Разработка и реализация эффективных численных методов моделирования и оптимизации на основе метода моментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Белянин, Алексей Михайлович

• Белянин, Алексей Михайлович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Белянин, Алексей Михайлович

Содержание

Введение

Глава 1 Обзор эффективных численных методов моделирования и оптимизации на основе метода моментов

1.1 Метод моментов для построения математических моделей

1.2 Методы решения дифференциальных уравнений

1.3 Численное решение задачи Коши

1.3.1 Одношаговые методы Рунге-Кутта

1.3.2 Явные многошаговые методы

1.3.3 Неявные многошаговые методы

1.3.4 Формула дифференцирования назад

1.3.5 Сравнительный анализ методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1.3.6 Оценка локальной погрешности решения

1.4 Безградиентные методы оптимизации билинейных динамических систем

1.5 Градиентные методы оптимизации билинейных динамических систем

1.6 Метод модельных функций

1.7 Кинетически обоснованные модельные функции

1.8 Цель работы и задачи исследования

Глава 2 Математическое моделирование билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов

2.1 Численное сравнение модели кинетики в общем случае и с использованием метода моментов

2.2 Специфика моделирования билинейных динамических систем повышенной размерности

2.3 Сравнение методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

2.4 Алгоритмы выбора длины шага

2.5 Алгоритм переменного порядка и шага

2.6 Алгоритм понижения порядка решаемой системы обыкновенных

дифференциальных уравнений

Выводы

Глава 3 Методы оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов

3.1 Сравнение методов оптимизации

3.2 Алгоритм оптимизации билинейной динамической системы, состоящей из нескольких систем в моментах

3.2.1 Алгоритм определения количества систем в моментах

3.2.2 Выбор модельной функции

3.2.3 Определение начальных значений для решения

3.2.4 Определение математического ожидания для каждой системы в моментах

3.2.5 Определение констант модели

3.2.6 Определение концентрации для каждой системы в моментах

3.2.7 Решение обратной задачи

3.3 Численное решение задачи оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов

3.3.1 Пример билинейной динамической системы, состоящей из двух систем в моментах

3.3.2 Пример билинейной динамической системы, состоящей из трёх систем в

моментах

Выводы

Глава 4 Разработка программного обеспечения для многоальтернативного моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышеной размерности

4.1 Структура программного комплекса

4.2 Модульная структура программного средства

4.3 Алгоритм работы программного модуля

4.3.1 Алгоритм определения количества систем в моментах

4.3.2 Алгоритм определения начальных значений

4.3.3 Алгоритм решения задачи оптимизации

4.4 Структуры базы данных

4.5 Схема информационных потоков

4.6 Выбор среды разработки

4.7 Технические условия работы и запуск программы

4.8 Интерфейс программы

4.9 Результаты работы программы

Выводы

Основные результаты работы

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и реализация эффективных численных методов моделирования и оптимизации на основе метода моментов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Математическое моделирование как метод познания реальной действительности получило в последнее время широкое распространение в связи с исследованием сложных объектов, изучаемых в химии, биологии, физике и других науках, а также благодаря стремительному развитию вычислительной техники, позволяющей осуществлять собственно моделирование и получать необходимые практические результаты.

В ряде случаев моделируемый процесс описывается билинейной динамической системой, состоящей из большого количества обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем виде из бесконечного числа уравнений). Билинейные динамические системы повышенной размерности встречаются в процессах с цепными реакциями, такими как: процессы окисления (горение, взрыв), крекинга, полимеризации и другие. Цепные реакции применяются в химической и нефтяной промышленности. Моделирование таких процессов требует очень больших вычислительных затрат. Поэтому для решения билинейных динамических систем повышенной размерности используют метод моментов. Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами. Метод моментов позволяет значительно снизить размерность решаемой билинейной динамической системы. Исследованием различных задач оптимального управления конечномерными системами с помощью метода L-проблемы моментов занимался Красовский H.H. Теоретические вопросы моделирования динамических систем химической физики изучали Берлин A.A., Ениколопов Н.С. Исследованием процессов синтеза полимеров занимались Кафаров В.В., Подвальный С.Л., Спивак С.И., Будтов В.П. Численные методы решения жестких систем изучали Новиков Е.А., Ракитский Ю.В., Черноруцкий И.Г.

В зависимости от сложности решаемой системы практически любой

известный метод моделирования и оптимизации билинейной динамической системы может показать наилучший результат. В связи с этим возникает необходимость в многоальтернативной системе моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью повышения эффективности моделирования билинейных динамических систем повышенной размерности за счет совершенствования математического, алгоритмического и программного обеспечения систем, оценки результатов моделирования с целью получения оптимальных характеристик модели.

