давнюю историю, однако наибольшее значение эти исследования

приобрели в связи с развитием радиофизики и оптоэлектроники. Задачи теории

волноводов имеют одну общую черту — в них всегда выделено направление (ось),

вдоль которой распространяются бегущие волны.

Предметная область теории волноводов не ограничивается радиофизикой,

к волноводным задачам можно отнести и ряд задач о рассеянии частиц из кван-

товой механики, напр., недавние исследования В.С. Мележика о рассеивании

частицы центрами, закрепленными на продольной оси гармонической волново-

дообразной ловушки [1––9], и задачи из механики деформируемых тел, напр.,

моделирование моделирование волн в соосных упругих оболочках, заполненных

вязкой жидкостью [10––16]. По всей видимости в будущем может возникнуть ма-

тематическая теория волноводов, отвлеченная от предметной области и понятая

как теория бесконечномерных систем дифференциальных уравнений [17]. Ха-

рактерная особенность механических задач –– нелинейность дифференциальных

уравнений, используемых для описания математической модели. В электродина-

мике и квантовой механике значение линейных моделей много выше, поскольку

уравнение Максвелла и уравнение Шредингера –– линейные. Нелинейность в

электродинамических задачах появляется в том случае, когда принимают во

внимание зависимость диэлектрической и магнитной проницаемостей от поля.

Настоящая диссертация посвящена распространению электромагнитных волн по

волноводам с идеально проводящими стенками, рассматриваются линейные мо-

дели, основная сложность в исследовании которых — необходимость решать

задачи на собственные значения несамосопряженного операторного пучка с бес-

конечномерным ядром.

Изначально моделирование распространения волноводных мод по закры-

тым волноводам выполнялось для нужд проектирования каналов передачи СВЧ

излучения. Однако область применения модели закрытого волновода много шире

 5

классических задач о распространении радиоволн, поскольку модель закрытого

волновода используется и при моделировании открытых волноведущих систем

[18––20].

Укажем на одно из многих приложений этой модели, связанное с при-

оритетным научным направлением Института прикладной математики и теле-

коммуникаций РУДН «Опережающие исследования беспроводных 5G сетей и

Интернета вещей» [21]. Увеличение скорости передачи данных по беспроводным

сетям должно быть обеспечено повышением пропускной способности оптоволо-

кона, соединяющего вышки беспроводной связи. Однако уже переход к 4G подвел

к пределу пропускной способности существующих оптоволокон. Поэтому ин-

тернациональные телекоммуникационные компании уделяют большое внимание

разработкам новых оптоволокон с большой пропускной способностью и именно в

этом направлении были достигнуты существенные технологические успехи за по-

следние пять лет [22]. Наиболее перспективным приемом повышения пропускной

способности оптоволокна является использование многожильных (multicore) вол-

новодов, представляющих собой пучок из десятков и даже сотен диэлектрических

жил [23]. Можно ожидать, что при правильном подборе частоты по многожиль-

ным волноводам распространяется столько же мод, сколько в системе жил, и

каждую из этих мод можно использовать для передачи информации. Проблема,

однако, состоит в том, что жилы расположены близко друг к другу и поэтому мо-

дель, в рамках которой каждая жила рассматривается как закрытый волновод, ––

слишком грубая, чтобы использовать ее на практике.

Поэтому при более детальном моделировании распространения направляе-

мых мод по открытому волноводу в оптическом диапазоне естественно принять,

что поле на расстоянии нескольких длин волн от границы такого волновода

равно нулю. Поэтому, поместив открытый волновод в ящик с идеально про-

водящими стенками, мы получим приближенную модель открытого волновода,

на что впервые указал А.Г. Свешников. Модель «открытый оптический вол-

новод в ящике» является корректной математической моделью, описывающей

распространение волноводных мод, она дает естественную дискретизацию этих

интегралов и на данный момент является единственной корректной моделью,

описывающей волноводную дифракцию в открытых оптических системах [20].

Границы применимости этой модели можно описать количественно, сравнив

результаты, получающиеся при разном удалении стенок ящика от границы волно-

вода. Безусловным недостатком модели «волновод в ящике» является чрезмерная

 6

канализация энергии, вытекающей из волноводов, в направлении оси волновода.

Это не существенно для моделирования распространения волноводных мод, но

важно, напр., для задач о вытекании энергии из такого волновода через откры-

тый торец. Подводя итог всему сказанному можно утверждать, что опережающие

исследования беспроводных 5G сетей требует исследования математической мо-

дели закрытого волновода, диэлектрическая проницаемость внутри которого не

только не является постоянной, но и даже медленно меняющейся функцией.

Рассмотрим теперь основные методы моделирования распространения из-

лучения в закрытых волноводах.

Простейший путь для моделировния явлений классической электродинаи-

ки –– использование уравнений Максвелла для описания электромагнитного поля

и их последующая дискретизация по методу конечных разностей. Развитие ком-

пьютерной техники в настоящее время позволяет применять метод конечных

разностей непосредственно для дискретизации уравнений Максвелла и проводить

численные исследования прикладных электродинамических задач, рассматрива-

емых в ограниченных областях пространства, например, в резонаторе, призме,

дифракционной решетке и т.д. Одним из наиболее широко применяемых методов

такого рода является метод FDTD (Finite-Difference Time-Domain), подробно опи-

санный в ряде учебников по современной вычислительной электродинамике [24;

25]. Специфика волноводных задач, напр., задачи о волноводной дифракции, со-

стоит в том, что в них проводится расчет электромагнитных полей на расстояниях

от исследуемого объекта, рассевающего электромагнитное поле, что приводит в

рамках метода FDTD и его модификаций к необходимости огромных объемов вы-

числений. Следует также добавить, что этот метод вносит в задачу «численную

дисперсию», приводящую к ошибкам в определении фазовой скорости, и «чис-

ленную анизотропию», при которой волновые числа волн, распространяющихся

в различных направлениях в изотропной среды, различаются [26––31].

По этой причине при решении прикладных задач теории волноводов часто

прибегают к скалярному приближению, то есть для моделирования распростране-

ния монохроматических волн используют не уравнения Максвелла, а уравнение

Гельмгольца. Модель, в которой вместо электромагнитного поля используется

скалярная функция, а вместо уравнений Максвелла –– уравнения Гельмгольца, мы

будем называть скалярной и противопоставлять ее векторной модели, основанной

непосредственно на уравнениях Максвелла.

