Разработка метода идентификации математических моделей газотурбинных двигателей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.05, кандидат наук Гилязиев, Марат Гилмзянович

• Гилязиев, Марат Гилмзянович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Гилязиев, Марат Гилмзянович

Индексы и сокращения...............................................................................................4

Условные обозначения...............................................................................................6

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.................................................................7

ГЛАВА 1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГТД................................................................12

1.1 Общий обзор работ по теории идентификации............................................12

1.2 Метод диагностических матриц.....................................................................16

1.3 Идентификация математических моделей ГТД методом наименьших квадратов.................................................................................................................21

1.4 Метод максимального правдоподобия..........................................................28

1.5 Идентификация математических моделей ГТД методом гребневых оценок (ридж-оценивания).................................................................................................30

1.6 Постановка задачи...........................................................................................34

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГТД..............................36

2.1 Методика математического моделирования ГТД........................................36

2.1.1 Виды и классификация математических моделей ГТД.........................36

2.1.2 Уравнения математических моделей ГТД..............................................37

2.1.3 Представление характеристик узлов газотурбинных двигателей........42

2.1.4 Аппроксимация характеристик элементов ГТД.....................................50

2.1.5. Алгоритм решения системы нелинейных уравнений...........................52

2.2 Разработка математической модели совместной работы ГТУ, созданной на базе авиационного ГТД, и нагнетателя................................................................56

2.2.1 Объект исследования.................................................................................56

2.2.2 Исходные данные.......................................................................................64

2.2.3 Результаты численного моделирования работы ГПА............................76

2.3 Сравнительный анализ результатов численного моделирования работы ГТУ с результатами натурных испытаний..........................................................84

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ИДЕНТИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГТД................................................................99

3.1 Алгоритм разработанного метода идентификации математических моделей ГТД...........................................................................................................99

3.1.1 Описание метода идентификации............................................................99

3.1.2 Описание идентифицируемой математической модели ГТД.............103

3.1.3 Оценка взаимного влияния искомых параметров ГТД........................105

3.1.4. Уточнение искомых параметров ГТД при минимизации невязки между рассчитанными и измеренными параметрами...................................107

3.1.5 Оценка погрешности результатов идентификации..............................108

3.1.6 Общие свойства разработанного метода идентификации...................109

3.2 Верификация разработанного метода идентификации математических моделей ГТД.........................................................................................................111

3.2.1 Идентификация математической модели ГТД по параметрам, измеренным на одном режиме работы...........................................................111

3.2.2 Идентификация математической модели ГТУ по одному параметру, измеренного на нескольких режимах работы................................................122

Заключение..............................................................................................................134

Список литературы.................................................................................................136

Индексы и сокращения

ГТД - газотурбинный двигатель;

ГТУ - газотурбинная установка;

ГПА - газоперекачивающий агрегат;

кпд - коэффициент полезного действия;

н - невозмущенный поток перед двигателем;

вх - входное устройство, сечение на входе;

КНД - компрессор низкого давления;

КВД - компрессор высокого давления;

к - сечение на выходе из компрессора

КС - камера сгорания, сечение на выходе из него

г - газ, сечение на входе в турбину;

ТВД - турбины высокого давления, сечение за ней;

ТНД - турбина низкого давления, сечение за ней;

СТ - силовая турбина, сечение за ней;

вх ст - сечение на входе в силовую турбину;

нд - низкое давление;

вд — высокое давление;

пр - приведенный параметр;

Е - суммарный;

охл - охлаждающий;

отб — отбираемый;

зд - затурбинный диффузор, сечение на входе в выхлопной тракт ГПА;

вых - выхлопное устройство;

тнд-ст - переходной канал между турбиной низкого давления и силовой

турбиной;

м - механический;

* - параметр заторможенного потока;

т — топливо;

наг - нагнетатель;

газ — компримируемый газ;

вх.наг — входное сечение нагнетателя;

вых.наг - выходное сечение нагнетателя;

ад - адиабатный.

Условные обозначения

Р - давление рабочего тела, Па;

Т - температура рабочего тела, К;

ф - относительная влажность воздуха, %;

А - пропускная способность турбины;

г| - коэффициент полезного действия;

г|г - степень полноты сгорания топлива в КС;

V - доля отбираемого воздуха;

Ни - низшая теплотворная способность топлива, Дж/кг;

Ь0 - коэффициент стехиометрии;

о - коэффициент восстановления полного давления;

50гпа - количество отбираемого на нужды ГПА воздуха

Я - газовая постоянная рабочего тела, Дж/(кг*К);

ж - степень повышения (понижения) давления рабочего тела;

в — массовый расход рабочего тела;

п - частота вращения ротора, мин"1

а - коэффициент избытка воздуха;

qx - относительный расход топлива;

N - мощность, Вт;

р - плотность рабочего тела, кг/м ;

Рнаг - объемный расход компримируемого газа, по условиям на входе в

нагнетатель, м3/мин;

Онаг.пр - приведенная суточная объемная производительность нагнетателя, млн нм3/сутки;

Ъгаз - коэффициент сжимаемости компримируемого газа;

11пол наг - политропный КПД нагнетателя;

[ - энтальпия рабочего тела, Дж/кг;

А1 - разность энтальпий, Дж/кг.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка метода идентификации математических моделей газотурбинных двигателей»

Актуальность

Математическая модель газотурбинного двигателя - математический аппарат способный замещать исследуемый ГТД так, что его изучение (применение) дает новую информацию о замещаемом газотурбинном двигателе.

Математическая модель ГТД является основой для проектирования, доводки и широко применяется для параметрической диагностики при эксплуатации. Данная ситуация обусловлена целым рядом особенностей - математическая модель ГТД является не только инструментом для определения параметров совместной работы узлов ГТД, но также является источником новых знаний о газотурбинном двигателе, а в некоторых случаях позволяет заменить дорогостоящие и долгосрочные натурные испытания исследуемого двигателя.