Тематика диссертационной работы соответствует одному из научных направлений ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» «Вычислительные комплексы и проблемно-ориентированные системы управления».

Цель работы и задачи исследования.

Целью исследования является разработка математических моделей, алгоритмов и эффективных численных методов для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- с позиций системной методологии провести сравнительный анализ эффективных численных методов моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов;

- разработать модель мультимодального распределения для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющую повысить точность моделирования объекта исследования;

- разработать систему алгоритмов для численного моделирования

билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющую повысить точность и уменьшить машинное время вычислений;

- разработать алгоритмы и программное обеспечение для численной оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющие повысить производительность вычислений;

разработать программное обеспечение многоальтернативного моделирования, позволяющее осуществлять численное моделирование и оптимизацию билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Методы исследования.

В диссертационной работе использованы методы оптимизации, математического моделирования, математической статистики, вычислительной математики, объектно-ориентированного программирования.

Соответствие диссертации паспорту специальности.

Работа соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

П.З. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

П.4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

П.8. Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования.

Научная новизна.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной:

- модель мультимодального распределения, отличающаяся тем, что система

обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве состояний (моменты), параллельно для каждой системы моментов, дополняется алгебраическими уравнениями для свёртки виртуальных одномодальных распределений, адаптивно изменяющихся во времени, позволяющая повысить точность моделирования объекта исследования;

- оптимизационная модель мультимодального распределения, отличающаяся многоэтапной процедурой пошаговой оптимизации с определением как дискретных, так и непрерывных параметров с минимизацией критерия отклонения действительных и расчетных значений распределения, при этом для определения количества систем в моментах дополнительно используются моменты до третьего порядка, позволяющая повысить производительность вычислений;

- алгоритм решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, отличающийся возможностью понижения порядка решаемой системы за счёт принятия за константы на некоторых отрезках функций с наименьшими значениями по модулю производных, позволяющий снизить машинное время вычислений;

- алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений явным методом Рунге-Кутта, отличающийся возможностью в зависимости от степени устойчивости решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале времени варьировать порядок метода от первого (на неустойчивых участках) до четвёртого (на устойчивых участках), позволяющий повысить точность вычислений.

Практическая значимость работы.

Предложенные в работе модели и алгоритмы для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов реализованы в виде специального программного комплекса.

В результате практической апробации программный комплекс

продемонстрировал высокую точность и производительность при моделировании и оптимизации билинейных динамических систем, что свидетельствует об эффективности разработанных методов и моделей.

Разработанный программный комплекс для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов может быть использован проектными организациями, в научных исследованиях и системах управления промышленными процессами, а также в учебном процессе.

Реализация и внедрение результатов работы.

Основные алгоритмы и методы, предложенные в диссертации, реализованы и апробированы в виде программного комплекса моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов. Система внедрена и используется в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет».

Апробация работы.

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научно-технической конференции «Перспективные исследования и разработки в области информационных технологий и связи» (Воронеж, 2012), Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы» (Воронеж, 2012), Международной молодежной научной школе «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Воронеж, 2012), молодёжной конференции «Интеллектуальные технологии будущего. Естественный и искусственный интеллект» (Воронеж, 2011), Всероссийской конференции «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2013).

Публикации.

ю

По результатам исследований опубликовано 8 научных работ, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, получено 1 свидетельство на программу для электронных вычислительных машин, базу данных, топологию интегральных микросхем. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично автором предложены: [1, 2] -численные методы решения прямой и обратной кинетической задачи; [3] — численные методы понижения порядка решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным шагом; [4, 5] — программный комплекс для создания специальных программных средств; [6] — библиотека моделей на основе метода моментов; [7, 8] — блок методов оптимизации при принятии решений.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа изложена на 125 страницах, включает 27 таблиц и 39 рисунков; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 101 наименования.

Содержание работы.

Во введении показана актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, представлены основные научные результаты, определены их научная новизна и практическая значимость, приведено краткое содержание работы по главам.

В первой главе проведен обзор эффективных численных методов моделирования и оптимизации на основе метода моментов.

Проанализированы явные и неявные, одношаговые и многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): метод Рунге-Кутта, метод Адамса-Башфорта, метод Адамса-Моултона, формула дифференцирования назад (ФДН). Выявлены трудности при решении систем ОДУ повышенной размерности.

Описаны достоинства и недостатки методов оптимизации билинейных динамических систем, а также проблемы, возникающие при применении этих

методов для систем повышенной размерности.

Рассмотрен метод модельных функций при математическом описании кривой решения. Приведены кинетически обоснованные модельные функции: экспоненциальное распределение, гамма-распределение, распределение Бизли.

