Разработка методики построения многомасштабных моделей поверхности малых небесных тел и спутников планет тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.34, кандидат наук Прутов, Игорь Сергеевич

• Прутов, Игорь Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Прутов, Игорь Сергеевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Анализ методик моделирования поверхности малых небесных тел и спутников планет Солнечной системы

1.1 Методики построения опорных сетей небесных тел

1.2 Методики моделирования фигуры небесного тела

1.2.1 Методика, основанная на представлении небесного тела простейшими геометрическими телами

1.2.2 Методика, основанная на сеточных аппроксимационных моделях поверхности небесного тела

1.2.3 Методика, основанная на разложении функции заданной на поверхности тела в ряд по сферическим гармоникам

Постановка цели и задач

Глава 2. Методика построения многомасштабных моделей поверхности малых небесных тел и спутников планет Солнечной системы на основе кратномасштабного вейвлет-анализа

2.1 Основы вейвлет-анализа и алгоритмы вейвлет-преобразования

2.2 Методика кратномасштабного моделирования поверхности небесных тел, основанная на использовании вейвлетов второго поколения

2.3 Методика кратномасштабного моделирования поверхности небесных тел, основанная на использовании мультивейвлетов Альперта

Глава 3. Разработка рабочих многомасштабных моделей поверхности Фобоса и Деймоса

3.1 Общие сведения о спутниках Марса

3.2 Моделирование фигуры Фобоса на основе методики разложения функции заданной на поверхности тела в ряд по сферическим гармоникам

3.3 Моделирование фигуры Фобоса на основе разработанной методики

3.4 Моделирование фигуры Деймоса на основе разработанной методики

Глава 4. Разработка рабочих моделей полей притяжения Фобоса и Деймоса, основанных на многомасштабном моделировании их поверхности

4.1 Особенности применения методики построения многомасштабных моделей на основе вейвлет-анализа при моделировании гравитационного поля

4.2 Рабочая модель гравитационного поля Фобоса

4.3 Рабочая модель гравитационного поля Деймоса

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Средние значения невязок в контрольных точках сферической гармонической модели поверхности Фобоса, разработанной автором

Приложение 2. Изображения моделей поверхности Фобоса и Деймоса, построенных на основе мультивейвлетов Альперта, в ортографической проекции

Приложение 3. Изображения моделей полей притяжения на поверхности Фобоса и Деймоса, построенных на основе мультивейвлетов Альперта

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методики построения многомасштабных моделей поверхности малых небесных тел и спутников планет»

Введение

В последние годы значительно вырос интерес к малым телам Солнечной системы, таким как астероиды и кометы, а также к малым спутникам планет, имеющим сильно нерегулярную фигуру, таким как Фобос или Деймос. Достаточно вспомнить близкие подлеты космических аппаратов «Gallileo» к астероидам Гаспра (1991 г.) и Ида (1993 г.) (в результате которого был обнаружен спутник Иды — Дактиль), «NEAR Shoemaker» к астероидам Матильда (1996 г.) и Эрос (2000-2001 гг.) или «Deep Space 1» к астероиду Брайль (1999 г.), а также автоматическую межпланетную станцию «Фобос Грунт», целью которой должно было стать исследование спутника Марса Фобоса.

Согласно Резолюции В5, принятой международным астрономическим союзом в 2006, было принято следующее определение космических тел Солнечной системы:

планета — небесное тело, которое:

- обращается по орбите вокруг Солнца (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун);

- доминирует на своей орбите (может освободить пространство от других объектов);

- имеет достаточную массу для того, чтобы под действием сил гравитации поддерживать гидростатическое равновесие и иметь близкую к округлой форму;

карликовая планета — небесное тело, которое:

- обращается по орбите вокруг Солнца;

- имеет достаточную массу для того, чтобы под действием сил гравитации поддерживать гидростатическое равновесие и иметь близкую к округлой форму;

- не является спутником планеты;

- не доминирует на своей орбите (не может освободить пространство от других объектов);

все остальные объекты, кроме спутников, обращающиеся по орбите вокруг Солнца принято считать малыми телами Солнечной системы [59].

Некоторые малые небесные тела, в частности астероиды или кометы могут представлять опасность для Земли. Столкновение с нашей планетой может вызвать различные катаклизмы и большие разрушения. Более точные расчеты траектории движения, и её изменения позволят более точно предсказать поведение небесного тела вблизи нашей планеты. При подготовке и планировании миссий к малым телам Солнечной системы также необходимо иметь представление о траектории движения и физических параметрах небесного тела, таких как параметры гравитационного поля. При моделировании гравитационных полей малых небесных тел существует ряд особенностей. Перечислим наиболее важные из них:

- высокие требования к вычислительным ресурсам, необходимым для моделирования гравитационного поля небесного тела по мере сближения с ним, в особенности в условиях слабой изученности фигуры, строения и гравитационного поля исследуемого небесного тела;

- необходимость быстрой оценки гравитационных сил в любой точке на поверхности и над поверхностью небесного тела, в том числе построения локальных моделей, адекватно отражающих существующие возмущения в гравитационном поле малых небесных тел.

Хотя во многих случаях имеется мало информации о гравитационном поле малого небесного тела до сближения с ним, существуют методы построения первичных аппроксимационных моделей гравитационных полей подобных тел. Исходными данными для такого рода аппроксимаций служат оценки общей массы и гравитационных параметров малых небесных тел, полученные в результате наблюдения за взаимодействием исследуемого

небесного тела с другими телами. При этом модели фигуры малого небесного тела могут быть построены по данным радарных измерений, а также данным предшествующих миссий [80-81]. Как правило, моделей фигуры, построенных таким образом, бывает достаточно на первых этапах миссии к малоизученному небесному телу. Однако по мере приближения космического аппарата к исследуемому телу появляется возможность получения новых данных о фигуре исследуемого небесного тела, а, следовательно, и уточнения первичных моделей фигуры и полей притяжения в сторону повышения их точности и детальности.

