Разработка метода синтеза и параметризации трехмерных геометрических моделей в концептуальном дизайне тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, кандидат технических наук Харин, Владимир Валериевич

• Харин, Владимир Валериевич
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Харин, Владимир Валериевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ЗАДАЧИ СИНТЕЗА И ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ТРЕХМЕРНОМ ДИЗАЙНЕ.

1.1. Способы представления и построения трехмерных геометрических моделей.

1.1.1. Математические принципы представления трехмерных геометрических моделей.

1.1.2. Граничное представление и кусочно-поверхностная технология моделирования.

1.1.3. Твердотельное моделирование.

1.2. Кинематический и каркасный методы построения твердотельных примитивов.

1.2.1. Способы кинематического синтеза поверхностей и тел.

1.2.2. Каркасное представление поверхностей и тел.

1.3. Методы параметризации геометрических моделей.

1.3.1. Размерная параметризация.

1.3.2. Параметризация поверхностей свободной формы.

1.3.3. Смысловая информация в описании геометрической модели.

1.4. Высокоуровневое описание объекта моделирования.

1.5. Выводы и постановка задачи.

2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ.

2.1. Аморфное преобразование образующей кривой.

2.1.1. Требования к преобразованию.

2.1.2. Преобразование геометрических примитивов.

2.1.3. Согласование состава кривых.

2.1.4. Гладкость кривой-результата преобразования.

2.1.5. Преобразование для произвольного количества кривых.

2.2. Синтез поверхности модели.

2.2.1. Модификация образующей кривой по направляющим кривым.

2.2.2. Формообразование на основе плоских сечений.

2.2.3. Аппроксимация аморфной модели.

2.2.4. Сплайновое формообразование.

2.2.5. Синтез поверхности при неполных (частичных) кривых в сетке.

2.3. Представление аморфной модели связной сеткой кривых.

2.3.1. Описание сетки кривых матрицей топологических связей.

2.3.2. Условие целостности модели на матрице связей.

2.4. Выводы по второй главе.

3. МЕТОД ВЫСОКОУРОВНЕВОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

3.1. Многоуровневая организация данных об объекте и его геометрической модели.

3.2. Параметризация геометрических моделей на основе типовых образцов.

3.2.1. Построение сплайновой гиперповерхности.

3.2.2. Параметризация ГМ при одинаковой топологии образцов.

3.2.3. Параметризация ГМ при изменяющейся топологии образцов.

3.3. Описание формы модели на базе аппарата нечетких множеств.

3.3.1. Обобщенные геометрические параметры как нечеткие характеристики.

3.3.2. Описание обобщенных геометрических параметров лингвистическими переменными

3.3.3. Комбинирование и модификация нечетких множеств.

3.3.4. Приведение нечетких множеств к четким параметрам.

3.4. Нечеткие правила и вывод как процесс расчета геометрической модели

3.5. Выводы по третьей главе.

4. СИСТЕМА КОНЦЕПТУАЛЬНОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ «SCULPTER».

4.1. Структура системы «Sculpter».Ill

4.1.1. Управляющая подсистема.

4.1.2. Подсистема работы с геометрической моделью.

4.1.3. Подсистема построения и расчета параметрической модели.

4.1.4. Подсистема нечеткого высокоуровневого описания модели.

4.1.5. Подсистема управления растровыми подложками.

4.1.6. Программные средства реализации.

4.2. Технология моделирования в «Sculpter».

4.2.1. Процесс разработки геометрической модели.

4.2.2. Применение «Sculpter» для концептуальной проработки геометрических моделей

4.2.3. Применение «Sculpter» для геометрического моделирования головы человека.

4.3. Выводы по четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка метода синтеза и параметризации трехмерных геометрических моделей в концептуальном дизайне»

Трехмерные геометрические модели (ГМ) находят применение в самых разнообразных областях — от производства и строительства до кино и игровой индустрии, криминалистики. Компьютерное моделирование геометрической формы и объема позволяет разрабатывать виртуальные конструкции, изделия, персонажей и решать множество различных задач без создания физических прототипов. В производстве, к примеру, такой подход позволяет ускорить проектирование изделия и сократить материальные затраты на его создание.

В условиях повышения сложности и ресурсоемкое™ изделий, развития кооперации между участниками жизненного цикла изделия все большее значение для предприятий приобретает выстраивание непрерывной цепочки создания, передачи и обработки информации (в т.ч. и геометрической) [1]. При этом важно затронуть самые ранние стадии проектирования (концептуальное, эскизное), т.к. именно на этих начальных этапах, как правило, закладываются потребительские и функциональные свойства проектируемого изделия [2]. Упрощение разработки ГМ на данных стадиях позволяет произвести охват широкого круга задач оценки и анализа будущего изделия при наименьших затратах времени и других ресурсов, свести к минимуму возможность возникновения ошибок, исправление которых на последующих стадиях характеризуется гораздо более высокой стоимостью [3,4].