Сформулированы цель и задачи диссертационной работы, решение которых дает возможность исследования эффективных численных методов для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Во второй главе осуществлено математическое моделирование билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Проведенные вычислительные эксперименты показывают эффективность метода моментов для построения математических моделей.

Проведено сравнение методов для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на различных моделях процессов по точности решения, устойчивости метода и объёму вычислительных затрат.

Предложен оригинальный алгоритм выбора длины шага при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным шагом. Проведенные вычислительные эксперименты позволяют утверждать эффективность разработанного алгоритма.

Реализован оригинальный алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с понижением порядка решаемой системы за счёт принятия за константы на некоторых отрезках функций с наименьшими значениями по модулю производных. Проведенные вычислительные эксперименты позволяют утверждать эффективность разработанного алгоритма.

Разработан оригинальный алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений явным методом Рунге-Кутта с возможностью варьировать порядок метода в зависимости от устойчивости участка. Проведенные вычислительные эксперименты позволяют утверждать эффективность разработанного алгоритма.

В третьей главе предложены методы оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Проведено исследование методов оптимизации на различных билинейных динамических моделях. На основании результатов исследования можно сделать вывод, что не существует универсального метода оптимизации билинейных динамических систем, который был бы всегда самым быстрым и точным.

Разработан алгоритм оптимизации мультимодальных билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, отличающийся разбиением общей задачи на последовательно выполняемые малые подзадачи.

Сформулированы наиболее вероятные модельные функции для кинетических задач. Показано, что с изменением времени моделирования вид кривой решения меняется.

Разработан алгоритм определения начальных значений для оптимизации билинейных динамических систем.

В работе приводится пример моделирования и оптимизации билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов, модельных функций, многоальтернативного подхода позволяющий утверждать эффективность разработанного алгоритма.

В четвёртой главе представлена программная реализация разработанных моделей и алгоритмов и результаты многоальтернативного моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Определена структура программного комплекса для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Спроектирована модульная структура разрабатываемого программного комплекса.

Определена структура алгоритма и укрупненная схема алгоритма разрабатываемого программного комплекса.

Спроектирована структура базы данных программного комплекса.

Определены входная и выходная информация, построена схема информационных потоков разрабатываемого программного комплекса.

В качестве интегрированной среды объектно-ориентированного программирования был выбран «Borland С++ Builder 6.0» с встроенным языком высокого уровня С++.

Сформулированы технические условия работы и запуска программы.

Разработан интерфейс программы.

Проведённый эксперимент с помощью разработанного программного комплекса подтвердил эффективность предложенных алгоритмов.

ГЛАВА 1 ОБЗОР ЭФФЕКТИВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА МОМЕНТОВ

1.1 Метод моментов для построения математических моделей

В ряде случаев моделируемый процесс описывается билинейной • динамической системой, состоящей из огромного количества обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем виде из бесконечного числа уравнений). Билинейные динамические системы повышенной размерности встречаются в процессах с цепными реакциями, такими как: процессы окисления (горение [9, 10], взрыв [11]), крекинга [12], полимеризации [13-16] и другие. Цепные реакции применяются в химической и нефтяной промышленности. Моделирование таких процессов требует очень больших вычислительных затрат. Поэтому для решения билинейных динамических систем повышенной размерности используют метод моментов. Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами. Метод моментов позволяет значительно снизить размерность решаемой билинейной динамической системы.

В общем виде билинейные динамические системы имеют вид:

Рассмотрим метод на примере модели кинетики для полимеризации полимеров.

Для исследования процессов полимеризации используется модель кинетики процессов в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений большой (в общем случае бесконечной) размерности. С помощью такой универсальной модели можно получить модель любого типового кинетического модуля, выбирая соответствующие протеканию процесса значения констант скоростей элементарных стадий[17]. Например, ниже представлена универсальная модель полимеризации полимеров:

б/х,

(1.1)

Л

(¡Б'