Один из наиболее простых подходов — построение и последовательное уточнение сферической гармонической модели поверхности и поля притяжения небесного тела на заранее определенных расстояниях от тела. Данный подход нашел широкое применение при построении моделей полей притяжения крупных сфероидальных небесных тел. Вместе с тем исследования малых тел Солнечной системы показало, что фигуры многих астероидов и малых спутников планет значительно лучше моделируются эллипсоидом вращения, чем сферой. По этой причине использование эллипсоидальной гармонической модели во многих случаях оказывается более предпочтительным при моделировании фигуры подобного рода тел. Однако, к сожалению, не все малые небесные тела имеют ярко выраженную эллипсоидальную фигуру. Для подобных тел вопрос выбора между сферической и эллипсоидальной гармонической моделью по-прежнему остается открытым. В независимости от того сферические или сфероидальные функции выбираются для разложения потенциала притяжения в ряд строящиеся с помощью данных функций модели фигуры обладают рядом общих недостатков.

Решение задач расчета параметров движения, объема, моментов инерции, поля притяжения и выбора посадочной площадки требует построения моделей поверхности небесных тел, корректно отражающих особенности рельефа. Зачастую данных об объектах исследования очень

часто бывают недостаточно для создания моделей подобного рода с приемлемой точностью. Одним из путей решения данной проблемы является разработка методики построения моделей поверхности небесных тел с разной степенью ее детализации - многомасштабных моделей. При этом особый интерес представляют методики, позволяющие проводить не только моделирование фигуры всего небесного тела, но и отдельных участков ее поверхности.

Так как интерес к научным знаниям о малых небесных телах и спутниках Солнечной системы продолжает расти, то разработка более совершенных методик, позволяющих математически описывать исследуемые небесные тела, проводить расчеты, основанные на моделях их поверхности, является актуальной задачей. Эта задача также является востребованной в ряде космических программ, целью которых являются близкие подлеты к небесным телам и посадка на них.

Структура диссертационной работы выглядит следующим образом.

В первой главе проводится обзор и сравнительный анализ существующих методик моделирования поверхности малых небесных тел и спутников планет Солнечной системы. Рассматриваются достоинства и недостатки следующих методик: методик, основанных на моделировании поверхности простыми геометрическими фигурами; методик, основанных на сеточной аппроксимации исходного набора контрольных точек; методик, основанных на разложении функции заданной на поверхности тела в ряд по сферическим гармоникам.

Во второй главе работы дается общее представление о кратномасштабном вейвлет-анализе и приводится описание разработанных автором методик построения многомасштабных моделей небесных тел:

- методики, основанной на использовании вейвлетов второго поколения;

- методики, основанной на использовании мультивейвлетов Альперта.

В третьей главе показаны результаты применения разработанных методик к построению моделей поверхности спутников Марса - Фобоса и

Деймоса. И наконец, четвертая глава посвящена применению моделей поверхности Фобоса и Деймоса, созданных с помощью разработанных методик, для моделирования полей притяжения данных небесных тел.

Глава 1. Анализ методик моделирования поверхности малых небесных тел и спутников планет Солнечной системы

В последние десятилетия малые небесные тела Солнечной системы являлись целью многих космических миссий. Изображения, полученные в результате этих подлетов показали, что малые тела Солнечной системы имеют форму, сильно отличающуюся от сферической. Например, было установлено, что астероид Эрос хорошо аппроксимируется трехосным эллипсоидом с полуосями равными 17,9 км., 9,2 км. и 7,9 км. [76].

В последние годы в практике космических исследований малых небесных тел все больше находят применение методы лазерной альтиметрии и стереосъемки [6, 69]. Данные методы позволяют создавать каталоги большого числа опорных точек (десятки тысяч и более). Большой объем данных, получаемый посредством данных методик, с одной стороны открывает новые возможности, а с другой стороны, существенно повышает требования к используемым методам моделирования фигур.

Так как исходными данными для моделирования фигуры небесного тела является опорная сеть контрольных точек, рассмотрим способы построения такой сети.

1.1 Методики построения опорных сетей небесных тел

При построении опорных сетей могут быть использованы не только кадровые снимки, но и снимки, полученные любой другой съемочной аппаратурой. В зависимости от типа аппаратуры вектор на поверхности небесного тела г может быть выражен [17]:

- для кадровых съемочных систем через координаты точек снимка и фокусное расстояние;

- для сканерных систем через координаты точек телевизионной панорамы и масштабные коэффициенты;

?

- для радиолокационных систем — через дальность от космического аппарата КА до точки на планете и углы отклонения радиолокационного луча от планетоцентрического радиус-вектора КА. При определении высотных характеристик поверхностей планет одним из основных методов является радио - или лазерное профилирование с КА. Данные профилирования служат основной информацией при изучении количественных характеристик рельефа планет, при определении их геометрических фигур, при построении горизонталей на картах, при введении поправок за рельеф для преобразования космических изображений в заданные картографические проекции. Профилирование с КА позволяет получать в заданные моменты времени дальности от станции до точек на поверхности планеты вдоль трассы полета станции. С использованием элементов орбиты станции и дальностей вычисляют длины планетоцентрических радиус-векторов точек местности и строят профиль рельефа. Дальности г вычисляют по измеренным промежуткам времени от момента посылки сигнала бортовым передатчиком станции до момента его приема после отражения от участка планеты:

г— %С/ 2, (1.1)

где С — скорость распространения электромагнитных волн; т — время запаздывания сигнала [17]. Например, метод лазерной альтиметрии использовался для создания топографических карт Марса. Лазерный альтиметр был установлен на космическом аппарате Mars Observer, запущенном в 1992 году. Эта миссия должна была уточнить результаты изучения топографии Марса с помощью нового научного оборудования, установленного на борту, в том числе многих результатов ожидалось получить от лазерного альтиметра. С помощью этих данных планировалось получить новую топографическую модель Марса для более детального >

изучения различных физических процессов, происходящих с планетой [107]. Однако в 1993 году космический аппарат перестал выходить на связь и все попытки восстановить связь провалились.

