Разработка математических моделей и программного комплекса для исследования электрических свойств анизотропных слоистых нанокомпозитов с периодической структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Корчагин Сергей Алексеевич

• Корчагин Сергей Алексеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Корчагин Сергей Алексеевич

1.8 Выводы к первой главе

Глава 2. Математические модели и метод для исследования электропроводности слоистого нанокомпозита с периодической структурой

2.1 Введение

2.2 Моделирование электропроводности нанокомпозита с использованием теории обобщенной проводимости

2.3 Алгоритм восстановления тензора электропроводности по значениям потенциала электрического поля

2.4 Метод определения электропроводности слоистого нанокомпозита

с периодической структурой

2.5 Математическая модель электропроводности слоистого нанокомпозита с периодической структурой на основе уравнений Кубо-Гринвуда

2.6 Математическая модель электропроводности нанокомпозита на основе теории эффективной среды

2.7 Моделирование электропроводности нанокомпозита с использованием метода эквивалентных схем

2.8 Выводы ко второй главе

Глава 3. Комплекс программ для исследования электрических свойств анизотропных слоистых нанокомпозитов с периодической структурой

3.1 Введение

3.2. Программный комплекс для исследования электрических свойств нанокомпозита

3.3 Структура программного комплекса для исследования слоистых нанокомпозитов

3.4 Количественная оценка сложности нанокомпозита, реализованная в программном комплексе

3.4.1 Расчет допустимого интервала масштабов

3.4.2 Расчет дробной размерности (емкости) для моделей нанокомпозитов с периодической структурой

3.4.3 Вычисление размерностей Хаусдорфа, Минковского и показателя Херста для моделей нанокомпозитов

3.5 Интерфейс программного комплекса

3.6 Использование комплекса программ и цифровых методов в натурном эксперименте по исследованию нанокомпозитов

3.7 Выводы к третьей главе

Заключение

Список используемой литературы

Приложения

Приложение 1. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ «Моделирование параметров импеданса эквивалентной электрической

схемы»

Приложение 2. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ «Программный комплекс для моделирования нелинейных свойств

композитных сред "NPC Modeling"»

Приложение 3. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ «Фрактальный анализ моделей композитных сред»

Актуальность работы. Изучение и выявление закономерностей взаимодействия высокочастотного электромагнитного поля с различными средами, в том числе наноструктурами, являются современной актуальной областью исследования. Это обусловлено как фундаментальным характером проблемы, так и возможностью применения нанокомпозитов в прикладных задачах (создание элементов и устройств радиолокации, синтез поглощающих и селективных материалов и т.д.). Практическая реализация таких задач возможна только на основе детального понимания фундаментальных явлений взаимодействия электромагнитного поля с веществом: резонансные всплески диэлектрической проницаемости; эффект Керра; квантово-размерные, поверхностные эффекты.

Изучению электромагнитных свойств нанокомпозитов посвящено большое количество работ. Основы математического моделирования процессов взаимодействия электромагнитного излучения с неоднородными структурами были заложены C. Maxwell [1-3], R. P. Feynman [4, 5], L. D. Landau [6, 7]

D. Walgraef, P. J. W. Debye [9, 10]. Различным вариантам подхода в рамках модели эффективной среды посвящены работы O.H. Wiener [11], D.A.G. Bruggeman [12, 13], J.W. Strutt [14, 15], которые затем обобщил и объединил D. Stroud [16]. Учет пространственной дисперсии в наноструктурах рассматривался в работах В.Л. Гинзбурга [17, 18], В.М. Агранович [19], А. П. Сухорукова [20], В.Е. Лобанова [21, 22]. В работах Т.Л. Челидзе [23],

E.В. Харитонова, В.В. [24], А.В. Нетушила [25], А.П. Виноградова [26, 27], Ю.Д. Третьякова [28-30] , Д.И. Биленко [31, 32], Л.А. Голованя [33, 34] получили существенное развитие методы расчета электродинамических констант нанокомпозитов. Проблемам математического моделирования свойств нанокомпозитов посвящены также работы В.В. Лучинина [35, 36] Ю.П. Емец [37, 38], Ю.И. Димитриенко [39-41], Д.А. Зимнякова [42, 43], В.И. Кодолова

[44,45], А.Е. Храмова [46, 47], Ю.В. Клинаева [48, 49] М.В. Энтина [50, 51], Э.М. Баскина [52, 53].

Несмотря на обилие работ по данной тематике практически отсутствуют математические модели слоистых нанокомпозитов с периодической структурой. Важной особенностью нанокомпозитов с периодической структурой является то, что в одних направлениях и масштабах необходимо учитывать наноразмеры, а в других - микроразмеры. В таких системах нельзя пренебрегать анизотропией геометрических и электрических характеристик. Таким образом, разработка математических моделей и программного комплекса для исследования электрических свойств анизотропных нанокомпозитов с периодической структурой является актуальной задачей.

Цель работы: разработка и модификация математических моделей слоистых материалов с периодической структурой, аналитических и численных методов их анализа, создание программного комплекса моделирования и исследование характеристик взаимодействия электромагнитного поля с анизотропными нанокомпозитами.

Цель работы определила основные задачи:

1. Построение математических моделей слоистых нанокомпозитов (размером 1-10 нм) с периодической структурой, учитывающих анизотропию геометрических и электрических характеристик.

2. Разработка алгоритмов и методов решения задач по нахождению тензоров диэлектрической проницаемости и электропроводности нанокомпозита с периодической структурой, взаимодействующего с внешним электромагнитным полем, реализация разработанных алгоритмов моделирования в виде комплекса проблемно-ориентированных программ.

3. Исследование зависимостей комплексной диэлектрической проницаемости от частоты внешнего электромагнитного воздействия, анализ влияния структуры на электрические свойства нанокомпозита.

Методы исследования. Разработка моделей нанокомпозитов с периодической структурой реализована на основе методов вычислительной

математики, математического моделирования, теории классического и квантово-механического описания электродинамических свойств дисперсных систем. Для исследования материальных констант использована теория эффективной среды, нашедшая широкое экспериментальное подтверждение.

Научная новизна работы (соответствует пунктам 1, 4, 5, 7 паспорта специальности 05.13.18) определяется следующим:

1. Для описания диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита предложен метод и комплекс математических моделей, отличающиеся учетом периодической их структуры, анизотропии электрических и геометрических свойств материалов, а также более точным определением гамильтониана и учета спина электрона.

2. Разработаны численные алгоритмы решения задач о нахождении тензора диэлектрической проницаемости и электропроводности слоистого нанокомпозита с периодической структурой на основе методов моделирования Аграновича-Гинзбурга, Кубо-Гринвуда, модели эффективной среды и метода эквивалентных схем замещения.

3. Разработан проблемно-ориентированный комплекс моделирования слоистых нанокомпозитов с периодической структурой с учетом геометрической и электрической анизотропии, позволяющий исследовать в широком диапазоне изменения параметров внешнего воздействия, электрические характеристики.

4. Для исследования диэлектрической проницаемости слоистых нанокомпозитов с периодической структурой впервые проведен ряд вычислительных экспериментов, в результате которых установлены следующие свойства и закономерности:

- обнаружено, что слоистый нанокомпозит с периодической

структурой обладает электрическими свойствами, существенно отличающимися от свойств однородных материалов: наблюдается смещение резонансных всплесков в областях электронной и ионной поляризаций, а также максимумы, связанные с релаксационными потерями;

- обнаружена возможность управления резонансными всплесками диэлектрической проницаемости за счет изменения геометрических характеристик и уровня слоя нанокомпозита, что позволяет проектировать материалы с наперед заданными электрическими свойствами.

5. Для слоистого нанокомпозита с периодической структурой разработан метод по определению электропроводности, использование которого позволяет снять ограничения, накладываемые на теорию обобщенной проводимости: значения электропроводности могут быть рассчитаны при отсутствии информации о диэлектрической проницаемости исследуемого композита.

Научная и практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем:

- Научная значимость определяется тем, что предложенные в настоящей работе математические модели и методы позволяют исследовать фундаментальные физические явления, протекающие в слоистых нанокомпозитах с периодической структурой, находящихся во внешнем электромагнитном поле.

- Практическая значимость обусловлена полученными в ходе исследования результатами, открывающими возможность использования слоистых нанокомпозитов с периодической структурой в современных поглощающих и отражающих устройствах. В частности, обнаружен нелинейный характер диэлектрической проницаемости в такой нанокомпозитной среде, и возможность управления резонансными всплесками, что позволяет проектировать материалы с наперед заданными электрическими свойствами.

Результаты диссертации использовались при выполнении гранта, выделяемого «Фондом содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере» победителям конкурса «УМНИК» (договор № 8957 ГУ2015), а также в учебном процессе при выполнении лабораторных работ студентами специальности «Информатика и вычислительная техника».

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Комплекс математических моделей нанокомпозитов с периодической структурой, учитывающий анизотропию геометрических и электрических свойств материалов.