Ш *=1

Ш к=1

¿Р

— = ~КЛМ\

ж ¿р

=м,(ад0 + ка - Кррх - ад + ++ V) ■

Ш к=1

-ад - (ад+ад)Е^ -к,2р^мк -к^

к=1 ¿=1

¿/р «О

-¿- = КрМ1(Рх_1 -Ря)-Рх(Ка + К,2МХ +(К,г+К,<)Т,р* +

аI к=1

+ Кс/]М])-К^Рх+К,2(Мх^Рк-РХМк), для 2<х<«>

¿=1 ¿=1

= -М, (ЗД + + 2 А + + + ) + V) +

Л к=1

4=1 к=1

ЛМ 00 00 х~к

= ЗД, + КЛМ, + + + 0.5К^РкРх-к

ш к=1 А=1 ¿=1

+ + КаМхРх_х -К,2МХ£ />, для 2 < X < со

к=1

Р0 — концентрация инициатора; Р\,Р2, ■ ■ Рх — концентрации активно растущих цепей длины 1,2, ...,х; М\— концентрация мономера; М2,...,МХ — концентрации неактивных цепей длины 2, ...,х; У— концентрации вспомогательных веществ; £— время протекания процесса; К,ь Кл— константы скорости инициирования; Кр — константа скорости роста цепи; Ка, К(2, К,3, Кд — константы скорости обрыва; Кл, Ка3, — константы скорости передачи цепи.

Если ограничить максимальную длину цепи х величиной Я, то общее число уравнений в системе, описывающей кинетику механизма, составит 2Я. Обычно

3 6

значение Я колеблется от 10 до 10 , так что процесс описывается практически бесконечной системой нелинейных дифференциальных уравнений.

С увеличением размерности системы время, затраченное на ее решение, растет. В результате анализа графиков зависимости времени решения от количества уравнений можно сделать вывод, что это экспонента (рисунок 1.1). Из графика видно, что время, затраченное на решение системы 100 ООО уравнений примерно равно 14 минутам. Следовательно, если экстраполировать график, то для решения системы из 2 000 000 уравнений (Л=106) потребуется примерно 5 часов. А при решении обратной кинетической задачи, приходится решать систему ОДУ около тысячи раз. Следовательно, время вычислений будет примерно 7 месяцев, что неприемлемо.

Количество уравнений

Рисунок 1.1- Зависимость времени решения системы ОДУ от количества

уравнений в системе

Статистическая теория подобных процессов исходит из предположения о возможности характеристики решения на основе моментов различных порядков

[17]. Важной характеристикой решения являются соотношения дисперсии и математического ожидания. Для анализа вводятся понятия моментов, обычно применяемые в статистике и теории вероятностей для оценки распределения случайных величин. При этом, естественно, могут быть использованы различные моменты распределения - начальные и центральные, нормированные и ненормированные и т.д. Таким образом, порядок решаемой системы уменьшается до десятков уравнений.

1.2 Методы решения дифференциальных уравнений

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений применяются аналитические, приближенные и численные методы [18].

Аналитические методы позволяют получать решения дифференциальных уравнений через элементарные или специальные функции в конечном виде и являются эффективным средством исследования уравнений, однако применимы лишь для ограниченного класса дифференциальных уравнений — линейных, с постоянными коэффициентами и др. Эти методы в основном реализованы в универсальных математических пакетах МаШСаё [19], Ма^аЬ [20] и других. Однако в практических задачах они оказываются часто неприменимыми.

Приближенные методы используют различные упрощения исходных уравнений: линеаризацию, разложения в ряд по некоторому малому параметру, асимптотические методы и др. Однако они также имеют ограниченную область применения, хотя и являются эффективным средством исследования решения.

Наиболее мощными и универсальными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений являются численные методы, позволяющие получать решения тогда, когда традиционные, классические, методы не помогают. Поэтому в рамках диссертации будут использоваться численные методы решения дифференциальных уравнений. Среди численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений одним из важнейших является метод конечных разностей.

Метод конечных разностей основывается:

1) на замене непрерывной области определения решения Б дискретным множеством точек, называемым сеткой соь;

2) на замене непрерывных функций дискретными (сеточными), определенными на введенной сетке изменения аргумента;

3) на замене производных, входящих в уравнение, конечными разностями. В результате вместо дифференциального уравнения получается конечно-разностное уравнение, определенное в узлах разностной сетки. Решение его сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

1.3 Численное решение задачи Коши

Методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

_ г ( \ /\_(0)-_1О

I — У, (^э 5 ,..., Ып ), X > Хд, 1Л1 ^Хд ) — М( , I — 1,2,..., П

ах

разделяются на два класса:

1) одношаговые методы, использующие данные о решении только в одной точке. Однако приходится вычислять функции и) в нескольких точках (х, и). К этим методам относятся методы Рунге-Кутта и метод решения с помощью рядов Тейлора;

2) многоступенчатые, или многошаговые, методы, не требующие много повторных вычислений функций £(х, и), использующие данные о решении в нескольких точках, что вынуждает применять одношаговые методы для запуска метода и при изменении шага интегрирования. Это методы прогноза-коррекции, Адамса и другие.

1.3.1 Одношаговые методы Рунге-Кутта

Рассмотрим задачу Коши для ОДУ первого порядка

£ = /(*,У)

ах

У(а) = у0

на интервале [а, Ь].

