Разработка математической двумерной модели и исследование влияния рельефа на параметры конвекции в атмосфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.30, кандидат наук Данилова Нина Евгеньевна

• Данилова Нина Евгеньевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Данилова Нина Евгеньевна

1.4 Влияние характеристик приземного слоя на развитие облачной конвекции

Глава 2. ВЛИЯНИЕ РЕЛЬЕФА НА РАЗВИТИЕ КОНВЕКЦИИ

2.1 Влияние рельефа на развитие конвекции сухого воздуха в атмосфере

2.2 Влияние рельефа на развитие конвекции влажного воздуха

в атмосфере

2.3 Влияние орографии на развитие облачной конвекции в Ставропольском крае

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТРУИ В РАБОТАХ ПО СТИМУЛИРОВАНИЮ ОБЛАЧНОЙ КОНВЕКЦИИ

ИСКУССТВЕННЫМИ СТРУЯМИ

3.1 Оценка критического размера термика

3.2 Конвекция до уровня конденсации (подоблачная)

3.3 Математическая модель струи

3.4 Решение системы уравнений, описывающих струю

3.5 Анализ результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математической двумерной модели и исследование влияния рельефа на параметры конвекции в атмосфере»

ВВЕДЕНИЕ

Одним из видов вертикальных движений в атмосфере является конвекция. Атмосферная конвекция в теплое время года не только осуществляет вертикальный перенос тепла, водяного пара и импульса, но и является основной причиной образования конвективных облаков: кучевых (Си), мощных кучевых (Си cong) и кучево-дождевых (СЬ). С кучево-дождевыми облаками связан комплекс наиболее опасных явлений погоды. Это ливневый дождь, град, гроза. К числу опасных проявлений конвективной деятельности относятся также шквалы и смерчи, которые обладают огромной разрушительной силой, приносят значительный материальный ущерб и нередко приводят к гибели людей [2, 23, 29, 42, 55].

Как известно, все формы кучевых облаков являются результатом конвективных движений в атмосфере. Конвективные движения возникают в неустойчиво стратифицированной атмосфере под влиянием атмосферных фронтов или орографических особенностей района. Орографические особенности влияют на развитие конвекции двумя способами: косвенно посредством деформации фронтальных зон с последующим развитием барических образований или непосредственно при перетекании воздушного потока через горные препятствия [24]. В свою очередь непосредственное влияние орографии может быть двояким; вследствие тепловых влияний, связанных с перегревом и охлаждением склонов, и вследствие динамического воздействия склонов.

Термическое влияние орографических препятствий сказывается внутри однородных воздушных масс, когда наблюдаются слабые ветры и малые барические градиенты в нижней части тропосферы. В этом случае при слабом горизонтальном переносе в атмосфере формируются термические неоднородности, вызывающие днем циркуляцию с восходящими движениями над возвышенностями и нисходящими во впадинах. В ночные

часы наблюдается обратная картина. Тепловое влияние гор весьма

3

существенно в летнее время. Оно часто выходит за пределы горных районов и распространяется на предгорные равнинные области, на расстояния до 100 км, где днем за счет нисходящих движений происходит ослабление процессов облакообразования.

Динамические воздействия вносят больший вклад в упорядоченные вертикальные движения, развивающиеся в нижних слоях воздуха над склонами гор и прилегающими к ним равнинными областями. У наветренных склонов гор имеет место усиление восходящих движений, у подветренных -нисходящих движений. Интенсивность вертикальных движений зависит от свойств воздушного потока и характеристик хребта [3].

Свободная конвекция - очень сложный и далеко еще не изученный до конца процесс. Очень сложен он в атмосфере, мантии и ядре Земли. Это связано с огромными их размерами, вращением Земли и сложными тепловыми и плотностными полями внешних оболочек и внутренних областей планеты. Конвекция имеет место в плазмах звезд. Солнечные пятна также формируются благодаря конвекции. Поэтому говорят также об электро-конвекции и магнитной гидродинамической конвекции. Но эти явления не будут предметом нашего исследования. Таким образом, конвекция является одним из самых распространенных видов движения во вселенной.

Свободная конвекция является, по существу, первопричиной почти

всех движений в атмосфере. Энергия большинства движений в океане на 80 -

90 % обусловлена, индуцирована конвективными движениями атмосферы и

на 10 - 20 % свободной конвекцией, возникающей в самом океане. В целом,

это сложный процесс взаимодействия атмосферы и океана. Прогнозирование

особенностей развития конвективных процессов во времени и пространстве

является актуальной научной задачей. Этой проблеме посвящено большое

число работ [7, 10, 13, 25, 56, 58]. Несмотря на это, в настоящее время нет

аналитического решения двумерной модели конвекции в общем виде.

Поэтому существующие в практике прогнозирования методы расчета

4

параметров конвекции основаны на данных многолетних наблюдений и представляют собой статистические зависимости между различными параметрами. В связи с этим разработка адекватной математической модели конвекции, описывающей влияние рельефа на ее развитие, является актуальной задачей физики атмосферы.

Так как территория Ставропольского края характеризуется резкой неоднородностью рельефа, то существенное влияние на развитие конвективных движений оказывает орография, которая влияет и на распределение характеристик конвективных облаков и явлений. Исследованию влияния орографии Ставропольского края также посвящено достаточное количество работ. Но все эти работы основаны на статистическом анализе связи параметров конвекции с характеристиками рельефа местности. Поэтому разработка математических моделей влияния орографии Ставропольского края на параметры конвекции в настоящее время становится актуальным, потому что это позволит усовершенствовать методику прогноза погоды.

Из сказанного выше следует, что знание характеристик, причин и возможности предсказания конвективного движения позволит своевременно обеспечить безопасность людей и сохранность материального имущества. Таким образом, актуальность исследования обусловлена двумя моментами: с одной стороны, отсутствует аналитическое решение двумерной модели конвекции, учитывающей влияние орографии на такие параметры конвекции, как горизонтальный и вертикальный размер конвективной ячейки (уровень конвекции), уровень и значение максимальной вертикальной составляющей скорости, а с другой стороны конвекция лежит в основе большинства опасных явлений погоды, точный прогноз которых необходим для обеспечения нормальной жизнедеятельности людей.

Цель исследования - разработка математической двумерной стационарной модели тепловой конвекции с учетом влияния рельефа местности на ее параметры.

Для реализации намеченной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработать двумерную математическую модель тепловой конвекции, учитывающей влияние орографии на параметры конвективной ячейки.

2. Исследовать с помощью данной модели влияние характеристик приземного слоя и рельефа на такие параметры конвективной ячейки, как уровень конвекции, уровень максимальной вертикальной составляющей скорости, максимальная вертикальная составляющая скорости.

3. Выявить зависимость размера конвективной ячейки для сухой и влажной атмосферы от параметров атмосферы и характеристик приземного слоя.

4. Для районов Ставропольского рассчитать распределение скоростей восходящих потоков на основе анализа рельефа местности с помощью программы МарШЪ. По полученным данным рассчитать распределение критических значений дефицита точки росы.

5. Разработать математическую модель струи метеотрона для оценки возможности стимулирования облаков и осадков, найти ее аналитическое решение, позволяющее определить распределение скорости, превышения температуры и радиуса струи с высотой.

Объектом исследования является тепловая конвекция в слое атмосферы до уровня конденсации.

Предмет исследования - математическая модель конвекции и струи, позволяющая оценивать параметры конвекции и их влияние на развитие облачной конвекции.

Практическая ценность заключается в том, что результаты исследования влияния рельефа местности на развитие конвекции могут быть использованы в практике прогнозирования параметров конвекции для определения состояния атмосферы.

Научная новизна результатов исследования заключается в том, что в данной работе была разработана математическая модель тепловой конвекции и найдено ее решения с учетом влияния орографии. Выявлено влияние орографии на характер распределения скоростей и размер конвективной ячейки.

Рассчитаны критические значения дефицитов точки росы, определяющие начальный перегрев и скорость восходящих потоков на уровне конденсации в зависимости от рельефа местности.

Для районов Ставропольского края рассчитаны значения и найдены характер распределения скоростей восходящих потоков.