Однако вместе с ростом востребованности таких математических моделей в производственных и эксплуатирующих организациях, растут и требования к ним. Математическая модель должна быть адаптирована к конкретному газотурбинному двигателю и максимально точно описывать его параметры. Основная сложность в решении данной проблемы заключается в недостаточности измеряемых при стендовых испытаниях или эксплуатации параметров, идентифицирующих состояние исследуемого ГТД. Как следствие недостаточности измеряемых параметров затрудняется выявление конструктивных особенностей узлов, приводящих к отклонениям выходных параметров исследуемых газотурбинных двигателей.

Решение данной задачи представляет собой суть задачи идентификации математической модели ГТД. Наиболее известны следующие методы идентификации математических моделей ГТД: метод наименьших квадратов; метод нелинейной оптимизации; метод ридж-оценивания (метод гребневых оценок), метод диагностических матриц. Однако при минимизации невязок между рассчитанными и измеренными значениями диагностируемых параметров ГТД в данных методах не учитывается взаимное влияние искомых параметров. В ре-

зультате чего вышеперечисленные методы дают неудовлетворительную точность, а порой задача и вовсе становится нерешаемой или же полученное решение не соответствует реальным физическим процессам, происходящим в ГТД.

Разработка метода идентификации математических моделей газотурбинных двигателей, позволяющего учитывать взаимное влияние между искомыми параметрами является одним из путей, позволяющим физически более обоснованно адаптировать математическую модель к конкретному газотурбинному двигателю.

Цель работы

Разработка метода идентификации математических моделей авиационных газотурбинных двигателей и энергетических установок, создаваемых на их основе, позволяющего учитывать взаимное влияние искомых параметров при минимизации невязки между рассчитанными и измеренными значениями параметров, определяющими состояние газотурбинного двигателя.

Задачи исследования

1. Разработка математической модели авиационного газотурбинного двигателя или энергетической установки, созданной на его базе.

2. Верификация разработанной математической модели по результатам испытаний исследуемой силовой установки в стендовых условиях.

3. Разработка алгоритма идентификации, позволяющего учитывать взаимное влияние искомых параметров газотурбинного двигателя при минимизации невязки между измеренными и рассчитанными величинами контролируемых (измеряемых) параметров.

4. Верификация разработанного метода идентификации математических моделей ГТД.

Научная новизна

Предложен метод идентификации математических моделей газотурбинных двигателей, позволяющий при минимизации невязок между расчетными и экспериментальными значениями параметров учитывать взаимное влияние искомых параметров.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математическая модель энергетической установки, созданной на базе авиационного двигателя.

2. Результаты расчетов по оценке погрешности математической модели.

3. Метод идентификации математических моделей авиационных газотурбинных двигателей или энергетических установок, созданных на их базе.

4. Результаты расчетов по оценке погрешности разработанного метода идентификации математических моделей авиационных газотурбинных двигателей или энергетических установок, созданных на их базе.

Практическая значимость

Разработанный метод идентификации математических моделей газотурбинных двигателей позволяет:

- установить причину отклонений параметров, выявленных при испытаниях или эксплуатации газотурбинных двигателей;

- проводить параметрическое диагностирование (оценивать техническое состояние) ГТД при ограниченном количестве измеряемых параметров.

Степень достоверности полученных результатов

Достоверность результатов расчетных исследований, разработанных методик подтверждается удовлетворительным согласованием расчетных данных с результатами натурных экспериментов.

Апробация работы

Основные положения работы докладывались на:

- VI и VII Международной научно - технической конференции Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики «АНТЭ-2011», Казань, 2011, «АНТЭ-2013», Казань, 2013;

- VI Международной научно-практической конференции «Авиационные и ракетно-космические технологии», посвященной 80-летию Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева -КАИ, Казань, 2012;

- X всероссийской конференции молодых ученых, специалистов и студентов «Новые технологии в газовой промышленности», Москва, РГУНГ им. И.М.Губкина, 2013;

- III и VI научно-практической конференции молодых ученых и специалистов ООО "Газпром трансгаз Казань", Казань, 2012, 2013;

- Научно-технической конференции, посвященной 80-летию ОАО «Казанское моторостроительное производственное объединение», Казань, 2011;

- научных семинарах, проводимых на кафедре АДЭУ (КНИТУ им. А.Н. Туполева - КАИ).

Личный вклад автора

Автор непосредственно разработал математическую модель газотурбинной установки и провел расчетные исследования по оценке погрешности математической модели относительно результатов испытаний, проведенных в стендовых условиях. Автором разработан метод идентификации математических моделей газотурбинных двигателей и проведены расчетные исследования по оценке погрешности результатов, полученных разработанным методом.

Публикации

По теме диссертации опубликовано пять печатных работ, в том числе одна статья, опубликованная в издании, входящем в перечень ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников, включающего 96 наименований. Диссертация изложена на 136 страницах машинописного текста, содержит 21 иллюстрацию, 31 таблицу. Общий объем работы - 144 листов.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГТД

1,1 Общий обзор работ по теории идеи i ификашш

Идентификация — совокупность методов для построения или уточнения существующих математических моделей исследуемой системы по данным наблюдений. Математическая модель в данном контексте означает математическое описание поведения исследуемой системы.

Основу теории идентификации заложил Карл Фридрих Гаусс в своей работе «Teoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium», в которой он для исследования траектории движения планет применил разработанный им метод наименьших квадратов. Позднее метод наименьших квадратов получил широкое распространение в математике (при решении систем нелинейных уравнений), статистике, эконометрике.

До середины XX века теория идентификации основывалась на наблюдении реакции исследуемой системы на некоторые воздействия извне. Данные воздействия разделились на следующие виды: ступенчатые (//-l(¿)), гармонические (sin(а\exp(y'¿y)), различные сгенерированные шумы. В зависимости от математической модели исследуемой системы, методы идентификации делились на частотные и временные.

В 1960 году Рудольф Калман предложил описание исследуемых систем в виде пространства состояния, что позволило исследовать многомерные системы, заложив тем самым основы оптимальной фильтрации и оптимального управления.

