Разработка методов анализа нелинейной динамики дифференциального редуктора турбовинтового двигателя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Попов Валерий Васильевич

• Попов Валерий Васильевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Попов Валерий Васильевич

Список сокращений

Введение

Глава 1. Современное состояние проблемы анализа динамики дифференциальных редукторов турбовинтовых двигателей

1.1. Краткая история появления, применения и развития турбовинтовых двигателей

1.2. Обзор исследований динамики зубчатых передач и механизмов

1.3. Модель Кардона зубчатой передачи

1.4. Обзор моделей элементов конструкций машин

Выводы по главе

Глава 2. Разработка модели для исследования динамики эвольвентной зубчатой передачи

2.1. Уравнение движения зубчатой передачи в приращениях

2.2. Кинематика зубчатой передачи на основе вектора Эйлера и инкрементального подхода

2.3. Энергия деформации зубчатой передачи

2.4. Диссипативная функция зубчатой передачи

2.5. Матрицы жесткости и демпфирования, векторы внутренних, диссипативных сил и силы трения зубчатой передачи

2.6. Матрица масс, вектор инерционных сил и матрица гироскопических эффектов зубчатой передачи

2.7. Верификация модели зубчатой передачи

Выводы по главе

Глава 3. Разработка методики определения жесткости зубчатой передачи

3.1. Кинематика зацепления и жесткость прямозубых эвольвентных зубчатых передач

3.2. Контактная податливость прямозубых эвольвентных зубчатых передач

3.3. Изгибная податливость эвольвентного зуба

Стр.

3.4. Податливость тела зубчатого колеса

3.5. Верификация алгоритма определения жесткости

Выводы по главе

Глава 4. Исследование динамики дифференциального редуктора турбовинтового двигателя

4.1. Описание конструкции дифференциального редуктора

4.2. Создание модели дифференциального редуктора

4.3. Исследование динамики дифференциального редуктора

4.4. Анализ влияние профильной модификации зубьев на динамику дифференциального редуктора

Выводы по главе

Общие выводы и заключение

Список литературы

Приложение

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ТВД - турбовинтовой двигатель МКЭ - метод конечных элементов КЭ - конечный элемент

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений ДУМС - динамика упругих многокомпонентных систем

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов анализа нелинейной динамики дифференциального редуктора турбовинтового двигателя»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Турбовинтовой двигатель (ТВД) является разновидностью газотурбинного двигателя, в котором энергия горячих газов через редуктор приводит во вращение воздушные винты. Необходимость использования редуктора обусловлена высокой скоростью вращения турбины и её малым крутящим моментом, в то время как воздушному винту требуются большой крутящий момент и малые обороты. Топливная эффективность турбовинтового двигателя на дозвуковых скоростях обеспечила ему широкое распространение, как в гражданской, так и в военной авиации.

По причине высоконагруженности и больших оборотов вращения редуктор ТВД зачастую относят к критическим узлам, то есть его технические параметры определяют качество машины в целом. Например, при проведении модернизации ТВД специального самолета повышенной грузоподъёмности, рассмотренного в главе 4, в результате изменения массово-инерционных свойств биротативной винтовой группы возник повышенный износ центральной шестерни дифференциального редуктора, длящийся в течение первых 60-100 часов работы двигателя. После прекращения повышенного износа, редуктор становится источником полигармонического возбуждения, одна из гармоник которого совпадает с собственной частотой лопаток ступеней компрессора и приводит к их разрушению.

В связи с вышесказанным, важной задачей в процессах проектирования для разрабатываемых и модернизации уже существующих ТВД является обеспечение прочности, надежности и долговечности редуктора с учётом экономической эффективности двигателя в целом. Одним из путей решения этой проблемы является широкое применение методов численного анализа с учётом всех элементов конструкций (зубчатые передачи, валы, подшипники, корпусные детали и т.д.) и режимов эксплуатации, включая и нестационарные.

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) в прямой постановке является основным видом численного анализа конструкций различного назначения. Однако его применение к решению задачи анализа нелинейной динамики механизмов с зубчатыми передачами крайне затруднительно в виду необходимости подробной дискретизации системы и учёта контактного взаимодействия, что значительно увеличивает временные и вычислительные затраты. Альтернативным подходом является использование метода динамики упругих многокомпонентных систем (ДУМС), именуемого в англоязычной литературе как flexible multibody dynamics. Этот метод основан на моделирование сложных элементов конструкций в виде эквивалентных нелинейных моделей меньшей размерности. Стоит отметить, что МКЭ в прямой постановке можно использовать для получения эквивалентных характеристик таких моделей или верификации.

Цель диссертационной работы заключается в выявлении причин возникновения повышенного износа при изменении массово-инерционных свойств дифференциального редуктора ТВД и определении способа его устранения на основе разработки и верификации методов анализа нелинейной динамики редуктора.

Для реализации поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Разработана и верифицирована модель зубчатой передачи для решения задач нелинейной динамики дифференциального редуктора ТВД;

2. Разработана и верифицирована методика определения жесткости прямозубой зубчатой передачи с учетом модификации профиля;

3. Проведено расширенное моделирование дифференциального редуктора ТВД специального самолета повышенной грузоподъёмности и продемонстрированы эффекты возникновения повышенного износа и полигармонического возбуждения, приводящие к резонансу;

4. Выполнено исследование динамических параметров модели, характеризующих износ, и предложено техническое решение по его устранению.

Методы исследования.

1. Метод Ньютона-Рафсона для решения нелинейных уравнений равновесия.

2. Метод Ньюмарка для решения неявных уравнений динамики механических систем.

3. Метод конечного элемента, реализованный в комплексе ANS YS, для выполнения верификационных расчетов.

4. Метод Рунге-Кутты для численного интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений.

Научная новизна.

1. Разработанная новая пространственная модель зубчатой передачи содержит рациональное количество степеней свободы по сравнению с альтернативными моделями, что обеспечивает увеличение производительности по временным и вычислительным затратам.

2. Предложен инкрементальный подход представления больших поворотов, который позволил избежать сингулярностей при описании пространственного вращения твердого тела.

3. Создана новая методика для определения жесткости прямозубых зубчатых передач, учитывающая модификацию профиля.

Практическая значимость диссертации.

1. Авторская модель зубчатой передачи позволяет проводить моделирование сложноструктурных механизмов и выполнять анализ нелинейной динамики, как при проектировании, так и при модернизации ТВД.

2. Сформулировано техническое решение о модификации профиля зубчатой передачи редуктора ТВД на основе разработанной методики определения жесткости.

Степень достоверности полученных результатов подтверждается строгостью использованных математических методов и верификацией разработанных алгоритмов по результатам других авторов и моделированию с помощью МКЭ.

Внедрение.

1. Разработанная модель зубчатой передачи и методика определения жесткости зубчатой передачи были реализованы в программном продукте Dynamics R4 для решения задач роторной динамики турбомашин различного назначения, разработанном научно-техническим центром роторной динамики «Альфа-Транзит».

2. В учебный процесс кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана внедрены следующие результаты диссертации:

а) методика определения жесткости зубчатой передачи;

б) инкрементальный подход представления больших поворотов; Использование результатов диссертации подтверждено

соответствующими актами о внедрении.