Разработана математическая модель струи метеотрона для оценки возможности стимулирования облаков и осадков, найдено ее аналитическое решение, позволяющее определить распределение скорости, превышения температуры и радиуса струи с высотой.

Апробация результатов исследования. Результаты исследования были

представлены на 56 научно-методической конференции «Университетская

наука - региону» (Ставрополь, 2011 г.); на 57 научно-методической

конференции «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2012 г.); на

международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по

фундаментальным наукам «Ломоносов - 2012» (Москва, 2012 г.); на

международной молодежной научной конференции «Математическая физика

и ее приложения» (Пятигорск, 2012 г.); на международной научной

конференции с элементами научной школы «Инновационные методы и

средства исследований в области физики атмосферы, гидрометеорологии,

экологии и изменения климата» (Ставрополь, 2013 г.); на ежегодной научно -

практической конференции Северо-Кавказского федерального университета

«Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2013 г.); на VII

Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Наука

и устойчивое развитие» (Нальчик, 2013 г.); на международной конференции

студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам

7

«Ломоносов - 2013» (Москва, 2013 г.); на двадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ - 20» (Ижевск, 2014 г.); на международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов - 2014» (Москва, 2014 г.); на международном симпозиуме «Атмосферная радиация и динамика. МСАРД -2015» (Санкт-Петербург, 2015 г.); на международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов - 2015» (Москва, 2015 г.); на двадцать первой всероссийской научной конференции студентов физиков и молодых ученых «ВНКСФ - 21» (Омск, 2015 г.); на второй международной научной конференции с элементами научной школы «Инновационные методы и средства исследований в области физики атмосферы, гидрометеорологии, экологии и изменения климата» (Ставрополь, 2015 г.); на!У ежегодной научно-практической конференции Северо-Кавказского федерального университета «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2016 г.); на V ежегодной научно - практической конференции Северо-Кавказского федерального университета «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2017 г.); на третьей международной научной конференции с элементами научной школы «Инновационные методы и средства исследований в области физики атмосферы, гидрометеорологии, экологии и изменения климата» (Ставрополь, 2018 г.); на VI ежегодной научно-практической конференции Северо-Кавказского федерального университета «Университетская наука -региону» (Ставрополь, 2018 г.); на VII ежегодной научно-практической конференции Северо-Кавказского федерального университета «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2019 г.).

По теме диссертации опубликовано 30 работ, из которых 6 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК и 24 работы в сборниках и трудах конференций.

Основные результаты работы, выносимые на защиту:

1. Двумерная математическая модель конвекции с учетом орографии и ее аналитическое решение.

2. Установленные связи между орографией и такими параметрами конвекции, как уровень конвекции, уровень максимальной вертикальной составляющей скорости, максимальная вертикальная составляющая скорости.

3. Выявленные зависимости размера конвективной ячейки для сухой и влажной атмосферы от параметров атмосферы и характеристик приземного слоя.

4. Результаты теоретического исследования влияния рельефа Ставропольского края на развитие конвекции.

5. Разработанная математическая модель струи метеотрона для оценки возможности стимулирования облаков и осадков, ее аналитическое решение, позволяющее определить распределение скорости, превышения температуры и радиуса струи с высотой.

Структура, объем и содержание диссертационной работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем работы составляет 161 страница, она содержит 37 рисунков и 3 таблицы. Список литературы состоит из 131 наименования, в том числе 58 на русском и 73 - на английском языке.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи работы, дан краткий анализ современного состояния проблем, которые исследуются в диссертации, раскрываются научная новизна и практическая значимость результатов диссертационного исследования, приводятся основные положения, выносимые на защиту, сведения о публикациях автора и апробации работы, а также личный вклад автора в работу.

В первой главе изложены результаты детального анализа современного состояния проблемы математического описания тепловой

конвекции, рассматривается уравнение тепловой конвекции Рэлея - Бенара,

9

условия возникновения конвекции по теории Рэлея. Основное внимание уделяется обсуждению трудностей математического описания конвекции и используемых предположений для целей упрощения уравнения Навье -Стокса. Перечисляются требующие дальнейшего исследования вопросы, дается обоснование поставленной в диссертационном исследовании цели, а также задач, с решением которых связано ее достижение.

В выводах к главе отмечено, что исследованию таких вопросов, как возникновение конвекции, а также разработка методов прогноза конвекции посвящено большое количество работ. Это связано с тем, что они представляют не только научный интерес для решения ряда общих проблем физики атмосферы, но и представляют большое значение для снижения рисков, связанных с опасными конвективными явлениями в атмосфере.

Во второй главе анализируется уравнение свободной конвекции сухого и влажного воздуха в атмосфере и их решение с учетом орографии. Рассматривается колебательный режим конвекции. Выявлен характер скоростей восходящих потоков с учетом рельефа местности. Описано уравнение переноса вихря для конвекции сухого и влажного воздуха в атмосфере с учетом орографии.

Рассмотрено влияние характеристик приземного слоя, а также орографии на развитие облачной конвекции. Произведен расчет параметров конвекции на уровне конденсации и средней вертикальной скорости конвекции с учетом рельефа местности.

Для 25 районов Ставропольского рассчитано распределение скоростей восходящих потоков на основе анализа рельефа местности с помощью программы Мар1пАэ. По полученным данным рассчитаны распределения критических значений дефицита точки росы.

В третьей главе разработана математическая модель струи. Разработка

модели преследовала цель, которая заключается в исследовании

возможности создания искусственных струй для стимулирования облачной

конвекции. При этом за основу была взята математическая модель струи,

10

разработанная Вульфсоном и Левиным для целей искусственного стимулирования облачной конвекции, которая получила развитие в данной диссертации, в которой удалось получить аналитическое решение вне приближения пограничного слоя. Другим преимуществом разработанной в диссертации модели является то, что она позволяет находить радиус струи в общем виде.

По результатам исследований в диссертации отмечается, что основная задача искусственного стимулирования подоблачной конвекции с целью интенсификации развития облаков и увеличения осадков заключается в достижении уровня конденсации подоблачной струей, имея при этом положительную скорость и нулевой перегрев.

В заключении представлены основные выводы и результаты, полученные в работе.

Глава 1 ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ

1.1 Механизм возникновения ячеек Бенара

Первоначально термин «конвекция» был предложен в 1834 году англичанином Вильямом Прутом (W. Prout) для описания распространения тепла в движущейся жидкости [2, 3, 30, 35]. Термин этот происходит от латинского слова «convectio», что означает «принесение, доставка». Конвекция возникает при наличии тепловой неоднородности в жидкостной и газовой средах [4, 40, 54, 102]. Такая неоднородность является источником движения в результате действия различных механизмов, например, таких, как поверхностное натяжение, подъемная сила. Существует также стабилизирующее воздействие вязкости, стремящееся подавить движение. Фундаментальной характеристикой процесса возникновения конвекции является существование порога, выше которого существует организованное движение упорядоченных структур.

Впервые возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости было описано Джеймсом Томсоном (James Thomson) в 1888 году. Он наблюдал сотообразные структуры в сосуде с мыльной водой [3]. Систематическое исследование конвективных движений в горизонтальном слое жидкости начинается с работ Б. Бенара (B.H. Benard) в 1900 году. В своем объяснении возникновения сотообразных шестиугольных ячеистых структур Бенар анализировал роль вязкости жидкости и поверхностного натяжения (рисунок 1).

Рисунок 1. Схематическая структура конвективных ячеек Бенара.

Первое теоретическое исследование задачи возникновения конвекции в горизонтальном слое жидкости было выполнено Рэлеем (Lord Rayleigh) в 1916 году для двух свободных границ. Анализ Рэлея был расширен Джеффри (H. Jeffreys) и Лоу (A.R. Low) для случая двух жестких и смешанных границ. Было установлено, что переход от режима теплопроводности (диффузии) к режиму конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, происходит при некотором критическом значении безразмерного комплекса, названного впоследствии числом Рэлея. Это число определяет отношение подъемных сил к силам вязкостного трения. Теория Рэлея объясняет возникновение конвективного движения под влиянием архимедовых подъемных сил [3, 10, 32, 33, 104]. Здесь следует отметить, что теория Рэлея не является собственно теорией, описывающей процесс конвекции. В действительности Рэлей провел линейный анализ устойчивости уравнений, описывающих конвекцию. В результате анализа Рэлей нашел критерий возникновения конвекции, но саму конвекцию теория Рэлея не описывает.