Конкретно для задач управления в 1965 году в работах Хо и Калмана [86], Острёма и Болина [81] предложены методы идентификации исследуемых систем для решения задач управления. В этих работах описаны два подхода идентификации: первый подход основан на использовании проекций в евклидовом пространстве, второй подход основан на минимизации критерия, характеризующего модель исследуемой системы.

В работах Хо и Калмана поиск оптимальной модели производится в пространстве, имеющей наименьший порядок вектора состояний.

Известные в статистической литературе как ARMA (авторегрессионное скользящее среднее) и ARMAX (авторегрессионное скользящее среднее с входом), позднее, образовали основу для создания метода ошибки предсказания. В 1970,Бокс и Дженкинс, опубликовали книгу, давшая значительный импульс к распространению методов идентификации во всех возможных для этого областях [83]. Этот труд давал, проще говоря, полный рецепт для идентификации с момента начала сбора информации об объекте до получения и проверки модели. Важной работой также являлся обзор, посвященный идентификации систем и анализу временных рядов [82], опубликованный в IEEE Transactions on Automatic Control в декабре 1974 года. Одной из актуальных проблем тогда была идентификации замкнутых систем, для которых метод на основе взаимной корреляции приводил к неудовлетворительным результатам. С середины 70-х годов, метод ошибки предсказания стал доминировать в теории идентификации. Большая часть исследований посвящалась решению проблем идентификации многомерных и замкнутых систем. Ключевой задачей для этих двух классов систем являлось определение условий для эксперимента и способы параметризации проблемы, при которых полученная модель должна была приблизиться к единственно точному описанию исследуемой системы. Это было время поиска "истинной модели", решения вопросов идентифицируемости, сходимости к точным параметрам, статистической эффективности оценок и асимптотической нормальности оцениваемых параметров.

В работах [80], [89], [90]идентификацию уже рассматривалась как теория аппроксимации, в которой основной задачей являлось наиболее точная аппроксимация исследуемой системы внутри данного класса моделей. Преобладающая точка зрения, таким образом, сменилась с поиска описания для истинной системы на поиск описания наилучшей возможной аппроксимации.

Важный прорыв также случился когда JI. Льюнг ввел понятие смещения и ошибки дисперсии для оценивания передаточных функций объектов. Работа со

смещением и анализ дисперсии, полученных моделей, привело к тому, что идентификация начала рассматриваться как задача синтеза. На основе комплексного понимания влияния условий эксперимента, структуры модели и критерия идентификации, основанном на смещении и дисперсии ошибки, возможно подобрать эти переменные синтеза к исследуемой системе, чтобы получить наилучшую модель в данном классе моделей [84], [96].

Идея об оптимальных переменных синтеза искомой модели системы нашло широкое применение на практике, главным образом, в реализации концепции управления объектами на основе модели такого объекта.

В 90-х годах XX века теория идентификации систем приобрела междисциплинарный характер и объединила такие области науки как: планирование эксперимента, идентификация в замкнутом контуре, частотная идентификация, робастное управление при наличии неопределенности, параметрическое диагностирование и мониторинг сложных технологических систем.

Основоположником отечественной школы идентификации систем был Наум Семенович Райбман. Им разработана теория дисперсионной идентификации для идентификации нелинейных систем [61].

При содействии Н.С. Райбмана в 1968 году открыта Лаборатория №41 («Идентификация систем управления») в Институте автоматике и телемеханики (Институт проблем управления РАН).

Также большой вклад в развитие теории идентификации систем внес Яков Залманович Цыпкин, разработавший теорию информационной идентификации [72].

Теория идентификации математических моделей газотурбинных двигателей развивалась по мере развития авиационного турбостроения. С усложнением конструкции авиационных газотурбинных двигателей, связанных с увеличением числа каскадов роторов, введения второго контура проточной части, осуществления регулирования ГТД по нескольким параметрам, а также у жесточе-

нии требований по обеспечению тяги, приемлемого удельного расхода топлива и надежности для вновь проектируемых авиационных газотурбинных двигателей возникла необходимость в теории позволяющей описывать математические модели исследуемых ГТД на основе результатов стендовых испытаний.

Одной из первых работ по идентификации математических моделей газотурбинных двигателей является метод традиционной увязки математической модели ГТД с результатами его испытаний, предложенная в ЦИАМ Б.Н. Амелиным и О.Н. Фаворским в 1955 году. Идентификация в традиционном методе увязки осуществляется путем решения двух термогазодинамических задач — прямой и обратной. Обратная задача заключается в определении характеристик узлов ГТД по результатам эксперимента.

В 1970-х годах Л. Урбан опубликовал ряд статей, посвященных разработанному им методу идентификации математических моделей [94], [95]. Данный метод основан на применении таблиц коэффициентов влияний. В последствии метод Л. Урбана получил широкое распространение в отечественной теории авиационного двигателестроения благодаря работам специалистов Уфимского авиационного института, разработавшие на основе данного метода метод диагностических матриц [4].

В 80-х годах XX века в Казанском авиационном институте группой специалистов во главе с А.П. Тунаковым разработан программный комплекс ГРАД, предназначенный для проведения исследований в области проектирования, доводки, управления и оптимизации работы исследуемых газотурбинных двигателей. В данном программном комплексе реализован метод идентификации математической модели на основе гребневых оценок (ридж-оценок) [55]-[60].

Не существует универсального метода идентификации, который оптимально подходил бы для описания всех видов систем. Различают несколько характерных ситуаций, для которых необходимы различные методы исследования [21]. Различают системы:

- линейные и нелинейные;

- стационарные и нестационарные системы (системы могут считаться стационарными, если их параметры меняются медленно по сравнению со временем, которое требуется для точной идентификации);

- с одним или несколькими входными воздействиями;

- с детерминированными и стохастическими процессами;

- по наличию априорной информации.

При любом методе идентификации очень важным является знание размерности вектора состояния и природы внутренних связей исследуемой системы.