Стадия проработки концепции геометрической формы характерна не только для задач материального производства, но и в других областях. Например, в компьютерной анимации (производстве рекламы, видео) разработка качественных ГМ имеет первостепенное значение с тем отличием, что к ним предъявляются специфические требования, и оценка модели производится по другим критериям, визуально.

Исследования по автоматизации концептуального дизайна начали активно развиваться сравнительно недавно — в конце 80-х годов. В основном работы ведутся западными исследователями, отечественных работ в данной области пока что сравнительно мало. В качестве основной проблемы автоматизации концептуального проектирования декларируется неточность и неполнота проектных требований и ограничений на ранних стадиях проектирования, что трудно поддается формализации. Проработка геометрической формы и создание ГМ является одной из наиболее трудоемких составляющих процесса концептуального проектирования [3, 5].

Процесс разработки трехмерной ГМ объекта, имеющего сложную форму или состав, практически всегда характеризуется существенными трудозатратами. Высокая трудоемкость геометрического моделирования может быть оправдана при разработке технического проекта, когда к ГМ предъявляются жесткие противоречивые требования и ограничения, связанные с задачами, для которых она разрабатывается. Средства автоматизации геометрического моделирования для этой цели включают множество инструментов, обеспечивающих построение ГМ с высокой степенью точности. Однако излишняя сложность процесса разработки ГМ в процессе творческого поиска геометрической формы и компоновки отвлекает творческую фантазию дизайнера на рутинные операции [6].

Проблема высокой трудоемкости построения ГМ и завышенных требований к квалификации специалистов, таким образом, особенно актуальна на ранних стадиях проектирования, в художественном моделировании, где основную работу выполняет художник-дизайнер. Прежде всего, это связано с тем, что существующие общепринятые подходы к разработке ГМ не учитывают специфику данного этапа. Геометрическое моделирование на начальных этапах проектирования характеризуются следующими основными особенностями:

1. Прорабатывается в основном внешняя форма объекта моделирования, функциональные детали представляются схематично, минимальным количеством геометрических объектов.

2. Интерактивная визуализация и простые, интуитивно понятные инструменты построения ГМ важнее, чем ее полнота и точность, к которым не предъявляется жестких требований.

3. Процесс моделирования направлен не на «статичный» единичный результат, а на генерацию множества альтернативных решений, оцениваемых другими участниками разработки (в т.ч. заказчиком).

4. Абстрактное описание геометрической формы (в т.ч. ее параметризация) может быть произведено только на основе высокоуровневых характеристик, близких к естественно-языковому описанию.

В практически используемых программных системах геометрического моделирования, позиционируемых как средства автоматизации проектирования на концептуальной стадии, часто моделируется традиционный подход дизайнеров к проработке геометрической формы посредством карандашей и фломастеров (в растровом редакторе) с возможным последующим ручным построением ГМ традиционными методами моделирования. Подходы к построению концептуальных трехмерных ГМ включают построение ГМ на основе трехмерных эскизов (набросков), выполняемых с помощью специального оборудования (указателей с шестью степенями свободы) [7] или в свободно расположенных плоскостях [8], на основе штрихов, интерпретируемых как трехмерные примитивы [9, 10, 11], путем реконструкции трехмерной модели из наброска [12, 13]. Однако при простоте подготовки исходных данных, возможности по построению и модификации трехмерных ГМ достаточно ограничены.

Существует потребность в средствах быстрой разработки геометрических моделей на основе простого инструментария и без привлечения дорогостоящего оборудования. Данная диссертационная работа посвящена исследованию и разработке способов быстрого создания ГМ на основе традиционных, общепринятых методов геометрического моделирования, что с одной стороны позволит на ранних стадиях проектирования разрабатывать ГМ приемлемого качества, а с другой - позволит достаточно легко встраивать новые методы в существующие системы геометрического моделирования и САПР.

Объектом исследования является математическое и компьютерное моделирование геометрической формы объектов реального мира и воображаемых. Предмет исследования - процесс построения трехмерной ГМ, включая способы описания (в том числе высокоуровневого) геометрической формы, способы ее преобразования, структура и инструментарий процесса моделирования с ориентацией на задачи предварительной проработки формы.

Основная цель работы - сокращение трудоемкости разработки трехмерных ГМ и требований к квалификации разработчика (дизайнера) в задачах геометрического моделирования объектов, содержащих поверхности свободных форм на этапе концептуального трехмерного дизайна, путем адаптации традиционных методов геометрического моделирования и разработки новых, позволяющих эффективно организовать процесс работы с геометрической формой.

Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:

- исследование существующих методов разработки ГМ, способов кинематического синтеза и каркасного описания ГМ, методов параметризации ГМ на предмет выявления их элементов, требующих развития и адаптации для использования в задачах интерактивного геометрического моделирования на концептуальной стадии проектирования;

- разработка способа кинематического синтеза ГМ на основе каркаса (сетки) составных кривых из сечений и профилей, разработка технологии и инструментария построения и модификации предложенного типа моделей, методов ее полигональной и сплайновой аппроксимации;

- разработка метода гладкой сплайновой интерполяции функции многих переменных, заданной многомерной сеткой значений на основе кубических полиномиальных функций для представления параметрического преобразования формы ГМ;

- разработка алгоритмов параметризации формы ГМ на основе набора типовых образцов формы и многопараметрической функции интерполяции элементов ГМ;

- разработка способов высокоуровневого описания ГМ и расчета формы по такому описанию на основе нечеткой логики и предложенного метода параметризации формы на основе типовых ГМ образцов;

- реализация разработанных алгоритмов и методов в виде программы-прототипа системы геометрического моделирования и исследование предложенных методов на примере скульптурных портретов, и других объектов из области предметного концептуального дизайна.

Методы исследования. Теоретические исследования выполнены с использованием теории множеств, линейной, векторной и матричной алгебры, вычислительной геометрии, теории интерполяции и сплайнов, нечеткой логики. Экспериментальные исследования выполнены с помощью разработанного прототипа системы геометрического моделирования.

На защиту выносятся:

- результаты системного поиска путей решения задачи автоматизации геометрического моделирования на концептуальной стадии, полученные на основе анализа существующих технологий и методов разработки ГМ;

- способ кинематического синтеза ГМ, позволяющий эффективно организовать процесс ее разработки, описывать геометрическую форму сравнительно небольшим количеством исходных составных кривых;

- способ параметрического описания изменений формы ГМ на основе набора типовых образцов формы, позволяющий автоматически генерировать варианты ГМ и плавно модифицировать форму модели между заданными вариантами посредством определенных дизайнером параметров;

- способ высокоуровневого описания формы ГМ и построения модели по такому описанию, позволяющий эффективно организовать использование библиотек ранее созданных параметрических моделей;

- разработанная автором программная система, а также методика организации процесса моделирования на предварительных этапах разработки ГМ, представляющая собой последовательность действий и применяемых инструментов моделирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложен способ модификации образующей в рамках кинематического метода порождения поверхности на основе каркаса кривых, позволяющий упростить процесс разработки модели сложной геометрической формы за счет сокращения объема ее описания и ручных операций.

2. Предложен алгоритм параметризации ГМ, определяемых каркасом кривых, основанный на использовании типовых образцов и множества признаков формы и заключающийся в сплайн-интерполяции элементов модели. Алгоритм позволяет значительно уменьшить трудоемкость разработки параметрических моделей, содержащих поверхности свободных форм.

3. Впервые предложено описание и способ модификации формы ГМ на базе аппарата матлогики нечетких множеств.

4. Предложена методика конструирования ГМ на этапе концептуального проектирования, основанная на моделях, определяемых каркасом кривых, и средствах параметризации их формы, реализующая концепцию постепенного усложнения формы проектируемой модели.

Практическая полезность. Разработанные методы синтеза и параметризации ГМ позволяют существенно сократить трудоемкость начальных этапов проработки геометрической формы при создании ГМ объектов, характеризующихся наличием сложных «скульптурных» поверхностей.

Разработанная система «Sculpter» может быть использована для быстрого построения ГМ и ее интерактивной визуализации по набору эскизов, рисунков или фотографий объекта моделирования в ортогональных проекциях. Возможными направлениями использования системы «Sculpter» могут быть:

- создание параметрических скульптурных портретов и моделей персонажей;

- предварительная проработка ГМ сложной формы с последующим экспортом в системы трехмерного дизайна для создания окончательного варианта ГМ;

- обучение основам трехмерного моделирования дизайнеров и специалистов в области САПР.

Разработанная программная реализация предложенных методов в виде объектно-ориентированной библиотеки геометрического моделирования может быть использована при разработке модулей, интегрируемых с системами геометрического моделирования, имеющими открытую архитектуру и использоваться в приложениях трехмерного дизайна, на начальных стадиях разработки ГМ.

Метод параметрического описания изменений формы ГМ на основе набора типовых образцов формы может быть использован в анимации для описания сложных анимированных преобразований формы (например, мимика лица) на основе графиков изменения параметров формы, описывающих отдельные, относительно простые преобразования формы.

Способ высокоуровневого описания формы ГМ и построения модели по такому описанию может быть использован в криминалистике для разработки трехмерных текстурированных моделей человеческой головы (трехмерных фотороботов) по описанию, близкому к естественно-языковому (например, по показаниям свидетелей). Трехмерная модель здесь позволяет рассмотреть лицо с разных ракурсов, при разных моделях освещения и т.д.

Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены в «институте права, социального управления и безопасности» при Удмуртском государственном университете для построения текстурированных скульптурных портретов и трехмерных фотороботов как основа для исследований в области интеграции компьютерной графики с криминалистическими задачами.