Граничные условия, использованные Рэлеем, были искусственными, хотя решение, полученное на этой основе, позволило получить простое решение спектральной краевой задачи, учитывающей особенности проблемы устойчивости конвекции [2, 3, 35, 39, 41, 74].

Желая сопоставить теоретические результаты Рэлея и экспериментальные данные Бенара, Лоу и Д. Брунт (D. Brunt) вычислили

градиент температуры в слое жидкости, требуемый для неустойчивости в экспериментах Бенара. Оказалось, что градиенты температуры были в десятки раз меньше, чем требуемые по теории Рэлея [36, 37, 38, 94, 114].

Необходимость рассмотрения градиента поверхностного натяжения в качестве основной причины возникновения неустойчивости в тонком горизонтальном слое возникла после краткого сообщения М. Блэка (M.J. Block). Он нашел, что ячеистая конвекция в горизонтальном слое может встречаться тогда, когда градиент температуры, по крайней мере, на порядок меньше, чем требуется существующими теориями по устойчивости горизонтального слоя. В то время как теория предсказывает устойчивость слоя, охлаждаемого снизу, Блэк наблюдал ячейки Бенара в тонком слое, охлажденном также снизу. Он пришел к заключению, что ячейки Бенара, наблюдаемые им в экспериментах, образовались в результате изменения поверхностного натяжения, которое, в свою очередь, вызвано неоднородностью температуры на свободной поверхности жидкости.

Конвекция в плоском горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, имеет особенности, характерные для многих явлений гидродинамической устойчивости. Конвекция Рэлея - Бенара дает богатые возможности для исследования процессов самопроизвольного возникновения упорядоченных пространственных структур. В данной конвекции взаимонезависимость пространственных и временных эффектов, упрощает экспериментальные и теоретические исследования. Подробный анализ проблем формирования пространственных структур, отбора их форм и масштабов, смены режимов конвекции приводится в работе [3, 4, 5, 6, 8, 38,

Известно, что распространение локализованных градиентов температуры и скорости через слой жидкости определяется уравнением теплопроводности. Для распределения температуры коэффициентом

40, 56, 61, 67, 76, 95, 96, 104, 106].

теплопроводности является температуропроводность

где

ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, р0 - плотность

жидкости, Я - коэффициент теплопроводности. Коэффициентом переноса импульса в жидкости является кинематическая вязкость: у=-/ръ, где - -коэффициент динамической вязкости [67].

Эти коэффициенты переноса позволяют определять порядок величин характеристического времени релаксации градиентов в слое глубины й:

г Ж ' У V '

Отношение этих времен является числом Прандтля, которое контролирует развитие по времени этих двух типов градиентов:

^=г.

^ х

Рассмотрим случай, когда нижняя граница слоя имеет температуру выше, чем верхняя граница, то есть когда в слое устанавливается постоянный отрицательный градиент температуры.

Кажется, что стратификация, образованная более плотным слоем, находящимся выше менее плотного слоя, всегда является неустойчивой. Покажем, что это не совсем так. В действительности на жидкий элемент В, который находится в менее плотной области, не действует сила, толкающая его вверх, так как его горизонтальное окружение имеет такую же плотность (рисунок 2).

Рисунок 2. Смещение сферического элемента жидкости для анализа сил, действующих на этот элемент после начала движения.

Рассмотрим теперь случай, когда частица В перемещается в положение В. Если это движение достаточно быстрое, чтобы температура между частицами не успевала выравниваться, то эта частица будет окружена более плотной областью, что приводит к возникновению архимедовой подъемной силы. Эта сила может поддерживать начальное подъемное движение [11, 12, 30, 31 73].

Основной вопрос относительно устойчивости слоя может быть сформулирован так: успеет ли отрелаксировать разность температуры между жидким элементом и его окружением, пока этот элемент пройдет расстояние порядка й ? Отметим, что эта разность температуры необходима, чтобы возникла подъемная сила, поддерживающая движение. Таким образом, нужно сравнивать два времени: время перемещения и время тепловой релаксации. После начального смещения элемент жидкости подвергается двум противоположным силам. Первая сила - сила плавучести, равная разности подъемной архимедовой силы и силы тяжести, которая пропорциональна ускорению силы тяжести g, плотности ро, коэффициенту объемного расширения жидкости а, разности температуры в слое АТ и

з

элементарному объему г :

gаPоАTгЪ

Вторая сила - сила вязкого трения, направленная против движения. Эту силу можно записать по формуле Стокса

¥у ~ 6лrrrrv,

где ■ - динамическая вязкость, V - скорость элемента жидкости с радиусом г. Приравнивая эти силы, получим время, необходимое для преодоления расстояния й жидким элементом:

г = — - '

V gароАTd

Движение элемента будет поддерживаться, если время тепловой релаксации больше, чем г, то есть тх > г.

Ясно, что, чем крупнее элемент жидкости, тем он более склонен к движению (дольше время тепловой жизни, выше скорость). Так, если рассматривать элемент, радиус которого стремится к й, условие возникновения движения, таким образом, можно записать в виде

Ra = --> Racr,

Ж

где Racr - некоторая константа. Выражение, стоящее слева, называется числом Рэлея, оно является параметром, определяющим устойчивость в слое жидкости, к которому приложен вертикальный градиент температуры.

Таким образом, если Ra выше некоторого критического значения, слой жидкости теряет устойчивое состояние покоя и в нем возникает конвективное движение.

Следует отметить, что в приведенном анализе остается открытым вопрос о причине случайного подъема объема жидкости в однородном слое. Поэтому предварительно должны образовываться, так называемые термики, области локального перегрева жидкости по отношению к окружающей среде. Причины и механизмы формирования термиков в однородной среде также являются открытыми.

1.2 Уравнения тепловой конвекции Рэлея - Бенара

Макроскопические движения жидкости или газа описываются общей системой уравнений гидродинамики. Эта система включает в себя уравнение движения Навье - Стокса, общее уравнение переноса тепла и уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения массы.

Для реальной сжимаемой жидкости, находящейся в поле тяжести, общая система уравнений гидродинамики имеет вид:

+ ( уУ) у "

дг у 1

2 (-

= -Ур + -У2у + — + £ Vdiw + рg V 3

(1.2.1) 17

( д? А <-> рТ - + (уУ)s\ = zУ2T + В, (1.2.2)

V

р Шу (ру ) = 0. (1.2.3)

Здесь у - скорость; р - давление; р - плотность; Т - абсолютная температура; б - энтропия единицы массы жидкости; g - ускорение свободного падения; ] и £ - коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости; X - коэффициент теплопроводности (уравнения (1.2.1), (1.2.2) записаны в предположении постоянства коэффициентов £ их); В - диссипативная функция:

^ . Л2

+ £( Шуу )2

в=г

ду к 2 ; + —к- —5 1к ёгуу

\дхк дх1 3 )

2

(5к - символ Кронекера; по индексам I, к предполагается суммирование).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Данилова Нина Евгеньевна, 2021 год

источников.

Приступим теперь к преобразованию уравнения Навье - Стокса (1.2.1). Подставляя (1.2.9) в (1.2.1), получим с учетом (1.2.11):

р(1 -аТ) ^ = -Ур + ^Ау + р(1 -аТ) g , (1.2.15)

где — - полное (субстанциальное) ускорение. Представим давление в виде

р = р + р', выделив гидростатическое давление р, соответствующее равновесию при средней (постоянной) плотности р. Давление р определяется уравнением Ур = рg. Правая часть (1.2.15) примет тогда вид:

р(1 - аТ)ёу = -Ур' + г/У2у - раТ^.

В левой же части пренебрежем членом, содержащим аТ' << 1. Поделив на среднюю плотность р, запишем уравнение движения в виде:

ду + ( уУ) у = -1 Ур' + УУ2 у + ■ к. (1.2.16)

Здесь у = ^р - коэффициент кинематической вязкости, а к -единичный вектор, направленный по вертикали вверх.