Апробация работы. Основные положения настоящей работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на научных семинарах аспирантов кафедры «Прикладная механика» (2014, 2015, 2016, 2017, 2018 г.);

- XXVII Международная конференция «Машиноведение и инновации. Конференция молодых учёных и студентов» (Москва, 2015 г.);

- XXVIII Международная конференция «Машиноведение и инновации. Конференция молодых учёных и студентов» (Москва, 2016 г.);

- XXX Международная конференция «Машиноведение и инновации. Конференция молодых учёных и студентов» (Москва, 2018 г.);

- Научно-техническая конференция молодых специалистов «Авиационные двигатели и силовые установки» (Москва, 2019 г.);

- XXX Международная конференция «Машиноведение и инновации. Конференция молодых учёных и студентов» (Москва, 2019 г.);

- XXV Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени А.Г. Горшкова (Москва, 2020 г.);

- XXII Всероссийская научно-техническая конференция «Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации» (Пермь, 2021 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 научных работ, в том числе и 6 работ в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и 2 работы в изданиях, индексируемых в Scopus.

Структура диссертации и аннотация глав. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Общий объём составляет 132 страницы, 61 рисунков, 14 таблиц. Список используемой литературы содержит 128 наименований.

В первой главе выполнен краткий обзор истории возникновения и применения ТВД, а также обзор работ, посвященных исследованию динамики зубчатых передач и редукторов в отечественной и зарубежной литературе. Подробно рассмотрена модель пространственной зубчатой передачи, предложенная в работе А. Кардоны и реализованная в комплексах SAMCEF и COMSOL Multiphysics. Кроме того, был проведен обзор моделей стержневых элементов и подшипников для учета взаимовлияния зубчатых передач и остальных элементов конструкций машин при проведении анализа динамики.

Во второй главе разработана на основе формализма Лагранжа модель зубчатой передачи, которая имеет 12 степеней свободы, так как каждое из колес рассматривается как абсолютно жесткое тело с эквивалентной упруго-демпферной связью вдоль линии зацепления. Модель позволяет учитывать переменную жесткость зацепления, наличие боковых зазоров и другие нелинейные эффекты. Компоненты вектора сил и матрицы жесткости находились через первые и вторые производные энергии деформации. Для матрицы масс, вектора инерционных нагрузок и матрицы гироскопических эффектов были получены замкнутые аналитические выражения. Разработанная модель была верифицирована на основе данных, взятых из известных работ по данной теме.

В третьей главе разработана методика определения жесткости прямозубой зубчатой передачи. Методика построена на основе рассмотрения зацепления как суперпозиции отдельных деформаций: линейного контакта, изгиба зуба как балки и податливости тела колеса как диска. Выполнялось сопоставление результатов, полученных на основе разработанной методики с результатами, полученными с помощью МКЭ. Сопоставление показало хорошую точность разработанной методики.

В четвертой главе разработанные модель зубчатой передачи и методика определения жесткости, реализованные в виде элемента в программном комплексе Dynamics R4, использовались для создания цифровой модели дифференциального редуктора ТВД специального самолета повышенной грузоподъемности. Исследовалось динамическое поведение редуктора на крейсерском режиме работы двигателя для двух вариантов конструкции: с текущей биротативной винтовой группой и с новой, более тяжелой. Результат исследования показал, что при применении новой биротативной винтовой группы в зацеплении «Центральная шестерня - сателлит» отсутствует запас по контактным напряжениям, что является причиной повышенного износа в данной зубчатой паре. В ходе исследования модели с новой биротативной винтовой группой при наличии износа в зацеплении «Центральная шестерня -сателлит», продемонстрировано, что по достижению определенного уровня износ прекращается, однако в спектре силы зацепления «Центральная шестерня - сателлит» имеются гармоники с частотой, совпадающей с собственными частотами лопаток ступеней компрессора ТВД. Для преодоления проблемы повышенного износа предложено техническое решение, основанное на модификации профиля зубьев в зацеплении «Центральная шестерня -сателлит».

В приложении вынесен вывод компонент матрицы жесткости зубчатой передачи.

Благодарности. Автор выражает благодарность за помощь и содействие всему коллективу инженерно-консультационного центра по роторной динамике ООО «Альфа-Транзит».

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА ДИНАМИКИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ РЕДУКТОРОВ

ТУРБОВИНТОВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

1.1. Краткая история появления, применения и развития турбовинтовых двигателей

Схема ТВД впервые была предложена русским инженером и авиатором М.Н. Никольским в 1913 г. Была построена модель двигателя, имеющая трехступенчатую газовую турбину, и проведены соответствующие испытания. Двигатель Никольского имел мощность 160 лошадиных сил (л.с.), и рассматривалось его применение для самолета «Илья Муромец».

В 1920-е годы, независимо друг от друга, В.И. Базаров в СССР и А. А. Гриффит в Великобритании предложили схемы газотурбинных двигателей, близких по конструкции к современным ТВД.

Первый работающий ТВД был создан венгерским инженером Д. Ендрашиком. Патент на конструкцию был получен в 1929 г. В начале был построен малоразмерный прототип, мощностью 100 л.с., а в последствии полномасштабный двигатель Jendrassik Cs-1 (Рис. 1.1) с мощностью 400 л.с. Впрочем, после проведения испытаний на предприятии Ganz Works в Будапеште в 1939-1942 гг. двигатель не был запущен в производство.

Рис. 1.1. Первый работающий ТВД Jendrassik Cs-1 [121]

В середине 1930-х гг. профессор Технического университета Берлина Г. А. Вагнер разработал первый немецкий ТВД. Он ожидал, что применение ТВД позволит достичь более высоких летно-технических характеристик, чем у поршневых двигателей.

В тоже время в СССР В. В. Уваров при участии Н. Р. Брилинга спроектировал и построил газотурбинный двигатель с центробежным компрессором. Это послужило созданию в 1934 году первой отечественной высокотемпературной газотурбинной установки ГТУ-1, которая стала прообразом будущих ТВД. В установке использовались одноступенчатый центробежный компрессор, кольцевая камера сгорания и одноступенчатая газовая турбина. В 1938-1939 гг. под его же руководством была построена газотурбинная установка ГТУ-3, мощностью 1150 л.с., выполненная по схеме ТВД. В 1943 г. в ЦИАМ, так же под руководством В. В. Уварова, разрабатывался летный экспериментальный ТВД Э-3080, с мощностью на валу 625 л.с. и дополнительной реактивной тягой в 160 кгс.

Первый самолет с ТВД взлетел 20 сентября 1945 г. Это был реактивный самолет Gloster Meteor (Рис. 1.2) с установленными на нем ТВД Rolls-Royce RB.50 Trent.

Рис. 1.2. Первый самолет с ТВД Gloster Meteor [122]

На основе модели двигателя Trent была разработана модель Dart, которая устанавливалась на первом в мире серийном турбовинтовом самолете Vickers Viscount. Модель оказалась настолько успешной, что с учётом модификаций и усовершенствований выпускалась в течение 40 лет и устанавливалась на многие самолеты.

Самым массовым ТВД в истории является Pratt & Whitney Canada PT6 (Рис. 1.3). Двигатель начал выпускаться в 1963 году и продолжает выпускаться до сих пор. С учетом всех модификаций выпушено более 51000 данных ТВД и они установлены более чем на 100 разновидностей летальных аппаратов.

Рис. 1.3. Самый массовый ТВД Pratt & Whitney Canada PT6 [123]

В послевоенное время в СССР была поставлена задача воспроизвести достижения немецких ученых в области ТВД. В 1946 году недалеко от Самары был основан опытный завод №2 с опытно-конструкторским бюро под руководством Н.Д. Кузнецова. В результате плодотворной работы в 1951 году, после заводских и государственных испытаний, был выпущен двигатель ТВ-2, являвшийся наследником немецкого JUMO-022. Двигатель развивал мощность более 5000 л.с.