 7

В некоторых случаях, напр., в случае планарного волновода, можно строго

доказать, что компоненты электромагнитного поля порознь удовлетворяют этому

уравнению и не зацепятся через граничные условия. Поэтому эти случаи можно

исследовать в рамках скалярной модели. В принципиально трехмерных задачах, в

которых диэлектрическая проницаемость меняется плавно, такой переход требует

удаления из уравнений Максвелла членов, представляющих собой произведение

градиента ε на поле; напр., такое выражение поулчается при исследовании харак-

теристик лазерного излучения, рассеянного в интегрально-оптическом волноводе

с трехмерными неоднородностями [31]. В случае изогнутых волноводов пере-

ход к скадярной модели требует удаления члена, пропорционального кривизне,

как, напр., в случае тороидального волновода [32]. По этой причине использо-

вание приближенной скалярной модели волноводов допустимо только для слабо

направляющих структур и не всегда подходит для исследования и проектирова-

ния целого ряда интегрально-оптических устройств, в том числе для устройств,

волноводных линз и датчиков, которые исследовались в работах сотрудников и

выпускников кафедры радиофизики РУДН [33––37].

Исследование волноводных задач в полной электромагнитной постанов-

ке было начато работами А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, П.Е. Краснушкина и

А.Г. Свешникова, написанными во второй половине прошлого века. А.Н. Тихо-

нов и А.А. Самарский [38––41] рассмотрели распространение электромагнитных

волн по цилиндру постоянного односвязного сечения, имеющему идеально про-

водящие стенки и заполненному однородным веществом. В этой работе было

доказано несколько фундаментальных теорем, характеризующих произвольное

электромагнитное поле в таком волноводе –– теорема о разложении поля на поля

трансверсально электрического и трансверсально магнитного типов (ТЕ- и ТМ-

типов) и теорема о разложении поля на нормальные моды. Эти результаты позво-

лили П.Е. Краснушкину [42] ввести понятие нормальной волноводной волны или

моды, а А.Г. Свешникову [43––45] ввести парциальные условия излучения и стро-

го математически поставить задачу о дифракции нормальных волн в волноводе.

По существу в этих работах были предложены две классические модели

теории волноводов –– модель регулярного полого волновода и модель локально

нерегулярного волновода.

В рамках первой модели была рассмотрена спектральная задача об отыска-

нии нормальных мод. Эта задача была сведена к задача на собственные значения

для оператора Лапласа с краевыми условиями Дирихле и Неймана, численные

 8

методы решения которой хорошо разработаны. В редких случаях, когда сечение

волновода –– круг или прямоугольник, эта задача допускает решения в символь-

ном виде. В общем же случае эти задачи без труда решаются численно, например,

в компьютерных реализациях метода конечных элементов (МКЭ)[46; 47].

В настоящее время МКЭ стал стандартным подходам к решению краевых

задач математической физики и, более общо, к дискретизации непрерывных мо-

делей. На наш взгляд важным этапом на пути распространения и стандартизации

МКЭ стал переход от написания программного обеспечения, ориентированно-

го на решение задач того или иного класса, к созданию языка для работы с

конструкциями МКЭ. Такой новый язык программирования, по существу являю-

щийся диалектом C++, разрабатывается в лаборатории Лионса и получи название

FreeFem++ [48––51]. В дальнейшем, говоря о стандартной реализации МКЭ, мы

будем понимать реализацию, которая может быть записана на этом языке.

В рамках второй модели была рассмотрена задача об отыскании ампли-

туд нормальных волн, рассеянных диэлектрическим телом, помещенным внутрь

регулярного волновода, при падении на него той или иной суперпозиции нормаль-

ных волн. Волновод, который вне некоторого компакта совпадает с регулярным,

называют локально нерегулярным, а названные амплитуды –– коэффициентами

отражения и прохождения. Эта задача может быть записана как краевая задача для

бесконечномерной системы линейных дифференциальных уравнений на отрезке

с условиями третьего рода. Эта задача не допускает решения в символьном виде,

естественным же способом ее приближенного решения состоит из двух шагов:

1. усечение, то есть замена бесконечномерного пространства, в котором

ставится задача, на то или иное конечномерное пространство,

2. решение конечномерной системы линейных дифференциальных уравне-

ний с краевыми условиями третьего рода.

В данном случае метод усечения сводит уравнение в частных производных к

системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и поэтому его

можно считать частным случаем метода Канторовича [52––55]. В качестве пер-

вого шага в оригинальных работах А.Г. Свешникова выбиралось пространство,

натянутое на первые базисные функции оператора Лапласа на сечении волновода,

этот метод дискретизации задачи получил название неполного метода Галеркина

[56]. В современных работах [57––70] заменяют исходное пространство на про-

странство конечных элементов. Усечение и вычисление матриц конечномерной

системы линейных дифференциальных уравнений в рамках неполного метода

 9

Галеркина естественно выполнять символьно, используя системы компьютерной

алгебры [20; 71––75], а в рамках МКЭ –– стандартными средствами FreeFem++

[76].

В качестве второго шага необходимо решить систему дифференциальных

уравнений с краевыми условиями третьего рода методом конечных разностей

или одномерным МКЭ. К сожалению, FreeFem++ не имеет встроенного модуля

для решения краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференци-

альных уравнений. Подходящие специализированное программное обеспечение

было разработано С.И. Виницким, А.А. Гусевым и О. Чулуунбаатаром [53; 54]

для нужд квантовомеханических задач рассеяния на основе одномерного МКЭ с

элементами высокого порядка. Несмотря на классичность этой задачи для теории

волноводов, вопросы сопряжения программного обеспечения в полной мере не

автоматизированы.

Обоснованию метода усечения в литературе не было уделено должного вни-

мания. Для случая сред с затуханием неполный метод Галеркина был обоснован

в упомянутых выше работах А.Г. Свешникова, однако предположение о наличие

затухания принципиально для указанного метода. В реальных средах, конечно, за-

тухание всегда присутствует, однако постановка парциальных условий излучения

подразумевает пренебрежении этим эффектом. Для простейшего случая планар-

ного волновода вопросы обоснования в средах без затухания рассматривались в

работе А.Л. Делицына [62]. Было показано, что лемма Сеа, играющая ключевую

роль при строгом обосновании применения МКЭ для эллиптических уравнений

[46; 51], переносится на случай задачи о волноводной дифракции; там же была

отмечена характерная для этого класса волноводных задач трудность –– погреш-

ность вычисления билинейных форм, заданных в виде бесконечный рядов. Эта

проблема не характерна для эллиптических задач, но возникает естественным об-

разом при применении МКЭ в краевых задачах с дробным оператором Лапласа,

теория которых сейчас активно разрабатывается [77].