Собирая (1.2.11), (1.2.14) и (1.2.16), получим систему уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска:

Л 1

ду + ( уУ) у = - - Ур' + уу2 у + gpr ■ к, (1.2.17)

^ + (уУ)Т ' = *У2Г , (1.2.18)

шу у = 0. (1.2.19)

Будем помнить, однако, что в уравнениях (1.2.17), (1.2.18) температура Т отсчитывается от среднего значения Т , убывающего с высотой, а давление р' есть отклонение от гидростатического давления р,

соответствующего постоянной температуре Т (и, следовательно, плотности р).

Возвращаясь к допущениям, сделанным при выводе уравнений (1.2.17) -(1.2.19), отметим, что основным моментом в приближении Буссинеска является предположение о том, что рассматривается в некотором смысле «слабая» конвекция: отклонения плотности от среднего значения, вызванные неоднородностью температуры, предполагаются настолько малыми, что ими можно пренебречь во всех уравнениях, кроме уравнения движения, где это отклонение учитывается лишь в члене с подъемной силой. Разумеется, учет неоднородности плотности лишь в уравнении движения означает некоторую непоследовательность приближения Буссинеска. Однако сравнение результатов численного решения уравнений конвекции (1.2.17) - (1.2.19) с обширным экспериментальным материалом с определенностью свидетельствует о том, что эти уравнения достаточно хорошо отражают все важнейшие особенности тепловой конвекции в лабораторных масштабах.

Система уравнений (1.2.17) - (1.2.19) определяет поля скорости, температуры и давления в жидкости, совершающей конвективное движение.

Сформулируем теперь граничные условия. На границе £ жидкости с твердым массивом (землей), если не учитывать динамические факторы (орография), скорость обращается в нуль:

у = 0, (1.2.20)

а температура и нормальная составляющая теплового потока непрерывны:

Т'\2=0 = АоТ, х^Т = Хт ^ (1.2.21)

^=° дп дп

Здесь п - нормаль к границе, хт - коэффициент теплопроводности массива (земли).

В частных случаях температура или тепловой поток могут быть заданы непосредственно на границах полости. При этом уравнения и граничные условия будут содержать следующие параметры: характерную толщину полости к, характерную разность температур 0, время т, характеризующее не стационарность внешних условий, и параметры жидкости у, к и gа. Из

этих величин можно построить три независимые безразмерные комбинации:

23

Ог = ^, Рг = р0 ™, (1.2.22)

V2 к Н

так называемые числа Грасгофа, Прандтля и Фурье. Эти числа служат критериями подобия свободного конвективного движения.

Конвективное движение может быть нестационарным даже в том случае, когда внешние условия подогрева не изменяются со временем (различные процессы установления, самопроизвольные колебания жидкости и пр.). При этом характерное время г (время релаксации или период колебаний), естественно, не является «свободным» параметром, а число Фурье есть функция остальных параметров подобия.

Механическое равновесие. В неравномерно нагретой жидкости, как правило, возникает конвективное движение. Существуют, однако, такие весьма специальные условия подогрева жидкости, при которых она может находиться в состоянии механического равновесия, т. е. оставаться неподвижной, устойчивой. Термодинамического равновесия при этом, конечно, не будет: пространственная неоднородность температуры неизбежно приведет к возникновению теплового потока [30, 81].

Для выяснения условий, при которых возможно механическое равновесие, обратимся к уравнениям конвекции (1.2.17) - (1.2.19). Положим в этих уравнениях скорость равной нулю, и будем искать стационарные распределения температуры и давления в равновесии. Обозначая равновесные распределения температуры и давления через Т' и р', получим из (1.2.17), (1.2.18) уравнения для этих величин:

-1VP + gaT' ■ к = 0 , (1.2.23)

Р

V 2Т' = 0. (1.2.24)

Применим к уравнению (1.2.23) операцию rot. Пользуясь соотношением rot (Vp') = 0, а также учитывая постоянство к, будем иметь

rot (Vf, к ) = [vf, к ] = 0 . (1.2.25)

24

Если отбросить тривиальный случай УТ' = 0, соответствующий однородному по пространству распределению температуры (изотермическая жидкость), то из (1.2.25) следует, что УТ' параллелен вектору к, т.е. имеет вертикальное направление. Таким образом, горизонтальные компоненты градиента возмущения температуры равны нулю:

дТ' дТ'

— = — = 0 (1.2.26)

дх ду

(оси х и у расположены горизонтально), и возмущение температуры в равновесии зависит только от вертикальной координаты z:

Т = Т (г). (1.2.27)

Обращаясь теперь к уравнению теплопроводности (1.2.24), получим д2Т '/дг2 = 0, откуда следует, что возмущение температуры меняется с высотой линейно:

Т = - ^ + В. (1.2.28)

Здесь А и В - постоянные величины. Если ось z направлена вверх, то А > 0 соответствует линейному убыванию, а А < 0 - линейному возрастанию возмущения температуры с высотой.

Итак, в состоянии механического равновесия температура жидкости зависит лишь от вертикальной координаты, и притом линейно. Равновесный градиент температуры, таким образом, во всех точках жидкости вертикален и имеет постоянное значение:

УТ = -Ак. (1.2.29)

Это условие равновесия в общем виде было сформулировано В. С. Сорокиным [41].

Соотношение (1.2.29) является необходимым условием механического равновесия неравномерно нагретой жидкости. Если это условие не выполнено, т.е. возмущение температуры зависит не только от z, но и от горизонтальных координат х и у, либо если зависимость от z не является

линейной, то механическое равновесие невозможно, в этом случае неизбежно

25

будет происходить конвекция. При выполнении условия (1.2.29) равновесие возможно. При этом, однако, оно может оказаться устойчивым или неустойчивым. Если равновесие устойчиво относительно всех допустимых возмущений, то конвекция отсутствует. Если же равновесие неустойчиво по отношению к каким-либо возмущениям, то в результате развития этих возмущений возникает конвекция [32, 39, 41, 42, 45, 46, 101].

Необходимое для равновесия линейное распределение возмущения температуры (1.2.28) легко, например, осуществить в плоском горизонтальном слое жидкости. Для этого параллельные горизонтальные плоскости, ограничивающие слой, должны поддерживаться при постоянных, не меняющихся вдоль этих плоскостей температурах. Градиент температуры в жидком слое будет тогда вертикальным, постоянным и равным по величине 0/Н, где 0 - разность температур границ, а Н - толщина слоя.

Запишем формулу (1.2.28) в удобном для дальнейшего анализа виде. Напомним, что

Т'(?) = А0Т-(Га-г)?, (12.28 )

VТ' ( г ) = -А/- к .

Из формулы (1.2.23) следует, что при механическом равновесии возмущение давления не равно нулю:

1 , др' др' др' _ = ^^аТк, дР = дР = 0, др- = РёаТ .

р дх ду дг

Обратим внимание на специфичность полученных условий. Действительно, в предыдущих рассуждениях ничего не говорилось о причинах возникновения флуктуаций температуры и давления. Если допустить наличие флуктуации температуры, то при механическом равновесии флуктуация температуры должна уменьшаться с высотой по линейному закону (1.2.28'). Тогда из формулы (1.2.23) следует, что флуктуация давления должна уменьшаться с высотой по параболическому закону. Но, с другой стороны, из уравнения состояния следует, что

флуктуации температуры и давления связаны соотношением р' = рЯ^Т' .Отсюда следует, что флуктуация давления также должна изменяться по линейному закону. Отсюда мы можем заключить, что причина флуктуации давления иная, т.е. она не связана с флуктуацией температуры. Но в рамках плоской внешней границы, т.е. когда нет изменений давления в горизонтальной плоскости, нет других причин, способных вызвать необходимую флуктуацию. Таким образом, условие механического равновесия в приведенном выше виде носит противоречивый характер. Заметим, что из исходных уравнений (1.2.1) - (1.2.3) условие механического равновесия сводится к линейному уменьшению температуры (не флуктуации) жидкости с высотой и гидростатическому уменьшению давления (не флуктуации) с высотой.