Также лазерный альтиметр был установлен на космическом аппарате Mars Global Surveyor (MGS) (рис. 1.1), который был запущен 7 ноября 1996 года и считается одним из самых успешных космических проектов HACA по изучению Марса. Основная задача MGS также заключалась в изучении топографии планеты, что является необходимым для планетарной геологии и геофизики. Второстепенными задачами были определение отражающей способности поверхности при длине волны лазера 1064 нм., для анализа минерального состава планеты и периодических изменений альбедо, а также создания геодезической опорной сети для возможных будущих посадок на поверхность планеты [20]. Руководствуясь формулой (1.1), например, можно рассчитать дальность от MGS до поверхности используя соответствующее т : N

х = у + At0 - At, - xle (0) + xf (0) + т/е (0 - xf (0 - xd (i),

где N — счетчик временного блока (отсчеты); / — частота часов временного блока (Гц); At0 — время чтения начального интерполятора (с); At0 — время чтения конечного интерполятора (с); / = 0 — номер канала начального импульса; / = 1,2,3,4 — номера сработавших каналов приемника; xle(i) — время передового порогового пересечения средний точки импульса (с); xf{í) — задержка распространения сигнала в низкочастотном фильтре (с); xd(i) — задержка приемника по схеме и по кабелю. Данная задержка рассчитывается согласно схеме, приведенной в работе [20].

усиливаются антенна

панель солнечных батарей

магнитометр

надирная панель

электронный отражатель

пердаюидея радиосистема

лазер

электронный блок

лазерный луч

Рис. 1.1. Космический аппарат Mars Global Surveyor и лазерный альтиметр, находящийся на его борту [20]

Опорная сеть контрольных точек может быть построена на основе данных лазерной альтиметрии, но при таких измерениях необходимы близкие подлеты к исследуемым небесным телам. Поэтому наиболее универсальным и распространенным методом построения опорных сетей является фотограмметрическая обработка стереоизображений.

Космическая фотограмметрия — это метод измерения и преобразования космических снимков, интерпретации изображения и определения размеров, формы, взаимных связей и пространственного положения изображенных объектов. С помощью этого метода решаются

астрометрические, картографические, планетологические задачи при изучении и картографировании небесных тел и прикладные задачи космонавтики [17].

Большая высота съемки вызывает уменьшение масштаба снимка. Выбор высоты орбиты осуществляется исходя из задач, которые решаются при съемке, и необходимости получения фотографических снимков определенного масштаба. Особенно высоки требования к геометрическим искажениям, вызываемым дисторсией объектива и другими причинами. Большая скорость носителя вызывает сдвиг изображения в фокальной плоскости объектива, т. е. за время выдержки изображение на снимке будет смазано. Это явление резко снижает качество снимка [16].

Снимки могут быть получены с помощью кадровой съемки или с помощью сканерной съемки.

Под сканированием понимают последовательный просмотр сравнительно большого углового поля обзора малым мгновенным угловым полем. Сканирование при этом может быть осуществлено механическим, оптико-механическим и фотоэлектронным способом.

Электромагнитное излучение, отраженное или испускаемое (собственное) объектами ландшафта, захватывается сканирующим элементом и фокусируется на детекторах, приемниках излучения. Детекторы преобразуют пришедшее на них излучение в электрический сигнал, который пропорционален разности излучений двух соседних элементов ландшафта. Этот сигнал записывается на магнитную ленту, с которой в дальнейшем может быть представлен в различном виде [16].

При обработке материалов космической съемки приходится иметь дело с большими массивами избыточных измерений. При этом методы уравнивания измерений, так же как в небесной механике, фотограмметрии и космической геодезии, основаны на использовании метода наименьших квадратов. Отличительной особенностью применения метода наименьших квадратов при обработке космических снимков, в частности, при построении

опорных сетей на планетах и спутниках, является большое число видов измерений и используемых для них математических моделей [17].

Для определения трех координат точки местности может быть использовано четыре измерения (по две координаты на каждом снимке), поэтому целесообразным является применение метода наименьших квадратов для решения прямой засечки. Решение уравнений, связывающих между собой измеренные координаты точек снимков, элементы внешнего ориентирования и координаты точек местности, позволяет определить координаты точек местности в планетоцентрической системе координат ОХУ2. При этом измеренные координаты точек должны быть приведены к системе координат снимка и исправлены за систематические ошибки, вызванные деформацией изображения, дисторсией объектива и другими факторами.

В общем виде нормальные уравнения для решения прямой засечки записываются следующим образом:

\АТ(ВКВТУ*А\&Х + АТ(ВКВТУХР0=0, (1.2)

где А — матрица частных производных функций по определяемым координатам X , У точки; В — матрица частных производных тех же функций по измеренным на снимке координатам; Дх=(ДХ,ДУ,Д2Г)г — вектор поправок к начальным значениям определяемых пространственных координат X ,У ,2; К — ковариационная матрица измерений; — вектор невязок функций [17].

Для космических снимков, полученных с помощью кадровых систем, в качестве исходных уравнений используют условия коллинеарности, выраженные через линейные и угловые элементы внешнего ориентирования снимков или через оскулирующие элементы орбиты станции, отнесенные к моментам времени получения космических снимков. Если известны в планетоцентрической системе координат ОХУ2 элементы внешнего ориентирования арООрХр^,^,^ первого снимка и а2,со2,х2^2'^2'^2

второго снимка, исходными уравнениями, являются:

г=х + ¡.аАх-х^+иг-ъ + сАг-г,) = 0

, га2(Х-Х3) + Ь2(¥-¥5)+с2(г-г5) = 0?

' * ^х-хл + ыг-ъ+с^г-г,)

где а,,...,с3 — элементы матрицы перехода от системы координат съемочной камеры Бхуг к планетоцентрической системе координат ОХУ2, выраженные через угловые элементы внешнего ориентирования снимка а,со — координаты центров проектирования съемочной камеры в планетоцентрической системе координат ОХУ2 \х,у^ — координаты точки снимка и фокусное расстояние съемочной камеры.

После измерения в системе координат оху координат точки х,, у1 на первом снимке и х', у' на втором снимке может быть сформирован вектор измерений 1 = (х„у, х',у', а,, со,, х,, , , , а2, со2, %2, Х52, У32, г$2 )т с известной ковариационной матрицей К , (обычно диагональной), диагональные элементы которой равны дисперсиям измерений, входящих в вектор г [17].

