Разработка математических и компьютерных моделей переноса тепла, массы, импульса для систем тепло- и водоснабжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Бранфилева Анастасия Николаевна

• Бранфилева Анастасия Николаевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Бранфилева Анастасия Николаевна

Общие сведения о диссертации

Глава 1. Обзор работ по направлению исследований диссертации

Глава 2. Компьютерные модели трубопроводных систем

2.1. Математическое моделирование течения жидкости в трубопроводных системах

2.2. Разработка компьютерных моделей для гидравлических систем

2.3. Гидравлические режимы цирксистемы ТЭЦ ВАЗ

2.4. Модель цирксистемы Тольяттинской ТЭЦ

2.5. Использование компьютерной модели для исследования совместной работы насосов с регулируемым и нерегулируемым приводом

Глава 3. Математическая и компьютерная модель объединенной теплосети централизованного теплоснабжения г. Самары

3.1. Компьютерная модель теплосети от Самарской ТЭЦ

3.2. Компьютерная модель теплосети от Безымянской ТЭЦ

3.3. Компьютерная модель теплосети от Центральной отопительной котельной

3.4. Компьютерная модель теплосети от Привокзальной отопительной котельной

3.5. Компьютерная модель теплосети от Самарской ГРЭС

3.6. Объединенная компьютерная модель теплосети г. Самара

Глава 4. Математическое моделирование тепловых и гидравлических процессов

в движущихся жидкостях

4.1. Нахождение точного аналитического решения волнового уравнения при гидравлическом ударе в круглой трубе

4.2. Теплообмен в турбулентном пограничном слое на основе полуэмпирической теории турбулентности

4.3. Теплообмен в цилиндрическом канале при ламинарном течении жидкости

Выводы

Список публикаций

Список используемой литературы

Приложения

Приложение 1. Акты внедрения

Приложение 2. Комплекс программ для решения задач теплопроводности и тепломассопереноса

Общие сведения о диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математических и компьютерных моделей переноса тепла, массы, импульса для систем тепло- и водоснабжения»

Актуальность работы. Математическое и компьютерное моделирование

процессов переноса тепла, массы и импульса является неотъемлемым компонентом многих научных и прикладных исследований, охватывающих широкие области использования во многих отраслях промышленности. В связи с интенсификацией производства возникает необходимость их исследования для сверхмалых значений времени, а также для быстропротекающих процессов. Математические модели, основанные на параболических уравнениях переноса, выведенных из условия бесконечной скорости распределения потенциалов исследуемых полей, в указанных временных интервалах оказываются несостоятельными. В связи с чем, разработка новых моделей переноса, учитывающих конечные скорости распространения потенциалов исследуемых полей, является актуальной проблемой.

Математические модели переноса массы, импульса, а также конвективного теплопереноса, основанные на дифференциальных уравнениях Навье - Стокса и конвективного теплообмена, несмотря на многочисленные допущения, крайне сложны и могут быть исследованы лишь численными методами при использовании высокопроизводительной компьютерной техники. В этой связи весьма перспективным является направление исследований, связанное с применением теории подобия, когда исследование каких - либо процессов выполняется на объектах (явлениях) совсем другой природы, которые описываются одинаковыми с исследуемыми процессами уравнениями. Например, уравнения двух законов Кирхгофа, описывающих распределение потенциалов в электрических сетях, могут быть успешно использованы для нахождения давлений и скоростей (расходов) в движущихся жидкостях.

Тему работы, связанной с решением указанных проблем, следует признать актуальной.

Цель работы заключается в разработке новых математических моделей переноса тепла, массы и импульса с учетом конечных скоростей распределения потенциалов исследуемых полей, а также моделей, основанных на использовании

теории подобия, когда исследование требуемых явлений выполняется на объектах другой физической природы, аналогичных исследуемым.

Задачи, решаемые в диссертации

1. Создание математических и компьютерных моделей переноса импульса в жидкостях, движущихся в сложных трубопроводных системах.

2. Нахождение аналитического решения краевой задачи колебаний упругой жидкости при гидроударе в трубопроводе, учитывая конечную скорость распространения потенциалов исследуемых полей.

3. Получение математической модели температурного пограничного слоя, формирующегося в турбулентном динамическом пограничном слое.