Нормальное возмущение. Как уже указывалось, механическое равновесие неравномерно нагретой жидкости может оказаться устойчивым или неустойчивым. Равновесие устойчиво, если все возмущения со временем затухают. Если же одно или несколько возмущений со временем нарастают, то равновесие неустойчиво относительно этих возмущений. Их развитие со временем приведет к тому, что равновесие будет нарушено, и возникнет конвекция [30, 81].

В реальных условиях неизбежно возникают самые разные возмущения. Поэтому равновесие жидкости можно практически наблюдать лишь в том случае, когда оно устойчиво. Неустойчивое же равновесие быстро сменяется конвекцией, если, разумеется, не приняты специальные меры, исключающие возникновение «опасных» возмущений. Для суждения об устойчивости равновесия необходимо, таким образом, исследовать поведение во времени всевозможных возмущений [2, 3, 4, 61, 63, 81].

С этой целью рассмотрим поля температуры и давления, отличающиеся от равновесных значений возмущений: Т' = Т' + Т1, р' = р' + р1, где Т1 и рх -возмущения. Отклонения температуры и давления от равновесных

распределений Т и р' приводят к конвективному движению со скоростью v. Заметим, что возмущения температуры могут быть вызваны отклонением от адиабатичности при движении частицы жидкости. Возмущенные поля (v, Т + Т\, р' + ру) должны удовлетворять уравнениям конвекции (1.2.17) -(1.2.19). Отсюда можно получить уравнения для возмущений.

Будем рассматривать малые нестационарные возмущения равновесия (линейная теория устойчивости). В уравнениях, которые получаются подстановкой (v, Т + Ту, р + р1) в (1.2.17) - (1.2.19), тогда можно пренебречь квадратичными по возмущениям членами, что приводит, с учетом (1.2.23), (1.2.24), к линейным уравнениям:

dv 11 о _

— = -—Vp' -—Vp + vV2 v + gaT' ■ k + gaTx k = dt p p

1 2 = -—Vp\ + vV2v + gaT— k,

P

дТл

— + (vV)T ' = xV2rb (1.2.30)

дг

V = 0.

Запишем систему уравнений для возмущений (1.2.30) в безразмерном виде. Для этого выберем следующие единицы измерения: расстояния -

характерный линейный размер полости к, времени - ^ = к2/V, скорости -

vo = к/к, давления - Ро = рук/к2 , возмущения температуры -70 = Аук (Ау- равновесный градиент температуры, определяемый соотношением (1.2.28')). Переходя при помощи указанных единиц к безразмерным переменным, получим систему уравнений для безразмерных возмущений:

— = -Ур + У2у + Яа-Тк, (1.2.31.а)

Pr^-(v, k) = V2f

div v = О,

(1.2.31.6) (1.2.31.в)

дТ 9

Рг£^£ж = у2г (1.2.31.г)

д1 т

Здесь теперь у, р, Т, Гт - безразмерные возмущения, а все производные берутся по безразмерным времени и координатам.

В систему (1.2.31) входит безразмерный параметр: отношение температуропроводностей жидкости и массива к=к/кт . Выведем первые две формулы системы (1.2.31):

^ = -Ур + у2у + Ка.Тк, (1.2.32) д1

?аН 4Аг

где Яа = —-— - число Рэлея, связанное согласно формуле (1.2.22) с

УК

числами Грасгофа и Прандтля: Яа = Ог • Рг. Далее запишем

Рг^-(у,к) = У2Г, (1.2.33)

Ы V ;

где Рг = у/к - число Прандтля.

Таким образом, малые возмущения равновесия удовлетворяют системе линейных однородных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Эта система имеет частные решения, зависящие от времени по экспоненциальному закону (так называемые «нормальные» возмущения) [2, 3, 39, 40, 41]:

{у,р,Г,Гт}~ехр(-^), (1.2.34)

где X - декремент, определяющий временной ход возмущения.

Подставляя (1.2.34) в (1.2.31), получим систему амплитудных уравнений

1у = -Ур + У2у + Яа-Тк, (1.2.35)

-А-Рг-Г = У2Г + (у,к), (1.2.36)

Шуу = 0, (1.2.37)

-А • Рг • кТт = У2Тт. (1.2.38)

Здесь теперь у, р, Т и Тт - зависящие от координат амплитуды.

Таким образом, в результате линеаризации с истемы уравнений тепловой конвекции получается система амплитудных уравнений для нормальных возмущений.

1.3 Условия возникновения конвекции по теории Рэлея

Рассмотрим горизонтальный бесконечный слой жидкости, ограниченный параллельными плоскостями z = 0 и z = h. Температура на границах слоя фиксирована, и в состоянии равновесия градиент температуры в жидкости равен:

VT =-/■ k, VT'(z) = -Ay-к,

где у = 0/h, а 0 - разность температур между плоскостями. Поведение малых возмущений равновесия описывается уравнениями (1.2.31):

д\ о

— = -Vp + V v + Ra• Г• к, (1.3.1)

dt

Рг—г-— (у, k) = v2f, (1.3.2)

dty j

div v = 0. (1.3.3)

За единицу расстояния выбрана толщина слоя h, входящая в качестве характерной длины в число Рэлея Ra.

Из уравнений (1.3.1) - (1.3.3) можно исключить давление p и горизонтальные компоненты скорости vx и v . Для этого следует к

уравнению (1.3.1) применить операцию rot rot и спроектировать получившееся векторное уравнение на ось z:

-rot(rotv) = V2rot(rotv) + Ra • rot (rot (f

dt

С учетом выражений из векторного анализа:

Гу[ Уу]1 = 8гж1(сИу у) - У2\ = -У2\, сНу (т • к) = —,

у ' дг

получим

дг

--У2у = -У2У2у + Яа • §гас!(сНу(г • к)) - Яа • V2 (т ■ к).

Для вертикальной проекции скорости:

_ у2#=У2У2#+ Яа • У2Г - Яа —= У2У2#+ Яа • дI дг2

у2Г-5г

&2,

= У2У2^ + Яа'

Гд2Т дТ2Л

дх2 ду2

= у 2у 2н; + Яа • У2Г.

V ^ ^ У

Тогда получим систему двух уравнений для вертикальной компоненты скорости и возмущения температуры Т:

Д: У2н> = У2У2н> + Яа • У2Г, (1.3.4)

<3?

дТ 9 ~

Рг—4- = V Г + (1.3.5)

Ы

Здесь У2 =д' 2/дх2+д2/ду2 - плоский лапласиан.

Сформулируем теперь граничные условия. Следуя Рэлею, будем считать, что границы слоя свободные; на этих границах исчезают касательные напряжения. Эти границы предполагаются далее плоскими, т. е. считается, что возникающие конвективные возмущения не приводят к искривлениям границы [2, 3]. Что касается температуры, то, как уже указывалось, по Рэлею ее значения на границах фиксированы, и, следовательно, возмущения температуры на границах фиксированы. Таким образом, получаем систему граничных условий:

д%> дул,

при£ = 0, £ = 1: И2=0, ^ = ^ = 0, Т = 0. (1.3.6)

дг дг

Граничные условия для величин ух и а , вытекающие из требования отсутствия касательных напряжений на границах, могут быть с помощью

уравнения непрерывности заменены условиями для величины у2 . Дифференцируя (1.3.3) по г

-- +-+

д\

= 0

дхдг дудг дг2

и пользуясь граничными условиями для скорости, найдем д2Уг1дг2 = 0 при условии5 = 0; 1. Таким образом, граничные условия к уравнениям (1.3.4), (1.3.5) для слоя со свободными плоскими границами имеют вид:

при г = 0, г = 1: г>_ = 0.

дЧ

X

= 0, 7 = 0.

(1.3.6')

(1.3.7)

Поскольку коэффициенты уравнений (1.3.4), (1.3.5) и граничные условия (1.3.6) не зависят от времени и горизонтальных координат, существуют частные решения, описывающие так называемые «нормальные» возмущения, экспоненциально зависящие от времени и периодические в плоскости (х, у):

уг (х, у, г, ?) = w(г) ехр [-М +1 (^х + ^у)] Т (х, у, г, ?) = в( г) ехр [-X +1 (^х + ^у)]

Здесь X - декремент возмущений, ^ и ^2 - вещественные волновые числа, характеризующие периодичность возмущений вдоль направлений х и у, а w(г) и в(г) - амплитуды возмущений. В формуле (1.3.7) и далее знак

«~» опущен. Подставляя (1.3.7) в (1.3.4), (1.3.5), получим систему обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений для амплитуд.