Разобьем этот интервал на ш отрезков точками х, с постоянным шагом Ь. Точное решение задачи Коши в точке х1+1 на любом из частичных интервалов [ х„ х1+! ] можно представить в виде ряда Тейлора с центром в точке х,. Пусть функция/(х,у) имеет р+1 непрерывную производную по обоим аргументам. Тогда

) = Ж) + /(*■ )А+^г к2 +...+^^ А" + 0(йр+,).

2! р\

Производные в данном выражении вычисляются по формулам:

У(х) = /(х,7)

y»(x)-Qf(x>y) | Qf(x>y)y-df(x>y) | Qf(x>y) f(x9y)

дх ду дх ду

ох ох ду

■ 8(Щ^ + ^Ях,у))Дх,у)

ду дх ду

У" М=i (у'рА))+1- (у('~ч )/(*, у)

дх ду

Пренебрегая остаточным членом, получаем дискретное уравнение

j л, ч h2 rdf(x ,y ) df(xt,yt) г. Ч1 2 дх ду

h' ^'/fr.jQ д^Ях„у,) , Введя обозначение

2 ох ду

р\ дхрА дур~х

перепишем это дискретное уравнение в виде

Полученная формула определяет двухточечную явную разностную схему. По этой формуле можно последовательно определить все значения yt. Положив в формуле р= 1, получаем формулу явного метода Эйлера [21-24]

Ум = yi+V(xi,yi).

Итак, для получения разностных схем методом рядов Тейлора [25, 26] необходимо иметь аналитические выражения полных производных по л; от функции fix,у). В том случае, когда получение полных производных достаточно громоздко или отсутствует аналитическое выражение для f(x,y), применять ряды Тейлора затруднительно, поэтому используют методы Рунге-Кутта [27, 28].

Идея методов Рунге-Кутта состоит в представлении дискретной задачи в виде

Ум = У, + h<P(xi ,yi,h),0<i<m-1, где функция (p(x,,ynh) была бы максимально близкой к A(xl,yl,h) и приближала бы отрезок ряда Тейлора с точностью 0(/ip+1), но не содержала бы производных от Функции fix,у).

Представим функцию (p{xt,y,,h) в виде

<P(xi,yi,h) = clf(xl,yi) + c2f(xi+ha2yi +b2lhf(xl,yi)),

где сис21а2,Ьг1 - неизвестные коэффициенты, которые определяются из условия близости функции h) и АЮ-

Разложим второе слагаемое в формуле в ряд Тейлора в окрестности h с центром в точке С^У^) до членов порядка 0(hz):

,я,А) = ^/(х,,^) + с2/(х.,X) + 1КХ*>У'} Иа2 +

ох

) + (Кк2) =

ду

= (с, + с2)/(*,,) + с2 д/{Х^У{) ка2 + с2 м,21/(х,,у>) + 0(И2).

дх ду1

Приравняв коэффициенты при одинаковых членах и выражениях <р(х£,уи К) и А(хиуи к), получаем

(сх +с2) = 1 ;с2а2 = 0.5;с2Ь210.5.

Следовательно

сх — с2 0.5 а2 = Ь2\ = 1 •

С учетом полученных коэффициентов запишем формулу Рунге-Кутта второго порядка:

Ь,

УЁ+1 = + +

= /(*„У,) к2 = /(*£ + Н>У1 + кк1).

Аналогичным способом можно получить формулы Рунге-Кутта более высоких порядков.

Порядок методов Рунге-Кутта ]э определяется числом вычислений функции /(х,у) на одном шаге.

Наиболее распространенным является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, так как для него соблюдается оптимальное соотношение между обеспечиваемой им точностью и вычислительными затратами.

Метод Рунге-Кутта без труда переносится на системы обыкновенных дифференциальных уравнений [29].

1.3.2 Явные многошаговые методы

Многошаговые методы появились гораздо раньше, чем методы Рунге-Кутта. Впервые их получил Дж.К. Адаме еще в 1855 г. [30].

В одношаговых методах Рунге-Кутта разных порядков значение у1+1 на очередном шаге зависело только от значения функции у, в предыдущей точке Естественно предположить, что, если воспользоваться информацией о значениях искомой функции в нескольких предыдущих точках, то точность метода должна возрасти.

Если методы Рунге-Кутта были основаны на аппроксимации искомой функции, то многошаговые методы используют аппроксимацию функции, являющейся правой частью ОДУ.

Среди многошаговых методов наибольшее распространение в практике вычислений получили методы Адамса [31, 32].

Общий подход к построению многошаговых методов состоит в следующем. Пусть у(х)~ точное решение задачи Коши.