В начале 1950-х годов руководство СССР всерьез рассматривало меры противостояния возможной угрозе ядерного нападения со стороны США. Одной из задач по сдерживанию этой опасности являлась скорейшее создание

специального самолета повышенной грузоподъемности и предельной дальности. Задача по проектированию самолета была возложена на ОКБ-156 под руководством А.Н. Туполева, а двигателей - на Самарское ОКБ-276 Н.Д. Кузнецова. Главным требованием технического задания стало достижение большой мощности новым ТВД - 12000 л.с. В качестве первого решения было предложено объединение двух форсированных вариантов ТВ-2 с передачей мощности на общий редуктор. Для достижения необходимой мощности был принят вариант соосного противоположного вращения воздушных винтов. В двигателе ТВ-2 был использован новый жаропрочный сплав в конструкции турбины, что позволило повысить температуру горения, а также увеличен расход воздуха через двигатель путем применения высоконапорных ступеней компрессора с малым относительным диаметром втулки. Форсированный вариант ТВД был назван ТВ2-Ф и во время стендовых испытаний в 1951 году развил мощность 6250 л.с. Спаренный вариант двигателя 2ТВ-2Ф был изготовлен в 1951 году, а в 1952 году уже совершил первый полет на прототипе специального самолета. Однако результаты летных испытаний и последовавшая катастрофа показали, что для надежной работы самолета необходимо создание принципиально нового двигателя, что и было выполнено в 1954 году [50] (Рис. 1.4.).

Рис. 1.4. Схема продольного разреза ТВД специального самолета повышенной

грузоподъемности [50]

В этом двигателе впервые в мире была использована пятиступенчатая турбина и минимизированы радиальные зазоры в ней, в первых двух ступенях компрессора использовались литые лопатки из жаропрочного никелевого сплава, что позволило повысить давление и увеличить температура газа. Впервые были применены пустотелые охлаждаемые лопатки оригинальной конструкции, а также уплотняющие вставки для уменьшения потерь в лопаточных машинах. Был изготовлен новый дифференциальный планетарный редуктор (Рис. 1.5), решены вопросы регулирования соосными винтами. В результате всех работ была достигнута необходимые мощность и показатели надежности, а по топливной эффективности двигатель намного опережал своего предшественника ТВ-2.

Рис. 1.5. Дифференциальный планетарный редуктор ТВД специального самолета повышенной грузоподъемности В 2010-х годах двигатель специального самолета повышенной грузоподъемности был подвергнут модификации, которая заключалась в установки новых типов воздушных винтов, обладающих большими массово-инерционными характеристиками. Такая модификация привела к повышенному износу зубьев центральной шестерни в течение первых 60-100 часов работы. После этого, редуктор стал источником полигармонического возбуждения, приводящего к резонансному разрушению лопаток ступеней компрессора. Данные факты подробно описаны в работах [2, 3, 29-34, 58]. Однако

исследовательские работы в данной области не проводятся, а эксплуататорам самолетов с данными ТВД рекомендуется проводить анализ с помощью вибродиагностики и отправлять двигатели в ремонт при определении характерных признаков износа и связанных с этим повышенных вибраций.

1.2. Обзор исследований динамики зубчатых передач и механизмов

Точная дата создания зубчатых передач неизвестна. Первые упоминания об их применении датированы примерно 4000 годом до н.э. Конструкция первых зубчатых передач представляла собой пару деревянных колес с жердочками в ободах. С помощью таких колес соединяли между собой параллельные и скрещивающиеся валы. Несмотря на сложность изготовления, они получили широкое распространение за счёт больших передаточных способностей и компактности по сравнению с обычным рычагом. Примерно 27 веке до н.э. в Китае создана колесница, постоянно указывающая на юг (Рис. 1.6) в основе работы которой заложен механизм из зубчатых передач.

Рис. 1.6. Колесница, указывающая на юг [124] В 4 веке до нашей эры Аристотель описывал конструкцию шестеренок как «колесо меняет направление вращения, когда его ухо касается уха другого

колеса». Зубчатые передачи использовались древнегреческими изобретателями для создания водяных колес и часов. Различные типы зубчатых передач описывались и в эскизах Леонардо да Винчи (Рис. 1.7).

Рис. 1.7. Эскизы зубчатых передач Леонардо да Винчи [125]

Однако до 17 века в конструкции зубчатых передач не было сделано никаких серьезных разработок. Первым шагом в этом направлении стала попытка обеспечить постоянство передаточного отношения. Во второй половине 17 века Ф. Делагир впервые предложил использовать эвольвенту в качестве профиля зубьев, а в 60-х годах 18 века Л. Эйлером была сформулирована теория эвольвентного зубчатого зацепления. Эвольвентный профиль приобрел большую популярность, чем распространенный в то время циклоидальный, в виду большей в 2-3 раза производительности при изготовлении.

Зубчатая передача считалась уникальным изобретением человечества до 2013 года, когда было обнаружено, что у личинок одного из видов насекомых из семейства иссид есть небольшие наросты с зубцами в форме шестерни на каждой паре задних ног (Рис. 1.8). Наросты цепляются друг за друга и образуют зубчатую передачу, позволяющую синхронизировать движение ног в процессе прыжка.

Рис. 1.8. Личинки насекомых из семейства иссид с синхронизацией работы задних ног с помощью наростов образующим зубчатую передачу [126] Однако этот факт нисколько не меняет важность изобретения зубчатой передачи. Это подчеркивает и та особенность, что зубчатое колесо является широко используемым геральдическим символом, олицетворяющим труд, промышленность, технический и научный прогресс, индустриализацию и модернизацию (Рис. 1.9).

Рис. 1.9. Зубчатая передача как геральдический символ на флагах, гербах

и эмблемах [127]

Вторая половина 19 века отметилась в истории небывалым научно-техническим прогрессом. Значительно возросли скорости и передаваемые усилия в машинах. Такие изменения начали серьезно менять подходы к проектированию в зубчатых передачах, так как реальные эксплуатационные нагрузки оказывались выше, чем теоретические. Для их оценки в 1868 году

Уолкер ввел параметр коэффициента динамичности БЕ, который является отношением теоритической статической нагрузки, действующей в передаче, к её реальному динамическому значению. Эту величину определяли в первую очередь эмпирически на основе экспериментов. Первая оценка коэффициента динамичности была дана Бартом

где V - скорость в точке в зацеплении, фут/минуту. В дальнейшем для оценки коэффициента динамичности предлагались различные формулы Росса

и Веллауэра

Однако многочисленные эксперименты других авторов показывали, что коэффициент динамичности не является только функцией скорости в точке зацепления, а результат, получаемый по выше представленным формулам, является сильно консервативным и не может быть использован в широком диапазоне различных конфигураций передач.

В конце 40-х - начале 50-х 20 века для решения задачи динамики зубчатых передач стали использовать накопленный опыт теории механических колебаний и предлагать различные модели [89]. Пионерской среди них является модель Туплина [112], предложенная в 1950 году. В ней зубчатая передача рассматривалась как масса на пружинке с подвижным основанием и с постоянными эквивалентными характеристиками (Рис. 1.10). Данная модель не рассматривала периодичность возбуждающего усилия зубчатой передачи, поэтому могла давать адекватные результаты только в диапазоне скоростей намного меньше критических.

БЕ =

600

600+V'

Рис. 1.10. Динамическая модель зубчатой передачи Туплина [89]

В 1956 году Накада и Утагава [97] разработали модель, где рассмотрели зубчатую передачу как два диска, соединенных вдоль линии зацепления упруго-демпферной связью. В своей модели авторы учли изменение жесткости в передаче с помощью ступенчатой периодической функции.