2. Численные алгоритмы и комплекс программ для исследования электрических характеристик нанокомпозитов с периодической структурой в широком диапазоне изменения параметров внешнего воздействия, в рамках подходов Аграновича-Гинзбурга, Кубо-Гринвуда, модели эффективной среды и метода эквивалентных схем замещения.

3. Слоистый нанокомпозит с периодической структурой обладает электрическими свойствами, существенно отличающимися от свойств однородных материалов: наблюдается смещение резонансных всплесков в областях электронной и ионной поляризаций, а также максимумы, связанные с релаксационными потерями.

4. Управление резонансными всплесками диэлектрической проницаемости возможно за счет изменения геометрических характеристик и уровня слоя нанокомпозита. Это открывает возможности проектирования материалов с наперед заданными электрическими свойствами.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается взаимным соответствием аналитических и численных результатов, отсутствием противоречия полученных результатов основным представлениям теории эффективной среды, квантово-механической теории, нелинейной динамики.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на

- научной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2012);

- VIII и X Международных конференциях «Современные информационные технологии и ИТ - образование» (Москва, МГУ, 2013, 2015);

- XXI, XXII, XXIII и XXIV Международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2014, 2015, 2016, 2017);

- XXVII Международной научной конференции « Математические методы в технике и технологиях - 27» (Саратов, 2014);

- Всероссийской научной школе-семинаре «Взаимодействие СВЧ, терагерцового и оптического излучения с полупроводниковыми микро- и наноструктурами, метаматериалами и биообъектами» (Саратов, 2015, 2016);

- VIII Международной школе-конференции «Фундаментальная математика и её приложения в естествознании» (Уфа, БГУ, 2015);

- Всероссийском конкурсе «Молодой инноватор года» (Нижний Новгород, Москва, 2015);

- XII Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, 2016);

- Международной конференции «Ion transport in organic and inorganic membranes» (Краснодар, 2017).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 18 печатных работах, 5 из которых изданы в журналах из перечня ВАК РФ, 3 входящих в международную базу цитирования Scopus. Получено 3 свидетельства о регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад. Все предложенные в работе модели, методы, алгоритмы, программы и научные результаты получены лично автором. Постановка задач, обсуждение результатов проводились лично автором, а также совместно с научным руководителем и соавторами опубликованных работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Она содержит 144 страницы, 72 рисунка, список литературы включает 125 наименований.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационной работы, проводится краткий обзор известных результатов, формулируются цель, основные задачи работы, её научная новизна и научно

В первой главе представлены математические принципы описания взаимодействия электромагнитного излучения с нанокомпозитными средами и аналитический обзор работ по тематике исследования. Изложена физическая и математическая постановка задачи моделирования. В рамках исследования рассматривается взаимодействие электромагнитного поля с нанокомпозитом, которое определяется комплексной диэлектрической проницаемостью и электропроводностью, как отдельных блоков, так и отдельных слоев и композита в целом. Предложен метод по определению диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита, позволяющий учитывать анизотропию электрических и геометрических свойств материалов, а также спин электрона. Метод основан на комплексном применении квантово -механических способов моделирования (подход Аграновича-Гинзбурга), теории эффективной среды, а также эквивалентных схем замещения. Разработан комплекс математических моделей, позволяющий исследовать диэлектрическую проницаемость отдельных блоков, слоев и всего нанокомпозита. Данные модели позволяют изучать зависимости комплексной диэлектрической проницаемости от длины волны внешнего электромагнитного излучения. В результате исследований обнаружен ряд резонансных всплесков, что предположительно связано с проявлением размерностных эффектов (эффект Керра; квантово-размерные, поверхностные эффекты) и может представлять интерес при изучении поверхностных поляритонов. Кроме того, в результате моделирования было установлено, что нанокомпозит самоподобной структуры обладает электрическими свойствами, существенно отличающимися от свойств однородных материалов; частотные зависимости действительной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости исследуемого нанокомпозита имеют резонансный характер. Наблюдаются резонансные всплески диэлектрической проницаемости в области длин волн 300-400 нм, что свидетельствует о наличии электронной

поляризации исследуемого нанокомпозита: частота внешнего поля совпадает с одной из частот электронных оболочек, вследствие чего появляются максимумы поглощения (действительная часть г) и максимумы разностных потерь (мнимая часть г). В области длин волн 780-850 нм и 1000-1050 нм также наблюдается ряд резонансных всплесков, отсутствующих у однородных материалов, составляющих слоистый нанокомпозит, которые в совокупности образуют спектр поглощения электромагнитного излучения исследуемого нанокомпозита. Это свидетельствует о наличии нелинейных эффектов, происходящих в неоднородных полупроводниковых наноструктурах и связанных, в частности, с наличием блоховских осцилляций (всплески в области длин волн 780-850 нм) и накоплением электрических зарядов на границах неоднородностей (всплески в области длин волн 1000-1050 нм).

Во второй главе диссертационной работы предложены модели и метод, описывающие электропроводность слоистого нанокомпозита самоподобной структуры. Метод моделирования электропроводности отдельных блоков, слоев и композита в целом проводится аналогично методу определения диэлектрической проницаемости, рассмотренному в первой главе диссертации. Для определения электропроводности блоков шириной 0,5-8 нм, где размерностные эффекты могут быть существенными, использовался квантово-механический. На основе уравнений Кубо-Гринвуда разработана модель электропроводности блока, учитывающая анизотропию электрических и геометрических свойств и спин электрона. Модель предполагает наличие информации об энергии электронов нормального и возбужденного состояний, а также о числах заполнения, определяемых распределением Ферми для нормального и возбужденного состояний. Для их получения использован метод электронной минимизации. Для получения волновых функций применен метод Хартри-Фока. Для вычисления электропроводности плоскопараллельных слоев, включающих блоки шириной 0,5-32 нм, использовалась модель эффективной среды для электропроводности. Для определения электропроводности плоскопараллельных слоев, включающих блоки шириной

64-256 нм и композита в целом, применялся метод эквивалентных схем замещения. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием предложенного в настоящей диссертационной работе метода по определению электропроводности, с результатами, полученными с помощью известной, в настоящее время, теории обобщенной проводимости. Полученные результаты хорошо согласуются. Преимуществом предложенного в работе метода является снятие ограничений, накладываемых на теорию обобщенной проводимости, связанных с необходимостью задания диэлектрической проницаемости.

В третьей главе на основе разработанных моделей и алгоритмов реализован проблемно-ориентированный комплекс программ, позволяющий исследовать нанокомпозиты с периодической структурой методами, рассмотренными в первых двух главах диссертации. Для увеличения производительности оптимизирующего компилятора используется метод множителей Лагранжа с заданными условиями Каруша-Куна-Таккера. Дополнительными функциями программного комплекса является возможность проведения фрактального анализа, применяемого для количественной оценки сложности исследуемых наноструктур и включающего в себя: оценку допустимого интервала масштабов; расчет фрактальной емкости; размерностей Хаусдорфа, Минковского; вычисление показателя Херста. Показаны возможности использования цифровых методов и комплекса программ для исследования нанокомпозитов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОД ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ СЛОИСТОГО НАНОКОМПОЗИТА С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математических моделей и программного комплекса для исследования электрических свойств анизотропных слоистых нанокомпозитов с периодической структурой»

1.1 Введение

Неуклонное возрастание роли новых поколений нанокомпозитных функциональных материалов в жизни современного общества обусловлено тем, что нанокомпозиты обладают широким спектром физических и химических свойств, позволяющих применять их в самых разнообразных сферах человеческой деятельности. Перспективность использования композиционных материалов обоснована многими факторами, важнейшие из которых: доступность сырья, многофункциональность [57]. Композитные среды демонстрируют большое многообразие структур неоднородных типов дисперсных систем. Высокий интерес представляют периодические слоистые структуры, обладающие рядом принципиально новых, по сравнению с однородными материалами, свойств [58].

Исследования сложных структур гетерогенных материалов, как правило, сопровождаются попытками построения моделей этих объектов. По мере получения знаний об объекте исследования, модельные представления развиваются, совершенствуются и усложняются [59]. Изучение особенностей внешнего частотного взаимодействия с электродинамическими параметрами материала имеет важнейшее фундаментальное и прикладное значение [60]. Создание математических моделей, структура которых соответствует исследуемым объектам, а коэффициенты несут физический смысл, открывает широкий спектр возможностей [61]. Анализ динамики таких моделей позволяет прогнозировать эффективные параметры материалов для их последующего синтеза с наперед заданными свойствами. Вычислительный эксперимент позволяет получить уникальную информацию о композитной среде, позволяя, в частности, оценить параметры, прямое измерение которых

затруднительно или невозможно. Преимуществами численного эксперимента, по сравнению с натурным, также являются более высокая доступность и простота управления [62]. Таким образом, математическое и компьютерное виды моделирования являются эффективными инструментами исследования, позволяющими получить результаты для решения дальнейших прикладных задач, таких как: микроминиатюризация приборов [63], создание новых биологически совместимых материалов [64], разработка материалов высокой радиоактивной устойчивости [57], разработка материалов высокой коррозионной стойкости [65].