4. Разработка компьютерной модели объединенной теплосети г. Самара.

5. Разработка компьютерных моделей циркуляционных систем ТЭЦ "ВАЗа" и Тольяттинской ТЭЦ.

Новые научные результаты

1. Применительно к сложным трубопроводным сетям разработаны математические и компьютерные модели распределения давления в движущейся жидкости, основанные на аналогии исследуемых гидравлических процессов с распределением напряжения в электрических сетях.

2. Для гиперболического уравнения, описывающего распределение давления при гидроударе в трубе, учитывая конечную скорость распространения потенциалов найдено точное аналитическое решение.

3. Используя понятие фронта теплового возмущения и дополнительных граничных условий, найдено аналитическое решение краевой задачи теплообмена для теплового турбулентного пограничного слоя.

4. Создана компьютерная модель объединенной тепловой сети г. Самара, основанная на аналогии течения жидкости в трубопроводах и распределения электрического тока в проводниках.

5. Разработаны компьютерные модели цирксистем Тольяттинской ТЭЦ и ТЭЦ "ВАЗа", позволяющие выполнять мониторинг их текущего состояния, а также составлять планы реконструкции и построения новых участков.

На защиту выносятся:

1. Математические и компьютерные модели переноса импульса в движущихся жидкостях для сложных трубопроводных систем, основанные на аналогии распределения давления в трубопроводах и электрического тока в проводниках.

2. Аналитическое решение задачи теплообмена для турбулентного пограничного слоя, основанное на использовании фронта теплового возмущения и некоторых дополнительных условий, задаваемых на границе фронта и на поверхности стенки.

3. Математическая модель колебаний упругой несжимаемой жидкости, позволяющая выполнять анализ распределения скорости и давления при гидроударе, учитывая конечную скорость распространения импульса.

4. Компьютерная модель тепловой сети города Самара, позволяющая выполнять анализ её текущего состояния, а также разрабатывать планы реконструкции и построения новых участков.

5. Компьютерные модели цирксистем Тольяттинской ТЭЦ и ТЭЦ "ВАЗа", позволяющие определять причины их малой эффективности, а также разрабатывать мероприятия по реконструкции.

6. Комплекс программ, реализующих разработанные в диссертации модели (математические и компьютерные).

Достоверность результатов подтверждается соответствием разработанных автором диссертации теоретических моделей физическим процессам, протекающих в конкретных технических устройствах, сравнением с известными точными решениями, а также с результатами численных расчетов и натурных экспериментов.

Практическая значимость

1. Разработанные модели теплосети города Самара представлены в виде комплекса программ, позволяющих в режиме реального времени выполнять мониторинг тепловой сети с расчетом давлений, скоростей, расходов, потерь напора, затрат электроэнергии на привод насосов и прочего.

2. Построенные в диссертации модели цирксистем Тольяттинской ТЭЦ и ТЭЦ "ВАЗа", позволяют определять основные причины их малой эффективности, а также разрабатывать рекомендации по увеличению расходных характеристик.

Связь диссертации с государственными программами и планами научных исследований. Исследования выполнялись в соответствии с Аналитической ведомственной целевой программой «Развитие научного потенциала высшей школы» по тематическому плану НИР №551/02 «Разработка нового направления получения аналитических решений краевых задач математической физики на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий», а также при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части государственного задания ФГБОУ ВПО «СамГТУ» (код проекта: 1273).

Внедрение работы. Результаты диссертации были использованы при выполнении энергоаудита объектов Самарского государственного технического университета в период с 01.02.2011 по 31.12.2012 гг., а также при проведении хоздоговорных работ с ВоТГК, связанных с разработкой и внедрением компьютерных моделей перечисленных выше тепловых сетей и циркуляционных систем. Экономический эффект внедрения составляет 1 млн. 800 тыс. руб.

Апробация работы. Основные положения диссертации были апробированы

на:

• IX Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2013 г.).

• Международной научно - технич. конф."Математические методы и модели: теория, применение и роль в образовании" (28 - 30 апреля 2014 г.).

г. Ульяновск.

• Четвертой международной научно - технич. конф. "Математическая физика и ее приложения" (г. Самара, 25 августа - 1 сентября 2014 г.)