Модели в вышеуказанных работах с незначительными изменениями можно обнаружить в исследованиях большого количества других авторов (Рис. 1.11). Это связано с тем, что в разных работах исследовались те или иные аспекты динамики зубчатых передач, использовались различные методы решения разрешающих уравнений, проводилась экспериментальная валидация, модели адаптировались под задачи динамической устойчивости, усталости и т.п.

В тоже году Тордион и Джеральдин [111] использовали одностепенную модель для описания результатов экспериментальных исследований зубчатой передачи. Величина жесткости передачи принималась постоянной, а нелинейные эффекты учитывались через величину кинематической ошибки передачи. В результате было сделан вывод о том, что вариация жесткости в моделях зубчатой передачи может быть учтена через величину кинематической ошибки передачи.

В этом месте стоит пояснить понятие кинематической ошибки передачи (Рис. 1.12). В англоязычной литературе её называют transmission error.

(с) (0)

Рис. 1.11. Типичные модели зубчатых передач в ранних работах [89]

Рис. 1.12. Схема для иллюстрации понятия кинематической ошибки передачи Если бы оба колеса были абсолютно жесткими, то строго выполнялось следующее соотношение

Д3 = + ф2 = 0. Однако в реальности, из-за упругости и зазоров в передачи, Д& ф 0 . Собственно, сама величина Д& является кинематической ошибкой передачи. Однако в большинстве работ кинематической ошибкой передачи называют не

саму величину АО , а добавку к ней Лхеггог. Эта добавка является интегральной величиной нелинейных эффектов, действующих в зубчатой передачи

АО = + г2&2 +Ахетгог.

Накамура на одностепенной модели исследовал пересопряжение зубьев в работе [98]. Он включил в модель ступенчатое изменение жесткости с синусоидальным законом кинематической ошибки передач. Выводом его работы стало определение резкого всплеска величины силы в зацеплении при переходе из однопарного зацепления в двупарное и обратно.

Отдельно хочется отметить экспериментальные работы японских ученых А. Кубо и др. [90], проведенные в 1972 году. Выводом их работы стало определение диапазона коэффициента динамичности для зубчатых передач различной конфигурации на уровне от 2 до 4.

Несмотря на то, что математические модели, описанные в вышеуказанных работах, показали хорошую корреляцию с экспериментальными исследованиями, в конце 1960-х и начале 1970-х годов стало очевидным, что необходима разработка моделей, в которых будет учитываться массово-инерционные характеристики валов и подшипников (Рис. 1.13).

Хорошая корреляция, которая была получена между экспериментальными и теоретическими результатами, может быть объяснена тем фактом, что экспериментальные установки, использованные в этих исследованиях, удовлетворяли основным предположениям, сделанным в математических моделях. Однако при практическом применении эти предположения не всегда могут быть выполнены.

В 80-х годах в работе Нерия и др. [99] рассматривалась система состоящие из 2-х и 3-х валов, соединенных между собой прямозубыми цилиндрическими передачами с учетом дисбалансного поведения и наличия геометрических эксцентриситетов. Каждое из колес имело по 3 степени свободы, два линейных и одно вращательное. Главным отличием от

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Попов Валерий Васильевич, 2023 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамчук М.В. Вероятностный метод расчета параметров точности эвольвентных цилиндрических зубчатых передач // Известия вузов. Приборостроение. 2016. Т. 59, № 8. С. 619-624.

2. Использование сигналов с датчиков частоты вращения валов ГТД в диагностике технического состояния его редуктора / Авраменко А.А. [и др.] // Международная научно-техническая конференция «Проблемы и перспективы развития двигателестроения».: Материалы докладов. Самара. 2018. С. 10-12.

3. Совершенствование методов вибродиагностики износа зубьев шестерён дифференциального редуктора турбовинтового двигателя / Авраменко А.А. [и др.] // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2018. Т. 17, №. 3. С. 16-25.

4. Динамика планетарных механизмов / Э.Л. Айрапетов, М.Д. Генкин, М: Наука, 1980. 256 с.

5. Вибрации механизмов с зубчатыми передачами / Э.Л. Айрапетов, М.Д. Генкин, М: Наука, 1978. 127с.

6. Статика зубчатых передач / Э.Л. Айрапетов, М.Д. Генкин, Ю.А. Ряснов, М: Наука, 1983. 142 с.

7. Болотеин А. Н. Теоретическое исследование сил инерции планетарных зубчатых механизмов // Вестник Рыбинской Государственной Авиационной Технологической Академии им. П. А. Соловьева. 2022. №. 1 (60). С. 71-76.

8. Динамические нагрузки в передачах с косозубыми колесами / М.Д. Генкин, В.К. Гринкевич, М: Изд-во Академии наук СССР, 1961. 118 с.

9. Учет контактных взаимодействий при моделировании жесткостных свойств роликовых подшипников / Дегтярев С.А. [и др.] // Вестник Московского авиационного института. 2015. Т. 22, №. 2. С. 137-141.

10. Дегтярев С.А., Леонтьев М.К., Попов В.В. Совершенствование методики определения матрицы податливости «беличьего колеса» в опорах роторов авиационных газотурбинных двигателей // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2016. Т. 15, №. 1. С. 163-170.

11. Дегтярев С.А., Леонтьев М.К., Попов В.В. К определению податливости «беличьего колеса» в опорах роторов авиационных газотурбинных двигателей // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета). 2014. №. 4 (46). С. 52-60.

12. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве / П.А. Жилин, СПб.: Нестор. 2001. 276 с.

13. Калинин Д.В., Кожаринов Е.В., Панов С.А. Бифуркационные процессы в зубчатых передачах // Международный форум двигателестроения: Матер. научн.- тех. конгресса по двигателям. Москва. 2014. С. 97-99.

14. Калинин Д.В. Динамический анализ зубчатой передачи // Известия МГТУ «МАМИ». 2015. Т. 4., №. 3 (25). С. 84-93.

15. Калинин Д.В., Темис Ю.М. Моделирование нелинейных колебаний цилиндрических зубчатых передач авиационных приводов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета). 2015. Т. 14, №. 3, Ч. 1. С.193-202;

16. Калинин Д.В. Нелинейные колебания в планетарных редукторах с податливыми опорами центральных колес // Наука и Образование. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. №. 10. С. 69-84.

17. Калинин Д.В., Петров Н.И., Лаврентьев Ю.Л. Оценка долговечности подшипников опор сателлитов планетарных редукторов авиационных двигателей с учетом их динамической нагруженности // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2020. №. 3 (720). С. 75-83.

18. Калинин Д.В., Темис Ю.М. Анализ влияния сил трения в зацеплении на динамические нагрузки в зубчатых передачах // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2018. №. 6 (699). С. 32-43.

19. Калинин Д.В., Темис Ю.М. Динамическая модель планетарного редуктора ТРДД // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2017. №. 3 (684). С. 66-75.

20. Кожаринов Е.В. Расчёт и проектирование демпфера сухого трения конического зубчатого колеса : дис. ... канд. техн. наук. Москва. 2017. 135с.

21. Кожаринов Е.В. Динамическая модель конической зубчатой передачи авиационного ГТД // Известия МГТУ «МАМИ». 2015. Т. 4, №3 (25). С. 94-105.

22. Кожаринов Е.В., Голованов В.В., Калинин Д.В. Моделирование вибронапряжённости авиационных конических зубчатых колёс // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. № 5. С. 1-20.

23. Кожаринов Е.В. Разработка комплексной методики снижения уровня вибрационных напряжений в конических зубчатых колёсах авиационных приводов // Научно-технический конгресс по двигателестроению (НТКД-2016).: Тез. докл. Междунар. конф. Москва. 2016. С. 317-319.