Разработанные программные модули внедрены в ООО «Индизайн» (г. Ижевск) в качестве основы для разработки модулей расширения существующих систем геометрического моделирования (см. приложение 4). Кроме того, материалы исследований используются в учебном процессе при чтении курса лекций «Геометрическое моделирование в САПР» в Ижевском государственном техническом университете, при выполнении дипломных работ студентов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались следующих международных конференциях: на 13-ой международной конференции по компьютерной графике и визуализации ГРАФИКОН-2003; на 14-ой международной конференции по компьютерной графике и визуализации ГРАФИКОН-2004; на международной научно-технической конференции IEEE AIS'04 (3-10 сентября 2004 г.); на научно-техническом форуме с международным участием «Высокие технологии 2004»; на 6-й всероссийской научной конференции с международным участием «Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения» (2004 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 статей.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Основной текст изложен на 147 машинописных страницах. Список литературы включает 121 наименований.

Заключение диссертации по теме «Инженерная геометрия и компьютерная графика», Харин, Владимир Валериевич

4.3. Выводы по четвертой главе

В данной главе описывается система «Sculpter», в которой реализуются методы, описанные в главах 2 и 3. Описаны структура, подсистемы и инструментарий «Sculpter». Также представлена предлагаемая технология геометрического моделирования в «Sculpter», которая характеризуется тем, что при минимально необходимом инструментарии позволяет эффективно разрабатывать модели сложной формы, следуя стандартизованному процессу моделирования. Минимальность инструментария и стандартизованность процесса моделирования позволяют пользователю быстро осваивать систему, полноценно работать с ней, не имея значительного опыта и высокой квалификации.

Также в главе приведены примеры того, как могут использоваться предложенные в данной работе методы в приложениях концептуального дизайна и разработки моделей, содержащих сложные скульптурные поверхности. Показано, что даже для такой, слабо связанной с задачами трехмерного дизайна области как криминалистика, предложенные методы могут иметь значительную практическую полезность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог проделанной работы, необходимо затронуть ситуацию, сложившуюся в области программного обеспечения для трехмерного дизайна. Если программное обеспечение для подготовки текстов или плоских рисунков осваивается достаточно быстро и широко используется, то пакеты трехмерного моделирования чаще всего осваиваются с большим трудом (особенно неподготовленными пользователями), а их эффективное использование требует значительного опыта. Прежде всего, это связано с тем, что технологии разработки ГМ априорно неизвестны художникам, дизайнерам, скульпторам, а методы разработки моделей сложной геометрической формы чаще всего требуют хорошего владения значительным количеством инструментов программной системы, которые зачастую слабо напоминают приемы работы, привычные для художника или дизайнера. В связи с этим, художники и дизайнеры, принимающие участие в разработке внешнего вида изделий, разрабатывающие внешний облик персонажей (в трехмерной анимации, например), проектирующие внешний вид зданий и сооружений и т.д. часто предпочитают традиционные методы работы, отказываясь от преимуществ, обеспечиваемых средствами трехмерной компьютерной графики.

В то же время современные стандарты качества требуют внедрения CALS технологий, где электронная модель изделия (в том числе ГМ) должна формироваться и на самых ранних стадиях проектирования. Однако трудоемкость создания ГМ сложной формы существующими методами в известных системах трехмерного моделирования и высокие требования к пользователям данных систем затрудняют их широкое использование в областях, где происходит творческий поиск геометрической формы.

В данном диссертационном исследовании сделан еще один шаг в сторону упрощения, повышения доступности методов геометрического моделирования объектов сложной формы, получены следующие результаты и выводы:

1. К одной из основных трудностей создания ГМ сложной формы относится необходимость выполнения большого количества операций, определения значительного объема исходных (чаще всего геометрических) данных, отсутствие простых средств высокоуровневого описания изменений формы ГМ.

2. Одним из путей значительного упрощения процесса создания ГМ сложной формы может быть разработка методов, упрощающих формирование исходных кривых, сокращение объема описания модели на основе каркаса кривых, разработка средств создания параметрических моделей, содержащих скульптурные поверхности, внедрение стандартизованной технологии построения ГМ, основанной на постепенном усложнении формы.

3. Разработан способ кинематического синтеза ГМ, инструменты автоматизированного уплотнения каркаса (для целей локальной модификации формы модели). Разработаны методы аппроксимации данной ГМ сплайновой поверхностью. Способ характеризуется простотой и наглядностью разработки исходных кривых как на начальном этапе формирования модели, так и при ее корректировке, возможностью реализации процесса разработки ГМ с высокой степенью интерактивности. Исходные кривые и сплайновые поверхности могут использоваться, дорабатываться в системах геометрического моделирования, поддерживающих NURBS-геометрию.