В настоящее время предложен ряд моделей для слоистых дисперсных систем, позволяющих рассчитывать эффективные электродинамические параметры. Первые модели по исследованию свойств гетерогенных сред получены в работах [2, 66]. Основная часть современных математических моделей расчета электродинамических материалов неоднородной структуры, состоящих из периодически чередующихся слоев с различной толщиной и свойствами, рассмотрена в работах [23, 26, 67]. Стоит отметить значительные достижения исследователей в данной области. Однако рассмотренные в указанных работах модели не позволяют решать ряд теоретических и практических задач, таких, как определение электродинамических свойств слоистых структур более сложных морфологий, в частотности периодических.

1.2 Математические принципы описания взаимодействия электромагнитного излучения с нанокомпозитными структурами

Для математического описания принципов взаимодействия электромагнитного излучения с нанокомпозитными структурами необходимо провести их классификацию. Классификация наноструктур может быть проведена исходя из различных критериев. Так, в работах [68-70] рассматриваются такие классы наноструктур как тонкие пленки, нити, наночастицы и квантовые точки. В работе [71] приводится классификация наноструктур по пространственным размерам (Рисунок 1).

Рисунок 1 - Классификация наноструктур по пространственным размерам

В работе [72] используют классификацию, введенную в 1981 г. профессором Гербертом Гляйтером (Herbert Gleiter) (Рисунок 2).

Подавляющее большинство наноструктур, включающих два и более материалов, носят название нанокомпозитов. Нанокомпозиты могут быть классифицированы по фазовой структуре следующим образом:

- двухфазные биокомпонентные системы;

- многофазные системы.

Кроме того, наноматериалы разделяют на неорганические (керамика, металлы) и органические (включая полимерные и биологические наноструктуры).

Рисунок 2 - Классификация по Г. Гляйтеру

Тем не менее, стоить отметить, что на сегодняшний день ни одна классификация не охватывает всего многообразия различных наноструктур, включая нанокомпозиты. Это связано с тем, что нанокомпозиты определяются многообразием различных факторов: составом, фазовым состоянием, формой, размерами, характером взаимодействия. Все эти факторы важно учитывать при математическом моделировании нанокомпозитов.

Физические свойства нанокомпозитов могут существенно отличаться от свойств исходных материалов. Так, в работе [73] выделяют следующие основные причины изменения свойств материалов на наноуровне:

- квантово-размерные эффекты для наноструктур, размеры которых сопоставимы с длиной волны де Бройля электрона;

- поверхностные эффекты, связанные с появлением новых электронных и фононных состояний поверхности;

- локальные поля в нанокомпозитной среде.

При исследовании слоистых нанокомпозитов важно учитывать то, что в одних направлениях и масштабах необходимо учитывать наноразмеры, а в других - микроразмеры. В таких системах нельзя пренебрегать анизотропией геометрических и электрических характеристик. В работе [74] изучены такие нелинейные явления в нанокомпозитах, как естественная и искусственная анизотропия, эффект Керра, гиротропия, отрицательное преломление и пр. Таким образом, физические явления, протекающие в нанокомпозитах, находятся в смежной области между квантовой механикой и классической электродинамикой.

Для описания взаимодействия электромагнитного поля с нанокомпозитами, как правило, используют следующие подходы: квантово-механический или макроскопический. Квантово-механический подход, как правило, сводится к решению уравнения Шредингера:

Ш-^(гД) = + (1.1)

Однако, для систем, включающих большое количество частиц, для решения этого уравнения требуются высокие вычислительные мощности. Поэтому во многих случаях используют плотность вероятности обнаружения электрона в точке конфигурационного пространства - электронную плотность [75]. На этом основан подход Кона-Шэма, изложенный в [76], идея которого заключается в том, что гамильтониан сложной системы

= + (1.2)

й2

(где ^^¿^ - кинетическая энергия электронов; (гд - энергия

1 е2

электронов во внешнем поле; - - взаимодействие электронов)

2 > г~Г]

заменяется на систему, для которой функционал плотности можно вычислить в явном виде. Блок-схема подхода Кона-Шэма приведена на (Рисунок 3).

Рисунок 3 - Блок-схема подхода Кона-Шэма

В работе [77] для исследования взаимодействия электромагнитного излучения с нанокомпозитами используется метод матриц плотности, позволяющий получить частотные зависимости диэлектрической проницаемости (подход Аграновича-Гинзбурга) и получить выражения для расчета электропроводности (уравнение Кубо-Гринвуда). Подход основан на утверждении о том, что среднее статистическое значение любой физической

<Ф)=Sp (рФ) (1.3)

через матрицу плотности (статистический оператор) р, удовлетворяющую уравнению Лиувилля:

ih^=[H,p\=Hß-ßH (1.4)

при начальном условии p(—œ) = р0.

Для нахождения основного и возбужденного состояний системы существуют:

- неэмпирические методы (RHF/UHF, MP2 (MPn), CC, CASSCF, CI, GVB, BD, OVGF, метод Хартри - Фока, многочастичная теория, DFT и пр.);

- полуэмпирические методы (AMI, PM3, PM6, CNDO, INDO, MINDO/3, MNDO, ZINDO).

Существует ряд программных пакетов, позволяющих проводить моделирования наноструктур из первых основополагающих принципов без привлечения дополнительных эмпирических предположений. Среди таких программных продуктов стоит отметить:

- программный комплекс Gaussian, позволяющий производить моделирование нанокомпозитов методом молекулярной механики, гибридными методами, неэмпирическими и полуэмпирическими методами [78];

- программный комплекс Abinit, позволяющий рассчитывать полную энергию и электронную плотность систем электронов и ядер, использующий метод функционала плотности [79];

- программный комплекс GAMESS (US), использующий при моделировании метод функционала плотности, метод Хартри-Фока, метод MCSCF (самосогласованное многоконфигурационное поле) [80-82];

- программный комплекс SIESTA, позволяющий рассчитывать электронные структуры и использующий метод функционала плотности,

Макроскопический подход исследования электрических свойств

нанокомпозитов сводится электродинамики Максвелла:

к решению классических уравнений

V-D =4пр V- В = О

с dt

„ 77 4п_ , 13D

VxH = —}+-—

с с dt

(1.5)

Система уравнений дополняется начальными и граничными условиями. Однако, на использование макротеории при описании взаимодействия электромагнитного поля с нанокомпозитами накладываются ограничения. Так, в работе [86] указывается на то, что когда длина волны излучения Я становится сопоставимой с размерами атомов, то использование данной теории некорректно.

Для моделирования электрических свойств объекта исследования воспользуемся теорией эффективной среды [87]. Суть модели эффективной среды состоит в том, что система кластеров, образующих композиционный материал, рассматривается как некая новая среда, обладающая тем же уровнем поляризации. Таким образом, зная параметры каждого из компонентов композита, их геометрическую форму и концентрацию, можно определить характеристики полученной композиционной среды как целого. Преимуществом такого подхода является то, что для анализа распространения электромагнитного поля в композитной среде отсутствует необходимость решать уравнения Максвелла в каждой точке пространства. Построение и анализ таких моделей основываются на решении задачи электростатики о локальном поле в шаре.

Пусть имеется шар с диэлектрической проницаемостью £1, который окружен диэлектрической средой с проницаемостью е2 . Локальное поле Ег

соотношения величин £± и е2 :

E1 = E0+Ed = E0-4fP = ^Ёъ, (1.6)

где Р = XqEq - вектор поляризации среды в шаре, а Хо - поляризуемость сферы. Рассмотрим среду объемом V, с диэлектрической проницаемостью £2, наполненную сферическими включениями с диэлектрической проницаемостью £± (Рисунок 4). Поляризация такого вещества определяется суммой поляризаций сферических включений:

Х= ^Sí^í/o, где Vi - объем i - ой частицы, а f1 = ^Sí^í -объемный фактор заполнения. Объем характеризуется так называемой эффективной диэлектрической проницаемостью .

L\

Ez

Рисунок 4 - Модель эффективной среды

Во многих случаях для анализа композитной среды удобным оказывается использование метода эквивалентных схем, при котором электрическая, механическая и магнитная составляющие композита представляются в виде электрических эквивалентов [88]. В работе [89] к преимуществам метода эквивалентных схем относят отсутствие необходимости решать уравнения Максвелла в каждой точке пространства.

Рассмотрим систему, состоящую из двух компонент, занимающих объемы У1 и У2, т.о., что У1 + У2 = V, и обладающие диэлектрической проницаемостью £1 и е2 соответственно. Рассмотрим электростатический случай, двумерную систему, макроскопическое поле, усредненное по объемам, большим по сравнению с масштабами неоднородностей. По отношению к такому среднему полю система является однородной и может характеризоваться определенным эффективным значением диэлектрической проницаемости. Связь между напряженностью Е и индукцией Б поля определяется диэлектрической проницаемостью £ следующим образом:

Б = еЕ.