В природе редко встречаются системы, которые относились бы лишь к одному типу перечисленных систем. В большинстве случаев исследуемые системы обладают комбинацией свойств.

Исследуемые в данной работе, газотурбинные двигатели в части параметрической идентификации принято рассматривать как линейную, стационарную с одним входным воздействием, детерминированную систему с небольшим объемом априорной информацией. Такое упрощенное рассмотрение газотурбинных двигателей связано со значительной сложностью описания взаимных связей целого комплекса отдельных подсистем, таких как: камера сгорания, компрессор, турбина. Также при исследованиях ГТД возможно измерить лишь небольшой объем информации о состоянии газотурбинного двигателя.

Далее будут рассмотрены наиболее распространенные методы идентификации математических моделей газотурбинных двигателей.

1.2 Мег од дна» иосшческич матриц

Диагностическими матрицами называются таблицы, в которых изменения диагностических признаков состояния проточной части данного двигателя представлены в виде функций изменений значений ряда его параметров, измеренных на некотором определенном режиме двигателя [4].

Задача, для решения которой используются диагностические матрицы, может быть сформулирована так: при измерениях ряда параметров данного двигателя (на стенде или в полете) обнаружены отклонения значений всех или некоторых из этих параметров от их значений, измеренных в тех же условиях и на том же режиме, когда двигатель был заведомо исправен; полученные отклонения свидетельствуют о возникновении неисправностей в проточной части; требуется определить, в каком именно узле (узлах) двигателя появились неисправности (допускается возможность одновременного возникновения неисправностей в двух или нескольких узлах двигателя) [4].

Методы аналитического составления диагностических матриц основаны на следующих предпосылках [4]:

- диагностическая информация о состоянии (исправности) двигателя содержат не абсолютные значения термогазодинамических параметров, а отклонения этих значений от ранее измеренных соответствующих значений;

- необходимо измерять и интерпретировать свойственные ранним формам неисправностей малые отклонения термогазодинамических параметров;

- рассматриваются только установившиеся режимы двигателей;

- используемые для вычисления диагностических матриц, математические модели считаются адекватными;

- измерения параметров диагностируемого газотурбинного двигателя должны быть точными.

Алгоритм идентификации методом диагностических матриц состоит в последовательном решении трех задач:

- численной линеаризации математической модели методом однофак-торного эксперимента;

- формирование диагностической матрицы;

- определения поправок к искомым параметрам.

1. При численной линеаризации, математическая модель исследуемого газотурбинного двигателя представляет собой систему трансцендентных уравнений:

где О — 1, к; к - число уравнений в системе; Р- - контролируемые параметры (признаки);

у = 1, т; т - число контролируемых параметров; хг - параметры состояния узлов газовоздушного тракта; / = 1, п; п — число параметров состояния;

Щ — параметры, определяющие режим работы двигателя и внешние условия;

В, — 1, г; г — число параметров, определяющих режим работы и внешние условия.

При линеаризации математической модели исследуемого двигателя также должна учитываться следующая априорная информация [14]:

- конструктивная схема двигателя;

- программ регулирования;

- режим диагностирования;

в = \ь,... аГ

- перечень контролируемых на двигателе параметров 1 1' ' к л ;

- перечень идентифицируемых параметров X = [х^-.^х^]7^, характеризующие состояние дефектных узлов рассматриваемого газотурбинного двигателя;

(1.1)

- значения параметров состояния

контролируемых

параметров

, соответствующих исправному состоянию двига-

теля;

В процессе численной линеаризация, нелинейная математическая модель (1.1), описывающая изменение параметров ГТД, представляется в виде линейной зависимости [73]:

д/1(х1,...,хп) = К{Гдх1 +...Кип-дхп, (1.2)

где Кп,...,К1 п - коэффициенты линеаризации.

а

К1Л =

дхг

X, ,

(1.3)

к.. =

У/(Х1 V? Хп)

Хп '

Формируется матрица А линейных коэффициентов:

к2Л К22 ... К2

А =

(1.4)

(1.5)

К1,\ Киг - К1,, Рассчитываются относительные отклонения контролируемых параметров от значений соответствующих исправному состоянию двигателя на конкретном режиме работы [14]:

Ъ,-Ъ]

Щ

(1.6)

Путем умножения обращенной матрицы линейных коэффициентов на матрицу отклонений контролируемых параметров G = ... ¿£т определяется диагностическая матрица двигателя С [4]:

С = {АУ-О (1.7)

Определяются поправки к идентифицируемым параметрам по формуле

у=1

Идентифицируемым параметрам состояния узлов двигателя присваиваются новые значения соответствующие найденным поправкам:

х1 = х • + ¿к; (1.9)

расчет повторяется до тех пор, пока в процессе последовательных приближений происходит уменьшение суммарной величины относительных отклонений (невязок) контролируемых параметров [14]:

7=1 V )ы

где N— номер приближения.

В процессе последовательных приближений происходит изменение коэффициентов влияния линейной системы уравнений, что может привести к ее плохой обусловленности. Поэтому в каждом приближении производится оценка критерия обусловленности и проверка выполнения условия Ыт < 102. Если условие не выполняется, то идентифицируемым параметрам присваиваются значения поправок, определенные в предыдущем приближении и для измененной модели двигателя повторяется процедура выбора режима диагностирования, и перечня контролируемых параметров [14].

Недостатки метода:

1. Диагностические матрицы позволяют по экспериментально полученным значениям отклонений контролирующих параметров, однозначно определять значения не измеряемых параметров. Однако вследствии линеаризации математической модели численным однофакторным экспериментом не учитывается взаимное влияние идентифицируемых (искомых) параметров

X = [^..„х,/, что может привести к получению некорректных результатов идентификации.

2. Коэффициенты линеаризации имеют небольшой диапазон применимости, поэтому необходимо дополнительно задавать область возможных значений идентифицируемых (искомых) параметров.