Еще в середине прошлого веке на практике активно использовались вол-

новоды с сердечниками, то есть цилиндры, заполнение которых меняется вдоль

сечения и остается постоянным вдоль оси, такую конструкцию мы будем даль-

ше называть регулярным волноводом, заполненным оптически неоднородным

веществом. Современные технологии в области создания новых материалов и

метаматериалов дают в руки практиков волноводы с практически любым рас-

пределением диэлектрической проницаемости. При этом все чаще пытаются

 10

использовать фрактальные вставки [67], а это означает, что скалярная модель с

ее предположением о малости и медленности изменения диэлектрической прони-

цаемости становится все менее и менее адекватной. Этот же вывод можно сделать

применительно и к исследованию упомянутых выше многожильных волноводов,

исследование которых ориентировано на обеспечение 5g сетей.

К сожалению, метод, восходящий к работам А.Н. Тихонова и А.А. Са-

марского, был основан на возможности введения в цилиндрической системе

координат двух потенциалов, которые теперь интерпретируют как электрическую

и магнитную функции Боргниса [43], поэтому этот метод использует одно-

родность заполнения волновода. Это обстоятельство принципиально отличает

вычислительную сложность спектральных задачи для полых волноводов и для

волноводов, заполненных оптически неоднородным веществом. В первом слу-

чае задачи получаются скалярными и к ним применимы хорошо разработанные

методы, пригодные в равной мере и для задач акустики, и для задач квантовой

механики. В случае же волновода, заполненного оптическим неоднородным ве-

ществом, приходится численно решать задачи в полной векторной постановке.

Это означает, что аналоги двух разобранных выше задач –– спектральной и зада-

чи дифракции –– для волноводов с переменными проницаемостями оказываются

значительно более сложными и до сих пор неисследованными в полной мере.

Условимся работать в декартовой системе координат, ось Oz которой сов-

падает с осью волновода. Задача об отыскании нормальных мод регулярного

волновода, заполненного оптически неоднородным веществом, состоит в следу-

ющем. Даны:

– сечение волновода S,

– распределение ε и µ по сечению S, здесь и далее предполагается, что эти

функции принимают только положительные значения,

– частота ω, а следовательно, и волновое число k = ω/c.

Требуется найти все значения параметра β ∈ C, при которых уравнения Макс-

велла допускают нетривиальное решение вида

⃗

E(x,y)e ikβz−iωt

, ⃗

H(x,y)eikβz−iωt

,

удовлетворяющее условиям идеальной проводимости стенок волновода и усло-

виям сопряжения на границах разрывов диэлектрической и магнитной проница-

емостей. Параметр β называют показателем фазового замедления. Традиционно

эта задача записывается как задача на собственные значения относительно трех

 11

компонент поля. Выбор трех компонент поля из шести компонент векторов E ⃗ и

⃗ может быть выполнен различными способами, что ведет к различным поста-

H

новкам задачи. В работах А.Н. Боголюбова и Т.В. Едакиной [18; 19] и работах

Франка Шмидта [78; 79] использовалась запись относительно компонент век-

⃗ в работах Е. Лезара и Д. Девидсона [80], выполненных в рамках The

тора H,

⃗ в работах А.Л. Делицына [81––84]

FEniCS Project, –– относительно вектора E,

относительно Hx , Hy , Ez . Нормальные моды осесимметричного волновода с ди-

электрическим сердечником рассматривались в работах Н.А. Новоселовой, С.Б.

Раевского и А.А. Титаренко [85], а также в работах А.Л. Делицына и С.И. Круг-

лова [64; 86].

Теоретическое исследование и численное решение задачи на собственные

значения представляют значительные трудности.

Во-первых, при любом из названных подходов получаются спектральные

задачи для несамосопряженных операторов в функциональных пространствах,

которые строятся по аналогии с пространствами Соболева, но заметно менее

изучены. Это значительно усложняет доказательство теоремы о разложении мо-

нохроматической волны в волноводе по нормальным модам, без доказательства

которой невозможно перейти к постановке парциальных условий излучения в

задаче о волноводной дифракции [82; 87––89]. В случае полого волновода эта тео-

рема была доказана А.Н. Тихоновым и А.А. Самарским как следствие теоремы

Стеклова, в случае же волновода, заполненного неоднородным веществом, при-

ходится пользоваться общей теоремой Келдыша о полноте системы собственных

и присоединенных векторов [42; 81; 83; 84; 90––92]. В настоящее время полнота

системы корневых векторов волновода доказана, однако уже вопрос о базисности

этой системы был решен в утвердительном смысле только для случая волновода

круглого сечения, заполнение которого зависит только от радиуса [93; 94].

Многочисленные вопросы о распределении собственных значений, услови-

ях существования кратных собственных значений остались не исследованными

ввиду трудности спектральной теории для несамосопряженных операторов. Бы-

вают ли случаи, в которых коэффициенты фазового замедления β нормальных мод

имеют и вещественную, и мнимую часть? Бывают ли случаи, в которых возника-

ют присоединенные нормальные моды? Каков их физический смысл? Численные

эксперименты не дают однозначного ответа на эти вопросы. Напр., в наших экс-

периментах, выполненных при помощи комплекса программ, представленного на

ежегодной конференции Saratov Fall Meeting ’2017, у старших мод появлялись

 12

моды, имеющие комплексный коэффициент фазового замедления. Однако чис-

ленные методы всегда вычисляют старшие моды хуже младших, поэтому в рамках

тех экспериментов осталось не ясным, выявили ли мы новый физический эффект,

или столкнулись с вычислительным артефактом.