(1.7)

Введем величины, усредненные по объемам каждого компонента:

Ег = - Г ЕМ , Е2 = - Г ЕМ , И1=— Г ШК , Э2 = - Г ШК . (1.8)

Усредненное поле системы будет равно:

Е = -С ЕдУ +-Г ЕдУ = у1Е1 + + у2Е2,

Уг •'Уг Уг У2 1 1 ^ ¿у

(1.9)

где у± = —, у2 — — и соответственно

Б = £1У1Е-^ + £2У2Е2.

(1.10)

Используя (1.8)-(1.10) получим:

'У1Е1/1 + Уг£гЪ = £ УгЪ + УгЪ = 1 , Уг+ Уг = 1

(1.11)

= = 7

Преобразуем (1.11) к виду:

(1.12)

Выражение (1.11) удобно использовать для статистических систем (т.к. ^ и /2 входят в выражение симметрично). Выражение (1.12) удобно использовать для матричных систем (т.к. в выражении не фигурирует ^, что позволяет не вдаваться в рассмотрение сложного вопроса о поляризации дисперсной среды).

Т.о., для расчета диэлектрической проницаемости системы в макроскопическом приближении, необходимо решить задачу о локальном поле Ег и Ег для (1.11) и Е2 для (1.12).

Рассмотрим систему, состоящую из слоев толщиной и й2 и диэлектрической проницаемостью £1 и е2 соответственно (Рисунок 5)

£1

сЬ

Рисунок 5 - Слоистая система, поле направлено вдоль слоев Как было сказано выше, усредненное поле системы будет равно:

Е = ±1У1Е<1У =у1Г1+У2Г2. (1.13)

Для нахождения диэлектрической проницаемости системы воспользуемся системой уравнений (1.12). Для нахождения напряженности электрического поля первой и второй компонент воспользуемся теоремой Гаусса и решим задачу о локальном поле в прямоугольнике:

где а,Ь,й - длина, глубина и толщина слоя соответственно. Используя (1.11) и (1.14) получим:

рй^ рй9

£ Рйл , , (115)

1 £о ^ £о

подставим р = Ее0 в (1.15), получим:

£ = 1 _ 1-М-- . (1.16)

.. ±ч С/1 V /

угЕйг + у2Ей1

Используя (1.10) преобразуем (1.16) к виду:

£ _ У1Е1+У2Е2)+ £2У2й2( VIЕг +У2Е2) (1 17)

угйг( У1Ё1+У2Ё2) + У2йг( У1Ё1+У2Ё2) '

Сократив множитель ( + у2Е2), окончательно получим:

^ _ £1^1^!+ £2У2й2 (1 18)

Угйг +

При условии, что V = (118) будет иметь вид:

£ _ £1^1+ £2й2 (1 19)

Поскольку £ - величина комплексная, £ = г/ + ¿г//, где мнимая часть Е.Н - пропорциональна диэлектрическим потерям. Т.о. в комплексном виде выражение (1.19) будет иметь вид:

/ _ (£^+£^2) // _ (е^ + е^г) (1 20)

V/ " и V/ " (й1+й2) . (1.20)

Для случая, показанного на (Рисунок 6), проведя, аналогичные расчеты получим:

= (£1£2(^1+^2)) . (1.21)

Рисунок 6 - Слоистая система, поле направлено поперек слоев После преобразования и выделения действительной и мнимой частей получим:

г' =

V/

[£/1а1(£/22+£/2/2)+£/2/а2(£/12+£/1/2)](а1+а2) (£/2а1+£/1а1)2+(£/2/ а2+£/1/а2)2

(1.22)

V/

[£/1/а1(£/22+£/2/2)+£/2/а2(£/12+£/1/2)](й1+а2) (£/2а1+£/1а2)2+(£2/а1+£/1/а2)2 '

(1.23)

В случаях, для которых Е.Н « г! , (1.22), (1.23) могут быть значительно упрощены и принимают следующий вид:

'в//

(1.24)

'eff

(е/2й1+е/1й2)^

(1.25)

Модели (1.20)-(1.25) приводятся и изучены в работах [23, 67]. Данные модели нашли многочисленные экспериментальные подтверждения.

Рассмотрим композитную среду, состоящую из матрицы и включений сферической и цилиндрической форм нескольких типов. В зависимости от вида, формы включений в матрице композита и направления воздействия поля, в рамках теории эффективной среды, приведены различные модели для определения электродинамических свойств композиционной среды:

£е// — £2

1 + р(£1 - £2)/(£2 +^(£1 - е2))] [49]. • Упорядоченная кубическая система сферических включений в

[90].

матрице: £е// = £2

1 + 3- у - 1,31 Р3'33) £1_£2 £1+1£2

• Хаотически расположенные цилиндрические включения в матрице

под воздействием поля вдоль осей цилиндров: £е// = £± £2)/(£1+121- Р£1- £2) [67].

1 + Р(£± —

• Хаотически расположенные цилиндрические включения в матрице под воздействием поля, перпендикулярно направленного, относительно осей цилиндров:

ев//=(^-0,5)(е1-е2) + [91].

На основе приведенных выше моделей разработан программный комплекс, позволяющий прогнозировать электродинамические характеристики композита в зависимости от типа включений, частоты внешнего воздействия и количественного соотношения компонентов из которых состоит композит. В качестве исходных данных были взяты табличные значения параметров для веществ, рассмотренных в работе [92]. На рисунках 7-9 приведены графики зависимостей комплексной диэлектрической проницаемости Si, В и SiO2 от частоты внешнего воздействия в диапазоне 0-80 МГц.

Рисунок 7 - Частотная зависимость комплексной диэлектрической

проницаемости кремния

Рисунок 8 - Частотная зависимость комплексной диэлектрической

проницаемости бора

Рисунок 9 - Частотная зависимость комплексной диэлектрической проницаемости диоксида кремния

На рисунках 10-12 показаны результаты компьютерного моделирования композитных сред, состоящих из матрицы и включений различных типов. Рассмотрены следующие количественные соотношения компонентов: объемная доля матрицы - 0,9, объемная доля включений - 0,1.

Рисунок 10 - Частотные зависимости комплексной диэлектрической проницаемости для цилиндрических и сферических включений В в матрице Si

(*)

Рисунок 11 - Частотные зависимости комплексной диэлектрической проницаемости для цилиндрических и сферических включений SiO2 в матрице

Si (**)

Рисунок 12 - Частотные зависимости комплексной диэлектрической проницаемости для сферических и цилиндрических включений (**) в матрице

Si

В данном параграфе первой главы получены частотные зависимости действительных и мнимых компонент эффективной диэлектрической проницаемости композитных сред, состоящих из матрицы и включений сферической и цилиндрической форм.

Исследованы зависимости комплексной диэлектрической проницаемости от частоты внешнего воздействия электромагнитного поля в диапазоне 1-80 МГц композита следующих типов включений:

• хаотически расположенные сферические включения в матрице;

• хаотически расположенные цилиндрические включения в матрице под воздействием поля вдоль осей цилиндров;

• плотноупакованные цилиндрические включения в матрице под воздействием поля, перпендикулярно направленного, относительно осей цилиндров;

• хаотически расположенные цилиндрические включения в матрице под воздействием поля, перпендикулярно направленного относительно осей цилиндров.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что конструкционные особенности композита оказывают значительное влияние на электродинамические свойства исследуемого объекта. Как было показано, типы включений, количество электрических слоев на граничных поверхностях дисперсных частиц значительно влияют на комплексную диэлектрическую проницаемость. Исследование приведенных в работе моделей теоретическим и расчетным путем позволяет определить условия проявления различных электродинамических эффектов и установить оптимальные требования к подготовке натурного эксперимента.

1.4 Метод определения диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита с периодической структурой

На рисунке 13 представлен объект исследования (основная модель) нанокомпозит с периодической структурой (например, ТЮ2-А1203,).

Рисунок 13 - Нанокомпозит с периодической структурой

Нанокомпозит состоит из п плоскопараллельных слоев. В состав каждого слоя входят два вида материалов. В качестве примера рассмотрен композит ТЮ2-А1203, при этом серым цветом обозначен материал ТЮ2, а белым - А1203. Как видно из рисунка 13, с ростом номера слоя ширина блока А, соответствующего определенному виду материала в слое уменьшается вдвое. Например, в первом слое имеется два блока, во втором - 4 и т.д. В качестве примера в работе приводится нанокомпозит из 10 слоев, соответственно в 10-м слое имеем 210 блоков.

В рамках исследования рассматривается взаимодействие электромагнитного поля (вектор Е на рисунке 13) с нанокомпозитом, которое определяется комплексной диэлектрической проницаемостью и

Каждый плоскопараллельный слой нанокомпозита описывается следующими величинами: £т - комплексная диэлектрическая проницаемость; ат - электропроводность; т - количество блоков, входящих в плоскопараллельный слой; А т - ширина блока, входящего в плоскопараллельный слой; т- номер слоя; dт - толщина слоя; а,Ь,с = п-й -длина, ширина и высота нанокомпозита соответственно. Величины ет, ат являются параметрами, зависящими от состава нанокомпозита и длины волны падающего излучения X. Значениями параметров dт, Дт, а, Ь, с можно управлять.

