Разработка методики расчета термодинамических, физических свойств и фазовых равновесий в бинарных системах и применение к системам железо-хром и уран-цирконий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Васильев, Дмитрий Альбертович

• Васильев, Дмитрий Альбертович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильев, Дмитрий Альбертович

Оглавление

введение

актуальность темы

цель работы

научная новизна

практическая значимость работы

апробация работы

публикации

глава 1 литературный обзор

1.1. современное состояние в области термодинамических расчетов дс

1.1.1 Применение различных моделей для расчетов ДС

1.1.2 Различные методы термодинамических расчетов

1.1.2.1. Методика расчета ДС

1.1.2.2. Использование СА1РНАО метода для расчета ДС

1.1.2.3. Первопринципные расчеты для получения термодинамических данных

Метод теории функционала плотности (ТФП)

Метод разложения энергии по кластерам и применения первопринципных расчетов

Метод вариации кластеров(МВК) в первопринципных расчетах

1.1.3 Применение термодинамических расчетов ДС для сплавов атомной энергетики

1.2. использование физических моделей

1.2.1 Феноменологические модели

1.2.2 Физико-эмпирические модели (независимые подсистемы)

1.2.3 Физические модели с внутренними степенями свободы (для ОЦК)

1.3. Выводы из анализа литературного обзора

глава 2 развитие методов расчетов

2.1 Развитие метода расчета для феноменологической модели

2.1.1. Метод оптимизации параметров взаимодействия с регулировкой шага

2.1.2. Метод расчетов нонвариантных равновесий в бинарных системах

2.2. Развитие метода расчета для физико-эмпирической модели

2.3. Выводы из второй главы

глава 3 применение моделей и методик расчета к системам и^, ре-сй

3.1. Система и^

Методика расчетов

3.1.1. Выбор моделей для расчетов

3.1.2. Оценка параметров стабильности для метастабильных фаз чистых компонентов

2

3.1.3. Оценка параметров стабильности для метастабильных фаз U и Zr

3.1.4. Методика решения обратных задач

3.1.5. Оптимизационный расчет параметров взаимодействия и параметров стабильности

3.2 Система Fe-Cr

3.2.1 Физико-эмпирическая модель

3.3. ВЫВОДЫ ПО третьей главе

выводы

благодарности

список работ опубликованных по теме диссертации

список литературы

приложения

1. Блок схема расчета по методу Нелдера - Muda

2. Блок схема регулировки шага в методе Нелдера - Muda

3. Блок-схема расчета канод неизоморфных растворов

4. Блок-схема расчета канод изоморфных растворов

5. Список сокращений и обозначений, используемых в работе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методики расчета термодинамических, физических свойств и фазовых равновесий в бинарных системах и применение к системам железо-хром и уран-цирконий»

Введение

Для решения материаловедческих задач проектирования новых материалов необходимо знание термодинамических и физических свойств сплавов, которые потенциально могут быть использованы в создании этих материалов. Знание температурных зависимостей фазовых равновесий для температурных диапазонов, в которых предполагается использовать разрабатываемый новый материал является очень важным как для оценки химической совместимости, так и для оценки термодинамической стабильности используемых материалов.

Рис. 1.1. Секция Ри-и-Иг топливной таблетки и графики распределения Ри,

II и 1г по радиусу [5].

Для решения задачи создания металлического ядерного топлива для реакторов необходимо знание термодинамического описания системы и-Иг, поскольку она является важной подсистемой тройной системы и-Ри-Иг, на базе

которой разрабатывается перспективное металлическое ядерное топливо для реакторов- размножителей нейтронов [1].

В начале, чистый и и Ри рассматривались в качестве чистого металлического топлива из-за их высокой термической проводимости в сравнении с оксидным топливом (например, 1)хРи1.х02) используемым в реакторах. Однако, низкая температура плавления чистого и, Ри и 11-Ри сплавов делает их непригодными для использования при высоких температурах из-за опасности проникновения расплавленных актинидов в оболочку твэлов. Поэтому для того чтобы повысить температуру плавления (солидуса -ликвидуса), и чтобы улучшить температурную и механическую стабильность сплавов системы и-Ри целесообразно добавлять в сплавы некоторые тугоплавкие элементы, такие как Сг, Мо, Л, и 2г. Необходимо отметить, что 2г обладает уникальной особенностью сдерживать взаимную диффузию между металлическим топливом и оболочкой твэла, и это делает 1г хорошим кандидатом в решении проблемы создания металлического топлива для реакторов на быстрых нейтронах [44].

\J-Zr сплавы, богатые ураном, представляют интерес из-за их возможного использования в маломощных или в исследовательских реакторах [1-3], поскольку 1г имеет небольшое сечение захвата тепловых нейтронов. Кроме того, уран, легированный цирконием, имеет хорошую коррозионную стойкость и объемную стабильность в течение термических циклов [3]. Эти благоприятные свойства привели к созданию топливных элементов на основе сплавов системы \J-Zr для использования в реакторах. Типичный \J-Zr топливный стержень содержит примерно -10вес.%2г (23ат.%2г) в у-фазе [44], и сплав этого состава в первые был облучен в реакторе ЕВЯ-И в США в 80-ых годах прошлого столетия [4]. В течение процесса выгорания топлива, химический состав топлива изменяется. Например, если в начале компании состав топлива составлял и-23ат.%гг, то после 5%-го выгорания его химический состав изменился до I)-45ат.%2г [44]. Такое изменение состава топлива вызывает перераспределение 2г внутри топливного стержня с порами высокообогащенного гг-ем «горячего»

центра, по-видимому, обедненной Иг-ем средней зоной, и немного обогащенной 1г-ем «холодной» наружной зоной [44]. Данные по диффузии и термодинамические свойства сплавов системы II-2г являются очень важными для понимания явлений происходящих в топливных стержнях находящихся под облучением. В работе [96] Огава показал, что коэффициенты взаимной диффузии для у-фазы твердых растворов \J-Zr системы связаны с термодинамическими свойствами этой системы. Поэтому для того чтобы изучать перераспределение 1г в \}-1г топливных стержнях необходимо выполнить первопринципные расчеты для кривой разупорядочения у- фазы \J-Zr системы, и рассчитать термодинамические свойства для основного состояния.