4. Разработан способ параметризации ГМ имеющих сложные «скульптурные» поверхности на основе типовых образцов формы и набора параметров, задаваемых дизайнером. Способ позволяет генерировать новые образцы формы модели, осуществлять плавный переход формы между образцами путем варьирования параметров, что может использоваться как при организации библиотек параметрических моделей и заготовок, так и в процессе отработки геометрической формы (для генерации альтернативных вариантов).

5. На основе указанного выше способа параметризации разработан способ модификации формы ГМ по высокоуровневому описанию с применением инструментов нечеткой логики. Способ позволяет выразить геометрический смысл параметров в описаниях, близких к естественно-языковым. При использовании : нечеткого логического вывода, для модели возможно определение множества альтернативных описаний, позволяющих использовать одну и ту же модель пользователями в разных предметных областях.

6. Для наиболее эффективного использования предложенных инструментов разработана методика моделирования - описана структура и инструментарий процесса разработки ГМ, которых предлагается придерживаться при программной реализации и использовании систем трехмерного моделирования в приложениях концептуального дизайна.

7. На основе разработанных моделей и методов создана программная система Sculpter, реализующая упомянутую выше технологию моделирования и позволяющая быстро разрабатывать концепции сложных трехмерных моделей, производить качественную визуализацию разрабатываемых моделей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Харин, Владимир Валериевич, 2005 год

1. Лягушкин А. Концептуальный дизайн первый шаг к новому изделию! // САПР и графика. - 2004. - № 3. - с. 82-85.

2. Smithers Т. AI-based design versus geometry-based design, or why design cannot be supported by geometry alone // Computer-Aided Design. 1989. -V. 21. -p. 141-150.

3. Rappoport A., Spitz S. Interactive Boolean Operations for Conceptual Design of 3D Solids. // SIGGRAPH: Computer Graphics Proceedings. 1997. - p. 269-278.

4. Bilda Z., Demirkan H. An insight on designers' sketching activities in traditional versus digital media // Design Studies. 2003. - N. 24. - p. 27-50.

5. Sachs E., Roberts A., Stoops, D. 3-Draw: A tool for designing 3D shapes // IEEE Computer Graphics & Applications: Proceedings. 1991. - p. 18-26.8. van Dijk C. New insights in computer-aided conceptual design // Design Studies. 1995.-N. 16.-p. 62-80.

6. Zeleznik R.C., Herndon K.P., Hughes J. F. SKETCH: An interface for sketching 3D scenes // SIGGRAPH: Proceedings. 1996. - p. 163-170.

7. Lynn Eggli, Ching-yao Hsu, Beat D. Bruderlin, Gershon Elber. Inferring 3Dmodels from freehand sketches and constraints // Computer-Aided Design. -1997. V. 29, N. 2. - p. 101-112.

8. Igarashi Т., Matsuoka S., Tanaka, H. Teddy: A sketching interface for 3D freeform design // SIGGRAPH'99: Proceedings. 1999. - p. 409-416.

9. Schweikardt E., Gross M. Digital Clay: Deriving digital models from freehand sketches // Proceedings of ACADIA. 1998. - p. 202-211.

10. Qin S.F., Wright D.K., Jordanov I.N. From on-line sketching to 2D and 3D geometry: a system based on fuzzy knowledge // Computer-Aided Design. -2000. V. 32, N. 14. - p. 851-866.

11. Джонс Дж. К. Методы проектирования / Пер. с англ. 2-е изд., доп. - М.: Мир, 1986.-326 с.

12. П. Хилл. Наука и искусство проектирования / Пер. с англ. Е.Г. Коваленко; Под ред. В.Ф. Венды. -М.: Мир, 1973. -264 с.

13. Рунге В.Ф., Сеньковский В.В. Основы теории и методологии дизайна. Учеб. пособие (конспект лекций) М.: МЗ-Пресс, 2003. - 252 с.

14. Лазарев Е.Н. Дизайн машин. Л.: Машиностроение. Ленинград, отд-е, 1988.-256 с.

15. Lihui Wang, Weiming Shen, Helen Xie, Joseph Neelamkavil, Ajit Pardasani. Collaborative conceptual design state of the art and future trends // Computer-Aided Design. - 2002. - V. 34, N. 13. - p. 981-996.

16. J. LaViola and A. Holden and D. Forsberg, D. Bhuphaibool. Collaborative Conceptual Modeling Using the SKETCH Framework // LASTED International Conference on Computer Graphics and Imaging: Proceedings. 1998. — p. 154-158.

17. Zhe Fan, Ma Chi, Manuel M. Oliveira. A Sketch-Based Collaborative Design System // Proceedings of the XVI Brazilian Symposium on Computer Graphics and Image Processing. 2003. - p. 125-131.