Метод определения диэлектрической проницаемости отдельных блоков, слоев и композита в целом (на примере нанокомпозита, состоящего из 10 слоев, см. таблицу 1) условно разбивается на 3 этапа и заключается в следующем:

1. Для определения диэлектрической проницаемости блоков шириной 0,5 нм (10-й слой), 1 нм (9-й слой), 2 нм (8-й слой), 4 нм (7-й слой), 8 нм (6-й слой), где размерностные эффекты могут быть существенными, использовался квантово-механический метод расчета (подход Аграновича- Гинзбурга). Для блоков шириной 16 нм (5-й слой), 32 нм (4-й слой) 64 нм (3-й слой), 128 нм (2-й слой), 256 нм (1-й слой) в качестве исходных данных диэлектрической проницаемости берутся параметры материалов, полученных экспериментально;

2. Для вычисления диэлектрической проницаемости плоскопараллельных слоев, включающих блоки шириной 0,5 нм (10-ый слой), 1 нм (9-ый слой), 2 нм (8-ой слой), 4 нм (7-ой слой), 8 нм (6-ой слой), 16 нм (5-ый слой), 32 нм (4-ый слой), использовалась модель эффективной среды;

3. Для определения диэлектрической проницаемости плоскопараллельных слоев, включающих блоки шириной 64 нм (3-й слой), 128 нм (2-й слой), 256 нм (1-й слой) нм, и композита в целом применялись метод эквивалентных схем замещения и классические уравнения электродинамики.

п слоя А блока, входящего в слой, нм Количество блоков в слое Метод определения г блока Метод определениягслоя Метод определения г всего нанокомпозита

10 0,5 1024 подход Аграновича-Гинзбурга модель эффективной среды метод эквивалентных схем

9 1 512

8 2 256

7 4 128

6 8 64

5 16 32 экспериментальные значения

4 32 16

3 64 8 метод эквивалентных схем

2 128 4

1 256 2

1.5 Математическая модель диэлектрической проницаемости блока нанокомпозита на основе подхода Аграновича - Гинзбурга

Анализ взаимодействия композита с электрическим полем, в соответствии с первым этапом, начинается с рассмотрения блоков, входящих в слои с 10-го по 6-й. Рассматриваются два произвольных соседних блока. Учитываются анизотропные электрические свойства, рассматривается трехмерный случай, поэтому комплексная диэлектрическая проницаемость блока представляется девятью величинами (ехх, еху, еХ2, еух, еуу, еу2, е2Х, егу, е22), которые можно представить в виде тензора е^ (/ и j заменяют один из индексов: х, у или z):

£И =

^XX ^ху £хг

£ух £уу £уг

£гх £гу ^гг

Для нахождения тензора диэлектрической проницаемости изложенного блока нанокомпозита в качестве математический модели используется соотношение Аграновича - Гинзбурга, имеющее вид:

4 лс^ Пш2У

X

(1.26)

где - тензор диэлектрической проницаемости блока; ш - частота внешнего электромагнитного излучения; шп - частота перехода из основного состояния молекулы; шп - частота перехода из возбужденного состояния молекулы; Н —

— 2п

постоянная Планка; к = — - волновой вектор; V - объем блока; та - масса

я

блока; е - элементарный заряд; 8ц - символ Кронекера: =1 при =/', =0

при /'; МI, М;- матричные элементы. Таким образом,

4 пс Пш2У

4 же2

X

МХМХ

мхмх

Пш2У

X

МуМу

МуМу

и т.д.

Модель основана на расчете матричных элементов дипольных переходов при взаимодействии квантовой системы с электромагнитным излучением, поэтому релаксацией взаимодействующих с электромагнитным полем квазичастиц можно пренебречь, и в выражении (1.26), она не учитывается. Модель предполагает наличие информации о базисе собственных волновых функций , (индексы n и m характеризуют нормальное и возбужденное состояния соответственно) и собственных значений гамильтониана, рассчитываемых структур, которые необходимы для определения матричных элементов M¿,My. Для их получения использованы методы, изложенные в работе [93], а также метод Хартри-Фока, позволяющий учитывать спин электрона. Численные данные о базисных функциях были взяты из программного комплекса SIESTA, где они представлены в виде:

%=ZkClikRk(r)Yk(e,<p), (1.27)

где - базисные волновые функции; С^к - коэффициенты при базисных волновых функциях; Rk - радиальная часть (представлена таблично); Yk -угловая часть (представлена аналитически).

Согласно работе [94], компоненты матричных элементов находятся из соотношений:

Мпт{к) = (Ч>п\Ми(к)Ч>т\) = /ЗДД/С)^^; (1.28)

Mij(k) = -Ya^ÍPae^ + еГкГРа) ; (1.29)

Ра = -ih-^= -ih + —+ —(1.30)

дга \дга гадва rasin9ad9aJ

где , - волновые функции нормального и возбужденного состояний соответственно; h - постоянная Планка.

Подставляем (1.30) в (1.29), получаем:

Для получения матричных компонентов умножим (1.31) на соответствующий единичный вектор:

- Л .т. д

пхра = -1п-—;

пуР" =

- Л .т. д

П7ра = —1П-.

гуа дх2

Получаем:

Мх(кх) = + е**гра) ;

2тас е,

му(ку) = -Ъа^с(Рае1кУг + е*^);

Мг(кг) = -1а^с(РаеГк*г + е**^).

(1.32)

(1.33)

(1.34)

(1.35)

(1.36)

(1.37)

Для нахождения матричных элементов, необходимо знать частные производные волновой функции по декартовым координатам:

'д¥к(е#) два

£ ®к смгшв, фу) = ск [ук(в, ф) + ЯЛ(г) (-

дх

два дх

+

дУкв,<рд<рад<радх] (1.38);

£ смгшо, ФУ) = ф) ^^ + я*(г) (■

ду

Зга ду

дУкв,<рд<рад<раду] (1.39) ;

дУк{в,ср) два два ду

+

£смгшв, ФУ) = Ск [ад ^^ + +

дх

дх

дУкв,<рд<рад<радх ( 1 .40).

Найдем производные по пространственным координатам:

дг дх дт = БтвсОБф — = ду БЬпвБЬПф дг ~дг ~ СОБв; (141)

дв дх = ЗШС03<,2 = ду БЬпвБЬПф дв _ ~дг ~ СОБв; (1.42)

дф дх = БтвсОБСРтг = ду БтбБтф дф ~дг ~ - СОБв (1.43)

гМх(к) = Ые 2 тс /о^п гш

Му(к) = Ые 2 тс гУу е1ку [2Ш

{мг(к) = Ые 2 тс Г2 у J0 ^П e¿kz гш

дЧ>

т

дх д^и ду дЧ>

-

йх; )] *У)

)] Лг,

(1.44)

где N концентрация электронов в объеме блока; х, у, 2 - пространственные координаты. Интегрирование проводится численно, методом Симпсона, пределы интегрирования х, у, z = 8 нм, шаг интегрирования h = 0,1 нм. В результате, получив матричные элементы, рассчитываются компоненты тензора диэлектрической проницаемости.

В качестве примера проведены расчеты комплексной диэлектрической проницаемости для блоков нанокомпозита, состоящих из материалов - ТЮ2 в форме анатаза и тригональной а - модификации А1203 (Рисунок 14).

Рисунок 14 - Блоки, входящие в слой нанокомпозита

На рисунках 15, 16 изображены кристаллические решетки исследуемых материалов. Данные кристаллы обладают анизотропными электрическими свойствами, и их тензор диэлектрической проницаемости имеет вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Корчагин Сергей Алексеевич, 2017 год

Список используемой литературы

1. Maxwell J.C. A treatise on electricity and magnetism / J. Clerk Maxwell. - Oxford: Clarendon Press, 1873. - V 1. - 534 P.

2. Maxwell J.C. A treatise on electricity and magnetism / J. Clerk Maxwell - Oxford: Clarendon Press, 1873. - V. 2. - 498 P.

3. Maxwell J.C. An elementary treatise on electricity/ J. Clerk Maxwell - Oxford: Clarendon Press, 1881. - 459 P.

4. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике / Р. Фейнман, Р. Лейтон, M. Сэндс. - М.: Мир, 1965. т. 1-9

5. Фейнман Р. Характер физических законов/ Р.Фейнман. - М.: Наука, 1987, 220 С.

6. Ландау Л.Д. Квантовая электродинамика в конфигурационном пространстве /Л.Д. Ландау // Zs. f. Phys. - 1930. - Bd. 62. - 188 S.

7. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов. I / Л.Д. Ландау // ЖЭТФ. -1937. -Т. 7. C. 627.

8. Ландау Л.Д. О потере энергии быстрыми частицами путем ионизации / Л.Д. Ландау // J. of Phys. -1944. - № 8. - P. 201-214.