1,3 Пленшфнкашш чагсмагическиж моделей ГТД методом наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов является одним из наиболее распространенных методов оптимизации многомерных систем в математике.

Метод наименьших квадратов решает задачу увязки экспериментальной и расчетной информации за счет уточнения искомых параметров. Эта увязка осуществляется методом последовательных приближений [39].

При идентификации за счет уточнения коэффициентов, характеризующих элементы газовоздушного тракта, минимизируются невязки между одноименными параметрами, полученными расчетом по математической модели и экспериментальным путем [4].

= 0-и)

где 8р—невязка;

Ррасч — значение параметра, рассчитанное по математической модели; Рже — экспериментальное значение параметра;

т — номер замеренного параметра; }=1к, к— номер замера параметра.

Для учета неравной точности измерений параметров Р^, невязки с1р умножаются на веса измерений:

(1.12)

где ДI— веса (.7,) измерения; с — константа;

с?(и— среднеквадратичная ошибка измеряемого параметра.

Процесс идентификации считается законченным, если минимизирована сумма квадратов остаточных невязок:

( т п ^

ЕЕ<^2

^ т п ^

4-^=1 м У

<ол-кг3.

(1.13)

^■/-1 ]=\ ) У'"1 /лг

Значения варьируемых коэффициентов находятся из условий:

^ ( т п Л ( т п Л

т п

ЕЕ^2

т п V -^2

2.2А

дсг*

д

т п

V V 2

2.2А

У=1 У ЗХ:

= 0 (1.14)

где хг- - искомые параметры; 1=\,п;п- номер искомого параметра.

Метод наименьших квадратов дает хорошие результаты при использовании его в задачах диагностики, когда т>п и не дает однозначного ответа при т<п.

Методом наименьших квадратов минимизируется величина

г п У

т

-Е

J=\ V /=1

^aJj•xi-PJ

ПО X/

(1.15)

путем решения системы нормальных уравнений:

дх,.

т ( п

=2И

а1к;

(1.16)

где к = 1, 2, ..., т.

При решении задачи в матричном виде составляется линеаризованная модель двигателя 2-го уровня сложности

Ризм—Р0 = СХ, (1.17)

где Го — вектор невязок;

с—матрица коэффициентов линейной модели (коэффициентов влияния); х — матрица варьируемых коэффициентов; Ризм — вектор-столбец замеренных параметров.

В матричной форме уравнения (1.12) запишутся следующим образом [4]:

А~1(Ах-Ризл1)=0;

(1.18)

(А~'А) х= А'Р, х = (А А'1) А Р,

(1.19)

(1.20)

здесь число независимых уравнений равно рангу матрицы (А !А). Однако ранг матрицы (А~7А) больше или равен рангу матрицы (А'1) и (А). Поэтому здесь

число независимых уравнений не больше числа независимых уравнений в системе, описывающей линейную модель двигателя Ах = В и тогда очевидно, что при т<п решение однозначным быть не может.

Вычислительный процесс математической модели применяемой при идентификации методом наименьших квадратов построен по методу невязок. В общем виде математическая модель ГТД представляется в виде системы уравнений:

В результате решения системы (1.21) определяются значения варьируемых переменных х(, при которых невязки у^ обратились бы в «ноль» с заданной точностью.

В работе [50] для решения системы (1.21) предлагается применять метод Ньютона-Рафсона. Вычисление матрицы Якоби осуществляется путем односторонней вариации по варьируемым переменным х1 с нормированием столбцов по формуле:

(1.21)

где уДу = 1,2,...,п) - невязки;

х1:(/ = 1,2,..., п) - независимые (варьируемые) переменные.

(1.22)

где х0. - исходное значение варьируемого параметра;

хг- - значение варьируемого параметра после вариации;

Хтах/' -*"тт/ " гРаниЦы изменения варьируемого параметра; т - масштаб вариации;

с11 - нормирующий коэффициент, уточняемый по формуле:

Л = 1

5>

(1.23)

где аи - элемент матрицы Якоби.

А =

з/, 3/, дЛ

дх] дх2 дхп

д/2 ¥2 д/2

дХ] дх2 дхп (1.24)

д/п д/п э/я1

дхг дх2 дхп

Частные производные

дП

\дх)„

определяются по следующей формуле:

У01 ~ У

J0

удх)и с11 • т ■ (.

(1.25)

'// \^тахг -^тт/)

Матрицу нормирующих коэффициентов можно представить в виде:

0 ... О

О йх ... О £>= 1 . (1.26)

О 0 ... с1х

В результате перемножения матриц А и I) получается матрица N:

АТ = А-И. (1.27)

Вектор приращений искомых (варьируемых) параметров определяется следующим образом:

(1.28)

где - вектор невязок;

Новые значения варьируемых параметров на данном приближении:

Хг.=Х0[.+ДХг. (1.29)

В процессе каждого приближения осуществляется линейный поиск лучшего значения нормированной суммы квадратов невязок:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гилязиев, Марат Гилмзянович, 2013 год

Список лшературы

1. Абрамович, Г.Н. Прикладная газовая динамика / Г.Н. Абрамович. - М: Наука, 1969. - 842 с.

2. Агульник, А.Б. Термогазодинамические расчеты авиационных газотурбинных двигателей на ЭВМ в режиме диалога / А.Б. Агульник, В.И. Бакулев, В.А. Голубев, Б.А. Козленко, Д.С. Ковнер, A.B. Котович, И.В. Кравченко. - М: МАИ, 1996. - 84 с.

3. Акимов, В.М. Теория и расчет воздушно-реактивных двигателей/В.М. Акимов, В.И. Бакулев, Р.И. Курзинер, В.В. Поляков, В.А. Сосунов, С.М. Шляхтенко. - М.: Машиностроение, 1987 - 568 с.

4. Ахмедзянов, A.M. Диагностика состояния ВРД по термогазодинамическим параметрам / A.M. Ахмедзянов, Н.Г. Дубравский, А. П. Тунаков. - М.: Машиностроение, 1983. - 206 с.

