Разработка компенсаторов волнового фронта на основе поверхностей свободной формы для контроля асферических зеркал тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.07, кандидат наук Мазур Яна Вадимовна

• Мазур Яна Вадимовна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Мазур Яна Вадимовна

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Методологические подходы к решению проблемы компенсации волнового фронта для асферических зеркал

1.1. Аберрационные свойства и качество изображения, формируемого асферическими зеркальными поверхностями

1.1.1 Классификация асферических оптических поверхностей

1.1.2 Аберрационные свойства асферических зеркальных поверхностей второго порядка

1.2. Методы контроля и исследования асферических зеркал телескопов

1.2.1 Теневые методы контроля

1.2.2 Метод контроля Гартмана

1.2.3 Интерференционные и голографические методы контроля

1.2.4. Компенсационные методы контроля

1.2.5 Сравнительный анализ методов контроля асферических зеркал телескопов

Выводы по главе

Глава 2. Разработка метода компенсации волнового фронта асферических зеркал на основе элементов свободной формы

2.1. Методы синтеза оптических поверхностей свободной формы

2.1.1 Метод «String» (метод краевых лучей)

2.1.2 Метод «Flow line» (метод потоковых линий)

2.1.3 Метод «SMS - Simultaneous Multiple Surface»

2.1.4 Метод эллипсоидов

2.1.5 Метод Монжа-Ампера

2.1.6 Метод моделирования поверхностей свободной формы при заданном распределении освещенности

2.2 Синтез элементов свободной формы на основе методов геометрического отображения лучей

2.3 Уточненный алгоритм синтеза поверхности свободной формы методом геометрического отображения лучей

2.4 Модифицированный метод геометрического отображения лучей для сопряжения неплоских волновых фронтов

Выводы по главе

Глава 3. Разработка метода синтеза элементов свободной формы с использованием искусственных нейронных сетей

3.1 Построение искусственных нейронных сетей для решения обратных задач99

3.2 Синтез элементов свободной формы на основе искусственной нейронной сети

3.2.1 Математическая модель обучения искусственной нейронной сети для синтеза элементов свободной формы

3.2.2 Алгоритм синтеза элементов свободной формы методом искусственных нейронных сетей

3.2.3 Реализация алгоритма синтеза элементов свободной формы методом искусственных нейронных сетей

3.3 Апробация метода синтеза оптических поверхностей свободной формы с использованием искусственной нейронной сети на модели анаберрационной плоско-гиперболической линзы

Выводы по главе

Глава 4. Разработка компенсаторов волнового фронта на основе поверхностей свободной формы для контроля асферических зеркал крупного солнечного телескопа КСТ-3

4.1 Крупный солнечный телескоп-коронограф КСТ-3

4.2 Разработка компенсаторов ошибок волнового фронта для зеркал КСТ-3 автоколлимационным методом

4.3. Разработка компенсаторов ошибок волнового фронта для зеркал КСТ-3 методом А. Оффнера

4.4 Разработка компенсаторов ошибок волнового фронта для зеркал КСТ-3 с использованием оптических поверхностей свободной формы

Выводы по главе

Заключение

Список сокращений

Список литературы

Приложение 1. Программная реализация искусственной нейронной сети

Приложение 2. Расчет компенсаторов ошибок волновых фронтов зеркал КСТ-3 автоколлимационным методом

Приложение 3. Акты использования

Приложение 4. Тексты публикаций

Реферат

Общая характеристика диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка компенсаторов волнового фронта на основе поверхностей свободной формы для контроля асферических зеркал»

Актуальность темы диссертации

В современном мире происходит интенсивное развитие аппаратуры для космических исследований, основу которой составляют крупногабаритные оптические телескопы, включающие асферические зеркала. В настоящее время в Саянской солнечной обсерватории ИСЗФ СО РАН реализуется проект по созданию трехзеркального солнечного телескопа-коронографа КСТ-3, главное зеркало которого параболическое, а вторичные зеркала - эллиптические. Контроль формы изготовления асферических отражающих поверхностей и компенсация ошибок волнового фронта, обеспечивающая достижение предельного качества изображения, является сложной технической задачей. Оптические компенсаторы, построенные на основе зеркальных и линзовых систем, интерференционных схем, дифракционных и голографических оптических элементов, разработаны крупнейшими российскими и зарубежными учеными, среди которых В.П. Линник, Г. Далл, Д.Д. Максутов, А. Оффнер, И.Ф. Гартман, В.А. Зверев, Д.Т. Пуряев и др. Высокоточные компенсационные схемы зональных и местных ошибок, применяемые для контроля крупных светосильных асферических зеркал, сложны в проектировании и изготовлении. В этой связи, сохраняется необходимость исследования и расширения методов компенсации ошибок волнового фронта. Перспективной задачей является разработка принципов построения новой элементной базы компенсаторов, основанных на оптике свободной формы (/Гее/огт), реализующей возможности одновременного создания требуемых конгруэнций пучков лучей, получения изображений дифракционного качества и снижения числа элементов оптических систем. Благодаря появлению широкого ассортимента высококачественных оптических полимеров, высокоточного оборудования для их обработки и формирования сложных профилей поверхностей,

развитию математического аппарата и совершенствованию вычислительных мощностей, в последнее десятилетие значительно расширилось применение /гвв/огт-оптики. Методы синтеза freeform элементов описаны в трудах множества ученых, среди которых Л. Альварес, П. Бенитес, Х. Минано, Х. Чавес, Л.Л. Досколович и др., и, в большинстве своем, направлены на расчет систем энергоэффективной неизображающей оптики различного назначения по заданным геометрическим и оптическим параметрам источников и приемников излучения. Следует отметить, что методы синтеза осветительной freeform оптики не учитывают критерии качества изображения и не подходят для расчета изображающих систем, в связи с чем разработка и усовершенствование методов синтеза элементов свободной формы для приложений изображающей оптики является крайне актуальной задачей. В рамках геометрического подхода сложность формирования математической модели расчета оптических поверхностей свободной формы для изображающих систем определяется необходимостью корректного описания преобразования входного и выходного волновых фронтов с соблюдением допустимых искажений, описываемых функцией волновой аберрации, а также учета значительного количества ограничений, связанных с геометрическими параметрами оптических поверхностей свободной формы. Наибольшую трудность представляет определение «стартовой точки» композиции системы. Данную проблему может разрешить альтернативный подход к разработке изображающих оптических систем, основанный на применении технологий машинного обучения и алгоритмах искусственного интеллекта. Таким образом, модификация и развитие существующих методов синтеза freeform элементов изображающих оптических систем, в частности, для реализации оптических компенсаторов волновых фронтов асферических зеркал представляется крайне актуальной задачей исследования.

Целью диссертационной работы является разработка метода синтеза оптических систем компенсаторов волнового фронта на основе элементов свободной формы для контроля светосильных асферических зеркал.

Для достижения данной цели в рамках диссертации были поставлены и решены следующие задачи:

Задача 1 - анализ существующих схем контроля качества асферических зеркальных поверхностей и методов компенсации ошибок волнового фронта.