9. Debye P. Die Struktur der Materie/ P. Debye . - Leipzig: Hirzel, 1933.

10. Debye P. Theorie der elektrischen Moleküleigenschaften/ P. Debye, H.Sack // Handbuch der Radiologie. - 1934. - Bd. VI. - P. 70-204.

11. Wiener O.H. Die Theorie des Mischkörpers für das Feld der stationären Strömung / O.H. Wiener // Transactions of the mathematical-physical class of the Royal Saxon Society of Sciences. -Leipzig. - 1912. -Vol. 32. - № 6. - P. 115-156.

12. Bruggeman D. A. G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen I. Dielektrizitätskonstanten

und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen / D. A. G. Bruggeman // Ann. Phys. -1935. - Vol. 416. - P. 665-679 .

13. Bruggeman D. A. G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. II. Dielektrizitätskonstanten

und Leitfähigkeiten von Vielrkistallen der nichtregularen Systeme / D. A. G. Bruggeman // Ann. Phys. - 1936 . - Vol. 417. - P. 645-672.

14. Strut J.W. Scientific papers / J.W. Strut // Cambridge University Press. - 2011. -Vol. 4. - P.1892-1901.

15. Strut J.W. Scientific papers / J.W. Strut // Cambridge University Press. - 2011. -Vol. 5. - p. 1899-1920.

16. Stroud D. Generalized effective-medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material / D. Stroud// Phys. Rev. -1975. - Vol. 12. - P. 3368-3373.

17. Гинзбург В.Л. Развитие кристаллооптики с учетом пространственной дисперсии / В.Л. Гинзбург // Успехи физических наук. - 1972. - № 108, -P. 749-752.

18. Гинзбург В.Л. О поверхностных экситонах электронно-дырочного типа / В.Л. Гинзбург // Успехи физических наук. - 1974. - №113. - C. 335-337.

19. Агранович В. Кристаллооптика с учётом пространственной дисперсии и теория экситонов / В. Агранович - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1979. - 432 С.

20. Sukhorukov A.P. Properties of Gaussian waveguide modes of an optical cavity with a metamaterial / A.P. Sukhorukov, D.O. Saparina // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. -2008. -Т. 72. - № 12. - С. 1606-1609.

21. Lobanov V.E. Propagation and interaction of ultra-short pulses in quadratic crystals with controlled dispersion / V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov, V.A. Chernykh // Moscow University Physics Bulletin. - 2009. -Т. 64. -№ 1. - С. 95-97.

22. Лобанов В.Е. Распространение и взаимодействие предельно коротких импульсов в квадратично - нелинейных кристаллах с управляемой дисперсией /

B.Е. Лобанов, В.А. Черных, А.П. Сухоруков // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. - 2008. - Т. 150. - № 2. -

C. 173-177.

23. Челидзе Т.Л. Электрическая спектроскопия гетерогенных систем / Т.Л. Челидзе, А.И. Деревянко, О.Д. Куриленко ; АН УССР, Ин-т коллоидной химии и химии воды. - Киев : Наук. думка, 1977. - 231 с.

24. Харитонов Е.В. Диэлектрические материалы с неоднородной структурой / Е.В. Харитонов. -М.: Радио и связь, 1985. - 128 с.

25. Нетушил А.В. О расчете средней диэлектрической проницаемости смесей / А.В. Нетушил // Научн. докл. высш. шк. Сер. Электромех. и автом. - 1959.

- № 1. - С. 23-26

26. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов / А.П. Виноградов; под ред. Б.З. Каценеленбаума. -М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 208 с.

27. Виноградов А. П. К вопросу об эффективных параметрах метаматериалов / А. П. Виноградов, А. В. Дорофеенко, С. Зухди // УФН. -2008. - Т.178. - № 5.-С. 511-518.

28. Tret'yakov Y.D. Inorganic Materials Engineering though Evolution Development of Solid State Systems / Y.D. Tret'yakov // Z. Phys. Chem. -1998.- Bd. 207. - S.93-112.

29. Tret'yakov Y.D. Morphological diversity in the nanodimensional world of inorganic substances and materials / - Y.D. Tret'yakov // Herald of the Russian Academy of Sciences. -2010. -Т. 80. -№ 4. - С. 324-330.

30. Tretyakov Y. D. Self-organisation processes in the chemistry of materials/ Y. D. Tretyakov // RUSS CHEM REV. - 2003. - Vol.72. - № 8. -P. 651-679.

31. Bilenko D.I. Optical monitoring of plasmochemical etching processes with finite selectivity / D.I. Bilenko, V.M. Dolgopolov, T.Yu. Druzhinina et al. // Russian Microelectronics. -1988. -Т. 16. -№ 5. - С. 225-229.

32. Биленко Д.И. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Плазменный резонанс свободных носителей заряда в полупроводниках / Д.И. Биленко -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. - 44 с.

33. Golovan L.A. Birefringence and anisotropic optical absorption in porous silicon / L.A. Golovan, A.I. Efimova, E.Y.Krutkova et al. // Journal of Experimental and Theoretical Physics. -2007. -Т. 105. - № 3. - С. 599-609.

34. Golovan L. Coherent anti-stokes raman scattering in silicon nanowire ensembles / L. Golovan, Gonchar K., Osminkina L. et al. // Laser Physics Letters. - 2012. -Т. 9.

- № 2. - С. 145-150.

35. Luchinin V.V. Simulating the conditions for the formation of graphene and graphene nanowalls by semiempirical quantum chemical methods// V.V. Luchinin, N.I. Alekseev, N.A. Charykov // Russian Journal of Physical Chemistry A. -2013. -Т. 87. - № 10. - С. 1721-1730.

36. Лучинин В.В. Модель топологического кодирования цепных полимеров для бионической наноэлектроники. Часть II. Молекулярная векторная машина и структура канонического набора физических операторов // В.В.Лучинин,

В.А. Карасев // Биотехносфера. -2009. - № 2. -С. 6-12.

37. Емец Ю.П. Электрические характеристики трехкомпонентных диэлектрических композитов с плотной упаковкой включений / Ю.П. Емец // Прикладная механика и техническая физика. -2001. -Т.42. -№ 4. - С. 165-176.

38. Емец Ю.П. Система двух диэлектрических цилиндров с источниками зарядов. Расчет электрического поля / Ю.П. Емец // Журнал технической физики. - 2005. -Т. 75. - В.11. - С. 11-16.

39. Димитриенко Ю.И. Многомасштабное моделирование упругих композиционных материалов / Ю.И. Димитриенко, А.П. Соколов // Математическое моделирование. -2012. -Т. 24. -№ 5. -С. 3-20.

40. Димитриенко Ю.И. Математическое моделирование диэлектрических свойств наноструктурированных композиционных материалов методом асимптотического осреднения / Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева,

М.Н. Маркевич, С.В. Сборщиков // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. -2016. -№ 1 (64). -С. 76-89.

41. Димитриенко Ю.И. Механико-математические модели, численные методы и комплекс программ для оптимального проектирования наноструктурированных композиционных метаматериалов с заданными нелинейно-оптическими свойствами: отчет о НИР № 15-08-04893 от 13.02.2015 (РФФИ)

Ю.И. Димитриенко, А.А. Веретенников, Е.А. Губарева и др. М. МФТИ им. Н.Э. Баумана

42. Zimnyakov D.A. Depolarisation of light scattered by disperse systems of low-dimensional potassium polytitanate nanoparticles in the fundamental absorption band / D.A. Zimnyakov, S.A. Yuvchenko, A.V. Gorokhovsky et al. // Quantum Electronics. - 2014. -Т. 44. - № 7. -С. 670-674.

43. Зимняков Д.А. Оптические свойства плотноупакованных дисперсных систем в приближении эффективной среды / Д.А. Зимняков, М.В. Алонова, О.В. Ангельский и др. // Вестник Саратовского государственного технического университета. -2013. -Т. 3. -№ 1 (72). -С. 12-20.

44. Кодолов В.И. Квантово-химическое моделирование взаимодействия нанокомпозита с полифосфатом аммония / В.И. Кодолов, Р.В. Мустакимов, Н.Н. Носков // Вопросы науки. -2015. -Т. 8. - С. 14-19.

45. Кодолов В.И. Квантово-химические и экспериментальные исследования процессов модификации эпоксидных композиций металл/углеродными нанокомпозитами / В.И. Кодолов, М.А. Чашкин, А.И. Захаров и др. // Химическая физика и мезоскопия. -2011. - Т. 13. -№ 4. -С. 520-529.

46. Hramov A.E. Analysis of the stability of states of semiconductor superlattice in the presence of tilted magnetic field / A.E. Hramov, V.A. Maksimenko,

V.V. Makarov et al. // Technical Physics. The Russian Journal of Applied Physics. -2016. -Т. 61. -№ 3. -С. 317-323.

47. Храмов А.Е. Модель и программный пакет для исследования и оптимизации характеристик генерации полупроводниковой сверхрешетки / Храмов А.Е., В.В. Макаров, А.О. Сельский и др. // Математическое моделирование. -2016. -Т. 28. -№ 11. -С.19-32.