^ = fix, У) уОо) = Уо clx

Если это уравнение проинтегрировать на отрезке [^¿,#¡¡+1], то получим

У1+1-у, = f(x,y(x})dx, где у£ = у(^).

Заменим подынтегральную функцию f[x.,y(x)) интерполяционным полиномом Лагранжа Р(х) с узлами интерполирования х{_ъ xt:

fi = /ад

h = Xj

Проинтегрировав этот полином в пределах от хи до х1+1

r*i+i f*i+l fa

У,+1 "У, = f(x, y№)dx = L(x)dx =-(3/c —/t

JXi JXi z

получаем формулу двухшагового метода

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белянин, Алексей Михайлович, 2014 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белянин A.M. Методы решения прямой и обратной кинетических задач в зависимости от сложности химической системы [Текст] / A.M. Белянин, С.Л. Подвальный, A.B. Плотников // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т.8 - №15. - С. 18-21.

2. Белянин A.M. Численные методы решения обратной и прямой кинетической задачи [Текст]. / A.M. Белянин // Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач: материалы Международной молодежной научной школы. - Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2012. - 234 С. 62-65.

3. Белянин A.M. Алгоритм понижения порядка решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным шагом на примере прямой кинетической задачи [Текст] / A.M. Белянин, С.Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т.9 -№3-1.-С. 35-38.

4. Белянин A.M. Разработка программного комплекса для автоматизации процесса создания специальных программных средств [Текст] / A.M. Белянин, О.Б. Кремер, С.Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2010.-Т.6-№10.-С. 199-201.

5. Белянин A.M. Программа для ЭВМ «Конструктор программных комплексов» / A.M. Белянин, С.Л. Подвальный, О.Б. Кремер, A.B. Плотников // ФГБОУ ВПО «ВГТУ» Per. № 2012619155 от 10.10.2012. Москва: РОСПАТЕНТ, 2012.

6. Белянин A.M. Программный комплекс для создания специальных программных средств поддержки обучения [Текст] / A.M. Белянин, О.Б. Кремер, С.Л. Подвальный // Информатизация учебного процесса и управления образованием. Сетевые и интернет-технологии. Материалы X межрегиональной научно-практической конференции - Воронеж: ВОИПКиПРО, 2010. - Ч.З, С. 147-151.

7. Белянин A.M. Подход к автоматизации построения программных комплексов на основе онтологий [Текст] / A.M. Белянин, О.Б. Кремер, C.JI. Подвальный // Информатика: проблемы, методология, технологии. Материалы XI международной научно-методической конференции (10-11 февраля 2011 г.). - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2011. - С. 90-94.

8. Белянин A.M. Формализованная модель автоматизации построения специальных программных средств [Текст] / A.M. Белянин, О.Б. Кремер, C.JI. Подвальный // Интеллектуальные технологии будущего. Естественный и искусственный интеллект: материалы Всероссийской молодежной конференции. - Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2011. - С. 155-158.

9. Новожилов Б. В. Нестационарное горение твёрдых ракетных топлив. — М.: Наука, 1973. — 176 с.

10. Похил П. Ф., Мальцев В. М., Зайцев В. М. Методы исследования процессов горения и детонации. — М.: Наука, 1969. — 301 с.

11. Зельдович Я. Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махвиладзе Г. М. Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980. — 479 с.

12. Смидович Е. В. Технология переработки нефти и газа, 3-е изд., ч. 2. -М.: Химия, 1980.-328 с.

13. Jin Y., Zhang X., Pie. F., Wu Y. Chinese J. // Polym. Sei. - 1990. - V. 8, № 2.-P. 121.

14. Wang Q., Weng J., Xu L., Fan Z., Feng. // Polymer. - 1999. - V. 40 - P.

1863.

15. Zhang X., Pei F., Jin Y., Ding J., Shang S. // Acta polymerica sinica. - 1990. -V. 8, № 4. - P. 391.

16. Fan Z.-Q., Feng L.-X., Yang S.-L. // Acta Polym. Sei. -1993. - № 6. - P.

691.

17. Hughes R. P., Powell J. // J. Am. Chem. Soc. - 1972. T. 94. - P. 7723.

18. Агафонов C.A., Герман А.Д., Муратова T.B. Дифференциальные уравнения. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 348 с.

19. Таранчук, В.Б. Основные функции систем компьютерной алгебры:

пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики / В.Б.Таранчук. - Минск: БГУ, 2013. - 59 с.

20. Дьяконов В.П. MATLAB R2007/2008/2009 для радиоинженеров. - М.: ДМК Пресс, 2010 - 976 с.

21. Бахвалов Н. С., Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. Н. Кобельков. М.: БИНОМ. Лаб. знаний, 2003. - 632 с.

22. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. — М.: ГИТТЛ. 1956. - 415

с.

23. Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука. 1986.- 848 с.

24. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2, М., 1959. - 620

с.

25. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. X. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004. - 664 с.

26. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002. - 608 с.

27. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Бином, 2001 — С. 363—375.

28. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. , 3-е изд. - М.: Наука, 1967.-368 с.

29. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том 2. М., 1959. - 622

с.

30. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. - 312с.

31. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. / Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1994. - 544 е.: ил.

32. . Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 348 с.

33. Мышенков В.И., Мышенков Е.В. Численные методы. Ч. 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие для

студентов специальности 073000. - М.-.МГУЛ, 2005. - 109 е.: ил.

34. Калиткин H.H. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 583 с.

35. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. - М.: Наука,1989. -

432 с.

36. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1966. - 664 с.

37. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высшая школа, 1990. - 208 с.

38. Подвальный С.Л., Холопкина Л.В. Вычислительная математика: Учеб. пособие/Под ред. С.Л. Подвального. Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2004. -147 с.

39. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом, спец. вузов. — М.: Высшая школа, 1986.-319 с.

40. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.:Мир, 1985.-510 с.

41. Гирсанов И. В. Лекции по математической теории экстремальных задач. — М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. — 118 с.

42. Жиглявский А. А., Жилинкас А. Г. Методы поиска глобального экстремума. — М.: Наука, Физматлит, 1991. - 248 с.

43. Карманов В. Г. Математическое программирование. — Изд-во физ.-мат. литературы, 2004. - 264 с.

44. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972. - 376 с.

45. Максимов Ю. А., Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982. - 52 с.

46. Максимов Ю. А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.: МИФИ, 1980. - 275 с.

47. Растригин Л. А. Статистические методы поиска. — М., 1968. - 376 с.

48. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая

математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 479 с.

49. Новиков Е. А. Алгоритм переменного порядка и шага на основе явного трехстадийного метода типа Рунге-Кутта // Известие СГУ том 11, Математика. Механика. Информатика. - Саратов: СГУ, 2011. - с. 46-53.

50. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

51. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998. - 544 с.

52. Волков Е.А. Численные методы. Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 248 с.

53. Городецкий С. Ю., Гришагин В. А. Нелинейное программирование и многоэкстремальная оптимизация. — Нижний Новгород: Издательство Нижегородского Университета, 2007. — С. 357-363.

54. Calamai P. Н., More J., Projected gradient methods for linearly constrained problems, Math. Programming, 39. 1987. - pp. 93-116.

55. Dennis J. E., Mei H. H. W. Two unconstrained optimization algorithms which use function and gradient values, J. Optim. Theory Appl., 28. 1979. - pp. 453482.

56. Gilbert J. C., Nocedal J. Global convergence properties of conjugate gradient methods for optimization, SIAM J. Optim., 2. 1992. - pp. 21-42.

57. Капорин И.Е. Предобусловленный метод сопряженных градиентов для решения дискретных аналогов дифференциальных задач // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 7. - С. 1225-1236.

58. Капорин И.Е. Использование полиномов Чебышева и приближенного обратного треугольного разложения для предобусловливания метода сопряженных градиентов // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физики. 2012. Т.52. № 2. С. 1-26.

59. Al-Baali, М. Descent property and global convergence of the Fletcher-Reeves method with inexact line searches, IMA J. Numer. Anal., 5. 1985. - pp. 121-

60. Полак Л.С. Применение вычислительной математики к химической и физической кинетике. / Под ред. Полака А. С- М.: Наука, 1969.- 279 с.

61. Карманов В. Г. Математическое программирование.- М.: Наука, 1980 -

256 с.

62. Бахвалов Н. С., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001,- 632 с.

63. Батунер Л. М., Позин М. Е. Математические методы в химической кинетике. - Л.: Гос. н.-т. изд-во хим. лит., 1955.- 482 с.

64. Ениколопян Н. С, Глейзер Р. Г. // Усп. хим.- 1979.- Т. 48.-С. 1831.

65. Денисов Е. Т. Кинетика гомогенных химических реакций.- М.: Высш. школа, 1988. - 391 с.

66. Яблонский Г. С, Спивак С. И. Математические модели химической кинетики. - М.: Знание, 1977. — 64 с.

67. Багдасаръян X. С. Теория радикальной полимеризации.- М.: Наука, 1959-258 с.

68. Кафаров В. В., Дорохов И. Н., Дранишников И. В. Системный анализ процессов химической технологии: процессы полимеризации.- М.: Наука, 1991.350 с.

69. Подвальный Л. С. Моделирование промышленных процессов полимеризации.- М.: Химия, 1979. — 256 с.