Задача 2 - анализ существующих методов синтеза оптических элементов свободной формы для осветительных и изображающих систем и исследование эффективности интерполяционных методов для описания оптических поверхностей свободной формы.

Задача 3 - разработка метода синтеза элементов свободной формы для системы компенсации ошибок волнового фронта асферических зеркал, заключающегося в модификации метода геометрического отображения лучей.

Задача 4 - разработка метода синтеза оптических поверхностей свободной формы на основе использования искусственных нейронных сетей.

Задача 5 - разработка компенсаторов волнового фронта на основе оптических элементов свободной формы для контроля асферических зеркал солнечного телескопа-коронографа КСТ-3.

Методология и методы исследования

В диссертации применялись методы синтеза оптических систем, основанные на теории аберраций третьего и высших порядков; методы синтеза оптических элементов свободной формы для изображающих и осветительных систем; методы искусственных нейронных систем и машинного обучения; аналитические и численные методы оптики; прямые и обратные методы трассировки лучей; методы оптимизации оптических систем; метод компенсации ошибок волновых фронтов асферических зеркальных поверхностей по схеме А. Оффнера; автоколлимационный метод компенсации ошибок волновых фронтов асферических зеркальных поверхностей.

Компьютерное моделирование выполнено с использованием ПО MATLAB, языка программирования Julia. Моделирование и исследование характеристик качества оптических систем выполнено в среде разработки Zemax OpticStudio.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Модификация метода геометрического отображения лучей, заключающаяся в сопряжении радиальных целевых сеток так, что первая целевая сетка располагается на плоской поверхности элемента свободной формы, через которую проходит коллимированный пучок лучей, а вторая целевая сетка является проекцией волнового фронта, отраженного от асферической зеркальной поверхности, позволяет выполнить синтез элемента свободной формы, обеспечивающего сохранение нормальной конгруэнции пучка лучей в изображающей оптической системе.

2. Разработанный алгоритм синтеза оптических поверхностей свободной формы методом искусственных нейронных сетей за счет использования радиально-базисной функции и применения ядерного сглаживания Надарая-Уотсона, с выборкой обучающих систем размерностью N>17000, обеспечивает погрешность предсказательной способности менее 0,02 при размерности выборки лучей М>1024 и позволяет выполнять синтез оптических элементов свободной формы, удовлетворяющих дифракционному критерию качества изображения.

3. Использование в качестве компенсатора волнового фронта оптического элемента свободной формы, рассчитанного модифицированным методом геометрического отображения лучей с построением искусственной нейронной сети, расширяет область применения производственного метода контроля А.Оффнера на уникальные светосильные асферические зеркала с диафрагменным числом к>1,5.

Научная новизна диссертации отражена в следующих пунктах. Научная новизна 1 - обоснована эффективность применения метода билинейной интерполяции для расчета уравнений преломляющих поверхностей свободной формы по массивам координат точек, с учетом критериев

алгоритмической сложности, порядка гладкости и применимости. (Соответствует области исследований 1 паспорта специальности).

Научная новизна 2 - разработан новый метод синтеза оптических элементов свободной формы, основанный на модификации метода геометрического отображения лучей (Ray-mapping method), с использованием искусственной нейронной сети, применяемой на этапах расчета координат точек преломляющей поверхности свободной формы по заданным конгруэнциям входного и выходного волновых фронтов, архитектура которой построена на радиально-базисной функции и ядерном сглаживании Надарая-Уотсона. (Соответствует областям исследований: 1, 2 паспорта специальности).

Научная новизна 3 - предложена новая методика композиции компенсационной системы высокоапертурных асферических зеркал; основанная на применении двухкомпонентной схемы, содержащей коллимирующий элемент и оптический элемент свободной формы, обеспечивающей остаточную волновую аберрацию AW < 0,05i. (Соответствует области исследований 2 паспорта специальности).

Научно-техническая задача, решаемая в диссертации, заключается в разработке схем компенсаторов волнового фронта на основе поверхностей свободной формы, предназначенных для контроля асферических зеркал солнечного телескопа-коронографа КСТ-3.

Теоретическая и практическая значимость

1. Показана возможность применения предложенного модифицированного метода геометрического отображения лучей для расчета изображающих оптических систем на элементах свободной формы с заданными характеристиками качества.

2. Разработана и реализована модель искусственной нейронной сети, позволяющей выполнять расчет координат точек преломляющей

поверхности свободной формы по заданным характеристикам входного и выходного волновых фронтов оптической системы.

3. Показано, что разработанная искусственная нейронная сеть работает эффективно при использовании более 17 000 обучающих однокомпонентных оптических систем при размерности выборки лучей М=4096.

4. Реализована компьютерная модель билинейной интерполяции уравнений оптических поверхностей по массиву координат точек, позволяющая задавать поверхности свободной формы в пакетах программ расчета оптических систем (Zemax OpticStudio).

5. Предложена двухкомпонентная схема компенсатора ошибок волнового фронта асферических зеркал, состоящая из коллимирующего элемента и элемента свободной формы, рассчитываемого по предложенной методике с использованием искусственной нейронной сети.

6. Выполнен сравнительный анализ результатов расчета компенсаторов ошибок волнового фронта асферических зеркал солнечного телескопа-коронографа КСТ-3 линзовым методом А. Оффнера, автоколлимационным методом и предложенным методом с использованием оптического элемента свободной формы и показано преимущество применения предложенного метода для контроля высокоапертурных параболических зеркал, заключающееся в обеспечении требований дифракционного качества изображений и технологичности схемы контроля.

Достоверность

Разработанная концепция построения компенсационной системы асферических зеркал на основе поверхностей свободной формы основана на законах физической и геометрической оптики и методах исследования качества изображающих оптических систем и подтверждается аналитическими и численными моделями. Структурные решения и модели систем оптических компенсаторов разработаны на основе анализа передового опыта создания схем оптического контроля. Алгоритмы обратной трассировки лучей для синтеза

элементов свободной формы модифицированным методом геометрического отображения лучей с использованием искусственной нейронной сети реализованы на лицензионном ПО MATLAB Simulink, на языке программирования Julia; моделирование, аберрационный расчет и оптимизация исследуемых оптических систем реализованы с использованием лицензионного пакета программ Zemax OpticStudio. Достоверность разработанных моделей и алгоритмов подтверждена в ходе расчетов анаберрационных оптических систем и интеграции разработанных программных приложений в Zemax OpticStudio.

Внедрение результатов работы

Основные результаты работы рекомендованы к использованию Институтом Солнечно-Земной Физики Сибирского отделения Российской Академии Наук (ИСЗФ СО РАН) на этапе создания аттестационного оборудования для метрологических процедур зеркал солнечного телескопа-коронографа КСТ-3. Отдельные результаты работы использованы в НИР, выполненной в рамках Госзадания (тема №3.2506.2017/4.6), и оформлены в свидетельстве о государственной регистрации программы для ЭВМ №2017613010.