В течение работы ядерного реактора может происходить явление, называемое термопереносом вещества или термомиграцией. Оно возникает вследствие температурного градиента, который существует между центром и поверхностью таблетки - ядерного топлива. Благодаря большому градиенту температуры, по радиусу таблетки, явление термомиграции может приводить к существенному перераспределению компонентов топлива и продуктов деления в топливной таблетке, см. Рис. 1.1. Это, в свою очередь, может привести к нарушению режимов работы топливных элементов, их разрушению и, как следствие, к аварии. Для понимания физико-химических процессов происходящих в системе топливо - оболочка ТВЭЛа необходимо знание, как диаграммы состояния, так и поведения термодинамических свойств сплавов в зависимости от состава и температуры.

Для решения задачи создания реактора на быстрых нейтронах ключевым вопросом является создание материалов для оболочек ТВЭЛов, которые бы могли работать при более высоких температурах при воздействии нейтронного облучения в сравнении с материалами, которые используются в настоящее время в активной зоне реакторов типа ВВЭР.

Наиболее перспективными материалами для работы в качестве оболочек ТВЭЛов в реакторах нового поколения могут быть стали ферритного класса. Система Ре-Сг является базовой для сталей этого класса. Термодинамические

свойства этих материалов и, в частности, ОЦК сплавов этой системы, в последнее время привлекает все большее внимание. Так недавно в системе Ре-Сг экспериментально было обнаружено ближнее упорядочение сплавов с малой концентрацией Сг [93,94]. Хотя раньше предполагалось, что эти сплавы образуют неупорядоченный раствор. Учет параметра ближнего порядка обусловлен сложностью моделирования магнитных свойств.

Следует отметить, что сплавы системы Ре-Сг имеют как научный, так и технологический интерес. Научный интерес вытекает из того факта, что эта система может быть рассмотрена как модельная система для изучения различных физических свойств сплавов, а также для проверки используемых физических моделей. Технологический интерес следует из того, что сплавы на базе системы Ре-Сг являются основой для производства нержавеющих сталей и, благодаря своим особым свойствам, находят широкое применение в промышленности.

Важно отметить, что ферритные стали рассматриваются в качестве планируемых материалов для первой стенки в разрабатываемых термоядерных реакторах [6]. Проблема экспериментального исследования материалов, являющихся перспективными для использования в будущих термоядерных технологиях при различных дозах облучения и в температурных диапазонах, ожидаемых в будущем термоядерном реакторе, является очень сложной, если даже не возможной. Отчасти, эта проблема возникает в связи с отсутствием подходящих источников высокоэнергетических (порядка 14 МэВ) нейтронов, появляющихся в результате термоядерного синтеза для имитации условий облучения термоядерного реактора в экспериментальных исследованиях. Ожидается, что эта проблема будет решена с вступлением в строй строящегося ускорителя высокоэнергетических 14 МэВ-ных нейтронных пучков, 1РМ1Р [7]. Другая, достаточно серьезная проблема разработки новых материалов термоядерных технологий связана с необходимостью экстраполяции результатов существующих экспериментальных данных и данных с будущего 1РМ1Р ускорителя на более широкий диапазон условий ожидаемых в работе

будущего термоядерного реактора. Например, высокая скорость образования гелия и атомные смещения, вызываемые воздействием нейтронов деления и ионного излучения на материалы, предположительно подходящие для использования в будущем термоядерном реакторе, индуцируют как существенное упрочнение ферритно-мартенситной стали причиненной высокой плотностью гелия и вакансионными кластерами [8,9], так и развитие фазовой нестабильности в сплавах системы Ре-Сг [10]. Сегрегация гелия на границах зерен при низких температурах может приводить к дополнительному охрупчиванию материалов [9]. Для решения этих проблем в Европе уже десять лет работает программа направленная на разработку методов моделирования работы материалов, находящихся под облучением в термоядерном реакторе, и на разработку компьютерных программных технологий, нацеленных на рационализацию широкодоступной экспериментальной информации по свойствам облученных материалов, и на развитие возможностей предсказания поведения материалов, работающих в условиях пока еще не доступных для экспериментальных исследований [б]. Таким образом, система Ре-Сг является базовой бинарной системой двойного назначения, как для атомных реакторов нового поколения, так и для разрабатываемых термоядерных реакторов.

В частности, на основе системы Ре-Сг разрабатывается ферритно-мартенситная Европейская сталь типа: Е1ЖОРЕВ (химический состав (вес %): Ре-8.77Сг-1.06Ш-0.45Мп-0.2\/-0.11Та-0.12С взят из работы [95]) - для применения в атомных реакторах нового поколения [6].

В последнее десятилетие в России и во многих европейских странах, США и Японии ведутся интенсивные научные исследования по изучению свойств как бинарных сплавов системы Ре-Сг, так и многокомпонентных сплавов на основе системы Ре-Сг.

Одна из особенностей сплавов на основе системы Ре-Сг состоит в том, что они образуют твердый ОЦК раствор с одинаковой кристаллической структурой компонентов в широком концентрационном диапазоне. Это позволяет изучать

физические свойства сплавов в широком диапазоне составов в области существования этой структуры.

Другая известная особенность системы Ре-Сг - это наличие кривой расслоения ОЦК растворов при комнатной и более низких температурах. Внутри кривой расслоения твердый раствор стремится распасться на ОЦК раствор богатый хромом (а') и ОЦК раствор богатый железом (а). Из-за этого расслоения Ре-Сг сплавы демонстрируют охрупчивание после отжига и уменьшающуюся вязкость при разрушении, которые исторически называются «475 °С охрупчиванием» [81]. Последнее связано с образованием о - фазы при температуре 475 °С [76]. Для нержавеющих дуплекс - сталей распад и последующее охрупчивание ферритной фазы является верхним пределом рабочих температур. Для исследования механизма контролирующего распад в нержавеющих дуплекс - сталях необходимо надежное термодинамическое описание сплавов системы Ре-Сг, которое в полной мере отсутствует в настоящее время.

Известны экспериментальные данные по термодинамическим свойствам сплавов системы Ре-Сг при повышенных температурах [82] когда сплавы находятся в парамагнитном состоянии. В качественном отношении эти данные подтверждают расслоение ОЦК- растворов. Однако, при умеренных температурах, ниже температуры Кюри, экспериментально обнаружено ближнее упорядочение в сплавах, богатых железом [93,94], что с традиционной точки зрения находится в противоречии, как с фазовой диаграммой, так и с экспериментальными термодинамическими свойствами сплавов. При умеренных и пониженных температурах проведение экспериментальных термодинамических исследований затруднено ввиду чрезвычайной вялости прохождения диффузионных процессов. Для учета ближнего порядка в сталях ферритного класса также необходимо надежное термодинамическое описание сплавов системы Ре-Сг, которое в настоящее время, тем не менее, отсутствует.