18. Pahl G., Beitz W. Engineering design a systematic approach. London: Springer-Verlag, 1996. - 580 p.

19. Hoffman C.M. Geometric and solid modeling. San Ateo (California): Morgan Kaufmann Publishers Inc., 1989. - 338 p.

20. Hoffmann С. H., Rossignac J. R. A road map to solid modeling 7/ IEEE Transactons on Visualization and Computer Graphics. 1996. - V. 2, N. 1. — p. 3-10.

21. Requicha A. A. G. Representations for rigid solids: Theory, methods, and systems // ACM Computing Surveys. 1980. - V. 4, N. 12. - p. 437-464.

22. Разработка САПР. В 10 кн. Кн 7. Графические системы САПР: Практ. пособие / В.Е. Климов; Под ред. А.В. Петрова. М.: Высшая школа, 1990.- 142 с.

23. Shapiro V. Solid Modeling // In Handbook of Computer Aided Geometric Design / Gerald E Farin, Josef Hoschek, Myung-Soo Kim. Elsevier, 2002. -848 p.

24. Okino N., Kakazu Y., Kubo H. TIPS-1: technical information processing system for computer-aided design, drawing, and manufacturing // J. Hatvany, Computer Languages for Numerical Control, Amsterdam: North-Holland, 1973.-p. 141-150.

25. Ricci A. A constructive geometry for computer graphics // Computer Journal. 1973.-V. 16,N. 2.-p. 157-160.

26. Bloomenthal J., Wyvill B. Interactive techniques for implicit modeling // Computer Graphics. 1990. - V. 24, N. 2. - p. 109-116.

27. Рвачев B.JI. Теория /^-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наук. думка, 1982. - 552 с.

28. Requicha A. A. G., Voelcker Н. В. Constructive Solid Geometry // Technical report, TM-25, PAP. University of Rochester, 1977.

29. Tilove R.B., Requicha A.A.G. Closure of Boolean Operations on Geometric Entities // Computer-Aided Design. 1980. - V. 12, N. 5. - p. 219-220.

30. Abdel-Malek K., Blackmore D., Joy K. Swept volumes: Foundations, perspectives, and applications // International Journal of Shape Modeling. 2001.- http://citeseer.ist.psu.edu/415017.html (Проверено 10.08.2005)

31. Woodwark J., Quinlan K. The derivation of graphics from volume models by recursive division of the object space // Proceedings of the Computer Graphics 80 Conference. 1980. - p. 335-343.

32. Bloomenthal J. Polygonization of implicit surfaces // Computer Aided Geometric Design. 1988. N. 5. - p. 341-355.

33. Shareef N., Yagel R. Rapid previewing via volume-based solid modeling // 3rd Symposium on Solid Modeling and Applications: Proceedings. 1995. -p. 281-292.

34. Meagher D. Geometric modelling using octree encoding // Computer Graphics and Image Processing. 1982. -V. 19, N. 2. - p. 129-147.

35. Brunet P., Navazo I. Solid representation and operation using extended octrees // ACM Transactions on Graphics. 1990. - V. 9, N. 2. - p. 170-197.

36. Thibault W.C., Naylor B.F. Set operations on polyhedra using binary space partitioning trees // Computer Graphics. 1987. - V. 21, N. 4. - p. 153-162.

37. Braid I. The synthesis of solids bounded by many faces // Communications of the ACM. 1975. - V. 18, N. 4. - p. 209-216.

38. Фоменко A.T. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. М.: Изд-во Моск. ун-та, Изд-во ЧеРо, 1998. -416 с.

39. Baumgart B.G. A Polyhedral Representation for Computer Vision // National Computer Conference: Proceedings. 1975. - p. 589-596.

40. Casale M.S. Free-form solid modeling with trimmed surface patches // IEEE Computer Graphics & Applications: Proceedings. 1987. - p. 33-43.

41. Casciola G., Morigi S. The trimmed NURBS age // Advances in Theory of Computational Mathematics: Recent Trends in Numerical Analysis. 2000.

42. Catmull E., Clark J. Recursively Generated B-Spline Surfaces On Arbitrary Topological Meshes // Computer Aided Design. 1978. - V. 10, N. 6. - p. 350-355.

43. Zorin D. Subdivision and Multiresolution Surface Representations: PhD thesis, Caltech, Pasadena, California, 1997.

44. Maillot J., Stam J. A Unified Subdivision Scheme for Polygonal Modeling // Computer Graphics Forum Eurographics 2001: Proceedings. 2001. - p. 471479.

45. Sederberg T.W., Zheng J., Bakenov A., Nasri A. T-Splines and T-NURCCs // ACM Transactions on Graphics. 2003. - V. 22, N. 3. - p. 477-484.

46. Sederberg T.W., Cardon D.L., Finnigan G.T., North N.S., Zheng J., Lyche T. T-spline simplification and local refinement // ACM Transactions on Graphics. 2004. - V. 23, N. 3. - p. 276-283.

47. Автоматизированное проектирование. Геометрические и графические задачи /B.C. Полозов, О.А. Будеков, С.И. Ротков и др. М.: Машиностроение, 1983. 280 с.