Таким образом, используя формулу (1.3) можно определять координаты точек поверхности небесного тела в планетоцентрической системе координат по паре перекрывающихся стереоизображений, отображающих данную поверхность. Все необходимые вычисления могут быть выполнены в автоматизированном режиме, например, с помощью программного обеспечения РНОТОМОБ. Наиболее трудоемким этапом обработки стереоизображений при таком подходе является поиск и маркировка опорных точек, на перекрывающихся частях снимков [6].

Изображения и стереоизображения высокого разрешения, полученные в результате кадровой съемки, очень часто используются для создания опорных сетей. Например, для создания опорной сети Марса, а также для создания опорных сетей его спутников. Первые опорные сети были

построены на основе изображений, полученных с космических аппаратов Mariner 6и 7, Viking Orbiter 1 и 2 [106]. В более поздний период эти данные улучшались с помощью других источников.

Одной из самых значимых космических миссий для исследования Марса является «Марс Экспресс». Этот аппарат был запущен в 2003 году для получения большого числа изображений Марса. Аппарат миссии «Марс Экспресс» снабжен стереокамерой высокого разрешения, разработанной для мультиспектрального картографирования Марса [61]. Это устройство состоит из девяти каналов для различных видов съемки (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Конфигурация системы стереокамеры высокого разрешения на борту КА «Марс Экспресс». 9 индивидуальных ГТЗС сенсоров: N0 - надирный канал; Б1, Б2 - стерео каналы 1 и 2; Р1, Р2 - фотометрический сенсор 1 и 2; 1Я - инфракрасный канал; СИ. - зеленый канал; ВЬ - голубой канал; И.Е -красный канал; 8И.С- канал супер разрешения (панхроматический) [61]

Используя стереоизображения, полученные с помощью данного КА, была создана опорная сеть для Фобоса, содержащая свыше 665 точек [105], которая затем была дополнена до более чем ста тысяч контрольных точек [6].

Таким образом, к настоящему времени два основных подхода к созданию опорных сетей на планетах по кадровым космическим снимкам. В способах первого подхода в качестве исходных уравнений служат уравнения фотограмметрии, а баллистическую информацию на моменты времени получения снимков используют в качестве измерений, определяющих систему координат сети. В способах второго подхода совместно с условиями коллинеарности применяют и дифференциальные уравнения движения КА. При использовании результатов измерений дальностей и скоростей КА относительно наземных пунктов в решение включают и дифференциальные уравнения движения и вращения изучаемой планеты и Земли.

При практическом построении опорных сетей на планетах получили распространение только способы первого подхода совместного уравнивания большого блока снимков, а измеренные дальности и скорости КА относительно наземных пунктов используют для уточнения прогноза движения КА и ряда астродинамических постоянных планет [17].

В следующем разделе рассмотрим более подробно методики моделирования поверхности малых небесных тел.

1.2 Методики моделирования фигуры небесного тела

За все время исследования небесных тел было предложено несколько методик моделирования их фигуры. При этом для малых небесных тел наибольшее применение нашли следующие методики:

- методики, основанные на представлении небесного тела простейшими геометрическими телами;

- методики, основанные на сеточных аппроксимационных моделях поверхности небесного тела;

- методики, основанные на разложении функции заданной на

поверхности небесного тела в ряд по сферическим гармоникам.

1.2.1 Методика, основанная на представлении небесного тела простейшими геометрическими телами

Ранние модели малых небесных тел были основаны на представлении их в виде эллипсоидов вращения. Но некоторые объекты сложно представить в виде эллипсоида вращения и в дальнейшем исследователи при изучении объектов обладающих нерегулярной формой стали представлять их в виде трехосного эллипсоида [33, 39]. Такое представление было обосновано недостатком данных, получаемых с космических аппаратов, а также вычислительными возможностями того времени.

При моделировании небесного тела простейшими геометрическими телами можно выделить следующие этапы:

1. По имеющимся данным вычисляют длины полуосей эллипсоида.

2. Координаты на поверхности трехосного эллипсоида задаются по

следующей формуле:

2 2 2

Х У 2 Л /1 ич

— + ТГ + — = 1. (1-4)

abc где а, Ъ, с — полуоси эллипсоида.

С помощью этих моделей могут быть рассчитаны значения объема, ускорения вращения небесного тела, потенциала однородного небесного тела, потенциала центробежных сил, и в сумме значения нормального поля силы тяжести [32, 33] Для примера, на рисунке (1.3) показана модель Фобоса, основанная на трехосном эллипсоиде со следующими длинами полуосей: а = 13500 м, ¿> = 10800 м, с = 9400 м [39].

Данная методика является достаточно простой для реализации и последующих расчетов, но, модель, построенная на основе трехосного эллипсоида, не отражает особенностей рельефа поверхности. Таким образом, вычисления потенциала притяжения и других значений, зависящих от значений высоты в конкретной точке, являются очень приблизительными.

Рис. 1.3. Скорость убегания Фобоса.

Иллюстрация скорости убегания в некоторых точках поверхности

1.2.2 Методика, основанная на сеточных аппроксимационных моделях

поверхности небесного тела

Данная методика относится к алгоритмам численного моделирования. Исходными данными для реализации этого алгоритма является сеть контрольных точек. Используя опорную сеть можно построить аналитическую модель поверхности или численно провести интерполяцию контрольных точек в узлы регулярной сети [90]. Про аналитические модели будет сказано в следующем подразделе.

Можно выделить следующие этапы численного моделирования небесных тел:

1. Построение сети опорных точек поверхности малых небесных тел посредством фотограмметрической обработки стереографических изображений, полученных с космических аппаратов или посредством обработки данных лазерной альтиметрии.

2. Выбор геометрической фигуры наиболее сходной по форме с моделируемым объектом.

3. Аппроксимация исходных контрольных точек в узлы регулярной сети.

На рисунке (1.4) показана численная модель Фобоса, основанная на сеточной аппроксимации. Исходные контрольные точки, полученные при обработке снимков Viking Orbiter, аппроксимируются в узлы регулярной сети [90].