Поэтому одна из задач данной работы заключается в согласовании фазовых равновесий, термодинамических и структурных свойств сплавов,

находящихся как в ферромагнитном, так и парамагнитном состоянии (с использованием физических моделей для описания магнетизма) в разных температурных интервалах. Для выяснения физических причин и устранения указанных противоречий были проведены расчеты составляющих свободных энергий железо - хромистых сплавов, как в ферромагнитном, так и в парамагнитном состоянии.

Измерение термодинамических свойств сплавов, (в частности, как для системы Яе-Сг, так и для системы \J-Zr) в зависимости от состава сплавов и температуры только экспериментальными методами представляется чрезвычайно сложной задачей, поскольку это влечет за собой большой объем экспериментальных исследований и гигантских затрат времени, а также соблюдения дополнительных требований по радиационной безопасности. Так например, для получения термодинамического описания систем даже при комнатных температурах необходимы огромные времена выдержки, порядка несколько лет или даже десятилетий, что бы сплавы привести к термодинамическому равновесному состоянию вследствие низкой скорости диффузии. Для решения таких задач целесообразно проведение термодинамического моделирования.

Актуальность темы

Актинидные сплавы на основе 2т, особенно и-Ри-Иг сплавы, являются

многообещающим перспективным металлическим топливом для реакторов на быстрых нейтронах обладающих преимуществом в эксплуатации, безопасности, и экономичности топлива в сравнении с существующими термическими реакторами (ВВЭР). Основная цель реакторов на быстрых нейтронах заключается в достижении так называемого «высокого выгорания» распадающихся трансурановых элементов всех типов, в отличие от термических реакторах, таким образом решается задача рециклирования ядерного топлива и расходования трансмутационных долго живущих актинидов (Ыр, Ат, и Ст), с помощью создания закрытых топливных циклов и с дальнейшим размещением топливных отходов в геологическом хранилище [44].

Для создания материалов, которые планируется использовать в ядерных реакторах четвертого поколения и в качестве первой стенки будущего термоядерного реактора, необходимо разрабатывать методы компьютерного моделирования (включающие физические модели, алгоритмы расчетов и компьютерные программы). Они должны быть способны: 1) прогнозировать свойства материалов, подвергающихся воздействию облучения и повышенных температур; 2) моделировать условия, при которых предстоит работать материалам. В Европе с 2002 года действует программа, направленная на поддержку проектов по моделированию радиационных дефектов в материалах термоядерного реактора. Цель этой программы: развитие вычислительных методик для предсказания изменений в механических свойствах, упрочнении и охрупчивании, а также в изменении микроструктуры и фазовой стабильности ферритно-мартенситной стали типа ЕШЮРЕЯ и в модельных Ре-Сг сплавах находящихся под облучением в термоядерном реакторе [б].

Цель работы

Разработать методики расчета термодинамических, физических свойств и фазовых равновесий в бинарных системах и их апробаций на системах, являющихся базовыми для материалов атомной энергетики.

Достижение указанной цели потребовало решения следующих задач:

1. создать компьютерные программы для расчета равновесного состояния изоморфных и неизоморфных фаз, нонвариантных равновесий и температурных зависимостей термодинамических свойств бинарных сплавов на основе феноменологических и физических моделей фаз для бинарных систем;

2. усовершенствовать методику решения обратной задачи по согласованному описанию термодинамических свойств и фазовых равновесий путем включения регулировки шага (учитывая топологию фазовой диаграммы) в вычислительную процедуру Нелдера-Мида для поиска минимума функции цели;

3. разработать методику расчета нонвариантных равновесий с использованием взаимосвязи трех типов диаграмм ( в координатах температура - состав сплава, производная от потенциала Гиббса по составу - состав сплава, химический потенциал двухфазных равновесных состояний - температура) и ее

11

применения для построения диаграммы состояния системы \J-Zr, и расчетов термодинамических свойств сплавов этой системы, находящихся в различных фазовых состояниях;

4. разработать методики расчета ОЦК растворов сплавов системы Бе-Сг на основе физико-эмпирической модели, с учетом упругих искажений кристаллической решетки раствора, обусловленных размерным фактором, и с использованием результатов квантово-механических расчетов энтальпии смешения при ОК ОЦК - фазы;

5. разработать методики расчета магнитных свойств сплавов и вкладов колебаний атомов кристаллической решетке ОЦК - раствора с учетом ангармонизма в рамках модели Дебая - Грюнайзена и применить ее к расчету кривых растворимости и спинодали в ОЦК - фазе системы Бе-Сг.

Научная новизна

1. Разработана методология согласованного описания нонвариантных

равновесий с использованием двумерных фазовых диаграмм, построенных в различных координатах (химические потенциалы компонентов, температура, состав), для проведения расчетов термодинамических свойств и фазовых диаграмм бинарных систем. Она применена для оптимизационных расчетов в системе \J-Zr.

2. Предложенная методика решения обратной задачи позволяет рассчитывать ДС бинарных сплавов и их термодинамические, ряд физических (теплоемкость, коэффициент термического расширения и др.) и химических (химические потенциалы компонентов, энтальпии смешения и энтальпии фазовых переходов) свойств в зависимости от состава сплавов и температуры.

3. Разработана методика расчета термодинамических равновесий ОЦК растворов, учитывающая влияние различных энергетических вкладов в энергию образования сплавов, таких как энергию упругих искажений кристаллической решетки, термический вклад электронной подсистемы, колебательной составляющей, которая включает как гармонические, так и ангармонические вклады, а также магнитный вклад.

4. Установлено, что в ферромагнитных ОЦК - сплавах системы Бе-Сг при

температурах ниже температуры Кюри основной вклад в свободную энергию

12

Гиббса для сплавов, богатых железом, дает магнитная составляющая. При высоких температурах основную роль для сплавов, богатых хромом, играет электронная составляющая.