Апробация результатов работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на восьми всероссийских и международных конференциях: «International Young Scientists Conference in Computational Science YSC-2016», г.Краков, Польша, 2016; «SPIE Optics + Photonics», г.Сан-Диего, США, 2017; «Всероссийский конгресс молодых ученых-2017», Санкт-Петербург, 2017; «Всероссийский конгресс молодых ученых-2018», Санкт-Петербург, 2018; «SPIE Optical System Design», г.Франкфурт, Германия, 2018; «International Young Scientists Conference in Computational Science YSC-2019», о.Крит, Греция, 2019; «Всероссийский конгресс молодых ученых-2020», Санкт-Петербург, 2020; «Graphicon-2020», Санкт-Петербург, 2020; «Всероссийский конгресс молодых ученых-2021», Санкт-Петербург, 2021.

Выполненные исследования поддержаны грантами и стипендиями: 1) Грант для студентов вузов, расположенных на территории Санкт-Петербурга, аспирантов вузов, отраслевых и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга - 2019; 2) НИР по теме 610749 «Проектирование и экономическое обоснование оптических систем для фундаментальных и прикладных исследований»; 3) НИР по теме 619297 «Разработка методов и средств решения прикладных задач фотоники».

Личный вклад автора

Представленные в диссертации результаты получены автором лично или при непосредственном участии автора.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 221 страниц и содержит 56 рисунков и 19 таблиц. Нумерация рисунков и формул выполнена по главам. Список литературы включает в себя 154 источника. Нумерация используемых литературных источников сквозная по всему тексту.

Основное содержание диссертации

Во введении сформулированы цели и задачи, обоснована актуальность исследования, проводимого в рамках диссертационной работы, сформулирована научная новизна и теоретическая и практическая значимость представленной работы, а также представлены положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации представлен литературный обзор существующих методов контроля волнового фронта для зеркальных поверхностей. В первом разделе описаны существующие асферические зеркальные поверхности, а также рассмотрены аберрационные свойства и качество изображения, формируемые такими зеркалами. Во втором разделе представлены существующие

методы контроля зеркальных асферических поверхностей, классифицированные по физическому принципу действия, такие как метод сканирования (профилограф, пентапризма), метод визуализации (теневой, схема Гартмана) методы интерференции и голографии (интерферометр Ньютона, интерферометр сдвига, точечный дифракционный интерферометр, синтезированная длина волны (двухволновый), интерферометр со сшивкой апертур, голограмма-корректор) и метод оптической компенсации (компенсаторы-зеркала, линзы, синтезированные голограммы). В обзоре показан сравнительный анализ, приведен принцип работы каждого метода и обоснован выбор метода оптической компенсации в данной работе.

Во второй главе предложено в качестве компенсатора рассмотреть оптический элемент, содержащий поверхность свободной формы. В первом и втором разделах обоснованы преимущества и особенности использования оптических поверхностей свободной формы, а также представлены существующие методы расчета таких поверхностей для приложений осветительной оптики (методы "String" - краевых лучей, "Flow line" - потоковых линий, SMS -одновременного множества поверхностей, эллипсоидов, Монжа-Ампера) и изображающей оптики (Ray-mapping method - метод геометрического отображения лучей); приведен сравнительный анализ возможностей и ограничений представленных методов. В третьем разделе представлен разработанный модифицированный метод геометрического отображения лучей для синтеза изображающих элементов свободной формы, заключающийся в уточненном поиске уравнения нормали искомой преломляющей поверхности при обратной трассировке лучей. В четвертом разделе представлена схема компенсатора волнового фронта отражающих поверхностей, составленная из декомпозиции элемента свободной формы в виде двух элементов - коллиматора и элемента свободной формы с плоской поверхностью, между которыми распространяется параллельный пучок лучей (Рисунок 1), что значительно упрощает процедуру синтеза искомой оптической поверхности свободной формы сводит ее к

применению модифицированного метода геометрического отображения лучей, алгоритм которого показан на Рисунке 2.

Зеркало

б

Рисунок 1 - Схема компенсатора волнового фронта зеркальной поверхности: а - однокомпонентный элемент свободной формы; б - декомпозированная система из коллимирующего элемента и элемента свободной формы с плоской

поверхностью

Рисунок 2 - Алгоритм модифицированного метода геометрического отображения лучей для сопряжения неплоских волновых фронтов

В третьей главе обоснован метод моделирования оптических поверхностей свободной формы, основанный на использовании искусственной нейронной сети. В первом разделе представлена архитектура искусственной нейронной сети, основанная на радиально-базисной функции, что позволяет использовать при моделировании только один промежуточный слой, оптимизировать линейную комбинацию параметров в выходном слое, и в целом, выполнить обучение сети достаточно. Во втором разделе представлен метод синтеза элементов свободной формы на основе искусственной нейронной сети, алгоритм которого показан на Рисунке 3. Разработан и реализован алгоритм обучения искусственной нейронной сети, построенный на прямой трассировке лучей в однокомпонентной оптической системе. Выполнен анализ предсказательной способности разработанного алгоритма на различных наборах гиперпараметров, задающих полную структуру нейронной сети. Функция эмпирического риска искусственной нейронной сети

показала, что в значимой области (круг единичного радиуса) ошибка предсказаний координат точек искомой поверхности находится в области менее 0,02, что явилось подтверждением высокой эффективности предложенного метода. В разделе 3 представлены результаты апробации предложенного метода на модели анаберрационной плоско-гиперболической линзы и показано достижение дифракционного качества изображения предсказанной оптической системы с волновой аберрацией в пределах ДЖ<0,05Л,. Минимизирована целевая функция нейронной сети и определено эффективное количество обучающих оптических систем, равное 17 000 (Рисунок 4).

проектирования

Рисунок 3 - Алгоритм метода синтеза оптических поверхностей свободной

формы с использованием искусственной нейронной сети

Рисунок 4 - Целевая функция искусственной нейронной сети при использовании

100, 1 000 и 10 000 обучающих систем

В четвертой главе представлен расчет оптических систем компенсаторов волновых фронтов асферических зеркал трехзеркального солнечного телескопа-коронографа КСТ-3 с главным параболическим зеркалом М1 (световой диаметр 0=3000 мм, диафрагменное число к=1,88) и вторичными эллиптическими зеркалами М2 (световой диаметр 0=620 мм, диафрагменное число к=1,49), М3 (световой диаметр .0=330 мм, диафрагменное число к=5,75). В разделе 2 представлены результаты разработки компенсаторов автоколлимационным методом и показаны технологические ограничения метода, заключающиеся в необходимости изготовления крупногабаритных дополнительных эталонных зеркал с повышенными требованиями допусков, в частности допустимый радиус кривизны дополнительного зеркала должен быть более гз > 1,5 1010 мм. Также показано, что допустимое продольное смещение точечного источника относительно испытуемого зеркала составляет не более 4,5 мкм (при осевом расстоянии 5650 мм). В разделе 3 представлены результаты разработки схемы контроля асферических зеркал с линзовым компенсатором А. Оффнера и тонкой полевой линзой. Показано, что для высокоапертурных асферических зеркал КСТ-3