Рис. 1.4. Численная модель Фобоса. Регулярная сеть с шагом 2° содержит, приблизительно, 16471 вершину [90]

Данный метод представляется наиболее предпочтительным при большом числе исходных данных. Однако данный способ моделирования обладает существенным недостатком по сравнению с аналитическими моделями, выражающимся в том, что технология хранения модельных параметров в подобного рода моделях требует большого объема памяти, что оказывается крайне неудобным как при непосредственном использовании модели, так и при ее дальнейшей обработки.

Модель, созданная таким образом, будет адекватно отображать

особенности рельефа в том случае, если плотность распределения контрольных точек будет одинаковой по всей поверхности. На практике это происходит крайне редко из-за недостаточного разрешения снимков, а также из-за того, что космические аппараты не всегда находятся на «хорошей» для съемок орбите [90]. На сегодняшний день эта проблема еще является актуальной, о чем говорится в работе Зубарева А. Э. и др. [6].

1.2.3 Методика, основанная на разложении функции заданной на поверхности тела в ряд по сферическим гармоникам

На сегодняшний день методика разложения функции в ряд по сферическим гармоникам является одним из самых распространенных методик аналитического моделирования при описании различных небесных тел Солнечной системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Прутов, Игорь Сергеевич, 2013 год

Список литературы

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям //М.: Наука. — 1979.

2. Антонов А. А., Тимошкова Е.И., Холшевников К.В. Сравнение разных способов представления потенциала: Сб. Изучение Земли как планеты методами астрономии, геофизики и геодезии. Киев: Наукова думка. 1982. —С. 93-106.

3. Арнольд К. Методы спутниковой геодезии. // М.: Недра. — 1973.

4. Буров М. И., Краснопевцев Б. В., Михайлов А. П. Практикум по фотограмметрии. Учеб. пособие для вузов.— М.: Недра. — 1987. — 302 е., ил.

5. Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. — Спб. — ВУС. — 1999. — С.1-204.

6. Зубарев А. Э., Надеждина И. Е., Конопихин А. А. Проблемы обработки данных дистанционного зондирования для моделирования фигур малых тел Солнечной системы // Современные проблемы дистанционного зондирования земли из космоса. 2012. С. 277-285.

7. Каула У. Спутниковая геодезия. // М.: Мир. — 1970.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров // М.: Наука. — 1974.

9. Малинников В.А., Оберет Ю., Учаев Д.В., Учаев Дм.В., Прутов И.С. Применение мультифрактального подхода для аппроксимации ньютоновского потенциала малых тел Солнечной системы // Изв. вузов. «Геодезия и аэрофотосъемка». — 2011. — №6. — С. 64—68.

10. Огородова Л. В., Шимбирев Б. П., Юзефович А. П. Гравиметрия // М.: Недра, — 1978.

11. Огородова Л. В. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия: Учебник для вузов. // М.: Геодезкартиздат.. — 2006.

12. Огородова Л. В., Надеждина И. Е. Внешний потенциал притяжения однородной модели Фобоса // Изв. ВУЗов. «Геодезия и аэрофотосъемка». 2011. №6. С. 21-23.

13. Отчет о научных исследованиях по теме "Геодезия, картография и исследование планет и спутников" (промежуточный, этап №2) по договору №11 .G34.31.0021 от 30 ноября 2010 г / рук. Оберет Ю., 2011.

14. Итоговый отчет о научных исследованиях по теме "Геодезия, картография и исследование планет и спутников" по договору №11.G34.31.0021 от 30 ноября 2010 г / рук. Оберет Ю., разд. 4, 2012.

15. Прутов И. С., Учаев Д. В., Учаев Дм. В. Анализ алгоритмов аппроксимации гравитационных полей, базирующихся на фрактальном подходе // Приложение к журналу Изв. вузов. «Геодезия и аэрофотосъемка». 2011. №4. С. 73-77.

16. Савиных В. П., Кучко А. С., Стеценко А. Ф. Аэрокосмическая фотосъемка. Учебник. - М.: «Картогеоцентр» — «Геодезиздат». —1997. — 378 е.: ил.

17. Тюфлин Ю. С. Космическая фотограмметрия при изучении планет и спутников.— М.: Недра, 1986.—247 е., ил.

18. Учаев Дм.В., Учаев Д.В., Прутов И.С. Методика построения однородных многомасштабных моделей полей притяжения малых небесных тел // «Прил. к журналу изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка». — 2012. — №6. Вып. 5 — С. 37^43.

19. Учаев Дм. В., Учаев Д. В., Прутов И. С. Многомасштабное представление гравитационных полей малых небесных тел // Изв. ВУЗов. «Геодезия и аэрофотосъемка». 2013. №4. С. 3-8.

20. Abshire J. В., Sun X., Afzal R. S. Mars Orbiter Laser Altimeter: receiver model and performance analysis // Aapplied Optics. — 2000. — Vol. 39. — №15. —P. 2449-2460.

21. Alexa M. Merging polyhedral shapes with scattered features. // The Visual Computer. — 2000. — 16 (1). — P. 26-37.

22. Alpert B. K. Wavelets: a tutorial in theory and applications // ed. C.K. Chui. San Diego, CA, USA: Academic Press Professional, Inc. — 1992. — P. 181— 216.

23. Alpert B. K. A class of bases in L2 for the sparse representations of integral operators // SIAM J. Math. Anal. 1993. №24. C. 246-262.

24. Amenta N., Bern M., Kamvysselis M. A new Voronoi-based surface reconstruction algorithm // Proceedings of the 25th annual conference on Computer graphics and interactive techniques SIGGRAPH '98. New York, NY, USA: ACM, — 1998. — P. 415—421.

25. AndertT. P., Rosenblatt P., Patzold M., HauslerM.. DehantV., Tyler G. L., Marty J. C. Precise mass determination and the nature of Phobos // Geophys. Res. Lett. 2010. №37. P. L09202.