Во-вторых, спектральная задача имеет нулевое собственное значение беско-

нечной кратности, из-за которого при численном решении задачи на собственные

значения возникают фиктивные моды, «духи». В конце своего обзора текущих

успехов решения спектральной задачи теории волноводов А.Н. Боголюбов и

Т.В. Едакина [18] отметили:

... Появление ложных мод –– едва ли не самая трудная проблема в

решении волноводных задач с помощью конечных элементов или ко-

нечных разностей в вариационной постановке, и, по нашему мнению,

к ней еще не раз обратятся исследователи в поисках наиболее простых

и экономичных способов выявления реально распространяющихся в

волноводе волн.

К настоящему моменту известно два способа борьбы с духами: использова-

ние штрафов [18; 19] или использование смешанных конечных элементов [63; 64;

80]. Главный недостаток метода штрафов состоит в том, что хотя увеличение па-

раметра, характеризующего размер штрафа и приводит к уменьшению количества

фиктивных решений, однако точность расчета характеристик истинных мод при

этом уменьшается. Метод смешанных конечных элементов требует существенной

доработки базиса МКЭ. Вероятно, именно по этой причине в тестовых примерах

Е. Лезар и Д. Девидсон рассматривают прямоугольные волноводы с прямоуголь-

ными вставками. В настоящее время разработка программного обеспечения для

удобного применения метода смешанных конечных элементов весьма активно ве-

дется китайскими авторами (Jun Hu, Peking university) и нужно думать, что через

несколько лет мы получим весьма эффективный инструмент.

Следует также заметить, что применение штрафов при анализе мод откры-

тых волноводов допускает строгое обоснование, поэтому спектральную задачу

можно рассматривать в пространстве Соболева W21 (R2 ), на что впервые обратили

внимание А. Бамбергер и А. Бонне [95]. Поэтому, с точки зрения применения ме-

тода штрафов, спектральная задача для открытых волноводов проще спектраль-

ной задачи для волноводов закрытых. В работах Р.З. Даутова, Е.М. Карчевского

 13

и Г.П. Корнилова [96; 97] было предложено свести исходную спектральную зада-

чу в R2 к удобной для численного решения линейной параметрической задаче на

собственные значения в круге с нелокальными граничными условиями.

В-третьих, условия на стенках волновода

⃗ × ⃗n = ⃗0,

E ⃗ · ⃗n = 0

H

не являются классическими, FEA Softwares не имеют встроенных элементов для

таких условий. Не вполне ясно, насколько точно эти условия аппроксимируются в

опубликованных работах. В работах, посвященных оптическим волноводам [18;

19; 78; 79] предполагают, что на стенках поле равно нулю. С физической точки

зрения это предположение очень разумно, но к сожалению оно ведет к конфликту

с теоремой Мюллера о поле, равном нулю на элементе аналитической поверх-

ности [98]. Этот конфликт снимается дальше, на стадии введения штрафов, и

поэтому в итоге получается корректная математическая задача.

В-четвертых, в наиболее интересных для приложений примерах диэлектри-

ческая проницаемость имеет разрывы на границе раздела различных веществ,

заполняющих волновод. На этих границах электромагнитные поля терпят раз-

рывы, из-за чего приходится выполнять аппроксимацию по МКЭ для разрывных

функций. Результаты численных экспериментов убедительно свидетельствуют в

пользу законности этой операции, однако для данной ситуации теоретически вли-

яние разрывов на сходимость исследована не была. Исследование этого вопроса

существенно осложнено и тем, что аппроксимация ведется в нестандартных, мало

исследованных функциональных пространствах. Напр., в упомянутых выше ра-

ботах А.Л. Делицына доказывались теоремы вложения, которые для пространств

Соболева были установлены еще в начале прошлого века.

Наконец, в-пятых, достигнутая точность вычислений не велика. Е. Лезар

и Д. Девидсон сравнили свои результаты с результатами, полученными ранее

Джином [99] тем же путем, для одного и того же волновода –– прямоугольно-

го волновода, заполненного наполовину. На дисперсионной кривой лишь первая

ветвь совпала с графической точностью, следующие три ветви у Джина слились

в две.

Обращаясь к задачам о дифракции волн на теле, помещенном в регуляр-

ный волновод со сложным заполнением, или к более простой задаче о дифракции

на стыке двух таких волноводов, следует заметить, что полноты системы нор-

мальных мод достаточно для постановки парциальных условий излучения, однако

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Малых Михаил Дмитриевич, 2019 год

Список литературы

1. Melezhik V. S. Continuous analog of Newton method in the multichannel scat-

tering problem // J. Comput. Phys. –– 1986. –– Vol. 65. –– P. 1––17.

2. Melezhik V. S. New method for solving multidimensional scattering problem //

J. Comput. Phys. –– 1991. –– Vol. 92, no. 1. –– P. 67––81.

3. Saeidian S., Melezhik V. S., Schmelcher P. Shifts and widths of Feshbach reso-

nances in atomic waveguides // Phys. Rev. A. –– 2012. –– Vol. 86. –– P. 062713.

4. Giannakeas P., Melezhik V. S., Schmelcher P. Analytical treatment of bosonic

d-wave scattering in isotropic harmonic waveguides // Physical Review A. ––

2012. –– Vol. 85. –– P. 042703.

5. Giannakeas P., Melezhik V. S., Schmelcher P. Dipolar Confinement-Induced

Resonances of Ultracold Gases in Waveguides // Phys. Rev. Lett. –– 2013. ––

Vol. 111. –– P. 183201.

6. Saeidian S., Melezhik V. S., Schmelcher P. Shifts and widths of p-wave confine-

ment induced resonances in atomic waveguides // Journal of Physics B: Atomic,

Molecular and Optical Physics. –– 2015. –– Vol. 48, no. 15. –– P. 155301.

7. Shadmehri S., Saeidian S., Melezhik V. S. Multichannel scattering and loss pro-

cesses of ultracold atoms in anisotropic harmonic waveguides // Phys. Rev. A. ––

2016. –– Vol. 93. –– P. 063616.

8. Shadmehri S., Melezhik V. S. Confinement-Induced Resonances in Two-Center

Problem via Pseudopotential Approach // Arxiv.org. 1809.05351v2. –– 2018.

9. Melezhik V. S. Low-Dimensional Few-Body Processes in Confined Geometry of

Atomic and Hybrid Atom-Ion Traps // Arxiv.org. 1812.01676. –– 2018.