• Объединённом научном семинаре Теплоэнергетического факультета Самарского государственного технического университета. Самара, 2015 г..

Публикации. Содержание работы опубликовано в 15 статьях, из них 8 в рецензируемых изданиях из перечня ВАК.

Личный вклад автора. В работах [1 - 8, 15] автор принимал участие в постановке задач, выполнял расчетные работы. В работах [9 - 14] автору в равной степени с соавторами принадлежит выполнение математических постановок задач, нахождение решений и анализ полученных данных.

Структура и объем диссертации. Работа включает введение, четыре главы, выводы, список используемых литературных источников, приложения; изложена на 143 страницах основного текста (не считая приложений), содержит 69 рисунков. Список литературы содержит 96 наименований.

Глава 1. Обзор работ по направлению исследований диссертации

Движение среды, транспортируемой в трубопроводах, происходит в соответствии с законами сохранения массы, энергии и импульса. Поэтому теория гидравлических систем основывается на математическом моделировании различных параметров, характеризующих перемещаемую среду.

Теория гидравлических сетей имеет аналогию с теорией электрических сетей. И, в частности, первый и второй законы Кирхгофа справедливы как для электрических, так и для гидравлических систем. Теория гидравлических сетей развивалась как направление, объединяющее общие результаты, справедливые для любых гидравлических и трубопроводных систем. Математическое описание, расчёта гидравлических систем, включая матричную запись уравнений законов Кирхгофа, а также разработка алгоритмов и компьютерных программ, были рассмотрены в работах М.Г. Сухарева и Е.Р. Ставровского [71 - 73]. В этих работах дано обоснование математических моделей, описывающих гидравлические процессы в трубопроводных системах, а также алгоритмическое обеспечение для систем автоматизированного проектирования и диспетчерского управления.

Развитие этой теории дано в работе В.Я. Хасилёва «Элементы теории гидравлических цепей», опубликованной в журнале «Известия АН СССР» в 1961 г., где была использована алгебра матриц и векторов, которая уже применялась в данной теории.

Фундаментом теории гидравлических цепей является метод расчёта потоко-распределения (определения расхода) [49 - 60, 67, 71, 72]. Основные положения этого метода приведены в работе Е.Я. Соколова «Теплофикация и тепловые сети» [67]. В этой работе даны теоретические положения, связанные с использованием законов Кирхгофа к расчёту гидравлических сетей. И, в частности, на конкретном примере рассмотрена полная последовательность расчёта потокораспределения для однокольцевой цепи. Распространение этого метода для расчётов многокольцевых трубопроводных систем связано с расчётными трудностями. Для их преодоления были разработаны соответствующие алгоритмы и компьютерные про-

граммы, основанные на использовании итеративных методов расчёта увязочных расходов. Однако для сложных сетей появляется проблема сходимости итераций. Для её решения разработан метод поконтурной увязки перепадов давлений, согласно которому каждый увязочный расход учитывается по всем ответвлениям контура алгебраическим суммированием с принятыми по начальному приближению расходами.

Для максимального приближения модели к реальной гидравлической сети выполняется идентификация модели, для выполнения которой должны быть известны расходы и давления в некоторых точках сети, полученные путём эксперимента. Изменяя сопротивления трубопроводов модели, находят такие их значения, при которых расчёты на модели будут совпадать с известными экспериментальными данными (в пределах задаваемой погрешности). В работах [23 - 25, 42] процесс идентификации модели автоматизирован.

Компьютерные модели широко применяются для различного вида трубопроводных систем, включая циркуляционные системы ТЭС. Их особенностью является нарушение неразрывности потока в градирнях. В работах [24, 25, 31] разработан метод, позволяющий строить компьютерные модели и для этих систем, принимая точку разрыва в виде вершины с заданным притоком (расход через сопла) и с заданным отбором (приток в чашу градирни).

Метод математического моделирования, рассмотренный выше, основанный на электрогидравлической аналогии, позволяет находить средние по сечениям значения скоростей , температур и давлений движущейся жидкости применительно к поперечному сечению трубопровода. Для определения распределения указанных величин в пределах каждого отдельного сечения выполняется описание процесса течения жидкости с помощью дифференциальных уравнений. Для такого вида математического моделирования разрабатывается математическая модель рассматриваемого процесса, включающая дифференциальное уравнение и соответствующие условия однозначности (краевые условия), то есть будем иметь краевую задачу. Следующим этапом математического моделирования является нахождение аналитического или численного решения конкретной краевой задачи.