26. Andert T. P., Rosenblatt P., Patzold M., Hausler B. and Tyler G. L. The Internal Structure of Phobos and Hints to Its Origin Derived from Mars Express Radio Science Observations // EPSC-DPS Joint Meeting 2011 Abstracts. 2011. V. 1. P. 210.

27. Antoine J-P., Demanet L., Jacques L. Wavelets on the Sphere: Implementation and Approximations (revised) // Belgium. — Applied and Computational Harmonic Analysis. — 2002. — Vol. 13. — №3. — P. 177-200

28. Balmino G. Gravitational potential harmonics from the shape of an homogeneous body // Celestial Mech Dyn Astr. 1994. №60. P. 331-364.

29. Bauer F., Gutting M. Spherical Fast Multiscale Approximation by Locally Compact Orthogonal Wavelets. // University of Kaiserslautern. — 2009.

30. Boissonnat J. D. Representation objects by triangulating points in 3-D space. // IEEE Silver Springs. CA. 1982. P. 830-832.

31. Boissonnat J. D. Geometric structures for three-dimensional shape representation. // ACM Transactions on Graphics. — 1984. — Vol. 3. — №4. — P. 266-286.

32. BursaM. Long-term variations in Phobos' gravity field// Bulletin of the Astronomical Institutes of Czechoslovakia. 1988. №39. P. 289-295.

33. BursaM., PickM. Normal gravity model of phobos// Studia Geophysica et Geodaetica. 1989. №33. C. 109-116.

34. Chambodut A. et al. Wavelet frames: an alternative to spherical harmonic representation of potential fields // Geophysical Journal International. — 2005. — V. 163. — P. 875-899.

35. Chao B. F., Rubincam D. P. The gravitational field of Phobos // Geophys. Res. Lett. — 1989. —№16. — P. 859-862.

36. Cheng A. F., Barnouin-Jha O. Small-Scale Topography of 433 Eros from Laser Altimetry and Imaging // Icarus. — 2002. — №155. — P. 51-74.

37. Cheng A.F., Barnouin O.S., Ernst C.M., Kahn E.G. Efficient Calculation of Effective Potential and Gravity on Small Bodies // LPI Contributions. — 2012. — №1667. — P. 6447.

38. Colombi A., Hirani A., Villac B. Structure Preserving Approximations of Conservative Forces for Application to Small Body Dynamics // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 2009. — Vol. 32. — №6. — P. 1847-1858.

39. Davis D. R., Housen K. R., Greenberg R. The unusual dynamical environment of Phobos and Deimos. // Icarus. — 1981. — №47, — P. 220-233.

40. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. // Philadelphia, PA. — Society for Industrial and Applied Mathematics. — 1992. — CBMS-NSF Regional Conf. Series in Appl. Math. — Vol. 61.

41. Daubechies I., Guskov I., Sweldens W. Regularity of irregular subdivision // NJ. — Princeton University. — 1998.

42. Dong B., Mao Y., Dinov I., Tu Z., et al. Wavelet-Based Representation of Biological Shapes // Berlin. — Springer-Verlag. — ISVC '09

Proceedings of the 5 th International Symposium on Advances in Visual Computing: Part 1. —2009. — P. 955-964.

43. Driscoll J. R., Healy D. M., Computing Fourier Transforms and Convolutions on the 2-Sphere. // Advances in applied mathematics. — 1994. — P. 202-250.

44. Duxbury T. C. The figure of Phobos // Icarus. 1989. №78. P. 169-180.

45. Duxbury T. C., Callahan J. D. Phobos and Deimos control networks // Icarus. 1989. №77. P. 275-286.

46. Duxbury T. C. An analytic model for the Phobos surface // Planetary and Space Science. 1991. №39. P. 355-376.

47. Eck M., DeRose T., DuchampT. Multiresolution Analysis of Arbitrary Meshes // ACM New York, USA. — Proc. SIGGRAPH '95 Proceedings of the 22nd annual conference on Computer graphics and interactive techniques. — 1995.

— P. 173-182.

48. Floater M. S., Reimers M. Meshless parameterization and surface reconstruction. // Computer Aided Geometric Design. — Vol. 18. — Issue 2. — 2001. —P. 77-92.

49. Floater M. S. Mean value coordinates. // CAGD. — 20(1). — 2003.

— P. 19-27.

50. Freeden W., Schreiner M. Spherical Functions of Mathematical Geosciences. A Scalar, Vectorial, and Tensorial Setup. // Springer. — 2008.

51. Gao Y., Nain D., LeFaucheur X., Tannenbaum A. Spherical Wavelet ITK Filter Manual. 2007.

52. Garmier R., Barriot J.-P. Ellipsoidal Harmonic expansions of the gravitational potential: Theory and application // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. -2001. -Vol. 79. -№4. -P. 235-275.

53. Gotsman C., Gu X. F., Sheffer A. // Fundamentals of spherical parameterization for 3D meshes. ACM Transactions on Graphics. 2003. 22(3). P. 358-363.

54. Gu X., Yau S.-T. Computing conformal structures of surfaces. // Communications in Information and Systems. — 2002. — 2(2). — P. 121-146.

55. Haker S., Angenent S., Tannenbaum A., Kikinis R., Sapiro G. Conformal surface parametrization for texture mapping // IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. — 2000. — 6(2). — P. 1-9.

56. Holschneider M., Chambodut A., Mandea M. From global to regional analysis of the magnetic field on the sphere using wavelet frames // Physics of The Earth and Planetary Interiors. — 2003.— V. 135. —P. 107-124.

57. Hoppe H. Progressive meshes. // ACM SIGGRAPH 96. — 1996. — P. 99-108.

58. HuX. A Comparison of Ellipsoidal and Spherical Harmonics for Gravitational Field Modeling of Non-Spherical Bodies // Columbus, Ohio 43210: The Ohio State University, 2012. №499. P. 96.

59. International Astronomical Union (2006). Resolution B5. Definition of a Planet in the Solar System. (Дата доступа: 30.09.2013). http://www.iau.org/static/resolutions/Resolution_GA26-5-6.pdf

60. Jacobson R. A. The Orbits and Masses of the Martian Satellites and the Libration of Phobos. // The Astronomical Journal. 2010. №139. P. 668-679.