10. Блинков Ю. А., Месянжин А. В., Могилевич Л. И. Математическое моде-

лирование волновых явлений в двух геометрически нелинейных упругих

соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую

жидкость // Изв. Сарат. ун-та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Ин-

форматика. –– 2016. –– Т. 16, вып. 2. –– С. 184––197.

 198

11. Математическое моделирование нелинейных волн в соосных оболочках,

заполненных вязкой жидкостью / Ю. А. Блинков [и др.] // Изв. Сарат. ун-

та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. –– 2016. –– Т. 16,

вып. 3. –– С. 331––336.

12. Блинков Ю. А., Месянжин А. В., Могилевич Л. И. Моделирование волно-

вых процессов в двух соосных оболочках, заполненных вязкой жидкостью

и окружённых упругой средой // Вестник РУДН. Серия: Математика, ин-

форматика, физика. –– 2017. –– Т. 25, вып. 1. –– С. 19––35.

13. Блинков Ю. А., Месянжин А. В., Могилевич Л. И. Распространение нелиней-

ных волн в соосных оболочках, заполненных вязкой жидкостью // Вычисл.

мех. сплош. сред. –– 2017. –– Т. 10, вып. 2. –– С. 172––186.

14. Моделирование волновых процессов в двух оболочках с жидкостью меж-

ду ними и окруженных упругой средой / Ю. А. Блинков [и др.] // Вестник

МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». –– 2018. –– Т. 81,

вып. 6. –– С. 4––17.

15. Математическое моделирование нелинейных волн в упругой цилиндриче-

ской оболочке, окруженной упругой средой и содержащей вязкую несжи-

маемую жидкость / Ю. А. Блинков [и др.] // Акустический журнал. ––

2018. –– Т. 64, вып. 3. –– С. 283––288.

16. Моделирование волновых процессов в двух соосных оболочках, заполнен-

ных вязкой жидкостью и окружённых упругой средой / Ю. А. Блинков

[и др.] // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика. ––

2018. –– Т. 26, вып. 3. –– С. 203––215.

17. Зильберглейт А. С., Копилевич Ю. И. Спектральная теория регулярных вол-

новодов. –– Ленинград : Наук. думка, 1983. –– 304 с.

18. Боголюбов А. Н., Едакина Т. В. Применение вариационно-разностных ме-

тодов для расчета диэлектрических волноводов // Вестник Московского

университета. Серия 3: Физика. Астрономия. –– 1991. –– Т. 32, № 2. ––

С. 6––14.

19. Боголюбов А. Н., Едакина Т. В. Расчет диэлектрических волноводов

со сложной формой поперечного сечения вариационно-разностынм

методом // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Аст-

рономия. –– 1992. –– Т. 34, № 3. –– С. 72––74.

 199

20. Моделирование распространения поляризованного света в тонкоплёночной

волноводной линзе / Д. В. Диваков [и др.] // Вестник Российского универси-

тета дружбы народов: Серия Математика, информатика, физика. –– 2017. ––

№ 1. –– С. 56––68.

21. The Application of Helmholtz Decomposition Method to Investigation of Mul-

ticore Fibers and Their Application in Next-Generation Communications Sys-

tems / D. V. Divakov [et al.] // Communications in Computer and Information

Science. Vol. 919 / ed. by V. Vishnevskiy, D. Kozyrev. –– DCCN 2018:

Distributed Computer, Communication Networks. Cham : Springer, 2018. ––

P. 469––480.

22. Extance A. Redefining the limits of optical fibre // Optical connections. ––

2017. –– Vol. 9, Q2. –– P. 12––13.

23. Coffey V. C. Novel fibers use space to extend capacity limits // Photonics Spec-

tra. –– 2013. –– Vol. 4, no. 7.

24. Григорьев А. Д. Методы вычислительной электродинамики. –– Москва : На-

ука, 2013. –– 432 с.

25. Taflove A., Hagness S. C. Computational electrodynamics: the finite difference

time domain method. –– 2nd ed. –– London : Artech House, 2000.

26. Хардиков В. В., Ярко Е. О., Просвирнин С. Л. Использование матриц переда-

чи и псевдоспектрального метода во временной области для исследования

дифракции света на планарных периодических структура // Радиофизика и

радиоастрономия. –– 2008. –– Т. 13, № 2. –– С. 146––158.

27. Егоров А. А., Ставцев А. В. Разработка методов и алгоритмов расчета ос-

новных характеристик трехмерных нерегулярных интегрально-оптических

волноводов // естник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. ––

2010. –– № 2. –– С. 139––151.

28. Егоров А. А., Ставцев А. В. Особенности разработки алгоритмов и про-

грамм для расчета основных характеристик нерегулярных интегрально-

оптических волноводов // Вычислительные методы и программирование. ––

2010. –– Т. 11, № 2. –– С. 31––39.

 200

29. Егоров А. А. Теоретические, экспериментальные и численные мето-

ды исследования характеристик лазерного излучения рассеянного в

интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями //

Квантовая Электроника. –– 2011. –– Т. 41, № 7. –– С. 644––649.

30. Егоров А. А. Использование параллельных процедур для ускорения

расчетов электромагнитного поля лазерного излучения, рассеянного в

интегрально-оптическом волноводе с трехмерными неоднородностями //

Оптика и спектроскопия. –– 2012. –– Т. 112, № 2. –– С. 317––328.

31. Егоров А. А., Ставцев А. В. Численное исследование характеристик ла-

зерного излучения, рассеянного в интегрально-оптическом волноводе с

трехмерными неоднородностями // Журнал радиоэлектроники. –– 2012. ––

№ 2. –– URL: http://jre.cplire.ru/koi/feb12/13/text.html.

32. Stupakov G. V., Kotelnikov I. A. Shielding and synchrotron radiation in toroidal

waveguide // Phys. Rev. ST Accel. Beams. –– 2003. –– Mar. –– Vol. 6, issue 3. ––

P. 034401.

33. К вопросу об определении статистических характеристик нерегулярностей

тонкопленочных волноводов / Ф. Сиро [и др.] // Автометрия. –– 1991. ––

№ 2. –– С. 51––55.

34. Чехлова Т. К., Тимакин А. Г., Попов К. А. Волноводные датчики кон-

центраций веществ в газовых смесях и жидкостях // Приборы и техника

эксперимента. –– 2002. –– Т. 45, № 2. –– С. 145––148.