Практическая значимость работы

На основе разработанных методик создана компьютерная программа

позволяющая рассчитывать фазовые диаграммы бинарных систем сплавов, находящихся в парамагнитном состоянии, физические и термодинамические свойства сплавов этой системы.

Созданы методики позволяющие рассчитать термодинамические равновесия ОЦК сплавов находящихся в парамагнитном состоянии.

Апробация работы

Основные результаты, полученные в ходе выполнения диссертационной

работы, были доложены и обсуждены на Российских и международных конференциях:

1. Научно-практическая конференции материаловедческих обществ России. Новые функциональные материалы и экология, г. Звенигород, 26-29 ноября 2002г.

2. International Conference CALPHAD XXXII, La Malbaie, Ouebec, Canada, 2530 мая 2003 года.

3. Научная сессия МИФИ-2003. МИФИ, Москва январь 2003 года. http://librarv.mephi.rU/data/scientific-sessions/2003/9/183.html

4. CALPHAD XXXIV, Maastricht, The Netherlands, 22-27 Май 2005 год.

5. CALPHAD XXXV Conference, Haifa, Israel, 7-12 Мая 2006 год.

6. Plutonium Futures, The Science 2006, A Topical Conference on Plutonium and Actinides. Asilomar, Pacific Grove, California, 9-13 Июль 2006 год.

7. JETC-IX, Conference, Saint-Etienne, France, 12-15 Июня 2007 года.

8. XVI International Conference on chemical thermodynamics in Russia (RCCT 2007), г. Суздаль, 1-6 Июля, 2007 год.

9. IV Российская ежегодная конференция молодых научных сотрудников и аспирантов. ИМЕТ, Москва, 20-22 ноября 2007 года.

10. The Discussion Meeting on Thermodynamics of Alloys (TOFA 2008). Krakow, Poland, 22-27 июня 2008 года.

11. 16th International Conference on Solid Compounds of Transition Elements (SCTE-2008), Dresden, Germany, 26-31 июль 2008.

12. IX Российский семинар. Компьютерное моделирование физико-химических свойств стекол и расплавов, г. Курган, 14-17 октября 2008г.

13. Научная сессия МИФИ-2009. МИФИ, Москва январь 2009 года.

14. The Joint European Thermodynamics Conference (JETC 10). Copenhagen, 22-24 Июня, 2009 года. P.226-229. On-line access: http://www.ietclO.fys.ku.dk/sites/default/files/Abstract Vasilyev D O.pdf

15. X Российский семинар. Компьютерное моделирование физико-химических свойств стекол и расплавов, г. Курган, 12-15 октября 2010 года. С. 2628.

15. XIII Российская конференция МиШР 13. Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов, г. Екатеринбург, 12 -16 сентября 2011г.

16. 3-я международная конференция HighMatTech. Украина, г. Киев, 3-7 октября 2011 года.

17. Четвертая международная конференция «Деформация и разрушение материалов и наноматериалов» DFMN-2011. ИМЕТ, г. Москва, 25-28 октября 2011 года.

18. Ill Всероссийская молодежная конференция с элементами научной школы. Функциональные наноматериалы и высокочистые вещества 29 мая - 1 июня 2012г. ИМЕТ, г. Москва.

19. Механические свойства современных конструкционных материалов, научные чтения приуроченные к 115-летию члена -корреспондента И.А. Одинга, 10-12 сентября 2012, ИМЕТ, г. Москва.

20. Химическая термодинамика и кинетика 12-14 сентября, г. Донецк, Украина.

21. 11-ый Российский семинар «Компьютерное моделирование физико-химических свойств стекол и расплавов» с 16 по 19 октября 2012г., г. Курган, Россия.

22. Третья Международная научная конференция "ХИМИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА И КИНЕТИКА" г. Великий Новгород, 27-31 мая 2013 г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 26 печатных работ, из них 2 работы в рецензируемых журналах из перечня ВАК и 2 работы находятся в печати, 7 статей и 17 тезисов в рецензируемых трудах международных и российских конференций и симпозиумов.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Васильев, Дмитрий Альбертович

Выводы

1. Созданы компьютерные программы для расчета равновесных состояний изоморфных и неизоморфных фаз, нонвариантных равновесий и температур» геззых зависимостей термодинамических свойств бинарных сплавов на основе феноменологических и физических моделей фаз для бинарных систем.

2. Усовершенствована методика решения обратной задачи тто согласованному описанию термодинамических свойств и фазовых равновесий сплавов путем использования условной минимизации функции цели, учитывающей топологию фазовой диаграммы с учетом регулировки шага.

3. Разработана методика расчета нонвариантных равновесий с использованием взаимосвязи трех типов диаграмм (в координатах температур» а — состав сплава, производная от потенциала Гиббса по составу - состав сплава, химический потенциал двухфазных равновесных состояний - температура) - она применена для построения оптимизированной диаграммы состояния систет^Еы ТЛ-Ъх и расчетов термодинамических свойств сплавов этой системы, находящимися в различных фазовых состояниях.

4. Осуществлена аппроксимация собранных экспериментальных физиче;ских свойств сплавов: температуры Дебая, магнитных, коэффициента электронной теплоемкости, модулей упругости, КТР - для расчетов в рамках физико-эмпирической модели различных вкладов (конфигурационный, колебательный, магнитный, термический вклад электронной подсистемы, энергии упругих искажений кристаллической решетки в приближении трех координационззых сфер) в энергию смешения Гиббса в зависимости от состава и температуры для ОЦК - фазы системы Бе-Сг.

5. Разработана и применена методика расчета ОЦК растворов сплавов системы Бе-Сг на основе физико-эмпирической модели и с использованием результатов квантово-механических расчетов энтальпии смешения при 01С <31ДК - фазы в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными.

Благодарности

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность своему научному руководителю профессору, д.ф.-м.н. Удовскому А. Л., за идею и многочисленные консультации.

Список работ опубликованных по теме диссертации

1. Васильев Д.А. Взаимосогласованность между тремя типами диаграмм для расчета термодинамических свойств сплавов системы U-Zr. Интерконтакт. Наука. Перспективные материалы. Специальный выпуск, ноябрь 2007г. С-224.

2. Удовский A.JL, Васильев Д.А. Согласованное описание фазовых диаграмм в координатах ц-Т, ji-x, Т-х для оптимизированных расчетов термодинамических свойств бинарных систем. Применение к системе U-Zr. Вестник НовГу, г. Великий Новгород, 2012г. №68, с. 112-116.