61. Jaumann R., Neukum G., Behnke T. et al. The high-resolution stereo camera (HRSC) experiment on Mars Express: Instrument aspects and experiment conduct from interplanetary cruise through the nominal mission // Planetary and Space Science. — 2007. — №55. — P. 928-952.

62. Kazhdan M., Bolitho M., Hoppe H. Poisson surface reconstruction // Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing SGP '06. Aire-la-Ville, Switzerland, Switzerland: Eurographics Association, 2006. P. 61-70.

63. Konopliv A. S., Yoder C. F., Standish E. M., Yuan D.-N., Sjogren W. L. A global solution for the Mars static and seasonal gravity, Mars orientation, Phobos and Deimos masses, and Mars ephemeris. // Icarus. 2006. №182. P. 23-50.

64. Kumar P. Wavelet Analysis For Geophysical Applications // American Geophysical Union. — Reviews of Geophysics, 35, 4. — 1997. — P. 385-412.

65. Mallat S. G. A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation. // IEEE Trans. Patt. Anal. Mach. Intell. 11,7.— 1989.

66. Mallat S. G. Multiresolution Approximations and Wavelet Orthonomal Bases of L2(R) // Transactions of the American Mathematical Society.

— 1989. -Vol. 315. -№1. -P. 69-87.

67. Mallat S. G. A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed. // Academic Press. — 2008.

68. Martinec Z., Pëc K., Bursa M. The Phobos gravitational field modeled on the basis of its topography // Earth Moon Planet. 1989. №45. P. 219-235.

69. Mizuno T., Mita M., KajikawaY., TakeyamaN., IkedaH., KawaharaK. Study of two-dimensional scanning LIDAR for planetary explorer.

— 2008. —71061A.

70. Narcowich F.J., Ward J.D. Nonstationary Wavelets on them-Sphere for Scattered Data // Applied and Computational Harmonic Analysis. -1996. -Vol. 3. -№4. -P. 324-336.

71. Nain D., Haker S., Bobick A., Tannenbaum A. Multiscale 3D shape analysis using spherical wavelets // Proc. 8th Int. Conf. Medical Image Computing Computer-Assisted Intervention (MICCAI). — 2005. — vol. 3750. - LNCS. - P. 459^167.

72. Nain D., Haker S., Bobick A., Tannenbaum A. Multiscale 3-D Shape Representation and Segmentation Using Spherical Wavelets // IEEE Transactions On Medical Imaging. —2007. — VOL. 26. — NO. 4. P. 598-618.

73. Peyré G. Advanced Signal, Image and Surface Processing. // Ceremade, Université Paris-Dauphine. — 2010.

74. Pietroni N., Tarini M., Cignoni P. Almost Isometric Mesh Parameterization through Abstract Domains // IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. 2010. №16. - P. 621-635.

75. Praun E., Hoppe H. Spherical parametrization and remeshing // ACM Transactions on Graphics. — (Proc. SIGGRAPH 2003). — 22(3). — 2003. — P. 340-349.

76. Romain G., Jean-Pierre B. Ellipsoidal Harmonic expansions of the gravitational potential: Theory and application // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2001. —Vol. 79. — №4. — P. 235-275.

77. Rosenblatt P. The origin of the Martian moons revisited. // Astronomy and Astrophysics Review. 2011. №19. P. 1-26.

78. Rosenblatt P., RivoldiniA., DehantV. Modelling the Internal Mass Distribution Inside Phobos // Second International Conference on the Exploration of Phobos and Deimos. NASA Ames Research Center, Moffett Field, CA, USA, 2011.

79. Saba S., Yavneh I., Gotsman C., Sheffer A. Practical Spherical Embedding of Manifold Triangle Meshes // Proceedings of Shape Modeling International. — 2005.

80. Scheeres D.J., Ostro S.J., Hudson R.S., Werner R.A. Orbits Close to Asteroid 4769 Castalia // Icarus. -1996. -Vol. 121. -№1. -P. 67-87.

81. Scheeres D.J., Ostro S.J., Hudson R.S., DeJong E.M., Suzuki S. Dynamics of Orbits Close to Asteroid 4179 Toutatis // Icarus. -1998. -Vol. 132. -№1. -P. 53-79.

82. Scheeres D., Khushalani B., Werner R. Estimating asteroid density distributions from shape and gravity information // Planetary and Space Science. -2000. -Vol. 48. -№ 10. -P. 965-971.

83. Schmidt M. et al. Regional gravity modeling in terms of spherical base functions. // Journal of Geodesy 81. —2006. — P. 17-38.

84. Schroder P., Sweldens W. Spherical wavelets: Efficiently representing functions on the sphere // Computer Graphics, (SIGGRAPH '95 Proceedings) — 1995. —P. 161-172.

85. Schroder P., Sweldens W. Spherical wavelets: Texture processing. // in Rendering Techniques '95. —New York. — 1995. — Springer Verlag.

86. Schwartz Ernst Spherical Wavelets A new tool for 3D shape representation. // Technical report. — Pattern Recognition and Image Processing Group. — 2008.

87. Sheffer A., Praun E., Rose K. Mesh Parameterization Methods and their Applications // MA, USA. — Foundations and Trends® in Computer Graphics and Vision. — Vol. 2 Issue 2. — 2006. — P. 105-171.

88. Shi X., Willner K., Oberst J. Working Models for the Gravity Field of Phobos // European Planetary Science Congress 2010 Abstracts. 2010. №5.

89. Shi X., Willner K., Oberst J. Working Models for the Gravity Field and Dynamical Environment of Phobos. NASA Ames Research Center, Moffett Field, CA, USA, 2011.

90. Simonelli D. P. et al. The Generation and Use of Numerical Shape Models for Irregular Solar System Objects // Icarus. — 1993. — №103. — P. 4961.

91. Sweldens W. The lifting scheme: A custom-design construction of biorthogonal wavelets. // University of South Carolina. — Technical Report 1994:7. — 1994. — Industrial Mathematics Initiative, Department of Mathematics.