35. Исследование компьютеризированного интегрально-оптического датчика

концентрации газообразных веществ / А. А. Егоров [и др.] // Квантовая

электроника. –– 2008. –– Т. 38, № 8. –– С. 787––790.

36. Применение интегрально-оптических датчиков для контроля опасных га-

зообразных веществ / А. А. Егоров [и др.] // Датчики и Системы. –– 2008. ––

№ 1. –– С. 25––28.

37. A fast integrated optical sensor of gaseous substances / A. A. Egorov [et al.] //

Journal of Russian Laser Research. –– 2010. –– Vol. 31, no. 1. –– P. 12––21.

38. Самарский А. A., Тихонов А. Н. О возбуждении радиоволноводов. I // Жур-

нал технической физики. –– 1947. –– Т. 17, № 11. –– С. 1283––1296.

39. Самарский А. A., Тихонов А. Н. О возбуждении радиоволноводов. II // Жур-

нал технической физики. –– 1947. –– Т. 17, № 12. –– С. 1431––1440.

 201

40. Самарский А. A., Тихонов А. Н. О возбуждении радиоволноводов. III // Жур-

нал технической физики. –– 1948. –– Т. 18, № 7. –– С. 971––983.

41. Самарский А. A., Тихонов А. Н. К теории возбуждения радиоволноводов //

Избранные труды А. А. Самарского. –– Москва : Макс Пресс, 2003. –– Гл. 1.

С. 28––57.

42. Краснушкин П. Е., Моисеев Е. И. О возбуждении вынужденных колебаний

в слоистом радиоволноводе // Докл. АН СССР. –– 1982. –– Т. 264, № 5. ––

С. 1123––1127.

43. Могилевский И. Е., Свешников А. Г. Математические проблемы теории ди-

фракции. –– Москва : МГУ, 2010.

44. Свешников А. Г. К обоснованию метода расчета нерегулярных волноводов //

Ж. вычисл. матем. и матем. физ. –– 1963. –– Т. 3, № 1. –– С. 219––232.

45. Свешников А. Г. К обоснованию метода расчета распространения электро-

магнитных колебаний в нерегулярных волноводах // Ж. вычисл. матем. и

матем. физ. –– 1963. –– Т. 3, № 2. –– С. 314––326.

46. Деклу Ж. Метод конечных элементов. –– Москва : Мир, 1976.

47. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. –– Москва : Мир,

1977. –– 351 с.

48. Hecht F. New development in FreeFem++ // J. Numer. Math. –– 2012. –– Т. 20,

№ 3––4. –– С. 251––265.

49. Hecht F. Freefem++ / Laboratoire Jacques-Louis Lions, Universitè Pierre et

Marie Curie. –– 3-е изд. –– Paris, 2018. –– URL: www.freefem.org.

50. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. Использование пакета конечных элементов

FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. –– Ростов-

на-Дону : Южный федеральный университет, 2008. –– 256 с.

51. Васильев С. А., Малых М. Д., Севастьянов Л. А. Компьютерные методы в

задачах математической физики. –– Москва : РУДН, 2017.

52. Dimova M. G., Kaschiev M. S., Vinitsky S. I. The Kantorovich method for

high-accuracy calculations of a hydrogen atom in a strong magnetic field: low-

lying excited states // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. –– 2005. –– Vol. 38. ––

P. 2337––2352.

 202

53. KANTBP: A program for computing energy levels, reaction matrix and ra-

dial wave functions in the coupled-channel hyperspherical adiabatic approach /

O. Chuluunbaatar [et al.] // Comput. Phys. Commun. –– 2007. –– Vol. 177. ––

P. 649––675.

54. KANTBP 2.0: New version of a program for computing energy levels, reaction

matrix and radial wave functions in the coupled-channel hyperspherical adia-

batic approach / O. Chuluunbaatar [et al.] // Comput. Phys. Commun. –– 2008. ––

Vol. 179. –– P. 685––693.

55. Gusev A. A. Algorithm for computing wave functions, reflection and transmis-

sion matrices of the multichannel scattering problem in the adiabatic represen-

tation using the finite element method // Вестник Российского университета

дружбы народов, Серия Математика. Информатика. Физика. –– 2014. ––

No. 2. –– P. 93––114.

56. Свешников А. Г. Неполный метод Галеркина // Докл. АН СССР. –– 1977. ––

Т. 236, № 5. –– С. 1076––1079.

57. Боголюбов А. Н., Делицын А. Л. Расчет диэлектрических волноводов ме-

тодом конечных элементов, исключающий появление нефизических реше-

ний // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. ––

1996. –– № 1. –– С. 9––13.

58. Лавренова А. В. Расчет неоднородности волновода методом конечных

элементов // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астро-

номия. –– 2004. –– № 1. –– С. 22––24.

59. Боголюбов А., Делицын А., Лавренова А. Метод конечных элементов в за-

даче волноводной дифракции // Электромагнитные волны и электронные

системы. –– 2004. –– Т. 9, № 8. –– С. 22––25.

60. Боголюбов А. Н., Делицын А. Л., Лавренова А. В. Применение метода ко-

нечных элементов в волноводных задачах дифракции // Радиотехника. ––

2004. –– № 12. –– С. 20––26.

61. Боголюбов А. Н., Лавренова А. В. Математическое моделирование ди-

фракции на неоднородности в волноводе с использованием смешанных

конечных элементов // Математическое моделирование. –– 2008. –– Т. 20,

№ 2. –– С. 122––128.

 203

62. Делицын А. Л. О методе конечных элементов для задачи дифракции в вол-

новоде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. –– 2010. –– Т. 50, № 11. ––

С. 1926––1930.

63. Делицын А. Л., Круглов С. И. Смешанные конечные элементы для анализа

вещественных и комплексных мод цилиндрических волноводов // Вестник

Московского университета. Серия 3: Физика, астрономия. –– 2011. –– № 6. ––

С. 53––58.

64. Делицын А. Л., Круглов С. И. Применение метода смешанных конечных

элементов для вычисления мод цилиндрических волноводов с переменным

показателем преломления // Журнал радиоэлектроники. –– 2012. –– № 4. ––

С. 1––28. –– URL: http://jre.cplire.ru/alt/apr12/3/text.html.