3. Удовский A.JL, Васильев Д.А. Применение физических моделей для компьютерного моделирования термодинамических свойств и фазовых равновесий ОЦК растворов системы Fe-Cr. Вестник НовГу, г. Великий Новгород, (прошла рецензирование)

4. Удовский A.JL, Васильев Д.А. Применение физико-эмпирической моделей для расчета термодинамических свойств и фазовых границ ОЦК - сплавов системы Fe-Cr. Материаловедение. Наука и технологии. Москва, (прошла рецензирование)

5. Удовский A.JL, Васильев Д.А. Компьютерное моделирование фрагментов фазовой диаграммы и термодинамических свойств системы уран- цирконий. // Материалы научно- практической конференции материаловедческих обществ России., г. Звенигород. 2002г., с. 99-101.

6. Udovsky A.L., Oonk Н, Jacobs М, Vasilyev D.A. Thermodynamic Assessment of the Phase Diagram of the U-Zr system.// Program& Abstracts of International Conference CALPHAD XXXII, La Malbaie, Ouebec, Canada, May 25-30, 2003.

7. Удовский A.JI., Васильев Д.А. Компьютерное моделирование фрагментов фазовой диаграммы и термодинамических свойств системы уран-цирконий. // Научная сессия МИФИ-2003. М: МИФИ, http://library.mephi.ru/data/scientific-sessions/2003/9/183.html

8. Udovsky A.L., Oonk Н, Vasilyev D.A. Thermodynamic assessments of stabilities parameters for meta- stable co-phases of Zr and U and phase diagram of th4e U-Zr system, in-cluding 5-UZr2-phase. // CALPHAD XXXIV, May 22-27, 2005 Maastricht, The Netherlands. Programme and Abstracts. Universiteit. p.77.

9. Udovsky A.L., Oonk H, Vasilyev D.A. The assessment of stabilities parameters for metastable phases of the U and Zr and phase diagram of the U-Zr system. // CALPHAD XXXV Conference. May 7-12, 2006. Haifa, Israel, p.27.

10.Udovsky A.L., Oonk H, Vasilyev D.A. The Assessment of Phase Diagram of the U-Zr system.// Plutonium Futures. The Science 2006. A Topical Conference on Plutonium and Actinides. Asilomar, Pacific Grove, California. July 9-13, 2006. p.80.

11.Udovsky A.L., Vasilyev D.A. Interconsistency between three types of diagrams for calculation of optimaized thermodynamic properties of alloys of the U-Zr system.// Proceedings. JETC-IX, Conference, 12-15 June 2007, Saint-Etienne, France. P. 199.

12.Удовский A.JI., Васильев Д.А. Оптимизационный расчет фазовой диаграммы и термодинамических свойств системы U-Zr.// VII Международный семинар "Фундаментальные свойства плутония", НИИЭФ РФЯЦ, Саров, Россия, 25-29 июня 2007 г. С.205-206.

13. Udovsky A.L., Vasilyev D.A. Development of Calculated Method of Nonvariant Equilibriums in Binary Systems on Basis of Correlations Between Three Types of Diagrams and its Application to U-Zr System. // Abstracts. XVI International Conference on chemical thermodynamics in Russia (RCCT 2007), July 1-6, 2007, Suzdal. P-237.

14. Udovsky A.L., Vasilyev D.A. The Application Ab-INITIO Results and Physico-empirical models for calculation of thermodynamic properties of BCC-solutions of the Fe-Cr system. // The Discussion Meeting on Thermodynamics of Alloys (TOFA 2008). Krakow, Poland, 22-27 June 2008 r. p.56.

15. Udovsky A. L., Kuznetsov V.N., Vasilyev D.A. The application of physical-empirical models for analysis of physical and thermodynamic properties of BCC -alloys of the Fe-Cr system.// 16th International Conference on Solid Compounds of Transition Elements (SCTE 2008), 26-31 July 2008, Dresden, Germany. Max-PlanckInstitute. p. 144.

16. Удовский A.JI., Васильев Д.А. Расчет термодинамических функций ОЦК-растворов в системе Fe-Cr. // Труды IX Российского семинар. Компьютерное моделирование физико-химических свойств стекол и расплавов, г. Курган, 14-17 октября 2008г. С. 27-29.

17. Удовский A.JI., Васильев Д.А. Расчет термодинамических функций ОЦК-растворов и фрагмента диаграммы состояния системы Fe-Cr на основе физико-эмпирической модели. // Научная сессия МИФИ, Москва, 2009.

18. Udovsky A.L., Vasilyev D.A. Calculations and analysis of thermodynamics functions of BCC- alloys of the Fe-Cr system by physical-empirical mode.// JETC 10, Copenhagen 22-24 June 2009. p. 226-229, On-line: http://www.ietc 10.fvs.ku.dk

19. Удовский A.JI., Васильев Д.А. Вывод энергии смешения для 3-х подрешетчатой модели в приближении взаимодействия атомов в первых 2-х координационных сферах для бинарных систем. // Труды X Российского семинар. Компьютерное моделирование физико-химических свойств стекол и расплавов, г. Курган, 12-15 октября 2010 года. С.26-28.

20. Удовский A.JL, Васильев Д.А. К вопросу разработки метода расчета энергии образования сплавов на основе трех-подрешетчатой модели в применении к системе Fe-Cr.//XIII Российская конференция МиШР-13. Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов, г. Екатеринбург, 12 - 16 сентября 2011г., с.73-76.

21. Удовский A.JL, Купавцев М.В., Васильев Д.А. Применение трех-подрешеточной модели в приближении 3-х координационных сфер для расчета концентрационных зависимостей распределения атомов для ОЦК растворов системы Fe-Cr.// 3-я международная конференция HighMatTech. Украина, г. Киев. 3-7 октября 2011 года.

22. Удовский A.JL, Купавцев М.В., Васильев Д.А. Метод решения системы уравнений состояния в рамках трех-подрешетчатой модели в приближении 3-х координационных сфер для ферромагнитных ОЦК растворов системы Fe-Cr.// Четвертая международная конференция «Деформация и разрушение материалов и наноматериалов» DFMN-2011. ИМЕТ, г. Москва. 25-28 октября 2011г. с.967.