48. Hillyard R.C. The build group of solid modelers // IEEE Computer graphics and applications. 1982. - N. 2. - p. 43-52.

49. Mantyla M. Boolean operations of 2-manifolds through vertex neighborhood classification // ACM Transactions on Graphics. 1986. - N. 5. - p. 1-29.

50. Miller J. Sculptured surfaces in solid models: Issues and alternative approaches // IEEE Computer Graphics and Applications. 1986. - V. 6, N. 12. -p. 37-48.

51. Chiyokura H., Kimura F. Design of solids with free-form surfaces // Computer Graphics. 1983. - V. 17, N. 3. - p. 289-298.

52. Casale M., Bobrow J. A set operation algorithm for sculptured solids modeled with trimmed patches // Computer Aided Geometric Design. 1989. - 6 (3). -p. 235-248.

53. Varady Т., Pratt M.J. Design techniques for the definition of solid objects with free-form geometry // Computer Aided Design. 1984. - N. 3. - p. 207-225.

54. Krishnan S. Efficient and Accurate Boundaiy Evaluation Algorithms for Sculptured Solids: PhD dissertation. Chapel Hill, 1997. - 169 c.

55. Turner J.U. Accurate Solid Modeling Using Polyhedral Approximations //

56. EE Computer Graphics and Applications. 1988. - V. 8, N. 3. - p. 14-28.

57. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. М.: изд. МАИ, 1980. 85 с.

58. Бубенников А.В. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. 3-3 изд., перераб. и доп. - М: Высш. школа, 1985. - 288 с.

59. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. М: Издательство Физико-математической литературы, 2002. - 472 с.

60. Кучуганов В.Н., Лопаткин А.Е. «Язык описания трехмерных сцен. Версия 2». Программирование, 1996, №2, с. 70-75.

61. Рыжов Н.Н., Гершман И.И., Осипов В.А. Прикладная геометрия поверхностей. — В кн.: Труды Московского научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: Московский авиационный институт, 1972, вып. 242, с. 57-91.

62. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). М.: машиностроение, 1987. - 192 с.

63. Котов И.И. Прикладная геометрия и автоматическое воспроизведение поверхностей. Тр. МАИ, 1971, вып. 231, с. 3-5.

64. Котов И.И., Полозов B.C., Широкова Л.В. Алгоритмы машинной графики. М.: Машиностроение, 1977. 231 с.

65. Надолинный В.А., Павлов А.В. Способ конструирования поверхностей сложных технических форм. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Бупевестник, 1975, вып. 20, с. 11-13.

66. Рыжов Н.Н. О теории каркаса. Тр. УДН им. Лумумбы, № 1 (II) 1963, с. 919.

67. Рыжов Н.Н. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей, Тр. УДН им. Лумумбы, № 3 (XXVI), с. 3-12.

68. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 304 с.

69. Farin G.E., Curves and surfaces for computer aided geometric design: a practical guide. 4th ed. San Diego: Academic Press, 1996. - 429 c.

70. Препарата Ф., Шеймос M. Вычислительная геометрия: Введение: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 478 с.

71. Bartels R.H., Beatty J.C., Barsky В.А. An Introduction to Splines for use in Computer Graphics and Geometric Modelling. San Mateo, California: Morgan Kaufmann Publishers Inc., 1987. - 476 p.

72. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.-248 с.

73. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. -М.: Мир, 1972.-316 с.

74. Завьялова Ю.С., Квасов В.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 350 с.

75. Coons S.A. Surfaces for Computer Aided Design of Space Form // Report MAC-TR-41, Project MAC, M.I.T., 1967.

76. Forrest A.R. Mathematical Principles for Curve and Surface Representation. // In Curved Surfaces in Engineering, Curchill College, Cambridge. p. 5-13.

77. Gordon W.J. Spline-blended Surface interpolation through Curve Networks // Journal of Mathematics and Mechanics. 1969. - V. 18, N. 10. - p. 931-952.

78. De Boor C. Splines as Linear Combinations of B-splines // A. Survey. In Approximation Theory II. Academic Press, 1976. p. 1-48.

79. Curry H.B., Schoenberg I.J. On Polya Frequency Functions IV: The Fundamental Spline Functions and their Limits // J. Analyse Math. 1966. -N. 17. -p. 71-107.

80. Gordon W.J., Riesenfeld R.F. B-spline Curves and Surfaces // In Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1974. - p. 95-126.

81. Gordon W.J., Riesenfeld R.F. Bernstein-Bezier Methods for the Computer-Aided Design of Free Form Curves and Surfaces // Journal ACM. — 1974. -21, 2.-p. 293-310.