65. Делицын А. Л., Коняев Д. А. Математическое моделирование дифракции

акустических и электромагнитных полей на сложных рассеивателях мето-

дом конечных элементов // Журнал радиоэлектроники. –– 2014. –– № 4.

66. Боголюбов А. Н., Петухов А. А., Шапкина Н. Е. Оптическая дифракция на

фрактальных решетках // Вестник Московского университета. Серия 3: Фи-

зика, астрономия. –– 2008. –– № 2. –– С. 11––14.

67. Боголюбов А. Н., Петухов А. А., Шапкина Н. Е. Математическое моде-

лирование волноводов, содержащих локальные вставки с фрактальной

структурой // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика, аст-

рономия. –– 2011. –– № 2. –– С. 20––23.

68. Петухов А. А. Совместное применение неполного метода Галеркина и

метода матриц рассеяния для моделирования многослойных дифракцион-

ных решеток // Математическое моделирование. –– 2013. –– Т. 25, № 6. ––

С. 41––53.

69. Боголюбов А. Н., Петухов А. А., Трубецков М. К. Математическое моде-

лирование многослойных дифракционных решеток // Физические основы

приборостроения. –– 2014. –– Т. 3, № 4. –– С. 20––27.

70. Боголюбов А. Н., Петухов А. А., Трубецков М. К. Гибридные методы мо-

делирования волноводов, содержащих локальные неоднородные вставки

с многослойным строением // Вычислительные методы и программирова-

ние: Новые вычислительные технологии. –– 2018. –– Т. 17. –– С. 268––279.

 204

71. Диваков Д. В. Неполный метод Галеркина в задаче моделирования

локально-нерегулярных оптических волноводов // ИТТММ: материалы

конференции. –– РУДН. Москва : 2014. –– С. 225––227.

72. Диваков Д. В., Севастьянов Л. А. Применение неполного метода Галеркина

к нерегулярным переходам в открытых планарных волноводах // Матема-

тическое моделирование. –– 2015. –– Т. 27, № 7. –– С. 44––50.

73. Divakov D. V. and Sevastianov L. A., Nikolaev N. E. Modelling Open Transition

of the “Horn” Type between Open Planar Waveguides // EPJ Web of Confer-

ences. –– 2016. –– Vol. 108. –– 02020-p.1––02020-p.6.

74. Divakov D. V. and Sevastianov L. A., Nikolaev N. E. Analysis of the incom-

plete Galerkin method for modelling of smoothly-irregular transition between

planar waveguides // Journal of Physics: Conference Series. –– 2017. –– Vol. 788,

no. 1. –– URL: http://iopscience.iop.org/issue/1742-6596/788/1.

75. Тютюнник А. А. О вычислении электромагнитных полей в закрытых волно-

водах с неоднородным заполнением // Вестник Российского университета

дружбы народов. Серия: Математика. Информатика. Физика. –– 2018. ––

Т. 26, № 2. –– С. 129––139.

76. Малых М. Д. О нормальных модах закрытого волновода с разрывным за-

полнением // Вестник Российского университета дружбы народов: Серия

Математика, информатика, физика. –– 2018. –– Т. 26, № 4. –– С. 320––329.

77. 9th international conference Numerical Methods and Applications. August 20-

24, 2018, Borovets, Bulgaria / под ред. S. Dimova. –– Sofia : Fastumprint, 2018.

78. Adaptive Multigrid Methods for the Vectorial Maxwell Eigenvalue Problem

for Optical Waveguide Design / P. Deuflhard [и др.] // Mathematics – Key

Technology for the Future / под ред. W. Jäger, H. J. Krebs. –– Berlin–Heidelberg :

Springer, 2011. –– С. 279––292.

79. Advanced FEM analysis of optical waveguides: algorithms and applications /

F. Schmidt [и др.] // Proc. SPIE. –– 2008. –– Т. 6896.

80. Lezar E., Davidson D. B. Electromagnetic waveguide analysis // Automated

solution of differential equations by the finite element method. –– The FEniCS

Project, 2011. –– С. 629––643.

 205

81. Боголюбов А. Н., Делицын А. Л., Свешников А. Г. О полноте системы соб-

ственных и присоединенных функций волновода // Ж. вычисл. матем. и

матем. физ. –– 1999. –– Т. 38, № 11. –– С. 1891––1899.

82. Боголюбов А. Н., Делицын А. Л., Свешников А. Г. О задаче возбуждения вол-

новода с неоднородным заполнением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. ––

1999. –– Т. 39, № 11. –– С. 1869––1888.

83. Делицын А. Л. Об одном подходе к вопросу о полноте нормальных волн

волновода с магнитодиэлектрическим заполнением // Дифференц. уравне-

ния. –– 2000. –– Т. 36, № 5. –– С. 629––633.

84. Делицын А. Л. О полноте системы собственных векторов электромагнитных

волноводов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. –– 2011. –– Т. 51, № 10. ––

С. 1883––1888.

85. Новоселова Н. А., Раевский С. Б., Титаренко А. А. Расчет характеристик

распространения симметричных волн круглого волновода с радиально-

неоднородным диэлектрическим заполнением // Труды Нижегородского

государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева. –– 2010. ––

2(81). –– С. 30––38.

86. Делицын А. Л., Круглов С. И. Смешанные конечные элементы для анализа

вещественных и комплексных мод цилиндрических волноводов // Вестн.

Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. –– 2011. –– № 6. –– С. 53––57.

87. Делицын А. Л. О задаче рассеяния на неоднородности в волноводе // Ж. вы-

числ. матем. и матем. физ. –– 2000. –– Т. 40, № 4. –– С. 606––610.

88. Делицын А. Л. Задача дифракции в волноводе // Дифференц. уравнения. ––

2005. –– Т. 41, № 3. –– С. 375––381.

89. Делицын А. Л. О постановке краевых задач для системы уравнений Макс-

велла в цилиндре и их разрешимости // Изв. РАН. Сер. матем. –– 2007. ––

Т. 71, № 3. –– С. 61––112.

90. Смирнов Ю. Г. О полноте системы собственных и присоединенных волн

частично заполненного волновода с нерегулярной границей // Докл. АН

СССР. –– 1987. –– Т. 297, № 4. –– С. 829––832.

91. Смирнов Ю. Г. Применения метода операторных пучков в задаче о соб-

ственных волнах частично заполненного волновода с нерегулярной грани-

цей // Докл. АН СССР. –– 1990. –– Т. 312, № 3. –– С. 597––599.