48. Клинаев Ю.В. Математическое моделирование средств анализа и контроля сред, содержащих сферические наночастицы / Ю.В. Клинаев, С.П. Романчук, Д.В. Терин // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. -2012. -№ 12. -С. 92.

49. Клинаев Ю.В. Математическое моделирование структур и процессов взаимодействия электромагнитного излучения с core-shell нанообъектами / Ю.В. Клинаев, С.П. Романчук, Д.В. Терин, А.М. Кац // Вестник Саратовского

государственного технического университета. -2011. -Т. 4. -№ 2 (60). - С. 98102.

50. Entin M.V. Dephasing in gapless carbon nanotubes and nanostrips and the suppression of interference in a quantum interferometer based in them / M.V. Entin, D.S. Miserev // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters (JETP Letters). - 2014. - Т. 99. - № 7. - С. 410-414.

51. Entin M.V. Anisotropic magnetoconductivity of a two-dimensional systemin parallel magnetic field induced by rashba spin-orbit interaction / M.V. Entin,

L.I. Magarill // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. -2008. -Т. 40. -№ 5. -С. 1096-1098.

52. Baskin E. Influence chemistry on photoluminescence from deuterium -passivated silicon nanocrystals / E. Baskin, N. Salivati, N. Shuall et al. // Journal of Applied Physics. -2009. -Vol. 106. -№ 6. - P. 121-133.

53. Baskin E.M. Stochastic dynamics of 2D electrons in a periodic lattice of antidots / E.M. Baskin, G.M. Gusev, Z.D. Kvon et al. // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. -1992. -Т. 55. -С. 649-657.

54. Свидетельство № 2015611279 Российская Федерация. Программный комплекс «Моделирование параметров импеданса эквивалентной электрической схемы»: свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ / И.А. Оносов, Д.В. Терин, С.П. Романчук, С.А. Корчагин. Заявка № 2014663048/69; заявл. 08.12.2014 ; зарегистр. 27.01.2015.

55. Свидетельство № 2016615354 Российская Федерация. Программный комплекс для моделирования нелинейных свойств композитных сред «NPCModeling» : свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ / С.А. Корчагин, Ю.В. Клинаев, Д.В. Терин, С.П. Романчук. Заявка № 2016612851 ; заявл. 23.03.2016 ; зарегистр. 20.05.2016.

56. Свидетельство № 2017616612 Российская Федерация. Программный комплекс «Фрактальный анализ моделей композитных сред»: свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ /С.А. Корчагин, Д.В. Терин. Заявка № 2017610382; заявл. 10.01.2017 ; зарегистр. 09.06.2017.

57. Третьяков Ю.Д. Керамика в прошлом, настоящем и будущем/

Ю.Д. Третьяков// Соровский образовательный журнал. -1998. -№6. -С.53-59.

58. Глущенко А.Г. Отражение электромагнитной волны слоистой структурой сверхпроводник-диэлектрик/ А.Г. Глущенко, М.В. Головкина//

Письма в ЖТФ. -1998. -Т.24. -№1. - С.9.

59. Ишбулатов Ю.М. Модель системы автономной регуляции сердечнососудистой системы с контуром барорефлекторного контроля среднего артериального давления в виде автогенератора с запаздыванием/ Ю.М. Ишбулатов, А.С. Караев и др. // Известия Сарат. ун-та. Новая сер. Сер.Физика. -2015. - Т.15. -Вып. 2. С.32-38

60. Huayang Zhu. A general mathematical model for analyzing the performance of fuel-cell membrane-electrode assemblies/ Zhu. Huayang, J. Kee. Robert // Journal of Power Sources. -2003. - Vol. 117. - Iss. 1-2. -P. 61-69.

61. Boeer K.W. Cadmium Sulfi de as a Model for Photoelectric Researches / K.W. Boeer, Z. Wissen // Humboldt-Univ. Math.- Nat. R. Berlin.-1959.-Bd.VIII. - 490 P.

62. Асеев А.Л. Перспективы применения структур кремний-на-изоляторе в микро-наноэлектронике и микросистемной технике/ А.Л. Асеев, В.П. Попов, В.П. Володин, В.Н. Марютин// Нано- и микросистемная техника. - М.: Новые технологии. - 2002. - C. 23-24.

63. Никитин А.С. Перспективы применения композиционных материалов / А.С. Никитин // Экономика и жизнь. -2012. - №4. - С.6-10

64. Самарский А.А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. -2-ое издание. - М.:Физмалит.- 2002. С.9-12.

65. Milosev I. He corrosion resistance of Nitinol alloy in simulate physiological solutions: / I. Milosev., B. Kapun // Sci. Eng. -2012. -Vol.32. - № 5. - P.1087-1090.

66. Garnett J. C. Maxwell Colours in metal glasses and in metallic films /

J. C. Maxwell Garnett // Phylos. Trans. R. Soc. London. Ser. A. - 1904. - V. 203. -P. 385-420.

67. Нетушил А.В. Высокочастотный нагрев диэлектриков и полупроводников/

A.В. Нетушил, Б.Я. Жуховицкий, В.Н. Кудин, Е.П.Парин. - М.:Госэнергоиздат, -1959, - 481с.

68. Kelly M. Low-dimensional semiconductors: materials, physics, technology, devices / M. Kelly - Oxford : Clarendon Press. -1995. -564 p.

69. Gaponenko S. Optical Properties of semiconductor nanocrystals / S. Gaponenko - Cambridge : Cambridge university press. - 1998. - 245 p.

70. Bimberg D. Quantum dot heterostructures / D. Bimberg, M.Grundmann, N. Ledentsov - Hoboken : Wiley. - 1999. - 338 p.

71. Попович А.А. Современные проблемы нанотехнологии: Учебно-методический комплекс / А.А. Попович, И.Н. Мутылина, Т.А. Попович,

B.В. Андреев. - М.: Проспект. - 2015. - 406 с.

72. Рамбиди Н.Г. Физические и химические основы нанотехнологий / Н.Г. Рамбиди, А.В. Березкин - М.: ФИЗМАЛИТ. - 2009. -182 с.

73. Головань Л.А. Оптические свойства нанокомпозитов на основе пористых систем / Головань Л.А., Тимошенко В.Ю., Кашкаров П.К. // Успехи физических наук. - 2007. -Т. 177. -№ 6. - С. 619-638.

74. Белотелов В. Плазмонные гетероструктуры и фотонные кристаллы с перестраиваемыми оптическими свойствами: дисс. канд. ф.-м.н./ Белотелов В.И. - Москва. - 2012.

75. Ахметов Н.С. Неорганическая химия / Н.С. Ахметов -изд. 2, перер. и дополн. - М.: Высшая школа, 1975. - 672 с.

76. Сатанин А. Многоэлектронные эффекты в наноструктурах: метод функционала плотности: Учебно-метод. материал по программе повышения квалификации. Новые материалы электроники и опто-электроники для информационно-телекоммуникационных систем / А. Сатанин - Нижний Новгород: Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2007. - 64 с.

77. Жуковский М.С. Метод матриц плотности в теории процессинга открытых неравновесных наносистем / М.С. Жуковский, С.А. Безносюк //

Известия Алтайского государственного университета. -2010. -№ 1-1. - С. 127131.

78. Foresman James B. Exploring Chemistry with Electronic Structures Methods. Second Edition / James B. Foresman, Aeleen Frish. Pittssburg, Gaussian Inc. -1996 - 302 p.

79. Гажулина А.П. Расчет оптических свойств кристаллов тартратов ряда металлов в программах WIEN2K и ABINIT / А.П. Гажулина, Н.Ю.Иванов, М.О. // Марычев Вестник Нижегородского университета

им. Н.И. Лобачевского. -2011. -№ 4-1. - С. 43-51.

80. Bolding B. Multithreaded shared memory parallel implementation of the electronic structure code GAMESS/ B. Bolding, K.Baldridge // Computer Physics Communications. -2000. -Vol. 128. - № 1-2. -P. 55-66.

81. Schmidt M.W. General Atomic and Molecular Electronic Structure System / M.W. Schmidt // J. Comput. Chem. -1993. - Vol. 14. P. 1347-1363.

82. Papas B.N. Concerning the precision of standard density functional programs: GAUSSIAN, MOLPRO, NWCHEM, Q-CHEM and GAMESS / B.N. Papas,

H.F. Schaefer // Computational and Theoretical Chemistry. - 2006. -Vol. 768. -№ 13. -P. 175-181.

83. Ordejon P. Linear scaling ad initio calculations in nanoscale materials with SIESTA / P. Ordejon // Physica Status Solidi (B): Basic Solid State Physics. -2000. -Vol. 217. - № 1. - P. 335-356.

84. Созыкин С.А. Выбор оптимальных параметров для моделирования атомной и электронной структуры углеродных нанотрубок в пакете SIESTA /

С.А. Созыкин, В.П. Бескачко, Г.П. Вяткин // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. -2015. -Т. 7. -№ 3. -С. 78-85.