82. Farin G.E. NURBS for curve and surface design. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1991. - 161 p.

83. Piegl L.A., Tiller W. The NURBS Book. Springer Verlag, 1997. 646 p.

84. Cox M.G. The Numerical Evaluation of B-splines // J. Inst. Math-Applies. -1972.-N. 10.-p. 134-149.

85. De Boor C. On Calculating with B-splines // J. Approx. Theory. 1972. - N. 14.-p. 50-62.

86. De Boor C. Package for Calculating with B-splines // SIAM J. Number. Anal. 1977. - V. 14, N. 3. - p. 441-472.

87. Lin F., Hewitt W.T. Expressing Coons-Gordon surfaces as NURBS // Computer-Aided Design. 1994. - V. 26, N. 2. - p. 145-155.

88. Четверухин Н.Ф., Яцкевич JI.A. Параметризация и ее применение в геометрии. — Математика в школе. 1965, № 5, с. 15-23;

89. Четверухин Н.Ф. О параметризации кривых линий и поверхностей в ее значении в учебном процессе. Математика в школе. 1964. 1964, № 5, с. 29-33.

90. Рыжов Н.Н. Параметрическая геометрия. М.: МАДИ, 1988. - 56 с.

91. Lin V.C., Gossard D.C., Light R.A. Variational geometry in computer aided design. // ACM Computer Graphics. 1981. - Vol. 15, N. 3. - p. 171-177.

92. Owen J. C. Algebraic solution for geometry from dimensional constraints. // Proc of the 1st ACM Symposium on Solid Modeling Foundations and CAD/CAM Applications. 1991. - p. 397-408.

93. Bouma W., Fudos I., Hoffmann C.M., Cai J., Paige R. A Geometric constraint solver // Computer Aided Design. 1995. - V. 27, N. 6. - p. 487501.

94. Кучуганов B.H. Методология и инструментальные средства синтеза сценариев графического инженерного диалога и объектно-ориентированных САПР: Дис. . д-ра техн. наук. Ижевск, 1993.

95. Arbab F., Wing J.M. Geometric reasoning: A new paradigm for processinggeometric information // Report TR-85-333, Computer Science Department, University of Southern California. Los Angeles, 1985. - 10 p.

96. Bruderlin B. Constructing Three-Dimensional Geometric Objects Defined by Constraints // Workshop on Interactive 3D Graphics: Proceedings. 1986. -p. 111-129.

97. Hoffmann C.M., Ku-Jin Kim. Towards valid parametric CAD models // Computer-Aided Design. 2001. - V. 33, N. 1. - p. 81-90.

98. Guillet S., Jean-Claude Leon. Parametrically deformed free-form surfaces as part of a variational model // Computer-Aided Design. 1998. - V. 30, N. 8. -p. 621-630.

99. Shi-Min Hu, You-Fu Li, Tao Ju, Xiang Zhu. Modifying the shape of NURBS surfaces with geometric constraints // Computer-Aided Design. 2001. - V. 33, N. 12.-p. 903-912.

100. Welch W., Witkin A. Variational surface modeling // Computer Graphics. -1992.-V. 26, N. 2.-p. 157-166.

101. Terzopoulos D., Qin H. Dynamic NURBS with geometric constraints for interactive sculpting // ACM Transactions on Graphics. 1994. - N. 13. - p. 103-136.

102. Bloor M.I.G., Wilson M.J. Representing PDE surfaces in terms of B-splines // Computer Aided Design. 1990. - V. 22, N. 6. - p. 324-331.

103. Файн B.C. Алгоритмическое моделирование формообразования. M.: «Наука», 1975. - 141 с.

104. Falcidieno В., Giannini F., Porzia С., Spagnuolo М. Hybrid Representation of Feature-Based Model // Modeling in Computer Graphics: Proceedings.1991.-p. 125-139.

105. Zadeh L. Fuzzy Sets // Information and control. 1965. - N. 8. - p. 338-353.

106. Заде JI. Понятие лингвистической переменной и его применение для принятия приближенных решений. М.: Мир, 1976. - 165 с.

107. Харин В.В. Кинематический синтез трехмерной геометрической модели на основе связной сетки кривых. // Высокие технологии 2004: сборник трудов науч.-тех. форума с международным участием: В 4 ч. Ч. 1, с. 162-169.

108. Piegl L., Tiller W. Software-engineering approach to degree elevation of B-spline curves // Computer-Aided Design. 1994. - V. 26, N. 1. - p. 17-28.111. openNURBS // openNURBS Initiative. http://opennurbs.org/index.htm. (Проверено 9.08.2005)

109. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 176 с.

110. Casciola G., Morigi S. Reparametrization of NURBS curves // International Journal of Shape Modeling. 1996. -N. 2.-p. 103-116.

111. Джексон П. Введение в экспертные системы. Издательство: Вильяме, 2001.-624 с.

112. Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. 240 с.

113. Zadeh L. Fuzzy logic and approximate reasoning // Synthese. 1975. - N. 30. - p. 407-428.

114. Zadeh L. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets and Systems. N. 1. - p. 3-28.