данная схема контроля не обеспечивает достижение остаточной волновой аберрации в пределах метрологического допуска ДЖ<,/20. В разделе 4 представлены результаты разработки схем компенсаторов, композиция которых представлена на Рисунке 1. Оптические поверхности свободной формы таких компенсаторов вычислены по заданным параметрам волновых фронтов асферических зеркал КСТ-3 с применением разработанных алгоритмов, представленных в Главах 2 и 3 и интегрированных в среду разработки Zemax OpticStudio. Показано, что разработанные схемы компенсаторов ошибок волнового фронта для зеркал М1, М2 и М3 телескопа КСТ-3 с использованием элементов свободной формы обеспечивают дифракционное качество изображения и остаточная волновая аберрация находится в пределах ДЖ < ЛУ20, что удовлетворяет метрологическому допуску (Рисунок 5).

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Выполнен сравнительный анализ существующих схем контроля качества асферических зеркальных поверхностей и методов компенсации ошибок волнового фронта: показана классификация методов контроля по физическому принципу действия: сканирование (контактные), визуализация (теневые, гартманограммы), интерференция и голография, оптическая компенсация (компенсаторы-зеркала, линзы, синтезированные голограммы); представлены характерные особенности оптических систем зеркальных телескопов - крупные габариты, высокие апертуры, дифракционное качество изображения, необходимость учета влияния местных ошибок поверхностей и единичное производство зеркал, ограничивающие применение как линзовых, так и голографических корректоров и компенсаторов; обоснована крайняя актуальность необходимости дальнейшего развития методов компенсации волнового фронта для асферических зеркал с применением специальных оптических элементов.

а

Максимальное значение шкалы: ±0,05/. б

Зеркало М2

Зеркало М3

Максимальное значение шкалы: ±0,00051

д е

Рисунок 5 - Характеристики качества оптических схем компенсатора ошибок волнового фронта асферических зеркал М1, М2, М3 солнечного телескопа коронографа КСТ-3 с использованием элементов свободной формы: а, в, д - частотно-контрастная характеристика; б, г, е - волновая аберрация

в

г

2. Выполнен сравнительный анализ существующих методов синтеза оптических элементов свободной формы для осветительных и изображающих систем (метод краевых лучей, метод потоковых линий, метод одновременного множества поверхностей, метод эллипсоидов, метод «скобка Пуассона», метод Монжа-Ампера, метод моделирования оптических поверхностей свободной формы при заданном распределении освещенности) и определены их достоинства и недостатки; выполнен анализ интерполяционных методов описания оптических поверхностей свободной формы и показана наилучшая эффективность метода билинейной интерполяции.

3. Разработан метод синтеза элементов свободной формы для осветительных и изображающих оптических систем, в том числе, для системы компенсации ошибок волнового фронта асферических зеркал. Суть метода заключается в модификации метода геометрического отображения лучей: создан и реализован алгоритм расчета оптической поверхности свободной формы, заключающийся в обратной трассировке лучей с уточненным определением нормалей к данной поверхности для зеркальной оптической системы, обеспечивающей сохранение конгруэнции пучков лучей, схема которой содержит близко расположенный точечный объект, коллиматор, рефракционный элемент свободной формы, асферическую отражающую поверхность и формирующую изображение дифракционного качества в плоскости объекта; представлены результаты реализации алгоритма на тестовых анаберрационных оптических системах и подтверждена корректность алгоритма.

4. Разработан метод синтеза оптических поверхностей свободной формы с использованием искусственной нейронной сети: созданы архитектура искусственной нейронной сети на основе радиально-базисной функции и многослойного персептрона, алгоритм обучения искусственной нейронной сети, построенный на прямой трассировке лучей в однокомпонентой оптической системе; показано, что для эффективного обучения искусственной нейронной сети достаточно выборки из 17 000 оптических систем. Оценка потенциальной работоспособности алгоритма предсказания координат оптической поверхности

свободной формы выполнена с использованием метода ядерного сглаживания Надарая-Уотсона; погрешность предсказательной способности реализованного алгоритма на различных наборах гиперпараметров составила менее 0,02, что подтверждает высокую эффективность разработанного метода. Апробация разработанного метода успешно выполнена на модели анаберрационной плоскогиперболической линзы.

5. Разработаны оптические системы компенсаторов волнового фронта для контроля асферических зеркал солнечного телескопа-коронографа КСТ-3 с использованием метода автоколлимации, линзового метода А. Оффнера и предложенного метода с использованием оптических элементов свободной формы. Сравнительный анализ полученных результатов показал, что разработанные по предложенному методу компенсаторы удовлетворяют метрологическому допуску ДЖ<Я/20, в том числе для высокоапертурных крупногабаритнаых асферических зеркал (до А=0,3 и 0=3000 мм). Вычисленные допуски на конструктивные параметры элементов и сборку предложенной компенсационной схемы контроля зеркал КСТ-3 с использованием элемента свободной формы свидетельствуют о ее технологической реализуемости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мазур Яна Вадимовна, 2022 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Chaves J. Introduction to nonimaging optics. B.R.: CRC Press Taylor & Francis Group, 2016. 749 p,

2. Дмитриев А.Ю., Досколович Л.Л. Расчет преломляющих поверхностей для формирования диаграммы направленности в виде линии // Компьютерная оптика. 2010. Т. 34. № 3. С. 297-301.

3. Voznesenskaya A., Mazur, Y. Numerical modeling' of freeform refractive surfaces forming line radiation pattern // Proc. Computer Sci. 2016. V. 101. P. 292-299.

4. Mastroianni G.,Milovanovic Gr. Interpolation processes; Basic theory and applications. В.; Springer, 2008. 446 p.

5. Гамма Э., Хелм P., Джонсон P., Влиссидес Дж. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования. СПб.: Питер, 2016. 366 с.

6. Voznesenskaya A., Krizskiy P. Comparison of interpolation and approximation methods for optical freeform synthesis // Proc. SPIE. 2017. V. 10330. P. 1-6.

7. Voznesenskaya A.. Mazur I., Krizskiy P. Synthesis of freeform refractive surfaces forming various radiation patterns using interpolation // Proc. SPIE. 2017. V. 10379. P. 1-6.

Modeling of free-form optical surfaces for forming required light

distribution

Anna Voznesenskaya, Iana Mazur ITMO University, 49 Kronverksky av., St. Petersburg, 197101, Russian Federation

ABSTRACT

Many optical devices liave certain light diagrams, which correspond to the world standard. However, to achieve this, one can use a lens including the freefoims, wrhich provide necessary geometry for the light distribution. Freeform surfaces have additional capabilities that may provide a better solution to the asymmetry problem with higher efficiency or fewer elements. This method implies that we know the type of source and the light distribution. In the paper various types of freefoims are considered. Results of freeform modeling forming required light distribution for a given optical source are presented. Effective methods of freeform modeling using Zemax (OpticStudio) are discussed.