24. Кожаринов Е.В., Калинин Д.В., Голованов В.В. Снижение вибронапряженности авиационных зубчатых передач // Авиационные двигатели. 2020. №. 1. С. 57-64.

25. Косарев О.И. Важнейшие научные направления и достижения науки о машинах-машиноведения // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. №. 3. С. 5-10.

26. Косарев О.И. Влияние коэффициентов перекрытия на вибровозбуждение в зубчатом зацеплении // Вестник машиностроения. 2015. №. 6. С. 11-16.

27. Косарев О.И. Влияние профильной модификации зубьев на вибрации прямозубых цилиндрических передач // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2015. №. 6. С. 28-33.

28. Косарев О.И. О теоретических основах фланкирования и профильной модификации прямозубых цилиндрических передач // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2015. №. 3. С. 36-42.

29. Вибродиагностика величины бокового зазора в зубчатом зацеплении дифференциального редуктора турбовинтового двигателя / Крючков А.Н. [и др.] // Вестник Московского авиационного института. 2020. Т. 27, №. 3. С. 198208.

30. Имитационная модель колебаний пары «солнечная шестерня-сателлиты» планетарного редуктора турбовинтового двигателя при наличии дефектов боковых поверхностей зубьев / Крючков А.Н. // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2019. Т. 18, №. 4. С. 87-95.

31. Курушин М.И., Балякин В.Б., Оссиала В.Б. Исследование крутильных колебаний ротора турбовинтового двигателя с дифференциальным редуктором // Динамика и виброакустика. 2018. №. 4 (2). С.27-42.

32. Курушин М.И., Балякин В.Б., Оссиала В.Б. Исследование жёсткости зубьев двух и трёх парного зацепления // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2016. Т.18. №. 4 (6). С. 1013-1020.

33. Курушин М.И., Балякин В.Б., Курушин С.А. Параметрическая неустойчивость динамики зубчатых колёс // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета). 2014. №. 5-1 (47). С. 106-111.

34. Курушин М.И., Балякин В.Б., Курушин А.М. Экспериментальные исследования причин возбуждения колебаний элементов турбовинтового двигателя с дифференциальным редуктором // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2014. Т. 16, №. 4-1. С. 132-136.

35. Насонов Д.А. Методология расчета и динамический анализ турбозубчатых агрегатов главного привода судовых гребных винтов: дисс. ... докт. техн. наук. Москва. 2016. 278 с.

36. Нахатакян Ф.Г. Напряженно-деформированное состояние упругих элементов зубчатых механизмов и сооружений при их линейном и кромочном контакте: дисс. ... докт. техн. наук. Москва. 2014. 213 с.

37. Низаметдинов Ф.Р. Разработка методики анализа влияния относительных движений с ограничениями во фланцевых соединениях на динамику авиационных двигателей: дисс. ... канд. техн. наук. Москва. 2021. 161 с.

38. Динамические нагрузки в зубчатых передачах с прямозубыми колесами / А.И. Петрусевич, М.Д. Генкин, В.К. Гринкевич, М: Изд-во АН СССР, 1956. 134 с.

39. Попов В.В., Дегтярев С.А. Моделирование динамического поведения дифференциального редуктора турбовинтового двигателя // XXII Всероссийская научно-техническая конференция «Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации».: Материалы конференции. Пермь. 2021. Т.1. С. 126-129.

40. Попов В.В. К исследованию динамики авиационных трансмиссий // XXXI Международная инновационная конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения.: Тез. докл. Межд. конф. Москва. 2020. С. 163-166.

41. Разработка пространственной модели зубчатой передачи с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для решения нелинейных задач динамики авиационных трансмиссий / Попов В.В. [и др.] // Труды МАИ. 2020. №. 112. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=116336 (дата обращения 01.12.2022)

42. Попов В.В. Математическая модель прямозубой эвольвентной зубчатой передачи для решения задач динамики трансмиссий авиационных двигателей // Авиационные двигатели и силовые установки.: Тез. докл. Всерос. конф. Москва. 2019. С. 161-163. URL: https://ciam.ru/konferencii-i-seminary/sbornik_tezisov_dokladov_2019_3.pdf (дата обращения: 01.12.2022)

43. Попов В.В., Сорокин Ф.Д., Иванников В.В. Конечный элемент гибкого стержня с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для задач нелинейной динамики конструкций летательных аппаратов // Труды

МАИ. 2018. №. 99. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=91790 (дата обращения 01.12.2022)

44. Попов В.В. Математическая модель динамики прямозубой эвольвентной зубчатой передачи // XXX Международная инновационная конференция молодых ученых и студентов.: Тез. докл. Межд. конф. Москва. 2019. С. 354356.

45. Попов В.В., Сорокин Ф.Д., Иванников В.В. Разработка конечного элемента гибкого стержня с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для моделирования больших перемещений элементов конструкций летательных аппаратов // Труды МАИ. 2017. №. 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76832 (дата обращения 01.12.2022)

46. Попов В.В. Определение нормального контактного смещения прямозубой эвольвентной зубчатой передачи при моделировании движения зубчатых механизмов //XXVIII Международная инновационно-ориентированная конференция молодых ученых и студентов.: Тез. докл. Межд. конф. Москва. 2017. С. 85-88.

47. Попов В.В., Сорокин Ф.Д. Определение жесткостной функции эвольвентной прямозубой зубчатой передачи для моделирования движения зубчатых механизмов // XXVII Международная инновационно-ориентированная конференция молодых ученых и студентов.: Тез. докл. Межд. конф. Москва. 2015. С. 117-120.

48. Механика контактного взаимодействия и физика трения / В.Л. Попов, М: Физмалит, 2013. 352 с.

49. Сорокин Ф.Д., Попов В.В., Низаметдинов Ф.Р. Торможение ротора, вызванное прохождением через резонанс // XXVI Международный симпозиум им. А.Г. Горшкова «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».: Материалы симпозиума. Москва. 2020. Т.1. С.208-210.

50. Конструкция и проектирование авиационных газотурбинных двигателей и приводов энергетических установок. Кн.3. Авиационные редукторы и форсажные камеры / Н.И. Старцев, М.: Изд-во Двигатель, 2018. 312 с.

51. Комплексная фрактодиагностика авиационных конических зубчатых колес / Туманов Н.В. [и др.] // Журнал «Заводская лаборатория. Диагностика материалов». 2018. Т. 84, №. 2. С. 55-63.

52. Вибрации в технике. Том 3: Колебания машин, конструкций и их элементов / В.Н. Челомей, М.: Машиностроение. 1981. 544 с.

53. Чжан Х. Разработка рациональной методики расчета роликовых подшипников для применения в задачах роторной динамики: дисс. ... канд. техн. наук. Москва. 2019. 164 с.

54. Чжоу С. Разработка рациональной методики расчета пружинных механизмов: дисс. ... канд. техн. наук. Москва. 2018. 156 с.

55. Ankouni M., Lubrecht A.A., Velex P. Modelling of damping in lubricated line contacts - Applications to spur gear dynamics simulations // Proceedings of Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2015. Vol. 230 (7-8). P. 1222-1232.

56. Vibration behavior optimization of planetary gear sets / Aski F. S. et al. // Propulsion and Power Research. 2014. Vol. 3, Is.4. P. 196-206.

57. Dynamics of planetary gear trains / R. August et al., National Aeronautics and Space Administration, Scientific and Technical Information Branch. 1984. 235 p.

58. Balyakin V.B., Kurushin M.I. Mathematical modeling of the two mass gear system with consider ration of shaft compliances // Applied Mechanics and Materials. 2015. Vol. 770. P. 343-348.