Найдем производные первого и второго порядка:

У2У\ =

(к2 + к2) -(к2 + к2)w^ -(*? + к2)

д w д w Л + Тл

дг2 дг

^х

X

ехр [-X +1 (к^х + ^2 у)] =

(к2 + ** )2 w - 2 (к2 + ^ )

д w д w —

дг дг

ехр +1 (^х + ^2 у)]

У2Т = -(kf + k|) вехр [-Át + i (k1x + k2 j )"

Л

(k2 + ^22 ) w + -W U^2 + k? ) w - 2(k2 + k? )

dz

-Ra (kf + k| )в.

2

s4.

d w d w

dz2 dz

4

Окончательно запишем:

-Л( W - k2w) = (wIV - 2k2w" + k4w) - Ra • k2 в

далее найдем

n!

r!(n - r)!'

(1.3.8)

-Á Рг в = Окончательно запишем

-( k2 + k22 )в +

д2в dz 2

> + w.

Л^ Рг •в = (в

(в- k 2в)

+ w.

(1.3.9)

Здесь штрих означает дифференцирование по z, и введено обозначение

k2 = kf + k|. Граничные условия вытекают из (1.3.6):

при z = 0, z = 1, w = 0, w = 0, в = 0, (1.3.10) Нетривиальное решение задачи (1.3.8) - (1.3.10) существует лишь при определенных значениях Л, являющихся собственными числами этой задачи; соответствующими собственными функциями являются амплитуды возмущений w(z) и в(z). Таким образом, краевая задача (1.3.8) - (1.3.10)

определяет спектр характеристических возмущений равновесия.

Для граничных условий Рэлея (1.3.10) решение задачи оказывается элементарным. Собственные функции задачи имеют вид простых гармоник

w = а sin ( nnz), в = b sin ( nnz) (n = 1, 2, 3,...). (1.3.11) Коэффициенты а и b находятся из однородной системы

/22, ,2\Г. ( 2 2 . / 2

I л п + k I Я-( л п + k

а +

ЯР -I п2п2 + k2

а + Яа • к Ь = 0, Ь = 0.

(1.3.12)

Число л определяет характерный масштаб возмущений по вертикали и их четность. Значениям л = 1, 3, 5, ... соответствуют собственные возмущения, у которых вертикальная составляющая скорости и температура - четные функции относительно середины слоя 7 = 1/2 при л = 2, 4, 6, ... получаются соответственно нечетные возмущения.

Собственные числа Я находятся из условия существования нетривиального решения системы (1.3.12). Приравнивая к нулю определитель этой системы, получим квадратное уравнение относительно Я:

Рг •Я2 -(1 + Рг)(л2п2 + к2)я +

Тогда, преобразовав, получаем

(л2п2 + к 2 )

Иа

(л 2п2 + к 2)

= 0.

(Рг +1)( л2п2 + к2 )±

)± (Рг +1)2 (л2п2 + к2 ) - 4Иа

Я1,2 =

1 + Рг/ 2 2 ,2^ Г Рг + 1 И 2 2 ,2\

(л п + к )± - (л п + к )

(л2п2 + к2 )2 - Иа к

(л 2п2 + к2 )

2Рг

2Рг

1

, тЛ

V 2Рг у

2 2 ,2\2 1

л п + к I--

Рг

/ 2 2 ,2\2 к (л п +к I - Яа

/22 ,2\ (л п + к I

Преобразуем подкоренное выражение, тогда Рг +1/ 2 2,12

1

Я12 = Рг±1 (л2п2 + к2 )± Г^ Т(л2п2 + к2) 1,2 2Рг V / 4 I 2Рг У V /

V 2Рг у

2 2 ,2\2 Иа к

л п + к ! +

2

Рг (л2п2 + к2) '

(1.3.13)

Из этой формулы хорошо видны основные особенности спектра декрементов. При условии Яа > 0(подогрев снизу) выражение под корнем всегда положительно, и, следовательно, определяемые формулой значения Я вещественны. Таким образом, возмущения в слое, подогреваемом снизу,

>

изменяются со временем монотонно. Из двух корней, соответствующих данному значению п, один - ЛП - всегда положителен и растет с ростом

Яа. Другой корень - Л( ^ - убывает с ростом Яа и при достаточно большом значении Яа становится отрицательным, порождая неустойчивость.

При условии Яа < 0 (подогрев сверху) монотонность возмущений (вещественность декрементов) имеет место лишь при малых Яа. При увеличении |Яа| подкоренное выражение становится отрицательным, и

формула (1.3.13) дает в этом случае пару комплексно-сопряженных декрементов, соответствующих колебательным возмущениям. Значение числа Рэлея Яа*, при котором появляются комплексные корни, находится из условия обращения в нуль подкоренного выражения

(Рг _ 1)2 (п 2п2 + к2)

Яа*=_Ц-2-(1.3.14)

4Рг к2

Таким образом, в случае подогрева сверху при условии Яа = Яа* возникают колебательные возмущения (в этой точке происходит слияние

вещественных ветвей лП+ и ЛП ^). При условии |Яа| = |Яа*| возмущения осциллируют. Частота колебаний равна мнимой части Л

(=±

к 2

]1( п V + к2 )

(Яа* _Яа). (1.3.15)

Из (1.3.14) видно, что если коэффициенты кинематической вязкости у и температуропроводности к равны (т.е. число Прандтля Рг равно единице; близкая ситуация имеет место во многих газах), то Яа * = 0, и следовательно,

колебания при подогреве сверху возникают при сколь угодно малой разности температур. Вещественные части всех декрементов при условии Яа < 0, как можно видеть из формулы (1.3.13), положительны, т.е. при подогреве сверху все возмущения затухают.

Полезная классификация уровней спектра получается из рассмотрения

декрементов при Яа = 0 [3]. Из системы (1.3.12) видно, что при Яа = 0 фиксированном значениил возможны два возмущения. Одно из них соответствует решению для значений а =0, Ь ф 0; декремент этого возмущения будем обозначать ул :

= - (л

Рг V

Ул = — (л 2п2 + к2 Рг

Это - чисто тепловое возмущение, не сопровождающееся движением жидкости; его декремент пропорционален 1/Рг, т.е. возрастает вместе с

температуропроводностью жидкости. Другое возмущение соответствует

2 2 2

решению а Ф 0, Ь Ф 0 с декрементом /лл = л п + к . Это возмущение можно назвать гидродинамическим; скорость его затухания определяется вязкостью [2, 3, 39, 41].

Хотя деление возмущений на тепловые и гидродинамические, строго говоря, имеет смысл лишь при условии Яа = 0, можно сохранить эту классификацию и в случае, если Яа Ф 0. Так, мы будем условно называть возмущения тепловыми или гидродинамическими возмущениями в зависимости от того, в какое из двух значений (гп или цл) переходит декремент Ял при стремлении Яа ^ 0.

Из общей формулы для декрементов (1.3.13) следует, что

(-)

гидродинамические возмущения при Рг < 1 соответствуют корню Я ', а при Рг > 1 - корню Я(+). Тепловые возмущения, наоборот, соответствуют Я(+)

при Рг < 1 и Я(-) при Рг > 1.

Из сказанного вытекает, что неустойчивость при Рг < 1 обусловлена возмущениями гидродинамического типа, а при Рг >1 - возмущениями теплового типа (при Рг = 1тип возмущения не выражен). Критическое число Рэлея, при котором возникает неустойчивость по отношению к возмущению

с заданными л и к, определяется из условия Ял ) = 0. С помощью формулы

(1.3.13) находим

Яа

кр

Рг (п2 ж2 + к2)

4_) = 0,

(Рг +1)2 -(Рг -1)2 4Рг 2

'п 2ж2 + к2) =

2 • 2Рг/ 2 2,12

4Рг

2 ( п ж + к2

\2 ( П2Ж2 + к2 )

) = Рг

Отсюда критическое число Рэлея равно

Яа

кр

( П 2ж2 + к 2 )3 " к2

(1.3.16)

Формула (1.3.16) дает нейтральную кривую в плоскости (Яа, к), разграничивающую области устойчивости и неустойчивости. При любомnнейтральная кривая Яа (к) имеет минимум. В области

коротковолновых возмущений (к >> 1; длина волны возмущения много меньше толщины слоя) критическое число Рэлея растет с ростом к по закону

п6К6

Яа « к4. В противоположном предельном случае к «1 имеем Яа ~ —^.