23. Удовский A.JL, Купавцев М.В., Васильев Д.А. Моделирование ближнего порядка в рамках трех-подрешеточной модели в приближении 3-х координационных сфер для оцк-фазы системы Fe-Cr.// Третья Всероссийская молодежная конференция с элементами научной школы «Функциональные наноматериалы и высокочистые вещества». ИМЕТ, Москва, 29 мая- 1 июня 2012г. on-line access: http://fimc.imetran.ru/files/abstracts 2012.pdf, стр. 578-579.

24. Удовский A.JL, Купавцев М.В., Васильев Д.А. Расчет ближнего порядка и статическихв смещений атомов рамках трех-подрешеточной модели в приближении 3-х координационных сфер для оцк-фазы системы Fe-Cr.//

Международная научная конференция «Механические свойства современных конструкционных материалов», научные чтения, приуроченные к 115-летию члена-корреспондента И.А. Одинга», ИМЕТ, Москва, 10-12 сентябрь, 2012г. с.250-252.

25. Удовский A.JL, Купавцев М.В., Васильев Д.А. Моделирование концентрационных зависимостей параметров ближнего порядка в первых трех координационных сферах в оцк- растворах системы Fe-Cr для основного состояния.// Химическая термодинамика и кинетика 12 - 14 сентября 2012, г. Донецк, Украина.

26. Удовский A.JL, Купавцев М.В., Васильев Д.А. Инверсия концентрационной зависимости параметров ближнего порядка ОЦК - растворов системы Fe-Cr: теория и моделирование.// 11-ый Российский семинар «Компьютерное моделирование физико-химических свойств стекол и расплавов» 16-19 октябрь 2012г. г. Курган, Россия. С. 9-12.

27. Удовский A.JL, Васильев Д.А., Применение физических моделей для компьютерного моделирования термодинамических свойств и фазовых равновесий ОЦК растворов системы Fe-Cr.// Сборник докладов. Третья Международная научная конференция "Химическая термодинамика и кинетика" г. Великий Новгород, 27-31 мая 2013 г., с. 182-185.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильев, Дмитрий Альбертович, 2013 год

Список литературы

1. Hofman G.L, Walters L.C. Metallic fast reactor fuels, [book auth.] Hassen P., Kramer E.J. Cahn R.W. Materials Science and Technology: A Comprehensive Treatment, Vol. 10A, Nuclear Materials, Pt. I. s.l.: Wiley-VCH, 1994, p. 3.

2. IAEA-TECDOC-1374. Development status of metallic, dispersion and non-oxide advanced and alternative fuels for power and research reactors. International Atomic Energy Agency (IAEA). [Online] 2003. http://www-pub.iaea.org/MTCD/publications/PDF/te_1374_web.pdf

3. Lagerberg G. Phase transformations in a uranium-zirconium alloy containing 2 weight per cent zirconium. Journal of Nuclear Materials - J NUCL MATER, vol. 9.1963, pp. 261-276.

4. Walters L.C. J. Nucl. Mater. 270.1999, pp. 39-48.

5. Kim Y.S., Hofman G.L., Hayes S.L., Yacout A.M., J. Modeling of constituent redistribution in U-Pu-Zr metallic fuel. J. Nucl. Mater. 359. 2006, p. 17-28.

6. Dudarev S.L. et al. The EU programme for modelling radiation effects in fusion reactor materials: An overview of recent advances and future goals J. Nucl. Mater. 386-388. 2009, pp. 1-7.

7. Jameson R.A., Ferdinand R., Klein H., Rathke J., Sredniawski J., Sugimoto M., J. Nucl. Mater. 329-333. 2004, p. 193.

8. Jung P., Henry J., Chen J., Brächet J.-C., J. Nucl. Mater. 318. 2003, p. 241.

9. Henry J., Mathon M.-H., Jung P. J. Nucl. Mater. 318. 2003, p. 249.

10. Mathon M.H., Carlan Y., Geoffroy G., Averty X., Alamo A., Novion C.H. J. Nucl. Mater. 312. 2003, p. 236.

11. Thermo-Calc. Thermo-Calc Software. Thermo-Calc Software. [Online] www.thermocalc.com.

12. Screinemakers F. A. H. Die geterogenen gleigewichte von Standpunkte der Phasenlehre. Dritten Heft. Dieternaren gleigewichte Erster Teil. Systeme mit nur einer Flüssigkeit ohne mischkristalle und ohne damp//Ed. Roosemeboom H. W. Braungin eig Druck und Verlag von Friedr., Vieweg and Sohn, 1911.

13. Hardy H. K. Acta. Metall., 1, 202,1953.

14. Guggenheim E.A: AIME, 239,1976, p. 90.

15. Liupis H. K., Elliot J.F.: Acta. Metall.,15, 1967, 265.

16. Tanaka Т., Gokcen N. A., Kumar K.H.C., Нага S., Morita I.: Z. Metallkde, 87, 1996, 779.

17. Удовский А. Л., Гайдуков А. М., Родионова Е. К., Карпушкин В. Н. Применение прогарам расчета равновесий в двойных системах между фазами переменного состава и фазы переменного состава с фазой постоянного состава для расчета диаграммы состояния системы Al-Si// V Всесоюзная Школа «Применение математических методов для описания и изучения физико-химических равновесий»: Расширенные тезисы докладов Ч. II. Новосибирск: ИНХ СО АН СССР, 1985. С. 172.

31. Удовский А.Л. Трехподрешеточная модель, учитывающая анизотропию спиновой плотности, ближний порядок и размерный фактор для двойных систем Fe-Cr(V, Mo)// Металлы №5, 2011. с. 121-143.

32. Кауфман Л., Бернстейн X. Расчет диаграмм сотояния с помощью ЭВМ. М.: Мир, 1972.

33. Удовский А.Л., Гайдуков A.M., Олдаковская О.О. «Метод термодинамического расчета равновесий между фазами переменного состава на изотермических сечениях Т-х диаграмм состояний закрытых трехкомпонентных систем и его реализация на ЭВМ». В сб.: «Всесоюзное совещание по термодинамике металлических сплавов». Москва 1985.

34. Гиббс Дж. В. О равновесии гетерогенных веществ // Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука, 1982.

35. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964.

36. Удовский А. Л. Термодинамические расчеты диаграмм состояния металлических систем. // Диаграммы состояния в материаловедении. Киев: ИПМ АН УССР, 1979. С. 36.