59. Cao Z., Shao Y., Zuo M.J., Dynamic and quasi-static modeling of planetary gear set considering carrier misalignment error and varying line of action along tooth width // Proc IMechE Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2015, №. 229. P. 1348-1360.

60. Cardona A. Flexible three dimensional gear modelling // Revue Européenne des Éléments Finis. 1995. Vol. 4., Is. 5-6. P. 663-691.

61. Cardona A., Geradin M. A beam finite element non-linear theory with finite rotations // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1988. Vol. 26, Is. 11. P. 2403-2438.

62. Chapron M., Velex P., Becquerelle S. Dynamic behavior of planetary gears with compliant ring-gears and supporting structures influence of profile and lead modifications // Power Transmissions, Qin & Shao (Eds), Taylor & Francis Group, London. 2017. P. 577-583.

63. Chapron M., Velex P., Becquerelle S. Optimization of Profile Modifications With Regard to Dynamic Tooth Loads in Single and Double-Helical Planetary Gears With Flexible Ring-Gears. Journal of Mechanical Design // Journal of Mechanical Design. 2016. Vol. 138. 11 p.

64. Chen Z., Zhu Z., Shao Y. Fault feature of planetary gear system with tooth root crack and flexible ring gear ring // Engineering Failure Analysis. 2015. Vol. 49. P. 92-103.

65. Chen Z., Shao Y., Su D. Mesh stiffness of an internal spur gear pair with ring gear rim deformation // Mechanism and Machine Theory. 2013. Vol. 69. P.1-12.

66. Cooley C. G., Liub C., Daic X., Parker R. G. Gear tooth mesh stiffness: A comparison of calculation approaches // Mechanism and Machine Theory. 2016. Vol. 105. P. 540-553.

67. Cooley C. G., Parker R. G. A Review of Planetary and Epicyclic Gear Dynamics and Vibrations Research // Applied mechanics reviews. 2014, Vol. 66. Is. 040804. 15 p.

68. Crisfield M. A., Galvanetto U., Jelenic G. Dynamics of 3-D co-rotational beams // Computational Mechanics. 1997. Vol. 20, Is. 6. P. 507-519.

69. Dai X., Cooley C. G., Parker R. G. Dynamic tooth root strains and experimental correlations in spur gear pairs // Mechanism and Machine Theory. 2016. Vol. 101. P. 60-74.

70. Ericson T. M., Parker R. G. Planetary gear modal vibration experiments and correlation against lumped-parameter and finite element models // Journal of Sound and Vibration. 2013. Vol. 332. P. 2350-2375.

71. Eritenel T., Parker R. G. Nonlinear vibration of gears with tooth surface modifications // Journal of Vibration and Acoustics. 2013. Vol. 135. P. 051005.

72. Felippa C. A., Haugen B. A unified formulation of small-strain corotational finite elements: I. Theory // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1994, Vol. 194, Is. 21. P. 2285 - 2335.

73. Flexible multibody dynamics: a finite element approach / M. Geradin, A. Cardona, Wiley. 2001. 344 p.

74. Hammami A., Rincon A. F. D., Chaari F. Effects of variable loading conditions on the dynamic behavior of planetary gear with power recirculation // Measurement. 2016. Vol. 94. P. 306-315.

75. Hongrui W., Shuai H. E., Zhiguo W. Time-varying mesh stiffness algorithm correction and tooth crack dynamic Modeling // Journal of Mechanical Engineering. 2013. Vol. 49, Is. 11. 153 p.

76. Ibrahimbegovic A. On finite element implementation of geometrically nonlinear Reissner's beam theory: three-dimensional curved beam elements // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1995. Vol. 122, Is. 1-2. P. 11-26.

77. Ignacio R. The interpolation of rotations and its application to finite element models of geometrically exact rods // Computational Mechanics. 2004. Vol. 34, Is. 2. P. 121-133.

78. Numerical determination of contact forces in radial roller bearings with flexible rings / Ivannikov V. V. et al. // Russian Aeronautics. 2018. Vol. 61, Is. 4. P. 567-578.

79. Jelenic G., Crisfield M. A. Geometrically exact 3D beam theory: implementation of a strain-invariant finite element for statics and dynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1999. Vol. 171, Is. 1. P. 141-171.

80. Kahraman A. Dynamic analysis of geared rotors by finite elements // Journal of Mechanical Design. 1992. Vol. 114. P. 507-514.

81. Kahraman A. Load sharing characteristics of planetary transmissions // Mechanism and Machine Theory. 1994. Vol. 29. P. 1151-1165.

82. Kahraman A., Singh R. Non-linear dynamics of a spur gear pair // Journal of sound and vibration. 1990. Vol. 142, Is. 1. P. 49-75.

83. Dynamic model for planetary gear sets of geared turbofan jet engines / Kalinin V. D. et al. // 31st Congress of the international council of the aeronautical sciences. Belo Horizonte, Brazil. 2018. Is. 143115. 8 p.

84. Kalinin D. V., Temis Y. M. Problems of non-linear torsion vibration of geared systems // 10th International Conference mechatronic systems and materials. Opole, Poland. 2014. 6 p.

85. Kalinin D., Temis Y., Kozharinov E. Simulation of gears systems with dynamic analysis // 14th IFToMM World Congress: Proc. International conference. Taipei, Taiwan. 2015. 5 p.

86. Kapelevich A.L., Shekhtman Y.V. Flank profile modification for spur asymmetric gears // International Gear Conference 2018, Conference proceedings. Lyon Villeurbanne, France. 2018. Vol. 1. P. 66-74.

87. Effect of rim thickness on tooth root stress and mesh stiffness of internal gears / Karpat F. et al. // ASME 2014 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. Montreal, Canada. 2014. 7 p.

88. Calculation of the combined torsional mesh stiffness of spur gears with two-and three-dimensional parametrical FE models / Kiekbusch T. et al. //Strojniski vestnik-Journal of Mechanical Engineering. 2011. Vol. 57. Is. 11. P. 810-818.

89. Korka Z. An overview of mathematical models used in gear dynamics // Romanian Journal of Acoustics and Vibration. 2007. Vol. 4. Is. 1. P. 43-50.

90. Research on ultra speed gear devices (reports 1-3) / A. Kubo et al. // Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers. 1972. Vol. 38. P. 2692-2715.

91. Lagresle C., Guingand M., Fulleringer B. Optimization of profile modification for cylindrical gears using an adaptive multi-objective swarm algorithm // International Gear Conference 2018, Conference proceedings. Lyon Villeurbanne, France. 2018. Vol. 1, P. 7-17.

92. Lim T., Singh R.: Vibration Transmission through Rolling Element Bearings, Part III: Geared Rotor System Studies // Journal of Sound and Vibration. 1991. Vol. 151, Is. 1. P. 31-54.

93. Lin J., Parker R. G. Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibration // Journal of Vibration and Acoustics. 1999. Vol. 121. P. 316-321.

94. Dynamic characteristics of the herringbone planetary gear set during the variable speed process / Liu C. et al // Journal of Sound and Vibration. 2014. Vol. 333. P. 6498-6515.

95. de Mul J. M., Vree J. M., Maas D. A. Equilibrium and associated load distribution in ball and roller bearings loaded in five degrees of freedom while neglecting friction - Part I: General theory and application to ball bearings // Journal of Tribology. 1989. Vol. 111, Is. 1. P. 142-148.

96. de Mul J. M., Vree J. M., Maas D. A. Equilibrium and associated load distribution in ball and roller bearings loaded in five degrees of freedom while neglecting friction - Part II: Application to roller bearings and experimental verification // Journal of Tribology. 1989. Vol. 111, Is. 1. P. 149-155.