Keywords: freefoims, light distribution, optical system design, illumination optics, OpticStudio, computer simulations

INTRODUCTION

In the modern market, optical systems, which use freeform surfaces, have acquired a special status as a component of the optical engineering base. They have a wide range of applications. For example, freeform surfaces are used in imaging optical systems: monofocal and progressive spectacle lenses, hybrid lenses: in illumination systems: lanterns, traffic lights, light-emitting diodes, optical devices in medical equipment, photovoltaic concentrators.

Optical freeform surfaces are now widely used in various devices of lighting optics. Calculation of such refractive elements that form a given light distribution is a very complex inverse problem. Even when using a point source of radiation, it is necessary to solve a differential equation whose analytic solution is applied only for particular cases. Therefore, the development of refractive surfaces of freeform obviously requires new ways of modeling and design [1].

Virtual modeling with the use of photometric modeling and analysis programs today can significantly reduce development time and costs. This is accompanied by a noticeable increase in the efficiency of the optical system. These and other aspects indicate that n on-reflective optics expect a rapid growth period in the coming years [2].

In this paper, the issue of synthesizing the freeform of an optical element for a given illumination distribution for nonimaging optics applications is considered. When synthesizing refractive surfaces of a freeform, the following characteristics should be given: type of radiation source, distance between the source and the refractive element, and the directivity diagram. On the basis of the presented model, optical elements can be designed. The result of the calculation of the obtained surfaces will be coordinates of a set of points belonging to the freeform surface. Further approximation allows defining profiles of refracting freeform element surfaces.

1. LIGHT DISTRIBUTION

The term light distribution is used in this work as a whole to illuminate and distribute light intensity. Both represent the distribution of radiant energy. The illumination distributions E(u,v) are defined on the sections and, as a rule, depend on the location. They do not provide directional infomiation about the rays they generated. However, the light intensity distributions 1(8,(fi) are determined from the solid angle range and, accordingly, depend on the direction. In geometric optics, the light source is a collection of all the original points of the rays. In addition, each light source has a radiation characteristic. By this is meant the function of the intensity of the emitted light, which depends on the radiation angle.

The target connection criterion in the design of non-imaging systems is the requirement of the greatest possible optical efficiency. The process of such systems design involves determining the appropriate combination of light sources and optical components, as well as their positioning relative to each other. This includes, first of all, geometric modeling of

Illumination Optics V, edited by Tina E. Kldger, Stuart David, Proc. of SPIE Vol. 10693, 106930H ©2018 SPIE CCC rode: 0277-786X/18/$18 dol: 10.111 7/12.2314006

Proc. of SPIE Vol. 10693 106930H-1 Downloaded From: htlps:/Avww.spiedigflallibrary.orgi'conference-proceedir>gs-of-spie on B/201B Terms of Use: hHps://www.spiedigitatlibrar>i.org/terms-of-use

optics and photometric analysis of the entire system, which most effectively transforms the distribution of radiation in accordance with certain criteria.

According to the requirements, the intensity distribution, formed by the headlamp, sheet lamp and others is checked by measuring the intensity of light in a number of directions and then comparing the obtained values with the reference ones. In this work we use two types of receivers, a light intensity sensor and a light intensity sensor. The receiver of the light intensity determines the iar field distribution of light in the optical system. Its center is identical to the origin and theoretically lias ail infinite radius. The light tliat strikes it is called the distribution of the intensity of light. On the contrary, the illumination detector is identical to any surface with a Snite distance from the light source. The detected distribution of light is the distribution of illumination.

2. NUMERICAL MODELING OF FREEFORM OPTICL ELEMENTS

The illumination system consists of at least one light source and a detector. In general, the system also has optical components. These can be, for example, minors, lenses or optical blinds. Optical surfaces primarily have a qualitative effect 011 the trajectory of the beam. Oil the one hand, the light rays undergo a change in direction during impact due to the optical properties of the surface, and on the other hand, the light distribution varies depending on the geometric shape of the surface. Therefore, the effect of optical surfaces consists of the deviation and transformation of the distr ibution of light. The interaction of geometric and surface properties makes the functional principle of optical surfaces very effective. Mathematical models allow the designer of optics to control and adjust individual geometries of optical surfaces.

In this paper we consider a method for modeling refractive surfaces of a freeform, with a given type of radiation source and a given light intensity distribution. For the refractive surface of the optical element, an equation corresponding to the envelope of the family of hyperboloidal rotation is obtained, each of which focuses the incident beam to a point oil the line [3]. The calculation of the parameters of the rotational hyperboloids, which ensure the formation of a given energy distribution along the focusing curve, in the approximation of a thin optical element is reduced to solving a first-order differential equation that is allowed with respect to the derivative [4].

The description of the distribution of the light comes directly into the subsequent calculation of the free surface. The requirement of the beam assignment is that the lexicographic older of the amount of radiation that generates both the source and the light distribution in the detector is preserved. Only as a result, it is justified to describe the distribution of the source and the target with continuously differentiable functions of the type/(jr,y> and bring them into a direct formal relationship. The rules for calculating the distribution of the ray and the surfaces of the optical free form are mathematically formulated as two partial differential equations of the first order. Linear partial differential equations of the first order can be solved directly using numerical standard methods and provide continuously differentiable functions. As a result, a continuous surface of the optical free form is obtained in the form of ordered point clouds.

When synthesizing refractive surfaces of free form, one must know: the type of radiation source, the position from the source to the refractive element, and the directivity diagram. On the basis of the presented model, optical elements can be generated. The result of the calculation of the obtained surfaces will be the coordinates of the set of points belonging to the surface of the optical element. Further approximation allows us to determine the profiles of the refractive surfaces of the freeform elements [5].

Using this method, a set of points was obtained. With the help of the Chebyshev polynomial, it is possible to determine the future element of the freeform: T„(x) = cos(n cos'1 (x)) , n = 0...<x>, x E [-1,1]. Using a finite sum of the Chebyshev polynomial terms, the resulting sag equation for this freeform surface is:

, , N M

c(x£ + ve) v-1 V ___

z~--=+ > > CijTi^Tjiy)

where, c^ - are the coefficients of the Chebyshev polynomial sum; x, y are normalized surface coordinates; N and M are the maximum polynomial orders in the x and y dimensions: and c is the curvature for the base sphere on top of which the polynomial is added.

Proc. of SPIE Vol. 10693 106930H-2 Downloaded From: htlps://www.spiedigflallibrary.orgi'conference-proceedii>gs-of-spie on 6/18/201B Terms of Use: hUps://www.spiedigitatlibrar>i.org/terms-of-use

Modeling of the freeform optical element that forms the illumination distribution in the form of a circle was performed in Zemax (OpticStudio) software (Fig. 1 and Fig, 2).