85. Caron B. SIESTA, a time domain, general purpose simulation program for the virgo experiment / B. Caron, L. Derome, R. Flaminio et al. // Astroparticle Physics. -1999. -Vol. 10. -№ 4. - P. 369-386.

86. Ландау Л. Электродинамика сплошных сред. / Л. Ландау, Лифшиц Е. -Второе. - Москва : Наука, 1982. - 621 с.

87. Хиппель А.Р. Диэлектрики и волны. / А.Р. Хиппель. - М.: Изд-во иностр. лит., 1960. - 438 с.

88. Поклонский Н.А. Основы импедансной спектроскопии композитов: курс лекций / Н.А. Поклонский, Н.И. Горбочук. Мн.: БГУ, 2005. -110 с.

89. Пукинский Ю.Ж. Эквивалентная схема двухфазного магнитострикционно -пьезоэлектрического композита в области электромеханического резонанса / Ю.Ж. Пукинский, А.В. Филипов // Вестник Новогородского государственного университета. -2010. -№ 55. -С.44-52

90. Биленко Д.И. Многопараметровая диагностика микро- и наноструктур / Д.И. Биленко, С.Б. Вениг, Д.В. Терин [и др.] - Саратов: Изд-во Сар. ун.-та, 2015. - 134 С.

91. Sherman Ph. Emulsion science / Ph. Sherman // Academic Press. London and New York. -1968. - 329 P.

92. Palik E. D. Handbook of optical constants of solids / E. D. Palik // Academic Press, San Diego. -1997. - 999 p.

93. Агранович В. М. Кристаллооптика с учётом пространственной дисперсии и теория экситонов /В.М. Агранович, В.Л. Гинзбург; второе изд. - М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 432 с.

94. Александров Ю.М. Расчет элементов тензора комплексной диэлектрической проницаемости для анизотропных материалов / Ю.М. Александров, В.В. Яцышен // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2015. - Т. 18. - №1. С.23-27.

95. Ермолаев С.В. Расчет характеристик отражательной полосковой поляризационной решетки методом эквивалентных схем / С.В. Ермолаев, А.В. Шишлов // Обработка сигналов радиофизическими методами: Междуведомственный сборник. -М., 1986. - С. 61-65.

96. Физический энциклопедический словарь / Главный редактор А. М. Прохоров. - М.: Советская энциклопедия, 1983. -944 с.

97. Шкловский Б.И. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред / Шкловский Б. И., Эфрос А. Л. // УФН. -1975. - №117. - С. 401-435

98. Бабаев А.А. Проводимость нанокомпозита на основе модифицированных углеродных многостенных нанотрубок, полученного методом направленного спиннинга / А.А. Бабаев, П.П. Хохлачев, Ю.А. Николаев и др. // Неорганические материалы. -2012. - Т. 48. -№ 10. -С. 1124-1130.

99. Перов Г.В. Моделирование ионной проводимости диэлектрика с неоднородной блокирующей поверхностью компонентов микро и наноматриц / Г.В. Перов, Е.Г. Сальман // Вестник СибГУТИ. -2008. -№ 1. -С. 25-30.

100. Эдвабник В.Г. К теории обобщенной проводимости смесей/В.Г. Эдвабник// Современные проблемы науки и образования. -2015. -№ 1-2. -С. 76-129.

101. Лукомская А.И. Тепловые основы вулканизации резиновых изделий/ .,

A.И. Лукомская, П.Ф. Баденков, Л.М. Кеперша. -М.: Химия, 1972. -359 с.

102. Knyazev D.V Ab inito calculation of transport and optical properties of aluminum: influence of simulation parameters / D.V. Knyazev, P.R. Levashov// Computational Materials Science. -2013. -Т. 79. -С. 817-829.

103. Казаров Б.А. Моделирование свойств широкозонных наноструктурированных материалов в рамках методов динамических функций Грина и формул типа Кубо - Гринвуда / Б.А. Казаров, О.А. Митюгова,

B.И. Алтухов // Фундаментальные исследования. -2015. - № 3-0. -С. 76-84.

104. Abrahams E. Scaling Theory of Localization: Absence of Quantum Diffusion in Two Dimensions / E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Licciardello, and T. V. Ramakrishnan // Phys. Rev. Lett. -Vol. 42. - P. 673-687

105. Балагуров Б.Я. Проводимость трехмерной модели композита со структурной анизотропией / Б.Я. Балагуров // ЖЭТФ. - 2016. -Т. 150. - Вып. 2(8). - С. 401-410.

106. Балханов В.К. Моделирование фрактальной среды канторовского типа иерархической эквивалентной электрической схемой/ В.К. Балханов,

Ю.Б. Башкуев// Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2008. -Т.11. -№ 2. -С. 26-30.

107. Корчагин С.А. Вычисление и анализ фрактальных характеристик иерархически построенной модели композита/ Корчагин С.А., Терин Д.В. // Нелинейный мир. - 2017. -Т.15, -№ 3. - С. 89-101.

108. Корчагин С.А. Вычислительный эксперимент с моделями фрактальных нанокомпозитных структур /Корчагин С.А., Клинаев Ю.В., Терин Д.В., Романчук С.П. // Вестник Саратовского государственного технического университета . - 2015. - № 3 (80). - С. 31-38.

109. Романчук С.П. Математическое моделирование и многокритериальный анализ нелинейных свойств гетерогенных сред /Романчук С.П., Клинаев Ю.В., Терин Д.В., Корчагин С.А. // Вестник Саратовского государственного технического университета . - 2015. - № 4 (81). - С. 46-50.

110. Романчук С.П. Исследование численных схем одновременного поиска корней полиномов с комплексными коэффициентами применительно к моделям эффективной среды / С.П. Романчук, Д.В. Терин, О.С. Шатурная // Вестник Саратовского государственного технического университета. -2013. -Т. 4. -№ 1 (73). -С. 181-188.

111. Кузнецов П.В. Фрактальная размерность как характеристика усталости поликристаллов металлов / П.В. Кузнецов, И.В. Петракова, Ю. Шрайбер // Физическая мезомеханика 7-й спец. выпуск Ч.1. - 2004, -С. 389-392.

112. Mandelbrot Benoit B. The fractal geometry of nature / Benoit B. Mandelbrot -Macmillan, 1983. - 498 p.

113. Большой энциклопедический словарь . -2-е изд., перераб. и доп. М.: Большая Российская энциклопедия, 2000 -1434 с.

114. Hausdorff F. Dimesion und Äusseres Mass/ F. Hausdorff // Matematishe Annalen. -1919. -№ 79. - P. 157-179.

115. Кузнецов С.П. Динамический хаос / С.П. Кузнецов, М.: Физмалит, 2006. - 294 С.

116. Мирзаджанзаде А.Х. Этюды о моделировании сложных систем нефтедобычи/ А.Х. Мирзаджанзаде, М.М. Хасанов, Р.Н. Бахтизин, Уфа: Тилем, 1999. - 464 с.

117. Кузнецов П.В. Фрактальная размерность как характеристика усталости поликристаллов металлов / П.В. Кузнецов, И.В. Пестракова, Ю. Шрайбер// Физическая мезомеханика 7-й спец. выпуск Ч.1. - 2004. -С. 389-392

118. Минаев И.Н. Фрактальная размерность поверхностной структуры тонких полимерны х пленок, образующихся при газоразрядной полимеризации / И.Н. Минаев, А.М. Штеренберг/ Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. -2006.

- № 42. -С. 204-206.

119. Хасанов М.М. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически сложных средах / М.М. Хасанов, Г.Т. Булгакова. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 288 с.

120. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах/ Р. М. Кроновер М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000. - 353 с.

121. Федер Е. Фракталы / Е. Федер. -М.: Мир, 1991, - 261 с.

122. Андреев С. Д., Ивлев Л. С. Временная и пространственная изменчивость полей оптических и аэрозольных характеристик в атмосфере. Ч. I. Оптические характеристики атмосферы/ С. Д. Андреев, Л. С. Ивлев // Оптика атмосферы и океана. -1997. -Т. 10, -№12. -С.1440-1449

123. Feller W. The asymptotic distribution ofthe range ofs ums of independent variables/ W. Feller // Ann. Math. Statist. -1951. -Vol. 22. -P. 427-432.

124. Калуш Ю. А. Показатель Хёрста и его скрытые свойства/ Ю. А. Калуш, В. М. Логинов // Сиб. журн. индустр. матем. - 2002. -Т. 5, -вып. 4. -С. 29-37.

125. Кликушин Ю.Н. Метод фрактальной классификации сложных сигналов/ Ю.Н. Кликушин // Журнал радиоэлектроники. -2000. -Т. 4. -C. 6-13.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ «Моделирование параметров импеданса эквивалентной электрической схемы»

Приложение 2. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ «Программный комплекс для моделирования нелинейных свойств композитных сред "NPC Modeling"»

Приложение 3. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ «Фрактальный анализ моделей композитных сред»