5. Бакулев, В.И., Теория расчет и проектирование автационных двигателей и энергетических установок: Учебник. /В.И. Бакулев, В.А. Голубев, Б.А. Крылов, Е.Ю. Марчуков, Ю.Н. Нечаев, И.И. Онищик, В.А. Сосунов, В.М.Чепкин. - М.: Издательство МАИ, 2003. - 688 с.

6. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. - М: Наука, 1975. - 349 с.

7. Белоусов, А.Н. Проектный термогазодинамический расчет основных параметров авиационных лопаточных машин / А.Н. Белоусов, Н.Ф. Мусаткин, В.М. Радько, B.C. Кузьмичев. - Самара: Самар. гос. аэрокосм, ун-т, 2006. - 316 с.

8. Борисенко, А.И. Газовая динамика двигателей / А.И. Борисенко. - М: Обо-ронгиз, 1962. - 795 с.

9. Варгафтик, Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей / Н.Б. Варгафтик. - М: Наука, 1972. - 720 с.

10. Веригин, И.С. Компрессорные и насосные установки / И.С. Веригин. - М: издательский центр "Академия", 2007. - 288 с.

11. Газотурбинный двигатель НК-19СТ. Математическая модель (по состоянию на август-декабрь 2005 г.): технический отчет № 001.13905/Клычков М.В., Фомина Л.Н., Владимирова O.A. - Самара: ОАО "СНТК им. Н.Д. Кузнецова" 2006г. -

12. Гилязиев, М. Г. Разработка математической модели ГТУ на основе аппроксимации характеристик её узлов / М. Г. Гилязиев, Вл.Л. Варсегов //Материалы IV Международной научно-технической конференции "Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транпорта и энергетики (АНТЭ-2011)". - Казань, КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ - 2011. - Т.1 - с. 368-374

13. Гилязиев, М. Г. Разработка метода идентификации математической модели газотурбинного двигателя. / М. Г. Гилязиев, Вл.Л. Варсегов // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2012. - №4, вып. 2-е.

14. Гишваров, A.C. Метод выбора оптимальных условий параметрического диагностирования состояния авиационных ГТД. / A.C. Гишваров, И.В. Приб // Вестник УГАТУ. - 2009. - №2 - с. 3-10

15. Гольберг, Ф.Д. Математические модели газотурбинных двигателей как объектов управления./ Ф.Д. Гольдберг, A.B. Батенин. - М.: - МАИ, 1999 - 80 с.

16. ГОСТ 30319.0-96 Газ природный. Методы расчета физических свойств. Общие положения, 1996. - 10 с.

17. ГОСТ 30319.1-96 Газ природный. Методы расчета физических свойств. Определение физических свойств природного газа, его компонентов и продуктов его переработки, 1996. - 26 с.

18. ГОСТ 30319.2-96 Газ природный. Методы расчета физических свойств. Определение коэффициента сжимаемости, 1996. - 109 с.

19. ГОСТ 30319.3-96 Газ природный. Методы расчета физических свойств. Определение физических свойств по уравнению состояния, 1996. - 58 с.

20. Григорьев, В.А. Выбор параметров и термогазодинамические расчеты авиационных газотурбинных двигателей: учебное пособие - 2-е изд., испр. и доп./ В.А. Григорьев, A.B. Ждановский, B.C. Кузьмичев, И.В. Осипов, Б.А. Пономарев. - Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм, ун-та, 2009. -202 с.

21. Гроп, Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп., пер. с англ - М: Изд-во "Мир", 1979.-302 с.

22. Гущин, С.Н. Расчеты горения топлив: учеб. пособие / С.Н. Гущин, М.Д. Казяев. - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 1995. - 48 с.

23. Джонсон, Н. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке / Н. Джонсон, Ф. Лион, пер. с англ. - М: Мир, 1980. - 305 с.

24. Дорофеев, В.М. Термодинамический расчет газотурбинных установок./ В.М. Дорофеев, В.Г. Маслов, Н.В. Первышин, С.А. Сватенко, Б.Д. Фишбейн. -М.: Машиностроение, 1973 - 144 с.

25. Дрейпер, Н. Прикладной регрессионный анализ: в 2-х кн кн2: пер. с англ./ Н. Дрейпер, Г. Смит - М: Финансы и статистика, 1986. - 351 с.

26. Дружинин, J1.H. Метод аппроксимации характеристик компрессоров функциями двух переменных / JI.H. Дружинин, JI.H. Швец // Труды ЦИАМ. -1975.-№645 -5 с.

27. Жирицкий, Г.С. Газовые турбины двигателей летательных аппаратов / Г.С. Жирицкий. - М: Машиностроение, 1971. - 620 с.

28. Идельчик, И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям / И.Е. Идельчик. - М: Машиностроение, 1992. - 672 с.

29. Казанджан, П.К. Теория авиационных двигателей. Теория лопаточных машин: учеб. для студентов, обучающихся по специальности "Эксплуатации летательных аппаратов и двигателей" / П.К. Казанджан, Н.Д. Тихонов, А.К. Янко. -М: Машиностроение, 1983. - 217 с.

30. Казаченко, А.Н. Энергетика трубопроводного транспорта газов: учебное пособие / А.Н. Казаченко, В.И. Никишин, Б. П. Поршаков. - М.: Нефть и газ, 2001.-400 с.

31. Кеба, И.В. Диагностика авиационных газотурбинных двигателей / И.В.Кеба. - М: Транспорт, 1980. - 248 с.

32. Кильдеев, Р. А. Повышение точности математических моделей газотурбинных силовых устанвок / Р. А. Кильдеев, Б.М. Осипов, A.C. Хамзин, A.B. Титов // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2003. - №3 - с. 3-7

33. Комиссаров Ю.А., Дам Куаиг Шанг "Использование алгоритма Левенбер-га-Марквардта для прохождения параметров бинарных пар в управлениях Вильсона, НРТЛ и ЮНИКВАК" Вестник АГТУ сер.: Управление. Вычислительная техника и информатика, 2011 №2, стр 37-42.

34. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. пер. с англ - М: Наука, 1973. - 832 с.

35. Кофман, В.М. Метод параметрической идентификации математических моделей ГТД на установившихся режимах работы. / В.М. Кофман // Вестник УГАТУ. - 2009. - №1 - с. 57-65

36. Крупенич, И.Н. Формирование виртуальной модели рабочего процесса газотурбинного двигателя в CAE-системе "АСТРА" [Электронный ресурс] / И.Н. Крупенич, В.В. Кулагин, B.C. Кузмичев, А.Ю. Ткаченко, В.Н. Рыбаков // Труды МАИ. - 2003. - №67 - Режим доступа: WAVw.mai.ru/science/trudy.

37. Кулагин, В.В. Теория ВРД. Совместная работа узлов и характеристик газотурбинных двигателей. / В.В. Кулагин. -Куйбышев: КуАИ, 1988. - 240 с.

38. Лефевр, А. Процессы в камерах сгорания ГТД / А. Лефевр, пер. с англ. - М: Мир, 1986. - 566 с.

39. Линник, Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математической теории наблюдений / Ю.В. Линник. - М: ГИФМЛ, 1962. - 349 с.

40. Локай, В.И. Газовые турбины двигателей летательных аппаратов. Теория, конструкция и расчет: Учебник для студентов вузов по специальности "Авиационные двигатели и энергетические установки". -4-е изд.; перераб. и доп. /В.И. Локай, М.К. Максутова, В.А. Стрункин. - М.: Машиностроение, 1991. - 512с.

41. Лопатин, A.C. Термодинамическое обеспечение энерготехнологических задач трубопроводного транпорта природных газов / A.C. Лопатин. - М: Изд-во "Нефтяник", 1996. - 82 с.

42. Луканин, В.Н. Теплотехника: учеб. для вузов / В.Н. Луканин, Г.М. Камфер. - М: Высшая школа, 2000. - 671 с.

43. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: пер. с англ./ Л. Льюнг - М: Наука, 1991.-432 с.

44. Макаров, Е.Г. Инженерные расчеты в MathCAD: учебный курс / Е.Г. Макаров. - СПб: изд-во "Питер", 2005. - 448 с.

45. Манушин, Э.А. Теория и проектирование газотурбинных и комбинирован-нных установок / Э.А. Манушин, В.Е. Михальцев, А.П. Чернобровкин. - М: Машиностроение, 1977. - 447 с.

46. Маркин, Н.С. Основы теории обработки результатов измерений / Н.С. Маркин. - М: Издательство стандартов, 1991. - 176 с.

47. Морозов, К.Е. Математическое моделирование в научном познании./К.Е. Морозов - М.: Мысль. 1969. - 212 с.

48. Нечаев, Ю.Н. Теория авиационных двигателей. 4.2 / Ю.Н. Нечаев, P.M. Федоров. - М: Машиностроение, 1978. - 336 с.

49. Осипов, Б. М. Адекватная диагностическая модель ГТУ / Б. М. Осипов, А.Б. Осипов, И.В. Сафонов, A.B. Титов // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. -2005. - №4 - с. 5-9

50. Осипов, Б.М. Автоматизированное проектирование двигателей: Учебное пособие./ Б.М. Осипов, A.B. Титов, А.П. Тунаков, A.C. Хамзин, В.Б. Явкин. -Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2005, -166с.

51. Охорзин, В.А. прикладная математика в системе MathCAD: учебное пособие / В.А. Охорзин. - М: изд-во "Лань", 2008. - 352 с.

52. Петунии, А.Н. Методы и техника измерений параметров газового потока. Приемники давления и скоростного напора / А.Н. Петунин. - М: Машиностроение, 1932. - 332 с.

53. Поршаков, Б.П. Газотурбинные установки / Б.П. Поршаков, A.A. Апостолов, В.И. Никишин. - М: Нефть и газ, 2003. - 240 с.

54. ПР 51-31323949-43-99 Методические указания по проведению теплотехнических и газодинамических расчетов при испытаниях газотурбинных газоперекачивающих агрегатов.

55. Программный компекс ГРАД. Входные данные математической модели и диагностические сообщения: руководство программиста. - Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 1998. - 36 с.

56. Программный компекс ГРАД. Идентификация математической модели ГТД. Диагностика состояния ГТД по термогазодинамическим параметрам: руководство программиста. - Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 1998. - 25 с.

57. Программный компекс ГРАД. Модуль всережимной, быстросчетной линейно-динамической модели ГТД: описание применения. - Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 1998. - 44 с.

58. Программный компекс ГРАД. Программа идентификации: описание применения. - Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 1998. - 38 с.

59. Программный компекс ГРАД. Программа оптимизации: описание применения. - Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 1998. - 42 с.

60. Программный компекс ГРАД. Расчет харатеристик ГТД на установившихся режимах: руководство программиста. - Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 1998.-22 с.

61. Райбман, Н.С. Дисперсионная идентификация/ Н.С. Райбман, В.В. Капито-ненко, Ф.А. Овсепян, П.М. Варлаки - М: Наука, 1981. - 336 с.

62. Рангатанатан, Н. Алгоритм Левенберга-Марквардта [Электронный ресурс] / Анант Рангатанатан - 2004. - http://www.cc.gatech.edu/people/home/ananth/docs/ /lmtut.pdf.

63. Ржавин, Ю.А. Осевые и центробежные компрессоры двигателей летательных аппаратов. Теория, конструкция и расчет./ Ю.А. Ржавин. - М.: Издательство МАИ, 1995.-344с.

64. Ривкин, С.А. Термодинамические свойства воды и водяного пара: Справочник рек. гос. службой стандартных справочных данных / С.А. Ривкин, A.A. Александров. - М: Энергоатомиздат, 1984. - 80 с.

65. РТМ 1573-77 Руководящий технический материал авиационной техники. Двигатели турбореактивные. Влияние атмосферных условий на приведенные параметры и характеристики, 1977. - 30 с.