97. Nakada T., Utagawa M. The dynamic loads on gears caused by the varying elasticity of the mating teeth of spur gears // Proceedings of the Sixth Japanese National Congress on Applied Mechanics. 1956. P. 493-497.

98. Nakamura K. Tooth separations and abnormal noise on power-transmission gears // Bulletin of the Japanese Society of Mechanical Engineers. 1967. Vol. 10. P. 846854.

99. Coupled Torsional- Flexural Vibration of a Geared Shaft System Using Finite Element Analysis / Neriya et. al. // Shock and Vibration Bulletin, Vol. 55., Is. 3. P. 13-25.

100. Ozgüven H. N. A non-linear mathematical model for dynamic analysis of spur gears including shaft and bearing dynamics // Journal of sound and vibration. 1991. Vol. 145. Is. 2. P. 239-260.

101. Ozgüven H. N., Houser D. R. Dynamic analysis of high speed gears by using loaded static transmission error //Journal of sound and vibration. 1988. Vol. 125. Is. 1. P. 71-83.

102. Parker R. G., Agashe V., Vijayakar S. M. Dynamic response of a planetary gear system using a finite element/contact mechanics model // Journal of Mechanical Design. 2000. Vol. 122. P. 304-310.

103. Pimenta P. M., Campello E. M. B., Wriggers P. An exact conserving algorithm for nonlinear dynamics with rotational DOFs and general hyperelasticity. Part 1: Rods // Computational Mechanics. 2008. Vol. 42, Is. 5. P. 715-732.

104. Popov V. V., Sorokin F. D. Modelling of gears for nonlinear dynamics analysis // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2020. Vol. 747. Is. 012029. 7 p.

105. Qiu X., Han Q., Chu F. Load sharing characteristics of planetary gear transmission in horizontal-axis wind turbines // Mechanism and Machine Theory. 2015. Vol. 92. P. 391-406.

106. Shabana A.A., Yakoub R.Y. Three Dimensional Absolute Nodal Coordinate Formulation for Beam Elements: Theory // Journal of Mechanical Design. 2001. Vol. 123, Is. 4. P. 606-613.

107. Dynamic load sharing behavior of transverse-torsional coupled planetary gear train with multiple clearances / Sheng D. et al // Journal of Central South University. 2015. Vol. 22. P. 2521-2532.

108. Simo J. C. A finite strain beam formulation. The three-dimensional dynamic problem. Part I // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1985. Vol. 49, Is. 1. P. 55 - 70.

109. Simo J. C., Tarnow N., Doblare M. Non-linear dynamics of three-dimensional rods: Exact energy and momentum conserving algorithms // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1995. Vol. 38, Is. 9. P. 1431-1473.

110. Spitas C., Spitas V. Coupled multi-DOF dynamic contact analysis model for the simulation of intermittent gear tooth contacts, impacts and rattling considering backlash and variable torque // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2016. Vol. 230. Is. 78. P. 1022-1047.

111. Tordion G. V., Gerardin H. Dynamic measurement of the transmission error in gears // Proceedings of the Japanese Society of Mechanical Engineers SemiInternational Gearing Symposium. 1967. P. 279-284.

112. Tuplin W. A. Gear tooth stresses at high speed // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. 1950. Vol. 16. P. 162-167.

113. An improved time-varying mesh stiffness algorithm and dynamic modeling of gear-rotor system with tooth root crack / Wan Z. et al. // Engineering Failure Analysis. 2014. Vol. 42. P. 157-177.

114. Wang J., Guo L., Wang H. Analysis of Bifurcation and Nonlinear Control for Chaos in Gear Transmission System // Research Journal of Applied Sciences, Engineering and Technology. 2013. Vol. 6, Is. 10. P. 1818-1824.

115. A distributed dynamic mesh model of a helical gear pair with tooth profile errors / Wang Q. et al. // Journal of Central South University. 2018. Vol. 25. Is. 2. P. 287303.

116. Wang Q., Zhang Y. A model for analyzing stiffness and stress in a helical gear pair with tooth profile errors // Journal of vibration and control. 2017. Vol. 23. Is. 2. P. 272-289.

117. A coupling dynamics analysis method for a multistage planetary gear system / Weia J. et al. // Mechanism and Machine Theory. 2017. Vol. 110. P. 27-49.

118. Wu X., Parker R. G., Modal properties of planetary gears with an elastic continuum ring gear // Journal of Applied Mechanics. 2008. Vol. 75, Is. 031014. P. 1-12.

119. Yakoub R. Y., Shabana A. A. Three Dimensional Absolute Nodal Coordinate Formulation for Beam Elements: Implementation and Applications // Journal of Mechanical Design. 2001. Vol. 123, Is. 4, P. 614 - 623.

120. Zhang H., Wu S., Peng Z., A nonlinear dynamic model for analysis of the combined influences of nonlinear internal excitations on the load sharing behavior of a compound planetary gear set // Proc IMechE Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2016, Vol. 230 P. 1048-1068.

121. Jet engine. URL: https://www.airports-worldwide.com/articles/article0583.php (дата обращения 01.12.2022)

122. Plane event for 80-anniversary of Battle of Britain. URL: https://forum.warthunder.com/index.php7/topic/484598-plane-event-for-80-anniversary-of-battle-of-britain/ (дата обращения 01.12.2022)

123. Pratt Whitney Canada Pt6 Engine. URL: https://www.cleanpng.com/png-pratt-whitney-canada-pt6-beechcraft-king-air-turbo-1864438/ (дата обращения 01.12.2022)

124. South-pointing chariot. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/South-pointing_chariot (дата обращения 01.12.2022)

125. Переключатель скоростей. URL: http://www.vinci.ru/pereklu4atelskorostej.html (дата обращения 01.12.2022)

126. Issus coleoptratus. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Issus_coleoptratus (дата обращения 01.12.2022)

127. Гербы, содержащие зубчатое колесо. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гербы,_содержащие_зубчатое_колесо (дата обращения 01.12.2022)

128. Винтовентиляторы. Класс тяги >10000 кгс. URL: http://aerosila.ru/products/vozdushnye-vinty-ivintoventilyatory-dlya-samoletov/vintoventilyatory-klass-tyagi-10000-kgs (дата обращения 01.12.2022)

ПРИЛОЖЕНИЕ

П.1. Выражение для матрицы жесткости зубчатой передачи

В данном разделе представлен вывод выражений для компонент матрицы жесткости, представленной в разделе 2.5. Выражения тождествены между собой вплоть до обозначений, поэтому показан вывод для отдельной компоненты К12

К12 _ кт

адз адз

+

а2дз

аиА1 аиА2 ЭиА1ЭиА2 Производные кинематической ошибки передачи

Дз

(П. 1.1)

адз адз

ап ади . / ч аша

•Ди + п —-+ X • • slП )- °

аи

а1

аи

а1

аи

а1

аи

ап ади . / ч аша •Ди + п —-+ Х • • ат уа )- а

а2

а2дз

аи

а2

аи

а2

аи

а2

а2п

а2ди

а«А1аиА2 а«А1аиА2

ап ади ап ади

• ди +---+---+ п

аи^1 аи^2 аи^2 аи^1 аи^аи^

(П.1.2)

+

+Х • ^а • ~ачга

(ЛУа )----+ Х • ^а • а1П (ЛУа )

и< \ и» i и» / л

Производные векторов нормали к поверхности зуба и упругого рассогласования

дп _ де

А

1ге/

диА1 ^ диА1

+/2

де

А

2ге/

ди

дп . де

А

1ге/

диА2 /1 диА2

д2п

+/2

де

А1 А

2ге/

ди

А2

д2еА ^ е1ге/

— / /2 диА1диА2 диА1диА2 диА1диА2

■+/2

д2еА ^ е2ге/

дЛи . „ _чТ де^.