к 2

При всех к наименьшее значение имеет число Рэлея для основной моды п = 1. Возмущения более мелкой структуры по вертикали ( п > 1) соответствуют более высоким значениям числа Рэлея. Минимальное

ж

значение числа Рэлея Яа гп, при п = 1 кт равно

Ш1И

С 2 2

2 2 П Ж п£ж +

( Яа кр )Ш1П =

\3

2

'3

легко найти из (1.3.16). Оно

У _

2

2 2 п ж

3

У _

2 2 п ж

1

2 2 п ж

27 4

4 4 П Ж

2 2 .

Для основного возмущения ( п = 1) имеем ЯаШ1п = 657,511; кШ1п = 2,221.

2

С увеличением п критические числа быстро растут, и минимум на нейтральных кривых смещается в сторону коротковолновых возмущений.

В таблице 1 приведены значения критических параметров, определяющих возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемой снизу, для различных граничных условий.

В таблице Яакр - критическое число Рэлея, ккр - критическое волновое

число возмущения, характеризующее периодичность возмущений, ^ -

критическая длина волны возмущения.

Таблица 1.

Значения критических параметров, определяющих возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемой снизу.

Характер границ поверхности Яа Кр ккр 2п Лф - к ^кр

Обе свободные 657,11 2,22 2,828

Обе жесткие 1707,76 3,11 2,016

Верхняя свободная, нижняя жесткая 1100,65 2,68 2,342

Условие бесконечности горизонтального слоя жидкости всегда будет выполняться с некоторым приближением [12, 79]. Обычно это условие выполняется при условии ^Ь < 10, где Ь - горизонтальная протяженность слоя.

Выше мы упомянули о первых экспериментальных работах, выполненных Бенаром, по изучению устойчивости горизонтального слоя жидкости. К сожалению, тщательно выполненные экспериментальные результаты в дальнейшем не были проанализированы с теоретической точки зрения. Рэлей и другие исследователи предполагали поверхности слоя плоскими и имеющими или постоянную температуру, или постоянный

тепловой поток. Скорее всего, в экспериментах Бенара на поверхности жидкости был постоянный коэффициент теплоотдачи. Энергия поверхностного натяжения жидкости была не очень большой (в качестве исследуемой жидкости использовался китовый жир с температурой

плавления 46 °С), и это не могло обеспечивать гладкость поверхности жидкости, как это подразумевали последующие исследователи [33, 37, 118].

И. Пригожин стационарные ячейки Бенара назвал диссипативными структурами. В отличие от равновесных структур (например, кристаллов) такие структуры образуются и сохраняются благодаря обмену энергией и веществом с внешней средой в неравновесных условиях [118, 119].

Это кооперативное явление отражает внутренние закономерности рассматриваемого процесса. Речь идет о самоструктурировании, то есть о самоорганизации. Явление самоорганизации представляет собой реализацию согласованного поведения подсистем. Если, например, размер ячейки Бенара в экспериментах имеет порядок 1 мм, в то время как характерный пространственный масштаб действия межмолекулярных сил составляет

10-10 м, то отдельные ячейки Бенара содержат около 1021 молекул. Тот факт, что такое число частиц может демонстрировать когерентное поведение, несмотря на случайное движение каждой частицы, является одним из основных свойств, характеризующих возникновение сложного поведения.

Систематическое изучение конвекции в областях другой формы было положено работами Г.А. Остроумова, в которых определены условия возникновения конвекции в вертикальных круговых каналах. В настоящее время по теории конвекции существует достаточно много работ, в которых описываются движения в условиях не только подогрева снизу, но и подогрева сверху.

Теория классической (бенаровской) конвекции используется для исследования многих прикладных задач, в том числе для описания конвективных процессов в атмосфере, однако применение этой теории

конвекции для отображения таких процессов наталкивается на определенные трудности. Жидкости, используемые при лабораторном моделировании конвекции, обычно характеризуются достаточно большими значениями коэффициентов вязкости и температуропроводности, в то время как в реальной атмосфере значения диссипативных коэффициентов воздуха существенно меньше. Кроме того, конвекция в толще атмосферы обычно протекает в пространстве, вертикальные и горизонтальные размеры которого никак не фиксированы. Поэтому попытка вычисления параметров конвективной неустойчивости на основе т е о р и и л а б о р а т о р н о й к о н в е к ц и и , г д е в к а ч е с т в е с л о я выбрана атмосфера в целом, приводит к неестественно большим значениям числа Рэлея [3, 10, 19, 20, 30, 87, 88].

Согласно теории бенаровской конвекции, большие числа Рэлея соответствуют очень сильному подогреву снизу, система должна разбиваться на дополнительные горизонтальные слои и, в конце концов, становиться турбулентной. Действительно, в реальной атмосфере воздух сильно турбулизуется, значения его турбулентных диссипативных коэффициентов возрастают на несколько порядков по сравнению с ламинарным случаем. Число Рэлея, вычисленное для турбулентной атмосферы, значительно уменьшается, однако все равно остается существенно выше условия применимости теории бенаровской конвекции.

Таким образом, проблема определения условий возникновения свободной конвекции в атмосфере остается открытой.

1.3.1 Влияние орографии на развитие конвекции

Территория Ставропольского края характеризуется резко выраженной неоднородностью рельефа. Высокие горы здесь перемежаются глубоко

расчлененными возвышенностями, волнистые равнины - обширными низменностями. Такое разнообразие природных ландшафтов края оказывает существенное влияние на развитие конвективных движений в атмосфере, а значит и на распределение характеристик конвективных облаков и явлений [13, 14, 15, 16,18, 24, 31, 46, 47,49, 51, 53, 64].

Как известно, все формы кучевых облаков являются результатом конвективных движений в атмосфере. Конвективные движения возникают в неустойчиво стратифицированной атмосфере под влиянием атмосферных фронтов или орографических особенностей района. Орографические особенности влияют на развитие конвекции двумя способами: косвенно посредством деформации фронтальных зон с последующим развитием барических образований или непосредственно при перетекании воздушного потока через горные препятствия. В свою очередь непосредственное влияние орографии может быть двояким; вследствие тепловых влияний, связанных с перегревом и охлаждением склонов, и вследствие динамического воздействия склонов.

Термическое влияние орографических препятствий сказывается внутри однородных воздушных масс, когда наблюдаются слабые ветры и малые барические градиенты в нижней части тропосферы. В этом случае при слабом горизонтальном переносе в атмосфере формируются термические неоднородности, вызывающие днем циркуляцию с восходящими движениями над возвышенностями и нисходящими во впадинах. В ночные часы наблюдается обратная картина. Тепловое влияние гор весьма существенно в теплое время года, т.е. летом. Оно часто выходит за пределы горных районов и распространяется в предгорные равнинные области на расстояния до 100 км, где днем за счет нисходящих движений происходит ослабление процессов облакообразования [7, 9, 17, 27, 29, 42, 70, 72].

Динамические воздействия вносят больший вклад в упорядоченные

вертикальные движения, развивающиеся в нижних слоях воздуха над

склонами и прилегающими к ним равнинными областями. У наветренных

41

склонов имеет место усиление восходящих движений, у подветренных -нисходящих движений. Интенсивность вертикальных движений зависит от свойств воздушного потока и характеристик хребта. Зоны восходящих и нисходящих движений, порождаемые горными массивами, стационарны.

Горные массивы оказывают значительное динамическое и тепловое воздействие на воздушные течения. Чем выше горы и круче склоны, чем больше нормальная к хребту составляющая скорости ветра и меньше устойчивость атмосферы, тем больше обусловленные орографией скорости упорядоченных вертикальных движений, шире зона их распространения на равнинные предгорные районы.