Соответственно виду получаемого решения методы подразделяется на точные аналитические, приближенные аналитические и численные. Классические точные аналитические методы включают метод Фурье, метод функций Грина, метод тепловых потенциалов, различного вида методы интегральных преобразований и др. [21, 35 - 38, 46 - 48, 78, 83 - 85]. К приближенным аналитическим относятся: вариационные методы(Ритца, Треффтца и др.); взвешенных невязок (Галеркина, Л.В. Канторовича, коллокаций, наименьших квадратов и др.) [4, 5, 9, 11, 17, 18, 26, 29, 77, 84, 85, 88]. Среди численных методов большое распространение получили различные разновидности конечно - разностного метода (расщепления переменных направлений, дробных шагов с последующим применением метода прогонки) и методы конечных элементов [46, 77, 78, 81].

Основным недостатком методов, относящихся к точным аналитическим, является их малая универсальность. Они могут быть применены в основном лишь к линейным краевым задачам, так как для таких задач при выполнении начального условия можно строить линейную суперпозицию частных решений и таким образом получать решения в виде бесконечных рядов. Эти ряды в области малых значений времени плохо сходятся. Так, например, при Fo = 10-12 точное решение сходится лишь при использовании 5 • 105 членов его ряда. Такого рода решения мало пригодны для инженерных приложений и особенно в случае, когда они должны быть использованы как промежуточная стадия при решении других задач - термоупругости, автоматизированного управления, обратных краевых задач и др.

Важнейшим преимуществом методов, относящихся к приближенным аналитическим, является их универсальность. И, в частности, они могут быть применены для нелинейных задач, с переменными физическими свойствами, с изменяющимися во времени краевыми условиями и источниками теплоты и других задач. При их использовании решение получается в виде ряда, но этот ряд ограничен по числу его членов. Трудности значительного повышения числа членов решения связаны со следующими обстоятельствами: удовлетворение дифференциального уравнения, как правило, связанно с решением степенного уравнения( определяющего собственные значения краевой задачи), степень которого зависит от

числа приближений. Получение решений уравнений высоких степеней, несмотря на наличие стандартных вычислительных программ, представляет существенные трудности даже при использовании современных средств компьютерной техники. То есть в данном случае существует тот предел по числу членов ряда, превышение которого может приводить не к повышению, а к уменьшению точности реше-

Кроме того, выполнение начальных условий при использовании приближенных методов обычно сводится к решению системам алгебраических уравнений. Их матрицы, будучи заполненными квадратными матрицами, имеющими большой разброс коэффициентов по величине, обычно плохо обусловлены. В этом случае, несмотря на наличие высокопроизводительной вычислительной техники, число приближений оказывается ограниченным и его превышение может приводить к уменьшению точности получаемого решения.

Из приближенных аналитических имеются методы, позволяющие избежать (либо существенно смягчить) указанные недостатки - это интегральные методы теплового баланса [4, 9, 11, 27, 28, 32 - 34, 39, 43, 44, 68, 88]. В их основе лежит разделение нестационарного процесса на две стадии по временной переменной, что оказывается возможным благодаря определению фронта теплового возмущения, разделяющего рассматриваемую область на два участка - прогретую и не-прогретую. Первая стадия теплообмена после достижения подвижной границей центра пластины заканчивается (в случае симметричных граничных условий). Во второй стадии в рассмотрение вводится дополнительная функция, представляющая закономерность изменения температуры во времени в центре тела. Такой способ на основе введения дополнительных граничных условий [27, 28, 30, 32 -34, 43, 44, 68] позволяет находить решения практически с заданной точностью и для малых, и для сверхмалых величин времени. Данное обстоятельство объясняется тем, что исходная задача разделяется на две задачи, в каждой из которых интегрированию подлежит уравнение в обыкновенных производных. Кроме того, применительно к решению каждой из этих задач начальное условие выполняется

не по всей ширине пластины, а лишь в одной из граничных точек, что значительно упрощает его выполнение.