 206

92. Смирнов Ю. Г. Метод операторных пучков в краевых задачах сопряжения

для эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. –– 1991. ––

Т. 27, № 1. –– С. 140––147.

93. О базисности системы корневых векторов радиоволновода / А. Н. Бого-

любов [и др.] // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика,

астрономия. –– 2000. –– № 6. –– С. 17––20.

94. Боголюбов А. Н., Делицын А. Л., Малых М. Д. О корневых векторах цилин-

дрического волновода // Журнал вычислительной математики и математи-

ческой физики. –– 2001. –– Т. 41, № 1. –– С. 126––129.

95. Bamberger A., Bonnet A. S. Mathematical analysis of the guided modes of an

optical fiber // SIAM J. Math Analys. –– 1990. –– Т. 21, № 6. –– С. 1487––1510.

96. Даутов Р. З., Карчевский Е. М. Применение нелокального краевого усло-

вия к решению векторной за дачи о собственных волнах цилиндрических

волноводов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. –– 2002. –– Т. 42, № 7. ––

С. 1051––1066.

97. Даутов Р. З., Карчевский Е. М., П. К. Г. Численный метод определения

дисперсионных кривых и собственных волн оптических волноводов // Ж.

вычисл. матем. и матем. физ. –– 2005. –– Т. 45, № 12. –– С. 2203––2218.

98. Müller C. Grundprobleme der mathematischen Theorie elektromagnetischer

Schwingungen. –– Berlin, Heidelberg : Springer, 1957.

99. Jin J. The Finite Element Method in Electromagnetics. –– 2nd ed. –– New York :

John Wiley & Sons Inc., 2002.

100. Веселов Г. И., Раевский С. Б. Слоистые металло-диэлектрические волново-

ды. –– Москва : Радио и связь, 1988. –– 248 с.

101. Ляв Д. Теория упругости. –– Москва, Ленинград : ГТТИ, 1939.

102. The geometrical description of electromagnetic radiation / M. D. Malykh

[et al.] // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. –– 2016. –– Vol. 30,

no. 15. –– P. 2055––2066.

103. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи.

Методы. Примеры. –– 2-е изд. –– Москва : Физматлит, 2001. –– 320 с.

104. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с диф-

ференциальными уравнениями второго порядка. Т. 2. –– Москва : ИЛ, 1961.

 207

105. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. –– Москва :

Наука, 1973. –– С. 407.

106. Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben in Sobolewschen Räumen. –– Berlin-

Heidelberg-New York : Springer, 1969.

107. Боголюбов А. Н., Малых М. Д. Замечание об условиях излучения для

нерегулярного волновода // Журнал вычислительной математики и мате-

матической физики. –– 2003. –– Т. 43, № 4. –– С. 585––588.

108. Боголюбов А. Н., Малых М. Д., Мухартова Ю. В. Об удовлетворяющем

условию излучения решении краевой задачи для произвольного эллиптиче-

ского оператора // Журнал вычислительной математики и математической

физики. –– 2006. –– Т. 46, № 12. –– С. 2230––2236.

109. Боголюбов А. Н., Малых М. Д., Мухартова Ю. В. Об условиях излучения

для импедансного волновода // Вестник Московского университета. Серия

3: Физика, астрономия. –– 2006. –– № 1. –– С. 3––6.

110. Мухартова Ю. В. Применение методики обобщенного преобразования Фу-

рье при решении задач математической теории волноводов // Вестник

Московского университета. Серия 3: Физика, астрономия. –– 2008. –– № 3. ––

С. 37––40.

111. Мухартова Ю. В. Существование обобщенного преобразования Фурье

решения как условие излучения для класса задач, обобщающих задачи воз-

буждения колебаний в регулярных волноводах // Журнал вычислительной

математики и математической физики. –– 2009. –– Т. 49, № 2. –– С. 1––8.

112. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамо-

сопряженных линейных операторов // Избранные труды. Математика. ––

Москва : Наука, 1985. –– Гл. 31. С. 305––332.

113. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряжен-

ных операторов. –– Москва : Мир, 1965.

114. Арсеньев А. А. Лекции по функциональному анализу для начинающих спе-

циалистов по математической физике. –– Москва : РХД, 2009.

115. Hellwig G. Differentialoperatoren der mathematischen Physik. Eine

Einführung. –– Berlin – Heidelberg : Springer, 1964.

 208

116. Hellwig G. Differential Operators of Mathematical Physics. –– Reading, MA :

Addison-Wesley, 1967.

117. Hellwig G. Partial Differential Equations. An Introduction. –– Leipzig : Teubner,

1960.

118. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. ––

Москва : Мир, 1979.

119. Каценеленбаум Б. З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняю-

щимися параметрами. –– Москва : Изд-во АН СССР, 1961.

120. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. –– Москва-

Ленинград : ГТТИ, 1933.

121. Боголюбов А. Н., Малых М. Д., Панин А. А. Двусторонние оценки собствен-

ных значений задачи Дирихле для оператора Лапласа и их применение в

задачах математической теории волноводов // Вычислительные методы и

программирование: Новые вычислительные технологии. –– 2009. –– Т. 10. ––

С. 83––93.

122. Панин А. А. Временная асимптотика поля, возбуждаемая в волноводе гар-

моническим током : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.03. –– М., 2005. ––

90 с.

123. Малых М. Д. О моделях с парциальным распределением точности // Вест-

ник Российского университета дружбы народов: Серия Математика, ин-

форматика, физика. –– 2013. –– № 3. –– С. 67––80.

124. Абрамов С. А., Бронштейн М. Решение линейных дифференциальных и

разностных систем по отношению к части неизвестных // Ж. вычисл. ма-

тем. и матем. физ. –– 2006. –– Т. 46, № 2. –– С. 229––241.

125. Боголюбов А. Н., Ерохин А. И., Могилевский И. Е. Векторная модель волно-

вода с входящими ребрами // Журнал радиоэлектроники. –– 2012. –– № 2.

126. Шестопалов В. П. Спектральная теория и возбуждение открытых струк-

тур. –– Киев : Наук. думка, 1987. –– 287 с.

127. Wintner A. Spektraltheorie Der Unendlichen Matrizen. –– Leipzig : S. Hirzel,