37. Гайдуков А. М., Удовский А. Л. Иванов О. С. Векторная форма условий фазового равновесия и вариационное соотношение для канод Т-Р-х диаграммы состояния п-компонентной системы//ДАН СССР. 1975. Т. 225. № 5. С. 1093.

38. Удовский А. Л. Физические основы компьютерного проектирования материалов. Учебное пособие. Великий Новгород. 2005.

39. Vasilyev D. A., Udovsky A.L. The Joint European Thermodynamics Conference (JETC 10). Copenhagen, 22-24 Июня, 2009 года. On-line access: http://www.jetclO.fys.ku.dk/sites/default/files/Abstract_Vasilyev_D_O.pdf.

40. Vasilyev D. A., Udovsky A.L. Interconsistency between three types of diagrams for calculation of optimized thermodynamic properties of alloys of the U-Zr system.// Proceedings of JETC-IX Conference, June 12-15, Saint-Etienne, France, 2007. P. 199203.

41. Udovsky A.L., Ivanov O.S. Computer calculation of phase-equilibrium curves of solid solutions in uranium binary systems // Journal of Nucl. Mater., 1974. v.49.

p.309-321.

42. Удовский А. Л., Васильев Д. А. К вопросу разработки метода расчета энергии образования сплавов на основе трех-подрешеточной модели в применении к системе Fe-Cr. Труды XIII Российской конференции «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов». Т1. г. Екатеринбург, 12 -16 сентября 2011г.

43. Курош А. Г, Курс высшей алгебры, издание девятое, «Наука» Москва, 1968г.

44. Landa A., Soderlind P., Turchi Е.А. Density-functionsl study of the U-Zr system//J. of Alloys and Сотр., 2009. V. 478. P.103-110.

45. Kurata, M.; Ogata, Т.; Nakamura, K.; Ogawa, T. Thermodynamic assessment of the Fe-U, U-Zr and Fe-U-Zr systems. Journal of Alloys and Compounds vol. 271-273 June 12,1998. p. 636-640.

46. Dinsdale A.T. SGTE Data for Pure Elements//CALPHAD. 1991. V. 15. № 4. 317425.

47. Sluter M.H.F. Ab initio lattice stabilities of some elemental complex structures //CALPHAD. 2006. V.30. P. 357-366.

48. Freyss M., Petit Th., Crocombette J-P. Point defects in uranium dioxide: Ab initio pseudopotential approach in the generalized gradient approximation // Journal of Nucl. Materials. 2005. V.347. P.44-51.

49. Удовский А.Л. Моделирование на ЭВМ фазовых диаграмм, термодинамических свойств и структуры многокомпонентных систем. //Металлы №2 1990г., стр. 136-157.

50. Udovsky A.L. The Analytical and Computational Thermodynamics of Closed Binary Systems //Solid State Phenomena. 2008. v.138. p. 241-282.

51. Sheldon R.I., Peterson D.E. The U-Zr (Uranium-Zirconium) System. //Los Alamos National Laboratory. Bulletin of Alloys Phase Diagrams, v. 10. 1989. N2 2. p. 165-181.

52. Удовский А .Л. Температурные зависимости термодинамических свойств многофазных сплавов // Изв. АН СССР. Металлы. 1991. № 4. С. 34.

53. Takahashi Y., Yamamoto К., Ohsato Т., Shimada Н., Terai Т. Heat capacities of uranium - zirconium alloys from 300 to HOOK //Journal of Nuclear Materials, 1989. v.167. p.147-151.

54. P.-Y.Chevalier, E.Fisher, B.Cheynet. Progress in the Thermodynamic modeling of the O-U-Zr ternary system. CALPHAD, 2004, v. 28, p.15-40.

55. B-H.Lee et all. J.Nucl. Materials. 2007, v.360, p.315-320.

56. Y.Takahashi, K.Yamamoto, T.Ohsato, H.Shimada, T. Terai. J.Nuclear Materials, 1989, v.167, p.147-151.

57. Дубинов A.E., Дубинова A.A. Точные безынтегральные выражения для интегральных функций Дебая //Письма в ЖТФ, 2008, т.34, вып.23, с.9-14.

58. Udovsky A.L., Ivanov O.S. Experimental determination and calculation of excess thermodynamic functions of molybdenum solid solutions in gamma-uranium. //Jornal of Nucl. Mater. 1973. 46. p.192-206.

59. Inden G. Approximate description of the configurational specific heat during a magnetic order-disorder transformation. //Proc. CALPHAD Conf. Dusseldorf, 1976, III, 4-1.

60. Hillert M., Jarl M. A model for alloying effects in ferromagnetic metals //CALPHAD 2. 1978. p.227- 238.

61. Lin J.C., Chuang Y.Y., Hsien K.C., Chang Y.A. A Thermodynamic Description and Phase Relationships of the Fe-Cr System: Part II. The Liquid Phase and the FCC Phase. //CALPHAD 11. 1987. p.73-81.

62. Andersson J.O., Sundman B. Thermodynamic. Properties of the Cr-Fe System //CALPHAD 11. 1987. p.83-92.

63. Hertzman S., Sundman B. A thermodynamic analysis of the Fe-Cr system. //CALPHAD 6. 1982. p.67-80.

64. Costa B. F. O., Cieslak J., Dubiel S. M. Anomalous behavior of the Debye temperature in Fe-rich Fe-Cr alloys. //Cornell University Library, available on-line: http://arxiv.org/abs/0810.0123vl (Submitted on 1 Oct 2008).

65. Cheng C.H., Wei C.T., Beck P.A. Low-Temperature Specific Heat of Body-Centered Cubic Alloys of 3d Transition Elements. //Phys. Rev. 1960. V. 120, No. 2. P. 426-436.

66. Schroeder K. Specific Heat of Cr-Fe Alloys from -140° to 350°C. //Phys. Rev. 1962. V. 125, No. 4. 1209-1212.

67. Landau L.D., Lifshitz E.M. Statistical Physics: Course of Theoretical Physics. V.5, 3 edition, translated from the Russian by Sykes J.B. and Kearsley M.J., Oxford, Elsevier, 2011.

68. Olsson P., Abrikosov I.A., Vitos L., Wallenius J. Ab initio formation energies of Fe-Cr alloys//J.Nuclear Materials. 2003. V. 321. p.84-90.