1

Fig. 1. Optical scheme of a fteefonn element

Fig,2. IHimiiiiation distribution in the fonn of a circle

3. CONCLUSION

Proceeding from all the above, we come to the conclusion that optical freeform surfaces are very widespread in many industries. Such surfaces differ from the canonical ones (plane, sphere, torus, cylinder, cone) and are created by pulling the profile along the three-dimensional curve, constructed by the spline surface along the control points, smooth interfacing between the two flaps. Among the areas where free-form surfaces are used, include: research and development in the field of lighting systems, photovoltaic concentr ators, sensors, the creation of spectacle lenses for each individual user form, the manufacture of HUD-displays for drivers. In the course of this work, the freeform element forming ihe required light distribution was calculated and its model was developed into Zemax (OpticStudio).

ACKNOWLEDGEMENTS

This work was supported by the Ministry of Education and Science of Russian Federation (project № 3.2506.2017/4.6).

Proc. of SPIE Vol. 10693 106930H-3 Downloaded From: https://www.spiedigftallibrary.orgi'conference-proceedir>gs-of-spie on B/201B Terms of Use: https://www.spiedigitatltbrary.org/terms-of-use

Available online at www.sciencedirect.com

ScienceDirect

Procedía

Computer Science

ELSEVIER

Procedía Computa- Science 156 (2019) 37-42

www.elsevier.com/locate/procedia

8th International Young Scientist Conference on Computational Science

Modeling of a freeform element with a variable light distribution

In this contribution we consider modeling of an optical element with freeform surface. As an example, we synthesize a freeform component, which allows to generate a required image for any object on the basis of Snell's law and the law of energy conservation. The optical design of the freeform component utilizes ray tracing between the object and image described with complex light distribution patterns.

€5 2019 The Authors. Published by Elsevier Ltd.

This is an open access article under the CC BY-NC-ND license (bttps ://tre?ecommons.org'licenses/by-tic-nd/4 0/) Peer-review under responsibility of the scientific committee of the 8th International Young Scientist Conference on Computational Science.

Keywords; computer modeling, fieefonn optics, ray-mapping, ray tracing, light distribution

1. Introduction

Modern lighting devices, such as street lamps, car headlights and others, should have a certain lighting field with a constant light intensity. In optics, this is called light distribution.

Freeform optical surfaces convert the specified light distribution of the source to the desired light distribution on the target [1]. These surfaces have no symmetry and can replace complex optical systems, which leads to a reduction of weight and dimensions of the device. The freeform surfaces were first used in the tasks of non-imaging optics designing, purposed for the efficient energy transfer rather than image construction. Since noil-imaging systems are not sensitive to manufacturing errors like many other optical systems, freeform lenses have become commercial products. Thus, it became clear that the potential of these surfaces is in providing rather compact solutions. Recently,

* Corresponding author at: Faculty of Applied Optics ITMO University, 197101. 49 Kronvedcsky pi1., St Petersburg, Russia. E-mail address: [e-mail]

1877-0509 © 2019 The Authors Published by Elsevier Ltd.

This is an open access article under the CC BY-NC-ND license (httpn://CTeativecomnioas.org lie tnm bv-nc-nd/ 1.0 ') Peer-review under responsibility of the scientific committee of the 8th International Young Scientist. Conference on Computational Science. 10.1016/j.procs.2019.08,127

Mazur I.3*, Voznesenskaya A.

a

ITMO University', 197101, 49 Kronverkskyp&i St Petersburg, Russia

Abstract

38 Mazurl. elal. /Procedia Computer Science 156 (2019) 37~t2

systems based on freeform surfaces have gained widespread and got a special status. They have been introduced into many industries. Freeform surfaces are used in lighting devices, optical medical equipment, hybrid lenses, virtual reality devices, etc.

Existing methods represent the current state of science in relation to methods of direct design of optical systems without images, which are understood as methods whose functional principles have already been published, but are not available to the general public, for example, in the form of software. The principle of the method of edge rays was widely used in the field of concentration of solar radiation in the 1990s [2-4]. The basic idea is that all the rays emanating from the edge of the expanded light source also fall into the edge of the target area (detector) [5]. However, the corresponding specifications are not specified for all other beams. The advantage of the principle of edge rays is that it can be applied to advanced sources. However, the disadvantage is that the shape of the light distribution of the detector in the inner region between the edge beams cannot be controlled in a targeted manner. It has limited use in the design of lighting systems. The SMS method [6] is an algorithm based on the method of edge beams, which calculates the cross sections of two interdependent optical surfaces in sections. This method transforms arbitrary spherical wave fronts to other arbitrary spherical wave fronts. [7] The SMS method, like the edge ray method, has the main disadvantage that the optical engineer has only a very limited influence on the distribution of light that needs to be generated. There is also a Tailored Freeform surface design method [8], To simulate a problem, the wave front concept is used instead of a ray. Wave fronts are always perpendicular to the rays of light [9]. The propagation at each point is described by the normal and the associated main curvature. The intensity of light in the direction of the rays depends on the curvature of the wave front at the observed point. If the curvature is zero, the rays are parallel and the light intensity is constant. With a positive curvature of the wave front, the rays diverge and, therefore, the light intensity in the direction of the beam decreases. However, with negative curvature, the rays converge and the value of the light intensity increases. The detected surface consists of a set of points. The advantage of the method is that it is possible to accurately form the specified detailed light distribution. The disadvantage is the complexity of the mathematical formulation of the problem. This leads to too high requirements of the process of solving a nonlinear system of second-order differential equations and is not always satisfied.

In this paper, we consider the modeling of an optical element with a freeform surface. For the first time, using the ray-mapping method, freeform surfaces for non-imaging optics were developed, which change the light distribution from circle to square and from circle to rectangle. In this paper, it is proposed to determine the points belonging to the freeform surface through the relationship between the direction of radiation of the beam from the source and the position of the beam on the surface of the target. Using the obtained method, you can set the "freeform" surface in specialized programs for designing optical systems, for example, OpticStudio (Zemax).As an example, we will model a freeform element that allows to form the required image for any object based on the Snell's law and the law of energy conservation. The optical design of the freeform component utilizes ray tracing between the object and image described with complex light distribution patterns.

2. The ray-mapping method

In order to simplify the procedure for a freeform surface design, we firstly define the beam path between the source and the detector [10]. The ray-mapping method of rays' displaying builds a link between the direction of radiation of the beam from the source and the position of the beam on the surface of the target, using the law of energy conservation. Then we can find the slope ofthe surface using the Snell's law [11], Having a slope at each point of the freeform surface, we can build a surface by means of their integration [12]. Because ofthe spherically symmetric distribution ofthe circle source intensity, the traditional spherical coordinate system (6, (p) is often used to indicate the direction ofthe beam radiation, and then to establish relations between the source and the radiation distribution.

The design algorithm consists of several points.

1. Determine the required optical and geometry of scheme.

2. Make a relationship between the source and the target, based on the law of energy conservation.

3. Design a freeform surface using Snell's law.

4. Model the optical system using ray tracing.

5. If the result does not meet the requirements, then change the initial relationships (clause 2) based on the simulation.