Орография местности оказывает влияние как на усиление облакообразования и осадков, так и на их ослабление. У наветренной стороны хребта создаются благоприятные условия для развития облачности и выпадения осадков. У подветренных склонов усиливаются нисходящие движения и создаются условия для размывания облачности и уменьшения осадков [28, 29, 44, 67, 70, 102].

При динамическом влиянии хребтов на воздушные потоки усиление осадков над наветренными склонами может сопровождаться ростом приземного давления, ослабление осадков и размывание облачности -падением давления.

Вынужденный подъем воздуха по склонам гор нередко вызывает орографические ливни и грозы конвективного характера.

Термическое влияние гор выражается в дополнительном прогревании склонов летом в дневные часы по сравнению с окружающим воздухом. Возникают термические неоднородности, вызывающие циркуляцию с восходящими движениями над хребтами и нисходящими в предгорьях. В итоге, над горами осадки усиливаются, а над предгорными долинами -ослабевают. В ночное время картина должна быть обратной, но так как дневной прогрев больше ночного охлаждения, то горы в основном играют роль нагревателей.

Зимой горы, наоборот, являются «холодильниками». Циркуляция воздуха в это время обратная по сравнению с летней циркуляцией.

Для некоторых районов, наряду с циклонической деятельностью основной причиной формирования сезонных осадков является эффект запруживания влажных воздушных масс, что вызывает заметное увеличение количества осадков по сравнению с рядом расположенными районами [29, 43, 104].

Эффект запруживания воздушных масс заключается в возрастании восходящей составляющей движения при замедлении горизонтального воздушного потока, связанного с изменениями условий трения при переходе воздушных масс с суши на море, перед горными хребтами и массивами, динамической конвергенцией ветра скорости ветра.

Поэтому учет влияния орографии на параметры конвективной ячейки является актуальной проблемой физики атмосферы.

1.4 Влияние характеристик приземного слоя на развитие облачной конвекции

Формирование облаков и осадков, как известно, обусловлено подъемом влажного воздуха, его охлаждением и конденсацией водяного пара. Причиной подъема воздуха является либо свободная конвекция воздуха из -за тепловой неустойчивости атмосферы, либо вынужденный подъем воздуха под действием динамических факторов, связанных с прохождением атмосферных фронтов или обтеканием орографических неоднородностей.

Проблемам исследования особенностей развития свободной тепловой конвекции в зависимости от характеристик приземного слоя атмосферы (температуры и влажности воздуха, а также их вертикальных профилей) посвящены многие исследования. Получены экспериментальные подтверждения влияния вертикального профиля влажности на развитие

конвекции [79]. Показано влияние вертикального профиля температуры и влажности приземного слоя на состояние свободной тропосферы [118]. Однако, несмотря на то, что конвективное движение является одним из самых распространенных видов движений в атмосфере, физика этого процесса и его математическое описание имеет множество пробелов. Считается, что конвекция начинается с формирования термиков, образование которых аналогично фазовому переходу, начинается с формирования при определенных условиях термика критического размера [84]. Если размер термика меньше критического, то он неустойчив и со временем исчезает, а термик размером больше критического устойчив, отрывается от земли и растет. Критический размер термика обычно пытаются определить из баланса силы плавучести и силы сопротивления Стокса, но теория вопроса требует дальнейшего продвижения.

Подоблачная конвекция определяет вертикальное распределение влажности, температуры и играет ключевую роль в глобальном гидрологическом и энергетическом цикле [64, 72, 92, 104, 119, 127]. Для углубления понимания роли подоблачной конвекции в климатических моделях использовались простые одномерные модели [67, 73, 81, 87, 92, 108, 118], совершенствование которых также является актуальной задачей.

Влажная (облачная) конвекция является причиной опасных штормов, порождающих ливневые дожди, грозы, град, шквалы, смерчи, ливневые паводки и наводнения [102]. Конвективные штормы обычно локальны [2], поэтому прогнозирование места, времени и причин развития шторма, является одной из самых сложных проблем в прогнозе погоды [75]. На сегодняшний день оперативные численные модели часто не могут предсказать местоположение и время начала облачной конвекции, инициируемой процессами в подоблачном слое, поскольку эти процессы недостаточно хорошо представлены в моделях. В работе [106, 125] показано, что подоблачная конвекция оказывает серьезное влияние на развитие

облачной конвекции. Поэтому для прогнозирования начала облачной (глубокой) конвекции требуется знание термодинамики подоблачного слоя.

Полевые исследования [94, 121, 123, 125] дают представление о процессах инициирования облачной конвекции. Имеется понимание общей динамики рассматриваемых процессов, но начальная стадия развития конвективных ячеек остается недостаточно изученной [69].

В ряде исследований отмечалось [74, 79], что инициирование облачной конвекции очень чувствительно к вариациям температуры и влажности в подоблачном слое, поле влажности в котором является ключевым фактором для инициирования осадкообразующей конвекции [98]. Даже небольшие изменения массовой доли водяного пара могут способствовать или исключить развитие штормов. Изменение массовой доли водяного пара всего на 1g/kg может привести к диаметрально противоположным прогнозам: отсутствие конвекции или интенсивная конвекция [79]. На влагосодержание подоблачного слоя большое влияние оказывает влажность подстилающей поверхности [115, 131], так как влажный грунт обогащает приземный слой воздуха водяным паром [70, 83].

Таким образом, успешное предсказание штормовой погоды зависит от точного определения начальных термодинамических характеристики и влажности подоблачного слоя. Но традиционные системы метеорологических наблюдений не позволяют получить детальную структуру параметров приземной атмосферы критическим фактором, ограничивающим прогноз конвективных осадков, является неопределенность измерения вертикального распределения водяного пара. Данные систем радиозондирования недостаточны для этих целей, так как предоставляют информацию о вертикальном профиле в далеко отстоящих друг от друга пунктах и обычно всего два раза в сутки, а иногда содержат существенные погрешности [116, 122].

В целях улучшения знаний об инициировании штормов в Европе были

проведены два важных эксперимента: Проект Инициирования

45

Конвективного Шторма (CSIP) [75], который был выполнен в южной части Соединенного Королевства летом 2005, и Изучение Конвективных и индуцированных Орографией Осадков (COPS) [95, 126], проведенный в юго-западной Германии и восточной Франции летом 2007. Главной целью этих экспериментов было наблюдение за пограничным слоем атмосферы с применением плотной сети систем наблюдения, включая сеть радиозондов, ветровые профилемеры, сеть GPS для восстановления содержания водяного пара, и также автоматические метеорологические станции. Результаты проведенных исследований позволяют сделать вывод о необходимости развития теоретических представлений о связи облачной конвекции с процессами в подоблачном и приземном слоях, что позволит усовершенствовать методы прогноза конвективных явлений, с учетом отмеченных выше ограничений традиционных систем метеорологических наблюдений.

Так в статье [101] исследуется влияние размера подоблачного восходящего потока на возмущение вертикальной скорости в облачной конвекции. Получены простые аналитические решения, для получения которых делаются следующие допущения:

- пренебрегается вертикальной компонентой градиента возмущения давления;

- решение ищется в приближении Буссинеска, в котором плотность воздуха в невозмущенном состоянии считается постоянной;

- решение ищется в виде стационарной двухмерной волны.

Следует заметить, что простые аналитические решения необходимы также для понимания физики процесса. В частности, Вейсман и др. [124] использовали решения в виде нормальных мод линеаризованных, двумерных уравнений движения Буссинеска, уравнений непрерывности и термодинамики, чтобы вывести простое выражение для вертикальной скорости Wo в подоблачном слое:

.-■г к Бг

Ж

л/к2 +12 ^БУ'

где Жо и Бо - амплитуды нормальных мод, соответствующих вертикальной

скорости и плавучести, соответственно; ^бу - частота Брента - Вяйсяля; к и

I - горизонтальное и вертикальное волновые числа, соответственно.

Изучению влияния характеристик приземного слоя атмосферы на развитие крупномасштабной циркуляции [3, 111], развитию облачной конвекции [71] посвящено много работ. Сюда же можно отнести работы по искусственному стимулированию конвекции [35, 120] в которых подоблачный слой рассматривался в рамках простой одномерной модели.