92. Sweldens W., Schroder P. Building your own wavelets at home. // University of South Carolina. — Technical Report 1995:5. — 1995. — Industrial Mathematics Initiative, Department of Mathematics.

93. Sweldens W. The lifting scheme: a new philosophy in biorthogonal wavelet constructions // Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE) Conference Series. -1995. -Vol. 2569. -P. 68-79.

94. Sweldens W. The Lifting Scheme: A Construction of Second Generation Wavelets. // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1998. №29. P. 511-546.

95. Szeto A. M. K. Orbital evolution and origin of the Martian satellites. // Icarus. 1983. №55. P. 133-168.

96. Tikhonov A.N., Arsenin V.Y. Solutions of Ill-Posed Problems.— New York: Winston, 1977. — 272 p.

97. Thomas P. C. Gravity, Tides, and Topography on Small Satellites and Asteroids: Application to Surface Features of the Martian Satellites // Icarus. 1993. №105. P. 326-344.

98. Torresani B. Position-Frequency Analysis For Signals Defined On Spheres // Signal Proc. -1995. -Vol. 43. -P. 341-346.

99. Turner R. J. A model of Phobos // Icarus. 1978. №33. P. 116-140.

100. UchaevD. V., Oberst J., Malinnikov V. A., Willner K., Uchaev Dm. V., Prutov I. S. The Phobos gravitational field modeled on the basis of its topography // The second Moscow Solar System Symposium (2M-S3): Moons of planets, 2011. P. 54-56 (2MS3-MM-11).

101. UchaevD. V., Malinnikov V. A., Uchaev Dm.V., Prutov I. S. Application of Multifractal Approach to Gravity Potential Field Approximation Using Space-Derived Earth Data // Proc. of the First Serbian Geodetic Congress, 2011., Belgrade, Serbia —P. 216-222.

102. Uytterhoven G., Roose D., Bulthel A. Wavelet Transform Using the Lifting Scheme. // Belgium. — Department of Computer Science. — 1997. — Report ITA-Wavelets-WP 1.1.

103. Werner R. A. The gravitational potential of a homogeneous polyhedron or don't cut corners // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1994. №59. P. 253-278.

104. Werner R.A., Scheeres D.J. Exterior Gravitation of a Polyhedron Derived and Compared with Harmonic and Mascon Gravitation Representations of

Asteroid 4769 Castalia // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1997. Vol. 65. P. 313-344.

105. WillnerK. et al. Phobos control point network, rotation, and shape // Earth and Planetary Science Letters. — 2010. — №294. — P. 541-546.

106. Zeltler W., Ohlhof Т., Ebner H. Recomputation of the Global Mars control-point network // Photogrammetric engineering and remote sensing. — 2000. —Vol. 66. №2,—P. 155-161.

107. Zuber M. T. et al. The Mars Observer Laser Altimeter investigation. J. Geophys. Res. — Vol. 97. — 1992. — P. 7781-7797.

108. Zwicker M., Gotsman C. Meshing Point Clouds Using Spherical Parameterization // Proceedings of the First Eurographics conference on Point-Based. 2004. P. 173-180.

Электронные источники информации:

109. http://www.solarviews.com/cap/mars/phobos6.htm

110. http://www.issibern.ch/teams/phobosdeimos/downloads/2011/ShiXian Phobos ISSI.pdf

111. http://celestiamotherlode.net/catalog/marsmoons.php

Приложение 1. Средние значения невязок в контрольных точках сферической гармонической модели поверхности Фобоса, разработанной

автором

разложения

Рис.1.1. Средние значения невязки в контрольных точках в предложенной автором сферической гармонической модели поверхности Фобоса.

Рис. 1.2. Отображаемая различными оттенками серого тона Хаусдорфова метрика расстояния между моделью Фобоса, построенной Вильнером, и моделью Фобоса, полученной автором: а — ведущая сторона, б — ведомая

сторона.

Приложение 2. Изображения моделей поверхности Фобоса и Деймоса, построенных на основе мультивейвлетов Альперта, в ортографической

проекции

а б

Рис. 2.1. Изображения Фобоса в ортографической проекции (вид с южного полюса), построенные: а — Онером Т. [109], б — автором

а Б

Рис. 2.2. Изображения Фобоса в ортографической проекции (вид на территорию, располагающуюся вдоль меридиана 0°), построенные: а —

Онером Т. [109], б — автором

а б

Рис. 2.3. Изображения Фобоса в ортографической проекции (вид на территорию, располагающуюся вдоль меридиана 180°), построенные: а —

Онером Т. [109], б — автором

а б

Рис. 2.4. Изображения Деймоса в ортографической проекции (вид на территорию, располагающуюся вдоль меридиана 0°), построенные: а — Онером Т. [109], б — автором, по данным с сайта [111]

v fT . 'l ГГ I

а б

Рис. 2.5. Изображения Деймоса в ортографической проекции (вид на территорию, располагающуюся вдоль меридиана 90°), построенные: а — Онером Т. [109], б — автором, по данным с сайта [111]

а б

Рис. 2.6. Изображения Деймоса в ортографической проекции (вид с южного

полюса), построенные: а — Онером Т. [109], б — автором, по данным с сайта

а б

Рис. 2.7. Изображения Деймоса в ортографической проекции (вид на территорию, располагающуюся вдоль меридиана 180°), построенные: а — Онером Т. [109], б — автором, по данным с сайта [111]

Приложение 3. Изображения моделей полей притяжения на поверхности Фобоса и Деймоса, построенных на основе мультивейвлетов Альперта

240

180

а

180 120 60 0 300 240 ISO

Рис. 3.1. Карты значений потенциала тяжести на поверхности Фобоса, построенные с использованием 100% (а), 1% (б) и 0,1% (в) вейвлет-

коэффициентов

ISO

180

м:с

■ 19

1 18

17

• 16

1 »

и

М'С

19

1 18

17

16

1 »

> .4

■> _2

М"С

■ 19

1 13

17

16

1

lu

180 120 60 0 300 240 180 Рис. 3.2. Карты значений потенциала тяжести на поверхности Деймоса, построенные с использованием 100% (а), 1% (б) и 0,1% (в) вейвлет-

коэффициентов