Mnzurl. etal. /Procedia Computer Science 156 (2019) 37^42 41

Example 2: The refracting freeform lens (Figure 3) is designed to redistribute the light intensity from a circle to a rectangle. The input data include: the distance from the source to the target is 1000 mm, the refractive index is n = 1.49358, the wavelength is / = 550 nrn.

Figure 3. Freeform surface designed in Matlab for illumination lighting and rectangle light distribution

5. Conclusion

In flic paper is shown a freeform optical element simulated with the ray-mapping method. This achieved optical system converts the Light distribution of a circular shaped source to a square light distribution on a target.

In the further investigations we plan to simulate of freeform elements that have more complex light distribution. For example, the conversion of the distribution of light from a circle to a specific image or from one image to another. Based on this modeling, in it is possible to design imaging optics systems with freeform surfaces for various applications like VR, compact cameras, microoptics for medical applications, etc.. The use of freeform surfaces reduces the aberration of systems, resulting in improved overall image quality, increases the performance of optical systems, makes it possible to reduce the number of elements in the system, make devices easier and more compact, and also allows the use of polymers in design. With the help of freeform surfaces, it is possible to create a new class of optical devices.

Acknowledgements

This work was supported by the Ministry of Education and Science of Russian Federation (project № 3.2506.2017/4.6).

References

[1] Yoztieseuskaya A.. Mazur I. Modeling of free form optical surfaces for forming required light distributions/Proceedings of SPIE, ET, Vol 10693, pp. 106930H (2018)

[2] Jenkins, D., Winston, R., Tailored Reflectors for niumiiiatiou, Appl. Opt. 35,1669-1672, 1996

[3] Jenkins, D., Winston, R., Integra] DesignMethori for Nonimaging Concentrators, J. Opt. Soc. Am. A 13,2106-2116, 1996

[4] Ries, H., Winston, R., Tailored Edge-Ray Reflectors for Elimination, J. Opt. Soc. Am All, 1260-1264,1994

[5] Winston, R, Minano, J. C., Bemtez, P., Nonimaging Optics, Elsevier Academic Press, New Yoik 2005

[6] Benitez, P., Minano, J. C., Simultaneous Multiple Surface Design of Compact Air-Gap Collimators for Light-Emitting Diodes, Opt. Eng. 43

(7), 1522-1530, 2004

[7] Benitez, P., Minano, J. C., Simultaneous Multiple Surface Optical Design Method in Three Dimensions, Opt. Eng. 43 (7), 14S9-1502, 2004

[8] Ries, H., Muschaweck, J., Tailored Freeform Optical Surfaces, J. Opt. Soc. Am A 19, 590-595, 2002

[9] Oliker, V. I, Mathematical Aspects of Design ofBeam Shaping Surfaces in Geometrical Optics, Trends ill Nonlinear Analysis, 191-222,2002

42 Mazurl. elal. /Procedia Computer Science 156 (2019) 37^t2

[10] A. Bauerle, A. Bnmeton, H_ Wester, J. Stollenweik, and P. Loosen. "Algorithm for iiradianee tailoring using multiple freefonn optical surfaces." Opt. Express 20(13), 14477-14485 (2012)

[11] A. BnmetaQ, A. Bauerle. R. Wester, J. Stollenweik, and P. Loosen, "Limitations of the ray mapping approach in freefonn optics design." Opt. Lett. 38(11), 1945-1947(2013)

[12] X. Mao, H. Li, Y Han, and Y. Luo, "Polar-gnds based source-target mapping construct on method for designing treefoimillumiiiati on system for a lighting target with arbitiaiy shape," Opt. Express 23(4), 4313-4328 (2015)

[13] Y Ding, X Liu, Z _R_ Zheng, and P F Ou, "Freefonn LED lens for uiiifoim illumination," Opt Express 16(17), 12958-12966(2008)

[14] Yozneseiiskaya A.O., Mazur Y.V., Krizskii P.Y. Interpolation equations of freefonn refractive surface ^¿Journal of Optical Technology, 1ET, Vol. 85, No. 9~ pp. 579-581 (2018)

[15] M. Essameldin, F. Fleischmaun, T. Henning, W. Lang, "Design and evaluation of a ireefonn lens by using a mediod of luminous intensity mapping and a differential equation," Proceedings of the SPIE, Volume 10110, id 1011006 10pp. (2017)

Development of a Neural Network for the Synthesis of Freeform Optical Elements with a Flat Wavefront

Iana Mazui-I0000-™1-7085'-5™], Anna Voznesenskayal™0 ™ I,

Alexander Xrifanovl™0-0002-51^2^, Mikhail Svintso^0™™1

ITMO University, 197101, Russia, St. Petersburg, Kronverksky av., 49

ianamazurSitmo.ru,voznesenskaya®itmo.ru, [e-mail], [e-mail]

Abstract. In this work, a direct algorithm for modeling optical systems using freeform surfaces is considered, which allows you to form a given illumination distribution of illuminating image systems of diffraction quality. Using the proposed ray tracing algorithm based on the laws of geometric optics, a database of optical systems for further training of the neural network is formed. To increase efficiency, the algorithm is tested on a sample of 10.000 pairs of various optical systems. Using a neural network, the inverse problem of calculating optical systems is solved - according to the given parameters of the object and image, the neural network generates a result in the form of a design of freeform optical elements. Further training of the neural network will speed up the design of new optical systems, and the potential for its learning opens up new opportunities for the development of better and more efficient optical systems.

Keywords: Freeform Surfaces, Freeform, Design of Optical Systems. Ray Tracing, Geometric Optics, Imaging Optics, Machine Learning, Neural Networks,

1 Introduction

At the end of the 17th century, optics formed two theories of light: wave (the light is the wave process) and corpuscular (light is the flow of particles). For several centuries, these theories were considered the opposite, but based oil many experiments, it was recognized that light has a dual nature.

At the same time, a new section of optics appeared - geometric optics. It studies the laws of light propagation in transparent media and the rules for constructing images during the passage of light in optical systems without taking into account its wave properties. Geometrical optics introduces the concepts of a light beam that determines the direction of the energy flow, and a beam of rays - the channels within which light propagates. Geometric optics can be considered as the limiting case of wave optics at a wavelength of light tending to zero. Optical experiments of recent years have proved

Copyright © 2020 for this paper by its authors. Use permitted under Creative Commons License Attribution4.0 International (CCBY4.0).

that geometric optics caimot accurately describe the propagation of light when interference and diffraction of light become important Moreover, the geometric approach is most common when developing optical systems for imaging and non-imaging optics for various purposes.

Such functions as wave aberration, point spread function, optical transfer function, and others are used to evaluate image quality. Using computer optimization of optical systems, aberrations are minimized, however, the search for alternative methods for improving the quality of imaging optics continues. In this regard, one of the solutions is the use of freefonn elements.