66. Сироткин, Я.А. Аэродинамический расчет лопаток осевых турбомашин./ Я.А. Сироткин. - М.: машиностроение, 1980. - 448 с.

67. Солохин, Э.Л. Испытание воздушно-реактивных двигателей/ Э.Л. Соло-хин. - М: Машиностроение, 1975. - 356 с.

68. Тарасевич, Ю.Ю. Численные методы в MathCAD'e: учебный курс / Ю.Ю. Тарасевич. - Астрахань: Астраханский гос. пед. ун-т, 2000. - 70 с.

69. Тимофеев, Н.И. Конструкция и летная эксплуатация двигателя НК-8-2У / Н.И. Тимофеев. - М: Машиностроение, 1978. - 144 с.

70. Тунаков, А.П. Методы оптимизации при доводке и проектировании газотурбинных двигателей./А.П. Тунаков - М.: Машиностроение, 1979. - 184 с.

71. Холщевников, К.В. Теория и расчет авиационных лопаточных машин: Учебник для студентов вузов по специальности "Авиационные двигатели". 2-е изд., перераб. и доп./ К.В. Холщевников, О.Н. Емин, В.Т. Митрохин - М.: Машиностроение, 1986. - 432с.

72. Цыпкин, Я.З. Информационная теория идентификации/ Я.3. Цыпкин - М: Наука, 1995.-336 с.

73. Черкез, А.Я. Инженерные расчеты газотурбинных двигателей методом малых отклонений / А.Я. Черкез. - М: Машиностроение, 1975. - 380 с.

74. Чуян, Р.К. Методы математического моделированиядвигателей летательных аппаратов. Учеб. пособие для студентов авиадвигательных специальностей вузов./ Р.К. Чуян - М.: Машиностроение, 1988. - 288 с.

75. Шевченко, М.В. Метод главных компонент в решении задачи косвенных измерений параметров ГТД. / М.В. Шевченко, C.B. Епифанов// Авиационно-космическая техника и технология. - 2011. - №9 - с. 219-228

76. Шевченко, М.В. Определение изменения параметров ГТД с использованием ридж-оценивания. / М.В. Шевченко, C.B. Епифанов// Авиационно-космическая техника и технология. - 2010. - №8 - с. 106-111

77. Щуровский, В.А. Каталог газодинамических характеристик ЦБН природного газа. / В.А. Щуровский, С.Ю. Сальников, И.В. Барцев, Л.С. Цегельников, Н.С. Синицын, Р.В. Шинтяпин - М.: ВНИИГАЗ, 2005. - 128 с.

78. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления: пер. с англ./ П. Эйкхофф - М: Мир, 1975. - 682 с.

79. Янкин, В.И. Система программ для расчета характеристик ВРД на ЭЦВМ./ В.И. Янкин. - М.: Машиностроение, 1976. - 168с.

80. Anderson, B.D.O. Model approximation via prediction error identifica-tion./B.D.O. Anderson, J.B. Moore, R.M.Hawkes// — Automatica, - vol. 14, - 1978, -pp.615-622.

81. Astrom, K.J. Numerical identification of linear dynamic systems from normal operating records./K.J. Astrom, T. Bohlin// — Proc. IF AC Symp. Self-Adaptive System, - 1965.—pp. 96-111.

82. Astrom, K.J. System identification./K.J. Astrom, P. Eykhoff7/ — A survey. Automatica, - vol. 7, - 1971. - pp. 123—162

83. Box, G.E.P. Time Series Analysis, Forecasting and Control./G.E.P. Box, G.M. Jenkins// — Oakland, CA:Holden-Day, 1970.

84. Gevers, M. Optimal experiment designs with respect to the intended model ap-plication./M. Gevers, L. Ljung// - Automatica, - vol. 22, - 1986, -pp. 543—554.

85. Hannan, E.J. Time Series Analysis./E.J. Hannan, T. Bohlin// — New York rMethuen, 1960

86. Ho, B.L. Effective construction of linear state-variable models from input-output fimctions./B.L. Ho, R.E. Kalman// - Regelungstechnik, - vol.12, - 1965. — pp. 545—548

87. Koopmans, T.C. Measuring the Equation Systems of Dynamic Economics./T.C. Koopmans, H. Rubin, R.B. Leipnik// — (Cowles Commission Monograph, vol. 10, T.C.Koopmans, Ed.). New York: Wiley, 1950.

88. Levenberg, K. A Method for the Solution of Sertain Problems in Least Square./ K. Levenberg // Quart. Appl. Math. -1944 - vol.2 - 164-168 p.

89. Ljung, L. Asymptotic normality of prediction error estimators for approximative system models./L. Ljung, P.E. Caines// — Stochastics, - vol. 3, - 1979, - pp.29-46.

90. Ljung, L. On consistency and identifiability./L. Ljung// — Math. Program. Study, - vol. 5, - 1976, - pp. 169—190.

91. Marquardt, D. An Algoritm Fot Least Squares Estimation of Nonlinear Parametres / D. Marquardt // SIAM Journal on applied mathematics. - 1963 - vol.11, N2 -431-441 p.

92. Mattingly, Jack D. Aircraft engine design./Jack D. Mattingly, William H. Heiser, David T. Pratt. - Reston: AIAA, 2002, - 687 p.

93. Oates, Gordon C. Aerothermodynamics of aircraft engine components./Gordon C. Oates. - New York: AIAA, 1985, - 548 p.

94. Urban, L.A. Gas Path Analysis Applied to Turbine Engine Condition Monitoring./ L.A. Urban// AIAA paper - december, 1972 - 1082 p.

95. Urban, L.A. Parametr selection for multiple fault diagnostics of gas turbine engines./ L.A. Urban// ASME paper - 1974 - 62 p.

96. Wahlberg, B. Design variables for bias distribution in transfer function estima-tion./B. Wahlberg, L. Ljung// - IEEE Trans. Automat. Contr., - vol. AC-31, - 1986, -pp.134-144.