69. Wallenius J., Olsson P., Lagerstedt C., Sanberg N., Chakarova R., Pontikis V. Modelling of Cr precipitation in Fe-Cr alloys //Phys. Rev. B. 2004. 69. 094103. p.1-9.

70. Кубашевский О., Олкокк А. Металлургическая термохимия. М. Металлургия. 1982, с. 392.

71. Kuwano, Н. Imamasu, Н. Determination of the chromium concentration of phase decomposition products in an aged duplex stainless steel //Hyperfine Interact (2006) 168:1009-1015. Volume 168, Numbers 1-3,1009-1015, DOI: 10.1007/sl0751-006-9387-1.

72. Miettinen J. Thermodynamic reassessment the iron-rich corner. // CALPHAD, 1999. V.23. №2. p. 231.

73. G. Bonny, D. Terentyev, L. Malerba, D. Van Neck. Early stages of alpha-alpha-prim- phase separation in Fe-Cr alloys: An atomistic study //PHYSICAL REVIEW В 79, 104207, 2009.

74. A. Caro. The Computational Modeling of Alloys:From ab initio and thermodynamics to heterogeneous precipitation. // Materials for Generation IV Rectors. NATO Advanced Study Institute Cargese, France, France September 24, 2007 through October 6, 2007. Available on-line: https://e-reports-ext.llnl.gov/pdf/353526.pdf.

75. G. Bonny et al. Numerical prediction of thermodynamic properties of iron-chromium alloys using semi-empirical cohesive models: The state of the art. // J. Nucl. Mater. (2009), doi:10.1016/j.jnucmat.2008.12.001.

76. W. Xiong, P. Hedstrom, M. Selleby, J. Odqvist, M. Thuvander, Q. Chen. An improved thermodynamic modeling of the Fe-Cr system down to zero Kelvin coupled with key experiments. CALPHAD 35 (2011) p. 355-366.

77. Мирзоев A.A., Ялалов M.M., Мирзаев Д.А. Расчет энергии смешения сплавов Fe-Cr первопринципными методами компьютерного моделирования //ФММ, 2003, т. 97, с.336-343.

78. Дутчак Я. И., Чех В.Г. Рентгеновское исследование динамических характеристик атомов, влияющих на прочностные свойства твердых растворов. //ФХММ, 1982, №5, с.116-119.

79. Бабюк Т.И., Кушта Г.П., Чорней С.А. Температурная и концентрационная зависимости периодов решетки неупорядоченных твердых растворов железо-хром. //ФММ, 1973, т. 35, № 4, с. 851-853.

80. Удовский А.Л. Гл. 15.ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ. Том 4. Физические основы прочности. Радиационная физика твердого тела. Компьютерное моделирование. Учебник "Физическое материаловедение". Москва. МИФИ, 2008.

81. Becket F.M. On allotropy of stainless steels, Trans. Am. Inst. Min. Metall. Pet. Eng. 131,1938, p. 15-36.

82. Kubaschewski O., in: Thermodynamics of Nuclear Materials, IAEA, Vienna, 1962, p. 219.

83. Rand M.H., Kubaschewski O., The Thermochemical Properties of Uranium Compounds, Oliver and Boyd, Edinburgh, 1963.

84. Leibowitz L., Blomquist R.A., Pelton A.D. J. Nucl. Mater. 167,1989, p.76.

85. Ogawa Т., Iwai T. J. Less-Common Met. 170,1991, p.101.

86. Kikuchi R. Physical Revie, 81,1951, p. 988-1003.

87. Binder K., Heerman Q.W. Monte Carlo Simulation in Statistical Physics, Springer Series in Solid-State Sciences (Springer-Verlag, Germany 1988) p.80.

88. Saunders N., Miodownik A.P. CALPHAD (Calculation of Phase Diagrams): A Comprehensive Guide (Elsevier, Oxford 1998).

89. Boer F.R., Boom R., Mattens W.C.M., Miedema A.R., Niessen A.K. Cohesion in metals, Transition Metals Alloys (North-Holland, Amsterdam 1988).

90. Ghosh G., Kanter С, Olson G.B. Thermodynamic modeling of the Pd-X (=Ag, Co, Ni) systems, J. Phase Equil. 20, (1999), 295-308.

91. Inden G., Schon C.G. Thermodynamic self- consistency issues related to the Cluster Variation Method: The case of the BCC Cr-Fe (Chromium - Iron) system. Computer Coupling of Phase Diagram and Thermochemistry. 23 (2008) 661-668.

92. Kikuchi R., Masuda-Jindo K. Cluster Variation Method in materials Science, CALPHAD, 26, 2002, pp.-33-54.

93. Mirebeau I., Hennion M., Parette G., First measurement of short-range-order inversion as a function of concentration in a transition alloy, Phys. Rev. Lett., 1984, v.53, N 7, p.687.-690.

94. Mirebeau I., Parette G., Neutron study of the short range order inversion in Fe(l-x)Cr(x), Physical Review B, 82 (2010).

95. Rodriguez С et al. Constraint dependence of the fracture toughness of reduced activation ferritic-martensitic Eurofer steel plates. Engng Fract Mech (2012), http://dx.doi.Org/10.1016/j.engfracmech.2012.05.003

96. Ogava Т., Akabori M., Itoh A., Ogava T. J. Nucl. Mater. 232,1996, p. 125-130.

97. Wills J. M., Andersson P., Eriksson O., Alouani M., Delin A., Grechnyev O. Full-Potential Electronic Structure Method: Energy and Force Calculations with Density Functional and Dynamical Mean Field Theory. Springer Series in solid-state sciences. Springer, Berlin, 2010.

98. Connolly J. W. D., Williams A.R. Density-functional theory applied to phase transformations in transition- metal alloys. Phys. Rev. B. 27 (1983), 5169-5172.

99. Kohn W., Sham L.J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects. Phys. Rev. 140, (1965), A1133-1138.

100. Blaha P., Schwarz К., Madsen G.K.H., Kvasnicka D., Luiz J. WIEN2k, An Augmented Plane Wave and Orbitals Program for Calculating Crystal Properties. (Karlheinz Schwarz, Tech. Universität Wien), Vienna 2001.

101. Murnaghan F.D. The compressibility of media under extreme pressure. Proc. Nat. Acad. Sei. USA 30. (1944) 244-247.

102. Новикова С. И., Тепловое расширение твердых тел. Академия наук СССР, ИМЕТ, Наука, Москва, 1974.