Free fon n optical surfaces have no symmetry and can replace complex optical systems. Due to the use of freefonn elements, energy is redistributed according to given quality criteria and, in general, the number of optical elements and their dimensions is reduced. [1]

Among modem methods for calculating freefonn surfaces, one can distinguish such as the Monge-Ampére method (solving the Monge-Ampére equation can lead to an optimal display between the source and the screen, but it is very laborious to solve these non-linear partial differential equations that require very careful numerical sampling schemes). Simultaneous Multiple Surfaces (SMS) method (canhelp in creating optical systems that connect a pail- of incoming wavefront and corresponding outgoing wave-front, but cannot be used in creating optical systems with one optical surface, such as freefonn reflectors), Ray Mapping Method (veiy fast and efficient when designing optical surfaces with a point source, but has some difficulties for setting the purpose of lighting). [2-4]

Currently, machine learning technologies are actively developing - artificial intelligence and neural networks. The paper proposes to develop and apply a neural network for the synthesis of optical systems with freefonn elements.

2 The synthesis algorithm of imaging optical systems

Rays of light coming from the plane of the object with a flat wavefront pass through the freefonn element and fall into the image plane (fig. 1).

Freefonn

linage

Object

z

Ktj-JKI

Development of a Neural Network for the Synthesis of Freefonn Optical Elements 3 Fig. 1. Optical system with freefonn element

We will use machine learning to create a freefonn optical element, but first we need to train a neural network. For this we need to create a lot of test objects. The required objects will be designed based on axisymmetric simple optical systems. To develop samples of optical systems for further training of neural networks, the following algorithm was used (Fig. 2).

S«l tbr iiitt Inn wfnct __UtMljUl) _ witact*.

Slan ■ 5n Ibe wc.>»i Kb iwfiKf ' Mll,„ -'

****** Mi¡M

I ,n !tl„ .umU' .-l ml ..Li , .■. ,. ' ^l.nlMi^i.>1 ■' r r. ■ mi li.'ni 1 a..lr.t

<«n«ir bciunii« awl HI m al1tclU« f"J ™fr" " «to 'I*

i 1 ufcf (be self w i \ Mn«(ir#

v1t JIL'ill luiC tl .'ll-.c l «It'll),' ihe a lite value h

Fnloffiei Ju«ciioii.V

Find new guilts

Hljl.zlj

■ . -

• txStftM ~- .vi,-j«, it, ■ li, Y« Ale ihcit

■nv nK*e ^^^^^^ [Ik- end

wfKnn

Fig. 2. Optical Element Design Algorithm

Initially, the lens surfaces are defined and the focal length of the resulting lens is determined:

/ S 75 n-rr-Tj

where f is the focus of the lens, n is the refractive index rl, r2 are the radii of the first and second surfaces.

Then the coordinates of the object (xo, yo, zo) located at the double focal distance in front of the optical element are specified

Then the point of intersection of the beam coming from the object and the first surface (.rj, yi, z{) is calculated and the tangent and normal n to the surface at the specified point (jci,yi, zi) is determined, for which the derivative is found at the point {xi,yi, zi). The next step is to find the ray vector from the object to the first surface.

a = [xli - xOi: ylt - yOi; zli - zOj] (2)

The angle of incidence of the ray a on the first surface is calculated (the angle between the ray vector a and the normal n)

a = arcos(cos(a7n)) (3)

layer is represented by ail optical sur face and an additional neur on corresponding to the distance from the optical surface to the image.

3. The loss function is a mean squared error (MSE). To calculate the MSE, you need to take the difference between the predicted values and the true ones, square and average it over the entire data set. [5]

MSE = ^T=i\\y&-y{if (12)

4. In addition, the Adam optimization method was used with the default parameters presented in the Flux library: learning rate = 0.001, beta 1 = 0.9, beta2 = 0.999

For efficiency, this algorithm is tested on a sample consisting of 10,000 pairs (source, optical sur face). After that, the arithmetic average of the loss functions of each pair is calculated. The radius of the nuclei depends on the number of points N as

r(N) = AT"! (13)

A common possibility for a set of algorithms is to adjust the hyperparameters of the neural network. The number of hidden layers, neurons in them, the number of source points (and images, respectively), the number of nuclei (orRBF neurons using the RBF network) is adjusted, and the activation function for each layer is selected. [6]

Hie training of such a neural network is reduced to the selection of weights Wi, shifts a and stretches m of the basis function.

y(x)- (14)

where ^¡(x) is the function of the selected basis, a>i is the weight of the i-tli basis function in a linear combination.

tpt = tp(ai\x - cj2) (15)

wrliere Ci is shifts, and ai is stretches of the basis function.

RBF networks are of great importance for the formation of a specific type of freeform surface due to the fact that such architectures provide a smooth solution, and this, in turn, is a necessaiy condition for the effectiveness of the developed algorithm

m.

The loss function for all algorithms can be determined in various wrays:

1. MSE of input image points from image points obtained using the predicted freeform surface

2. MSE of predicted freeform surface parameters from training sample parameters

I am

Fig. 6. Predicted surface shape

y o*t a«

n« <14!

Fig. 7. The resulting surface shape

5 Conclusion

This work is devoted to the design of freeform optical surfaces based on the neural network algorithm. The focus is on accurate geometric modeling of the optical system. From the point of view of the developer of optical systems, solving this inverse mathematical problem presents file greatest difficulty in the entire design process. This paper presents a method for synthesizing an optical surface using a machine learning algorithm for a plane wavefroiH. In the future, it is planned to develop an algorithm for modeling a freefonn optical element for a spherical wavefront.

References

1. Mescheder, H., Hemiens, U: Design and Function for Freefonn Surfaces. Laser Technik Journal, 15(1), 29-31 (2018).

2. Brix, K.. Hafizoguilari, Y., Platen, A.: Solving the Monge-Ampere equations for the inverse reflector problem. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 25(05), 803837 (2015).

Development of a Neural Network for the Synthesis of Freeform Optical Elements 9

3. Satzer, B„ Richter. U„ Lippmam, U„ Metzner, G. S., Notai, G., & Gross, H.: Using the 3D-SMS for finding stalling configurations in imaging systems with fteeform surfaces. Optical Systems Design 2015: Optical Design and Engineering "\1 Jena, Germany (2015). DOI: 10.1 it 7/12.2191240

4. Ma D., Feng Z., Liang R : Freefomi illumination lens design using

5. composite ray mapping. Appl. Opt, 54(3), 49S-503 (2015).

6. Rashid T.: Make Your Own Neural Network. 1st edn. CreateSpace Independent Publishing Platform, Scotts Valley, California (2016).

7. Goodfellow I, Bengio Y., Courville A,: Deep Learning (Adaptive Computation and Machine Learning series) The MIT Press, Cambridge, Massachusetts (2016).

8. Dash C. S. K, Behera A. K,, Dehuri S., Cho S.-B.: Radial basis function neural networks: a topical state-of-the-art survey. Open Computer Science 6(1) (2016). DOI: 10.1515/comp-2016-0005