Существуют различные модификации данного интегрального метода -Гудмена [11] , Швеца [88] , Вейника [4, 9] , Постольника [63] , Био [5] и др. Основной их проблемой является недостаточная точность. Причина в том, что при точном выполнении интегрального уравнения и граничных условий, основное дифференциальное уравнение в данном случае удовлетворяется лишь в среднем. Следовательно, повышение точности связанно с улучшением выполнения исходного уравнения. Для этого в работах [27, 28, 32 - 34, 39, 43, 44, 68] избрано направление апроксимации искомой функции полиномами с высокими степенями, при определении неизвестных коэффициентов которых используются некоторые дополнительные условия. Такой подход позволяет находить решения практически для всего времени процесса.

Данный метод особенно эффективен для задач динамического и теплового пограничного слоя, где в качестве временной переменой принимается продольная пространственная координата [30, 34, 39]. В настоящей диссертации этот метод развит применительно к решению задачи для турбулентного теплового пограничного слоя.

Так как решению подлежит параболическое уравнение теплопроводности при выводе которого ( в формуле Фурье для теплового потока) закладывается бесконечная скорость переноса теплоты, то введение фронта теплового возмущения является условным и используется лишь для получения простого вида приближенных решений. Однако в работах [30, 33, 32, 39, 68] показано, что увеличение числа приближений приводит к увеличению скорости движения фронта теплового возмущения и в пределе при п ^ да величина скорости также стремиться к бесконечности. Этот факт свидетельствует о том, что данный метод при увеличении числа приближений позволяет получать решения, эквивалентные точным.

Результаты исследования распределения температур, давлений и скоростей в движущихся жидкостях приведены в работах Б.С. Петухова, Г. Шлихтинга, Л.Г. Лойцянского, П.В. Цоя, И.А. Чарного и др. [45, 62, 84, 85, 86, 89, 91]. И, в частно-

сти, при определении давлений и скоростей интегрированию подлежит система нелинейных уравнений движения. Путём соответствующей линеаризации эта система в ряде случаев может быть сведена к двум независимым гиперболическим уравнениям для давления и скорости. Метод их решения, изложенный в [62], является сложным и трудоёмким, а полученные решения, имеющие вид бесконечных рядов, затруднительно использовать в инженерных приложениях. В настоящей диссертации приведена методика построения точного решения гиперболического уравнения, описывающего гидравлический удар в трубопроводе.

Определение температуры движущейся жидкости связано с решением задачи Гретца - Нуссельта [62, 84, 85]. Исходная краевая задача является нестационарной задачей конвективно - кондуктивного теплообмена, которая в процессе нахождения решения физически обоснованно сводится к решению двух задач -нестационарной и квазистационарной. Первая задача применяется для участков теплообменника, которых не достигает возмущение, связанное с температурой, задаваемой на входе в канал. В этих областях процесс теплообмена протекает как бы в неподвижной жидкости, то есть без учёта конвективного теплопереноса по продольной переменной. Применительно к этим областям краевая задача теплообмена сводится к задаче теплопроводности для цилиндра, точные решения которой приведены в известной литературе.

Наибольший интерес в данном случае представляет получение решения квазистационарной задачи (задачи Гретца - Нуссельта). Она ставится для участков теплообменника, которых достигает возмущение, связанное с температурой жидкости, задаваемой на входе в трубу. Теплообмен в этих областях не зависит от начальной температуры всей жидкости и определяется лишь температурой, задаваемой на входе в трубу. Данная задача является нелинейной - её решение впервые получил Л. Гретц (1885 г.) и, независимо от него, В. Нуссельт (1910 г.). П.П. Шумиловым и В.С. Яблонским было получено решение, отличное от решений Л. Гретца и В. Нуссельта . Детальный анализ всех этих решений выполнен в работе Б.С. Петухова [62], где приводятся два различных решения этой краевой задачи. Первое из них представляет бесконечный ряд, собственные числа которого опре-

деляются из решения степенного алгебраического уравнения. Учитывая трудности получения решений таких уравнений, число членов бесконечного ряда будет небольшим, а это значит, что получение решений для малых величин продольной переменной не представляется возможным.