— (-1,0,0)т + рв-1/ + РА

де

А

1ге/

ди

А1

ди

А1

дЛи , п4т , де1ге/ ,

— (0,-1,0) +Р1—+ Ра

ди де

А1 А

1ге/

ди

А2

д2Ли

ди

А2

ди

диА1диА2

Р1

д2е1

° е1ге/ диА1диА2

+ РА

А2 д2еА

° е1ге/ диА1диА2

(П.1.3)

Производные векторов, связанных с условной точкой контакта колеса А

де:

А

1ге/

д( е0 ■( гь - га)) |е ( ^ (е ( )) д |е0 ■( гь - га )|

диА1 ^ (гь - га )-(^ (г& - г« ))--ди^

диА1

д(Е0 ■(гь - га))

Е0 ■(

г - г

Е0 ■(г& - Г )|

ди

Е0 ■ (-1,0,0)

т

А1

дЕ0 ■(г - га)| — (Ер ■(гь - га)) д(Е0 ■(гь - га))

ди

А1

де

Е0 ■(Гь - Га )|

д(е0 ■(г - га)) , (

А ----е0 ч

ди

А1

1ге/

ди

г - г

А2

)-(е0 ■(гь - га ))

д Е0 ■(гь - га )|

ди

А2

ди

А2

е0 ■(гь - га )■ |е0 ■(гь - га )|

д( Е0 ■(гь - га )) —

ди

— Е0 ■ (0,-1,0)

т

А2

д Е0 ■( гь - га )| — (Е0 ■( г6 - га )) д( Е0 ■( г - га ))

ди

А2

Ег

(гь - га )\

(П.1.4)

ди

А2

де-

1ге/

д(Е0 ■(гь - га )) д |Е0 ■(гь - га )| д(Е0 ■ (гь - га )) д |Е0 ■ (ц -

диА

диА

диА

^ ' ~ га /

диА

(Е ( ^ д21Е0 ■К -гМ I |Е (

■( ^ ( гь " га ^ диА1диА2 I-^ ( гь " 1

|Е„ ■(гь - га )|

*■( г. - га )|-( Е •(, - га ]■[ 2| М,-га

Ее ■(гь - г

2

а4в/ _ _еА ^ (у а ) + еА (у а )

а«А1 а«А1 а«А1

аеАтв/ _ _еА (у а ) + еА (у а ) - +^2

аиА2 аиА2 аиА2

_ _еА (У а ) + еА ^^ (У а ) - +^2

а«А1аиА2 а«А1аиА2 аиА1аиА2

Производные векторов, связанных с условной точкой контакта колеса В

аеВге/ В а СОв (УВ) , В а в1п (УВ)

-- _ е1----- + е2-----

а«А1 а«А1 а«А1

аеВгв/ _ ев • а соа (Ув) + ев • а а1п (Ув) (П15)

аиА2 1 аиА2 2 аиА2

а2еВге/ _ В а2 сов (У В) , В а2 в1п (У В)

-_ е1--^-- + е2--

а«А1аиА2 а«А1аиА2 аиА1аиА2

Производные текущих поворотов относительно начального положения колесаА

^ (У а ) _ ае1ге/ А

е2

а«А1 а«А1

А

/ е

1

(У а ) ае1гв/ еА -_-• е

а«А1 а«А1

а2"П (У а ) аеАге/ А -_-• е

а«А1аиА2 а^а^

^СОЛ (у а) _ аеАге/ А — • е

а«А1аиА2 а^а^

2

1

ауА , л ав1п(уА) асов(уА) . (пл.6)

сов

(УА)----• а1п(уА)

а«А1 а«А1 а«А1

а2УА _ а соа (УА ) а а1п (УА ) + соа(уА)• а2 а1п (УА ) а«А1аиА2 а«А2 а«А1 аиА1аиА2

а2 сов (уа ) . ( л а сов (уа ) а в1п (уа ) /■ч /"ч ( т^ а) /"ч /"ч

аиА1аиА2 а«А1 а«А2

Производные текущих поворотов относительно начального положения колеса В

д (ув) . ( . дув

-—ь-— - sln (Ув )■ —

диА 4 ' диА

в

¿А1 диА1

д2 cos (ув) / ч дув . , ч дув дув --—— — - cos (ув )--—--sln (ув ) ■ ---

д«А1диА2 д«А1диА2 д«А1 д^2

д sln (ув) / \

—-— cos (ув )■

дув

диА у>в' ди

А1 А1

в.

д sln(ув) • / ч ду^ ( , дув дув --—— — - sln (ув )--—— + cos (ув ) ■ ---

д«А1диА2 д«А1диА2 д«А1 д^2

дув — рА дуА

диА1 Рв диА1

22 д ув _ Ра д уа

(П.1.7)

диА1диА2 Рв диА1диА2 Соотношения (П.1.2) - (П.1.7) позволяют для текущих перемещений вычислить значение компоненты матрицы жесткости (П.1.2). Также эти зависимости позволяют одновременно вычислить соответствующие компоненты вектора внутренних сил и . Стоит отметить, что

вычисление компонент, связанных с элементами векторов поворота будут иметь более сложную структуру.

TRANZIT

Научно-технический центр по роторной динамике

ООО "АЛЬФА - ТРАНЗИТ

Россия. Московская обл.. 141400. г. Химки, ул. Ленинградская. Í ИНН 5047041011). КПП 504701001 Тел: (495 ) 232-60-91. Тел Факс: (495 ) 232-60-91 e-mail: SLippori ii aifatran.com; web: www.alfatran.com

27. /г 2o¿i № ?e-/)T-2o¿j

акт

о внедрении результатов диссертационной работы Попова Валерия Васильевича на тему «Разработка методов анализа нелинейной динамики дифференциального редуктора турбовинтового двигателя», представленной на соискание учёной степени кандидата технических наук

Пространственная модель зубчатой передачи и алгоритм определения функции жесткости, разработанные Поповым Валерием Васильевичем, позволяют проводить анализ динамики сложноструктурных зубчатых механизмов. Полученные результаты были внедрены в алгоритмы, реализующие решение нелинейных задач динамики роторных машин, содержащих зубчатые передачи, для программного комплекса расчета и анализа многовальных и многоуровневых роторных систем Dynamics R4.

Генеральный директор ООО "Альфа-Транзит"

онтьев М.К.

«УТВЕРЖДАЮ»

АКТ

о внедрении результатов кандидатской диссертации старшего преподавателя кафедры РК-5 Попова Валерия Васильевича «Разработка методов анализа нелинейной динамики дифференциального редуктора турбовинтового двигателя» в учебный процесс МГТУ им. Н.Э. Баумана

Настоящим актом подтверждаем, что в учебный процесс кафедры «Прикладная механика» внедрены результаты кандидатской диссертации Попова Валерия Васильевича: методика определения жесткости зубчатой передачи, инкрементальный подход представления больших поворотов. Материалы диссертационной работы Попова Валерия Васильевича используются в рамках дисциплин «Тензорная алгебра в механике тонкостенных конструкций», «Тензорная алгебра в механике стержней, пластин и оболочек», «Численные методы в механике композитов», а также при выполнении научно-исследовательских, курсовых и квалификационных работ бакалаврами и магистрами кафедры РК-5.

Руководитель

Научно-учебного комплекса «Робототехника и комплексная автоматизация»

д.т.н., профессор Г.А. Тимофеев

Заместитель заведующего кафедрой «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана к.т.н., доцент

С.В.Зарубин