70. Вольфсон С. А., Ениколопян Н. С. Расчеты высокоэффективных полимеризационных процессов.- М.: Химия, 1980.-312 с.

71. Френкель С. Я. Введение в статистическую теорию полимеризации,-М.: Наука, 1965.- 267 с.

72. Шаманин В. В. Основы аксиоматической теории полимеризации: дис. ... д-ра хим. наук: 02.00.06 / Шаманин Валерий Владимирович. -ИБС, СПб.- 1995.298 с.

73. Берлин А. А., Вольфсон С. А. Кинетический метод в синтезе полимеров. - М.: Химия, 1973. - 344 с.

74. Flory P. J. //J. Amer. Chem. Soc.- 1936.- V. 58.- P. 1877.

75. Flory P. J. Principles of polymer chemistry.- New York: Cornell Uniuersity Press, 1953. - 672 p.

76. Flory P. J. III. Amer. Chem. Soc.- 1940.- V. 62.- P. 1561.

77. Schulz G. V. II Z. Physik. Chem - 1935.- V. 30.- P. 379.

78. Вентцель E. С., Овчаров JI. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М.: 2000 - С. 135.

79. BeasleyJ. К. //J. Amer. Chem. Soc- 1953 ~ V. 75.-Р. 6123.

80. Будтов В. П. Физическая химия растворов полимеров. -СПб.: Химия, 1992.-384 с.

81. Рафиков С. Р., Будтов В. П., Монаков Ю. Б. Введение в физико-химию растворов полимеров.- М.: Химия, 1978.- 328 с.

82. Кантова М. Фракционирование полимеров. / Под ред. Кантова М. — М.: Мир, 1971 -441 с.

83. Губайдуллин И.М., Линд Ю.Б., К.Ф. Коледина. Методология распараллеливания при решении многопараметрических обратных задач химической кинетики // Вычислительные методы и программирование, Т. 13 -Москва, 2012, С. 28-36.

84. Усманов Т.С., Спивак С.И., Усманов С.М. Обратные задачи формирования молекулярно-массовых распределений.— М.: Химия, 2004.— 252 с.

85. Максютова Э.Р. Математическая модель многоцентровой полимеризации изопрена на катализаторах Циглера-Натта / Э.Р. Максютова, Т.С. Усманов, Ф.Ф. Саитова и др. // Обозрение прикл. и пром. матем. 2002. - Т. 9. - № 2.-С. 418-419.

86. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997.- 197 с.

87. Максютова Э.Р. Математическая модель процесса полимеризации изопрена на катализаторах Циглера-Натта / Э.Р. Максютова, Т.С. Усманов, С.И. Спивак и др. // Обозрение прикл. и пром. матем., 2001. - Т. 8. - № 2. - С. 642-643.

88. Бьёрн Страуструп. Язык программирования С++ / Пер. с англ. — 3-е изд. — СПб.; М.: Невский диалект — Бином, 1999. — 991 с.

89. Бьёрн Страу струп. Программирование: принципы и практика использования С++, исправленное издание. — М.: Вильяме, 2011. — С. 1248.

90. Герберт Шилдт. Полный справочник по С++. — 4-е изд. — М.: Вильяме, 2011. —С. 800.

91. Дэвис, Стефан, С++ для «чайников», 4-е издание. : Пер. с англ. : — М. : Издательский дом «Вильяме», 2003. — 336 с. : ил. : Парал. тит. англ.

92. Уолтер Савич. Программирование на С++. 4-е изд./У. Савич. - СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. - 781 с.:ил.

93. Подбельский В.В., Фомин С.С. Программирование на языке Си: Учеб. пособие. - 2-е доп. изд. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 600с.: ил.

94. Франка П. С++: учебный курс. — СПб.: Питер, 2003 . — 521 с.

95. Бондарев В.М. Программирование на С++. 2-е изд. - Харьков: «Компания СМИТ», 2005. - 284 с.

96. http://ru.wikipedia.org/wiki/C%2B%2B - Википедия. Свободная энциклопедия. С++.

97. Джаррод Холингворт, Боб Сворт, Марк Кэшмэн, Поль Густавсон Borland С++ Builder 6. Руководство разработчика. — М.: «Вильяме», 2004. — С. 976.

98. Джерод Холлингворс, Дэн Баттерфилд, Боб Свот. С++ Builder 5. Руководство разработчика. — М.: «Диалектика», 2001. — С. 884.

99. Когаловский М. Р. Энциклопедия технологий баз данных. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 800 с.

100. Date, С. J. Date on Database: Writings 2000-2006. — Apress, 2006. — 566

P-

101. http://progrm.ru/?p=31 - Краткое описание Borland С++ Builder.