Второе решение, приведённое в [62], состоит из трёх различных формул, каждая из которых может быть применена лишь в определённом диапазоне поперечной пространственной переменной. К тому же, разделение границ, в которых справедливо каждое из решений, не приводится. В связи с чем, использование таких решений для выполнения практических расчётов весьма затруднительно. В настоящей работе решение данной задачи получено путём введения фронта теплового возмущения и некоторых дополнительных условий, задаваемых на границе области.

Глава 2. Компьютерные модели трубопроводных систем

В связи с ростом параметров эксплуатации оборудования и усложнением технических процессов и систем для их адекватного описания и анализа большое значение приобретают компьютерные модели, позволяющие с высокой точностью воспроизводить протекающие в них процессы. Применительно к сложным трубопроводным сетям особенно эффективными и универсальными являются компьютерные модели, основанные на электрогидравлической аналогии с использованием законов Кирхгофа. Такие модели могут быть построены для нефте - водо - газопроводов и любых других трубопроводных систем, служащих для перемещения какого - либо продукта. Компьютерная модель позволяет рассчитать многие варианты работы объекта и выбрать наиболее оптимальный из них. При этом возможно проведение вычислительных экспериментов по расчету различных режимов работы объекта, связанных с включением и отключением оборудования, изменением параметров работы, расчётом оптимальных вариантов реконструкции и проектированием новых участков и проч.

2.1. Математическое моделирование течения жидкости в трубопроводных системах

Эффективным направлением при расчёте сложных гидравлических цепей, подключенных к одному или нескольким источникам, является построение компьютерных моделей, позволяющих моделировать протекающие в них гидравлические процессы, при рассмотрении их как единых гидравлических систем. С их помощью можно определять расходы давления, скорости течения, потери давления, расход электроэнергии на перемещение и проч. В основе моделей заложены два закона Кирхгофа, используемые для расчетов электрических сетей. Их применение к гидравлическим сетям основано на аналогии процессов протекания элек-

трического тока в электропроводных материалах и жидкости в трубопроводных сетях [67].

Идею метода поясним на примере нахождения распределения расходов в сети, состоящей из кольца, которое имеет три ответвления (рис. 2.1). По участкам а, Ь, с, d расходы обозначим через Qa, Qb, Qc, Qd, - по ответвлениям - Q1, Q2, Qз. Требуется найти расходы по участкам кольца при известном расходе Q, задаваемом на входе в кольцо. Расходы Q1, Q2, Q3 по ответвлениям заданы, и сумма их равна расходу на входе в кольцо Q = Q1 + Q2 + Q3.

1 Ql

Q,

Q

3 Рис. 2.1. Схема кольцевой сети

Введем следующие допущения: 1) поступление среды в узел считаем положительным, а отток- отрицательным; 2) потеря напора для среды, движущейся по часовой стрелке, положительна, против - отрицательна.

По первому закону Кирхгофа, при расчётах гидравлических сетей должно выполняться равенство поступления и оттока в любом узле

¿а = о, (2.1)

г=1

где п - число соединяющихся в узле трубопроводов; Ql (г = 1, п) - расходы по

любому из трубопроводов.

По второму закону Кирхгофа для каждого замкнутого контура сумму напоров следует приравнять нулю

¿Н = 1^ = о, (2.2)

*л>2

г=1 г=1

где (г = 1, п), Ql (г = 1, п) - гидравлические сопротивления и расходы на г - ом участке.

Применяя итеративный метод расчета, на основе (2.1) и (2.2) можно определить расходы по участкам сети при заданном расходе Q на входе в кольцо. Первый шаг итерации связан с заданием произвольных расходов воды 0а, 0Ь, 0с, 0а

на каждом участке кольца. Отсюда в узлах 0,1, 2 , исходя из первого закона Кирхгофа, определяем

Qd = Q - Qa; Qa = Ql + Qb; Qb = 02 + Qc. Запись уравнения Кирхгофа для узла 3 не требуется, так как расход Q3 = Qd + Qc при известных значениях расходов на других участках сети.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бранфилева Анастасия Николаевна, 2016 год

// \

// \ *

у \ ;

\ 1

\ > 1

\ > \

\

1;

; 1|

0

0.5

1.5 2

2.5

3.5

4.5

5.5

б.5

1

3

4

5

б

7

л

рисунок 1 Приложения 2